数学建模解决有关足球队排名问题
模糊分析法解足球队排名问题-数学建模
模糊分析法解足球队排名问题摘要：本文解答了93年全国大学生数学建模竞赛B题，运用模糊聚类分析法，讨论了足球队比赛的排名问题。
首先，我们将数据进行预处理，求出每队的胜,负,平以及总场数，归一化处理后作为建模的影响因子，然后由相似系数构建模糊相似矩阵，最后构建模糊等价矩阵截取进行排名，并将得到的结果从12支队推广到了N支队的情况。
本文中所用的方法经过验证，得到的结果合理，可信。
关键词：模糊分析法，相似系数，比赛排名一问题分析根据题目所给的表格，我们能得到的数据是残缺和不整齐对称的，这样就给排名造成了困难。
例如在图表中，T1队和T2队打了三场比赛，和T5只打了一场比赛，和T11没打比赛。
这样如果只是单纯的利用胜利的场数来进行排名，所得到的结果必定是不完善的，同时也是不准确的。
因此为了得到较完善的结果，我们可以先将每个队所参加的比赛中，胜，负和平的场数列表如下，得到每个队实力的大概了解。
表一接着，我们分析各队在每场比赛中的平均进球数，失球数和进失球数差数，这些数据也有助于我们进一步了解各队的实力。
列表如下：表二通过表一，二的分析，我们可以确定T7是最好的，T4是最差的，但是对于其他的球队仅以上述数据还是无法得出准确可信的排名。
为了得出合理可信的排名，我们还应该考虑，Ti与其余各队的比赛成绩，由于有的对和其余的对没有比赛，其成绩难以确定。
为了解决这个难题，我们准备先制定一个规则，为各队定义一组特征数据，同时计算各队之间的模糊相似度。
最后综合表一二，即可得出合理的排名出来。
二模型假设1,基本假设1) 参赛各队存在客观的真实实力,这是任何一种排名算法的基础2) 在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比是以它们的真实实力对比为中心的互相独立的正态分布,这条假设保证了我们可以以比赛成绩为依据对球队的真实实力进行排名,3) 每场比赛对于排名的重要性相同，每个进失球对于排名也同样重要。
4) 确定各队的特征数据时，仅计算进失球的差数。
数学建模论文足球比赛问题
D题: 足球比赛问题目录一．摘要 2 二．问题的提出 2 三．问题的分析 3 四．模型设计及算法 3五．分析及模型求解模型5一．摘要本文主要以12支甲B球队前四名晋级甲A问题为研究对象，讨论武汉雅琪队是否一定能提前三轮晋级甲A。
本文主要运用了层次分析法建立了一个数学模型，其主要是一个算法。
现通过分析得出武汉雅琪队在最坏的情况下（剩余三场全负）一定可以提前三轮晋级甲A，即一定在前四名，这种方法只能确定武汉雅琪队一定能晋级甲A，只是不知道名次，所以本文又对模型进行了假设，在假定的前提下，能够通过模型的具体分析，把武汉雅琪队在最后的三场比赛结束后最坏的几种可能情况列举出来，从而进一步分析武汉雅琪是否一定可以提前三轮晋级甲A.二．问题的提出中国足球甲级队比赛，分成甲A和甲B两组进行主客场双循环制，1997年足协决定：12支甲B球队的前四名将升入甲A，球队排序的原则如下：（1）胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分；（2）球队的名次按积分多少排序，积分高的队排名在前；（3）积分相同的球队，按净胜球的多少排序，净胜球（踢进球数减被踢入球数）多的队排名在前；（4）若积分相同、净胜球数也相同，则按进球数排序，踢进球总数多的队排名在前.以下是甲B联赛（共赛22轮）第19轮后的形势：队名胜平负得失球积分队名胜平负得失球积分武汉雅琪 10 6 3 29/18 36 佛山佛斯弟 8 2 9 26/28 26深圳平安 9 5 5 34/27 32 辽宁双星 7 4 8 20/19 25深圳金鹏 8 5 6 32/38 29 上海浦东 7 4 8 28/23 25河南建业 8 5 6 20/18 29 上海豫园 6 5 8 23/29 23广州松日 7 7 5 27/19 28 天津万科 5 7 7 22/23 22沈阳海狮 7 7 5 28/23 28 火车头杉杉 2 3 14 14/48 9还剩三轮，对阵表如下：上海浦东——深圳平安广州松日——河南建业杉杉——广州松日深圳平安——辽宁双星河南建业——上海浦东广州松日—天津—万科深圳平安——沈阳海狮上海豫园——河南建业辽宁双星——天津万科深圳金鹏——上海豫园武汉雅琪——佛斯第沈阳海狮——杉杉沈阳海狮——深圳金鹏天津万科——佛斯第上海豫园——武汉雅琪辽宁双星——深圳金鹏佛斯第——杉杉武汉雅琪——上海浦东试问：武汉雅琪队是否一定可以提前三轮晋升甲A？说明理由.三．问题的分析题目给出的是12支甲B球队前19轮的比赛结果，还剩三轮比赛。
数学建模实验报告 足球队问题
数学建模实验报告机自75 张超070111321.问题：37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两只球队的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。
问共需进行多少场比赛？2.问题建模分析：37支球队进行比赛，则第一轮有18支球队经过18场比赛晋级，1只轮空，共剩下19支球队。
第二轮比赛有9支球队进过9场比赛晋级，1支轮空，共剩下10支球队……则经过x轮比赛后只有1支球队留下，产生冠军。
共进行场次s=19+9+……对其进行总结有，当第x轮比赛时，设已经进行s场比赛，还剩n支球队，则当n为奇数时，本轮需进行（n-1）/2场比赛,s=s+(n-1)/2.当n为偶数时，本轮需进行n/2场比赛,s=s+n/2.建立循环在计算机上模拟即可得到结果。
3.计算程序：function qiudui(n)s=0;x=0;while(n>1)if(n/2==floor(n/2))s=s+n/2;n=n/2;x=x+1;elses=s+(n-1)/2;n=(n+1)/2;x=x+1;endends4.结果分析：我们观察到：qiudui(37)=36；qiudui(32)=31；qiudui(137)=136；qiudui(3)=2；……我们发现当有n支球队时，总会进行n-1场比赛。
分析可知，每1支球队都是在1场比赛中被淘汰的，故最后剩下1支球队取得冠军，则必然要进行n-1场比赛来淘汰其余n-1支球队。
从而，我们得到通解：n支球队进行淘汰赛争夺冠军要进行n-1场比赛。
5.参考文献：周义仓、赫孝良《数学建模实验》，西安:西安交通大学出版社。
第7组 足球队排名次
B题足球队排名次07组B 题 足球队排名次摘 要本文主要讨论了给12支球队排名，以及如何推广到N 支球队。
对于问题一，首先建立了哈密尔顿圈，通过lingo 软件得到结果，分析发现有些偏差，然后对任意两支球队之间的净胜球数进行分析得到服从正态分布，()()22221μπ--=x ex f 并同时建立了规划模型：max ∑∑⎰∑∑==∞-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==121121212112112122127817812i j x j i j i i j ij dx e x x x x p z ij μπ S.T.()∑=≤≤=≠≠121,121,78,i i i j i x x j i x x N x i ∈通过lingo 软件得到结果461112510983217,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T 的顺序。
