(整理)二次函数在各种区间上的最值.

合集下载

二次方程根的分布情况以及二次函数在闭区间上的最值归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。

分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

二次函数在各种区间上的最值

二次函数在各区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。

分析：将配方，得顶点为、对称轴为当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。

（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是当时，可类比得结论。

二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。

函数的最大值为，最小值为。

图1练习. 已知，求函数的最值。

解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。

将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。

函数的最小值为，最大值为。

图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。

解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。

图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。

当时，函数取得最小值。

图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。

二次函数在区间最值问题

专题研究:二次函数在区间内的最值问题1.二次函数轴定区间定问题:高中阶段,对二次函数的讨论很多.这几节课我们就围绕着二次函数的对称轴,与给定区间进行深入分析,先来看比较简单的情形,轴定区间定的问题.注意从求最值,和已知最值求区间的正反两个方面来分析问题.先看例题:例:已知函数()223f x x x =--.(1)若,0[]2x ∈-,求函数f (x )的最值;(2)若4[] 2,x ∈,求函数f (x )的最值;(3)若15,22[]x ∈,求函数f (x )的最值;(4)若13,22[x -∈,求函数f (x )的最值;解:已知二次函数开口向上,对称轴为x=1,结合图象:(1)当,0[]2x ∈-,在区间内函数单调递减,有()()max min (2)5,(0)3f x f f x f =-===-(2)当4[] 2,x ∈,在区间内函数单调递增,有()()max min (4)5,(2)3,f x f f x f ====-(3)当15,22[x ∈,在区间内函数先递减在递增,有()()max min 57(),(1)4,24f x f f x f ==-==-(4)当13,22[x -∈,在区间内函数先递减在递增,有()()max min 17(),(1)4,24f x f f x f =-=-==-归纳整理:轴定,区间定求二次函数的最值:区间在定轴的左、右两侧及定轴在区间内,注意开口方向确定函数在给定区间上的单调情况,最终确定二次函数的最值.练:函数2()21f x ax ax =++在[3,2]-上有最大值4,则a =()解:(1)0,()1a f x ==不符合题意,整理函数得2()(1)1,[3,2]f x a x a x =++-∈-,函数对称轴为212a x a=-=-（2）max 0,()(2)81a f x f a ===+,所以有3814,8a a +==（3）max 0,()(1)1a f x f a <=-=-,所以有14,3a a -==-,综上3,38a a ==-总结:1.研究二次函数上某区间时,首先要分析的是,它与对称轴的位置关系,从而判断在区间上的单调性2.当遇到参数时,要分情况讨论.尤其当参数为二次项系数时,首先要明确函数是否为二次函数.练习:1.函数y 12++=x x 在]1,1[-上的最小值和最大值分别是())(A 1,3)(B 43,3(C)21-,3(D)41-,32.函数242-+-=x x y 在区间]4,1[上的最小值是())(A 7-)(B 4-)(C 2-)(D 2答案:1.函数对称轴为12x =-,在所求区间内所以当12x =-函数取到最小值为min 34y =,当x =1时,函数取到最大值为max 3y =所以本题选B 2.函数对称轴为2x =,在区间]2,1[上递增,在区间]4,2[上递减,所以当2x =函数取到最小值为max 2y =,当4x =时,函数取到最大值为min 2y =-所以本题选C2.二次函数轴定区间动问题:我们继续研究二次函数的问题,今天讨论当二次函数对称轴确定或者说二次函数位置大概固定,但所求区间是运动的(含参数),此时我们应该如何分类求解呢？先看例题:例:如果函数2()(1)1f x x =-+定义在区间[],1t t +上,求f (x )的最小值.解:当1,t <[],1t t +在对称轴右侧,所以函数在区间内单调递增所以,2min ()()(1)1f x f t t ==-+当11,01,t t t ≤≤+≤≤对称轴在[],1t t +内部,所以在顶点处取得最小值即,min ()(1)1f x f ==11,0,t t +<<[],1t t +在对称轴左侧,所以函数在区间内单调递减所以,2min ()(1)1f x f t t =+=+所以函数的最小值为:2min 2(1)1,1()1,0110t t f x t t t ⎧-+>⎪=≤≤⎨⎪+<⎩规律整理:轴定,区间动求二次函数的最值:需对区间与对称轴分三种位置关系讨论,即动区间在对称轴的左、右两侧及对称轴在动区间内然后由单调性讨论确定二次函数的最值.练习:若函数2()21f x x x =-+定义在区间[],2a a +上的最小值为4,则a 的取值集合为()解:当1a ≤,[,2]a a +在对称轴的右侧,所以有2min ()()(1)4f x f a a ==-=,解得3,1()a a ==-舍;当+21a ≤,[,2]a a +在对称轴的左侧,所以有2min ()(2)(1)4f x f a a =+=+=,解得3,1()a a =-=舍;当12a a <<+,对称轴在[,2]a a +的内部,所以在顶点处取得最小值,有min ()(1)04f x f ==≠,无解;综上a 的取值集合为{3,3}-总结:1.轴定区间动问题,关键在于讨论区间端点与轴的位置关系,进而讨论函数在区间上的单调性,解决问题.2.当区间长度为无穷时(即出现±∞时),要注意相应地减少分类标准.练习:1.已知函数322+-=x x y 在闭区间],0[m 上有最大值3,最小值2,则m 的取值范是()A.),1[+∞B.]2,0[C.]2,1[D.]2,(-∞2.已知2()23f x x x =-+,当[1]()x t t t ∈+∈R ，时,求()f x 的最大值.答案:1.解:函数对称轴为x =1,且过(1,2)点,即函数在R 上存在最小值2所以m ≥1又因为当x =0或x =2时,函数值为3,所以m ≤2所以m 的取值范围为:[1,2]m ∈所以本题选C2.解:由已知可求对称轴为1x =.(1)当1t >时,2max ()23()(1)2f t t t f x f t t =-+=+=+，.