2019厦门海沧实验中学2018-2019学年第二学期期中考高一数学试题

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2019级厦门海沧实验中学高一期中考综合练习(一)教师详解打印

2019级厦门海沧实验中学高一期中考综合练习（一)参考答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．A 8．C 9．A10．D 11．C 12．B二、填空题13．c a b << 14．615．1(,)4-+∞ 16．1,34⎡⎢⎣⎭.三、解答题17．（1）{}2,3,4-；（2）[)3,2--.【详解】(1) {}{}2R|5822,3A x x x =∈-+==, {}{}2R|2802,4B x x x =∈+-==-, {}2,3,4.A B ∴⋃=-(2) ,A C B C ⋂≠∅⋂=∅,2,4,3.C C C ∴∉-∉∈设()2219f x x ax a =-+-，则()()()222222222190,{444190,333190.f a a f a a f a a =-+-≤=++-≤=-+->即35,{222 5.a a a a -≤≤-≤≤-+-或解得3 2.a -≤<-18．（1）3-；（2）1试题解析：（1）401210.252-⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭=421212]2[])21[(14--⨯+-- =22215⨯+- =25+-=3-（2） 312128lg 36.0lg 10lg 3lg 2lg +++=2lg 6.0lg 10lg 3lg 4lg +++= 26.010lg 34lg ⨯⨯⨯==119．（1）f(x)=x 1+x 2；（2）f (x )在(−1,1)上是增函数，证明见解析；（3）−12<t <0.【详解】（1）f(0)=0⇒b =0，f (12)=25⇒a =1⇒f(x)=x 1+x 2；（2）任取−1<x 1<x 2<1，f (x 1)−f (x 2)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)<0⇒f (x 1)<f (x 2) 所以函数f (x )在(−1,1)上是增函数；（3）f (t +12)<−f (t −12)⇒f (t +12)<f (12−t){t +12<12−t −1<t +12<1−1<t −12<1⇒{ t <0−32<t <12−12<t <32⇒ −12<t <0. 20．(1) 2a =；(2) ()1,1-；(3) 0t ≥.【详解】（1）∵()f x 是定义在(),-∞+∞上的奇函数，即()()f x f x -=-恒成立，∵()00f =.2lg 2lg3111lg 0.36lg823+++即04102a a-=⨯+，解得2a =. （2）由（1）知()22112121x x x f x -=-=++，记()y f x =，即2121x x y -=+，∵121x y y +=-，由20x >知101y y +>-， ∵11y -<<，即()f x 的值域为()1,1-（3）原不等式()22xtf x ≥-，即为22221x x x t t ⋅-≥-+.即()()221220x x t t -+⋅+-≤. 设2x u =，∵(]0,1x ∈，∵(]1,2u ∈，∵(]0,1x ∈时，()22x tf x ≥-恒成立， ∵(]1,2u ∈时，()2120u t u t -+⋅+-≤恒成立， ∵()1020u u ≤⎧⎨≤⎩（），∵2211120,21220,t t t t ⎧-+⨯+-≤⎨-+⨯+-≤⎩解得0t ≥. 21．（1）()()()80008?601035H f x x x x =+≤≤+表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年万元，（2）90 【详解】解：（1） ()08H =表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年8万元，设隔热层建造厚度为x 毫米，则()()4080020660103535f x x x x x x =⨯+=+≤≤++，（2）()80061010107035f x x x ⎛⎫=++-≥=⎪+⎝⎭ 当80061035x x =++，即5x =时取等号所以当隔热层厚度为5cm 时总费用最小70万元，如果不建隔热层，20年业主将付能源费208160⨯=万元，所以业主节省90万元.22．（1）f （1）=0．（2）见解析（3）最小值为﹣2，最大值为3．试题解析：（1）∵函数f （x ）满足f （x 1•x 2）=f （x 1）+f （x 2），令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．（2）证明：（2）设x1，x2∵（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，∵f（）＞0，∵f（x1）﹣f（x2）=f（x2∵）﹣f（x2）=f（x2）+f（）﹣f（x2）=f（）＞0，即f（x1）＞f（x2），∵f（x）在（0，+∞）上的是增函数．（3）∵f（x）在（0，+∞）上的是增函数．若，则f（）+f（）=f（）=﹣2，即f（•5）=f（1）=f（）+f（5）=0，即f（5）=1，则f（5）+f（5）=f（25）=2，f（5）+f（25）=f（125）=3，即f（x）在上的最小值为﹣2，最大值为3．。

福建省厦门市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案

福建省厦门市2018-2019学年下学期期中考试高一数学试题A 卷一、选择题：（共10个小题，每题5分，共50分．每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的标号填涂在答题卡上.）1. 直线x+y+1=0的倾斜角与在 y 轴上的截距分别是（）OABC 的面积为( )A ．24 2B ．12 2C ．48 2D ．20 23. 直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是（）A ．重合B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直4.．点（2，1）到直线3x ﹣4y+2=0的距离是（）A ．B ．C ．D ． 5. 直线y ＝x ＋4与圆(x －a)2＋(y －3)2＝8相切，则a 的值为( )A ．3B ．2 2C ．3或－5D ．－3或56. 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)7. 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( )A ．2B ．22C ．1D ． 28. 以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝99. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3C ．323 cm 3D ．403cm 3 10. 已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．.53B ．213C ．253D ．43二、填空题：（共4个小题，每题4分，共16分.）11. 已知直线l 1：ax ＋(3－a)y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________．12. 若过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12，则m ＝________.13. 设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．14. 直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________．三、解答题：（本大题共3小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸上.）15.（10分）求过点A(1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．16.（ 10分）如图，几何体EFABCD 中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD ＝2，AB ＝4，∠ADF ＝90°.求证：AC ⊥FB ；17.（14分）如图所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1＝AB ＝2.(1)求证：AB1∥平面BC 1D ；(2)设BC ＝3，求四棱锥B DAA 1C 1的体积．B卷四、填空题：共4个小题，每题4分，共16分.18. 已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．19. 若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．20. 已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为45，则直线l 的方程为________．21. 在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为________．五、解答题：本大题共3小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸上.22.（10分）已知光线从点A(－4，－2)射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．23. （12分）已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程．24.（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．福建省厦门市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题参考答案A 卷一、选择题：DABAC DDCCB二、填空题：11. 答案：212. 答案：－213. 答案：①14. (2，－2)三、解答题：15.（10分）解：(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43. （3分）又直线经过点A(1,3)，（5分）因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，（9分）即4x ＋3y －13＝0. （10分）16. （10分）解：(1)证明：由题意得，AD ⊥DC ，AD ⊥DF ，且 DC ∩DF ＝D ，∴AD ⊥平面CDEF ，（2分）∴AD ⊥FC.∵四边形CDEF 为正方形，∴DC ⊥FC ，∵DC ∩AD ＝D ，∴FC ⊥平面ABCD ，∴FC ⊥AC. （5分）又∵四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD ＝2，AB ＝4，∴AC ＝22，BC ＝22，（7分）则有AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ，（9分）又BC ∩FC ＝C ，∴AC ⊥平面FCB ，∴AC ⊥FB. （10分）17. （14分）解：(1)证明：连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD ，如图所示．∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，∴点O 为B 1C 的中点．∵D 为AC 的中点，∴OD 为△AB 1C 的中位线，（2分）∴OD ∥AB 1.∵OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ，（5分）∴AB 1∥平面BC 1D. （7分）(2)∵AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，∴平面ABC ⊥平面AA 1C 1C.∵平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，连接A 1B ，作BE ⊥AC ，垂足为E ，则BE ⊥平面AA 1C 1C. （10分）∵AB ＝AA 1＝2，BC ＝3，AB ⊥BC ，∴在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝4＋9＝13，∴BE ＝AB·BC AC ＝613，（12分） ∴四棱锥B AA 1C 1D 的体积V ＝13×12(A 1C 1＋AD)·AA 1·BE＝16×3213×2×613＝3.（14分）B 卷四、填空题：18. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，1219. 答案：(－1,1)20. 答案：x ＋2y ＋9＝0或2x －y ＋3＝021. 答案：π2五、解答题：.22（10分）解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．(4分)由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C.故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1， (8分) 即10x －3y ＋8＝0.（10分）23. （12分）解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，（ 2分）则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. （3分）(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a|a 2＋1＝2，（5分）解得a ＝－34. （6分） (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧ |CD|＝|4＋2a|a 2＋1，|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22，|DA|＝12|AB|＝2，（8分）解得a ＝－7或a ＝－1. （10分）故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0. （12分）24.（12分）解：（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，连PO ，由P ，O 分别是DD 1，BD 的中点，故PO ∥BD 1，（2分）∵PO ⊂平面PAC ，BD 1⊄平面PAC ，（3分）所以，直线BD 1∥平面PAC ．（4分）（2）长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，底面ABCD 是正方形，则AC ⊥BD ，又DD 1⊥面ABCD ，则DD 1⊥AC ．（6分）∵BD ⊂平面BDD 1B 1，D 1D ⊂平面BDD 1B 1，BD∩D 1D=D ，∴AC ⊥面BDD 1B 1．∵AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面BDD 1B 1 ．(8分)（3）由（2）已证：AC ⊥面BDD 1B 1，∴CP 在平面BDD 1B 1内的射影为OP ，∴∠CPO 是CP 与平面BDD 1B 1所成的角．（10 分）依题意得，，在Rt △CPO 中，，∴∠CPO=30° ∴ CP 与平面BDD 1B 1所成的角为30°．（12分）。