然后推广到N 支球队的模型为 max ()()∑∑⎰∑∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=+=1211212121121221112122i j x U q U q ji j i i j ij mndx e x x x x N N p N N z ijm m n n πS.T.()()∑=≤≤+=≠≠ni i i j i x N N x j i x x 1,121,21,N x i ∈ 最后检验通过熵值法求出分数，净胜球数和12支球队直接的熵权，然后用topsis法对12支球队的相对贴近度-+-+=ii i i S S S C 求值，得到 411612591082137,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T 与模型二基本一致，可以验证模型合理。
关键词：哈密尔顿图 整数规划 熵值法 归一化 拉格朗日函数 topsis 法一、问题分析通过分析题目发现，本题给了12支球队的部分比赛成绩，通过残缺的数据对这12支球队进行排名，并推广到任意N个球队排名，并讨论出你的模型在什么条件下更为合理1212(2) 符号X表示球队未曾比赛。
第十章 足球队排名问题(III)_建模举例
准则层
A1 景色
A2 费用
A3 居住
A4 饮食
A5 旅途
方案层
B1 桂林
B2 黄山
B3 北戴河
（2）构造成对比较的判断矩阵
1 2 1 A 4 1 3 1 3
1 A2 3 8 1 3 1 3 1 8 1 3 1
W3 (0.125, 0.125, 0.375, 0.375, 0)
T
总排序与一致性检验
上述过程中求出的是同一层次中相应元素对于上一层次 中的某个因素相对重要性的排序权值，这称为层次单排序。 若模型由多层次构成，计算同一层次所有因素对于总目标相 对重要性的排序称为总排序。这一过程是由最高层到最低层 逐层进行的。 设上一层次A包含m个因素A1, A2, …, Am，其总排序的 权重值分别为 a1, a2, …, am ；下一层次 B 包含k个因素 B1, B2, …, Bk，，它们对于Aj的层次单排序的权重值分别为b1,j , b2,j, …, bk,j (当Bi与Aj无联系时，bi,j = 0 )；此时B层i元素在 总排序中的权重值可以由上一层次总排序的权重值与本层次 的层次单排序的权重值复合而成，结果为：
现对问题2.1的总排序进行一致性检验：
准则层判断矩阵的一致性指标分别为 0.0179, 0.04,0.0， 随机指标分别为 1.12,0.9,0.9 由于准则层的排序权重为 0.105,0.637,0.258
故
0.0179 0.105+0.04 0.637+0.0 0.258 C.R. 0.029 1.2 0.105+0.9 0.637+0.9 0.258
1 2 1 1 7 1 5 1 5
离散模型-足球赛排名方案B
足球赛排名方案B （12）
对于一个不一致的判断矩阵A（注意：无残缺），令
A aij 1ni, jn
（5）
wi aij / A ,1 i n,
（6）
由以于 猜w测i是它A给的出第了i列Tji的1元排素序（权即重Ti。与其他队的表面实力对比）的和被 A 除，可
但正如问题分析中所提到的，Ti与Tj的实力对比必须考虑到将Ti与Tj连
A2
A4
，
这里A1 ，A4 都是方阵。一个判断矩阵可约当且仅当成绩表可约。
5.称判断矩阵A是一致的，若对任意 1 i, k, j n 满足
。
显然地，一致则存在 ，使得
A (i / j )nn
（3）
6为.主称由特矩非征阵负向A距的量阵最，的大若P正er特irno征1n根-iFrom1baex，为ni且主us特定i征理根0，；一对个应判于断距ma阵x 的A右存特在征为向一量w称
足球赛排名方案B （2）
表1
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12
0：1 2：2 2：0 3：1 1：0 0：1 0：2 1：0 1：1
T1
1：0 1：0 3：1
1：3 2：1 4：0 1：1
0：0 0：2 1：0
T2
2：0 0：0 1：1 2：1 1：1 0：0 2：0 0：2
的可约性作出了判断，这也满足了因为残缺而提出的要求（4）能够判断成
绩表地可约性。
足球赛排名方案B （16）
对手的强弱对自己名次的影响
排名向量满足 A%w maxw ，即
wi
1
max
n
a%ij wj , i 1, 2,L
j 1
, n.
数学建模-B题-球队排名问题-答案详解
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：一个给足球队排名次的方法戚立峰毛威马斌（北京大学数学系,100871）指导教师樊启洪摘要本文利用层次分析法建立了一个为足球排名次的数学模型．它首先用来排名次的数据是否充分做出判断,在能够排名次时对数据的可依赖程度做出估计,然后给出名次．文中证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序．文中将看到此模型充分考虑了排名结果对各场比赛的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象．文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队在发挥水平上的小的波动不会对排名顺序造成大的变动．本模型比较完满地解决了足球队排名次问题,而且经过简单修改,它可以适用于任何一种对抗型比赛的排名．§1 问题的提出及分析本题的表1给出的是我国12支足球队在1988-1989年全国甲级联赛中的成绩,要求通过建立数学模型,对各队进行排名次．按照通常的理解,排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队真实实力状况的一个顺序．为达到这一点,一个好的排名算法应满足下面一些基本要求：（1）保序性；（2）稳定性；（3）能够处理不同场比赛的权重；（4）能够判断成绩表的可约性；（5）能够准确地进行补残；（6）容忍不一致现象；（7）对数据可依赖程度给出较为精确的描述．可以想象,各队的真实实力水平在成绩表中反映出来（见§3假定Ⅱ）,所以根据排名目的,我们要求排名顺序与成绩表反映的各队实力水平的顺序是一致的,这就是要求（1）．也就是说,如果a比b表现出色,a的名次就应排在b前面．但a比b出色不能只是由a对b这一场比赛所决定,必须参考a,b相对于其他队的成绩,像a平c,c胜d,d平b这组比赛对a,b的相对表现是有影响的．为使一个算法满足保序性,就必须充分考虑到将a,b连结起来的所有场比赛．下面的例子表明积分法布满足保序性．例1 a平c,c胜d,d平b,a平b．在上述比赛中a表现应比b出色,但按积分法计算a,b都积2分．其原因就在于积分法没有把a平c,c胜d,d平b这组比赛中所体现的a,b实力对比情况考虑进去；要求（2）就是说成绩表小的变动不会对排名结果造成巨大影响．这是由于球队发挥水平存在正常波动而必须提供的,如果这种正常的小波动引起名次的巨大变化,那么排名就不令人信服；要求（3）使得不同场比赛在排名中的地位不同,这是因为在实际比赛中,往往会有的队不幸遇到较强的队而输掉．为了避免由于对手的强弱不同造成的不公平,要求（3）是必须的．但现在的排名制度大都满足不了要求（3）,以至于许多时候“运气”对名次起了重要作用；要求（4）—（7）是为了适应实际比赛中可能会出现在一些复杂情况而提出的．