初中竞赛几何必做100题 高难度版

初中竞赛几何必做 100 题第一题：已知：∆ABC 外接于⊙ O ，∠BAC = 60︒，AE ⊥BC ，CF ⊥AB ，AE 、CF 相交于点H ，点D 为弧BC 的中点，连接HD 、AD .求证：∆AHD 为等腰三角形.AF H OB E CD第二题：F如图，F 为正方形 ABCD 边CD 上一点，连接 AC 、AF ，延长 AF 交 AC 的平行线 DE 于点 E ，连接CE ,且AC=AE. 求证： CE CF .ADEBC第三题：已知：∆ABC 中，AB =AC ，∠BAC = 20︒，∠BDC = 30︒. 求证：AD =BC .ADB C第四题：已知：∆ABC 中，D 为AC 边的中点，∠A = 3∠C ，∠ADB = 45︒.求证：AB ⊥BC .BA D C第五题：如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 交于点E ，∠BAC = 50︒，∠ABD = 60︒，∠CBD = 20︒，∠CAD = 30︒，∠ADB = 40︒，求∠ACD .AEBDC第六题：已知，∠ABC = 30︒，∠ADC = 60︒，AD =DC ，求证：AB2 +BC 2 =BD2 .AB DC第七题：如图，PC 切⊙O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为⊙O 的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D .求证：四边形ABCD 为平行四边形.AB O DPEFC第八题：O已知：在∆ABC 中， AB = AC ， ∠A = 80︒ ， ∠OBC = 10︒ ， ∠OCA = 20︒. 求证： AB = OB .ABC第九题：已知：正方形ABCD 中，∠OAD =∠ODA = 15︒，求证：∆OBC 为正三角形.A DOB C第十题：已知：正方形ABCD 中，E 、F 为AD 、DC 的中点，连接BE 、AF ，相交于点P ，连接PC .求证：PC BC .A E DPFB C第十一题：如图，∆ACB 与∆ADE 都是等腰直角三角形，∠ADE = ∠ACB = 90︒ ，∠CDF = 45︒ ，DF 交 BE 于 F ，求证： ∠CFD = 90︒ .AEBDFC第十二题：已知：∆ABC 中，∠CBA = 2∠CAB ，∠CBA 的角平分线BD 与∠CAB 的角平分线AD 相交于点D ，且BC =AD .求证：∠ACB = 60︒.CDB A第十三题：已知：在∆ABC 中，AC =BC ，∠C = 100︒，AD 平分∠CAB .求证：AD +CD =AB .CDA B第十四题：E F已知：∆ABC 中，AB = BC ，D 是 AC 的中点，过 D 作 DE ⊥ BC 于 E ，连接 AE ，取 DE 中点 F ，连接 BF . 求证： AE ⊥ BF .BADC第十五题：D已知： ∆ABC 中， ∠A = 24︒， ∠C = 30︒ ， D 为 AC 上一点， AB = CD ，连接 BD . 求证： AB ⋅ BC = BD ⋅ AC .BAC第十六题：已知：ABCD 与A1B1C1D1 均为正方形，A2 、B2 、C2 、D2 分别为AA1 、BB1 、CC1 、DD1 的中点.求证：A2 B2C2 D2 为正方形.A1 D1B1 C1A2 D2A DB2C2B C第十七题：如图，在∆ABC 三边上，向外做三角形ABR 、BCP 、CAQ ，使∠CBP =∠CAQ = 45︒，∠BCP =∠ACQ = 30︒，∠ABR =∠BAR = 15︒.求证：RQ 与RP 垂直且相等.CPQBA R第十八题：AEOFD如图，已知 AD 是⊙ O 的直径，D 是 BC 中点，AB 、AC 交⊙ O 于点 E 、F ，EM 、FM 是⊙ O 的切线， EM 、 FM 相交于点M ，连接 DM . 求证： DM BC .BCM第十九题：如图，三角形ABC 内接于⊙ O ，两条高AD 、BE 交于点H ，连接AO 、OH 。

若AH = 2 ，BD = 3 ，CD = 1，求三角形AOH 面积.AEO HBD C第二十题：D如图， ∠DAC = 2x ， ∠ACB = 4x ， ∠ABC = 3x ， AD = BC ，求∠BAD .ABC第二十一题：已知：在Rt∆ABC 中，∠ABC = 90︒，D 为AC 上一点，E 是BD 的中点，∠1 =∠2 . 求证：∠ADB = 2∠ABD .BE1 2A D C第二十二题：已知正方形ABCD ，P 是CD 上的一点，以AB 为直径的圆⊙ O 交PA 、PB 于E 、F ，射线DE 、CF 交于点M .求证：点M 在⊙ O 上.A DEO PMFB C第二十三题：已知，点D 是∆ABC 内一定点，且有∠DAC =∠DCB =∠DBA = 30︒. 求证：∆ABC 是正三角形.ADB C第二十四题：MLDCO如图，过正方形的顶点 A 的直线交 BC 、CD 于M 、N ，DM 与 BN 交于点 L ，BP ⊥ BN ， 交 DM 于点 P . 求证：（1） CL ⊥ MN ；（2） ∠MON = ∠BPM .ABNP第二十五题：G OEH已知：在正方形 ABCD 中，E 是CD 上一点， AE 交 BD 于点G ，交BC 的延长线于点 F ， 连接OF ，交CD 于点 H ，连接GH .求证：（1）当且仅当 E 为CD 中点时， OG + GH = AO ；CF - CH（2） S ∆HCF =4.ADBCF第二十六题：已知： ABCD 与 AEFG 均为正方形，连接CF ，取CF 的中点M ，连接 DM 、ME . 求证： MDE 为等腰直角三角形.BCFD EGAM第二十七题：O四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于点 O ，且 AB = AD ， AO = OC 。

