2014年全国高中数学联赛真题(A卷)参考答案解析

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2002~2014年全国高中数学联赛(安徽赛区)预赛试题及解答

4.
设 P1 , P2 是平面上两点， P2 k +1 是 P2 k 关于 P1 的对称点， P2 k + 2 是 P2 k +1 关于 P2 的对称点，
k ∈ N * ．若 P1 P2 = 1 ，则 P2013 P2014 =
．．
5.
已知四面体 ABCD 的侧面展开图如下图所示，则其体积是
6. 7.
ABCD 一定是菱形，否则如图所示，可固定两对角
点（不妨设是 B, D ），过 A,C 分别做 BD 的平行线，调整另外两点 A, C 的位置，使它们分别位于两平行线上，则 ∆ABD 和 ∆CBD 的面积都不变，但 L 变大．从而 AB=AD, BC=CD.类似地， AB=BC, CD=DA. 即 ABCD 是菱形-----12 分
2 (3) aω + bω + c = 0 .将第（4）式乘 a 减去第（3）式乘 b 得 2 + ( + ) + = 0 ( 4 ) b a c a ω ω
1 1 12．（1）设 f ( x) = x 3 − x − 1 ，则 f ′( x) = 3 x 2 − 1 ． f ( x) 在 − ∞, − 单调增，在 x = − 3 3 处取得极大值 2 1 1 1 处取得极小值 , − 1 < 0 ，在 − 单调减，在 x = 3 3 3 3 3 2
P2 k + 2 = 2k ( P2 − P1 ) + P2 P2 k +1 = 2 P1 − P2 k 4．． ⇒ P2 k + 2 = 2( P2 − P1 ) + P2 k ⇒ P2 k +1 = 2k ( P1 − P2 ) + P2 P2 k + 2 = 2 P2 − P2 k +1 从而， P2 k +1 P2 k + 2 = 4k P1 P2 ．特别， P2013 P2014 = 4024 ．

2014年湖南省高中数学竞赛真题及答案解析(A卷)word

2014年湖南高中数学竞赛试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1.设22{|,,}M a a x y x y Z ==-∈，则 ( )A ．9,10M M ∈∈B ．9,10M M ∉∈C ．9,10M M ∈∉D ． 9,10M M ∉∉2. 设条件p ：实数,m n 满足24,03;m n mn <+<⎧⎨<<⎩条件q ：实数,m n 满足01,2 3.m n <<⎧⎨<<⎩则 ( ) A ．p 是q 的充分不必要条件 B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件又不是q 的必要条件3. 若{}n a 是等差数列，若120132014201320140,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 ( )A ．4025B ．4026C ．4027D ．40284. 给定平面向量(1,1)a =，平面向量131(22b -=是向量a 经过 ( ) A ．顺时针旋转60所得 B ．顺时针旋转120所得C ．逆时针旋转60所得D ．逆时针旋转120所得5. 在如图所示的三棱柱中，点A 、1BB 的中点M 及11B C 的中点N 所决定的平面把三棱柱割成体积不同的两部分，则较小部分与原三棱柱的体积之比为 ( )A ．2336B ．1336C ．1323D ．12236. 已知圆222:C x y r +=，两点*P P 、在以O 为起点的射线上，并且满足*2||||OP OP r ⋅=，则称*P P 、关于圆对称，那么双曲线221x y -=上的点(,)P x y 关于圆22:1C x y +=的对称点*P 所满足的方程是 ( )A ．2244x y x y -=+B ．22222()x y x y -=+C ．22442()x y x y -=+D ．222222()x y x y -=+二、填空题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）7.已知22()53196|53196|f x x x x x =-++-+，则(20)(14)f f +=________________.8.已知0,sin cos ,24x x x ππ<<-=若1tan tan x x +可以表示成ca b π-的形式(,,a b c 为正整数)，则a b c ++=_______________.9.不等式32||24||30x x x --+<的解集是__________________.10.已知一无穷等差数列中有3项（顺序排列单不一定相连）：13,25,41.则可以判断得出2013_________(填“是”、“不是”或“不能确定”)数列中的一项.11.随机摸选一个三位数I ，则I 含有因子5的概率为_______________.12.已知实数,x y 满足05030x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩.若不等式222()()a x y x y +≤+恒成立，则实数a 的最大值是_____________.三、解答题（本大题共4小题，共72分）*13.（本小题满分16分）已知O 为ABC ∆的内部一点，BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠，试研究ABC ∆的三边满足的关系，并证明你的结论.14.（本小题满分16分）某旅游区每年各月份接待的人数近似的满足周期性规律，即第n 个月从事旅游服务工作的人数()f n 可近似地用函数()100[cos()]f n A n k ωα=++来刻画，其中正整数n 表示月份且*n N ∈.例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0,(0,)2πωα>∈.统计发现，该地区每年各月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的()f n 的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.15.（本小题满分20分）若实数0x 满足00()f x x =，则称0x x =为函数()f x 的一个不动点.已知32()3f x x ax bx =+++（其中,a b 为常数）有互异的两个极值点1x 和2x .试判断是否存在实数组(,)a b ，使得1x 和2x 皆为不动点，并证明你的结论.16.（本小题满分20分）已知数列{}n x 满足21122,2,6n n n x x x x x ++=+==，数列{}n y 满足21122,3,9n n n y y y y y ++=+==，求证：存在正整数0n ，使得对任意0n n >都有n n x y >.。

答案与评分细则(14年高中数学联赛四川试题)

2014年全国高中数学联赛（四川）参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次. 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、D2、B3、A4、B5、C6、C 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、326 8、14 9、80 10、0 11、5 12、28 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、已知a 为常数，函数1()ln(1xf x ax x−=−+．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若83a =−，求()f x 的极值．解：（1）函数()f x 的定义域为(1,1)−．()ln(1)ln(1)f x x x ax =−−+−，2112()111f x a a x x x −−′=−−=−−+− (5分) 因为11x −<<，故2221x−≤−−； ① 当2a >−时，()0f x ′<恒成立，故单调递减区间为(1,1)−； ② 当2a =−时，(1,0)x ∈−时()0f x ′<；0x =时()0f x ′=； (0,1)x ∈时()0f x ′<；故单调递减区间为(1,1)−；③ 当2a <−时，由()0f x ′<知221a x−<−，即22a x a +>1x <<或者1x −<<；故单调递减区间为，(1,−．综上所述，当2a ≥−时，单调递减区间为(1,1)−；当2a <−时，单调递减区间为，(1,−−年全国高中数学联赛（四川）试题（2）823a =−<−，由()0f x ′=知驻点为12x =−，或12x =；于是: 112x −<<−时'()0f x <；1122x −<<时'()0f x >；112x <<时'()0f x <．（15分）所以，()f x 有极小值14()ln 323f −=−+，有极大值14()ln 323f =−．（20分）14、已知不等式31cos 4cos sin 3222≤++−a x a x x 对一切R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．解：设31cos 4cos sin 3)(222−++−=a x a x x x f ，则28cos 4cos 4)(22−++−=a x a x x f 令x t cos =，则]1,1[−∈t故当]1,1[−∈t 时，22()44280g t t at a =−++−≤恒成立二次函数()g t 的对称轴2a t =， ①当12a≤−，即2a ≤−时，()g t 在]1,1[−∈t 上单减，故有()g t 的最大值2(1)4320g a a −=−−≤，解得42a −≤≤−；（5分）②当112a −<<，即22a −<<时，有()g t 的最大值2(22802ag a =−≤，解得22a −<<；（10分） ③当12a≥，即2a ≥时，()g t 在]1,1[−∈t 上单增，故有()g t 的最大值2(1)4320g a a =+−≤，解得24a ≤≤；（15分）综上可知，所求a 的取值范围是[4,4]−．（20分）15、已知k 为给定正整数，数列{}n a 满足13a =，2*211(31)3()k n n a S n −+=−+∈N ，其中n S 是{}n a 的前n 项和．令3121log ()()n n b a a a n n =∈"*N ,记213||2kk i i T b ==−∑．若k T ∈*N ,求k 的所有可能值．解：由条件知22121212(31)333k k k a +−−=−×+=，又 2211(31)3k n n a S −+=−+，2211(31)3k n n a S −−=−+（2n ≥）故2211(31)k n n n a a a −+−=−，即22113k n n a a −+=．于是2223221212)3(2)n k n k k n a a n +−−−−==≥，显然1n =也符合．所以，数列{}n a 的通项公式22321()n k k n a n +−−=∈*N ．（5分）从而3121log ()n n b a a a n ="111(223)21ni i k n k ==⋅+−−∑1121n k −=+−．（10分）于是1()32221n n k b k −+−=−，从而n k ≤时302n b −<；1n k ≥+时302nb −>．所以222111333||()()22221kk kk i i i i i i k k T b b b k ===+=−=−+−=−∑∑∑．（15分）因为k T ∈*N ，即2(21)|k k −，故2(21)|(411)k k −−+，于是(21)|1k − 故211k −=，解得1k =．所以所求k 的所有可能值为1k =．（20分）16、过椭圆22132x y +=的右焦点F 作两条垂直的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为M 、N ．（1）求证：直线MN 必过定点，并求出这个定点；（2）若弦AB 、CD 的斜率均存在，求△FMN 的面积的最大值．解：（1）由题意知，(1,0)F ．① 当弦AB 、CD 的斜率均存在，设AB 的斜率为k ，则CD 的斜率为1k−．设:(1)AB y k x =−，代入椭圆方程22132x y +=，得2222(32)6(36)0k x k x k +−+−=，所以223232A B M x x k x k +==+，22(1)32M M k y k x k −=−=+，故点22232(,3232k kM k k −++．因为CD ⊥AB ，所以将点M 的坐标中的k 换为1k −，即得点2232(,)2323kN k k ++．（5分）（i ）当1k ≠±时，22222222332332332MNk kk k k k k k +++=−++24210(1)56633k k k k k +−==−−，此时直线MN 的方程为222253()233323k ky xk k k −−=−+−+，则直线MN 过定点3(,0)5．（ii ）当1k =±时，易得直线MN 的方程为35x =，也过点3(,0)5． ② 当弦AB 或弦CD 的斜率不存在时，易知直线MN 为x 轴，也过点3(,0)5．综上可知，直线MN 必过定点E 3(,0)5．（10分）（2）由（1）知S △FMN =1||||2M N EF y y ⋅⋅− 2212253223k kk k −=−++2222(1)(32)(23)k k k k +=++ （15分）不妨设0k >，则6424222222222212101012(12212)(1)(32)(23)(32)(23)k k k k k k S k k k k −−++−+−−′==++++ 由0S ′=知1k =．又(0,1)k ∈时，0S ′>; (1,)k ∈+∞时，0S ′<; 故当1k =时，S 有最大值为425．所以，△FMN 的面积的最大值是425．（20分）。