2018-2019学年福建省厦门市中学高一下学期期中数学试题及答案解析

2018-2019学年福建省厦门市中学高一下学期期中数学试题及答案解析一、单选题1．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于 ( ) A ．1 B ．13-C ．23-D ．2-【答案】D【解析】直接利用直线垂直的性质列方程求解即可. 【详解】因为直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，所以12102a a ⨯+⨯=⇒=-，故选：D. 【点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212||l l k k ⇔= （121211||0l l A B A B ⇔-=）；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-（1212120l l A A B B ⊥⇔⋅+⋅=），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.2．设m 、n 表示不同直线，α、β表示不同平面，下列命题正确的是（）A ．若m‖α，m‖ n ，则n‖αB ．若m ⊂α，n ⊂α，m‖β，n‖β，则α‖βC ．若α⊥β， m ⊥α，m ⊥n ，则n‖βD ．若α⊥β， m ⊥α，n‖m ，n ⊄β，则n‖β【答案】D【解析】试题分析：A 中n 有可能在平面内；B 中m,n 不一定是相交直线；C 中n 有可能在平面内，只有D 正确. 【考点】本小题主要考查空间中直线、平面间的位置关系，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.点评：解决此类问题，要紧扣相关的判定定理和性质定理，定理中的条件缺一不可.3．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知10,20,60b c C ︒===，则此三角形的解的情况是（）A ．无解B ．一解C ．两解D ．无法确定【答案】B【解析】由正弦定理判断，需结合三角形的性质．【详解】由正弦定理sin 10sin 60sin 20b C B c ︒===，又∵b c <，∴B C <，B 一定是锐角， ∴只有一解．故选：B. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，结合大边对大角的性质知本题中B 角是锐角，只有一解．4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．73 B ．8π3- C ．83D ．7π3- 【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B.【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.5．在空间直角坐标系O xyz -中，若点()1,2,1A ，()3,1,4B --，点C 是点A 关于xOy 平面的对称点，则BC =（） A 22B 26C 42D ．52【答案】D【解析】由对称性先求点C 的坐标为()1,2,1-，再根据空间中两点之间距离公式计算BC ．【详解】由对称性可知，点C 的坐标为()1,2,1-，结合空间中两点之间距离公式可得：()()()22231124152BC =--+--++=.故选D.【点睛】本题考查了空间中对称点的坐标关系及两点间距离公式，属于基础题．6．如图，为了估测某塔的高度，在塔底D 和,A B （与塔底D 同一水平面）处进行测量，在点,A B 处测得塔顶C 的仰角分别为45°，30°，且,A B 两点相距140m ，由点D 看,A B 的张角为150°，则塔的高度CD =（）A ．1403mB ．2021mC ．207mD ．140m【答案】C【解析】分析：首先设出CD 的长度，然后利用空间几何关系整理计算即可求得最终结果. 详解：设CD xm =，在Rt ADC 中，由45CAD ∠=可得：AD xcm =，同理可得：3BD xcm =，在△ABD 中，由余弦定理可得：2222cos150AD BD AD BD AB +-⨯⨯=，即：)222323cos150140x xx x +-⨯=，解得：207x =207m CD =.本题选择C选项.点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.7．设圆（x－3）2＋（y＋5）2＝r2（r>0）上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是（）A．3<r<5 B．4<r<6 C．r>4 D．r>5【答案】B【解析】圆心C（3，－5），半径为r，圆心C到直线4x －3y－2＝0的距离d＝，由于圆C上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则d－1<r<d ＋1，所以4<r<6.【考点】直线与圆的位置关系.二、多选题8．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，AB平面MNP的M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出//图形是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】对每个图形进行分析，根据面面平行的性质定理对A判断．由线面平行判定定理对D判断，由线面相交的定义对B，C判断．【详解】（下面说明只写主要条件，其他略）A如图连接AC，可得//,//AC MN BC NP，从而得//AC平面MNP，//AB BC平面MNP，于是有平面ABC//平面MNP，∴//平面MNP，B．如图连接BC交MP于点O，连接ON，易知在底面正方形中O不是BC中点（实际上是四等分点中靠近C的一个），而N是AC中点，因此AB与ON不平行，在平面ABC内，AB与ON必相交，此交点也是直线AB与平面MNP的公共点，直线AB与平面MNP相交而不平行，C.如图，连接BN ，正方体中有//PN BM ，因此B 在平面MNP 内，直线AB 与平面MNP 相交而不平行，D.如图，连接CD ，可得//AB CD ，//CD NP ，即//AB NP ，直线AB 与平面MNP 平行，故选：AD 【点睛】本题考查线面平行的判定定理和面面平行的性质定理，掌握证明线面平行的方法是解题基础． 9．集合{}22(,)|4A x y x y =+=，{}222(,)|(3)(4)B x y x y r =-+-=，其中0r >，若A B 中有且仅有一个元素，则r 的值是（）.A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】AC【解析】题意说明两个圆只有一个公共点，两个圆相切（外切和内切）时，只有一个公共点．【详解】圆224x y +=的圆心是(0,0)O ，半径为2R =，圆222(3)(4)x y r -+-=圆心是(3,4)C ，半径为r ，5OC =，当25r +=，3r =时，两圆外切，当25r -=，7r =时，两圆内切，它们都只有一个公共点．故选：AC ．【点睛】本题考查集合与集合的关系，解题关键是确定集合中的元素，本题实质是考查圆与圆的位置关系．三、填空题10．直线210x y --=被圆22(2)9x y ++=所截得的弦长为__________. 【答案】4【解析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算出弦长．【详解】圆22(2)9x y ++=的圆心是(2,0)C -，半径为3r =，圆心C 到直线210x y --=的距离为d ==∴弦长为4==．故答案为：4. 【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法是几何法：求出圆心到弦所在直线距离，由勾股定理计算出弦长． 11．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为__________．【答案】25π【解析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，∵一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，∴直六棱柱的外接球的直径为5，∴外接球的半径为52，∴外接球的表面积为254252ππ⨯=．故答案为25π．点睛：本题考查球的体积和表面积，确定直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线是解题的关键． 12．如图，正方体1111ABCD A B C D -，点M 是1AA 的中点，点O 是底面ABCD 的中心，P 是11C B 上的任意一点，则直线BM 与OP 所成的角大小为__________.【答案】90°【解析】OP 是动直线，因此猜想这个角可能是90°，为此证明BM ⊥平面11OB C ，把平面11OB C 在正方体中补全(如图)，即可证．【详解】如图，分别取,AB CD 的中点,Q N ，连接1,,QN CN B Q ，显然O QN ∈，11//QN B C ，∴11,,,Q N C B 共面，∵11B C ⊥平面11ABB A ，BM ⊂平面11ABB A ，∴11B C BM ⊥，在正方形11ABB A 中，易得1AMB BQB ∆≅∆，∴1ABM BB Q ∠=∠， ∴11190QB B B BM ABM B BM ∠+∠=∠+∠=︒，∴1BM B Q ⊥，又1111B QB C B =，∴BM ⊥平面11B C NQ ，11P B C ∈，则OP ⊂平面11B C NQ ，∴BM OP ⊥，∴直线BM 与OP 所成的角为90°．故答案为：90°．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，考查证明线面垂直．掌握线面垂直的判定定理是解题关键．13．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．【答案】2x ﹣4y +3＝0【解析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= .故答案为：2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若::4:5:7a b c =，则最大角的余弦值为__________．【答案】15-【解析】分析：首先设出边长，然后结合余弦定理整理计算即可求得最终结果.详解：不妨设三角形的三边长()4,5,70m m m m >，由大边对大角结合余弦定理可得最大角的余弦值为：()()()22245712455m m m m m+-=-⨯⨯. 点睛：本题主要考查解三角形的方法，余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系O xyz -的坐标平面xOy 内，若函数()[)[)24,2,0,22,0,3x x f x x x π⎧-∈-⎪=⎨-+∈+∞⎪⎩的图象与x 轴围成一个封闭区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向上移4个单位，得到几何体如图一.现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 面积相等，则此圆柱的体积为__________．【答案】16π【解析】分析：首先确定底面积，然后结合柱体的体积公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知，图一中底面积是由一个四分之一圆与一个直角三角形组成的图形，由[)2,0y x =∈-可知，该四分之一圆的半径为2，其面积为：()21124S ππ=⨯⨯=, 由[)22,0,3y x x π=-+∈+∞，令0x =可得2y =，由0y =可得3x π=，则直角三角形与坐标轴的交点坐标为()0,2，()3,0π，直角三角形的面积212332S ππ=⨯⨯=，结合题意可得：区域A 的面积，即圆柱的底面积：124S S S π=+=，结合祖暅原理可得，此圆柱的体积4416V ππ=⨯=.点睛：本题主要考查柱体的体积公式及其应用，直线方程、圆的方程的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.四、解答题16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin sin cos a B A C =.（1）若a =2c =，求角A ；（2）若8c =-ABC ∆的面积为22a b +的值.【答案】(1)4A π=;(2)67.【解析】分析：（1）利用正弦定理边化角可得cosC =，则sinC =，利用正弦定理有2sinA =，则4A π=.（2）由题意结合面积公式可得24ab =，结合余弦定理可得2267a b +=.详解：（1）∵asinB =，∴sinAsinB =，∴cosC =，∴sinC =，根据正弦定理a csinA sinC ==，即sinA =因为a c <，所以A C <，所以4A π=.（2）因为126ABC S absinC ab ∆===，所以24ab =，因为8c =-2222c a b abcosC =+-得，(22282243a b -=+-⨯⨯，即2267a b -=+-所以2267a b +=.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．17．如图，ABCD 是正方形，O 是该正方形的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.求证：（1）//PA 平面BDE ；（2）平面BDE ⊥平面PAC .【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）连接OE ，证明//PA OE 后即得线面平行；（2）可证明BD ⊥平面PAC ，然后得面面垂直．【详解】（1）如图，连接OE ，∵,O E 分别是,AC PC 中点，∴//PA OE ，又PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴//PA 平面BDE ；（2）∵，PO ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ， ∴PO BD ⊥，又正方形中BD AC ⊥，PO AC O =，∴BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面PAC .【点睛】本题考查证明线面平行和面面垂直，掌握线面平行和面面垂直的判定定理是解题关键． 18．已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，（Ⅰ）若直线1l 过定点A （1，0），且与圆C 相切，求1l 的方程；（Ⅱ）若圆D 的半径为3，圆心在直线2l ：20x y +-=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程．【答案】（Ⅰ）1x =，3430x y --=（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）此问注意直线斜率不存在的情况，应分斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时由圆心到直线的距离等于半径求出直线斜率； (Ⅱ)先设出圆心坐标，然后由两圆外切，知圆心距等于两半径之和，从而求出圆心D 的坐标，写出圆D 方程.试题解析：（Ⅰ）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意．②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即0kx y k --=．由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径2，即23421k k k --=+解之得34k =．所求直线方程是1x =，3430x y --=．（Ⅱ）依题意设(,2)D a a -，又已知圆的圆心(3,4),2C r =，由两圆外切，可知5CD = ∴可知22(3)(24)a a -+--＝，解得，∴(3,1)D -或(2,4)D －， ∴所求圆的方程为．【考点】1.直线与圆相切；2.两圆相外切；3.点到直线的距离公式. 19．如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，CD AB ⊥，且AD =1，BD =2，△ACD 绕CD 旋转至A CD '，使点A '与点B 之间的距离A B '=．（1）求证：BA '⊥平面A CD '；（2）求二面角A CD B '--的大小；（3）求异面直线A C '与BD 所成的角的余弦值．【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）．【解析】【详解】（1）∵CD⊥AB，∴CD⊥A′D，CD⊥DB，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥BA′．又在△A′DB中，A′D=1，DB=2，A′B=，∴∠BA′D=90°，即BA′⊥A′D，∴BA′⊥平面A′CD．（2）∵CD⊥DB，CD⊥A′D，∴∠BDA′是二面角A′—CD—B的平面角．又Rt△A′BD中，A′D=1，BD=2，∴∠A′DB=60°，即二面角A′—CD—B为60°．（3）过A′作A′E∥BD，在平面A′BD中作DE⊥A′E于E，连CE，则∠CA′E为A′C与BD所成角．∵CD⊥平面A′BD，DE⊥A′E，∴A′E⊥CE．∵EA′∥AB，∠A′DB=60°，∴∠DA′E=60°，又A′D=1，∠DEA′=90°，∴A′E=又∵在Rt △ACB 中，AC==∴A′C=AC=∴cos ∠CA′E===,即A′C 与BD 所成角的余弦值为．20．如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．(Ⅰ) 若34ADC π∠=，求AD 的长；（Ⅱ）若2BD DC =，ACD ∆的面积为42，求sin sin BADCAD ∠∠的值．【答案】(1) 83；(2) 42.【解析】【详解】（I ）在三角形中，∵1cos 3B =，∴22sin B =．在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B =∠，又2AB =，4ADB π∠=，22sin B =．∴83AD =．（II ）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，，又423ADC S ∆=∴42ABC S ∆= ∵1·sin 2ABC S AB BC ABC ∆=∠，∴6BC =， ∵1·sin 2ABD S AB AD BAD ∆=∠，1·sin 2ADC S AC AD CAD ∆=∠， 2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2?sin BAD ACCAD AB∠=∠，在ABC ∆中，由余弦定理得2222?cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠． ∴42AC =∴sin 2?42sin BAD ACCAD AB∠==∠21．已知圆C ：22(3)4x y +-=，一动直线l 过(1,0)A -与圆C 相交于,P Q .两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：360x y ++=相交于N .（1）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；（2）当23PQ =时，求直线l 的方程；（3）探索AM AN ⋅是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.【答案】(1)见解析(2) 1x =-或4340x y -+=（3）见解析【解析】（1）由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，由直线m 的斜率求出直线l 的斜率，根据点A 和圆心坐标求出直线AC 的斜率，得到直线AC 的斜率与直线l 的斜率相等，所以得到直线l 过圆心；（2）分两种情况：①当直线l 与x 轴垂直时，求出直线l 的方程；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ，写出直线l 的方程，根据勾股定理求出CM 的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线l 的距离d ，让d 等于CM ，列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，写出直线l 的方程即可；（3）根据CM ⊥MN ，得到CM •AN 等于0，利用平面向量的加法法则化简AM AN ⋅等于AC •AN ，也分两种情况：当直线l 与x 轴垂直时，求得N 的坐标，分别表示出AN 和AC ，求出两向量的数量积，得到其值为常数；当直线l 与x 轴不垂直时，设出直线l 的方程，与直线m 的方程联立即可求出N 的坐标，分别表示出AN 和AC ，求出两向量的数量积，也得到其值为常数．综上，得到AM AN ⋅与直线l 的倾斜角无关．【详解】（1）l 与m 垂直，且13m k =-，3l k ∴=，又3AC k =，所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C .（2）①当直线l 与x 轴垂直时, 易知1x =-符合题意 ②当直线l 与x 轴不垂直时, 设直线l 的方程为()1y k x =+，即0kx y k -+=，因为PQ =所以1CM ==，则由1CM ==，得43k = ∴直线l ：4340x y -+=. 从而所求的直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=（3）因为CM ⊥MN,()AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅ ①当l 与x 轴垂直时，易得51,3N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则50,3AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又()1,3AC =,5AM AN AC AN ∴⋅=⋅=-，②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =+，则由()1360y k xx y⎧=+⎨++=⎩，得N（36,13kk--+513kk-+）,则55,1313kANk k--⎛⎫= ⎪++⎝⎭AM AN AC AN ∴⋅=⋅=5155 1313kk k--+=-++综上，AM AN⋅与直线l的斜率无关，且5AM AN⋅=-.【点睛】此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的数学思想解决实际问题，是一道综合题．。