(2)当11t t +≤≤,即01t ≤≤时,根据对称性,若2121≤++t t 即102t ≤≤时,2max ()()23f x f t t t ==-+.若2121>++t t 即112t <≤时,2max ()(1)2f x f t t =+=+.(3)当11t +<即0t <时,2max ()()23f x f t t t ==-+.综上,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+->+=21,3221,2)(22max t t t t t x f 3.二次函数轴动区间定问题:我们继续二次函数相关问题的讨论,今天主要探讨在对称轴位置不确定,但所求区间固定时,我们该如何进行求解,如何分类讨论.先看例题:例:求函数221([0,2])y x ax x =-+∈的最小值解:首先二次函数对称轴为x =a ,是运动的,而讨论的区间是固定的我们根据a 的不同取值,画出草图,研究问题当0,a <[0,2]x ∈时,函数单调递增,所以min (0)1y f ==当02,a ≤≤[0,2]x ∈时,函数在顶点取到最小值,所以2min ()1y f a a ==-+当2,a >[0,2]x ∈时,函数单调递减,所以min (2)54y f a ==-所以原函数的最小值为:2min 10()1,02542a y g a a a a a <⎧⎪==-+≤≤⎨⎪->⎩规律整理:轴动,区间定求二次函数的最值:对称轴沿横轴移动的过程中,即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间内,要注意开口方向及端点情况,确定函数在给定区间上的单调情况,最终确定二次函数的最值.练习:已知函数2()21([0,1])f x x ax a x =-++-∈有最大值2,求a 的值.解:观察函数,对称轴为x a =,二次函数开口向下当0,[0,1]a x <∈时,函数单调递减,所以max ()(0)1f x f a ==-,12,1a a -==-,符合题意.当01,[0,1]a x ≤≤∈时,最大值在对称轴时取到2max ()()1f x f a a a ==-+,2()1512,2a a a ±-+==舍,符合题意.当1,[0,1]a x >∈时,函数单调递增,所以max ()(1)f x f a ==,解得2a =符合题意.综上所述,12a a =-=或注意:判断参数的取值,要考虑所求值是否满足分类区间.总结:1.二次函数轴动时,应着重讨论所求轴与所求区间的位置关系,由此确定分类标准,进而求解.2.时刻注意二次函数开口方向,参数的取值范围等问题.练习:1.已知x 21≤,且a -≥20,求函数f x x ax ()=++23的最值.2.(1)求2f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值.(2)求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值.答案:1.解:由已知有-≤≤≥112x a ，,于是函数f x ()是定义在区间[]-11，上的二次函数,将f x ()配方得:f x x a a ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-23422,二次函数f x ()的对称轴方程是x a =-2顶点坐标为--⎛⎝ ⎫⎭⎪a a 2342，,图象开口向上由a ≥2可得x a =-≤-21,显然其顶点横坐标在区间[]-11，的左侧或左端点上.函数的最小值是f a ()-=-14,最大值是f a ()14=+.2.解:(1)二次函数的对称轴方程为x a =-,当1a 2-<即1a 2>-时,max f (x )f (2)4a 5==+;当1a 2-≥即1a 2≤-时,max f (x )f (1)2a 2=-=+.综上所述:max 12a 2,a 2f (x )14a 5,a 2⎧-+≤-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩.(2)函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =,应分121≤≤-a ,12-<a ,12>a 即22≤≤-a ,2-<a 和2>a 这三种情形讨论,下列三图分别为(1)2-<a ;由图可知max ()(1)f x f =-(2)a ≤-22≤;由图可知max ()()2af x f =(3)2>a 时;由图可知max ()(1)f x f =∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=2,)1(22,2(2,)1(a f a a f a f y 最大;即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<+-=2,122,42,)1(2a a a a a a y 最大4.二次函数轴动区间动问题:当二次函数,对称轴不固定,所求区间也不固定时,讨论起来当然会显得复杂一些,但如果我们能抓住问题的本质,即区间端点与轴的位置关系.进行讨论,仍然可以顺利解决问题,一起来看.先看例题:例:若函数2()(3)4()([,))f x x a x a x a =-+-∈+∞,求f (x )的最小值.解:先整理二次函数22()[(32)]128,([,))f x x a a a x a =--+-∈+∞,函数的对称轴为32x a =-,再观察区间为无限区间,所以区间端点与轴的位置关系只有两种:当32,01a a a -≥<≤时,对称轴在[,)a +∞中,最小值在顶点处取到,所以2min ()(32)128f x f a a a =-=-,当32,1a a a -<>时,对称轴在[,)a +∞的左侧,所以2min ()()(3)f x f a a ==-,所以函数的对称轴为:2min 2128,01()(3),1a a a f x a a ⎧-<≤=⎨->⎩注意:当区间为无限区间时,只有轴与区间的位置关系,只有两种.规律整理:轴动,区间动求二次函数的最值:分类讨论区间与对称轴的位置关系,然后由单调性讨论确定二次函数的最值.练习:是否存在实数m ,使函数2111()()424g x x m x =-++在区间[,2]m m +有最小值-5？若存在,请求出实数m 的值;若不存在请说明理由.解:先求函数的对称轴为:21x m =+(1)21,1,m m m +<<-对称轴在[,2]m m +的左边,函数在所求区间单调递增,所以有min ()()5,g x g m ==-解得21117()()5,3()4243g m m m m m m =-++=-=-=或舍(2)212,11,m m m m ≤+≤+-≤≤对称轴在[,2]m m +中,所以在顶点处取到最小值,即:min ()(21)5,g x g m =+=-解得2111(21)(21)()(21)5,424g m m m m +=+-+++=-11))22m m =-=--舍或舍注意:此时两个解都不在分类区间中,所以都要舍去.(3)212,1,m m m +>+>对称轴在[,2]m m +右侧,函数在所求区间单调递减,所以有,min ()(2)5,g x g m =+=-解得:2111(2)(2)()(2)5,424g m m m m +=+-+++=-1)1m m =--=-+舍或综上,31m m =-=-+或总结:轴动区间动,是二次函数中最复杂的问题,但我们应该结合其它类型问题,综合思考.即都是讨论轴与区间端点的位置关系问题.由此确定分类标准,也就确定了在不同分类情形下,函数的在区间上的单调性,进而可以精确的求解问题.。

