含有阻尼项的弦振动方程及其仿真
阻尼振动的Mathematica模拟
阻尼振动的Mathematica模拟谢文海;吉莉;滕艳萍;杨硕【摘要】阻尼振动在物理学中是一类重要的振动类型，形式复杂多样。
以弹簧振子为例，运用Mathematica软件计算模拟阻尼振动，并且对阻尼振动进行傅立叶分析，用图像直观展现阻尼振动的特性，帮助人们理解阻尼振动的原理和探究阻尼振动的基本规律。
研究为相关的教学研究和工程分析提供了有益借鉴。
%In physics,damped virbaration is an important class of virbaration with diversified complex forms. In this paper,taking the spring oscillator as an example, we employ Mathemaitca to caluclate and simulate the damped virbaration. We further analyze the virbation by fourier analysis method and vividly present the features in figures. This is helpful to understand and explore the principles and discipline of damped force. Additionally,our studies provide a useful reference for relevant education research and engineering anlysis.【期刊名称】《大学物理实验》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】4页(P80-83)【关键词】阻尼振动;Mathematica【作者】谢文海;吉莉;滕艳萍;杨硕【作者单位】大连大学，辽宁大连 116622;大连科技学院，辽宁大连 116035;大连大学，辽宁大连 116622;大连大学，辽宁大连 116622【正文语种】中文【中图分类】O4-34阻尼振动是自然界普遍存在的一种振动形式，是振动系统本身的性质与外界共同作用的结果。
阻尼振动实验报告
阻尼振动实验报告篇一：阻尼振动与受迫振动实验报告阻尼振动与受迫振动实验报告一、实验目的（一）观察扭摆的阻尼振动，测定阻尼因数。
（二）研究在简谐外力矩作用下扭摆的受迫振动，描绘扭摆在不同阻尼的情况下的共振曲线（即幅频特性曲线）。
（三）描绘外加强迫力矩与受迫振动之间的位相随频率变化的特性曲线（即相频特性曲线）。
（四）观测不同阻尼对受迫振动的影响。
二、实验仪器扭摆（波尔摆）一套，秒表，数据采集器，转动传感器。
三、实验任务1、调整仪器使波耳共振仪处于工作状态。
2、测量最小阻尼时的阻尼比ζ和固有角频率ω0。
3、测量其他2种或3种阻尼状态的振幅，并求ζ、τ、Q和它们的不确定度。
4、测定受迫振动的幅频特性和相频特性曲线。
四、实验步骤1、打开电源开关，关断电机和闪光灯开关，阻尼开关置于“0”档，光电门H、I可以手动微调，避免和摆轮或者相位差盘接触。
手动调整电机偏心轮使有机玻璃转盘F上的0位标志线指示0度，亦即通过连杆E和摇杆M使摆轮处于平衡位置。
然后拨动摆轮使偏离平衡位置150至200度，松开手后，检查摆轮的自由摆动情况。
正常情况下，震动衰减应该很慢。
2、开关置于“摆轮”，拨动摆轮使偏离平衡位置150至200度后摆动，由大到小依次读取显示窗中的振幅值θj；周期选择置于“10”位置，按复位钮启动周期测量，停止时读取数据10Td。
并立即再次启动周期测量，记录每次过程中的10Td的值。
（1）逐差法计算阻尼比ζ；（2）用阻尼比和振动周期Td计算固有角频率ω0。
3、依照上法测量阻尼（2、3、4）三种阻尼状态的振幅。
求出ζ、τ、Q和它们的不确定度。
4、开启电机开关，置于“强迫力”，周期选择置于“1”，调节强迫激励周期旋钮以改变电机运动角频率ω，选择2个或3个不同阻尼比（和步骤3中一致），测定幅频和相频特性曲线，注意阻尼比较小（“0”和“1”档）时，共振点附近不要测量，以免振幅过大损伤弹簧；每次调节电机状态后，摆轮要经过多次摆动后振幅和周期才能稳定，这时再记录数据。
声学阻尼仿真实验报告(一)
声学阻尼仿真实验报告(一)声学阻尼仿真实验报告引言•简要介绍声学阻尼仿真的研究背景和意义•阐述本次实验的目的和意义实验设计1.实验设备–列举所使用的实验设备，例如测量仪器、发生器等–说明每个设备的作用和特点2.实验步骤–详细描述实验步骤，包括搭建实验装置、设置参数等–解释每个步骤的目的和操作要点实验结果与分析1.数据记录–提供实验中所采集的数据，并以表格形式展示–对每个数据进行标注和解读2.结果分析–对实验数据进行分析，比较不同测试条件下的结果差异–解释结果与理论或预期相符或不符的原因实验讨论1.结论–总结本次实验的主要发现和结果–强调实验所得结论的可靠性和实用性2.实验误差分析–分析导致实验误差的可能原因，例如仪器精度、环境因素等–提出改进实验的建议，以减小误差3.局限性与展望–指出本次实验的局限性，可能存在的不完备之处–展望未来进一步研究的方向，并提出进一步改进实验的建议结语•总结全文的核心内容和主要观点•强调本次实验对于声学阻尼仿真领域的贡献和意义（注：以上为一篇示例文章，部分内容仅供参考，实际内容应根据实验情况进行具体编写）引言•声学阻尼是声学领域的重要研究方向之一，它在音频处理、噪音控制和音响设计等领域具有广泛应用。
•本次实验旨在通过声学阻尼仿真实验，深入理解声学阻尼的原理和影响因素，为相关领域的技术改进和优化提供参考。
实验设计1.实验设备–音频信号发生器：用于产生各种频率和振幅的声音信号。
–音频功放器：用于放大发生器产生的信号，以便驱动扬声器。
–扬声器：用于转换电信号为声音信号，并通过声音传递给实验装置。
–模拟回声室：用于模拟真实环境下的声学阻尼效果。
2.实验步骤–搭建实验装置：将音频信号发生器、音频功放器和扬声器依次连接。
–设置参数：调整音频信号发生器的频率和振幅，调节音频功放器的音量。
–进行测量：在模拟回声室中逐步变化声学阻尼条件，并记录数据。
实验结果与分析1.数据记录 | 阻尼条件 | 频率 (Hz) | 振幅 (dB) ||||| | 无阻尼 | 100 | 60 | | 轻微阻尼 | 100 | 45 | | 中度阻尼 | 100 | 30 | | 强烈阻尼 | 100 | 20 |2.结果分析–随着阻尼条件的增加，声音的振幅逐渐降低。
弦振动方程积分法建模
弦振动方程积分法建模弦振动是一种常见的振动现象，广泛应用于乐器、工程结构和科学研究领域。
