酒后血液中酒精含量分析模型

摘要：本文使用简单的微分方程组模型，对人们饮酒后人体血液中的酒精含量进行了分析。

首先，针对酒精在消化系统和血液系统中的吸收、分解和排除规律，建立了关于消化系统和血液中的酒精含量的微分方程模型（模型一），求出了血液中酒精含量的解析解 )()()(211212t k t k e e k k V mk t c ----=β，并利用题目给出的参考数据，针对不同的啤酒瓶规格，使用非线性最小二乘法得到模型中的参数9129.21=k 和1380.02=k ；然后，针对不同的饮酒方式建立了三个不同的描述消化系统和血液中的酒精含量的模型（模型二，模型三、模型四），模型二 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=+=-=-=---)()()(2111211212122112111T k T k T k e e k k m k T x e m m T x xk x k dt dx x k dt dx ββ模型三 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=0)0(,0)0(2122112111x x x k x k dt dxx k J dt dx β模型四 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=T T x T x x T x x k x k dt dxx k J dt dx 221122112111)(,)(β利用这些模型对大李的困惑，给出了合理、准确的解释，并分别求出了快速和慢速喝3瓶啤酒和半斤38度白酒后不能驾车的准确时间分别为13.7, 16.2,14.8,17.3小时；在模型应用3中详细分析了饮酒后血液中酒精含量的峰值问题，得到了几个十分重要的结论：定理1：摄入同样容量酒精的前提下，瞬间喝酒比均匀喝酒酒精含量降到低水平的时间更短。

定理2：饮酒后人体血液中的酒精含量曲线为单峰曲线，即只有一个极大值； 推论1：瞬间喝酒时，达到酒精含量最大值的时间与酒精摄入量无关，只与比例常数21k k 和有关，且时间为2121ln ln *k k k k t --=；推论2：慢速喝酒时,达到酒精含量最大值的时间与酒精摄入量无关,只与比例常数21k k 和及饮酒持续时间τ有关,且时间为()()121ln 1ln *12k k e e t k k ----=ττ；最后，我们分析了周期性喝酒的，通过分析，我们得到的结果是只要适当控制饮酒量和饮酒次数，完全可以还能开车。

作为结束，我们写了一篇短文，作为对想喝酒的司机的忠告。

关键字：非线性拟合的最小二乘法、微分方程组、峰值、酒精含量一、问题的重述我国的汽车保有量只有世界的2％，道路交通事故中死亡的人数却占全世界的15％。

2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当大的比例。

不久前，中国交通部公路司司长张剑飞在全国公路安全保障座谈会上坦言：“我国如果不尽早采取行之有效的措施，道路交通事故可能会呈爆炸式增长。

”针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，到凌晨2点才驾车回家，再次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，不知道为什么喝同样多的酒，两次检查结果却会不同。

如何建立数学模型进行解释下列问题？1. 对大李碰到的情况做出解释；2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，及在以下情况下回答：1)酒是在很短时间内喝的；2)酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

参考数据1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2.体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：二、模型分析和假设白酒和啤酒中都含有适量的酒精，人们在饮酒的同时也摄入了酒精，酒精在人体内的分解主要靠体内的两种酶：乙醇托氢酶和乙醛托氢酶，前者将乙醇分解为乙醛，而后者则将乙醛分解为二氧化碳和水。

但分解是一个缓慢的过程，没有被分解的乙醛就会影响人的中枢神经系统，使人产生恶心呕吐、神志不清、昏迷不适甚至死亡等现象。

血液中酒精的含量越高，分解出的乙醛也就越多，对人的影响也就越大。

根据问题给出的参考数据，人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右，而酒精在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的，因此我们认为，酒精通过消化系统吸收后在血液循环系统中是均匀分布的。

一个体重约70kg 的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），画出图形如图1：图1 样本数据酒精含量图从图形中可以发现，一个人在短时间内（可以认为是瞬间）喝下啤酒后，血液中的酒精含量将在较短时间内达到最高值，然后逐渐降低，如果在酒精没有分解完之前再喝酒，酒精含量会在短时间内升得更高！酒精在消化系统和血液系统中的含量随时间变化，因此，我们决定用微分方程模型来分析两个系统中的酒精含量。

根据本文的需要，我们对下列概念作简单说明：酒精含量：消化系统或血液系统中的酒精总量（单位：毫克）酒精浓度：单位体积血液中的酒精含量（单位：毫克/百毫升）；酒精度：酒精在酒中所占的百分比；瞬间喝酒：在短时间内把酒喝完，喝酒时间忽略不计；喝慢酒：在指定时间内均匀喝酒。