二次函数在区间上的6种最值问题

2
2 2
在区间[ 1， 2上的最大值为4，求a的值。
2、不等式9 x 6ax a 2a 6 0 1 1 在 x 内恒成立，求实数 a的取值范围。 3 3
2
3、已知函数f x 2 x 2ax 3
在区间[ 1， 1上有最小值，记作 g a
a0
时，
1
ymax f (1) a 4 ymin f (0) 3
图（2）
例3、求
x
f ( x) x2 ax 3 在
a 2
0 x 1
上的最值。
3、由图（3）得：当 0
a 2 1 ，即1 a 0 时， 2
0
1 2
1
ymax f (1) a 4 ymin
2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增, ∴当x=1时,ymin=2 当x=0时，ymax=3
3 2 o 1 a 2 x
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值。解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减， ∴当x=0时，ymax=3;当x=a时，ymin=a2-2a+3
例1、当x∈(2,3] 时, 求函数 y x 2 2 x 3 的值域
从图象上观察得到当x (2, 3] 时y [0, 3
(1,4)
4
y
3
练习
在下列条件下求函数 y x 2 x 3的值域
2
2
1
(1) x [ 1, 4)
x
-1
1
2
3
4

二次函数的区间最值问题

二次函数最值问题
二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠ 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当时0a <，函数在2b x a
=-处取得最大值2
44ac b a
-，无最小值．本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的x 的取值范围区间的两个端点，二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴，注意结合图像学会用数形结合解题。