本文将深入探讨弦振动方程的积分法建模，包括基本方程、积分法的原理和步骤，以及在实际工程中的应用。
通过对弦振动的积分法建模的综述，读者将更好地理解和应用这一振动现象。
一、引言弦振动是一种机械波的传播形式，广泛存在于各个领域。
从乐器的弦乐器到工程结构的振动分析，弦振动方程的建模对于理解和优化系统具有重要意义。
本文将围绕弦振动方程的积分法建模展开综述，为读者提供深入了解和应用的视角。
二、弦振动方程的基本形式弦振动的数学描述通常采用弦振动方程，其基本形式为：其中，是弦的横向位移，x 是弦上的位置，t 是时间，c 是波速。
三、积分法建模的原理和步骤积分法是一种常用的数值建模方法，通过将微分方程转化为积分形式进行求解。
弦振动方程的积分法建模主要分为以下几个步骤：离散化：将弦的长度和时间区间进行离散化，将连续的变量转化为离散的网格点。
差分近似：利用差分方法对微分方程进行离散近似，将弦振动方程转化为差分方程。
积分求解：将差分方程转化为离散的积分形式，通过迭代等方法求解得到弦的位移随时间和位置的变化。
边界条件：添加适当的边界条件，如弦的固定端或自由端条件，以模拟实际情况。
验证与调整：验证模型的准确性，并根据实际情况对模型进行调整，以提高模型的精度。
四、弦振动方程积分法建模的应用乐器设计：在乐器设计中，通过弦振动方程的积分法建模可以预测不同材料和张力下的弦振动特性，为乐器的声学性能优化提供依据。
结构振动分析：在工程结构振动分析中，通过积分法建模可以模拟建筑、桥梁等结构在外力作用下的振动响应，有助于评估结构的稳定性和安全性。
声波传播：弦振动方程的积分法建模也可应用于声波传播领域，例如预测海底电缆中声波的传播特性，有助于通信系统的设计和优化。
医学成像：在医学领域，通过弦振动方程的积分法建模，可以模拟超声波在人体组织中的传播和反射，为医学成像技术提供理论基础。
1.4有阻尼的受迫振动解析
F0 it c k x x x e m m m
其中， 0
k m
系统的无阻尼固有频率；
系统的阻尼比；
c 2 km
i (t ) x ( t ) Ae 设非齐次方程的特解，即稳态响应：
2 A 2 e i (t ) i 2 0 Ae i (t ) 0 Aei (t )
2. s＝1处，即 不同
区间单调上升的曲线；
1 0 2 时，共振，
的曲线共交于一点。
3. 小阻尼 0
s 1
0
时，激励力与位移同相； 时，激励力与位移反相；
s 1
,
l 例题：已知等效质量m且可简化于杆长 处，阻尼为c，弹簧刚度为k， 3 F (t ) F0 sin t ，水平位置平衡，试求： 1. 动力学微分方程；
第四节 有阻尼的受迫振动
一．
定义：
受迫振动：有阻尼的系统在外界控制的持续激 励作用下所产生的振动。 激励：外界力、基座运动所产生的惯性力。 响应：激励所引起的系统的振动状态。
非自治系统：显含时间变量的系统。
二．
有阻尼受迫振动
受激励力存在使得动力学方程成为非齐次方程：
cx kx F0 eit m x
9 F0 4c 9k sin t m m ml
(2)
0
9k k =3 m m
2c m
3F0 B k
2c 0 3 mk
9F 4c 9k 0 sin t m m ml
当 n时 振幅（最大摆角)
Amax B 3F0 3 mk 9F0 2 2kl 2c 4cl
2.
s＝1（接近共振），且
含有阻尼项的弦振动方程及其仿真
含有阻尼项的弦振动方程及其仿真内容提要：本文通过对古典吉他的琴弦振动情况建立数学物理方程，得到一个含有阻尼项的双曲型方程的初边值问题，对解用Matlab进行仿真。
最后依据弦振动方程的结果，列举了在这种情况下几种泛音的位置，并结合该方程，对右手给出指导。
关键词数学物理方程，Matlab，驻波。
引言：在弦乐器表演中常用到泛音这样的一个技巧，即左手虚按琴弦，滤掉一部分波在琴弦上形成驻波。
比如在弦的三分点进行滤波，则波长的三倍不能被弦长整除的波，将会被滤掉。
但是在拨弦乐器的教学中，关于泛音的位置一直是老师们口口相传。
而且某些泛音准确位置并不在拨弦乐器的品（山口）上，所以缺乏理论指导。
在国内的研究领域中，韩佩琪《弦乐器泛音的分析及应用》一文中只是对弹拨乐器的空弦状态下进行求解而且忽略了空气的阻力，而且并没有结合列出的解给出演奏技巧上的指导。
而邱桂明《阻尼作用下的弦振动研究》的初边值条件并不符合乐器的条件。
另外在周伟《古典吉他演奏教程》以及相关的一些吉他教学视频中只是提及了左手虚按的位置，关于右手的位置没有给出一个指导。
综上来看，国内研究领域，对定弦振动泛音的理论研究尚处于一个盲区。
然而一维双曲型微分方程的理论已经比较完善给本文提供了理论依据，给研究带来了可行性。
一、模型建立：如图所示：琴弦的初始状态：1其中h是弹拨弦与初始位置间的距离，b是弹拨点距离原点的距离，l表示弦的长度。
弦的两端是静止不动的，从而边值条件：为u(0,t)=u(l,t)=0其中t表示振动时间。
列出方程：其中：错误!未找到引用源。
，而T表示琴弦松弛时的张力，错误!未找到引用源。
表示琴弦线密度。
边值条件：初值条件：二、问题的求解从物理上知道，一个复杂的振动往往可以分解成许多简单的振动的叠加。
如弦振动所发出的声音可以分解成各种不同频率的单音叠加。
相应于每种单音，弦振动时波形保持不变，从而当时间变化是个点的振幅做同步的变化，所以可以有如下形式：带入到原方程会得到：分离变量：等式左右两边相等，左边仅是t的函数，右边仅是x的函数，左右两边要相等，只有等于同一个常数才可能。
阻尼振动系统的解析解与分析
阻尼振动系统的解析解与分析阻尼振动是指在振动系统中存在阻尼力的情况下的振动现象。
阻尼振动系统是一种常见的物理现象，在工程学、物理学和数学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍阻尼振动系统的解析解与分析方法。
1. 阻尼振动系统的基本模型阻尼振动系统由质点、弹簧和阻尼器组成。
质点的质量记为m，位置记为x；弹簧的劲度系数记为k，伸长或压缩量记为y；阻尼器的阻尼系数记为c，阻尼力记为F。
根据牛顿第二定律，可以得到阻尼振动系统的基本方程：m * d^2x/dt^2 + c * dx/dt + k * x = 0其中，d^2x/dt^2表示加速度，dx/dt表示速度。
这是一个二阶线性常微分方程，可以通过解析解或数值解的方法求解。
2. 阻尼振动系统的解析解对于阻尼振动系统的解析解，可以通过假设解的形式，代入方程中，得到解的表达式。
常见的假设解形式有指数函数、正弦函数和余弦函数等。
假设解的形式为x = A * e^(λt)，其中A为振动的幅度，λ为待确定的常数。
将假设解代入方程中，可以得到特征方程：m * λ^2 + c * λ + k = 0解特征方程可以得到两个特征根λ1和λ2。
