双正交小波滤波器系数设计

双正交小波滤波器系数设计

2013/4/27 9:01

很多人学了小波分析后，不知如何设计小波滤波器。本文从尺度空间及小波空间之间的关系出发，推导了两者线性表达的关系，进而推导频域及时域的联系,最后得到由尺度函数求小波函数及滤波器系数的一个正交解。

尺度空间存在正交归一基{}()k z t k φ∈−

'

''11,(),()()k k t t t t φφδ=−

尺度空间V1中的任意函数，均可表示为{}1,()k k z t φ∈的线性组合

1

1

1,()()k k k

P f t x t φ=∑ 同理小波空间W0中的任意函数，均可表示为{}()k z t k ψ∈−的线性组合

111,()()k k k

D f t d t ψ=∑

因此V0中的任意函数表示为

011()()()P f t P f t D f t =+

对于下面式子成立

*1212()()()R

f t k f t k k k δ−−=−∫

v

则有Poisson 公式

2

(2)1k

F k ωπ+=∑

若下式成立

2*112()()0R

f t k f t k −−=∫

v

同理得

*

12

(2)(2)0k

F k F

k ωπωπ++=∑

由上面两个推导可得尺度函数及小波函数频域特征：

2

(2)

1k k φωπ+=∑

2

(2)1k

k ψωπ+=∑

(2)(2)0k

k k φωπψωπ++=∑

下面推导相邻尺度间的关系

由尺度空间定义可知V(j)被V(j-1)包含，所以尺度函数,0()j t φ可由{}1,()j k k z t φ−∈线性组合表达

,001,()()j k j k k

t h t φφ−=∑

0(2)()()H ωωφω=

由{}1,()j k k z t φ−∈的正交性质可得

0,01,(),()k j j k h t t φφ−==

小波空间W(j)被V(j-1)包含，则有

,011,()()j k j k k

t h t ψφ−=∑

1(2)()()H ωωφω=

由{}1,()j k k z t φ−∈的正交性质可得

1,01,(),()k j j k h t t ψφ−==

把频域关系代入通过Poisson 公式得出的公式中

2

(2)1k

k φωπ+=∑

2

(2)

1k

k ψωπ+=∑

(2)(2)0k

k k φωπψωπ++=∑

可得：

2

2

01()()2H H ωωπ++=

11**00()()()()0H H H H ωωωπω++=

能满足上面两个方程的一个解为：

0*

1()()j H e H ωωωπ−=−+

1,0,1(1)k k k h h −=−

由上述推导，已知尺度函数,0()j t φ，则可求得滤波器系数0,k h 、1,k h 及小波函数,()j k t ψ。 具体步骤为：

1：由尺度函数可求

0,01,(),()k j j k h t t φφ−=

=

及()φω；

2：由0,k h 可求1,0,1(1)k k k h h −=−及0()H ω； 3：由

()φω及0()H ω0(2)()()H ωωφω=，求反变换则得小波函数,0()j t ψ。