高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面：1.定轴定区间。

2.动轴定区间。

3.定轴动区间。

下面我们来看例题。

二次函数区间最值问题解析

二次函数区间及最值问题解析对于二次函数2(0)y ax bx c a =++>在m x n ≤≤上的最值问题（其中a 、b 、c 、m 和n 均为定值，max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值）：（1）若自变量x 为全体实数，如图①，函数在2b x a =-时，取到最小值，无最大值．（2）若2b n a<-，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =．（3）若2b m a>-，如图③，当，x m =min y y =；当x n =，max y y =．（4）若2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--，如图④，当2b x a =-，min y y =；当x n =，max y y =．【题型1二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】已知二次函数y ＝﹣x 2+2x +4，关于该函数在﹣2≤x ≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A ．有最大值4，有最小值0B ．有最大值0，有最小值﹣4C ．有最大值4，有最小值﹣4D ．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x ≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+2x +4＝﹣（x ﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x ＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x ≤2时，x ＝1时取得最大值5，当x ＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D ．【变式1-1】当﹣1≤x ≤3时，二次函数y ＝x 2﹣3x +m 最大值为5，则m ＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m 的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y ＝x 2﹣3x +m ＝（x −32）2+m −94，∴该函数开口向上，对称轴为x =32，∵当﹣1≤x ≤3时，二次函数y ＝x 2﹣3x +m 最大值为5，∴当x ＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m ，解得m ＝1，故答案为：1．【变式1-2】已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m和M的值，从而求出M﹣m的值．【解答过程】解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4），当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）A．3B．﹣3或38C．3或−38D．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x＝﹣1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．【解答过程】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，∴对称轴为直线x＝﹣1，①m＞0，抛物线开口向上，x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，解得：m＝3；②m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，解得：m=−38；故选：C．【变式2-1】已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（）A．1B．34C．−35D．−14【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1时，y随x的增大而增大，可以得到a的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，即可得到a的值．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，∴该函数的对称轴是直线x＝2，又∵当x≤1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4，解得a=−14，故选：D．【变式2-2】已知二次函数y＝2ax2+4ax+6a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y的最小值为15，则a的值为（）A．1或﹣2B．−2或2C．﹣2D．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a＜0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最小值为15，可得x＝1时，y＝15，即可求出a．【解答过程】解：∵二次函数y＝2ax2+4ax+6a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x=−42×2=−1，∵当x≥2时，y随x的增大而减小，∵﹣2≤x≤1时，y的最小值为15，∴x＝1时，y＝2a+4a+6a2+3＝15，∴6a2+6a﹣12＝0，∴a2+a﹣2＝0，∴a＝1（不合题意舍去）或a＝﹣2．故选：C．【变式2-3】已知二次函数y=12（m﹣1）x2+（n﹣6）x+1（m≥0，n≥0），当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则mn的最大值为（）A．4B．6C．8D．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m，n的取值范围，将mn转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y=12（m﹣1）x2+（n﹣6）x+1的对称轴为直线x=6−K1，①当m＞1时，抛物线开口向上，∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴6−K1≥2，即2m+n≤8．解得n≤8﹣2m，∴mn≤m（8﹣2m），m（8﹣2m）＝﹣2（m﹣2）2+8，∴mn≤8．②当0≤m＜1时，抛物线开口向下，∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴6−K1≤1，即m+n≤7，解得m≤7﹣n，∴mn≤n（7﹣n），n（7﹣n）＝﹣（n−72）2+494,∴mn≤494，∵0≤m＜1，∴此情况不存在．综上所述，mn最大值为8．【题型3二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−14，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，【变式3-3】已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．23B．−72C．3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得=−3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=3，∴+=3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴=−32（舍），故选：C．【题型四解答题中区间求最值】1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（–3，5），B（0，5）．抛物线y=-x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（-3，0）两点，交y轴于点E．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)当-4≤x ≤0时，求y 的最大值与最小值的积；(3)连接AB ，若二次函数y =-x 2+bx +c 的图象向上平移m (m >0)个单位时，与线段AB 有一个公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．【答案】(1)223y x x =--+，(1,4)-(2)20-(3)1m =，或25m < 【分析】（1）通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解．（2）根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合x 的取值范围求解．（3）结合图象，分别求出抛物线顶点在AB 上，经过点A ，B 时m 的值，进而求解．（1）解：将(1,0)C ，(3,0)D -代入2y x bx c=-++得01093b c b c=-++⎧⎨=--+⎩，解得23=-⎧⎨=⎩b c ，2223(1)4y x x x ∴=--+=-++，∴抛物线顶点坐标为(1,4)-．