含有阻尼项的弦振动方程及其仿真

含有阻尼项的弦振动方程及其仿真

内容提要：

本文通过对古典吉他的琴弦振动情况建立数学物理方程，得到一个含有阻尼项的双

曲型方程的初边值问题，对解用Matlab进行仿真。最后依据弦振动方程的结果，列举

了在这种情况下几种泛音的位置，并结合该方程，对右手给出指导。

关键词

数学物理方程，Matlab，驻波。

引言：

在弦乐器表演中常用到泛音这样的一个技巧，即左手虚按琴弦，滤掉一部分波在琴

弦上形成驻波。比如在弦的三分点进行滤波，则波长的三倍不能被弦长整除的波，将会

被滤掉。但是在拨弦乐器的教学中，关于泛音的位置一直是老师们口口相传。而且某些

泛音准确位置并不在拨弦乐器的品（山口）上，所以缺乏理论指导。

在国内的研究领域中，韩佩琪《弦乐器泛音的分析及应用》一文中只是对弹拨乐器

的空弦状态下进行求解而且忽略了空气的阻力，而且并没有结合列出的解给出演奏技巧

上的指导。而邱桂明《阻尼作用下的弦振动研究》的初边值条件并不符合乐器的条件。另外在周伟《古典吉他演奏教程》以及相关的一些吉他教学视频中只是提及了左手虚按

的位置，关于右手的位置没有给出一个指导。综上来看，国内研究领域，对定弦振动泛

音的理论研究尚处于一个盲区。然而一维双曲型微分方程的理论已经比较完善给本文提

供了理论依据，给研究带来了可行性。

一、模型建立：

如图所示：琴弦的初始状态：

1

其中h是弹拨弦与初始位置间的距离，b是弹拨点距离原点的距离，l表示弦的长度。

弦的两端是静止不动的，从而边值条件：为u(0,t)=u(l,t)=0

其中t表示振动时间。

列出方程：

其中：错误!未找到引用源。，而T表示琴弦松弛时的张力，错误!未找到引用源。表示琴弦线密度。

边值条件：

初值条件：

二、问题的求解

从物理上知道，一个复杂的振动往往可以分解成许多简单的振动的叠加。如弦振动所发出的声音可以分解成各种不同频率的单音叠加。相应于每种单音，弦振动时波形保持不变，从而当时间变化是个点的振幅做同步的变化，所以可以有如下形式：

带入到原方程会得到：

分离变量：

等式左右两边相等，左边仅是t的函数，右边仅是x的函数，左右两边要相等，只有等于同一个常数才可能。设此常数为错误!未找到引用源。。则得到两个常微分方程。

得到以下通解：

因为阻尼系数很小，所以

2

接下来带入初边值条件

得：

得：

在代入：

显然错误!未找到引用源。

所以错误!未找到引用源。

再代入：

用正弦级数来求：

从解的表达式来看，和式的结果应当有界，而外面的指数函数可以使得波的振幅逐渐减小，与含有阻尼的弹簧震动相类似。其中每一个单音的波长和与之对应的频率，分

3

别为l/k,1/2错误!未找到引用源。

三、仿真模拟

由于求和结果不是基本初等函数，我们将用MATLAB采取级数的部分和来模拟.

在这一部分，我们统一设弦长l=0.64m,拨弦位置b=0.55m，弦的张力T=24.5N，弦的线

密度0.005kg/m3.

首先模拟基音：既k=1,2,3,4,5

Fig_5_1

（注：Fig_5_1 中左图，[0,0.64] 轴代表弦长，[0,0.03]轴代表时间，而纵轴在弦上一点，随时间的前进的位移. 由图中选取的是距离左端点0.55处，即拨弦处的样本，而琴真

正的发音是通过共鸣箱传出来的声音，所以右图不是声音真正的波形，但在表示频率方

面具有代表性。）

以下我们将结合方程的解来研究泛音的性质。

2分点泛音就是滤掉在l/2处没有波节的音：即k=2,4,6,8,10 其不动点为0.32m处，

即吉他中的第12品位置，可以看出在诸多的泛音中，中点处的泛音是最稳定的，在实

践中也会发现12品处的泛音效果最为明显最为动听。

Fig_5_2

3分点泛音：k=3,6,9,12,15

其不动点位置有两个，x=0.2133m，x= 0.4267m 即吉他第七品与第八品之间的位置。

和18 与19品之间。既然二者效果相同，对于古典吉他的初学者来说可以用7品代替19品处的泛音，即可达到需要的效果。

4

Fig_5_2

4分点泛音：k=4 8 12 16 20 333.33Hz

其不动点位置也有两个x=0.16m，x=0.48m 恰好在第4品处，而另一个地方则由于吉他指板的限制而没有品。

Fig_5_3

5分点泛音：k=5 10 15 20 25

其不动点位置也有x= 0.1280，0.2560,0.384，0.512，但是有品的只有4品，9品，15品。并且泛音效果十分不明显，在实践中也发现其杂音较重。

Fig_5_4

四、对右手的建议：

以下我们将结合以上内容，给出一些不合适的右手弹拨位置，希望演奏者加以回避。

1．三分点，在弹拨三分点的时候左手放在在了l/3 处，右手如果放在2l/3处时，将会导

致如下结果：

5

Fig_6_1

弦振动的振幅达到了10-19人耳听不到。所以需要回避这一点。

2.四分点泛音：左手虚按l/4处，如果右手弹拨1/2处，结果是振幅也是过小而且波形紊乱。振幅小于10-19，人耳依然听不到，所以要回避。

Fig_6_2

如果右手弹拨3l/4处，结果也是相类似的，需要回避。

Fig_6_3

Fig_6_3

对以上结果进行总结，在演奏泛音时，尽量避免弹拨弦的 l/3,l/4…等这一类的点，即可减

少泛音演奏的失败。

参考文献：

1.韩佩琪，《弦乐器泛音的分析及应用》

2.周伟，《古典吉他演奏教程》

3.邱桂明，苏建新，邱树业，《阻尼震动下的弦振动研究》

4.谷超豪，《数学物理方程》

5.丁同仁，《常微分方程》

Utilizing PDE to give several suggestions about overtone

performance with right hand

Abstract:

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