根据特征根的不同情况，可以分为三种情况：过阻尼、临界阻尼和欠阻尼。
3. 过阻尼情况当特征根为实数且大于零时，即λ1和λ2为两个不相等的实数，称为过阻尼情况。
过阻尼情况下，阻尼力的影响比弹簧力和质量的影响都大，振动系统的振动会逐渐减弱并趋于平衡位置。
过阻尼情况下的解析解为：x = A1 * e^(λ1t) + A2 * e^(λ2t)其中A1和A2为待确定的常数。
4. 临界阻尼情况当特征根为实数且相等时，即λ1和λ2为两个相等的实数，称为临界阻尼情况。
临界阻尼情况下，振动系统的振动会逐渐减弱并趋于平衡位置，但速度的减小速度比过阻尼情况下慢一些。
临界阻尼情况下的解析解为：x = (A1 + A2t) * e^(λt)其中A1和A2为待确定的常数。
弹簧阻尼系统动力学模型adams仿真
震源车系统动力学模型分析报告一、项目要求1）独立完成1个应用Adams软件进行机械系统静力、运动、动力学分析问题，并完成一份分析报告。
分析报告中要对所计算的问题和建模过程做简要分析，以图表形式分析计算结果。
2）上交分析报告和Adams的命令文件，命令文件要求清楚、简洁。
二、建立模型1）启动admas，新建模型，设置工作环境。
对于这个模型，网格间距需要设置成更高的精度以满足要求。
在ADAMS/View菜单栏中，选择设置（Setting）下拉菜单中的工作网格（WorkingGrid）命令。
系统弹出设置工作网格对话框，将网格的尺寸(Size)中的X和Y分别设置成750mm和500mm，间距（Spacing）中的X和Y都设置成50mm。
然后点击“OK”确定。
如图2-1所表示。
图2-1设置工作网格对话框2）在ADAMS/View零件库中选择矩形图标，参数选择为“onGround”，长度（Length）选择40cm高度Height为1.0cm，宽度Depth为30.0cm，建立系统的平台，如图2-2所示。
以同样的方法，选择参数“NewPart”建立part-2、part-3、part-4，得到图形如2-3所示，图2-2图2-3创建模型平台3）施加弹簧拉力阻尼器，选择图标，根据需要输入弹簧的刚度系数K和粘滞阻尼系数C，选择弹簧作用的两个构件即可，施加后的结果如图2-4图2-4创建弹簧阻尼器4）添加约束，选择棱柱副图标，根据需要选择要添加约束的构件，添加约束后的模型如2-5所示。
图2-5添加约束至此模型创建完成三、模型仿真1)、在无阻尼状态下，系统仅受重力作用自由振动，将最下层弹簧的刚度系数K设置为10，上层两个弹簧刚度系数均设置为3，小物块的支撑弹簧的刚度系数为4，阻尼均为0，进行仿真，点击图标，设置EndTime为5.0，StepSize为0.01，Steps为50，点击图标，开始仿真对所得数据进行分析。
选择物块的位移、速度、加速度与时间的图像如图3-1、3-2、3-3所示，经过傅里叶变换之后我们可以清楚地看到系统的各阶固有频率。
弦的阻尼振动
本问题的数学表述为：长为L且两端固定的弦在阻力与速度成正比的某介质中自由微振动，反射点在x =0和x=L处为固定端。U(x,0) = ， 。设波在固定端反射时无能量损失,弦的线质量密度为ρ,弦中张力为T ,阻尼系数为γ,则弦上任意一点的运动方程为
ρUtt - TUxx +γUt =0
令
T/ρ= a, γ/ρ=2h(1)
//键盘建按下
void demoApp::KeyDown(UINT key)
{
}
//键盘建松开
void demoApp::KeyUp(UINT key)
{
}
//鼠标左键按下
void demoApp::LeftButtonDown(int x, int y, int keyFlag)
{
}
//鼠标左键松开
【摘要】讨论了两端固定的弦在某介质中运动的数学形式，通过一个合适的数学模型计算得到微分方程的解，并利用科学计算与模拟软件平台模拟绘制计算结果,得到驻波波形。让数学形式的方程在图像上动起来，对方程的有关变量给予形象的反映，能够更深刻的理解波动方程。
【关键词】驻波；阻尼；微分方程；计算机模拟绘制
1前言
两端固定的弦，在一定条件下在某介质中做阻尼运动，通常为了数学推导简单，假定振幅在传播过程中保持不变。这与实际情况不完全相符.实验中可观察到驻波最后一个波腹的高度与第一个波腹的高度不相等的现象。引起该现象的原因有多种，例如存在辐射阻尼、摩擦阻尼等。弱阻尼条件下，振幅应随传播距离的增加而线性衰减，选择一个合适的数学模型来反映有阻尼时的驻波振动，采用传统的微分方程法求解，并用科学计算与模拟软件平台模拟驻波振动的波形及其变化。
break;
case 2:
数学建模案例-大学物理-阻尼振动
数学模型案例-阻尼振动的数学模型问题背景与描述：简谐振动是一种无阻尼振动，而实际上，任何振动物体都要受到阻力的作用，这种振动叫阻尼振动。
阻尼振动有摩擦阻尼和辐射阻尼两种。
根据实验证实，当物体以不太大的速率在粘性介质中运动时，介质对物体的阻力与物体的运动速率成正比，方向与运动方向相反。
数学模型阻力与速率的关系：-------阻尼系数，它与物体的形状、大小及介质有关。
对弹簧振子，在弹性力及阻力的作用下，物体的运动方程为（此处自行思考：得到该模型的基本原理是什么？）令 ，无阻尼时振子的固有角频率，为阻尼因子，代入上式后可得等价形式：数学模型的解 在阻尼作用较小时，即，此微分方程的解为)cos(00ϕωβ+=-t e A x t其中 此时阻尼振动的周期为当时，这种阻尼振动称为欠阻尼； 当时，称为过阻尼； 当时，称为临界阻尼。
*****进一步的学习资料*******：解上述二阶微分方程，Matlab只要用一个函数ode23就能解决问题。
那我们现在就开始学吧！ode23函数可以用来解微分方程组，但只能是一阶的。
所以对于二阶的微分方程，我们可以将其分解成两个一阶的方程来解。
而且使用此函数，必须提前编写一个ode文件（ode文件）。
ode文件是一种函数M文件，即：在m-file编辑器中，文件必须以function开头，后面跟的函数名必须与将来保存的M文件名一致。
函数文件第一句的具体形式为：function y=name(x)其中为y输出变量名，x为变量，name为函数名，保存时文件名必须是name.m。
当函数有一个以上的输出函数时，输出参数包含在方括号里，变参包含在圆括号里，即函数文件的第一行的具体形式为：function [out1,out2,…]=name(in1,in2,…)例：计算数组元素的平均值解：functiony=average(x)y=sum(x)/length(x)解微分方程的函数ode23调用格式为：ode23('FUN',TSPAN,YO)其中，FUN为字符串，表示微分方程的ode文件名，TSPAN=[TO,TFINAL]表示积分区间，YO为初始条件。
机械振动5多自由度系统10-11有阻尼.