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(含解析版)A3

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设z=，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0]3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A．2B ．C．1D ．5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种6．（5分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A ．+=1B ．+y2=1C ．+=1D ．+=17．（5分）曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．18．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．B．16πC．9πD ．9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．311．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）A．y=g（x）B．y=g（﹣x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣x）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）的展开式中x2y2的系数为．（用数字作答）14．（5分）设x、y 满足约束条件，则z=x+4y的最大值为．15．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx 在区间（，）是减函数，则a的取值范围是．三、解答题17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．18．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n =，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1，a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n ≤（n∈N*）．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设z=，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．【解答】解：∵z==，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0]【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，又N={x|0≤x≤5}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）．故选：B．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【考点】HF：正切函数的单调性和周期性．【专题】56：三角函数的求值．【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得．【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a故选：C．【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．4．（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A．2B ．C．1D ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•=0，（2+）•=0，由此求得||．【解答】解：由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b2=2，则||=，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题．5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】5O：排列组合．【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．6．（5分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A ．+=1B ．+y2=1C ．+=1D ．+=1【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C 的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．1【考点】62：导数及其几何意义．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为f′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1，当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，故选：C．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．B．16πC．9πD ．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A ．B ．C ．D ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1===．故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．10．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．3【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，∵AE⊥l∴∠EAC=90°∵CD∥AF又∠ACD=135°∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，在Rt△BEF中，则BF=2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF===．故选：B．【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题．12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）A．y=g（x）B．y=g（﹣x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣x）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得．【解答】解：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，∴P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x）故选：D．【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）的展开式中x2y2的系数为70．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r ••=•（﹣1）r ••，令8﹣=﹣4=2，求得r=4，故展开式中x2y2的系数为=70，故答案为：70．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．（5分）设x、y 满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y 为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max=1+4×1=5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【专题】5B：直线与圆．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx 在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2] ．【考点】HM：复合三角函数的单调性．【专题】51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=﹣2t2+at+1．∵x ∈（，）时f（x）为减函数，则y=﹣2t2+at+1在t ∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．∴，解得：a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．三、解答题17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n =，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和．【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）通过S n≤S4得a4≥0，a5≤0，利用a1=13、a2为整数可得d=﹣4，进而可得结论；（2）通过a n=13﹣3n，分离分母可得b n =（﹣），并项相加即可．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由S n≤S4得：a4≥0，a5≤0，又∵a1=13，∴，解得﹣≤d ≤﹣，∵a2为整数，∴d=﹣4，∴{a n}的通项为：a n=17﹣4n；（2）∵a n=17﹣4n，∴b n ===﹣（﹣），于是T n=b1+b2+……+b n=﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]=﹣（﹣）=．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD==1可知D为AC中点，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C 表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX i，再利用数学期望公式计算即可．【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题．21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1，a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n ≤（n∈N*）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=，①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．②当a=2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜，下面用数学归纳法进行证明＜a n ≤成立，①当n=1时，由已知，故结论成立．②假设当n=k 时结论成立，即，则当n=k+1时，a n+1=ln（a n+1）＞ln （），a k+1=ln（a k+1）＜ln （），即当n=k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立．【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．。

2014年全国高中数学联赛A卷真题word版

一试一、填空题1. 若正数b a ,满足()b a b a +=+=+632log log 3log 2，则b a 11+的值为________.2. 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤+213b a b a 中的最大元素与最小元素分别为m M ,，则m M -的值为__________.3. 若函数()12-+=x a x x f 在[)+∞,0上单调递增，则实数a 的取值范围是__________.4. 数列{}n a 满足21=a ，()()*+∈++=N n a n n a n n 1221，则=+++2013212014a a a a Λ . 5. 正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，N M ,分别是边BC AB ,的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是__________.6. 设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,.若212F F PF =，且1143QF PF =,则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________.7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I .若点P 满足1=PI ，则APB ∆与APC ∆的面积之比的最大值为__________.8. 设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以21的概率在每对边之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为__________.二、解答题9. 平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线x y 42=的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直.设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为R Q ,.（1）证明R 是一个定点；（2）求QR PQ 的最小值. 10. 数列{}n a 满足61π=a ，()n n a a sec arctan 1=+()*∈N n .求正整数m ，使得1001sin sin sin 21=⋅⋅⋅m a a a Λ. 11. 确定所有的复数α，使得对任意复数21,z z ()2121,1,z z z z ≠<，均有 ()()222121z z z z αααα++≠++.二试一、设实数c b a ,,满足1=++c b a ，0>abc .求证：412+<++abc ca bc ab .二、如图，在锐角ABC ∆中，︒≠∠60BAC ，过点B 、C 分别作ABC ∆的外接圆⊙O 的切线BD 、EC ，且满足BC CE BD ==.直线DE 与AB 、AC 的延长线分别交于点F 、G .设CF 与BD 交于点M ，CE 与BG 交于点N .求证：AN AM =.三、设{}100,,3,2,1Λ=S .求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.四、设整数201421,,,x x x Λ模2014互不同余，整数201421,,,y y y Λ模2014也互不同余. 证明：可将201421,,,y y y Λ重新排列为201421,,,z z z Λ，使得201420142211,,,z x z x z x +++Λ模4028互不同余.。

2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

2013
解：由题设
an

2(n 1) n
an1

2(n 1) n

2n n 1 an2

2(n 1) n

2n n 1

23 2
a1

2n1 (n
1)
．
记数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，则
Sn =
2 + 2 × 3 + 22 × 4 + + 2n−1(n +1)
2015 2013

2015
．
2013
5. 正四棱锥 P ABCD 中，侧面是边长为 1 的正三角形，M , N 分别是边 AB, BC 的中
点，则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是
．
答案： 2 ． 4
解：设底面对角线 AC, BD 交于点 O ，过点 C 作直
线 MN 的垂线，交 MN 于点 H ．由于 PO 是底面的垂线，故 PO CH ，又
解：记 f (z) (z )2 z ．则
f (z1) f (z2 ) (z1 )2 z1 (z2 )2 z2
(z1 z2 2)(z1 z2 ) z1 z2 ．
①
假如存在复数 z1, z2 ( z1 , z2 1, z1 ≠ z2 ) ，使得 f (z1) f (z2 ) ，则由①知，
连接的情况数．
(1) 有 AB 边：共 25 32 种情况．
(2) 无 AB 边，但有 CD 边：此时 A ， B 可用折线连接当且仅当 A 与 C ， D 中至少一
点相连，且 B 与 C ， D 中至少一点相连，这样的情况数为 (22 1)(22 1) 9 ．

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则(定稿)