请你猜想 AB + BO 与 BC + OD 的数量关系，并证明你的结论.ABDC第二十八题：已知：四边形ABDC 中，∠ABC =∠ACB = 58︒，∠CAD = 48︒，∠BCD = 30︒，求∠BDA 的度数.AB CD第二十九题：在∆ABC 中，D 是AB 的中点，∠DAC = 2∠DCA ，∠DCB = 30︒，求∠B 的度数.BDA C第三十题：在四边形ABCD 中，AD =CD ，AC =BD ，AB ⊥AC ，求∠BEC 的度数.DAEB C第三十一题：EADB在 Rt ∆ABC 中， ∠ACB = 90︒ ， ∠CAB = 60︒ ， CD ⊥ AB ， M 、 N 为直线 AB 上的两点，且∠MCA = ∠NCB = 8︒ ，求∠EMD 的度数.CM N第三十二题：ED如图， ∆ABC 中， BD ⊥ AC 于 D ， E 为 BD 上一点，且∠ABD = 38︒ ， ∠CBD = 68︒ ， ∠BCE = 14︒ ， ∠DCE = 8︒ ，求∠DAE 的度数.BAC第三十三题：EBA CODCD 为⊙ O 的直径， A 、B 为半圆上两点， DE 为过点 D 的切线， AB 交 DE 于 E ，连接 OE ，交CB 于M ，交 AC 于 N . 求证： ON OMNM第三十四题：如图，四边形ABCD 中，BC =CD ，∠BCA = 21︒，∠CAD = 39︒，∠CDA = 78︒，求∠BAC 的度数.CBA D第三十五题：如图，四边形ABCD 中，AD =CD ，∠BAC = 10︒，∠ABD = 50︒，∠ACD = 20︒，求∠CBD 的度数.BA CD第三十六题：如图，BD =CE ，G 、H 为BC 、DE 中点，AB =AC ，FD =FE ，∠BAC =∠DFE . 求证：AF // GHABGCFDHE第三十七题：如图，在正方形ABCD 中，有任意四点E 、F 、G 、H ，且EF = 4 、GH = 3 ，四边形EFGH 的面积为5 ，求正方形ABCD 的面积.A E DGHB F C第三十八题：已知，2∠C = 3∠B ，2BC =AB ，求∠A .CA B第三十九题：D在∆ABC 中， ∠ABC = 60︒ ， D 是 BC 边上一点， DC = AB ， ∠DAB = 21︒，求∠C .ABC第四十题：ED在 ∆ABC 中， AB = AC， D 为 BC 边上一 点， E 为 AD 上一点，且 满足 ∠BDE = 2∠CED = ∠BAC . 求证： BD = 2CD .ABC第四十一题：已知，FC 是正方形ABCD 和正方形AEFG 上的点F 、C 的连线，点H 是FC 的中点，连接EH 、DH 。

求证：EH =DH 且EH ⊥DH .EA DFHGB C第四十二题：已知：∠CAD =∠DAB = 10︒，∠CBD = 40︒，∠DBA = 20︒，求证：∠CDB = 70︒CDA B第四十三题：如图，E 、F 分别是圆内接四边形ADBC 的对角线AB 、CD 的中点，若∠DEB =∠CEB . 求证：∠AFD =∠BFDADEOFB C第四十四题：已知：AB =AC ，∠ADB = 60︒，∠BCE = 30︒.求证：BA =BEAE DB C第四十五题：已知：直角三角形ABC ，∠A 为直角，I 为内心，BD 、CE 分别为两内角平分线。

∆IBC 的面积为S 。

求四边形BCDE 的面积.AE DIB C第四十六题：AB =AC =CD =DE ，且BE =BD ，求∠EBD 的度数.AED B C第四十七题：EFH G如图，∆ABC ≌ ∆CDE ，∠D =∠ABC = 90︒，点B 在CD 上，AB 、CE 交于F ，过B 作BG ⊥AC 于G ，交CE 于H ，连接AH 并延长，交CD 于I ，设AB =x ，BC =y 。

（x >y ）求：（1）A H的长（用x，y 表示）；（2）BC的值. ICAD B I C第四十八题：在∆ABC 中， AD ⊥ BC ， P 是∆ABC 外接圆O 上一点，点 P 关于 AB 、 AC 的对称点为点 E 、 F ，连接 EF 与 AD 交于点 H ，求证： H 是∆ABC 的垂心.FEPAHOBDC第四十九题：如图，点D 、E 分别在AC 、AB 上，BD 与CE 交于点O ，AD =AE ，OC =OB . 求证：AC =AB（寻求直接证法）AE DOB C第五十题：HFOAINBPDCML以任意四边形四条边为基础向外做正方形，连接相对两正方形的中心。

求证：这两条线段垂直且相等.GEJK。