首先是可能某两个队之间没有打比赛,我们称之为数据（成绩）残缺．对于两队成绩残缺,只能通过它们同其他队的比赛成绩来判断它们的实力比较．如果残缺元素过多,就有可能导致参赛队分成两组,组与组之间没有比赛,称这种情况为成绩表可约,这时显然是不应该排名次的．这样就有要求（4）,（5）；其次是前后比赛成绩矛盾,比如说a胜b,b胜c,c平a,称这种情况为数据不一致．如果不一致的情况过于严重,说明比赛偶然因素太大,数据的可依赖程度太低,应该考虑放弃比赛成绩．所以排名算法还应满足（6）,（7）．本文使用的层次分析法的特征根方法已满足了上述要求,下面将在§2中给出具体算法．§3中给出算发满足上述要求的解释和论证．§2 模型设计及其算法一、基本假设和名词约定假设Ⅰ参赛各队存在客观的真实实力（见名词约定1）．这是任何一种排名算法的基础．假设Ⅱ 在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比是以它们的真实实力对比为中心的互相对立的正态分布．（见名词约定2）这条假设保证了我们可以以比赛成绩为依据对球队的真实实力进行排名,另外它在很大程度上反映了球队水平发挥的不稳定性．名词约定1 ．称w =(12,,,n w w w …)为真实实力向量,如果i w 的大小表现了i T 的实力强弱．当i w 的大小表现了i T 在比赛中出色程度时,称w 为排名向量．由假设Ⅱ,两者应是近似相同的,以后就把它们当成同一个．2 ．称i T 对j T 这场比赛中体现出来的i T 对j T 的相对强弱程度为i T 对j T 的表面实力对比,一般记作ij a ,当i T 对j T 成绩残缺是约定ij a ＝０．显然地有1()0,(),() 1.ij ji ii iji a ii a iii a a ≥== （2.1） 矩阵Ａ＝()ij n n a ⨯就称为比赛成绩的判断矩阵,它是可以通过各种方法（见§５）从比赛成绩中求出来的．由假设Ⅱ,若i T 对j T 成绩不残缺且1i j w w ≥时有2~(,)ij i j ij a N w w σ（2.2） 这里w 是真实实力向量．3 ．称方阵n n A ⨯为正互反对称的,若（1）ij a >0,（2）1ji ija a =,1,i j n ≤≤．显然一个无残缺的比赛成绩的判断矩阵是正互反对称的．4 ．称矩阵n n A ⨯是可约的,若A 能用行列同时调换化1240AA A ⎛⎫⎪⎝⎭,这里1A ,4A 都是方阵,在[1]的227页证明了一个判断矩阵可约当且仅当成绩表可约．5 ．称判断矩阵A 是一致的,若对任意1,,i k j n ≤≤满足ij jk ik a a a ⋅=．显然地,A 一致则存在w ,使得()in n jw A w ⨯= （2.3） 6 ．称矩阵A 的最大正特征根max λ为主特征根；对应于max λ的右特征向量w 称为主特征向量,若11ni i w ==∑且i w >0．由非负矩阵的Perron-Frobenius 定理,一个判断矩阵A 的max λ存在唯一且可以让对应于max λ的特征向量()1w 的每个分量都大于零,令()()111nii w w w ==∑即得主特征向量．二、模型设计与算法我们的模型的主要部分是一个算法,模型的输入是一张成绩表,输出是关于是否可约的判断、数据可依赖程度值和排名次的结果．算法（一）根据比赛成绩表构造判断矩阵A ． i 从1到n,j 从1到n 的循环．1）若i T 与j T 互胜场次相等,则1净胜球=0时令1ij ji a a ==；跳出作下一步循环； 2i T 净胜球多时以i T 净胜j T 一场作后续处理． 2）若i T 净胜j T k 场且k>0,则2,14;19,4.ij k k b k ≤≤⎧=⎨>⎩ 2ij i m T =胜j T 平均每场净胜球数；1,2;0,02;1,0.ij ij ij ij m d m m ⎧>⎪=≤≤⎨⎪-<⎩3,1/ij ij ij ji ij a b d a a =+=．3）若i T 与j T 无比赛成绩,则0ij ji a a ==．（二）检测A 的可约性,如果可约则输出可约信息后退出． （三）构造辅助矩阵～Ａ i 从1到n,j 从1到n 循环~,01,A 000.ij ij ij i i ij a i j a a m i j m i a ≠≠⎧⎪=+=⎨⎪=⎩且；，其中为的第行的个数；，（四）计算～Ａ的主特征根max λ和住特征向量w ．1）允许误差ε,任取初始正向量()()()()()000012,,,Tnxx x x =…,令k=0,计算(){}001max i i nm x ≤≤=；()()()()()0000101,,Tny y y x m ==…． 2）迭代计算()()1k k xy +=～Ａ；{}111max k k i i nm x ++≤≤=； ()()1111k k k y x m +++=； 1k k =+； 直到1||k k m m ε+-<．3）()max 1;k k n k ii y m w yλ===∑．（五）按w 各分量由大到小的顺序对参赛各队排名次． （六）计算220011//i j i j ijijij ij w w w w i j i j a a i ja a h w w w w >=≠≠>⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑；1(1)22n ii m n n Y =-=-∑；其中i m 为A 的第i 行0的个数．根据2h 查2x 表得到可依赖程度2(2)a P x h =>．关于算法的几点说明算法的第(一)步可以有多种不同的方法,这在§5还将讨论．第(二)步实际上是把A 看作有向图的邻接矩阵表示求图是否连通．算法是标准的,可参阅任何一本有关于算法的书,这里省略．它在可约时作的退出处理保证了以后各步处理的是一个不可约阵．第(三)步使用的是幂法,其整个算法收敛性和正确性的证明可参阅[1]的103页．第(四)步是一个排序,可参阅任何一本有关算法的书．第(五)步我们举了一个例子,若算出2h=47.56,r=48,则在2x 表的自由度为48一行找到47.56,它所在的列的a 值为65%左右．§3 算法的理论分析一、排名的合理性和保序性要求关于为什么无残缺的判断矩阵A 的主特征向量就是排名向量是层次分析法中特征根发的基础,可以在[1]的211页找到详细证明,这里只作简单说明．先假定比赛无残缺,此时算法中~A =A ．先看一下A 为一致矩阵时,有（2.3）式存w 使得A (/)i j n n w w ⨯=,显然向量w 就是排名向量．而我们有 1(/),1,2,,ni j j i i w w w n w i n =⋅=⋅=∑…；即A w nw = （3.1） 在[1]的109页证明了下述定理：定理 n 阶互反矩阵是一致的,当且仅当max n λ=．再由（3.1）可见w 还是A 的主特征向量,这样,对于一个一致矩阵A,求排名向量就是求A 的主特征向量．对于一个不一致的判断矩阵A （注意：无残缺）,令1,||A ||ij i j na ≤≤=∑（3.2）1/||A ||,1ni ij i w a i n ==≤≤∑； （3.3）由于i w 是A 的第i 列元素（即i T 与其他队的表面实力对比）的和被||A||除,可以猜测它给出了i T 的排序权重．但正如问题分析中所提到的,i T 与j T 的实力对比必须考虑到将i T 与j T 连结起来的所有场比赛,反应到判断矩阵A 上就是所有1121k ii i i i j a a a -…都要考虑进去．