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1．若x ≥2，则函数f (x )＝x ＋1x ＋1的最小值是．答案：73．2．已知函数f (x )＝e x ．若f (a ＋b )＝2，则f (3a )·f (3b )的值是 . 答案：8．3．已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a n 2＝S 2n －1，n ∈N *，则数列{a n }的通项a n ＝．答案：2n －1．4．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－3x ， x ≥0，－2x 2＋ax ，x ＜0是奇函数，则实数a 的值是_________．答案：－3． 5．已知函数f (x )＝|lg|x －103||．若关于x 的方程f 2(x )－5f (x )－6＝0的实根之和为m ，则f (m )的值是．答案：1．6．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于．答案：2525．说明：若学生得出255或2525，255，本题得4分．7．四面体ABCD 中，AB ＝3，CD ＝5，异面直线AB 和CD 之间的距离为4，夹角为60°，则四面体ABCD 的体积为．答案：53．8．若满足∠ABC ＝π3，AC ＝3，BC ＝m 的△ABC 恰有一解，则实数m 的取值范围是．答案：(0，3]∪{23}．9．设集合S ={1，2，…，8}，A ，B 是S 的两个非空子集，且A 中最大的数小于B 中的最小数，则这样的集合对(A ，B )的个数是．答案：769．10．如果正整数m 可以表示为x 2－4y 2 (x ，y ∈Z )，那么称m 为“好数”．问1，2，3，…，2014中“好数”的个数为．答案：881．二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．已知a ，b ，c 为正实数，a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．证明：设a x ＝b y ＝c z ＝p ＞0，则a ＝1xp ，b ＝1yp ，c ＝1zp ．…………………… 10分所以abc ＝1xp·1yp·1zp ＝111x y zp++． …………………… 15分因为1x ＋1y ＋1z＝0，所以abc ＝0p ＝1． …………………… 20分12．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，点B 的坐标为(0，b )，直线F 1B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若MF 2＝12F 1F 2，求双曲线C 的离心率．解：设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的半焦距长为c ，则点F 1，F 2的坐标分别(－c ，0)，(c ，0)．从而直线F 1B 的方程为x －c ＋y b＝1，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0．联立⎩⎨⎧x －c ＋yb ＝1，x 2a 2－y2b 2＝0，消去y 得，b 2x 2－2a 2cx －a 2c 2＝0．由韦达定理得：线段PQ 中点的坐标(a 2c b 2，c 2b )． ………………………… 10分因此PQ 中垂线的方程是：y －c 2b ＝－c b (x －a 2cb2)．在上式中，令y ＝0，得M (c ＋a 2cb 2，0)． ………………………… 15分另一方面，由MF 2＝12F 1F 2，则M (2c ，0)，或M (0，0)(舍去)，由此可得，c ＋a 2cb2＝2c ，即a ＝b ，故e ＝2． ………………………… 20分13．如图，已知△ABC 是锐角三角形，以AB 为直径的圆交边AC 于点D ，交边AB 上的高CH于点E ．以AC 为直径的半圆交BD 的延长线于点G ．求证：AG ＝AE ．证明：连结BE ，CG ．因为AB 为直径，所以∠AEB ＝90°，BG ⊥AC ．又EH ⊥AB ，在△AEB 中，由射影定理得 AE 2＝AH ·AB ．因为AC 为直径，所以∠AGC ＝90°．在△AGC 中，由射影定理得AG 2＝AD ·AC ． …………10分因为∠BDC ＝∠BHC ＝90°，所以B ，C ，D ，H 四点共圆，从而由割线定理知AH ·AB ＝AD ·AC ． …………………… 15分所以AE 2＝AG 2，即AE ＝AG ． …………………… 20分14．（1）正六边形被3条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成4个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？（2）凸2016边形被2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．ABCDEFABCDGE HABCDGEH解：（1）3条对角线分得4个三角形，相邻的两个涂色相异，则既有红色三角形，又有蓝色三角形．不妨设红色三角形多于蓝色三角形．则蓝色三角形至少有1个，红色三角形最多3个，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差不超过3－1＝2．如图连接AC ，CE ，EA ，△ACE 涂蓝色，其余3个三角形涂红色，差为2．故红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为2． …………………… 5分（2）2013条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成2014个三角形．每个三角形区域涂红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．设红色三角形多于蓝色三角形．每个蓝色三角形三条边中至少有一条对角线，即三条边中对角线的条数只能为1、2或3．每条对角线只属于一个蓝色三角形．设边中恰含k (k =1,2,3)条对角线的蓝色三角形的个数为m k ，则对角线条数m 1+2m 2+3m 3=2013，蓝色三角形个数m 1+m 2+m 3=3m 1+3m 2+3m 33≥m 1+2m 2+3m 33= 20133 =671，红色三角形个数≤2013－671=1343，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差≤1343－671=672． ……………………10分注意到凸6边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为2，此时6边形的边均为红色；假定凸3k 边形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为k 且凸3k 边形的边均为红色．则凸3(k +1)边形A 1A 2A 3…A 3k A 3k +1A 3k +2A 3k +3中的凸3k 边形A 1A 2A 3…A 3k 按假定涂色，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差最大值为k 且边A 1A 3k 为红色．如图，则△A 1A 3k A 3k +2区域涂蓝色，△A 3k A 3k +1A 3k +2区域涂红色，△A 1A 3k +2A 3k +3区域涂红色，凸3(k +1)边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的值为k +2－1= k +1．即按上述方法涂色，凸2016边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差为20163 = 672．所以凸2016边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为672．……………………20分ABCDEFA 1A 3k +1A 3kA 3k +2A 3k +3。

2014年全国高考数学试题及答案word版

2014年全国高考数学试题及答案word版一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。

1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，且f(1) = 3，f(-1) = 1，则f(0)的值为：A. 2B. 3C. -1D. 12. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，a4 = 4，则S5的值为：A. 15B. 10C. 5D. 33. 若复数z满足|z| = 1，且z的实部为1/2，则z的虚部为：A. √3/2B. -√3/2C. √3/2iD. -√3/2i4. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，若f(x)在区间(1,2)内有极值，则该极值点为：A. 1B. 2D. 1/25. 若直线l：y = kx + b与圆C：x^2 + y^2 = 1相交于两点A、B，且|AB| = √2，则k的取值范围为：A. (-∞, -1] ∪ [1, +∞)B. [-1, 1]C. (-1, 1)D. [0, 1]6. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)在区间[0,3]上单调递增，则f(x)的最大值为：A. 0B. 3C. 9D. 127. 若向量a = (1, 2)，b = (2, 1)，则向量a与向量b的数量积为：A. 3B. 4C. 5D. 68. 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为：A. 1B. -1C. √2D. -√29. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，若f(x)在区间(0,1)内有极值，则该极值点为：B. 1C. 2/3D. 1/210. 若复数z满足|z| = 1，且z的实部为1，则z的虚部为：A. 0B. 1C. -1D. √3/211. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，q = 2，则S4的值为：A. 30B. 16C. 8D. 412. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)在区间[1,3]上单调递减，则f(x)的最小值为：A. 0B. 3C. -1D. 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

《全国高中数学联赛真题暨答案(2011-202

−−→ AF1
·
−−→ AF2
+
−−→ BF1
·
−−→ BF2
=
0,
则
|AB| |F1F2|
的值为
．
3.
设a
>
0，函数 f (x)
=
x+
100 x
在区间 (0, a] 上的最小值为 m1，在区间 [a, +∞) 上的
最小值为 m2，若 m1m2 = 2020，则 a 的值为 .
4.
设z
为复数，若
z−2 z−i
为实数（i 为虚数单位），则 |z + 3| 的最小值为
.
5. 在 △ABC 中，AB = 6，BC = 4，边 AC 上的中线长为 √10，则 sin6 A + P − ABC 的所有棱长均为 1，L, M, N 分别为棱 P A, P B, P C 的中点，则该正三棱锥的外接球被平面 LM N 所截的截面面积为．
2011 年全国高中数学联赛二试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2020 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2020 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2020 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2020 年全国高中数学联赛二试答案(B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2019 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2019 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2019 年全国高中数学联赛一试答案(B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2019 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2018 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2018 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2018 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2018 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2017 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2017 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2017 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 2017 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2016 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 2016 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 2015 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 2015 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 2014 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 2014 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 2013 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 2013 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 2012 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 2012 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 2011 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 2011 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

2014年高中数学联赛试题及其解答

加试
一、（本题满分 40 分）设实数a、b、c满足a + b + c = 1，abc＞0，求证：ab + bc + ca＜ √ + 。
证明方法一：因为abc＞0，故a、b、c全为正数，或一正两负。（Ⅰ）若a、b、c中一正两负，不妨设a＞0，b、c＜0，则ab + bc + ca = a(b + c) + bc = a(b + c) + bc = [1 − (b + c)](b + c) + bc = (b + c) − b − − ＜0＜ √ + 。
解答：我们考虑存在复数z 、z ，|z |、|z |＜1，z ≠ z ，使得(z + α) + αz =
(z + α) + αz 的充要条件。此时
(z + α) + αz = (z + α) + αz
⇔ α(z − z ) = (z − z )(z + z + 2α)
⇔ α[(z − z ) + 2(z − z )] = (z − z )(z + z )
3、若函数f(x) = x + a|x − 1|在[0， + ∞)上单调递增，则实数a的取值范围是
。
x − ax + a，x ∈ 0，1
解答：根据条件知f(x) =
。f(x)在 0，1 单调递增的充要
x + ax − a，x ∈ 1， + ∞
条件为 ≤ 0 ⇔ a ≤ 0；f(x)在 1， + ∞ 单调递增的充要条件为− ≤ 1 ⇔ a ≥ −2。故实数

2014年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

1 。 100
，a n 1 arctan(sec a n ) ，（n N ）求正整数 m ， 6 , ) ，且 tan a n 1 sec a n 2 2
★解析：由已知条件可知，对任意正整数 n ， a n 1 ( 由于 sec a n 0 ，故 a n 1 (0,
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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2a | QF1 | | QF2 || PF1 | | PF2 | 2c 4
于是 | QF2 || PF1 | | PF2 | | QF1 | 2c 1 设 H 为线段 PF1 的中点，则 | F1 H | 2, | QH | 5 ，且有 F2 H PF1 。由勾股定理知，
① ②
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
第 4 页共 11 页
而点 P 的坐标 ( a, b) 同时满足①，②。故 A ， B 的坐标均满足方程
by 2( x a )
③ ( x1 , y1 ) ， ( x 2 , y 2 )
故③就是直线 AB 的方程。直线 PO 与 AB 的斜率分别为从而③即为 y
tan a m tan a1 tan a 2 … sec a1 sec a 2 sec a m

tan a m tan a1 tan a 2 … （利用①） tan a 2 tan a3 tan a m 1
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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2 2 2 2 2 2 5
48 3 。 64 4
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2014A 9、（本题满分 16 分）平面直角坐标系 xOy 中， P 是不在 x 轴上的一个动点，满足条件：过 P 可作抛物线 y 4 x 的两条切线，两切点连线 l P 与 PO 垂直.设直线 l P 与直线 PO ， x 轴的交点分别为 Q, R 。 ⑴证明： R 是一个定点； ⑵求