福建省厦门市2019年高一下学期期中数学试卷(II)卷

福建省厦门市2019年高一下学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共14题；共28分)1. （2分） (2016高一下·永年期末) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若c=3，，且a+b=4，则△ABC的面积为（）A .B .C .D .2. （2分）等比数列{an}中，a7=10，q=-2,则a10 =（）A . 4B . 40C . 80D . -803. （2分） (2015高二下·会宁期中) 等差数列{an}中，S10=120，那么a2+a9的值是（）A . 12B . 24C . 16D . 484. （2分）设偶函数f（x）=loga|ax+b|在（0，+∞）上单调递增，则f（b﹣2）与f（a+1）的大小关系是（）A . f（b﹣2）=f（a+1）B . f（b﹣2）＞f（a+1）C . f（b﹣2）＜f（a+1）D . 不能确定5. （2分）(2017·淄博模拟) 设向量 =（1，﹣2）， =（a，﹣1）， =（﹣b，0），其中 O 为坐标原点，b＞0，若 A，B，C 三点共线，则 + 的最小值为（）A . 4B . 6C . 8D . 96. （2分）(2020·茂名模拟) 记为等差数列的前项和，已知，，则（）A . 10B . 11C . 12D . 137. （2分） (2016高一下·黔东南期末) 在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则cosA=（）A .B .C . ﹣D . ﹣8. （2分）(2017·自贡模拟) 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为（）A . 20% 369B . 80% 369C . 40% 360D . 60% 3659. （2分） (2019高一下·鹤岗月考) 如图,正方形的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A . 8B . 6C .D .10. （2分）一个体积为12的正三棱柱（即底面为正三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱）的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）A . 12B . 8C .D .11. （2分）直三棱柱ABC－A1B1C1的直观图及三视图如下图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是（）A . AB1∥平面BDC1B . A1C⊥平面BDC1C . 直三棱柱的体积V＝4D . 直三棱柱的外接球的表面积为12. （2分）数列的通项，其前项和为，则为（）A . 470B . 490C . 495D . 51013. （2分）设x，y∈R，a>1，b>1，若，，则的最大值为（）A . 2B .C . 1D .14. （2分） (2016高二上·马山期中) 在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：5，则此三角形是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 锐角三角形D . 钝角三角形二、填空题 (共4题；共5分)15. （1分） (2018高二上·莆田月考) 设数列的前项和为 ,已知 , ,则 ________16. （1分） (2017高一下·钦州港期末) 关于x的不等式x2+（a+1）x+ab＞0的解集是{x|x＜﹣1或x＞4}，则实数a、b的值分别为________．17. （1分）(2020·宝山模拟) 已知、均是等差数列，，若前三项是7、9、9，则 ________18. （2分） (2017高二下·温州期中) 设Sn是数列{an}的前n项和，已知S2=3，且an+1=Sn+1，n∈N* ，则a1=________；Sn=________．三、解答题 (共5题；共45分)19. （10分） (2019高三上·上海月考) 已知函数（1）若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围；（2）当a <0时，解关于x的不等式。

2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项。

1. 若2sin()3απ-=，则cos2α=( ) A ．59 B ．19 C ．19- D ．59- 2. 在△ABC 中，60A ∠=，45B ∠=，23AC =BC =( )A ．42B ．32C ．26D 6 3. cos80cos 20sin(80)sin160⋅--⋅的值是( ) A.12 B. 32 C. 1-2D. 3-24. 下列命题正确的是( )A.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行B. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C. 垂直于同一条直线的两条直线相互垂直D.若两条直线与第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行.5. 设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若cos cos a a B b A =+,则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 6. 在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为( ) A ．23B 5C 5D 7 7. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积与原正方体的体积比为( )A. 2:3B. 3:4C. 4:5D. 5:68. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是50m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．100(31)m -B ．200(31)m -C ．200(21)m -D ．20(31)m +9. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()4c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是( )A ．32B ．3C ．3D ． 2310. 已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD 是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A 到C 的路径中，最短路径的长度为( ) A ．210B ．25C ．3D ．211. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，则可估算出米堆的体积约为( )A ．9立方尺B ．18立方尺C ．36立方尺D ．72立方尺12. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、写不清、模棱两可均不得分。

福建省厦门市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案

第3题福建省厦门市2018-2019学年下学期期中考试高一数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

