2020届高考二轮复习：解三角形
2020年高考复习数学解三角形
学科教师辅导教案学员姓名 年 级高三 辅导科目 数 学授课老师课时数2h第 次课授课日期及时段 2020年 月 日 ： — ：教学目标5.1 正弦定理1、正弦定理： a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径) 2、正弦定理的变形a ＝2R sin A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； sin A ＝a 2R ；sin B ＝b 2R ；sin C ＝c2R ；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R 。
[提醒] 若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理，在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．3、三角形的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4、常用结论：在三角形ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，则(1)sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，tan A ＝－tan(B ＋C )． (2)sin A 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝sin B ＋C 2.(3)sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.(4)A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cosB.第五章 解三角形5、在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba ≥b a ＞b 解的个数一解两解一解一解突破点一 正弦定理例1（直接应用）1、在△ABC 中，A ＝45°，C ＝30°，c ＝6，则a 等于( B )A ．32B ．6 2C ．26D ．3 62、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则B ＝( A )A.π6B.5π6C.π6或5π6D.2π3 3、在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B 的值为( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4、如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为____63____海里/分． 解析：由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°，由正弦定理得AC sin B ＝ABsin ∠ACB，所以AC＝AB ·sin B sin ∠ACB＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分)．5、(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝____75°____.6、在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且C ＝60°，c ＝3，则a ＋23cos Asin B ＝___4_____.解析：由正弦定理知a sin A ＝csin C ＝2，所以a ＝2sin A ，则a ＋23cos A sin B ＝2sin A ＋23cos A sin B ＝4sin (A ＋60°)sin B＝4sin (A ＋C )sin B＝4.例2（边角互化） 1、在非钝角△ABC 中，2b sin A ＝3a ，则角B 为( C )A.π6B.π4C.π3D.π22、(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝___π3___.解析：由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，所以cos B ＝12，又因为0＜B ＜π，所以B ＝π3.3、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( A )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sinB ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6，故选A.4、已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba＝2，则该三角形的形状是( A )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析：因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin 2A ＝sin 2B .由ba ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．故选A.5、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( D )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6、(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( B )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：因为a ＝2，c ＝2，所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C，故sin A ＝2sin C .又B ＝π－(A ＋C )， 故sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0. 又C 为△ABC 的内角，故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1.又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12. 由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6，故选B.例3（三角形解的个数问题）1、在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( C ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定解：由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件三角形不存在．2、已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，A ＝45°，若三角形有两解，则边b 的取值范围是___(2,22)_____．解析：由题可知，△ABC 有两解的充要条件是b sin 45°<2<b ，解得2<b <2 2.故b 的取值范围是(2,22)．突破点二 三角形的面积例3 1、在△ABC 中，A ＝π4，b 2 sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2c ＝42b ，即bc ＝42，故S △ABC ＝12bc sin A ＝2.2、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为____12____．解析：由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.3、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B .①证明：A ＝2B ； ②若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[解] ①证明：由b ＋c ＝2a cos B 得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B .即2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ；所以sin(A －B )＝sin B .又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＋(A －B )＝π或A －B ＝B ，所以A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .②由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，则sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B .由sin B ≠0得sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2，当C －B ＝π2时，A ＝π4， 综上知A ＝π2或A ＝π4.1、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin(A ＋B )＝13，a ＝3，c ＝4，则sin A ＝( B)A ．23B ．14C ．34D ．162、△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝62b ，A ＝2B ，则cos B 等于( C )A.66 B.65 C.64 D ．633、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么角A ∶B ∶C 为( B ) A ．1∶1∶3B ．1∶2∶3C ．1∶3∶2D ．1∶4∶1解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，选B.4、在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=（ D ） A ．12 B ．12C ． -1D ． 1 5、在△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( B)A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 解析：选B 由已知及正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，又sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin A ＝1，∴A ＝π2.故选B.6、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝233，A ＝π3，b ＝1，则△ABC的面积为( B )A.32 B.34 C.12D.14解析：选B 由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝233，又A ＝π3，b ＝1，则a ＝1，B ＝π3，所以△ABC 是边长为1的正三角形，所以△ABC 的面积为12×12×32＝34.7、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C1＋cos 2B，则△ABC 的形状是( D )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：由已知1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b cos C c cos B ，∴cos C cos B ＝b c 或cos C cos B ＝0，即C ＝90°或cos C cos B ＝bc .