2014年全国高中数学联赛试题及解答

全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11a b+的值为________．答案：设连等式值为k ，则232,3,6k k ka b a b --==+=，可得答案108分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过2. 设集合3|12b a b a ⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭中的最大元素与最小你别为,M m ，则M m -的值为______．答案：33251b a +≤+=，33b a a a+≥+≥，均能取到，故答案为5-分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．答案：零点分类讨论去绝对值，答案[]2,0-分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过4. 数列{}n a 满足12a =，()()*1221n n n a a n N n ++=∈+，则2014122013a a a a =+++______．答案：()1221n n n aa n ++=+，迭乘得()121n n a n -=+，()212232421n n S n -=+⨯+⨯+++，乘以公比错位相减，得2n n S n =，故答案为20152013．分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n 项和，集训队讲义专门训练并重点强调过5. 正四棱锥P ABCD -中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN与PC 之间的距离是________．答案：OB 为公垂线方向向量，故距离为12OB =分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点,P Q ．若212PF F F =，且1134PF QF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________．答案：不妨设焦点在x 轴（画图方便），设114,3PF QF ==，焦距为2c ，224a c =+，可得△2PQF 三边长为7,21,2c c +，过2F 作高，利用勾股可得5c =．分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI =，则△APB 与△APC 的面积之比的最大值为________．答案：sin sin APB APC S PABS PAC ∠=∠，又两角和为60最大，即AP 与(),1I 切于对称轴右侧8. 设,,,A B C D 是空间中四个不共面的点，以12的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则,A B 之间可以用空间折线（一条边或者若干条边组成）连结的概率为_______．答案：总连法64种，按由A 到B 最短路线的长度分类．长度为1，即AB 连其余随意，32种；长度为2，即AB 不连，ACB 或ADB 连，其余随意，ACB 连8种，故共88214+-=种（一定注意,ACB ADB 同时连被算了2次，根据CD 是否连有2种情形）；长度为3，两种情形考虑ACDB ，ACDB 连、,,AB CB AD 均不连只有1种，故连法为2种；综上，答案483644=分析：组合计数，分类枚举，难度不大但容易算错，集训队讲义训练过类似题目二、解答题（本大题共3小题，共56分）9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线24y x =的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直．设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为,Q R ．（1）证明：R 是一个定点；（2）求PQQR的最小值．答案：（1）设(),P a b ，()()1122,,,A x y B x y ，0,0a b ≠≠，()11:2PA yy x x =+，()22:2PB yy x x =+ 故,A B 两点均适合方程()2by a x =+，利用垂直，可得2a =-，故交点为定点()2,0（2）∵2a =-，故,2PO PR b bk k =-=-，设OPR α∠=，则α为锐角，1tan PQ QR α=，利用两角差的正切公式，可得282PQ b QR b+=≥．分析：涉及圆锥曲线切点弦方程、两直线夹角公式、不等式求最值，集训队讲义专门训练并重点过10. （本题满分20分）数列{}n a 满足16a π=，()()*1arctan sec n n a a n N +=∈．求正整数m ，使得121sin sin sin 100m a a a ⋅⋅⋅=．答案：由反函数值域，知,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2222132tan sec tan 1tan 3n n n n a a a +-==+==，1212112122311tan tan tan tan tan tan tan sin sin sin sec sec sec tan tan tan tan m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅=⋅=⋅==故3333m =分析：涉及简单反三角函数、数列通项公式求法，集训队讲义对类似题目进行过训练11. （本题满分20分）确定所有的复数α，使得对任意复数()121212,,1,z z z z z z <≠，均有()()221122z z z z αααα++≠++．答案：转换命题为计算存在12,z z 使得相等时的充要条件存在12,z z 使得相等，记()()2f z z z αα=++，()()()()()1212121220f z f z z z z z z z αα-=++-+-=，则()()()1212122z z z z z z αα-=-++-，故12122222z z z z a ααα=++≥-->-，故2α<；若2α<，令12,22z i z i ααββ=-+=--，其中012αβ<<-，则12z z ≠，122i ααββ-±≤-+<，计算121212,2,2z z z z i z z i αββ+=--=-=-并代入，知()()12f z f z =．综上，满足条件的α为,2Z αα∈≥二试一、（本题满分40分）设实数,,a b c满足1a b c++=，0abc>．求证：14ab bc ca++<．a b c≥≥>，则1a≥1c≤．)ab bc ca c++-+⎭12c-，故有()()111122c c cc cc c⎛---≤-+-⎭⎝⎭由于1110,3333c-≥+≥>310c->，故原不等式成立．方法2：不妨设0a b c≥≥>，则13a≥c，设()()1f b ab bc ca ab c c=++=+-，()f b递增f⇔，()())()1f b ab a b a b⎛'=--=-⎝，()010f b'≥⇔≥⇔≤≥故()f b a；题目转化为21ac+=，a c≥，记()()222212g a a ac a a a=+-=+--()()262621g a a a⎫'=-+=-⎪⎭，由于13a≥1=，得1532a=，115,332a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时g'151,322⎫⎪⎝⎭时()g a在13或12max1124g g⎛⎫==⎪⎝⎭分析：一道偏函数化的不等式题，可以将其放缩为一元函数，也可以拿导数与调整法很快做出来，集训队讲义上两种方法都训练过．二、（本题满分40分）在锐角三角形ABC中，60BAC∠≠，过点,B C分别作三角形ABC的外接圆的切线,BD CE，且满足BD CE BC==．直线DE与,AB AC的延长线分别交于点,F G．设CF与BD交于点M，CE与BG交于点N．证明：AM AN=．答案：设△ABC三边为,,a b c，则BD CE a==，先计算AM，∵,BFD ABC BDF DBC BAC∠=∠∠=∠=∠，∴△BFD∽△CBA．由比例可知acDFb=，故BM BC bBDDF c==，故abBMb c=+，故由余弦定理知()2222cosab abAM c c A Bb c b c⎛⎫=+-⋅+⎪++⎝⎭222cosab abcc Cb c b c⎛⎫=++⎪++⎝⎭，整理可得此式关于,b c对称故可知22AM AN=分析：由于一旦,,a b c三边确定则图形固定，所以通过相似、比例、余弦定理计算的思路比较显然GF ED三、（本题满分50分）设{}1,2,3,,100S =．求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同．答案：一方面，取包含1的、至少含2个元素的所有子集，共9921-个，显然满足题意；另外归纳证对于{}1,2,3,,S n =，任取()123n n -≥个子集，均存在两个的交集中最小的等于某个中最大的当3n =时，将7个非空子集分为三类：{}{}{}31,32,3，{}{}21,2，{}{}11,2,3．任取四个必有两个同类．假设n k =时命题成立，当1n k =+时，如果取出的2k 个子集中至少有12k -个不含1k +，利用归纳假设知成立；如果不含1k +的不足12k -，则至少有121k -+个含有1k +，而S 含有1k +的子集共2k 个，可以配成12k - 对，使得每对中除了公共元素1k +外，其余恰为1到n 的互补子集，这样，如果选出121k -+个，则必有两个除1k +外不交，故命题成立．综上，k 的最大值为9921-．分析：集合中的组合最值问题，比较常规的一道题，类似感觉的题集训队讲义在组合中的归纳法中有过四、（本题满分50分）设整数122014,,,x x x 模2014互不同余，整数122014,,,y y y 模2014也互不同余．证明：可将122014,,,y y y 重新排列为122014,,,z z z ，使得112220142014,,,x z x z x z +++模4028互不同余．答案：不妨设()mod 2014i i x y i ≡≡，1,2,,2014i =．下面对i y 序列进行1007次调整从而构成i z 序列：若i i x y +与10071007i i x y +++模4028不同余，则1007,i i y y +不调整；否则，交换1007,i i y y +位置，1,2,,2014i =．下证，进行1007次调整后，得到的i z 序列一定满足条件．任意挑选一列()1,2,,1007i i x z i +=，只需证其与10071007i i x z +++、()1,2,,1007,j j x z j j i +=≠、10071007j j x z +++模4028不同余即可由i z 构造方法，i i x z +与10071007i i x z +++不同余是显然的，因为不可能调整前后均同余，故只需看另两个；首先，对于不同的,i j ，2i 与2j 模4028不同余，否则会导致()mod 2014i j ≡．若,i j y y 均未调整，则()2mod 2014i i x z i +≡，()100710072mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡，故成立；若,i j y y 均已调整，则()21007mod 2014i i x z i +≡+，()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，故成立；若只有一个被调整过，不妨设i y 未调整、j y 已调整，则()2mod 2014i i x z i +≡， ()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，若()4028|21007i j --，则()1007|i j -，矛盾，故同样成立．综上，构造的i z 序列满足条件．全国高中数学联赛试题及解答高中联赛试题分析从试题类型来看，今年代数、几何、数论、组合4部分所占的比例为：代数37.3%，几何26.7%，数论16.7%，组合19.3%．这方面和历年情况差不多，但具体的知识点差别极大．一试第7题填空题可谓出人意表，虽然解答是用三角函数的方法处理的，对比历年试题，这题毫无疑问也是顶替了三角函数的位置．但本题却是一道彻头彻尾的平面几何题．从图中不难看出，最值情况在相切时取到，剩下的只是利用三角函数处理了一下计算上的问题．其余填空题中，第1~6题和往年出题风格类似，第8题概率计算略显突兀，本题几乎不需要用到计数的技巧，而是用单纯枚举的方法即可解决．放在填空题最后一题的位置不免显得难度不够．一试三道解答题中，第9题和第10题均不太难，所考知识点也和往年类似，无需多说．第11题又再次爆了冷门，考了一道复数问题．联赛已经多年没有考复数的大题了，许多学生都没有准备．可以说，这次一下戳中了学生的罩门．相信本题最终的得分率不容乐观．而本次试题中最特殊的要数加试中的平面几何题了．一反从1997年开始保持到如今的惯例，没有将平面几何题放在加试的第一题．而且本题实则为《中等数学》2012年第12期中的数学奥利匹克高中训练题中的原题，这无疑又让此题失色不少．今年的加试第一题放了一道不等式问题，虽然近几年不等式考察得较少，但是不等式一直是数学竞赛中的热门，在历年联赛中多有出现．考虑到本题难度并不大，放在联赛加试第一题还是非常合适的．全国高中数学联赛试题及解答加试第三题组合最值问题的出题风格一如既往，可以从很极端的情况下猜出答案，再进行证明．值得一提的是本题题干描述有歧义，最后一句“则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同”中，记最小元素为a ，两个最大元素为b 和c ．本句话中到底是指a 、b 、c 这3个数互不相同还是指a b ≠且a c ≠，无疑是容易让人误解的．希望今后联赛试题中能避免出现这种情况．加试第四题虽说考察的是数论中的同余知识，但更多考察的是构造法技巧，这也符合联赛加试中试题综合各方面知识的出题思想．从难度上来说本题难度不算太大，只要能从较小的数开始构造并寻找规律，找出2014的构造并不显得困难．但本题的出题背景无疑和以下题目相关：“n 为给定正整数，()122,,,n x x x 和()122,,,n y y y 均为1~2n 的一个排列，则112222,,,n n x y x y x y +++这2n 个数不可能模2n 互不同余．” 总的说来，本次联赛考察的知识点和往年比差别较大，但从试卷难度来说，和前两年是相当的．预计今年联赛的分数线可能比去年略低．。