令()k ij a 是A k 的第i 行j 列元素,不难看出()112k-1121111k n n nk ij ii i i i j i i i a a a a -====∑∑∑…… （3.4）而()k ij a 就是考虑了所有经过k 场比赛将i T ,j T 连结起来的路径后反映的i T ,j T 的相对强弱,称其为i T 对j T 的k 步优势.当1k i j -=时11k i j a -=,所以（3.4）式成为111211121()1111k k k k k n n n nk ijii i j ii i j i i i i i iaa a a a -----====≠=+∑∑∑∑…………；注意到等式右端一项正是(1)k ij a -,所以k 步优势就隐含了k-1步以及k-2, (1)同（3.3）式,令()()1/||A ||,1,,nk k k ij j wa i n ===∑…； 再令()()()1(,,)k k k Tnw w w =…,可以想象,当k 足够大时,()k w 就给出了A 所反映的排名向量.在[1]的104页正证明了等式A lim A k T k k ew e e→∞=,其中(1,1,,1)T e =…；w 是A 的主特征向量.即 ()lim k k w w →∞=；所以在充分考虑了足够步优势后得到的排名向量()w ∞就是A 的主特征向量w .上面的讨论表明在比赛无残缺时,我们的排名是合理的和保序的,下面来看看残缺的情况.二、残缺的处理对于一个残缺的判断矩阵A,可以通过下述方法转化成一中讨论的情形,0,,0,ij ij ij ijij ij a a c d a d ≠⎧=⎨=⎩其中为正数，如果这样得到得矩阵C=()ij n n c ⨯的主特征向量为w ,那么当/ij i j d w w =时,我们认为补残是准确的.如果令,0;/,0;ij ij ij ij ij a a c w w a ≠⎧=⎨=⎩_,0,;0,0,;1,,i ij ij ij ij ii a a i j a a i j m i j m ≠≠⎧⎪==≠⎨⎪+=⎩是A 的第行0的个数；C ()ij n n c ⨯=；~~A ()ij n n a ⨯=；则有下面命题成立：命题 Cw w λ=等价于~A w w λ=. 证 1,1,,.nij i i j c w w i n λ===∑…110,0(/),1,,.ij ij nnij j i j j i i j j a i ja a w w w w w w i n λ==≠≠=⇔+⋅+==∑∑…1(1),1,,.nij j i i i j i j a w m w w i n λ=≠⇔++==∑…~1,1,,.nij i i j a w w i n λ=⇔==∑…由上述命题还可知,C 的最大特征根也是~A 的主特征根,C 的主特征向量也是A 的主特征向量.这样,我们只需解~max A w w λ=即可,这正是算法（三）、（四）步作的工作.从上面讨论可知,本模型对于残缺的处理是非常准确的,满足了要求（1）,（5）.另外算法第（二）步对成绩表的可约性作出了判断,这也满足了因为残缺而提出的要求（4）.下面继续讨论其余四个要求三、对手的强弱对自己名次的影响排名向量满足~max A w w λ=,即~1max1,1,2,,.ni ijjj w a w i n λ===∑…如果i T 对k T 成绩不残缺,则~0ik ik a a =>,固定ik a ,令k w 变大,则~ik k a w 就会变大,从而引起i w 变大.这实际上是排名结果对每场比赛权重的反馈影响.这样的话,若i T 对k T 战线固定,i T 排名靠前,k T 也会因此受益.这就满足了要求（3）.四、模型稳定性的分析不加证明地引用下面定理（[1]103页）.定理 则A 为n n ⨯复矩阵,1λ是A 的单特征根,B 是n n ⨯矩阵,则一定可以从A+e B （其中|ε|足够小）的特征根中找到一个特征根~λ满足~1()O λλε=+. 由名词的约定6中解释~A 的最大特征根是单的,由上述定理可知,只要判断矩阵的变动微小,主特征根的变动是微小的,进一步容易证明线性方程组~max (A )0E w λ-=的满足111n i w ==∑的解的变动是微小的,即主特征向量的变动是微小的,排名是稳定的,满足了要求（2）.五、关于可依赖程度的分析很明显本模型是容忍不一致现象的,即满足要求（6）.当A 是一个残缺的不一致矩阵时,由它得到的排名向量设为w ,由名词约定（1）我们认为这既是真实实力向量,令1,,1,,./ijij i j a i j n w w δ=-=…（3.5） 则由（2.2）式可知/1i j w w ≥时,2/~N(0,).//ij i jij ij i j i j a w w w w w w σδ-= （3.6）为计算方便,我们进一步假定/1i j w w ≥时,22/iji jw w σσ=为常数, （3.7）令 22/1/100,i j i j ij ij ij ij w w w w a a i j h δδ>>≠≠>=+∑∑. （3.8）则h 可看作A 的前后矛盾程度,再由（3.6）,（3.7）可知22/~r h x σ, （3.9）其中 1(1)22n i i m n n r --=-∑, （3.10） i m 为第i 行零的个数.那么对某个固定0A ,可以通过（3.10）求出0r ,通过（3.8）求出0h ,设随机变量022/~r h x σ,则查2x 表可得到022()h ha P σσ=>（3.11） 称a 为0A 的可依赖程度.则一个判断矩阵0A 的可依赖程度为a 就表示,如果与0A 相同的几个队在同样的比赛程序（队编号相同,残缺元素相同）下踢大量赛季的比赛（假定各队水平不长进）,判断矩阵为0A 的这次的前后矛盾程度0h 比大约a ⨯100%的赛季的比赛前后矛盾程度h 要小.2σ的值可以用统计的方法估出,在本模型中我们只是简单地取2σ=12.a 临界值的确定可以很灵活地由比赛组织者决定,也可以通过大量好的和坏的比赛成绩比较给出一个值.这样,我们的模型就满足了要求（7）.§4 模型运行结果的分析我们在计算机上实现了上述模型,并对表1中的数据进行了排名,结果是令人满意的,运算时间小于1秒,得到的结果是：排名顺序（由强到弱）：731921081265114,,,,,,,,,,,.T T T T T T T T T T T T数据可依赖程度为65%；7T 踢了9场比赛,全部获胜,4T 踢了9场比赛全部输掉,所以7T 第一而4T 最末是显然的.下面考虑一对水平接近的队3T 和1T .在3T ,1T 与其它队的比赛中,只有945,,T T T 的比赛中,1T 成绩比3T 稍好,而在与其余6个队的比赛中,3T 成绩都优于1T ,而且在3T 与1T 比赛时3T 在净胜球方面占了上风,因此将3T 排在1T 前面是合适的.数据可依赖程度为65%说明表1中所给数据还是不错的,当然优于算法中取2σ=12是先验的,这个指标暂时还不是准确的.模型有缺点及改进方向通过与现行的一些排名方法比较,上述模型的优势是很明显的；1）它存在反馈机制,并且具有稳定性,保证了排名的公平和令人信服；2）能较准确地处理残缺,不一致等性质差的数据,对比赛程序没有严格的要求；3）灵活机动,这包括了它提供了对比赛成绩表进行取舍的参考指标,以及它适合任意N 个队任何对抗型比赛的排名；4）满足保序性.模型主要的一个缺点就是算法复杂,必须用到计算机,而且对指导教练制定战略造成了困难,这是无法改进的,但这同时也使球队的战术水平在比赛中的地位上升,有利于刺激竞争.另外我们还基于另一种思路建立了一个便于手算的模型,优于算法简单,效果没有本模型好,本文中省略.