（2）解：抛物线开口向下，顶点坐标为(1,4)-，∴函数最大值为4y =，对称轴为直线=1x -，1(4)0(1)--->-- ，4x ∴=-时，16835y =-++=-为函数最小值，∴y 的最大值与最小值的积为4(5)20⨯-=-．（3）解：二次函数2y x bx c =-++的图象向上平移m 个单位后解析式为223y x x m =--++，抛物线顶点坐标为(1,4)m -+，当顶点落在线段AB 上时，45m +=，解得1m =，当抛物线向上移动，经过点(0,5)B 时，53m =+，解得2m =，当抛物线经过点(3,5)A -时，5963m =-+++，解得5m =，∴当1m =，或25m < 时，函数图象与线段AB 有一个公共点．【我思故我在】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律．2．已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线1x =，图象与x 轴交于点()1,0-．（1）求抛物线的函数表达式．（2）若把抛物线的图象沿x 轴平移m 个单位，在自变量x 的值满足23x ≤≤的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为-2，求m 的值．【我思故我在】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论．3．如图，抛物线22y x x c =-++与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点,A B ，且,OA OB =点G 为抛物线的顶点．()1求抛物线的解析式及点G 的坐标；()2点,M N 为抛物线上两点(点M 在点N 的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q 为抛物线上点,M N 之间(含点,M N )的一个动点，求点Q 的纵坐标Q y 的取值范围．【答案】（1）223y x x =-++，G （1,4）；（2）﹣21≤Q y ≤4.【分析】（1）根据,OA OB =用c 表示出点A 的坐标，把A 的坐标代入函数解析式，得到一个关于c 的一元二次方程，解出c 的值，从而求出函数解析式，求出顶点G 的坐标．（2）根据函数解析式求出函数图像对称轴，根据点M,N 到对称轴的距离，判断出M,N 的横坐标，进一步得出M,N 的纵坐标，求出M,N 点的坐标后可确定Q y 的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线22y x x c =-++与y 轴正半轴分别交于点B ，∴B 点坐标为（c ，0），∵抛物线22y x x c =-++经过点A ，∴﹣c 2+2c+c=0，解得c 1=0（舍去），c 2=3，∴抛物线的解析式为223y x x =-++∵223y x x =-++=﹣（x －1）2+4，∴抛物线顶点G 坐标为（1,4）．（2）抛物线223y x x =-++的对称轴为直线x=1，∵点M,N 到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M 的横坐标为﹣2或4，点N 的横坐标为﹣4或6，点M 的纵坐标为﹣5，点N 的纵坐标为﹣21，又∵点M在点N的左侧，∴当M坐标为（﹣2，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），则﹣21≤Q y≤4当当M坐标为（4，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），则﹣21≤Q y≤﹣5，∴Q y的取值范围为﹣21≤Q y≤4．【我思故我在】本题考查的是二次函数的基本的图像与性质，涉及到的知识点有二次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求函数解析式，对称轴性质等，解题关键在于利用数形结合思想正确分析题意，进行计算．4．如图，已知二次函数y＝ax2＋3x＋1的图像经过点A（－1，－3）．2(1)求a的值和图像的顶点坐标．(2)若横坐标为m的点B在该二次函数的图像上．①当点B向右平移4个单位长度后所得点B′也落在该二次函数图像上时，求m的值；②若点B到x轴的距离不大于3，请根据图像直接写出m的取值范围．5．如图，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()1,0A -，点()3,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)在对称轴上找一点Q ，使ACQ 的周长最小，求点Q 的坐标；(3)P 是第四象限内抛物线上的动点，求BPC △面积S 的最大值及此时P 点的坐标．⊥轴于点（3）解：过点P作PD x【我思故我在】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线利用数形结合的思想求解是解题的关键．6．如图，抛物线2y x mx =+与直线y x b =-+交于点A (2，0)和点B ．（1）求m 和b 的值；（2）求点B 的坐标，并结合图象写出不等式2x mx x b +>-+的解集；（3）点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向左平移3个单位长度得到点N ，若线段MN 与抛物线只有一个公共点，直接写出点M 的横坐标M x 的取值范围．【答案】（1）2m =-，2b =；（2）不等式2x mx +>x b -+的解集为1x <-或2x >；（3）点M 的横坐标M x 的取值范围是：12M x -≤<或3M x =．【分析】（1）把A (2，0)分别代入两个解析式，即可求得m 和b 的值；（2）解方程222x x x -=-+求得点B 的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．【详解】解：（1）∵点A (2，0)同时在2y x mx =+与y x b =-+上，∴2022m =+，02b =-+，解得：2m =-，2b =；（2）由（1）得抛物线的解析式为22y x x =-，直线的解析式为2y x =-+，解方程222x x x -=-+，得：1221x x ==-，．∴点B 的横坐标为1-，纵坐标为23y x =-+=，∴点B 的坐标为(-1，3)，观察图形知，当1x <-或2x >时，抛物线在直线的上方，∴不等式2x mx +>x b -+的解集为1x <-或2x >；（3）如图，设A 、B 向左移3个单位得到A 1、B 1，∵点A (2，0)，点B (-1，3)，∴点A 1(-1，0)，点B 1(-4，3)，∴A A 1=BB 1=3，且A A 1∥BB 1，即MN 为A A 1、BB 1相互平行的线段，对于抛物线()22211y x x x =-=--，∴顶点为(1，-1)，如图，当点M 在线段AB 上时，线段MN 与抛物线22y x x =-只有一个公共点，此时12M x -≤<，当线段MN 经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN 与抛物线22y x x =-也只有一个公共点，此时点M 1的纵坐标为-1，则12M x -=-+，解得3M x =，综上，点M 的横坐标M x 的取值范围是：12M x -≤<或3M x =．．【我思故我在】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．7．如图，直线y =x −5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y =ax 2−4x +c 经过A ，B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)以AB 为边作矩形ABCD ，设点C 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示C ，D 两点的坐标；②当CD 边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m 的取值范围．【答案】(1)抛物线的解析式为y =x 2-4x -5；(2)①点C 的坐标为(m ，-m -5)；点D 的坐标为(m +5，-m )；②-7≤m ≤3且m ≠0．【分析】（1）先求得点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）①利用等腰直角三角形的性质以及坐标与图形的性质可求得点C 的坐标；再利用平移的性质求得点D 的坐标即可；②根据点C 恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，据此求解即可．（1）解：∵直线y =x −5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴点A 的坐标为(5，0)，点B 的坐标为(0，-5)，∵抛物线y =ax 2−4x +c 经过A ，B 两点，∴252005a c c -+=⎧⎨=-⎩，解得：15a c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y =x 2-4x -5；（2）解：①∵点A 的坐标为(5，0)，点B 的坐标为(0，-5)，∴OA =OB =5，∴△OAB 是等腰直角三角形，则∠OAB =∠OBA =45°，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，∵四边形ABCD 是矩形，点C 的横坐标为m ．