2014年全国高中数学联赛福建省预赛试题及详解

2014年福建省高中数学竞赛暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷（考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知直线1l ：260ax y ++=，2l ：2(1)10x a y a +-+-=，若12l l ⊥，则a = 。

2．函数2()sin cos 2f x x x x =+-（122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，）的值域为。

3．在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，AB BC ⊥，BC CD ⊥，DA AB ⊥，60CDA ∠=︒。

则三棱锥D ABC -的体积为。

4．已知1F 、2F 为双曲线C ：22124y x -=的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，且点P 在第一象限。

若1243PF PF =，则12PF F △内切圆半径为。

5．已知集合{}2280A x x x =+->，{}2240B x x ax =-+≤。

若0a >，且A B ⋂中恰有1个整数，则a 的取值范围为。

6．若分数p q （p ，q 为正整数）化成小数为0.198pq=，则当q 取最小值时，p q += 。

7．随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为。

8．已知点(11)A -，，(40)B ，，(22)C ，。

平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（1a λ<≤，1b μ<≤）的点()P x y ，组成的区域。

若区域D 的面积为8，则a b +的最小值为。

9． 23201488889999A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦被63除的余数为。

（符号[]x 表示不超过x 的最大整数。

）10．若a ，b ，c 为关于x 的方程320x x x m --+=的三个实根，则m 的最小值为。

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。

【恒心】2014年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及详尽参考答案(纯Word版)【全国首发】

2014年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷时间120分钟，满分120分（2014年5月18日上午：8：00——10：00）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.(请把答填于第．．．．．．2．页答题区．．．．） 1. 已知α为锐角，且有()052cos 3tan 2=+⎪⎭⎫⎝⎛+--βπαπ，()()01sin 6tan =-+++βπαπ，则αsin 的值是__________.2. 函数x x y 2813-+-=的最大值是_________.3. 函数||2x y =的图象与函数2x y =的图象围成的面积大小为_______(平方单位).4. 从前2014个正整数构成的集{}1,2,,2014M =中取出一个k 元子集A ，使得A 中任两数之和不能被这两数之差整除，则k 的最大值为_______.5. 三棱锥ABC P -中，顶点P 在平面ABC 的射影为O ，满足=++， A 点在侧面PBC 上的射影H 是PBC ∆的垂心，6=PA ，则此三棱锥体积的最大值为________. 6. 用红黄蓝三种颜色给如右图所示的六连圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案共有________种(用数字作答).7. 如右图，1F 和2F 分别是双曲)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，A和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为________. 8. 已知对每一个实数x 和y 函数()f x 满足()()()f x f y f x y xy +=++.若(1)f m =，则满足2014)(=n f 的正整数对),(n m 共有_________个.一、填空题答题区（每小题8分，满分64分）1. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8. 二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9. （本小题满分16分）已知方程20x ax b -+=的两个不等实根1x 、2x 满足3322331212121211122672()0333x x x x x x x x a b +--+++=+≠. 求223a b ab a +--的值.如图，已知K L 、分别是ABC ∆的边AC AB 、的中点，ABC ∆的内切圆I 分别与边CA BC 、切于点E D 、.求证：DE KL 、的交点在ABC ∠的角平分线上.在数列{}n a 中，1111,30(2)n n n n a a a a a n --=+-=≥．（1）求数列{}n a 的通项；（2）若11n n a a λλ++≥对任意2n ≥的整数恒成立，求实数λ的取值范围；（3）设数列n b ={}n b 的前n 项和为n T，求证：21)3n T >．2014年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1.10103 . 解：由()052cos 3tan 2=+⎪⎭⎫⎝⎛+--βπαπ，()()01sin 6tan =-+++βπαπ，得3tan =α.又α为锐角，故10103sin =α. 2.33.解：函数的定义域为]4,1[，且0y ≥.根据柯西不等式有：33)4()1()2(342132222=-+-⋅+≤-⋅+-⋅=x x x x y ，上式当且仅当x x -⋅=-⋅4312时，等号成立，即1138=x 时函数取最大值33. 3. )2ln 9348(2-. 解：由于函数||2x y =与函数2x y =都是偶函数，故有)2ln 9348(2])2()2([242222-=-+-=⎰⎰dx x dx x S x x . 4. 672.解：首先，我们可以取672元集，{}1,4,7,,2014A =,A 中任两数之和不能被3整除，而其差是3的倍数；其次，将M 中的数自小到大按每三数一段，共分为672段：1,2,3,4,5,6,7,8,9,,2008,2009,2010,2011,2012,20132014. 现从M 中任673个数，必有两数,x y 取自同一段，则1x y -=或2，注意x y -与x y +同奇偶，于是()()x y x y -+．因此k 的最大值为672. 5. 36 .则33660sin 2131202x x V -⋅=33612364x x -=. 利用导数当26=x 时体积取最大值36. 6. 30.解：从左到右将六个圆编号为1,2,3,4,5,6，满足条件的只有)46,25,13(、)36,25,14(、)35,26,14(、)36,24,15(、)35,24,16(等组合，因此按要求用三种颜色给如图所示的六连圆涂色，应有30533=A .7. 31+ .解：连AF 1，则△AF 1F 2为直角三角形，且斜边F 1F 2之长为2c.令1122,.AF r AF r ==由直角三角形性质知：211221221222r r ar c r a c r c r r -=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+⋅=⎩⎪⎩. ∵()222222222124,24220220r r c a c c c a ac c e e +=∴++=⇒+-=⇒--=，得31±=e . ∵e ﹥1，∴取1e =. 8. 8 .解：令y=1,得()(1)(1),(1)(),f x f f x x f x f x m x +=++∴+-=-()(1)(1),f x f x m x ∴--=--()[()(1)][(1)(2)][(2)(1)](1)f x f x f x f x f x f f f =--+---++-+=1(1)2mx x x --，而2014)(=n f ，设)1(212014--=n n mn53194)12(⨯⨯=-+⇒n m n ，又(21)21n m n m ++-=+为奇数，所以(21)n m n +-与为一奇一偶.当n 为偶数时，(21)m n +-取得奇数的个数为4)11)(11(=++个（5319⨯的约数），即有4个解；同理，n 为奇数时，也有4个解，故共有8个.二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9. （本小题满分16分）解：由韦达定理得 12x x a +=，12x x b =. 于是，有3322331212121211122333x x x x x x x x +--+++ =3231212121212121211[()2()]()22()()33x x x x x x x x x x x x x x +-+-+++++…………6分=32311(3)2233a ab a a b b ---++=3321()2()3a b ab a a b +--++=221()()()(2)3a b a b ab a b a ++--+-=221()[()2]3a b a b ab a ++--+. ………………………………………………11分由已知，得221()[()2]672()3a b a b ab a a b ++--+=+.而0a b +≠，所以 221()26723a b ab a +--+=.因此，22336702010a b ab a +--=⨯=. ……………………………………………16分 10. （本小题满分20分）证明：假设AB BC ≠，否则结论显然成立（此时E 、K 重合）.设KL 与ABC ∠的角平分线交于点S ，BC //KL ，LBS CBS LSB ∠=∠=∠∴，于是LB LS =，又因为LB LA =S ∴在以AB 为直径的圆上，故090=∠ASB .……5分设DE 与ABC ∠的角平分线交于点T ，则ABC ∆的内心I 在点T B 、之间.又因为BC AB ≠，则有E T ≠，且29029000CAIB ,C DEC ∠+=∠∠-=∠.…………10分如果T 在线段DE 的内部，有0180=∠+∠AET AIT ，所以E T I A 、、、四点共圆. 如果E I 、在AT 的同侧，有AET CAIT ∠=∠-=∠2900，也有E T I A 、、、四点共圆. ………………………………………………………………………………15分因为090=∠AEI ，所以，090=∠ATI .由于ATB ASB ∠=∠，则T S 、重合，即DE ,KL 和ABC ∠的角平分线交于一点. ………………………………………………………20分11. （本小题满分20分）解：（1）将1130(2)n n n n a a a a n --+-=≥整理得：1113(2)n n n a a --=≥，所以113(1)32nn n a =+-=-，即132n a n =-，当1n =时，上式也成立，所以，132n a n =-. ………………………………………………5分（2）若11n n a a λλ++≥恒成立，即3132n n λλ++≥-恒成立，整理得：(31)(32)3(1)n n n λ+-≤-. 令(31)(32)3(1)n n n c n +-=-,则1(34)(31)(31)(32)(31)(34)33(1)3(1)n n n n n n n n c c n n n n ++++-+--=-=--.因为2n ≥，所以上式0>，即{}n c 为单调递增数列，所以2c 最小，2283c =，所以λ的取值范围为28(,]3-∞.…………………………10分（3）由n b =23n b ===>=，……15分所以12n n T b b b =++⋅⋅⋅+23>⋅⋅⋅+21)3= . …………………………20分。