在从成绩表构造判断矩阵时用到的方法也不是最好的,它只是为了简单和较合乎常识,这一步在整个模型里引入的误差最大.稍微复杂一点的方法是根据成绩通过查表或专家咨询获得实力对比的值.另外一个不足之处是在某些残缺元素过多的情况下排名的稳定性和可靠性较低,而可依赖程度这个指标并没有考虑这些情况.如比较下面两个判断矩阵,它们的差别就不大.11102110000112011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与11021100001110112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 但排名结果分别为4321,,,T T T T 和2134,,,T T T T 结构变化很大.这种情况可以也只能对比赛程序作一些要求,以避免这种几乎可约的情形,本模型并没有作这种工作.还有就是像§4所说的,可依赖程度的计算中取2σ=12是没有多少道理的,这可以通过用统计的方法估出2σ来解决.不基于本模型的不足,模型的改进余地也是很大的.它只使用了层次分析法中单一准则一个层次的排序方法,可以考虑使用多个准则和递阶层次,比如将净胜局数,净胜球数,射门次数,犯规次数作为四个准则,两个层次.甚至能将观众反应等许多细小因素考虑在内,使排名更加反应球队实力.参考文献[1]王莲芬,许树柏,层次分析法引论,中国人民大学出版社,北京,1990。
足球问题数学模型
足球排名问题数学模型及解决方法电信——王熙水电——赵礼曦、张宇一、模型的建立通常，在足球循环比赛中，排名规则为：a、积分高者排名靠前；b、小组中总净胜球高者排名靠前；c、小组中总进球数高者排名靠前。
如果按照以上规则仍有两支或两支以上的球队并列，则按以下顺序依次比较以确定排名先后：d、比较并列几队之间相互比赛的得分高低。
如果仍然相等，则：e、比较并列的几队之间相互比赛的净胜球多少。
如果仍然相等，则f、比较并列的几队之间相互比赛的进球数多少。
如果仍然相等，则：g、抽签。
根据题意和足球比赛常识可知，该问题是半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题，我们主要利用层次分析法对此做出决策。
由上面的分析，可以认为相关的2项条件：平均每场积分，平均每场净球数在解决这一问题中所起的作用不同，应有轻重缓急之分，因此，假设2项条件所起的作用依次为平均每场积分，平均每场净球数。
这样能够符合大多数球队的利益。
任何一种条件的优越，在排序中都不能是绝对的优越，需要的是综合实力的优越。
他们之间的关系如下图所示：二、基本假设与符号说明基本假设（1）参赛各队存在客观的真实实力（见名词约定1），这是任何一种排名算法的基础；（2）在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比是以它们的真实实力对比为中心的互相对立的正态分布。
这条假设保证了我们可以以比赛成绩为依据对球队的真实实力进行排名；（3）有的队伍没有两两相互比赛，从而出现数据残缺项，对此所建立的模型具有包容性。
名词约定1、 称w =(12,,,n w w w …)为真实实力向量,如果i w 的大小表现了i T 的实力强弱．当i w 的大小表现了i T 在比赛中出色程度时,称w 为排名向量．由假设（2）,两者应是近似相同的,以后就把它们当成同一个．符号说明O————————表示层次模型中的目标层；C K (k=1,2)—————分别表示准则层中的2个准则： 平均每场积分、平均每场净胜球数 (1,2,12)i P i ——分别表示方案层中的12支球队；M ————————表示准则层对目标层的判断矩阵；k B （k=1,2）———表示方案层对准则k C 的比较矩阵；d(i,j)-------Pi 队和Pj 队比赛场数；Nij------------------Pi 与Pj 赛场中，Pi 队净胜球数（进球数减输球数）； m i (i=1,2,···，12)——表示准则层中12支球队分别平局的总场数n i （i=1,2，···，12）——表示准则层中12支球队分别比赛胜出的总场数h i (i=1,2,···，12)——表示准则层中12支球队分别参加比赛的总场数φi (i=1,2,···，12)——表示准则层中12支球队分别参加比赛的总积分γi (i=1,2,···，12)——表示准则层中12支球队分别参加比赛的平均每场积分j ————————表示方案层中12支队伍分别比赛的净胜场数Wi(i=1,2)————————表示准则层对目标层的权重；Q ————————表示方案层对准则层的权重；W ————————表示方案层对目标层的组合权重；三、模型的推导层次模型确定以后，决策者需要对同一层元素对于有隶属关系的某一上层元素的相对重要性给出主观判断，这一判断是通过对这些元素进行两两比较构造判用1~9的标度反映了大部分人的判断能力。
数学建模-足球队排名
足球队排名摘要本论文针对足球的排名问题设计一个依据各队的成绩排出各队的名次的模型。
对于这个足球队排名问题，我们采用竞赛图法和层次分析法这两种方法给出足球队的排名顺序。
用竞赛图法我们应该先建立竞赛图，以n个队，T1,T2,T3….Tn为竞赛图的G的顶点集建立竞赛图G的边集就可以算出各队的排名顺序。
这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序，所建立的模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象，本模型比较完满的解决了足球队排名出问题，而且经过简单的修改，他可适用于任何一种对抗赛的排名。
关键词：竞赛图、邻接矩阵、最大特征值、特征向量一、提出问题附表给出的是我国12支球队字1988~1989年全国甲级联赛中的成绩，要求建立数学模型，对各队进行排名次。
排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队正是实力状况的一个顺序，所以说一个好的排名算法应满足下面的一些基本要求：（1）保序性：我们认为各队的真实实力水平在成绩表中反映出来，所以根据排名的目的，我们要求排名顺序与成绩表所反映的各队的真实水平是一致的。
（2）稳定性:成绩表中校的变动不会对排名造成巨大的影响。
（3）能够处理不同场次的权重：应为不同比赛在排名中的地位不同，往往会出现有的对不信遇到较强的对而输掉，避免由于对手的强弱不同造成的不公平（4）能够准确的进行补残：两个队之间没有打比赛，我们只为成绩表残缺，对于两队成绩的残缺，只能通过他们同其他队的比赛成绩判断他们实力的大小。
（5）能够判断成绩表的可约性。
（6）容忍不一致现象（7）对数据可依赖程度给出较为精确的描述。
二、问题的重述下表给出了我国12 只足球队在1988—1989 年全国足球甲级联赛中的成绩要求（见附表一）1) 设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法并给出用该算法排名次的结果2) 把算法推广到任意N 个队的情况3) 讨论数据应具备什么样的条件用你的方法才能够排出诸队的名次对下表的说明1) 12 支球队依次记作 T1,T2,··· T122) 符号 X 表示两队未曾比赛3) 数字表示两队比赛结果如T3行与T8列交叉处的数字表示T3与T8比赛了2 场T1 与T2 的进球数之比为 0：1 和 3 ：1五、模型的建立和求解方法一、竞赛图法（问题一）、设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法并给出用该算法排名次的结果根据问题的假设和比赛成绩表，我们构造竞赛图如下：以n个参赛队T1,T2,T3,…,Tn为竞赛图G 的顶点，G的边集按如下算法求得：i从1到n循环，j从1到n循环。