∴CB ⊥AB ，则∠CBE =∠OBA =45°，∴CE =BE =-m ，∴点C 的坐标为(m ，-m -5)；∵四边形ABCD 是矩形，∴CD =AB ，CD ∥AB ，∵点A 是点B 向右平移5个单位，向上平移5个单位得到的，∴点D 的坐标为(m +5，-m )；②设BC 的解析式为y =kx -5，把(m ，-m -5)代入y =kx -5，得-m -5=mk -5，解得：k =-1，∴BC 的解析式为y =-x -5，设AD 的解析式为y =-x +n ,把点D 的坐标（m +5,m ）代入y =-x +n ,得-m =-m -5+n ,解得：n =5,∴AD 的解析式为y =-x +5,当点C 恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，联立2545y x y x x =-+⎧⎨=--⎩,解得：x 1=5，x 2=-2，当x =5时，点A 和点D 重合，不符合要求，x <-2即m +5<-2，得m <-7时，线段CD 与抛物线无交点，当点C 恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，联立2545y x y x x =--⎧⎨=--⎩，解得：x 1=0，x 2=3，当x =0时，点C 与点B 重合，不符合要求，当x >3即m>3时，线段CD 与抛物线无交点，故-7≤m ≤3且m ≠0．【我思故我在】本题考查二次函数的图象及性质，直线和抛物线的交点以及解方程组和不等式组等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题关键．8．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,P m y 在二次函数2y x bx c =++的图象上，点()2,Q m y 在一次函数1y x =-+的图象上．(1)若二次函数图象经过点()0,1，()2,1．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②当1m >时，请直接写出1y 与2y 的大小关系；(2)若只有当0m ≥时，满足120y y ⋅≤，请求出此时二次函数的解析式．【答案】(1)①221y x x =-+，顶点坐标为(1,0)②12y y ＞(2)2y x x=-【分析】（1）利用待定系数法即可求解出二次函数的解析式，配成顶点式即可求出二次函数的顶点坐标；求出y 1和y 2，再根据m 的取值范围即可比较；（2）先根据点P (m ,y 1)在2y x bx c =++图象上，点Q (m ,y 2)在一次函数y =−x +1的图象上，得到21y m bm c =++和21y m =-+，即有212()(1)y y m bm c m ⋅=++-+，再根据m 的取值范围可得：当01m ≤≤时，函数20y m bm c =++≤；当1m＞时，函数20y m bm c =++＞，可以判断出可知2y m bm c =++经过点(0,0)，(1,0)，则可求出b 、c ，则问题得解．（1）①∵2y x bx c =++经过点(0,1)、(2,1)，∴有1421c b c =⎧⎨++=⎩，解得12c b =⎧⎨=-⎩，∴二次函数解析式为：221y x x =-+，∵2221(1)y x x x =-+=-，∴顶点坐标为(1,0)，②∵点P (m ,y 1)在221y x x =-+图象上，点Q (m ,y 2)在一次函数y =−x +1的图象上，∴21(1)y m =-，21y m =-+，∴2212(1)(1)(1)(1)(1)y y m m m m m m -=---+=-+-=-，∵m ＞1，∴m -1＞0，∴12(1)0y y m m -=-＞，∴12y y ＞；（2）∵点P (m ,y 1)在2y x bx c =++图象上，点Q (m ,y 2)在一次函数y =−x +1的图象上，∴21y m bm c =++，21y m =-+，∴212()(1)y y m bm c m ⋅=++-+，∵只有当0m ≥时，120y y ⋅≤，当01m ≤≤时，1-m ≥0，∵120y y ⋅≤，∴20m bm c ++ ，即当01m ≤≤时，函数20y m bm c =++ ，当1m＞时，1-m <0，∵120y y ⋅≤，∴20m bm c ++＞，即当1m＞时，函数20y m bm c =++＞，∴2y m bm c =++经过点(0,0)，(1,0)，∴010c b c =⎧⎨++=⎩，解得01c b =⎧⎨=-⎩，∴二次函数的解析式为：2y x x =-．【我思故我在】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求解二次函数解析式、求解顶点坐标等知识，判断出可知2y m bm c =++经过点(0,0)，(1,0)是解答本题的关键．9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2450)(y ax ax a =-+<与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB OC =．(1)求这条抛物线的解析式；(2)求抛物线顶点坐标和对称轴方程；(3)若点1,()P x b 与2,()Q x b 在（1）中的抛物线上，且12x x <，将抛物线在PQ 上方的部分沿PQ 翻折180°，抛物线的其他部分保持不变，得到一个新图象，当这个新图象与过（0，-3）且平行于x 轴的直线恰好只有两个公共点时，请直接写出b 的取值范围．【答案】(1)245y x x =-++；(2)顶点坐标为（2，9），对称轴方程为2x =；(3)39b <<或3b =-．【分析】（1）由245y ax ax =-+得出OC ，再由OB OC =得出OB 的值，代入点B 可求出抛物线的解析式；（2）将抛物线化为顶点式即可得出顶点坐标和对称轴方程；（3）讨论PQ 在直线=3y -上方和在直线=3y -上两种情况即可得出b 的取值范围．(1)（1）∵245y ax ax =-+，令0x =，5y =，∴5OC =∴5OB OC ==，即B （5，0），将B （5，0）代入245x y a ax =-+得252050a a -+=，解得1a =-，即二次函数的解析式为245y x x =-++．(2)（2）由2245(2)9y x x x =-++=--+得，顶点坐标为（2，9），对称轴方程为2x =．(3)（3）如图，过（0，-3）且平行于x 轴的直线=3y -，当顶点M （2，9）的对称点在直线=3y -上，此时3b =，∴39b <<，当3b =-时，此时与=3y -的交点为2个，∴39b <<或3b =-．【我思故我在】此题考查了用代入法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴及顶点坐标及二次函数的翻折与交点问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解决本题的关键．10．已知一次函数12y x b =+的图象与二次函数()221y a x bx =++（0a ≠，a 、b 为常数）的图象交于A 、B 两点，且A 的坐标为(0,1)．（1）求出a 、b 的值，并写出1y ，2y 的表达式；（2）验证点B 的坐标为(1,3)，并写出当12y y 时，x 的取值范围；（3）设12u y y =+，12v y y =-，若m x n 时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，求m 的最小值和n 的最大值．【答案】（1）1a =，1b =，121y x =+，221y x x =++；（2）见解析；01x ；（3）m 的最小值为 1.5-，n 的最大值为0.5【分析】（1）把A 点的坐标分别代入两个函数的解析式，便可求得a 与b 的值；（2）画出函数图象，根据函数图象作答；（3）求出出个函数的对称轴，根据函数的性质得出“u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大”时x 的取值范围，进而得m 的最小值和n 的最大值．【详解】（1）解：（1）把(0,1)A 代入12y x b =+得1b =，把(0,1)A 代入()221y a x bx =++得，1a =，∴121y x =+，221y x x =++；（2）解方程组2211y x y x x =+⎧⎨=++⎩得01x y =⎧⎨=⎩或13x y =⎧⎨=⎩，∴()1,3B ，作121y x =+，221y x x =++的图象：由函数图象可知，121y x =+不在221y x x =++下方时，01x ，∴当12y y 时，x 的取值范围为01x ；（3）∵2221221132( 1.5)0.25u y y x x x x x x =+=++++=++=+-，∴当 1.5x - 时，u 随x 的增大而增大；()22212(21)1(0.5)0.25v y y x x x x x x =-=+-++=-+=--+，∴当0.5x 时，v 随x 的增大而增大，∴当 1.50.5x - 时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，∵若m x n 时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，∴m 的最小值为 1.5-，n 的最大值为0.5.【我思故我在】本题是二次函数的综合题，主要考查了函数的图象与性质，利用函数图象求不等式的解集，待定系数法，关键是熟练掌握二次函数的性质，灵活运用性质解题．11．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且关于直线1x =对称，点A 的坐标为()1,0-．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，若点P 在y 轴上时，BP 和BC 的夹角为15︒，求线段CP 的长度；（3）当1a x a ≤≤+时，二次函数2y x bx c =++的最小值为2a ，求a 的值．。