最后要将所有答案填写在答题卷上，否则不给分。

1．已知集合{}A x x Z =∈,{}03B x x =<<,则=⋂B A ( )A. {}03x x << B. {}1,2 C. {}12x x ≤≤ D. {}x x Z ∈ 2. 若直线经过((1,0),A B 两点，则直线AB 的倾斜角为（） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．120︒3. 如图，'''Rt O A B ∆是OAB ∆的斜二测直观图，斜边''2O A =，则OAB ∆的面积是（）AB ．1 C．4．若圆x y x y 22++2-4=0关于直线x y m 3++=0对称，则实数m 的值为( )A ．－3B ．－1 C ．1 D ．35.如图，函数y =的图像过矩形OABC 的顶点B ，且4OA =. 若在矩形OABC 内随机地撒100粒豆子，落在图中阴影部分的豆子有67粒，则据此可以估算出图中阴影部分的面积约为( ) A ．2.64 B ．2.68 C ．5.36 D ．6.646.如图是某年青年歌手大奖赛中,七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0~9中的一个).去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1,a 2,则一定有( )A.a 1>a 2B.a 1<a 2C.a 1=a 2D.a 1,a 2的大小与m 的值有关7．如右图，在正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 为线段AD '的中点，则异面直线CP 与BA '所成角θ的值为（） A. 30 B.45 C. 60 D.908.已知BC 是圆2225x y +=的动弦，且|BC|=6，则BC 的中点的轨迹方程是（）． A. 221x y += B. 229x y += C. 2216x y += D. 224x y += 9.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为（）． A.π3 B.π33 C.π32D.π332 10.已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝4外，则直线ax ＋by ＝4与圆O 的位置关系是( ) A.相离 B.相切C.相交D.不确定11．如图，在空间四边形ABCD 中，点E,H 分别是边AB,AD 的中点，F,G 分别是边BC,CD 上的点，且CF CB ＝CGCD ＝23，则（）A ．EF 与GH 互相平行B ．EF 与GH 异面C ．EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D ．EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上12.奇函数)(x f 、偶函数)(x g 的图像分别如图1、2所示，方程()()()()0,0==x f g x g f ，的实根个数分别为a 、b ，则=+b a ( )A.10B.8C. 7D.3二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中答题卷相应横线上，否则不给分。

福建省厦门市高一下学期期中数学试卷

福建省厦门市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2019高一上·河东期末) 函数的最小正周期为________．2. （1分） (2017高一上·武邑月考) 化简： ________．3. （2分） (2019高二上·慈溪期中) 圆C:x2+y2-8x-2y=0的圆心坐标是________;关于直线l:y=x-1对称的圆C'的方程为________.4. （1分）960°的终边在第________象限．（填汉字）5. （1分）过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则实数a的值为________6. （1分）(2018·杨浦模拟) 若，则的值为________7. （1分） (2020高一上·黄陵期末) 圆心坐标为，半径为的圆的标准方程是________.8. （1分）已知M是△ABC的边BC上的中点，若 = ， = ，则 =________．9. （1分）对于函数的图象：①关于直线对称；②关于点对称；③可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位而得到；④可看作是把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍而得到．以上叙述正确的序号是________10. （1分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y+1=0，C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有1 条．11. （1分） (2017高一下·瓦房店期末) 与向量垂直且模长为的向量为________．12. （1分） (2017高一下·河北期末) 直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值是________．13. （1分）(2017·上海模拟) 如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC= ， =2 ，则•的值为________．14. （1分）(2020·杨浦期末) 在直角坐标平面中，，动点在圆上，则的取值范围为________.二、解答题 (共6题；共45分)15. （5分）已知⊥ ，且| |=2，| |=1，若对两个不同时为零的实数k、t，使得 +（t﹣3）与﹣k +t 垂直，试求k的最小值．16. （5分） (2016高二上·淄川开学考) 已知，且．（Ⅰ）求tanθ；（Ⅱ）求的值．17. （15分） (2018高二上·拉萨月考) 已知关于x，y的方程C：x2+y2-2x-4y+m=0．（1）若方程C表示圆，求m的取值范围；（2）若圆C与圆x2+y2-8x-12y+36=0外切，求m的值；（3）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且|MN|= ，求m的值．18. （5分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若向量 =（2，0）与 =（sin B，1﹣cos B）的夹角为，求角B的大小．19. （5分）已知，求使f（x）≤cosα恒成立的α的范围．20. （10分） (2017高二上·海淀期中) 已知圆与直线交于，两点，点为线段的中点，为坐标原点．（1）如果直线的斜率为，求实数的值．（2）如果，且，求圆的方程．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)1、答案：略2-1、3、答案：略4-1、5、答案：略6、答案：略7、答案：略8、答案：略9、答案：略10、答案：略11、答案：略12-1、13-1、14、答案：略二、解答题 (共6题；共45分)15、答案：略16-1、17、答案：略18、答案：略19、答案：略20、答案：略。

福建省厦门市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)

厦门市2018-2019学年度第二学期高一年级质量检测(数学)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.若点()()(),0,0,2,1,3A a B C 共线,则a 的值为（） A. 2- B. 1-C. 0D. 1【答案】A 【解析】【分析】通过三点共线转化为向量共线，即可得到答案.【详解】由题意，可知()1,1BC →=，又(),2AB a →=-，点()()(),0,0,2,1,3A a B C 共线，则//BC AB →→，即2a -=，所以2a =-，故选A.【点睛】本题主要考查三点共线的条件，难度较小.2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为37,10n S a a +=,则9S =（） A. 15 B. 30C. 45D. 90【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式及性质即可得到答案. 【详解】由于3710a a +=，根据等差数列的性质，193799()9()4522a a a a S ++===，故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和，难度不大.3.下列选项正确的是（）A. 若,?c>d a b >,则a c b d ->- B. 若0a b >>,则2211a b <C. >则a b >D. 若0,0a b c >>≠,则ac bc > 【答案】B 【解析】【分析】通过逐一判断ABCD 选项，得到答案.【详解】对于A 选项，若2,1,2,1a b c d ====，代入0a c -=，0b d -=，故A 错误；对于C >||||a b >，故C 错误；对于D 选项，若0c <，则ac bc <，故D 错误，所以答案选B.【点睛】本题主要考查不等式的相关性质，难度不大.4.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若 cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =（） A.6πB.3π C.23π D.233ππ或【答案】B 【解析】【分析】首先通过正弦定理将边化角，于是求得1cos 2C =，于是得到答案. 【详解】根据正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即s i n 2s i n c o s C C C =，而sin 0C ≠，所以1cos 2C =，又为三角形内角，所以3C π=，故选B. 【点睛】本题主要考查正弦定理的运用，难度不大.5.已知,αβ为不同的平面,,a b 为不同的直线则下列选项正确的是（） A. 若//,a b αα⊂,则//a b B. 若//,//a b αα,则//a b C. 若//,a b a α⊥,则b α⊥ D. 若,a αβα⊥⊂,则a β⊥【答案】C【分析】通过对ABCD 逐一判断，利用点线面的位置关系即可得到答案.【详解】对于A 选项，,a b 有可能异面，故错误；对于B 选项，,a b 可能相交或异面，故错误；对于C 选项，//,a b a α⊥，显然b α⊥故正确；对于D 选项，//a α也有可能，故错误.所以答案选C.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力，难度不大.6.正方体1111ABCD A B C D -中,直线AC 与1BC 所成角的余弦值为（）B.2C.12D. 0【答案】C 【解析】【分析】作出相关图形，通过平行将异面直线所成角转化为共面直线所成角.【详解】作出相关图形，由于11//AC A C ，所以直线AC 与1BC 所成角即为直线11A C 与1BC 所成角，由于11A C B ∆为等边三角形，于是所成角余弦值为12，故答案选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值，难度不大.7.已知01x <<,当411x x+-取得最小值时x =（）A. 2-1C.45D.23【解析】【分析】可用导函数解决最小值问题，即可得到答案.【详解】根据题意，令41()1f x x x=+-，则()()222241(2)(32)()11x x f x x x x x ---'=-+=--，而当2(0,)3x ∈时，()0f x '<，当2(,1)3x ∈时，()0f x '>，则()f x 在23x =处取得极小值，故选D.【点睛】本题主要考查函数的最值问题，意在考查学生利用导数工具解决实际问题的能力，难度中等.8.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2221,2b ac AB =+边上的中线长为2,则ABC ∆面积的最大值为（）A. 2B.C. D. 4【答案】D 【解析】【分析】作出图形，通过+=CDB ADC π∠∠和余弦定理可计算出2a =，于是利用均值不等式即可得到答案.【详解】根据题意可知2c AD BD ==，而22224+4+44cos =2222c c b b ADC c c --∠=⋅⋅，同理224+4cos 2c a CDB c -∠=，而+=CDB ADC π∠∠，于是cos +cos 0CDB ADC ∠∠=，即2228+02c a b --=，又因为22212b a c =+，代入解得2a =.过D 作DE 垂直于AB 于点E ，因此E 为中点，故14BE c =，而22142422ABCBE BE S AB BE ∆-+==≤⋅=，故面积最大值为4，【点睛】本题主要考查解三角形与基本不等式的相关综合，表示出三角形面积及使用均值不等式是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.二、多选题:本题共2小题,每小题5分,共10分。