i 2 i n) η
式中， N 0i u ( i ) F0
T
(i 1,2,, n)
则正则坐标的稳态响应：
ηi (t )
式中， H i ( )
N 0i
, arctan2 i i , , i i (1 i2 ) 2 (2 i i ) 2 1 i2 i 频率比 相位角 正则坐标的放大因子 2018 年12月2日
《振动力学》
4
例如：三自由度系统
2k
m
x1
k
x2 m
k
x3 m
2k
c
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
3k K k 0
k 2k k
0 k 3k
c 0 0 C 0 0 0 0 0 0
一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼。
2018年12月2日 《振动力学》
2
有阻尼的 n 自由度系统的强迫振动方程为：
Cq Kq F (t ) Mq
阻尼矩阵 元素 cij 阻尼影响系数
q Rn
物理意义：是使系统仅在第 j 个广义坐标上产生单位速度而 相应于第 i 个坐标上所需施加的力 阻尼力为广义速度的线性函数 表示为：
6 k u T Ku 0 0 0 6k 0 0 12k 0
1 1 1 u 2 0 1 1 1 1
0 6 m 0 uT Mu 0 2 m 0 0 3m 0
2018年12月2日 《振动力学》
5.10 多自由度系统的阻尼
2018年12月2日 《振动力学》
1
任何实际的机械系统都不可避免的存在着阻尼因素 材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等 由于各种阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达。 在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略 阻尼力的存在，近似地当作无阻尼系统。 当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂 的情况下，阻尼的影响是不能忽略的。
matlab弹簧阻尼系统仿真书
MATLAB弹簧阻尼系统仿真书引言弹簧阻尼系统是工程中常见的一种物理系统，它由弹簧和阻尼器组成，用于控制和减缓振动和冲击。
在工程设计和分析中，仿真是一种重要的工具，可以帮助工程师更好地理解系统的行为和性能。
MATLAB是一款功能强大的数值计算软件，它提供了丰富的工具和函数，可以方便地进行弹簧阻尼系统的仿真。
MATLAB基础知识在开始进行弹簧阻尼系统的仿真之前，我们需要对MATLAB的基础知识有一定的了解。
MATLAB是一种解释型的编程语言，它的语法和操作与数学和工程领域的问题紧密相关。
我们需要了解MATLAB中的变量定义、矩阵运算、函数定义和调用等基本操作。
弹簧阻尼系统的数学模型在进行仿真前，我们需要先建立弹簧阻尼系统的数学模型。
弹簧阻尼系统可以用二阶微分方程来描述，其中包括质量、弹簧系数和阻尼系数等参数。
我们需要将这些参数转换为MATLAB中的变量，并定义系统的微分方程。
弹簧阻尼系统的仿真步骤步骤一：定义系统参数首先，我们需要定义弹簧阻尼系统的参数，包括质量、弹簧系数和阻尼系数等。
这些参数将用于建立系统的数学模型。
步骤二：建立系统的微分方程根据弹簧阻尼系统的数学模型，我们可以建立系统的微分方程。
在MATLAB中，我们可以使用函数定义的方式来表示微分方程。
通过定义一个函数，我们可以将微分方程转化为MATLAB中的可调用函数。
步骤三：选择数值求解方法在进行仿真时，我们需要选择合适的数值求解方法来求解系统的微分方程。
MATLAB 提供了多种求解方法，包括欧拉法、龙格-库塔法等。
我们需要根据系统的特点选择适合的数值求解方法。
步骤四：进行仿真计算在完成前面的准备工作后，我们可以进行仿真计算了。
通过调用MATLAB中的求解器函数，我们可以得到系统在不同时间点的状态和响应结果。
可以绘制系统的位移、速度和加速度等随时间的变化曲线。
弹簧阻尼系统的仿真案例为了更好地理解弹簧阻尼系统的仿真过程，我们将以一个具体的案例来进行说明。
多自由度(线性)阻尼系统振动讲义
第3章 多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程 3 多自由度线性系统的振动
例3.2 建立三自由度系统的振动微分方程
柔度系数：单位外力所引起的系统位移 ，定 义系统第j个坐标上作用的单位力在第i个广 义坐标上所引起的位移为柔度系数 h 。 ij
三自由度系统
在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， x =1/k ， 1 1 2 3 1 1 2 1 x =1/k ，即h = h = k = 1/k ； 3 1 11 21 31 1 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 2 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x = 1/k +1/k ，即柔度系数h = 1/k ， h = k = 1/k +1/k ，； 2 1 2 3 1 2 12 1 22 32 1 2 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 3 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x =1/k +1/k +1/k 。即柔度系数x =1/k ， x =1/k +1/k ， x = 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1/k +1/k +1/k 。 1 2 é1 3 ù 1 1 振动 ê k m x ü k k ú é 1 0 0 ùì &&1 ü ì x ü ì 0 1 1 1 1 ï ê ú ê 0 m 0 ú ï && ï +ï x ï =ï0 1 1 + 1 x ý í 2 ý í ý 微分 ê 1 k 1 k + k 2 ú í 2 úê k k 1 1 2 1 2 ï ï ï ï ï ï 1 + 1 1 +1 + 1 ú ê 0 0 m ú î&&3 þ îx þ î0 3 û x 3 ë þ 方程 ê 1 ê k k k k k k ú 1 2 1 2 3 û ë 1
简谐振动运动方程的推导
简谐振动运动方程的推导简谐振动是物理学中最基本和重要的振动之一。
它包括许多不同类型的运动，如弹簧振子、单摆、LC电路中的振荡电流等。
这些系统的共同特点是它们的运动都可以用简单的正弦或余弦函数来描述。
首先，假设一个振动系统在平衡位置附近振动，其位移可以表示为：x = A * sin(ωt + φ)其中，A 是振幅，ω 是角频率，t 是时间，φ 是相角。
该系统的运动方程可以表示为：F = -kx + b(d^2x/dt^2)其中，F 是外部力，k 是弹簧常数，b 是阻尼系数。
将位移表示式代入运动方程中，得到：F = -kA sin(ωt + φ) + b(d^2[A*sin(ωt + φ)]/dt^2)化简得：F = -kA sin(ωt + φ) + bω^2A*cos(ωt + φ)*2t设 F0 是使得系统达到平衡位置的最大外部力，则有：F0 = kA因此，运动方程可以改写为：d^2x/dt^2 = (F0/b) * sin(ωt + φ) - ω^2x这就是简谐振动的运动方程。
它是一个二阶线性常微分方程，具有两个解，一个是正弦函数，另一个是余弦函数。
因此，该系统的振动形式可以表示为：x = X sin(ωt + φ) 或 x = X cos(ωt + φ)其中，X 是振幅，φ 是相角，而ω = (F0/b)^0.5 / A 是角频率。
注意这个角频率是与外部力 F0 和阻尼系数 b 有关的。
如果阻尼系数为零（无阻尼），则角频率为ω0 = (k/m)^0.5 / A，其中 m 是质量。
如果再加上外部驱动力 F(t) = F0 * cos(ω0 * t)，则该系统将做受迫振动，其振动形式为：x = X*cos(ωt + φ)这就是简谐振动的运动方程的推导过程。
它表明简谐振动可以用正弦或余弦函数来描述，并且其性质取决于外部力和阻尼系数。
在解决具体的振动问题时，这些结论可以被用来预测系统的行为和设计控制策略。
常微分四类振动方程
特征方程：
g 0 l
2
i,
g l
通解： (t ) c1 cost c 2 sint , c1 , c1为任意常数.