2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则（一试）[1]

2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则（一试）[1]2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则一试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1．在△ABC中，若c cos B＝12，b sin C＝5，则c＝．答案：13．解：根据正弦定理，得c sin B＝b sin C＝5，所以c2＝(c cos B)2＋(c sin B)2＝132，从而c＝13．2．函数f(x)＝x＋1(x+1)3＋1(x＞0)，则函数取得最小值时，所对应的x值是．答案：43－1．解：由f(x)＝x＋1(x+1)3＋1＝13(x＋1)＋13(x＋1)＋13(x＋1)＋1(x+1)3≥44(13)3，等号当且仅当13(x＋1)＝1(x+1)3，即x＝43－1．（本题也可求导）3．对于任意的实数a∈(－2，4]，都有x2－ax＋9＞0成立，则实数x的取值范围为．答案：R．解：当a∈(－2，4]时，△＝a2－36＜0，故x2－ax＋9＞0恒成立，从而x的取值范围是R．4．已知等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n＞0（n＝1，2，3，…），则q的取值范围是．答案：(－1，0)∪(0，＋∞)．解：因为S n＞0（n＝1，2，3，…），所以a1＞0．当q＝1，S n＝na1＞0成立．当q≠1，S n＝a1(1－q n)1－q＞0（n＝1，2，3，…）恒成立，所以q∈(－1，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)．综上q的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．5．已知5件产品中有3件合格品，2件次品．每次任取一个检验，检验后不再放回，恰好经过3次检验找出2件次品的概率为．答案：3 10．解：恰好3次找出2件次品，有三种情况：（1）第1次，第3次找出次品；（2）第2次，第3次找出次品，（3）前三次均为正品．若第1次，第3次找出次品的25×34×13＝110；若第2次，第3次找出次品的概率35×24×13＝110．若前3次均找出的是正品的概率35×24×13＝110，故恰好经过3次检验找出2件次品的概率为110＋110＋110＝310．6．点A 是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点，B 、C 是该椭圆上的另外两点，且△ABC 是以点A为直角顶点的等腰直角三角形．若满足条件的△ABC 只有一解，则椭圆的离心率的范围为．答案：(0，63]．解：设等腰直角三角形的一边所在直线方程为：y ＝kx ＋1(k ＞0)，它与椭圆的另一个交点B 的横坐标为－2ka 21＋a 2k 2，从而点C 的横坐标为2ka 2a 2＋k 2．由AB ＝AC ，得(1＋k 2)×4k 2a 4(1＋a 2k 2)2＝(1＋1k 2)×4k 2a 4(a 2＋k 2)2，化简得：k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝0，由题意知，此方程的解只有k ＝1．而k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝(k －1)［k 2－(a 2－1)k ＋1］＝0，要使上述方程有惟一的正数解k ＝1，则(a 2－1)2－4≤0，即1＜a ≤3（a ＝3时，方程的解惟一）．所以其离心率的取值范围是(0，63]．7．方程x ＋2y ＋3z ＝2014的非负整数解(x ，y ，z )的个数为．答案：339024．解：方程x ＋2y ＝k 的非负整数解(x ，y )个数为［k2］＋1，所以，方程x ＋2y ＝2014－3z 的非负整数解的个数为671∑z =0{［2014－3z 2］＋1}＝671∑z =0(1007－2z )＋671∑z =0［z2］＋672 ＝672×1007－670×672＋335×336＝339024．8．计算：2014∑k =1[－3＋8k ＋14]＝．答案：40115．解：令t ＝－3＋8k ＋14，则k ＝2t 2＋3t ＋1．因此[－3＋8k ＋14]＝n 当且仅当2n 2＋3n ＋1≤k ＜2(n ＋1)2＋3(n ＋1)＋1，n ∈N ．由于2×302＋3×30＋1＝1891，2×312＋3×31＋1＝2016，所以 2014∑k =1[－3＋8k ＋14]＝30∑n =1n [2(n ＋1)2＋3(n ＋1)＋1－(2n 2＋3n ＋1)]－30 ＝30∑n =1(4n 2＋5n )－30＝4(12＋22＋…＋302)＋5(1＋2＋…＋30)－30＝40115．二、解答题（本题满分16分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，2S n +1－3S n ＝2a 1，n ∈N *．（1）证明数列{a n }为等比数列；（2）若a 1，a p (p ≥3)两项均为正整数，且存在正整数m ，使a 1≥m p －1，a p ≤(m ＋1) p －求a n ．解：（1）由题意2S 2－3S 1 =2a 1，得2a 2－3a 1=0．由a 1≠0，得 a 2a 1＝32．………………………… 2分又 2S n +1－3S n ＝2a 1，2S n +2－3S n +1＝2a 1，得 2a n +2－3a n +1＝0，n ∈N *．由a 1≠0，得a n +1≠0，故a n +2a n +1＝32．所以数列{a n }为等比数列．………………………… 6分（2）由（1）知a p =a 1×(32p －1．因为a 1，a p ∈N *，所以a 1=k ×2p －1，k ∈N *，从而a p = k ×3 p －1．………………………… 10分由a 1≥m p －1，a p ≤(m ＋1) p －1，得k ×2p －1≥m p －1，k ×3p －1≤(m +1) p －1，即m ≤2×p －1k ，m ＋1≥3×k ，作差得1≥p －1k ，即k ≤1，所以k ＝1．所以 a n ＝2p －1×(32)n －1．………………………… 16分已知动点A ，B 在椭圆x 28＋y 24＝1上，且线段AB 的垂直平分线始终过点P (－1，0)．（1）求线段AB 中点M 的轨迹方程；（2）求线段AB 长度的最大值．解：（1）设点A ，B 的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点M 的坐标为(x 0，y 0)．当AB 与x 轴垂直时，线段AB 的中点M 的坐标为(－2，0)．当AB 与x 轴不垂直时，因为点A ，B 在椭圆x 28＋y 24＝1上，所以x 128＋y 124＝1，x 228＋y 224＝1．从而(x 1－x 2)(x 1＋x 2)8＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 02y 0．因为线段AB 的垂直平分线始终过点P (－1，0)，所以y 1－y 2x 1－x 2×y 0x 0＋1＝－1，从而x 0＝－2．即线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＝－2，－2＜y ＜2．…………………… 8分（2）当AB 与x 轴垂直时，AB ＝22．当AB 与x 轴不垂直时，由（1）知，直线AB 的方程为y －y 0＝1y 0(x ＋2)．…………………… 12分由y －y 0＝1y 0(x ＋2)，x 28＋y 24＝1，得(y 02＋2)x 2＋4(y 02＋2)x ＋2y 04＋8＝0．所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝2y 04＋8y 02＋2．从而AB ＝(1＋1y 02)×[16－4×2y 04＋8y 02＋2])＝8(y 02＋1)(2－y 02)y 02＋2＝22×－[(y 02＋2)＋4y 02＋2]＋5，其中－2＜y 0＜2，且y 0≠0，所以AB ＜22．所以线段AB 长度的最大值为22．…………………… 20分设a ，b ，c ，d 都是整数，p ＝a 2＋b 2是素数．如果p |c 2＋d 2，证明：c 2＋d 2p 可以表示为两个整数的平方和．证明：因为p | c 2＋d 2，所以c 2＋d 2＝pm ，其中m 为整数．于是m ＝c 2＋d 2p ＝(c 2＋d 2)(a 2＋b 2)p 2＝(c ＋d i)(c －d i)(a ＋b i)(a －b i)p 2，一方面，m ＝(c ＋d i)(c －d i)(a ＋b i)(a －b i)p 2＝(ca －db )2＋(da ＋cb )2p 2，（1）另一方面，m ＝(c ＋d i)(c －d i)(a ＋b i)(a ＋b i)p 2＝(ca ＋db )2＋(da －cb )2p 2，（2）…………………………………… 10分注意到(ca ＋db )(ca －db )＝c 2a 2－d 2b 2＝(pm －d 2)a 2－d 2b 2 ＝pma 2－d 2(a 2＋b 2) ＝p (ma 2－d 2)．因为p 是素数，所以ca ＋db 和ca －db 中至少有一个数能被p 整除．……………………………… 15分当ca －db 能被p 整除时，令ca －db ＝pt ，t 是整数，根据（1），因为m 是整数，所以da ＋cb 也被p 整除．令da ＋cb ＝ps ，s 是整数，则c 2＋d 2p ＝m ＝t 2＋s 2．当ca ＋db 能被p 整除时，同理可证：c 2＋d 2p 也可以表示为两个整数的平方和．……………………………… 20分。

2014年福建省高中数学竞赛暨2014年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案

2014年福建省高中数学竞赛暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知直线1l ：260ax y ++=，2l ：2(1)10x a y a +-+-=，若12l l ⊥，则a = 。