厦门海沧实验中学2018—2019第二学期高一数学月考试卷

厦门海沧实验中学2018—2019第二学期高一数学月考试卷第I卷（选择题)一、单选题1．在中，已知，，，则该三角形（）A．无解B．有一解C．有两解D．不能确定2．等差数列的前7项和为28，，则（）A．6B．7C．9D．143．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则4.如图Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是 ( )A．1B．C．2D．45．数列满足且，则的值是（）A．-2B．C．2D．6．若直线与直线平行，则的值为（）A．7B．0或7C．0D．47．已知点，O为坐标原点，P，Q分别在线段AB,BO上运动，则△MPQ 的周长的最小值为( )A．4B．5C．D．8．在R上定义运算，若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．9.过点且不垂直于轴的直线与圆交于两点，点在圆上，若是正三角形，则直线的斜率是（）A．B．C．D．10．在中，角，，所对应的边分别为，，.已知，则（）A．一定是直角三角形B．一定是等腰三角形C．一定是等腰直角三角形D．是等腰或直角三角形第II卷（非选择题)二、填空题11．已知正实数满足，则的最小值为_______．12．_____．13.如图所示，平面平面，，四边形为正方形，且，则异面直线与所成角的余弦值为__________．14．已知点(x，y)在直线2x＋y＋5＝0上运动，则的最小值是________. 15．的内角的对边分别为，已知，，，则角______16．类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念.已知球的一个内接四面体中，，过球心，若该四面体的体积为1，且，则球的表面积的最小值为______.13题图16题图三、解答题17．如图，在中，为边上一点，为等边三角形，.（1）若的面积为，求；（2）若，求．18．如图，已知矩形的两条对角线的交点为,点,．（Ⅰ）求直线和直线的方程；（Ⅱ）若平面上动点满足，求点的轨迹方程．19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面平面，，，，分别是棱，，的中点．（）求证：平面．（2）如果，求三棱锥的体积．20．已知数列的前项和为，满足，数列为等比数列，公比为，且，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.21.如图，是圆的直径，是圆上除、外的一点，平面，四边形为平行四边形，，．（1）求证：平面；（2）当三棱锥体积取最大值时，求此刻点到平面的距离．22．已知圆C的圆心在x轴正半轴上，半径为5，且与直线相切．(1)求圆C的方程；(2)设点，过点作直线与圆C交于两点，若，求直线的方程；(3)设P是直线上的点，过P点作圆C的切线，切点为求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.。

2018-2019学年度高一下学期期中考试数学试卷(解析版)

2018-2019学年度第二学期期中考试高一数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用两角差的正弦公式计算即可.【详解】由两角差的正弦公式可得故选A.【点睛】本题考查两角差的正弦公式的应用，属基础题.2.下列函数中，以为周期且在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A选项周期为，不满足条件；B选项周期为；C选项周期为，且在区间为减函数，不满足条件；D选项周期为，且在区间为增函数；故选D．考点：（1）正弦函数的单调性（2）函数的周期性3.已知向量.若为实数，，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以，又因为，所以，故选B．考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质．视频4.给出下面四个命题：①；②；③；④.其中正确的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】①；②；③；④,所以正确的为①②，选B.5.已知，，与的夹角为，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件及投影的计算公式便可得出向量在方向上的投影为，从而得出该投影的值．【详解】根据条件，在方向上的投影为：故选C.【点睛】本题考查一个向量在另一个向量方向上的投影的定义及计算公式，向量夹角的概念．6.已知函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式（）学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象求出A，ω 和φ的值即可．【详解】由函数的图象得即则，则，则则则∵，∴当k=0时，则函数．故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．7.将函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的一个值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据左加右减，写出三角函数平移后的解析式，根据平移后图象的对称轴，把对称轴代入使得函数式的值等于±1，写出自变量的值，根据求最小值得到结果．【详解】∵把函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，∴平移后函数的解析式是，∵所得图象关于直线对称，∴由正弦函数的图象和性质可得：解得：∴当时，的最小值是．故选：A．【点睛】本题考查由三角函数图象的平移求函数的解析式，本题解题的关键是先表示出函数的解析式，再根据题意来写出结果，属于基础题．8.在中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量数量积的定义进行运算即可【详解】故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，属基础题.9.若是锐角，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是锐角，且，所以也为锐角，所以..故选B.点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可，再利用公式求解前，需将每一个三角函数值确定下来，尤其是要利用角的终边确定好正负.10.中，，，分别是的中点，则（）A. 4B. -4C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的加法表示，再利用平面向量数量积的运算法则计算即可.【详解】由题中，，，分别是的中点，则，则故选B.【点睛】本题考查面向量的加法法则及平面向量数量积的运算，属基础题.11.在△ABC中,设=2,那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A. 垂心B. 内心C. 外心D. 重心【答案】C【解析】【分析】假设BC的中点是O,先化简已知得2=2,即()·=0, 所以, 所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.【详解】假设BC的中点是O,则=()·()=2=2,即()·=0,所以,所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查平面向量的数量积运算和向量的减法法则，考查向量垂直的表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是在于熟练掌握向量的运算法则.12.函数（）的图象经过、两点，则（）A. 最小值为B. 最大值为C. 最小值为D. 最大值为【答案】A【解析】【分析】当A、B为函数的图象的相邻的两个顶点时，函数的周期最小，最大，此时，由，求得的值【详解】由题意可得A、B为函数的图象的顶点，故当A、B为函数的图象的相邻的两个顶点时，周期最大小，最小，此时，，，故选：A．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若扇形的弧长为，圆心角为弧度，则扇形的面积为_________。

高一年级2018-2019第二学期数学期中考试试卷

高一年级2009—2018第二学期数学期中考试试卷本试卷满分150分，考试时间共120分钟．一、选择题(每小题5分，共12小题)1．α为第二象限的角，其终边上一点P(x ，5)，且x 42cos =α，则sin α的值为( ) A ．410 B ．46 C ．42 D ．410-2．已知角α＝8，在[0，2π]内与它终边相同的角是( )A ．8－πB ．2π－8C ．4π－8D ．8－2π3．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z Z n n n n A ,32ππ2,2πββαα ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z Z n n n n A ,2ππ,3πββββ 则A 与B 的关系为( )A ．A ＝B B ．B A ⊂C ．A B ⊂D ．A∩B＝ 4．己知θ为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为sin θ＋cos θ的值是( )A ．34 B ．53 C ．23 D ．215．化简1sin 2cos 22-+的结果为( )A ．－cos1B ．coslC ．3cos1D ．3-cos1 6．设条件甲为：“y＝Acos(ωx ＋φ)是奇函数”，条件乙为：“2π3=φ”则甲是乙的( )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若sinA·cosA＝⎪⎭⎫⎝⎛<<2π4π16960A ，则tanA 值是( ) A ．125或512B ．512C ．125 D ．以上都不对8．f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图像的相邻两支截直线4π=y ，所得线段的长为4π，则)4π(f 的值为( )A ．0B ．22 C.1 D ．22-9．已知奇函数f(x)在[－1，0]上为单调减函数，α，β为锐角三角形的两个内角，则( ) A ．f(cos α)＞f(cos β) B ．f(sin α)＞f(sin β)C ．f(sin α)＞f(cos β)D ．f(sin α)＜f(cos β)10．已知sina ＝41-，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π3,πα，cos β＝54，⎪⎭⎫⎝⎛∈π2,23πβ，则α＋β是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角11．设定义在区间 [－1，1]上的函数f(x)＝sinx ＋x ，则适合不等式f(1－a)＜0的实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞1 B ．1＜a≤ 2 C ．a ＜1 D ．0≤a＜112．函数)4π2sin(log 21+=x y 的单调递减区间为( )A ．Z ∈-k k k ),π,4ππ(B ．)8π3π,8ππ(++k k ，k∈ZC ．)8ππ,8π3π(+-k k ，k∈Z D ．)8ππ,8ππ(+-k k ，k∈Z二、填空题．(每小题5分，共 20分) 13．求值：sin50°(1＋3tan10°)＝__________________.14．函数y ＝x x sin 21tan 1--++的定义域为______________________.15．把函数y ＝cosx 3-sinx 的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小正数为____________________________16．函数y ＝4cos 2x ＋4cosx )π2π(2≤≤-x 的值域为___________________________三、解答题．(第17小题10分，18—22小题各12分) 17．已知4π34π<<-α，sin 53)4π(=-α，求)4πcos(2cos αα+的值．18．(1)求值：︒-︒10cos 310sin 1(2)求证：)cos(2sin )2sin(sin sin βααβααβ+-+=19．已知：0cos 2cos sin sin 622=-⋅+αααα，]π,2π[∈α，求)3π2sin(+α的值．20．当m 为何值时，cos2x ＋4sinx －3＋2m －m 2＝0总有解．21．(1)若4π74π17,53)4πcos(<<=+x x ，求xx x tan 1sin 22sin 2-+的值．(2)23)2sin(,91)2cos(=--=-βαβα，且2π0,π2π<<<<βα，求cos(α＋β)的值．22．已知函数f(x)＝)(3235cos 35cos sin 52R ∈-+-⋅x x x x ， (1)求f(x)最小正周期．(2)求f(x)单调递增区间． (3)求其图象对称轴方程．(4)说明其图象是由y ＝sinx 的图象经过怎样的变换得到的？高一年级2009—2018第二学期数学期中考试试卷本试卷满分150分，考试时间共120分钟．一、选择题(12×5＝60分)．13．114．)6π11,π22π3()π24π5,π26π(k k k +++15．2π216．［－3，－2］三、解答题(10＋12×5＝70分) 17．(10分)解：2π4π2π,2π4π2π,4π34π<-<-<-<-∴<<-ααα54)4π(sin 1)4πcos(2=--=-∴αα又53)4πsin()]4π(2πcos[)4πcos(=-=--=+ααα252454532)4πcos()4πsin(2)22πsin(2cos =⨯⨯=-⋅-=-=αααα58352524532524=⨯==∴原式 18．(12分)(1)原式＝410cos 10sin 20sin 210cos 10sin 10sin 310cos =︒⋅︒︒=︒⋅︒︒-︒(2)左边＝)cos(2sin ])sin[(βαααβα+-++＝)cos(2sin sin )cos(cos )sin(βαααβααβα+-+++ααβ)(ααβ)(αααβ)(ααβ)(ααβ)(αsin sin cos cos sin sin sin cos 2sin cos cos sin ⋅+-⋅+=⋅+-+++=Z ∈-k k ]π21[ ＝=αβsin sin 右边19．(12分)解：)cos sin 2)(cos 2sin 3(αααα-+32tan -=α或21tan =α(舍) 13121393494134tan 1tan 22sin 2-=⨯-=+-=+=ααα 13513995941941tan 1tan 12cos 22=⨯=+-=+-=ααα 263512231352113123πsin2cos 3πcos 2sin )3π2sin(+-=⨯+⨯-=⋅+⋅=+∴ααα20．(12分)解：cos2x ＋4sin x ＝m 2－2m ＋31－2sin 2x ＋4sinx ＝m2－2m ＋3⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤-820222m m m m－2sin 2x ＋4sin ＝m 2－2m ＋2求－2sin 2＋4sinx 的值域 ⇒0≤m≤2令t ＝－2(sin 2x －2 sin x)＝－2(sinx －1)2t∈[－6，2]∴－6≤m 2－2m ＋2≤2－8≤m 2－2m≤021．(12分)(1)7528-(2)729239-22．(12分)解：f(x)＝5sin(2x 3π-)－3，k∈Z(1)最小正周期为π (2)]1252π,12ππ[+-k k(3)12π52π+=k x k∈Z(4)略。