（4.41） A，θ为任意常数
(t ) A sin( t )
周期T与初始 状态无关，只 与摆长l相关
d 2
比较系数法： 非齐次特解：
随时间增大 振幅将无限大ห้องสมุดไป่ตู้从而破坏系统结构
非齐次通解： 自由周期振动
+
外力强迫振动
=非周期振动
共振现象：当外力频率p（达到）无限接近于系统 固有频率ω（即使外力振幅H很小），系统振幅将 （无限）充分大，从而破坏系统自身结构的现象！
4. 阻尼强迫振动
g , 2n l m
~ t k [ M cos t N sin t ]e t , 非齐次特解： 0, p, k为 i重数
分两种情况：
~ M cos pt N sin pt, (i ) p ( pi非特征根)： ~ t ( M cos pt N sin pt (ii) p ( pi特征根)：
特解
d 2 dt 2
2n
d 2 H s in p t dt
特解
振幅什么条件下最大？
利用外力 （圆）频率 可实现振幅 最大化！
非齐次通解：
自由阻尼衰减振动 （时间充分大可忽略）
+
外力强迫周期振动 =非周期振动 （主项）
振动主项中，但如果外力园频率p达到（或接近于）某固定频率， 即使施加的外力不大，随时间增长，质点振动运动的振幅将达到 最大。 共振现象 该频率称共振频率
振动表达式和方程
振动表达式和方程振动是物体在固定轴上做往复运动的现象。
振动是一种重要的物理现象，在自然界和人工系统中都广泛存在，如钟摆的摆动、弹簧的伸缩等等。
振动的表达式和方程是描述振动运动过程的数学工具，通过这些表达式和方程，我们可以准确地描述振动的特性和规律。
振动的表达式主要包括位置表达式、速度表达式和加速度表达式。
位置表达式用于描述物体在振动过程中的位置随时间的变化规律。
速度表达式用于描述物体在振动过程中的速度随时间的变化规律。
加速度表达式用于描述物体在振动过程中的加速度随时间的变化规律。
这些表达式可以通过对振动系统进行数学建模和求解得到。
振动的方程是用数学语言表示振动的规律和特性的等式。
常见的振动方程包括简谐振动方程和阻尼振动方程。
简谐振动方程描述了没有任何阻尼力和外力作用下的振动系统的运动规律。
简谐振动的方程可以用一个简单的三角函数来表示，通常是正弦函数或余弦函数。
简谐振动方程的一般形式可以写为：x(t) = A*cos(ωt + φ)其中，x(t)是振动物体的位置，A是振幅（即最大位移），ω是角频率，t是时间，φ是初相位。
阻尼振动方程描述了在存在阻力的情况下的振动系统的运动规律。
阻尼振动方程包括了阻尼力对振动系统的影响，通常是负反馈作用。
阻尼振动方程的一般形式可以写为：mx''(t) + bx'(t) + kx(t) = 0其中，m是物体的质量，x(t)是物体的位移，b是阻尼系数，k是弹性系数，x''(t)是物体的加速度。
振荡方程对于研究振动现象非常重要。
通过振动方程，我们可以推导出振动系统的各种运动特性，如周期、频率、振幅等。
振动方程也可以用于求解具体的问题，如求解振动系统运动的周期、频率或者特定时刻的位移。
振动方程还可以应用于振动的控制和调节，如调节弹簧的刚度和阻尼。
总之，振动的表达式和方程是描述振动现象的数学工具，通过这些表达式和方程，我们可以准确地描述振动的特性和规律。
弦振动的振型演示实验
一、实验目的 1851 年，傅科在巴黎圣母院用 67 米长的单摆进行实验，根据摆的振动平面偏转效应证明地球
自转博得了很大的声誉，被命名为傅科摆。我国北京自然博物馆门口就有一个傅科摆。我们将在实 验室重复这个相似实验。
通过实验，让学生观察实验现象，以及了解非惯性实验平台的组成和实验方法。 二、实验内容 1、 认识非惯性平台的各个组成部分； 2、 通过傅科摆演示，观察和理解地球的自转规律。
信号发生器
率时，获得各阶主振型。系统的前三阶的主振型如图 3 所示。
图2
第一阶主振型 第二阶主振型 第三阶主振型
图3
ω
n1=
πa l
， φ1 ( x)
=
πx l
ω n2
=
2π l
a
，φ（2 x)
=
2π l
x
ω n3
=
3π l
a
，φ（3 x)
=
3π x l
思考题 1．弦振动的固有频率与什么因素有关？ 2．如何从实验观察中判断振型的阶次？ 3．为什么利用稳态正弦激励可获得系统的各阶主振型？
=
iπa l
（i
= 1,2,3L）
主振型： φ i
(x)
=
sin
iπx l
（
i
=
1,2,3L）
系统的受迫振动响应可表示为各阶主振型的线性组合，即
（2)1 （2)2
∑ y( x, t )
=
∞ i =1
H
i
(t
)
sin
iπx l
（3）其中
H i (t) （ i = 1,2,3L）称为主坐标，它表示系统各相应阶主振型对响应的贡献。 将式（3）代入式
含摩擦阻尼器非光滑振动系统的建模与数值仿真
含摩擦阻尼器非光滑振动系统的建模与数值仿真朱琳;王琪;张润森【摘要】The dynamic behavior of vibration systems with hybrid dampers is investigated in this paper.Two types of hybrid dampers are introduced,where one is viscous damper with friction and the other is spring damper with friction.The Coulomb's law of dry friction is used to describe frictional forces in these hybrid dampers and hybrid damper mass is ignored.The numerical methods for computing damp forces of these two hybrid dampers are given.The amplitudes of viscous forces and spring forces at hybrid dampers can be changed by controlling normal forces at hybrid dampers,respectively.The dynamic equations of 1-DOF and 2-DOF vibration systems with the hybrid dampers are thenobtained,respectively.The simulation for the 1-DOF vibration system with hybrid dampers is taken to study the influence of the static friction coefficient and dynamic friction coefficient.The dynamical behavior of the 2-DOF vibration system with hybrid dampers is then analyzed.The amplitude response curves of these vibration systems are also given.The simulation results show that the non-smooth vibration systems with hybrid dampers can achieve better properties of reducing vibration amplitude by controlling normal forces at friction dampers.%研究了含干摩擦粘/弹性构件的两类非光滑减振器的动力学问题.首先,建立了含摩擦粘性构件和含摩擦弹性构件的力学模型,其中摩擦模型采用Coulomb干摩擦模型,不计弹性构件和粘性构件的质量,给出了该构件粘性力和弹性力的计算方法,通过控制摩擦阻尼器的正压力调整混合阻尼器的粘性力的最大值和弹簧力的最大值.分别建立了含摩擦粘/弹性阻尼器的单自由度和二自由度振动系统的动力学方程,通过数值仿真,首先分析了动、静摩擦系数对含摩擦粘/弹性构件单自由度振动系统动力学特性的影响,然后分析了含摩擦粘/弹性构件二自由度振动系统的动力学特性,仿真结果表明,通过控制摩擦阻尼器受到的的正压力获得更好的减振效果.