【答案】23【解答】12212(1)03l l a a a ⊥⇔⨯++-=⇔=。

2．函数23()3sin sin cos 2f x x x x =+-（122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，）的值域为。

【答案】 112x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，【解答】1cos 21313()3sin 2sin 2cos 2sin(2)222223x f x x x x x π-=⨯+-=-=-。

由122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，知，22633x πππ-≤-≤，1sin(2)123x π-≤-≤。

3．在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，AB BC ⊥，BC CD ⊥，DA AB ⊥，60CDA ∠=︒。

则三棱锥D ABC -的体积为。

【答案】43【解答】如图，作DE ABC ⊥面于E ，连EA 、EC 、ED 。

∵ BC CD ⊥，DA AB ⊥，∴ EC CB ⊥，EA AB ⊥，四边形EABC 为矩形。

由AB BC =知，四边形EABC 为正方形，且DA DC =。

又60CDA ∠=︒，因此，DAC △为正三角形，DA AC =。

∴2222EA ED EA EC +=+。

于是，2ED EC ==。

∴ 三棱锥D ABC -的体积为114(22)2323⨯⨯⨯⨯=。

4．已知1F 、2F 为双曲线C ：22124y x -=的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，且点P 在第一象限。

若1243PF PF =，则12PF F △内切圆半径为。

【答案】 2【解答】设14PF t =，则23PF t =，12432t t PF PF -=-=。

2014年全国高中数学联赛天津赛区初赛试题及答案

2014 年高中数学联赛天津市预赛参考答案与评分标准一. 选择题 (每小题 6 分, 共 36 分)1. 在平面直角坐标系中, 方程 x 2+ 2x sin(xy ) + 1 = 0 所表示的图形是(A). 直线(B). 抛物线(C). 一个点(D). 以上都不对解: 易知 x = −1 且 sin xy = 1, 从而该方程所表示的图形由点列 (−1; 2k− 2 ),k ∈ Z 构成. 选 (D).2. 圆柱的底面半径为 r , 高为 h , 体积为 2, 表面积为 24, 则 1r + h 1的值是 (A). 6(B). 8(C). 12 (D). 24解: 由条件可知 r 2h = 2, 2 r 2+ 2 rh = 24, 两式相比即得 1r + h 1= 6. 选 (A). 3. 等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 并且对任意正整数 n 成立 S n +2 = 4S n + 3, 则 a 2 的值是(A). 2(B). 6(C). 2 或 6(D). 2 或 −6解: 设公比为 q . 由于 qS n = q (a 1 + a 2 + ·· · + a n ) = a 2 + a 3 + · · · + a n +1, 所以 S n +1 = qS n + a 1. 进而 S n +2 = q (qS n + a 1) + a 1 = q 2S n + a 1(q + 1). 与已知条件比较可知 q 2= 4, a 1(q + 1) = 3. 所以 q = 2, a 1 = 1, 或 q = −2, a 1 = −3.相应地, a 2 = 2 或 6. 选 (C).4. 若关于 x 的不等式 4x + x 1≥ 4 在区间 [1; 2] 上恒成立, 则实数 a 的取值范围是a(A). (0; 34](B). (1; 34](C). [1; 34](D).[167 ; 34]解: 取 x = 1, 得 4/a ≥ 3, 可知 0 < a ≤ 4/3, a 是正数. 这样原不等式变为4xa ≤; ∀x ∈ [1; 2]:4 − 1/x从而只需求函数 f (x ) = 4x /(4 − 1/x ) 在区间 [1; 2] 的最小值. 易知 f ′(x ) = 8x (2x − 1)/(4x − 1)2在 [1; 2] 上恒为正数, 即 f (x ) 在 [1; 2] 上单调增, 故 f (x ) 的最小值为 f (1) = 4/3. 选 (A).5. 直线 l 在平面上. 直线 m 平行于平面 , 并与直线 l 异面. 动点 P 在平面上,且到 l 和 m 的距离相等. 则 P 点的轨迹是 (A). 直线(B). 椭圆(C). 抛物线 (D). 双曲线解: 设 m 在平面上的投影为 m ′, m ′交 l 于 O 点. 在平面上, 以 O 为原点, l 为 y 轴建立直角坐标系, 则可设 m ′的方程为 y = kx . 又设 P 点的坐标为 (x; y ),参考答案与评分标准第 1 页√则 P 到 l 的距离为 |x|; 它到 m ′的距离为 |y − kx|/ 1 + k 2, 从而 P 到 m 的距离平方等于(y −kx )2+ a 2;1 + k2其中 a 为直线 m 到平面的距离. 因此, P 点的轨迹方程是(y −kx )2+ a 2 = x 2:1 + k2可见轨迹是双曲线. 选 (D).6. 如果 △ABC 中, tan A , tan B , tan C 都是整数, 且 A > B > C , 则以下说法错误的是 (A). A < 80◦(B). B < 60◦ (C). C < 50◦ (D). A > 65◦解: 由于 A > B > C , 所以 B , C 都是锐角, tan B , tan C 都是正整数, 这样tan A = − tan(B + C ) = tan B + tan C> 0;tan B tan C − 1 可见 A 也是锐角. 这时, tan C ≥ 1, tan B ≥ 2, tan A ≥ 3. 我们有tan A + tan B = tan C ≥ 1; tan A tan B − 1即 (tan A − 1)(tan B − 1) ≤ 2. 但是 tan A − 1 ≥ 2, tan B − 1 ≥ 1, 比较可知只可能 tan A = 3, tan B = 2, tan C = 1. 因此, C = 45◦, 选项 (C) 正确.由 tan B > √3 可知 B > 60◦, 选项 (B) 是错误的. 至于选项 (A) 和 (D), 由 √tan 75◦= 2 +3 > tan A 可知 A < 75◦, 选项 (A) 正确; 由 A + B = 135◦和A >B 可知 A > 65◦, 选项 (D) 正确. 综上可知, 本题答案为 (B).二. 填空题 (每小题 9 分, 共 54 分)1. 若正实数 a , b 满足 log 8 a + log 4 b 2 = 5 和 log 8 b + log 4 a 2= 7, 则 log 4 a + log 8 b 的值是 .解: 令 a = 2x , b = 2y, 则 x /3 + y = 5, y /3 + x = 7, 从而解得 x = 6, y = 3. 因此 log 4 a + log 8 b = x /2 + y /3 = 4 .2. 设 x = sin 2+ sin( + 2 ) sin( + ), 当 = 67 时, x 的小数点后第一位数字201433的是.解: 由于√+ 21+ 3 ;sin(3 )=1−2 sin√ 2 cossin (+) = sin + cos ;3 2 2 参考答案与评分标准第 2 页这两式相乘得 sin( + 23 ) sin( + 3 ) = 34 cos 2 − 14 sin 2 . 因此 x = 34 , 小数点后第一位数字是 7 .3. 数列 {a n } 满足 a n +1 = a n + a n−1, n ≥ 2. 若 a 7 = 8, 则 a 1 + a 2 + · · · + a 10 等于 .解: 由条件可知 a 7 = 8a 2 + 5a 1, 所以 a 1 + a 2 + · · · + a 10 = 88a 2 + 55a 1 = 11a 7 = 88 .√4. 若 a = 1 + i, b = 2 + i, c = 3 + i, x = 12 (−1 +3 i), 则 |a + bx + cx 2| 的值是.解: 注意 x 满足 x 2+ x + 1 = 0, 从而 x 3= 1, |x| = 1, xx = 1. 又注意 a , b , c 的虚部相等, 结合 x 2+ x + 1 = 0 可知, 只需针对 a = 1, b = 2, c = 3 进行计算即可.这时我们有|a + bx + cx 2|2= (a + bx + cx 2)(a + bx + cx 2)= a 2+ b 2+ c 2+ ab (x + x ) + bc (xx 2+ xx 2) + ac (x 2+ x 2) = a 2+ b 2+ c 2− ab − bc − ca:√将 a = 1, b = 2, c = 3 代入, 得 |a + bx + cx 2|2= 3, 故本题答案为3 .5. 将集合 {2x + 2y + 2z| x; y; z ∈ N ; x < y < z} 中的数从小到大排列, 第 100 个是 (用数字作答).解: 使得 0≤ x < y < z ≤ n 的 (x; y; z ) 组合共有 C n 3+1 个. 注意 C 93= 84 <100 < 120 = C 103, 因此第 100 个数满足 z = 9. 使得 0 ≤ x < y ≤ m 的 (x; y ) 组合共有 C m 2+1 个, 注意 C 93+ C 62= 99, 因此第 100 个数满足 y = 6, x = 0. 即第100 个数是 29 + 26 + 20= 577.6. 函数 f (x ) 满足 f (x ) = x − 3; x ≥ 1000;则 f (84) 的值是.f (f (x + 5)); x < 1000:解: 记 f(n )(x ) = f (f ( f (x ) · · · )), 其中等号右端有 n 个 f . 那么· · ·f (84) = f (f (89)) = · · · = f(184)(999) = f (185)(1004) = f(184)(1001) = f(183)(998) =f(184)(1003) = f(183)(1000) = f(182)(997) = f(183)(1002) = f(182)(999):注意从 f (184)(999) 到 f(182)(999) 这个过程中, f 的个数减少了 2. 同样的推理可知 f (182)(999) = f(180)(999) = · · · = f(2)(999). 继续此过程, 就有f (2)(999) = f (3)(1004) = f (2)(1001) = f (998) = f (2)(1003) = f (1000) = 997:参考答案与评分标准第 3 页因此本题答案为997 .三. 解答题 (每小题 20 分, 共 60 分. 每小题只设 0 分, 5 分, 10 分, 15 分, 20 分五档)1. A , B 2 + y = 1 , O , −→ ·−−→ .设是椭圆 x 22上两个动点是坐标原点且 OA OB = 0 又设 P 点在 AB 上, 且 OP ⊥ AB .求 |OP | 的值.::−→ · −−→ ,,−.| |2= (1 + k 2)a 2,解方法一由 OA OB = 0 不妨设 A (a; ka ) B ( kb; b ) 这样 OA |OB|2 = (1 + k 2)b 2.由 A , B 在椭圆上, 有a 2k 2b 2+ k 2a2= 1;+ b 2= 1:2 2因此 a 2= 1/(k 2+ 1/2), b 2= 1/(1 + k 2/2).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)现在, 在 Rt △OAB 中, |OP |2= |OA|2|OB|2/|AB|2, 所以|OP |2 =(1 + k 2)a 2b 21 + k 22==:a 2 +b 2(1 + k 2/2) + (k 2+ 1/2) 3√因此 |OP | = 36.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分)方法二: 不妨设 OA 与 x 轴正向的夹角为 , OB 与 x 轴正向的夹角为 + 2 . 这样,可进一步设 A (a cos ; a sin ), B (−b sin ; b cos ). 代入椭圆方程可得a2(12 cos2+ sin 2)= 1; b 2(12 sin 2 +cos2) = 1:= 12 + 1 = 32 , 也即a 2 + b2= 3 :a 2b22在 Rt △OAB 中, |OP | · |AB| = |OA| · |OB|, 因此 |OP |2= a 2b 2/(a 2+ b 2) = 2/3. 这样√|OP | = 36.2. 在四面体 ABCD 内部有一点 O , 满足 OA = OB = OC = 4, OD = 1, 求四面体 ABCD 体积的最大值.解: 首先, 固定 A , B , C , O 四点时, 要使 ABCD 的体积最大, 则 D 点到平面 ABC 的距离应最大. 但 D 点在以 O 为球心, 1 为半径的球面上运动, 故取最大值时, OD ⊥ 平面 ABC .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分)参考答案与评分标准第 4 页设 O 在平面 ABC 的投影点为 E , 且 |OE| = x . 那么, D 到 ABC 的距离为 1 + x . 而EA = EB = EC =√, 可知 △ABC 的面积 ≤√(16 − x 2). (注: 这里用到,16 − x 23 34若 A , B , C 是半径为 R 的圆上三点, 则 △ABC 的面积 ≤√R 2.) 3 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)因此, ABCD 的体积 ≤ √(16 − x 2)(1 + x ). 考虑函数 f (x ) = (16 − x 2)(1 + x ), 34x ∈ (0; 4), 易知f ′(x ) = −3x 2− 2x + 16;可见 f (x ) 在 (0; 3) 上有唯一的临界点 x = 2. f (x ) 在 (0; 3) 的最大值为 f (2) = 36. 从而所求最大值为 9√3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分)3. 设函数 f (x ) = 1 − e −x . (1) 证明: 当 x > 0 时, f (x ) > x +1x; (2) 数列 {a n } 满足 a 1 = 1, a n e−a n +1= f (a n ), 证明: 数列 {a n } 递减且 a n < 21n .解: (1) 待证式等价于 e −x < x +11, 即 −x < − ln(x + 1). 令 h (x ) = x − ln(x + 1), 则 h ′(x ) = 1 − x +11, 可见 h (x ) 在 [0; ∞) 上单调增, 因此当 x > 0 时, h (x ) > h (0) = 0.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(5 分) , 则 a n +1 = g (a n ). 要证明 {a n } 递减, 只需证明当 x > 0 时,事实上, g (x ) < x 等价于 ln((1 − e −x)/x ) > −x , 也即1 − e −x > x e −x;注意 f (x ) = 1 − e −x, 可见上式也等价于 f (x ) > x (1 − f (x )), 即 f (x ) > x /(x + 1), 这由 (1) 即证.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)要证明 a n < 21n , 只需证明当 x > 0 时, g (x ) < x2 . 这等价于1 −e −x> e −x /2;x也即 ex /2− e−x /2> x . 为证此式, 令 F (x ) = e x /2 − e −x /2 − x , 则 F ′(x ) = 12 (e x /2+e −x /2) − 1 ≥ 0, 且等号成立当且仅当 e x /2= e −x /2= 1, 即 x = 0. 因此 F (x ) 在 [0; ∞)上单调增, F (x ) > F (0) = 0. 于是 e x /2− e−x /2> x 得证.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分).参考答案与评分标准第 5 页。