2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷(20201013191328)

5分
8分 10 分 12 分
Tn (3n 3) 2n 1 18
12
分
22 题：解：（Ⅰ）
为偶函数，
所以，函数 3分（Ⅱ）由题知
，即
，解得 .
，对称轴，增区间
∴
又∵ ，∴
∴
，
即 7分
的最小值为
（Ⅲ） ∵ 时，
∴
记 ①当
，（时，
，取“ ”时
在）
恒成立
由
，∴
②当
时，
由 ③当时，
，∴
由
，
综上所述，的取值范围是 12 分
积为 ( )
3
3
3
3
A．
B
．
C
．
D
．
4
4
2
2
1
x (0, )
6、已知
4 , 则 x(1 4x) 取最大值时 x 的值是 ( )
1 A． 4
1 B ．6
1
C
．8
1
D
． 10
tan(
7. 已知
1 ) 4 2 ，且 2
0 ，则 sin 2
2sin 2 =（
）
25 A.
5
2 B.
5
2
25
C.
D.
5
5
8、若定义在 R上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x 2) f (x) ，且 x [0,1] 时 , f ( x) x ，则函数的
f (x)在区间 - , 上的最大值 f ( x)max f ( ) sin( 2
3 33 )=
3 12
12
12 6 2 2
10 分 18 题：

2018-2019学年福建省厦门市二中高一下学期期中数学试题(解析版)