【期刊名称】《动力学与控制学报》【年(卷),期】2017(015)002【总页数】6页(P172-177)【关键词】非光滑动力学;摩擦阻尼器;Coulomb干摩擦;数值仿真【作者】朱琳;王琪;张润森【作者单位】北京航空航天大学航空科学与工程学院,北京100083;北京航空航天大学航空科学与工程学院,北京100083;北京航空航天大学航空科学与工程学院,北京100083【正文语种】中文在航空、航天、机械、车辆、建筑等诸多领域中,减振始终是人们关注的重要问题.例如,在建筑领域,为减少地震对建筑结构带来的损害,人们发展并运用了结构抗震技术和结构减震技术.然而,单纯运用结构抗震技术,比如通过提高构件的强度来减少结构振动,会使得建造成本增加.相比之下,采用结构减震技术,由附加的结构吸收大部分外荷载带来的能量,可以节省许多建造成本.结构减震控制技术可分为被动控制、半主动控制、主动控制、混合控制和智能控制[1].其中被动控制具有成本低和维护方便等优点.近十年来,Bakre等人[2]采用数值方法研究了调频质量阻尼系统(TMD)的参数优化问题.Brizard等人[3]研究并设计了一种含摩擦的弹性减振构件以减少发动机的振动对运载火箭的影响.Minagawa等人[4]将含摩擦的粘性构件用于建筑物的减振,分析了在地震波作用下结构的动力学响应,以及该构件吸收地震波的能力.Chung等人[5]通过数值方法研究了含摩擦的半主动控制TMD系统,通过控制摩擦力提高系统的减振效果.Weber等人[6]设计了一个TMD与磁流变阻尼器共同工作的结构,使得主结构的振动减少60%.Wang等人[7,8]研究了含摩擦的TMD系统在机械加工中的减振效果.Brizard和Minagawa分别建立了含摩擦的弹性减振构件和含摩擦的粘性减振构件的力学模型,分析了两种构件单独用于结构上的减振效果,其中摩擦阻尼器的摩擦模型采用了Coulomb干摩擦模型,但假设了动、静摩擦系数相同,且未研究两种构件共同用于结构时的减振效果.Chung、Weber和Wang各自设计并分析了在主体结构和子结构之间放置含摩擦构件的TMD系统的减振效果,但未研究将含摩擦的减振构件放置在主体结构上的减振效果.为研究TMD系统中含摩擦的非光滑粘/弹性减振构件共同作用在主体结构上的减振特性,本文将首先建立含摩擦(动、静摩擦系数不相等)非光滑粘/弹性构件的力学模型；然后给出含摩擦的非光滑粘/弹性构件单自由度振动系统的动力学方程和含摩擦的非光滑粘/弹性构件二自由度TMD系统的动力学方程；最后通过算例,利用数值仿真方法分析了含摩擦的非光滑粘/弹性构件对上述系统减振的效果.1.1 摩擦阻尼器的摩擦模型摩擦模型有很多种,其中Coulomb干摩擦模型是既简单又能较好地反映摩擦特性的摩擦模型[9].本文研究的非光滑减振器采用的是Coulomb干摩擦模型.含Coulomb干摩擦阻尼器的力学模型如图1所示,其中xf为摩擦片的相对坐标.若不计摩擦片质量,应用非光滑动力学方法[10],作用于摩擦片左端(图1所示)的力可式中,μ和μ0分别为摩擦片之间的动、静摩擦系数；FN为摩擦片所受的正压力；分别是xf对时间的一阶和二阶导数；sgn()为符号函数,Sgn为集值函数[11-12],可表示为:由式(1)和式(2)可以看出,是关于的非光滑函数[10],且当和均为零时,即摩擦片处于粘滞(stick)状态时,的取值是一个范围.1.2 含摩擦的非光滑粘/弹性构件的力学模型摩擦阻尼器与其他构件串联成为混合阻尼器,这在实际工程中十分普遍.含摩擦粘性构件和含摩擦弹性构件的力学模型如图2所示,构件质量通常忽略不计[13].设粘性构件两端点的坐标分别用x1和xc表示,FNC为其摩擦片的正压力,如图2(a)所示；弹性构件两端点的坐标分别用x1和xk表示,FNK为其摩擦片的正压力,如图2(b)所示.图2(a)所示的含干摩擦粘性构件的阻尼力与摩擦片是否滑动有关.当摩擦片滑动时,即则该时刻的阻尼力可表示为:(ti)=-μFNCsgn[(ti)] if (ti)≠0当摩擦片无滑动时,即则该时刻的阻尼力可表示为:式中,下一步摩擦片是否滑动可由下式判断:如果与同号,则摩擦片滑动,否则不滑动.同理,图2(b)所示的含干摩擦弹性构件的弹性力也与摩擦片是否滑动有关.当摩擦片有滑动时,即则此时该构件的弹性力可表示为:式中,(ti)=-k2[x1(ti)-xk(ti)]当摩擦片无滑动时,即则此时该构件的弹性力可表示为:下一步摩擦片的滑动速度可用下式判断:下一步的xk(ti+1)可表示为:xk(ti+1)=x1(ti)+Ffk1(ti)/k21.3 单自由度非光滑振动系统的力学模型图3(a)是单自由度非光滑振动系统的力学模型.设滑块质量为m1,左侧与刚度系数为k1的弹簧和阻尼系数为c1的阻尼器连接,右侧与含摩擦的非光滑粘/弹性构件连接,滑块的水平坐标为x1,在外激励F1(t)的作用下运动.滑块m1受力如图3(b)所示,其中Ffc1和Ffk1是含摩擦粘弹性构件作用在滑块上的力,且其值由前面给出的公式确定,该滑块的动力学方程为:m1(t)=F1(t)+Ffc1(t)+Ffk1(t)-Ff1(t)式中,F1(t)=m1Asin(ωt)其中A,ω为常量.1.4 二自由度非光滑振动系统(TMD)的力学模型图4(a)所示的二自由度非光滑振动系统是在图3(a)所示的力学模型基础上增加了一个线性质量-弹簧-阻尼子系统.两个滑块相对基座的水平坐标分别为x1和x2 . 两滑块的受力如图4(b)和(c)所示,其动力学方程为:式中,k3(x1(t)-x2(t))由于摩擦力的存在,上述动力学方程是不连续,不易用解析方法分析其动力学特性,通常采用数值方法来分析.2.1 对动、静摩擦系数的讨论Brizard和Minagawa等人在研究含摩擦粘/弹性减振器时,假设了动、静摩擦系数相同[3-4],而在现实中动摩擦系数通常小于静摩擦系数.本文以图3所示系统为例分析动静摩擦系数对其幅频特性的影响.设外激励频率ω范围为：0.0～20.0rad/s,且相关参数为：A=10m/s2,m1=5.0kg,k1=500.0N/m,c1=5.0Ns/m,k2=110.0N/m,c2=17.0Ns/ m,FNK=74.53N,FNC=121.88N.分别取μ0=μ=0.22和μ=0.22,μ0=0.3时,图5给出了外激励频率在8.0～14.0rad/s范围内的幅频特性曲线.从仿真结果可以看出,在μ0=μ和μ0>μ两种情况下,幅频特性曲线不同.最大幅值由0.2215m 变为0.1909m,幅值减小16%,对应的外激励频率由10.6rad/s变成10.4rad/s.2.2 单自由度非光滑振动系统的仿真分析系统如图3所示,设m1,k1,c1,k2,c2等参数同上,取μ=0.22, μ0=0.3.由文中1.2和1.3中的公式可知,对于本文给出的单自由度非光滑振动系统的动力学方程是分段线性的,理论上可给出每段方程的解析解(积分常数由初始条件确定).由于判断滑动摩擦片stick-slip状态切换的表达式比较繁琐,且每个分段给出的动力学方程解析解的初始条件均要由前一段方程解的末端运动状态确定,由此导致动力学方程解析解的表达式不易直观地体现该系统的振动特性.在此,本文采用数值分析方法来研究其振动特性.下面分五种情况进行数值仿真分析：Case1：FNK=0.0N, FNC=0.0N；Case2：FNK=0.0N, FNC=128.23N；Case3：FNK=180.0N, FNC=0.0N；Case4：FNK=74.53N, FNC=121.88N；Case5：FNK和FNC充分大,摩擦片无滑动.图6为五种情况下,该振动系统的幅频特性,其中横坐标为外激励频率,纵坐标为振幅.在Case1的条件下,含摩擦阻尼器未发挥作用,此时系统的阻尼比为0.05[14],最大幅值为1m,对应的外激励频率为10rad/s.在Case2的条件下,该系统的最大振幅为0.3073m,对应的外激励频率为9.9rad/s.在Case3的条件下,该系统的最大振幅为0.5685m,对应的外激励频率为10.7rad/s.在Case4的条件下,两个摩擦阻尼器在外激励频率为10～11.8rad/s的范围内其摩擦片会出现stick-slip现象,如图7所示；该系统的最大振幅为0.1909m,对应的外激励频率为10.4rad/s.在Case5的条件下,摩擦阻尼器的摩擦片未发生滑动,此时该系统的阻尼比为0.2,最大幅值为0.21m,对应的外激励频率为10.6rad/s.由此可见,可以通过控制含摩擦阻尼器摩擦片的正压力来改变系统的阻尼和刚度,以实现对系统振动的控制.2.3 二自由度非光滑振动系统(TMD)的仿真分析振动系统如图4所示,设m1,k1,c1,k2,c2,μ,μ0同上,m2=0.5kg,k3=40.0N/m,c3=1.9Ns/m.