足球队排名问题的解决方法
足球队排名问题的解决方法摘要本文利用层次分析法和竞赛图法建立了不同的解决排名问题的数学模型。
在层次分析法中，我们根据各队成绩推算出他们的实力对比情况，并据此构建了判断矩阵，并判断其可约性，在不可约的情况下进行排名；构造判断矩阵的辅助矩阵,通过计算其主特征根、主特征向量，得出排名情况；文中可以看出此模型充分考虑了排名结果对各场比赛的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象。
文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队在发挥水平上小的波动不会对排名顺序造成大的变动，并证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序。
在竞赛图法中我们参考了国际足联联赛积分制度的规定胜一场积3分，平一场积1分负一场积0分的积分制度来考虑两队的水平对比，认为净胜球对球队的实力影响小于胜负平局对实力影响。
这两个模型较好的解决了足球队的排名问题，而且经过简单修改可以应用于很多对抗型比赛的排名关键字：层次分析法图论法可约性一致性稳定性1.问题的背景及提出在一些小型的足球比赛中，各队名次排列往往比较简单，因为其涉及的比赛团队较少，数据不复杂。
而在一些大型比赛中影响因素很多，比如有的球队间没有直接的比赛，有的球队会超水平发挥或失误，主场优势等。
基于这些因素的影响，人们往往会对比赛结果产生质疑。
为了解除人们的疑惑，我们必须提出可以克服上述诸多不确定因素的影响，使得排名结果能准确的反映球队的真实实力。
2.问题分析排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队的真实实力状况的一个顺序，所以说一个好的排名算法应满足下面的一些基本要求：（1）保序性：我们认为各队的真实实力水平在成绩表中反映出来，所以根据排名的目的，我们要求排名顺序与成绩表所反映的各队的真实水平是一致的。
也就是说,如果a比b表现出色,a的名次就应排在b前面．但a比b 出色不能只是由a对b这一场比赛所决定,必须参考a,b相对于其他队的成绩,像a平c,c胜d,d平b这组比赛对a,b的相对表现是有影响的。
足球队排名
B ：足球队排名次摘要本题给出了12支球队间相互比赛的比分，要求我们根据数据给这12支球队排出名次及排出名次所需要的条件，并推广到任意N 只球队排名次。
对此我们分别用积分、竞赛图和层次分析法分别建立了三种数学模型。
在运用积分法对数据进行分析时，得到各队所得总积分与平均积分，并根据平均积分排出12支队伍的名次为：7P 1P 3P 9P 2P 10P 8P 6P 5P 12P11P 4P 当用竞赛图进行分析时，我们自定义了一种积分制度：两队之间进行比赛，不考虑比赛两队的实力，总成绩胜的积3分，打平的积1分，负的或者未进行比赛的积0分。
用这种积分制度来考虑两队的水平对比，写出得分矩阵，运用Matlab 软件求出12支队伍的名次为：7P 3P 9P 8P 12P 2P 10P 5P 1P 11P 6P 4P用层次分析法进行分析时，根据问题中各因素的因果关系将其分为三层，即目标层、准则层和方案层。
由准则层与目标层、方案层与准则层、准则层与目标层之间的关系，分别建立建立准则层对目标层、方案层对准则层、准则层对目标层的判断矩阵，并对判断矩阵的一致性进行检验，得出的一致性指标10.0<CI ,可靠度较高。
因此，得出12支球队的排名结果为：7P 3P 1P 2P 8P 10P 9P 5P 12P 6P 11P4P 由于本问题中的比较矩阵均为一致阵，因此可将模型3的算法推广到N 个球队的排名算法中。
关键词：积分 竞赛图 层次分析法一、问题重述本题给出了12支球队间相互比赛的比分，要求我们设计能依据所给数据给12只球队排名的算法，并推广到N个球队，同时给出当我们算法成立时数据所说明：（1）12支球队依次记作T1,T2, (12)（2）符号X表示两队未曾比赛。
（3）数字表示两队比赛结果，如T3行与T8行交叉处的数字表示：T3与T8比赛了2场；T3与T8的进球数之比为0：1和3：1.二、符号说明O 表示层次模型中的目标层；1C 表示准则层中场均积分； 2C 表示准则层中场均净胜球数；3C 表示推测层中场均进球数；)12,,2,1=( i P i 分别表示方案层中的12支球队；A 表示准则层对目标层的判断矩阵；)3,2,1=(k B k 分别表示方案层对准则层的比较矩阵； 1W 表示准则层对目标层的权重； 2W 表示方案层对准则层的权重；W 表示方案层对目标层的组合权重；三、模型假设(1)比赛的结果是可以精确反映相对实力的。
足球队排名问题
wi > 0
3.模型的设计与算法 本模型的主要部分是一个算法,模型的输入是一张成绩表,输出是 关于是否可约的判断、数据可依赖程度和排名次的结果. 算法 (一)根据比赛成绩表构造判断矩阵A. i从1到n,j从1到n循环. (1)若Ti与Tj互胜场次相等,则
①净胜球时令 aij = a ji = 1 (2)若Ti净胜Tjk场且k>0,则 ① b = 2k ,1 ≤ k ≤ 4 ij 9, k > 4
1.排名的合理性和保序性要求 当成绩矩阵A为一致矩阵时,由层次分析法的原理知,求排名向量 就是求A的主特征向量. 当成绩矩阵A为不一致矩阵时,令
A =
1≤ i , j ≤ n n
∑
aij
wi = ∑ aij / A , 1 ≤ i ≤ n
i =1
由于 wi 是A的第i列元素(即Ti与其他队的表面实力对比)的和被 除,可以猜测它给出了Ti的排序权重.
d ij = wi / w j 时，我们认为补残是准确的。如果令
aij , aij ≠ 0 cij = wi / w j , aij = 0
aij , aij ≠ 0, i ≠ j aij = 0, aij = 0, i ≠ j mi + 1, i = j , mi是A的第i行0的个数
则有下面的命题成立： 命题： CW = λW 等价于 A W = λW 由此可知，C的最大特征根也是 A 的主特征根，C的主特征向量也 是A的主特征向量。这样,我们只需要解 AW 算法(三),(四)步骤的工作 3.对手的强弱对自己名次的影响 排名向量满足
其次是前后比赛成绩矛盾,比如说胜,胜,平,称这种情况为数据不一致. 如果不一致情况过于严重,说明比赛偶然因素太大,数据的可依赖程 度太低,应该考虑放弃比赛成绩.所以排名算法还应满足(6),(7). 3.模型设计及其算法 (1)基本假设名词约定 假设1: 参赛各队存在客观的真实实力.这是任何一种排名算法的基础. 假设2: 在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比,是以它 们的真实实力对比为中心的互相独立的正态分布. 这条假设保证了我们可以以比赛成绩为依据对球队的真实实力进 行排名,另外它在很大程度上反映了球队水平发挥的不稳定性. (2)名词约定 1)称W=(w1,w2,…,wn)为真实实力向量,如果wi的大小表现了Ti的实力 强弱,当wi的大小表现了Ti在比赛中出色程度时,称W为排名向量.由假 设2,两者应该是近似相同的,以后就把它们当成同一个.