我们提出以下合理的假设：1．在短时间内喝下若干酒，将被认为酒精在瞬间进入消化系统；2．在较长时间内喝下若干酒，将被认为酒精在该时间段内均匀进入消化系统；3．忽略人对酒精的敏感度以及对酒精的分解能力存在的个性化差异；4．不考虑酒后人的活动对酒精分解产生的影响；5．在酒精摄入和分解的过程中，人的体重、消化系统的容量、体液和血液系统的容量均不发生改变；6．不考虑血液系统到消化系统中血液的回流对酒精浓度的影响；7．人体中体液约占人体重量的65%至70%，血液含量占人体重量的7%，本文使用体液约占人体重量的65%，并不考虑个体的差异；8．酒精均匀地分布于体液和血液系统中；9．酒精从消化系统向体液的转移速率与消化系统中酒精含量成正比；10.酒精从血液系统中向体外排除以及分解的速率与血液系统中的酒精含量成正比；11.啤酒瓶的容量只有640毫升和500毫升两种规格，酒精度在3.5%至5%之间，其他规格不考虑；12.题目中的参考数据具有一定代表性三、符号说明t ：时间（单位：小时）；τ：每次喝酒的持续时间，0=τ为瞬间喝酒； T ：两次喝酒的间隔时间； α：酒精度（单位：体积/体积）； d ：酒精的比重，=d 0.8；m ：每次喝酒时酒精的摄入量；V ：人体内血液系统的容量（单位：100毫升）； M ：人的体重（单位：千克）； ρ：人体内血液的比重，一般为1.05~1.06之间，本文选用1.06；)(t J ：消化系统中的酒精摄入速率，由喝酒方式和喝酒量决定； )(1t x ：t 时刻人的消化系统中的酒精含量（单位：毫克） ； )(2t x ：t 时刻人的血液系统中的酒精含量（单位：毫克）；)(1t c ：t 时刻人的消化系统中的酒精浓度（单位：毫克/100毫升） ； )(2t c ：t 时刻人的血液系统中的酒精浓度（单位：毫克/100毫升）；1k ：酒精从消化系统向体液转移的速率与消化系统中的酒精含量的比例系数；2k ：酒精从血液系统向体外排除的速率与血液系统中酒精含量的比例系数β:人体中血液与体液质量的比值。

四、模型建立及求解酒精进入机体后由消化系统扩散到体液和血液送入到全身，在这个过程中不断地发生被吸收、分布、代谢及排泄等一系列过程，最终排出体外。

快速喝完后，浓度立即上升；然后由于吸收和分解逐渐下降。

我们将人的机体分成三个部分，即消化系统、体液和血液系统，其中血液均匀地分布在体液中。

酒精通过喝酒进入消化系统，部分经过分解化为二氧化碳和水，其他部分进入体液和血液，进入血液中的酒精量与进入体液中的酒精量的比值与体液和血液容量比值相等，比值 %65%7=β，消化系统中酒精含量的变化率由饮酒速率和向体液的排放速率构成，血液系统中酒精含量的变化率由酒精进入体液速率β⨯和酒精从血液系统向外的排除和分解速率构成，如图2所示。

图2 酒精的吸收、排除与分解图根据问题的叙述，本文中我们将讨论短时间喝酒、较长时间喝酒、间隔一段时间后再次喝酒的情形，建立关于酒精含量的四个模型。

模型一、瞬间喝酒（0=τ）情形及21,k k 的估计设0=t 时刻酒精摄入量为m 毫克,消化系统的酒精含量()t x 1变化率与()t x 1成正比，即111x k dtdx -= （1）初值为m x =)0(1，血液系统中的酒精含量()t x 2的变化率与()t x k 11和)(2t x 成正比，比例系数分别为β和2k -，根据假设可得22112x k x k dtdx -=β （2） 其中β为血液与体液重量的比值。

显然0)0(2=x ，联合（1）式和（2）式，得微分方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=0)0(,)0(2122112111x m x x k x k dt dx x k dt dx β （3） 求出其解析解()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==---)()(21112121t k t k tk e e k k m k t x me t x β （4） 通过适当变化，即可得到血液系统中酒精浓度的模型)()()(211212t k t k e e k k V mk t c ----=β （5）其中m 为一次摄入的酒精量，V 为人体血液系统的容量，由人的体重M 、血液占体重的比例（7%）及血液的比重ρ组成，即 ρ10%7⨯⨯=M V单位为百毫升。

根据问题中体重约70kg （2264.46=V 百毫升）的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后得到的血液浓度数据，利用非线性最小二乘法，可以求出模型中的参数21,k k 。

由于瓶装啤酒的规格不一致，而问题中没有给出规格，因此我们选择了两种最常见的规格（国际标准500毫升/瓶和我国常见规格640毫升/瓶）作为参考数据，根据非线性拟合的最小二乘法，使用MATLAB 中的函数leastsq() 得到式（3）~（5）中的21,k k 不同的估计值和平方误差，程序见附录，具体估计结果见表2，拟合效果见图（3）~图（10）。