数学建模解决有关足球队排名问题
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摘要
本论文针对足球的排名问题设计一个依据各队的成绩排出各队的名次的模型。它首先对用来排名次的数据是否充分作出判断,在能够排名次时对数据的可依赖程度作出估计,然后给出名次。文中证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序。文中将看到此模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象。文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队在发挥水平上的小的波动不会对排名顺序造成大的变动。
对于这个足球队排名问题，我们采用竞赛图法和层次分析法这两种方法给出足球队的排名顺序。用竞赛图法我们应该先建立竞赛图，以n个队，T1,T2,T3….Tn为竞赛图的G的顶点集建立竞赛图G的边集就可以算出各队的排名顺序。这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序，所建立的模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象，本模型比较完满的解决了足球队排名出问题，而且经过简单的修改，他可适用于任何一种对抗赛的排名。
关键词：竞赛图、邻接矩阵、最大特征值、特征向量
目录
一、提出问题 (3)
二、问题的重述 (4)
三、模型的假设 (4)
四、符号说明 (5)
五、模型的建立和求解 (6)
六、模型的评价与推广 (11)
七、参考文献 (12)
足球队排名模型
一、提出问题
任何一项体育竞赛都必须在“公平、公正”的原则下进行，都必须有公开的竞赛规则，足球比赛也不例外，随着足球事业的发展，评分规则也不断完善，但仍有不尽如人意之处。
附表给出的是我国12支球队字1988~1989年全国甲级联赛中的成绩，要求建立数学模型，对各队进行排名次。排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队正是实力状况的一个顺序，所以说一个好的排名算法应满足下面的一些基本要求：
（1）保序性：我们认为各队的真实实力水平在成绩表中反映出来，所以根据排名的目的，我们要求排名顺序与成绩表所
反映的各队的真实水平是一致的。
（2）稳定性:成绩表中校的变动不会对排名造成巨大的影响。（3）能够处理不同场次的权重：应为不同比赛在排名中的地位不同，往往会出现有的对不信遇到较强的对而输掉，避免
由于对手的强弱不同造成的不公平
（4）能够准确的进行补残：两个队之间没有打比赛，我们只为成绩表残缺，对于两队成绩的残缺，只能通过他们同其他
队的比赛成绩判断他们实力的大小。
（5）能够判断成绩表的可约性。
（6）容忍不一致现象
（7）对数据可依赖程度给出较为精确的描述。
二、问题的重述
下表给出了我国12 只足球队在1988—1989 年全国足球甲级联赛中的成绩要求（见附表一）
1) 设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法并给出用该算法排名次的结果
2) 把算法推广到任意N 个队的情况
3) 讨论数据应具备什么样的条件用你的方法才能够排出诸队的名次
对下表的说明
1) 12 支球队依次记作 T1,T2,··· T12
2) 符号 X 表示两队未曾比赛
3) 数字表示两队比赛结果如T
3行与T
8
列交叉处的数字表示T
3
与T
8
比赛
了2 场T1 与T2 的进球数之比为 0：1 和 3 ：1
三、模型的假设
（1）一对排在另一对之前，不能只考虑这两队的成绩，而应充分考虑这两对所有比赛场次的战绩。
（2）要充分考虑对手的强弱因素，减少球队发挥水平不正常而带来的影响，避免强队偶然输给弱队带来名次的大落，又
应考虑弱队超水平发挥后名次的上升。
（3）如果两队之间由于种种原因，没有比赛或者双方打成平局，就有其他队的战绩确定这两队的强弱。
（4）参赛各队存在客观的真实实力，这是任何一种排名算法的基础。
（5）在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面真实实力对比是以他们真实实力对比为中心的互相独立的真态分布。
五、模型的建立和求解
方法一、竞赛图法
（问题一）、设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法并给出用该算法排名次的结果
根据问题的假设和比赛成绩表，我们构造竞赛图如下：
以n个参赛队T
1,T
2
,T
3
,…,T
n
为竞赛图G 的顶点，G的边集按如
下算法求得：
i从1到n循环，j从1到n循环。
若Ti胜Tj的场次多，则以Ti为尾Tj为头，作边（Ti，Tj）；若Tj胜Ti的场次多，则建边（Tj，Ti），若两队之间胜的场次相同，则以两队比赛进球多的一队为尾，另一头为头建边，否则不建边。若两队之间没有比赛则不建边。
根据建边情况，可建立矩阵A=a
ij
如下：
1）a
ii
=0；
2）当i≠j时，若T
i，T
j
建边，则取a
ij
=1，a
ji
=0；
若T
i，T
j
之间未建边，则a
ij、
a
ji
不计数
则建立A的矩阵如下表所示：
T 1T
2
T
3
T
4
T
5
T
6
T
7
T
8
T
9
T
10
T
11
T
12
T
1
0 0 1 1 1 0 0 1
T
2
0 0 1 1 1 0
T
3
1 1 0 1 1 1 0 1 1
T
4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T
5
0 0 1 0 0 0
T
6
0 0 0 1 1 0
T
7
1 1 1 0 1 1 1 1 1
T
8
1 0 1 0 0 1
T
9
0 0 1 0 0 1 1 1
T
10
1 0 1 0 0 0 1 1
T
11
0 0 0 0 0 0
T
12
1 0 0 0 1 0
(2)、对i从1到n计分，其计算得分量为a
i，
然后再计算其二级
的分量a
i
（2）其计算结果如下：
一级得分向量：
（a
1，a
2
, a
3
, a
4
，a
5
, a
6
, a
7
, a
8
, a
9
, a
10
, a
11
, a
12
）
=(4,3,7,0,1,2,8,3,4,4,0,2) 二级得分向量：
（a(2)
1，a(2)
2
, a(2)
3
, a(2)
4
，a(2)
5
, a(2)
6
, a(2)
7
, a(2)
8
, a(2)
9
,
a(2)
10, a(2)
11
, a(2)
12
）=(7,6,17,0,0,1,24,4,6,5,0,1)