足球队排名
足球队排名次问题摘要本文利用层次分析法和Pagerank 模型相结合建立了解决排名问题的数学模型。
用层次分析法进行分析时，根据问题中各因素的因果关系将其分为三层，即目标层、准则层和方案层。
由准则层与目标层、方案层与准则层、准则层与目标层之间的关系，分别建立建立准则层对目标层、方案层对准则层、准则层对目标层的判断矩阵，并对判断矩阵的一致性进行检验，得出的一致性指标10.0<CI ,可靠度较高。
我们可以综合考虑各队的比赛成绩为每支球队计算相应的权重后，考虑给定球队所战胜和战平的球队的数量以及被战胜或战平的球队的实力，具体来说，确定某支的等级分的依据应为：一是看它战胜和战平了多少支球队；二是要看它所战胜或战平球队的等级分的高低。
三是考虑即强队因为不确定因素输掉给任意一支球队的概率。
这三条就是我们确定排名的基本原理。
因此，得出12支球队的排名结果如下：表格1 12支球队排名结果d 取值范围 球队排名d =13T ,7T ,1T ,2T ,10T ,8T ,9T ,4T ,5T ,12T ,6T ,11T 0.9<d <0.95 3T ,7T ,1T ,2T ,10T ,8T ,9T ,4T ,12T ,5T ,6T ,11T0.45<d <0.953T ,7T ,1T ,2T ,10T ,9T ,8T ,4T ,12T ,5T ,6T ,11T d =0.43T ,7T ,1T ,2T ,8T ,9T ,10T ,4T ,12T ,5T ,11T ,6T其中d 是一支球队是否能够正常发挥水平的概率。
由于本问题中的比较矩阵均为一致阵，因此可将模型的算法推广到N 个球队的排名算法中。
关键词：足球队排名 层次分析法 Pagerank 模型 随机冲浪模型 概率一、问题重述本题给出了12支球队间相互比赛的比分，要求我们设计能依据所给数据给12只球队排名的算法，并推广到N个球队，同时给出当我们算法成立时数据所（2）符号X表示两队未曾比赛。
(完整word版)数学建模解决有关足球队排名问题
(完整word版)数学建模解决有关足球队排名问题摘要本论文针对足球的排名问题设计一个依据各队的成绩排出各队的名次的模型.它首先对用来排名次的数据是否充分作出判断,在能够排名次时对数据的可依赖程度作出估计，然后给出名次。
文中证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序。
文中将看到此模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象.文中还证明了模型的稳定性，这保证了各队在发挥水平上的小的波动不会对排名顺序造成大的变动。
对于这个足球队排名问题，我们采用竞赛图法和层次分析法这两种方法给出足球队的排名顺序。
用竞赛图法我们应该先建立竞赛图，以n个队，T1，T2，T3…。
Tn为竞赛图的G的顶点集建立竞赛图G的边集就可以算出各队的排名顺序。
这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序，所建立的模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象，本模型比较完满的解决了足球队排名出问题,而且经过简单的修改，他可适用于任何一种对抗赛的排名。
关键词:竞赛图、邻接矩阵、最大特征值、特征向量目录(完整word版)数学建模解决有关足球队排名问题一、提出问题··(3)二、问题的重述··（4）三、模型的假设··（4）四、符号说明··（5）五、模型的建立和求解··（6）六、模型的评价与推广··（11)七、参考文献··（12）足球队排名模型一、提出问题任何一项体育竞赛都必须在“公平、公正”的原则下进行，都必须有公开的竞赛规则,足球比赛也不例外，随着足球事业的发展,评分规则也不断完善，但仍有不尽如人意之处。
附表给出的是我国12支球队字1988~1989年全国甲级联赛中的成绩，要求建立数学模型，对各队进行排名次。
欧洲五大足球俱乐部的数学建模分析论
欧洲五大足球俱乐部的数学建模分析论文前言：纵观当今欧洲足坛，风起云涌，豪强并起。
巴萨皇马，称雄西甲；德甲拜仁，一枝独秀；蓝黑军团国际米兰，逐鹿意甲之天下；英超一霸切尔西，竟然也能在高手如林的欧冠赛场捧杯。
欧洲的足球水平为何如此之高？五大豪强的经验又带给了我们什么样的启示呢？这便是本文要探讨的问题。
本文引用了数学建模的思想，采用了层次分析法对欧洲五大足球俱乐部的综合实力进行理性而深入的分析。
所谓数学建模，就是对现实世界中的某一特定现象，为了某一特定的目的，做的简化假设，运用数学工具，得到一个数学结构。
而层次分析法，是建模中常用的方法之一。
通过层与层之间的对比分析，得出实际问题中的某些结论。
本文所研究的问题是关于五大足球俱乐部的综合实力排名情况。
现实的足球世界中，影响一支球队的综合能力有许多。
例如进攻能力、防守能力、球员能力、教练的执教能力、裁判的执法能力等。
这些因素都是对于一支的球队综合实力有着或多或少的影响。
但他们各自的权重并不一样，所以，如何筛选这些因素是本文分析的关键所在。
众所周知，当数学模型建立之后，还不能马上用于实际分析，必须对模型做进一步的检验。
由于本文数据分析过程较为繁琐，所以检验部分并非人工完成，而是运用电脑软件R来完成的。
采用了Satty的检验方法对模型进行分析，使模型分析的可信度大大提高。
关键词：数学模型、层次分析法、欧洲足球一、数学建模的基本过程：如下图所示图1：数学建模基本流程图层次分析法把人的思维层次化、数量化, 并用数学为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。
这一方法的特点是在对复杂决策问题的本质、影响因素以及内在关系等进行深入分析之后, 构建一个层次结构模型, 然后利用较少的定量信息, 把决策的思维过程数学化, 从而为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供一种简便的决策方法 , 尤其适合于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。
二、问题重述本文将对欧洲五大足球俱乐部（巴塞罗那、皇家马德里、国际米兰、切尔西、拜仁慕尼黑）的综合实力进行分析。
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摘要本论文针对足球的排名问题设计一个依据各队的成绩排出各队的名次的模型。
它首先对用来排名次的数据是否充分作出判断,在能够排名次时对数据的可依赖程度作出估计,然后给出名次。
文中证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序。
文中将看到此模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象。
文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队在发挥水平上的小的波动不会对排名顺序造成大的变动。
对于这个足球队排名问题，我们采用竞赛图法和层次分析法这两种方法给出足球队的排名顺序。
用竞赛图法我们应该先建立竞赛图，以n个队，T1,T2,T3….Tn为竞赛图的G的顶点集建立竞赛图G的边集就可以算出各队的排名顺序。
这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序，所建立的模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象，本模型比较完满的解决了足球队排名出问题，而且经过简单的修改，他可适用于任何一种对抗赛的排名。
关键词：竞赛图、邻接矩阵、最大特征值、特征向量目录一、提出问题 (3)二、问题的重述 (4)三、模型的假设 (4)四、符号说明 (5)五、模型的建立和求解 (6)六、模型的评价与推广 (11)七、参考文献 (12)足球队排名模型一、提出问题任何一项体育竞赛都必须在“公平、公正”的原则下进行，都必须有公开的竞赛规则，足球比赛也不例外，随着足球事业的发展，评分规则也不断完善，但仍有不尽如人意之处。
附表给出的是我国12支球队字1988~1989年全国甲级联赛中的成绩，要求建立数学模型，对各队进行排名次。
排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队正是实力状况的一个顺序，所以说一个好的排名算法应满足下面的一些基本要求：（1）保序性：我们认为各队的真实实力水平在成绩表中反映出来，所以根据排名的目的，我们要求排名顺序与成绩表所反映的各队的真实水平是一致的。
（2）稳定性:成绩表中校的变动不会对排名造成巨大的影响。
（3）能够处理不同场次的权重：应为不同比赛在排名中的地位不同，往往会出现有的对不信遇到较强的对而输掉，避免由于对手的强弱不同造成的不公平（4）能够准确的进行补残：两个队之间没有打比赛，我们只为成绩表残缺，对于两队成绩的残缺，只能通过他们同其他队的比赛成绩判断他们实力的大小。
（5）能够判断成绩表的可约性。
（6）容忍不一致现象（7）对数据可依赖程度给出较为精确的描述。