二次函数的最值问题

求函数的最值？
解析：y= -x2-2x+3 = -(x+1)2+4
因为x[0，2]如右图则ymax=f(0)= 0+0+3=3
ymin=f(2)= -4-4+3=-5
练习2 求函数y=-x2+2x+3且x [0,2]的最值？
二、含参变量的二次函数最值问题
1、轴动区间静 2、轴静区间动
例3：求函数y=x2+2ax+3在x[-2,2]时的最值？解析：因为函数y=x2+2ax+3 =（x+a)2+3-a2
m
h
k
m
h
k
例题1 已知函数y=x2+2x-3 且x [-2，2],
求函数的最值？
解析：函数配方有 y=(x+1)2-4如右图即当x=-1时ymin =-4 ;当x=2时ymax =f(2)=5
练习1 求函数y=x2-2x-3且x [0,3]的最值？
例题2已知函数y=-x2-2x+3且x[0，2],
二次函数的最值问题
重点掌握闭区间上的二函数的最值问题
难点了解并会处理含参数的二次函数的最值问题
核心区间与对称轴的相对位置
思想数形结合分类讨论
复习引入
顶点式:y=a((x-x2)(a 0)
一般式:y=ax2+bx+c(a 0)
=a(x+
轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值,
即要看区间[k,k+2]与对称轴 x=1的位
置,则从以下几个方面解决如图:
k
K+2
X=1
则由上图知解为:
当k+2≤1(k ≤-1)时 f(x)max=f(k)=k2-2k-3 f(x)min=f(k+2)=k2+2k+3

二次函数的最值

二次函数的最值二次函数是一种非常常见和重要的数学函数形式，具有许多应用和特点。

其中一个重要的特点就是它的最值。

本文将介绍二次函数的最值问题，包括如何求解最值以及最值的应用。

一、最值的概念在数学中，最值是指一个函数在给定定义域上取得的最大值或最小值。

二次函数的最值是指二次函数在定义域内取得的最大值或最小值。

二、最值的求解求解二次函数的最值可以通过求导数或者求二次函数对称轴来实现。

1. 求导数法对于一般二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，我们可以通过求导数来找到最值。

首先，对二次函数求一阶导数，然后令导数等于0，即求解方程ax^2 + bx + c = 0。

这样可以找到二次函数的驻点，将驻点代入二次函数，得到最值。

2. 对称轴法对于一般二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过求其对称轴来找到最值。

二次函数的对称轴公式为x = -b / (2a)。

将对称轴的x值代入二次函数，即可得到最值。

三、最值的应用最值问题在实际应用中有着广泛的应用，尤其是二次函数的最值。

1. 经济学应用在经济学中，二次函数的最值问题常用于研究成本、利润或者效益等方面。

通过分析二次函数的最值，可以帮助经济学家做出更合理的决策。

2. 物理学应用在物理学中，二次函数的最值问题常用于研究物体的运动轨迹、能量等方面。

通过分析二次函数的最值，可以帮助物理学家预测和解释实验现象。

3. 工程学应用在工程学中，二次函数的最值问题常用于研究设计优化、材料选取等方面。

通过分析二次函数的最值，可以帮助工程师在设计和实施工程项目时作出最佳决策。

四、例题演示假设有一个二次函数y = -x^2 + 2x + 3，我们来求解它的最值。

1. 求导数法首先，对二次函数求导数，得到y' = -2x + 2。

令导数等于0，即-2x + 2 = 0，解得x = 1。

将x = 1代入二次函数，得到y = 4。

所以，二次函数y = -x^2 + 2x + 3的最值为y = 4。

二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)

4
4
4
2 x=1
x=1
2
x=1
2
k+2
k k+2
k k+2
k 15
5
10
5
15
5 10
5
15
10
10
5
5
2
2
2
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
6
评注6：例1属于6“轴定区间动”的问题，看6 作动区
间沿8x轴移动的过8 程中，函数8 最值的变化，8 即动区
间在定轴的左、右两侧及包10含定轴的变化，要注
y 解： ⑴当
即a≥ 2时
y的最小值为f(-1)
O -1 1 x
=4-a
例3：若x∈
，求函数
•
y =x2+ax+3的最小值：
(2)当 1 < a 1
2
y
即-2≤ a<2时
y的最小值为
O
f( )=
-1 1 x
例2：若x∈
•
，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
O -1 1
(3)当
即a<-2时
解：画出函数在定义域内的图像如图 8
对称轴为直线x=1
6
由图知，y=f(x)在[ 2，4 ]上为增函数
4
故x=4时有最大值f(4)=5
x=2时有最小值f(2)=-3
10
5
2 x=1 2
45
2
4
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3

二次函数的最值和区间

二次函数的最值和区间
最值问题
对于一个二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、
$c$ 是实数且 $a \neq 0$。

我们可以通过求导数或配方法求出函数的
最值。

最值的判断
首先，我们来判断二次函数的最值。

如果 $a > 0$，则二次函
数开口向上，最值为最小值；如果$a < 0$，则二次函数开口向下，最值为最大值。

最值的计算
要计算二次函数的最值，可以通过以下步骤：
1. 求出顶点坐标：函数的顶点坐标为 $(h, k)$，其中 $h = -
\frac{b}{2a}$，$k = f(h)$。