2014年全国高中数学联赛加试_A卷_试题及参考答案

在三角形Ａ由余弦ＢＭ中，ＢＭ＝Ｂ＋Ａ， ∠Ａ定理得
２２ａｂａｂｃ（２２ＡＭ２＝ｃ＋（ｃｏｓＡ＋Ｂ）２－）ｂ＋ｃｂ＋ｃ２２２２２ａｂａｂｃ·ａ＋ｂ－ｃ２２＝ｃ＋（２＋）ｂ＋ｃ２ａｂｂ＋ｃ
数学竞赛之窗
ＭＣＢＣＢＤＡＣＬＣ，＝＝＝＝ＭＦＦＤＦＤＡＢＬＢ
因此ＬＭ ∥ＢＦ．同理，由此推出ＬＮ ∥ＣＧ．
１［２（２２２２２）＝（＋ｃ＋ａｂ＋ｃ（ａ＋ｂ２ｃｂ）ｂ＋ｃ
２）（）］－ｃｂ＋ｃ
ｚｘｓｓ．ｃｂｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔｚｘｓｓｈｉｎａｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ网址：电子邮箱：＠ｃｐｊ
·２８·
中学生数学 ·２高中）０１５年１月上 · 第５０５期（
ｎ－１
若不然，我们有ｘｍｏｄｉ＋ｙｉ＝ｘｉ＋ｋ＋ｙｉ＋ｋ（，，两式相加可得４ｋ）ｘｘｍｏｄ４ｋ）ｙｙｉ＋ｉ＋ｋ ≡ ｉ＋ｋ＋ｉ（，于是ｘ，但２ｘ２ｘｍｏｄ４ｋ）ｘｍｏｄ２ｋ）ｉ≡ ｉ＋ｋ（ｉ≡ ｉ＋ｋ（ …，互不同余，特别地，ｘｘｘ０１４（＝２ｋ）１，２，２０１４模２，矛盾．ｘｘｍｏｄ２ｋ）ｉｉ＋ｋ（由上述构造方法知ｚ …，ｚｚｙ１，２，２ｋ是ｙ１，２， …，记ｗ …，下面ｘｚｉ＝１，２，２ｋ．ｙ２ｋ的排列．ｉ＝ｉ＋ｉ， …，这只需证明，验证ｗ１，ｗ２，ｗ２ｋ互不同余．ｋ模４对任意整数ｉ、、ｉ＋ｋ、模１≤ ｉｗｗｗ＜ｊ，ｊ≤ｋ，ｉ、ｊｗｊ＋ｋ（４ｋ两两不同余＊）注意，前面的构造方式已保证，（ｏｗｍｏｄ４ｋ）ｗｄ４ｋ）ｉｗｉ＋ｋ（ｊｗｊ＋ｋｍ（＊＊）情形一：且ｚ则由前面的构造方ｚｙｙｉ＝ｉ，ｊ＝ｊ．式可知，ｗｗｉ（ｍｏｄ２ｋ）ｊｉ≡ ｗｉ＋ｋ ≡ ２ｊ ≡ｗｊ＋ｋ ≡ ２（）ｍｏｄ２ｋ．由于２，故易知ｗｉｍｏｄ２ｋ）２ｊ（ｉ与ｗｉ＋ｋ模及ｗｊ＋ｋ模２从而２ｋ不同余，ｗｋ不同余，ｉ＋ｋ与ｗｊ再结合（可见（得证．模４ｋ更不同余，＊＊）＊）情形二：且ｚ则由前面的构ｚｙｙｉ＝ｉ＋ｋ，ｊ＝ｊ＋ｋ．造方式可知，ｗｗ２ｉ＋ｋ（ｍｏｄ２ｋ）ｊｉ≡ｗｉ＋ｋ ≡ ｊ ≡ｗｊ＋ｋ ≡２）＋ｋ（ｍｏｄ２ｋ．同样有ｗ及ｗｉ＋ｋ模２ｋ不同余，ｗｉ与ｗｉ＋ｋ与ｊ与情形一相同地可知ｗｊ及ｗｊ＋ｋ模２ｋ不同余．（得证．＊）情形三：且ｚ（ｉ＝ｙ且ｚｚｙｙｉ＝ｉ，ｉ＋ｋ，ｊ＝ｊ＋ｋｚｊ＝的情形与此相同）则由前面的构造方式可知．ｙｊ，ｗｗ２ｉ（ｍｏｄ２ｋ）ｊ＋ｋｉ≡ｗｉ＋ｋ ≡ ｊ ≡ｗｊ＋ｋ ≡２（ｍｏｄ２ｋ）．由于ｋ是奇数，故２），更有２ｉｋ（ｍｏｄ２ｉ２ｊ＋，因此仍然有ｗ及ｗｊ＋ｋ模ｋ（ｍｏｄ２ｋ）２ｊ＋ｉ与ｗｊ及ｗｊ＋ｋ模２从而２ｋ不同余，ｗｋ不同余．ｉ＋ｋ与ｗｊ（得证．＊）因此本题得证．