福建省厦门市二中高一下学期期中数学试题一、单选题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（） A ．53B ．35C ．37D ．57【答案】A【解析】由正弦定理可得：sin 5sin 3A aB b == . 本题选择A 选项.2．下列判断不正确的是（） A ．空间中不同三点确定一个平面 B ．垂直于同一条直线的两直线平行C ．若直线l 与平面α平行，在l 与平面α内的任意一条直线都平行D ．梯形一定是平面图形【答案】D【解析】根据平面的性质，以及空间中直线的位置关系，直线与平面的位置关系进行判断即可. 【详解】对A ：空间中不在同一直线的三点确定一个平面，故A 错误；对B ：垂直于同一条直线的两直线可以平行，也可以成为异面直线，故B 错误；对C ：若直线l 与平面α平行，则l 与过l 的平面与α的交线平行，故C 错误；对D ：梯形中一组对边平行，而两条平行直线可以确定一个平面，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查空间中平面的性质，以及直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，属基础题.3．在ABC ∆中，已知222a b c bc =++，则A 等于( ) A ．3π B ．6π C ．3π或23π D ．23π【答案】D【解析】分析：根据余弦定理的推论求得cos A ，然后可求得23A π=．详解：∵222a b c bc =++，∴222b c a bc +-=-．由余弦定理的推论得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，又0A π<<， ∴23A π=．故选D ．点睛：本题考查余弦定理推论的应用，解题时容易出现的错误是在求得角的三角函数值后忽视了角的范围，从而得到错误的结果．4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若525S =，3718a a +=，则{}n a 的公差d 等于（） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2【答案】D【解析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式可得123453525a a a a a a ++++==，解可得35a =，又由3718a a +=，可得713a =，由等差数列的通项公式分析可得答案．【详解】解：根据题意，等差数列{}n a 中，若525S =，即123453525a a a a a a ++++==，则35a =，又由3718a a +=，则713a =，则等差数列{}n a 的公差7324a a d -==；故选D 【点睛】本题考查等差数列的性质以及前n 项和的性质，注意等差数列通项公式的应用，属于基础题．5．在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA 的中点为E ，11A B 的中点为F ，1BB 的中点为G ，BC 的中点为H ，则异面直线EF 与GH 所成角为（） A ．30︒ B ．60︒C ．90︒D ．45︒【答案】B【解析】将两条异面直线进行平移直至相交，在同一个三角形中求解角度.【详解】根据题意，连接11,,AB B C AC ，作图如下：因为EF //1AB ，GH //1B C 故1AB C ∠即为所求角或其补角. 在1AB C n 中，因为11AB B C AC == 故160AB C ∠=︒. 故选：B. 【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，其重点是将直线平移至相交，从而将问题转化为平面图形中求角度的问题.6．关于x 的不等式22280x ax a --<(0a >)的解集为()12,x x ,且2115x x -=,则a = A ．154B ．72C ．52D ．152【答案】C【解析】分析：先通过解一元二次不等式得到不等式的解集，再利用区间长度进行求解．详解：因为22280(0)x a aa --，所以(2)(4)0(0)x a x a a +-，即24a x a -<<，又1215x x -=，所以615a =，解得52a =．点睛：本题考查一元二次不等式的解法等知识，意在考查学生的数学转化能力和基本计算能力．7．已知实数,a b R +∈，且2a b +=则14a b+的最小值为( ) A ．9 B ．92C ．5D ．4【答案】B【解析】根据条件可得()141142a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭然后利用基本不等式可求出最小值．【详解】∵实数a ，b ∈R +，且a +b ＝2，∴()141141419552222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4b a a b =，即a 23=，b 43=时取等号， ∴14a b +的最小值为92．故选B ．【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和“1“的代换，考查了转化思想和计算能力，属基础题．8．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前20项和为（）A ．210B ．220C ．230D ．240【答案】A【解析】根据递推公式，寻找几项的规律，构造新数列，求和即可. 【详解】因为1(1)21nn n a a n ++-=- 故()()()()1121121112121n n nn n n a a n a n n ++++=--++=----+-++=()()12121nn a n n -+--++ 即：()()212121nn n a a n n ++=--++同理可得：()()13112123n n n a a n n ++++=-+++故可得()3214412nn n n n a a a a n ++++++=+--⨯ 令4414243n n n n n b a a a a ---=+++则116n n b b +=+，又110b =，故166n b n =- 故20125151016210S b b b b =+++=⨯+⨯=L . 故选：A. 【点睛】本题考查由递推公式，找到通项之间的关系，属数列困难题，对计算能力要求较高. 9．若0a b >>，且1ab =，则下列说法正确的是（） A ．2a b b +< B ．+a b 的最小值为2 C ．221a b -> D ．224a b +>【答案】D【解析】根据已知条件，利用不等式的性质，对每个选项进行逐一判断即可. 【详解】对A ：因为()20b a b b a -+=-<，故2b a b <+，故A 错误；对B ：12a b a a +=+>=，因为a b >，故取不到2，则B 错误；对C ： 222210a b a a-=->在()1,a ∈+∞成立，故C 错误；对D ：22a b +>B 选项可知，2a b +>，故224a b +>=，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查不等式的性质，涉及均值不等式的使用.10．在数列{}n a 中，若221n n a a p --=（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断，正确的是（） A ．{}(1)n-不是等方差数列；B ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列；C ．已知数列{}n a 是等方差数列，则数列{}2n a 是等方差数列；D ．若{}2n a 是等方差数列，则{}kn a (*k N ∈，k 为常数)也是等方差数列.【答案】B【解析】根据新数列的定义，对每项进行逐一推证即可.【详解】对A ：()()221110n n -⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，故数列{}(1)n-是等方差数列，故A 错误；对B ：{}n a 既是等方差数列，则221n n a a p --=，即()()11n n n n a a a a p --+-=又{}n a 是等差数列，则1n n a a d --=，（d 为常数）若0d =，显然该数列为常数列，若0d ≠，则可得1n n pa a d-+=，故可解得12n p a d d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭此时该数列也为常数列；综上所述，若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列故B 正确；对C ：数列{}n a 是等方差数列，则221n n a a p --=()442211n n n n a a p a a ---=+不一定是常数，数列{}2n a 不一定是等方差数列，故C 错误；对D ：{}2n a 是等方差数列，则441n n a a p --=，不能够说明()221kn k n a a --为常数，故D 不正确；故选：B. 【点睛】本题考查数列新定义问题，处理问题的关键是要紧扣题意，进行推理和证明.二、填空题11．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则1a =________. 【答案】-1【解析】对前n 项和公式进行赋值，即可求得结果. 【详解】因为21n n S a =+，故当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-故答案为：-1. 【点睛】本题考查对数列前n 项和的认识，赋值即可.12．已知02x <<，则(42)x x -的最大值为________. 【答案】2【解析】对不等式进行配凑，应用均值不等式进行处理. 【详解】因为02x <<，故(42)x x -0> 则(42)x x -()()21112422422224x x x x =⨯-≤⨯+-= 当且仅当242x x =-，即1x =时，取得最大值2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查均值不等式的应用，需要注意取等的条件是否满足.13．若锐角ABC ∆的面积为103，且5,8AB AC ==，则BC 等于 . 【答案】7【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅=103=，所以3sin 2A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =．【考点】1、三角形面积公式；2、余弦定理．【名师点睛】本题考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边，属于基础题．14．如图，已知圆锥S0的母线SA 的长度为2，一只蚂蚁从点B 绕着圆锥侧面爬回点B 的最短距离为2，则圆锥SO 的底面半径为．【答案】【解析】试题分析：圆锥的展开图为扇形，且扇形的半径长为2，一只蚂蚁从点B 绕着圆锥侧面爬回点B 的最短距离为该扇形的弦长为2，所以扇形的圆心角为3π，设底面半径为r ，则223r ππ=⨯，解得13r = 【考点】空间几何体圆锥展开图15．设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且()0f x >，对任意0a >，0b >，若经过点(,())a f a ，(,())b f b -的一次函数与x 轴的交点为(,0)c ，则称c 为a ，b 关于函数()f x 的平均数，记为(,)f M a b ，例如，当()1(0)f x x =>时，可得(,)2f a bM a b c +==，即(,)f M a b 为a ，b 的算术平均数.（1）当()f x =________(0)x >时，(,)f M a b 为a ，b 的几何平均数；（2）当()f x =________(0)x >时，(,)f M a b 为a ，b 的调和平均数2aba b+. （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可） x x【解析】根据题中对(,)f M a b 的定义，结合三点共线，推出对应的结论，选择适当的函数即可. 【详解】（1）根据题意(,)f M a b c ab ==()()()()(),,,,,0a f a b f b c -三点共线故可得：()()f a f b a cc b=--f a f b a abab b=--f a f b ab=，故可以选择(),(0)f x x x =>（2）根据题意，(,)f M a b 2abc a b==+，由定义可知： ()()22f a f b ab aba b a b a b=--++，整理得()()f a f b a b = 故可选择(),(0)f x x x =>故答案为：x ，x . 【点睛】本题考查函数新定义问题，重要的是要充分理解题意，并且对计算也提出了一定的要求.三、解答题16．已知不等式220mx mx -+>. （1）当1m =-时，求x 的取值范围；（2）若当x ∈R 时不等式恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1) ()1,2-；(2)[)0,8. 【解析】（1）按照一元二次不等式的解法，分解因式，即可求得；（2）先对参数进行讨论，再根据二次函数恒成立的条件进行处理. 【详解】（1）当1m =-时，不等式等价于220x x --< 分解因式可得()()210x x -+< 故不等式的解集为：()1,2x ∈-. 即x 的取值范围为：()1,2-.（2）当0m =时，原不等式等价于2>0，显然恒成立，满足题意；当0m ≠时，原不等式220mx mx -+>为二次不等式，若要满足题意，只需：0m >，且280m m =-<n 解得：()0,8m ∈ 综上所述：[)0,8m ∈. 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，以及二次函数恒成立问题，属重点题型.17．如图，直角梯形ABDC 中，AB CD ∥，AB CD >，90DCA ︒∠=，2AB =，1AC CD ==.（1）若S 是直角梯形ABDC 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线，并说明理由；（2）直角梯形ABDC 绕直线AC 所在直线旋转一周所得几何体名称是什么?并求出其体积.【答案】(1)交线和理由见详解；(2)所得几何体为圆台，体积为73π. 【解析】（1）找到两个平面的两个公共点，根据公理，即可得到交线；（2）根据旋转体的特点，即可知道几何体的名称，根据圆台体积计算公式可算出体积. 【详解】（1）根据题意，平面SBD 和平面SAC 的交线为SM ，具体如下图所示：延长AC ，延长BD ，取两条直线的交点为M ，连接SM ，则SM 即为平面SBD 和平面SAC 的交线为SM 理由如下：因为S 点在平面SAC 中，S 点也在平面SBD 中，故S 点为两平面的公共点；又因为M 点在直线AC 上，直线AC 在平面SAC 中，故M 点在平面SAC 中；同理，因为M 点在直线BD 上，直线BD 在平面SBD 中，故M 点在平面SBD 中；则M 点和S 点均是平面SAC 和平面SBD 的公共点故直线SM 为两个平面的交线. （2）该旋转体为圆台.其中小圆的圆面积为211S ππ=⨯= 大圆的圆面积为2224S ππ=⨯=圆台的高即为AC 的长度，故1h = 则该圆台的体积为(121213V S S S S h =++⨯解得177133V ππ=⨯⨯= 故该几何体为圆台，且体积为73π. 【点睛】本题考查圆台体积的求解，以及平面中公理的应用，属基础题.18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，3cos sin a B b A =.（1）求角B 的大小；（2）AD 是BC 边上的中线，若AD AB ⊥，2AB =，求AC 的长.【答案】（1）3π（2）213 【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：3sin cos sin sin A B B A =，由于sin 0A ≠，可得：tan 3B =，结合范围()0,B π∈，可求B 的值．（2）由三角形面积公式可求2b ac =，进而利用余弦定理可得222ac a c =+，即可解得a c的值．【详解】解：（1）在ABC ∆中，3cos sin a B b A =，由正弦定理得3sin cos sin sin A B B A =， ∵()0,A π∈，∴sin 0A ≠，∴3cos sin B B =，即tan 3B =， ∵()0,B π∈，∴3B π=.（2）在ABD ∆中，AB AD ⊥，2AB =，3B π=，∴2cos60AB BD BD ︒==， ∴4BD =，∵AD 是ABC ∆的中线，∴8BC =，在ABC ∆中，由余弦定理得222cos AC AB BC AB BC B +-⋅221282282=+-⨯⨯⨯13【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，1310a a +=，430S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n na b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1) 2n n a =.；(2)()1 222nn T n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据等比数列的基本量，列方程求解即可；（2）由（1）可知数列{}n b ，再用错位相减法即可求前n 项和.【详解】（1）该数列的公比为q ，公比显然不等于零，根据题意可得：()41211110,301a q a a q q -+==-解得12,2a q ==，故2n n a =. （2）因为2n n a =，故12nn b n ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭ 故12n n T b b b L =+++211112222n n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()2311111112122222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L两式相减可得： 2311111111222222n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L1111221112212n n n T n +⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=-⨯ ⎪⎝⎭- 1111222n n n T ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()1222nn T n ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查由基本量计算等比数列的通项公式，以及用错位相减法求前n 项和，属综合基础题.20．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油22360x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【答案】(1) y ＝13018x ⨯＋2130360⨯x ，x ∈[50，100] (或y ＝2340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2) 当x ＝/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元.【解析】（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式，（2）利用基本不等式求最值即得结果.【详解】(1)设所用时间为t ＝130x(h)， y ＝130x ×2×22360x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋14×130x ，x ∈[50，100]. 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝13018x ⨯＋2130360⨯x ，x ∈[50，100] (或y ＝2340x ＋1318x ，x ∈[50，100]). (2)y ＝13018x ⨯＋2130360⨯x，当且仅当13018x ⨯＝2130360⨯x ，即x ＝.故当x ＝千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元.【点睛】本题考查函数解析式以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 21．已知数列n a 和n b满足123().n b n a a a a n N +⋅⋅=∈L 若n a 为等比数列，且1322,6a b b ==+（1）求n a 和n b ；（2）设11n n n c a b =-，记数列n c 的前n 项和为n S ①求n S ；②求正整数 k ，使得对任意n N +∈均有k n S S ≥.【答案】（1）a n ＝2n (n ∈N)．b n ＝n (n ＋1)(n ∈N)．（2）(i) S n ＝1112n n -+ (n ∈N)．(ii)k ＝4.【解析】【详解】解：(1)由题意123().n b n a a a a n N +⋅⋅=∈L ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(32b b -)8. 设数列{an}的公比为q,又由12a =，得231a q 4a == ，q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{}n a 的通项为a n ＝2n (n ∈N)．所以，(1)(1)21232.n n n n n a a a a ++⋅⋅==L故数列{}n b 的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N)．(2)(i)由(1)知11n n n c a b =-n 1112n n 1⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭ (n ∈N)．所以Sn ＝n 11n 12-+ (n ∈N)． (ii)因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n≥5时，cn ＝()()n n n 111n n 12⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦而()()()()()n n 1n 1n n 1n 2n 1n 2n 10222+++++-+-=>得()n 5n n 156122+⨯≤<所以，当n≥5时，c n <0.综上，若对任意n ∈N 恒有S k ≥S n ，则k ＝4.。