下面分五种情况进行数值仿真分析：Case6：FNK=0.0N, FNC=0.0N；Case7：FNK=0.0N, FNC=91.58N；Case8：FNK=129.96N, FNC=0.0N；Case9：FNK=56.26N, FNC=91.11N；Case10：FNK和FNC充分大,摩擦片无滑动.图8为主体滑块m1的幅频特性曲线,其中横坐标是外激励频率,纵坐标为主体滑块的振幅.在Case6的条件下,含摩擦减振器不发挥作用,振幅的两个峰值分别为0.3437m和0.3289m,对应的外激励频率分别为8.4rad/s和10.3rad/s.在Case7的条件下,主体滑块振幅的两个峰值为0.196m和0.1672m,对应的外激励频率分别为7.7rad/s和10.5rad/s.在Case8的条件下,主体滑块振幅的峰值为0.2766m,对应的外激励频率为11rad/s.在Case9的条件下,主体滑块振幅的两个峰值为0.1495m和0.1493m,对应的外激励频率分别为8rad/s和11.4rad/s.在Case10的条件下,摩擦阻尼器的摩擦片始终不滑动,主体滑块振幅的两个峰值分别为0.1544m和0.1503m,对应的外激励频率分别为8.1rad/s和11.1rad/s.由此可见,将非光滑阻尼器与吸振器(m2,k3,c3)综合使用能得到更好地减振效果.关于系统参数对减振效果进一步分析,可通过无量纲化对系统进行动力学仿真,可得到更加全面细致的分析结果.本文研究了含摩擦的非光滑粘/弹性构件对两种非光滑振动系统的减振效果.本文给出了含Coulomb干摩擦的粘性构件和弹性构件的力学模型以及相应的算法,建立了含摩擦粘/弹性构件的单自由度振动系统和二自由度振动系统的动力学方程. 数值仿真表明,当摩擦片的动、静摩擦系数不同时,其动力学特性是不同的;认为动、静摩擦系数相同,既不符合事实,也不能真实地反映系统动力学特性.通过数值仿真,分析了含摩擦粘/弹性构件对振动系统幅频特性的影响,改变摩擦片的正压力可以改变系统的刚度和阻尼,从而提高减振效果；单自由度振动系统的幅值降到0.1909m,与原系统(无摩擦粘弹性构件的振动系统)相比最大振幅降低了80.91%；二自由度振动系统的幅值降到0.1495m,与原系统相比最大振幅降低了85.05%.因此,可利用含摩擦的非光滑粘/弹性构件,通过控制摩擦片的正压力提高系统的减振效果.*The project supported by the National Natural Science Foundation of China (11372018)† Corresponding author E-mail:****************【相关文献】1 赵鸿铁,徐赵东,张兴虎. 耗能减震控制的研究,应用与发展. 西安建筑科技大学学报(自然科学版), 2001,23(1):1～5 (Zhao H T, Xu Z D, Zhang X F. Study, application and development of energy dissipation and damping control. Journal of Xi′an University of Architecture & Technology, 2001,23(1):1～5 (in Chinese))2 Bakre S V, Jangid R S. Optimum parameters of tuned mass damper for damped main system. Structural Control & Health Monitoring, 2007,14(3):448～4703 Brizard D, Besset S, Jézéquel L, et al. Design and test of a friction damper to reduce engine vibrations on a space launcher. Archive of Applied Mechanics, 2012,83(5):799～8154 Minagawa K, Fujita S, Kawamura T, et al. Seismic response analysis of industrial building with viscous-friction hybrid dampe. In: ASME 2013 Pressure Vessels and Piping Conference. 2013:V008T08A0395 Chung L L, Lai Y A, Yang C S W, et al. Semi-active tuned mass dampers with phase control. Journal of Sound & Vibration, 2013,332(15):3610～36256 Weber F. Semi-active vibration absorber based on real-time controlled MR damper. Mechanical Systems & Signal Processing, 2014,46(2):272～2887 Wang M, Zan T, Yang Y, et al. Design and implementation of nonlinear TMD for chatter suppression: An application in turning processes. International Journal of Machine Tools & Manufacture, 2010,50(5):474～4798 Wang M. Feasibility study of nonlinear tuned mass damper for machining chatter suppression. Journal of Sound & Vibration, 2011,330(9):1917～19309 刘丽兰,刘宏昭,吴子英等. 机械系统中摩擦模型的研究进展. 力学进展, 2008,38(2):201～213 (Liu L L, Liu H Z, Wu Z Y, et al. An overview of friction models in mechanical system. Advances in Mechanics, 2008,38(2):201～213 (in Chinese))10王琪,庄方方,郭易圆等. 非光滑多体系统动力学数值算法的研究进展. 力学进展,2013,43(1):101～111 (Wang Q, Zhuang F F, Guo Y Y, et al. Advances in the research on numerical methods for non-smooth dynamics of multibody systems. Advances in Mechanics, 2013,43(1):101～111 (in Chinese))11Zhuang F F,Wang Q. Modeling and simulation of the nonsmooth planar rigid multibody systems with frictional translational joints. Multibody System Dynamics, 2013,29(4):403～42312Acary Vincent,Brogliato Bernard. Numerical methods for nonsmooth dynamical systems. Berlin: Springer-Verlag, 200813李少康. 控制工程基础. 西北工业大学出版社, 2005 (Li S K. Fundamentals of control engineering. Northwest Industrial University Press, 2005 (in Chinese))14GB 50011-2010建筑抗震设计规范. 北京：中国建筑工业出版社, 2010 (Code for seismic design of building (GB 50011-2010). Beijing: China Building Industry Press, 2010 (in Chinese))。
阻尼作用下的弦振动研究
源所给出的能量确实全部用来补偿因阻尼存在而损耗的能量, 这样的弦振动将能持续稳 定的振动下去.