二、问题的重述下表给出了我国12 只足球队在1988—1989 年全国足球甲级联赛中的成绩要求（见附表一）1) 设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法并给出用该算法排名次的结果2) 把算法推广到任意N 个队的情况3) 讨论数据应具备什么样的条件用你的方法才能够排出诸队的名次对下表的说明1) 12 支球队依次记作 T1,T2,··· T122) 符号 X 表示两队未曾比赛3) 数字表示两队比赛结果如T3行与T8列交叉处的数字表示T3与T8比赛了2 场T1 与T2 的进球数之比为 0：1 和 3 ：1三、模型的假设（1）一对排在另一对之前，不能只考虑这两队的成绩，而应充分考虑这两对所有比赛场次的战绩。
（2）要充分考虑对手的强弱因素，减少球队发挥水平不正常而带来的影响，避免强队偶然输给弱队带来名次的大落，又应考虑弱队超水平发挥后名次的上升。
（3）如果两队之间由于种种原因，没有比赛或者双方打成平局，就有其他队的战绩确定这两队的强弱。
（4）参赛各队存在客观的真实实力，这是任何一种排名算法的基础。
（5）在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面真实实力对比是以他们真实实力对比为中心的互相独立的真态分布。
五、模型的建立和求解方法一、竞赛图法（问题一）、设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法并给出用该算法排名次的结果根据问题的假设和比赛成绩表，我们构造竞赛图如下：以n个参赛队T1,T2,T3,…,Tn为竞赛图G 的顶点，G的边集按如下算法求得：i从1到n循环，j从1到n循环。
若Ti胜Tj的场次多，则以Ti为尾Tj为头，作边（Ti，Tj）；若Tj胜Ti的场次多，则建边（Tj，Ti），若两队之间胜的场次相同，则以两队比赛进球多的一队为尾，另一头为头建边，否则不建边。
若两队之间没有比赛则不建边。
根据建边情况，可建立矩阵A=aij如下：1）aii=0；2）当i≠j时，若Ti，Tj建边，则取aij=1，aji=0；若Ti，Tj之间未建边，则aij、aji不计数则建立A的矩阵如下表所示：T 1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12T10 0 1 1 1 0 0 1T20 0 1 1 1 0T31 1 0 1 1 1 0 1 1T40 0 0 0 0 0 0 0 0 0T50 0 1 0 0 0T60 0 0 1 1 0T71 1 1 0 1 1 1 1 1T81 0 1 0 0 1T90 0 1 0 0 1 1 1T101 0 1 0 0 0 1 1T110 0 0 0 0 0T121 0 0 0 1 0(2)、对i从1到n计分，其计算得分量为ai，然后再计算其二级的分量ai（2）其计算结果如下：一级得分向量：（a1，a2, a3, a4，a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12）=(4,3,7,0,1,2,8,3,4,4,0,2) 二级得分向量：（a(2)1，a(2)2, a(2)3, a(2)4，a(2)5, a(2)6, a(2)7, a(2)8, a(2)9,a(2)10, a(2)11, a(2)12）=(7,6,17,0,0,1,24,4,6,5,0,1)三级得分向量：（a（3）1,a（3）2,a（3）3, a（3）4，a（3）5, a（3）6, a（3）7, a（3）8, a（3）9, a（3）10, a（3）11, a（3）12）= (7,7,23,0,0,0,40,7,12,7,0,1)(3)、i从1到n循环，j从1 到n循环。
如果Ti 与Tj之间没有边连接，则比较ai与aj，如果ai>aj则建立（Ti ，Tj），如果ai<aj，则建立边（Tj，Ti）。
如果ai=aj，在比较a（2）i 与a（2）j，以数值大的对队为尾建边，否则Ti与Tj两队随机决定胜负并建边，从而得邻接矩阵，根据上述所示，可以得到下面的情况：1、Ti 与Tj之间建边1)、aii=0；2)、当i≠j时，若Ti，Tj建边，则取aij=1，aji=03，Ti与Tj之间为建边1）a i>a j，a ij=1；2）a i<a j，a ji=0；3）a（2）i>a（2）j，a ij=1；4）a（2）i<a（2）j，a ij=0；5）a（2）i<a（2）j,随机决定a ij=1或a ij=0 如下所示：T 1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12T10 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1T20 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1T31 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1T40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0T50 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0T60 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1T71 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1T81 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1T90 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1T100 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1T110 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0T120 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0（4）经过邻接矩阵可以得到8个竞赛图G1,G2,G3,G4,G5,G6,G7,G8如下图所示：对G3求得其邻接矩阵为下图所示：T1T2T8T9T10T10 1 0 1 1T20 0 1 1 0T81 0 0 0 0T90 0 1 0 1T100 1 1 0 0 用matlab算出这个邻接矩阵的最大特征值和相应的特征向量考虑到一级和二级的得分向量，其排名顺序为：由强到弱T 7,T3,T1,T9,T10,T2,T8,T6,T12,T11,T5,T4这种排法是合理的，首先T7踢了9场比赛，8胜1平，T4踢了9场比赛，全部输掉。
所以T7排第一。
T4排最末是合理的，对T3与T1两队，他们在其他比赛中，只有与T9,T4,T5的比赛中，T1比T3稍好些，而在其余6个对的比赛中，T3的成绩都由于T1，而且在T3与T1的比赛时，在净胜球方面占了上风，因此将T3排在T1前面是合适的。
方法二、层次分析法（问题二）、把算法推广到任意N 个队的情况（一）模型的设计1)我们用wi 表现Ti对的实力的强弱，则用 w=（w1，w2，w3，…wn）为真实实力的向量，有假设可知，他也为排名的向量。
2）我们用aij 表示Ti对Tj这场比赛中，Ti对Tj的相对强弱程度，当成绩残缺是我们约定aij=0，显然有：（i）aij ≥0 （ii）aji=1/aij（iii）aii=1矩阵A=（aij ）n*n成为比赛成绩的判断矩阵；3）称判断矩阵A是一致，若对任意的1≤i，k，j≤n满足a ij *ajk=aik，则A 一致存在w，使得 A=(wi/wj)n*n称A的最大特征根§max 为主特征根，对应于§max的主特征向量w称为主特征向量，且wi>04）构造判断矩阵Ai从1到n循环，j从1 到n循环。
(1)若Ti 与Tj互胜场次相等，则（i）净胜球为0时，令aij = aji=1；（ii）Ti 净胜球多时以Ti净胜Tj一场做后续处理。
（2）若Ti 净胜Tjk场且k>0，则(i)bij=2k(1≤k≤4);(ii)mij =Ti胜Tj平均每场净胜球数；D ij =1（mij>2）,dij=0(0≤mij≤2),dij=-1(mij<0)(iii)aij =bij+dij,aji=1/aij(2)若Ti 与Tj无比赛成绩，则aij=aji=0则根据以上规则，可建立如下的判断矩阵A5)检测A的可约性，如果可约则输出可约信息后退出。
6）构造辅助矩阵Bi 从1到n 循环，j 从1 到n 循环b ij =a ij (i ≠j 且a ij ≠0)； b ij =m i +1 （i=j ，其中m i 为A 的第i计算B 的主特征根§max 主特征向量w1 利用“和法”计算，（1） 将A 的每一列向量归一化得（2）对按行求和得(3)将归一化得即为近视特征向量，（4）计算， 作为最大特征根的近似值。
7）按w 的各分量由大到小的顺序对参赛各队排名次六、模型的评价与推广通过与现行的一些比较，用竞赛图法求出排名的结果，是比较简单的，但要将其推广到n的对来进行排名，是比较麻烦的，主要是在计算机上运行的结果不太明确，虽然用matlab能够将其最大特征值和特征向量算来，但结果太长，且不容易比较。