2. 判断最值类型：根据 $a$ 的正负判断最值类型。

3. 计算最值：根据最值类型和顶点坐标求得最值。

区间问题
二次函数的定义域和值域也是我们需要关注的问题。

定义域
二次函数的定义域是 $x$ 的取值范围。

对于任意二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其定义域为实数集 $\mathbb{R}$。

值域
二次函数的值域是$y$ 的取值范围。

对于开口向上的二次函数，值域为一切大于等于顶点 $k$ 的实数。

对于开口向下的二次函数，
值域为一切小于等于顶点 $k$ 的实数。

总结
二次函数的最值和区间问题是数学中一个基础但重要的概念。

通过计算最值和确定定义域、值域，我们可以更好地理解和分析二次函数的特性和应用。

希望本文对二次函数的最值和区间问题有所帮助！。

二次函数在指定区间上的最值ppt

同时，我们希望未来的研究可以进一步拓展二次函数最值研究的范围，考虑更多复杂的因素，提供更为精细和准确的最值预测和优化方法。
06
参考文献
参考文献
01
函数的定义与性质
详细介绍了函数的定义、基本性质和分类，重点讲解了二次函数的表
达式、图象和性质。
02
极值的定义与求法
阐述了极值的基本概念、分类和求法，包括利用导数求极值的方法和
方法和步骤
通过分析二次函数的图象和性质
利用配方法或导数求解二次函数的最值
02
二次函数的性质
二次函数的定义
1 2
二次函数定义
一般地，形如$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$ 的函数叫做二次函数。
定义域
对于任意一个二次函数，其定义域为 $\mathbf{R}$。
3
值域
根据二次函数的系数和常数项，其值域为 $\mathbf{R}$或者与某个区间有交集。
二次函数的极值点
01
极值点
02
极大值点
03
极小值点
04
最大值
05
最小值
二次函数在其定义域内的某些点处取得最大值或最小值。
当$a > 0$时，二次函数的极大值点在导数等于0的点处取得，即$x = \frac{b}{2a}$。
当$a < 0$时，二次函数的极小值点在导数等于0的点处取得，即$x = \frac{b}{2a}$。
最小值
当函数在指定区间的下界达到最小值，此时对应的自变量是区间的中点减去或加上区间长度的一半。
区间上的极值点求法
极值点
当函数在指定区间上存在极值点时，该点对应的自变量是区间的中点加上或减去区间长度的一半。

二次函数区间最值问题

2.8二次函数含参数问题
（1）题型一：“动区间定轴”型的二次函数最值
（2）题型二：“动轴定区间”型的二次函数最值
（3）题型三：“动轴动区间”型的二次函数最值
题型一：“动区间定轴”型的二次函数最值
例1求函数 ()223f x x x =-+在2a x a ≤≤+上的最值。

练习题
1求函数 ()223f x x x =-+在3b x b ≤≤+上的最值。

2求函数 ()223f x x x =-+在a x b ≤≤，b>a 上的最值。

题型二：“动轴定区间”型的二次函数最值
例1 求函数 ()223f x x ax =-+在上04x ≤≤的最值。

、
课堂练习
1已知函数()()2213f x ax a x =+-- 在 322
x -≤≤的最大值为1,求实数a 的值。

【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。

二次函数在指定区间上的最值

值2023-11-04CATALOGUE 目录•二次函数的基本概念•二次函数的最值•二次函数在指定区间上的最值•实例分析•结论与展望01二次函数的基本概念一般形式系数次数a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项二次函数为二次函数，是一元函数的重要代表03二次函数的定义02 01$y = ax^{2} + bx + c$根据a的正负性，开口向上或向下二次函数的图形表示开口方向二次函数的极值点，也是函数图像的对称轴顶点根据a、b、c的数值确定函数的单调性，从而确定在某个区间的最值区间对称轴$x = -\frac{b}{2a}$，这是二次函数图像的对称轴顶点$(\frac{-b}{2a}, f(\frac{-b}{2a}))$，这是二次函数图像的极值点，也是最大值或最小值的点二次函数的对称轴和顶点02二次函数的最值对于函数f(x)，在定义域内，存在一个x值，使得f(x)大于f(x')，对于所有x'在定义域内，那么f(x)就被称为在定义域内的最大值。

最大值同样，在定义域内，存在一个x值，使得f(x)小于f(x')，对于所有x'在定义域内，那么f(x)就被称为在定义域内的最小值。

最小值最大值和最小值的概念对于二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），当a>0时，开口向上，有最小值，当a<0时，开口向下，有最大值。

对于求二次函数在指定区间上的最值，我们需要考虑函数的单调性以及区间的端点值和顶点值。

对于开口向上的二次函数（a>0），最小值出现在顶点处，计算公式为：x=-b/2a，带入原函数可得y的最小值。

对于开口向下的二次函数（a<0），最大值出现在顶点处，计算公式为：x=-b/2a，带入原函数可得y的最大值。

03二次函数在指定区间上的最值区间上的单调性找出极值点如果二次函数在某个区间内单调，那么在该区间内函数一定存在极值点。

比较极值和端点函数值极值点和端点处函数值的比较，可以找出函数在区间上的最值。

15.二次函数在区间上的最大(小)值

15.二次函数在区间上的最大（小）值
目标：
使学生系统掌握二次函数在区间上的最值的求法，培养学生运用数形结合、分类讨论思想解题能力.
过程：
一、引入
二次函数12)(2--=x x x f 的最小值是多少？如果]3,2[∈x 时，)(x f 的最小值又是多少？如果]1,[+∈t t x 呢？
这就是今天我们要研究课题“二次函数在区间上的最值”.
二、例题分析
例1 （1）已知函数m x x x f +-=2)(2，]3,2[∈x 的最小值为-1，求m 的值；
（2）已知函数1)(2-+=mx x x f ，]3,2[∈x ，求)(x f 的最小值)(m g .
说明：由于二次函数图形对称轴的变化导致分类讨论.（动轴定区间）
变式：求)(x f 的最大值)(m F .
（3）已知12)(2--=x x x f ，]1,[+∈t t x ，求)(x f 的最小值)(t g .
例2 已知不等式0|42|2≥--+p x x 对所有实数x 都成立，求实数p 的取值范围.
（参变量分离）
变式：求函数||)(2
a x x x f -+=的最小值.（不讲）
三、小结
四、作业
活页28 双基。