2019年厦门市高一数学下期中一模试题含答案

2019年厦门市高一数学下期中一模试题含答案一、选择题1．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥2．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（）A ．26B ．36C ．23D ．223．下列命题正确的是（）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面4．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为43，则球O 的半径为( )A ．3B ．1C ．2D ．45．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在 6．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（）A ．5B ．6C ．35D ．41 7．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．309．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π10．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（） A ．1256π B ．8π C ．2516π D ．254π 11．若方程21424x kx k +-=-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．53,124纟çúçú棼 12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与11A B 平行二、填空题13．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的结论的序号为________．14．已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．15．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．16．已知,m n 为直线，,αβ为空间的两个平面，给出下列命题：①,//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②,////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩；③,//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④,//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩．其中的正确命题为_________________．17．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．18．在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是．19．在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD -中，M 为线段PB 上的一动点，则当AM MC +最小时，cos AMC ∠=_________20．已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD 上，AB=3，CD=2，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________.三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且22,22CD AB BC ===，90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30°，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．22．已知点(3,3)M ，圆22:(1)(2)4C x y -+-=.（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）若直线40()ax y a -+=∈R 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23实数a 的值.23．已知圆22:(2)(3)4C x y -+-=外有一点()41-,，过点P 作直线l ．(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，求直线l 被圆C 所截得的弦长．24．四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90BCD ∠=︒，22AB AD DC ===.PAD △ 为正三角形，二面角P -AD -C 的大小为23π.（1）线段AD 的中点为M.求证：平面PMB ⊥平面ABCD ；（2）求直线BA 与平面P AD 所成角的正弦值.25．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程；(2) DC 边所在直线的方程．26．在正方体1111ABCD A B C D -中，AB=3，E 在1CC 上且12CE EC =．（1）若F 是AB 的中点，求异面直线1C F 与AC 所成角的大小；（2）求三棱锥1B DBE -的体积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B【解析】A中，,αβ也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，,αβ也可能相交；D中，l也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系2．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1=2333⨯=，∴116 133OO=-=，∴高SD=2OO1=263，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=3，∴132623S ABCV-=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．3．C解析：C【解析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.4．C解析：C【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥Q ，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．5．A【解析】【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P .【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个.故选：A【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.6．A解析：A【解析】【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案.【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -， 350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =. 故选：A .【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.7．A解析：A【解析】【分析】画出截面图形如图显然A正三角形C正方形：D正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A．8．C解析：C【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．9．C解析：C【解析】【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可.【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π．本题选择C 选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.10．D解析：D【解析】试题分析：根据题意知，ABC V 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABC S V 不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为12·33ABC S DQ =V ，即12133DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO V 中，222OA AQ OQ =+，即()22212R R =+-，∴54R =，则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭；故选Ｄ．考点：球内接多面体，球的表面积． 11．D解析：D【解析】【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=…与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围.【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=…，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <…，直线与半圆有两个交点，AD 221k =+，解得512AD k =， 4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.12．D解析：D【解析】【分析】先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.【详解】如图：连接1C D ，BD ，Q 在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．1CC ⊥Q 平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；AC BD ^Q ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误故选：D ．【点睛】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.二、填空题13．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直解析：③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．14．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个解析：相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>，则圆心为(0,)a ，半径R a =，圆心到直线0x y +=的距离d =，Q圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是∴即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则MN =3R r +=Q ，1R r -=，R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．15．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结【解析】【分析】先确定D 轨迹，再根据射线上点与圆的位置关系求最值，即得结果.【详解】2222222(1)1,111,y x c a a c a a =+∴=--=∴=-Q ，所以D 为以(1,0)F -为圆心，1a +为半径的圆及其内部，设射线()02x y x =≥－的端点为(2,2)A ，所以PQ 的最小值为1||(1),12,2AF a a a a -+===.故答案为：1132-+.【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系，考查数形结合思想以及基本分析求解能力，属中档题.16．③④【解析】关于①也会有的结论因此不正确；关于②也会有异面的可能的结论因此不正确；容易验证关于③④都是正确的故应填答案③④解析：③④【解析】关于①,也会有n⊂α的结论,因此不正确；关于②,也会有,m n异面的可能的结论,因此不正确；容易验证关于③④都是正确的,故应填答案③④.17．【解析】【分析】【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD且低于平面AFC而当平面EHD平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状解析：15, 66⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC．而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH体积-三棱柱B-AFC体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法18．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD中任取一点P在△APC中有AP＋PC＞AC在△BPD中有PB＋PD＞BD解析：（2，4）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点．易求得P(2,4)．19．【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正解析：13- 【解析】【分析】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC ，即可求出满足AM MC +最小时，点M 的位置，以及,AM CM 长，解AMC V ，即可求出结论.【详解】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC 与PB 交点即为满足AM MC +最小，正四棱锥P ABCD -各棱长均为1，在平展的平面中四边形PABC 为菱形，且60PAB ∠=o ，3AM MC ==P ABCD -中，2AC =在ACM V 中，222332144cos 32324AM CM AC AMC AM CM +-+-∠===-⋅⋅.故答案为:13-.【点睛】本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题. 20．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点且OA ＝OB ＝OC ＝OD 进而在△A0B 中利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值则∠AOB 可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心解析：23π 【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ，进而在△A 0B 中，利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值，则∠AOB 可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．【详解】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O 在CD 中点，则OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，再由AB =A 0B 中，利用余弦定理cos ∠AOB 11312112+-==-⨯⨯，则∠AOB 23π=，则弧AB 23π=•123π=．故答案为：23π．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力．三、解答题21．（1）详见解析；（2．【解析】【分析】（1）在直角梯形ABCD 中，由条件可得222AD AM DM =+，即DM AM ⊥．再由PA ⊥面ABCD ，得DM PA ⊥，利用线面垂直的判定可得DM ⊥平面PAM ，进一步得到平面PDM ⊥平面PAM ；（2）由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30°，求得tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出PC u u u r 的坐标及平面PDM 的一个法向量，由PC u u u r 与n r 所成角的余弦值可得直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由已知可得，1,2,2AB CD BM CM ====可得223,6AM DM ==，过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1,22DE AE ==29AD =，则222AD AM DM =+，∴DM AM ⊥．∵PA ⊥面ABCD ，∴DM PA ⊥，又PA AM A =I ，∴DM ⊥平面PAM ，∵DM ⊂平面PDM ，∴平面PDM ⊥平面PAM ；（2）解：由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30°，则tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,1P ，(22,1,0)D -，2,1,0)C ，(2,1,0)M ，(22,1,1),(22,1,1),(2,1,1)PC PD PM =-=--=-u u u r u u u u r ．设平面PDM 的一个法向量为(,,)n x y z =，由2020n PD x y z n PM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，取1x =，得2321,22n ⎛= ⎝⎭r ． ∴直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为： ||230|cos ,|||||106PC n PC n PC n ⋅<>===⋅⋅u u u r r u u u r r u u u r r 【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.22．（1）3x =或34210x y +-=；（2）34-. 【解析】【分析】（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r ，直接求解圆的切线方程即可．（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a 即可．【详解】（1）由圆的方程得到圆心(1,2)，半径2r =.当直线斜率不存在时，直线3x =与圆C 显然相切；当直线斜率存在时，设所求直线方程为3(3)y k x -=-，即330kx y k -+-=，2=，解得34k =-， ∴ 方程为33(3)4y x -=--，即34210x y +-=. 故过点M 且与圆C 相切的直线方程为3x =或34210x y +-=. （2）∵ 弦长AB为 2.圆心到直线40ax y -+=的距离d =∴224⎛⎫+=⎝⎭，解得34a =-. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力．23．（1）4x =或3480x y +-=（2）【解析】【分析】(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;(2)先求出直线方程，然后求得圆心C 与直线l 的距离,由弦长公式即可得出答案.【详解】解: (1)由题意可得()2,3C ,直线l 与圆C 相切当斜率不存在时，直线l 的方程为4x =,满足题意当斜率存在时，设直线l 的方程为14y k x +=-,即410kx y k ---=∴2234121k k k ---=+,解得34k =- ∴直线的方程为3480x y +-=∴直线l 的方程为4x =或3480x y +-=(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，直线l 的方程为30x y +-=圆心()2,3C 到直线l 的距离为23322+-=∴弦长为2222(2)22-=【点睛】本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的能力.24．（1）证明见解析；（2）34. 【解析】【分析】(1)直角梯形ABCD 中,过D 作DF ⊥AB 于F ,求解三角形可得ABD △为正三角形，又PAD △为正三角形，M 为线段AD 的中点，可得PM ⊥AD ，BM ⊥AD ，再由线面垂直的判定可得AD ⊥平面PBM ，从而得到平面PMB ⊥平面ABCD ；(2)在平面PMB 中，过B 作BO ⊥PM ,垂足为O ,则BO ⊥平面P AD ,连接AO ,则∠BAO 为直线BA 与平面P AD 所成角，然后求解三角形得答案.【详解】（1）证明：过D 作DF ⊥AB 于F在Rt ADE ∆中，2,1AD AE ==,3BAD π∴∠=∴BAD V 和PAD △是正三角形，∵M 是AD 的中点，∴AD MB ⊥，AD MP ⊥，又∵MB MP M ⋂=，∴AD ⊥平面PMB ，又∵AD ⊂平面ABCD∴平面PMB ⊥平面ABCD.（2）由（1）知PMB ∠是二面角P -AD -B 的平面角 ∴23PMB π∠=. 由（1）知AD ⊥平面PMB∵AD ⊂平面P AD∴平面PAD ⊥平面PBM∴过B 作平面P AD 的垂线，则垂足E 在PM 延长线上,∴3BME π∠=. 连结AE ，则BAE ∠是AB 与平面P AD 所成的角,∴3BM =，∴32BE =， ∴3sin 4BAE BE AB ∠== 【点睛】本题主要考查平面与平面垂直的判定，线面角的求法，二面角，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题.25．（1）320x y ++=；（2）320x y -+=【解析】分析：（1）先由AD 与AB 垂直，求得AD 的斜率，再由点斜式求得其直线方程；（2）根据矩形特点可以设DC 的直线方程为()306x y m m -+=≠-，然后由点到直线的2210510m+=m 的值，即可求出结果. 详解：(1)由题意：ABCD 为矩形，则AB⊥AD，又AB 边所在的直线方程为：x －3y －6＝0，所以AD 所在直线的斜率k AD ＝－3，而点T(－1，1)在直线AD 上．所以AD 边所在直线的方程为：3x ＋y ＋2＝0.(2)方法一：由ABCD 为矩形可得，AB∥DC，所以设直线CD 的方程为x －3y ＋m ＝0.由矩形性质可知点M 到AB 、CD 的距离相等所以＝,解得m ＝2或m ＝－6(舍)．所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.方法二：方程x －3y －6＝0与方程3x ＋y ＋2＝0联立得A （0，-2），关于M 的对称点C （4，2）因AB ∥DC ，所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.点睛：本题主要考查直线方程的求法，在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．26．(1)4π (2) 92 【解析】【分析】（1）连接AC ，11A C ，由11AC AC P 知11FC A ∠ （或其补角）是异面直线1C F 与AC 所成角，由余弦定理解三角形即可（2）根据11B DBE D BEB V V --=，且三棱锥1D BEB -的高为DC ，底面积为1BEB ∆的面积.【详解】（1）连接AC ，11A C ，∵1111,AC AC FC A ∴∠P （或其补角）是异面直线1C F 与AC 所成角在11FC A ∆中，111135932,2A C A F C F === 22211935(32)()(222cos 92322FC A +-∠==⨯∴异面直线1C F 与AC 所成角为4π．（2）由题意得， 1111119333=3322B DBED BEB BEB V V S DC --∆==⋅=⋅⋅⋅⋅．【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，三棱锥的体积，属于中档题.。