3 结束语
对于实际弦振动过程而言, 阻尼总是存在的 . 所以策动源需要不断地振动以补充能 量, 否则弦振动就要停下来. 而在阻尼因子 Β 较小的情况下, 把各振幅极小值分布近似 地看成等间距分布, 而各相邻极小值之间的距离都近似的等于半波长, 这样的处理在一 般的测量过程是可以被接受的. 因为在通常的弦振动过程中, Β Ξ 值都非常小, 一般只有 几十分之一到几百分之一, 所以对于上述的处理结果其误差只有千分之几左右 . 另外, 由于策动源的振幅 A 通常都很小. 如果在实验过程中能恰当地调节弦长或策 动频率, 从而使得策动源处在振幅极小值的位置上或其附近, 将会使弦振动有一个较大 的振动幅度, 使有关的实验和测量进行得更加顺利 . 参 考 文 献
1 杨述武等. 普通物理实验: 力学、 热学部分. 北京: 高等教育出版社, 1990. 132—134 2 黄涛等. 弦振动实验中有关问题的讨论, 物理实验. 1990, 10 ( 1) : 9—12 3 梁昆淼. 数学物理方法. 第二版. 北京: 高等教育出版社, 1978. 151
Stud ies on dam ped osc illa tion of str ing
表 1 稳定振动的弦线上振幅极小值和振幅极大值位置
振幅极小值处的 X 值
X 1= 0 X 2= X 3= X 4= X 5=
振幅极大值处的 x 值
x 1=
(1+ 01010) (1+ 01012) (1+ 01015) (1+ 01022) (1+ 01043)
(1- 01011)2Κx 2= x 3= x 4= x 5=
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含有阻尼项的弦振动方程及其仿真
内容提要：
本文通过对古典吉他的琴弦振动情况建立数学物理方程，得到一个含有阻尼项的双
曲型方程的初边值问题，对解用Matlab进行仿真。
最后依据弦振动方程的结果，列举
了在这种情况下几种泛音的位置，并结合该方程，对右手给出指导。
关键词
数学物理方程，Matlab，驻波。
引言：
在弦乐器表演中常用到泛音这样的一个技巧，即左手虚按琴弦，滤掉一部分波在琴
弦上形成驻波。
比如在弦的三分点进行滤波，则波长的三倍不能被弦长整除的波，将会
被滤掉。
但是在拨弦乐器的教学中，关于泛音的位置一直是老师们口口相传。
而且某些
泛音准确位置并不在拨弦乐器的品（山口）上，所以缺乏理论指导。
在国内的研究领域中，韩佩琪《弦乐器泛音的分析及应用》一文中只是对弹拨乐器
的空弦状态下进行求解而且忽略了空气的阻力，而且并没有结合列出的解给出演奏技巧
上的指导。
而邱桂明《阻尼作用下的弦振动研究》的初边值条件并不符合乐器的条件。
另外在周伟《古典吉他演奏教程》以及相关的一些吉他教学视频中只是提及了左手虚按
的位置，关于右手的位置没有给出一个指导。
综上来看，国内研究领域，对定弦振动泛
音的理论研究尚处于一个盲区。
然而一维双曲型微分方程的理论已经比较完善给本文提
供了理论依据，给研究带来了可行性。
一、模型建立：
如图所示：琴弦的初始状态：
1
其中h是弹拨弦与初始位置间的距离，b是弹拨点距离原点的距离，l表示弦的长度。
弦的两端是静止不动的，从而边值条件：为u(0,t)=u(l,t)=0
其中t表示振动时间。
列出方程：
其中：错误!未找到引用源。
，而T表示琴弦松弛时的张力，错误!未找到引用源。
表示琴弦线密度。
边值条件：
初值条件：
二、问题的求解
从物理上知道，一个复杂的振动往往可以分解成许多简单的振动的叠加。
如弦振动所发出的声音可以分解成各种不同频率的单音叠加。
相应于每种单音，弦振动时波形保持不变，从而当时间变化是个点的振幅做同步的变化，所以可以有如下形式：
带入到原方程会得到：
分离变量：
等式左右两边相等，左边仅是t的函数，右边仅是x的函数，左右两边要相等，只有等于同一个常数才可能。
设此常数为错误!未找到引用源。
则得到两个常微分方程。
得到以下通解：
因为阻尼系数很小，所以
2
接下来带入初边值条件
得：
得：
在代入：
显然错误!未找到引用源。
所以错误!未找到引用源。
再代入：
用正弦级数来求：
从解的表达式来看，和式的结果应当有界，而外面的指数函数可以使得波的振幅逐渐减小，与含有阻尼的弹簧震动相类似。
其中每一个单音的波长和与之对应的频率，分
3
别为l/k,1/2错误!未找到引用源。
三、仿真模拟
由于求和结果不是基本初等函数，我们将用MATLAB采取级数的部分和来模拟.
在这一部分，我们统一设弦长l=0.64m,拨弦位置b=0.55m，弦的张力T=24.5N，弦的线
密度0.005kg/m3.
首先模拟基音：既k=1,2,3,4,5
Fig_5_1
（注：Fig_5_1 中左图，[0,0.64] 轴代表弦长，[0,0.03]轴代表时间，而纵轴在弦上一点，随时间的前进的位移. 由图中选取的是距离左端点0.55处，即拨弦处的样本，而琴真
正的发音是通过共鸣箱传出来的声音，所以右图不是声音真正的波形，但在表示频率方
面具有代表性。
）
以下我们将结合方程的解来研究泛音的性质。
2分点泛音就是滤掉在l/2处没有波节的音：即k=2,4,6,8,10 其不动点为0.32m处，
即吉他中的第12品位置，可以看出在诸多的泛音中，中点处的泛音是最稳定的，在实
践中也会发现12品处的泛音效果最为明显最为动听。
Fig_5_2
3分点泛音：k=3,6,9,12,15
其不动点位置有两个，x=0.2133m，x= 0.4267m 即吉他第七品与第八品之间的位置。
和18 与19品之间。
既然二者效果相同，对于古典吉他的初学者来说可以用7品代替19品处的泛音，即可达到需要的效果。
4
Fig_5_2
4分点泛音：k=4 8 12 16 20 333.33Hz
其不动点位置也有两个x=0.16m，x=0.48m 恰好在第4品处，而另一个地方则由于吉他指板的限制而没有品。
Fig_5_3
5分点泛音：k=5 10 15 20 25
其不动点位置也有x= 0.1280，0.2560,0.384，0.512，但是有品的只有4品，9品，15品。
并且泛音效果十分不明显，在实践中也发现其杂音较重。
Fig_5_4
四、对右手的建议：
以下我们将结合以上内容，给出一些不合适的右手弹拨位置，希望演奏者加以回避。
1．三分点，在弹拨三分点的时候左手放在在了l/3 处，右手如果放在2l/3处时，将会导
致如下结果：
5
Fig_6_1
弦振动的振幅达到了10-19人耳听不到。
所以需要回避这一点。
2.四分点泛音：左手虚按l/4处，如果右手弹拨1/2处，结果是振幅也是过小而且波形紊乱。
振幅小于10-19，人耳依然听不到，所以要回避。
Fig_6_2
如果右手弹拨3l/4处，结果也是相类似的，需要回避。
Fig_6_3
Fig_6_3
对以上结果进行总结，在演奏泛音时，尽量避免弹拨弦的 l/3,l/4…等这一类的点，即可减
少泛音演奏的失败。
参考文献：
1.韩佩琪，《弦乐器泛音的分析及应用》
2.周伟，《古典吉他演奏教程》
3.邱桂明，苏建新，邱树业，《阻尼震动下的弦振动研究》
4.谷超豪，《数学物理方程》
5.丁同仁，《常微分方程》
Utilizing PDE to give several suggestions about overtone
performance with right hand
Abstract:
6
Based on the PDE of the classical guitar strings vibrations, we will get a hyperbolic equation with damping term in the initial boundary value problem. Then using separation of variables method for solving, and then to the Matlab simulation, to verify the correctness of the solution. Finally, according to the results of string vibration equation lists several of harmonic position in such a case, and combined with the equation, we will give some advice on right hand.
Key words：
PDE, Matlab, overtone.
7。