由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ，∴cos C cos B ＝sin Bsin C ，即sin C cos C ＝sin B cos B ，即sin 2C ＝sin 2B ，∵B ，C 均为△ABC 的内角，∴2C ＝2B 或2C ＋2B ＝180°，∴B ＝C 或B ＋C ＝90°，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D. 8、在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( B )A. 2B.98 C ．1 D.78解析：选B ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98. 9、在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝_____63_____. 10、在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝____1____.11、已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________.解析：由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3＞0，所以C ＝π3.由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝332＝2，所以sinA ＝12.因为AB ＞BC ，所以A ＜C ，所以A ＝π6，所以B ＝π2，即三角形为直角三角形，故S △ABC ＝12×3×1＝32.12、(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b＝____2113____.解析：在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A ＝1×636535＝2113.13、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为____等腰直角____三角形.14、在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ； (2)求AC 边上的高．解：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×⎝⎛⎭⎫－17＋12×437＝3314， 所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.5.2 余弦定理1、余弦定理:a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C2、余弦定理的变形cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ； cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ； cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab突破点一 余弦定理例1（简单应用）1、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( D )A. 2B.3 C ．2 D ．3解析：由余弦定理，得4＋b 2－2×2b cos A ＝5，整理得3b 2－8b －3＝0，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)。
人教A版2020届高考数学二轮复习解答题题型归纳：三角函数 解三角形(中档)
(2)若AD＝1，DC＝ ，求BD和AC的长.
11.解(1)S△ABD＝ AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝ AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.
由正弦定理可得 ＝ ＝ .
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝ .在△ABD和△ADC中，由余弦定理知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，
由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.
12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知A＝ ，b2－a2＝ c2.
(1)求tanC的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值.
12.解(1)由b2－a2＝ c2及正弦定理得sin2B－ ＝ sin2C.所以－cos 2B＝sin2C.
又由A＝ ，即B＋C＝ π，得－cos 2B＝sin 2C＝2sinCcosC，解得tanC＝2.
(2)由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝ ，cosC＝ ，
因为c＞0，所以c＝3，
故△ABC的面积为S＝ bcsinA＝ .
法二 由正弦定理，得 ＝ ，从而sinB＝ ，
又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝ ，
故sinC＝sin(A＋B)＝sin ＝sinBcos ＋cosBsin ＝ .
所以△ABC的面积为S＝ absinC＝ .
14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知B ·B ＝2，cosB＝ ，b＝3.
4.解(1)因为A＝2B，所以sinA＝sin 2B＝2sinBcosB.
高三数学二轮复习解三角形练习含试题答案
解三角形[明考情]高考中主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用.求三角形的面积问题一般在解答题的17题位置. [知考向]1.利用正弦、余弦定理解三角形.2.三角形的面积.3.解三角形的综合问题.考点一 利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧 (1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2).(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－55ac ac＝－55. (2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan∠PBA .解 (1)由已知得∠PBC ＝60°，∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理，得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74，∴PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α，在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α，故tan α＝34，即tan∠PBA ＝34. 3.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且1a ＋b ＋1a ＋c ＝3a ＋b ＋c. (1)求角A 的大小；(2)若c b ＝12＋3，a ＝15，求b 的值.解 (1)由题意，可得a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c a ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ba ＋c＝1， 整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理，得cb ＝sin C sin B ＝sin (A ＋B )sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B sin B ＝sin Atan B＋cos A ＝32tan B ＋12＝12＋3， 解得tan B ＝12，所以sin B ＝55.由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝15×5532＝2.4.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值. 解 (1)∵b sin A ＝3a cos B ，由正弦定理得sin B sin A ＝3sin A cos B . 在△ABC 中，sin A ≠0， 即得tan B ＝ 3. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ， 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π3，解得a ＝3，∴c ＝2a ＝2 3. 考点二 三角形的面积方法技巧 三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.5.(2016·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cosA )＝c .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .因为0＜C ＜π，所以cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cosC ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，可得a ＋b ＝5.所以△ABC 的周长为5＋7.6.在△ABC 中，已知C ＝π6，向量m ＝(sin A ，1)，n ＝(1，cos B )，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且3BD →＝BC →，AD ＝13，求△ABC 的面积. 解 (1)由题意知m ·n ＝sin A ＋cos B ＝0，又C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0. 所以sin A －32cos A ＋12sin A ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝0.又0＜A ＜5π6，所以A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3，所以A －π6＝0，即A ＝π6.(2)设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ， 由(1)知，A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3.在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x )2＋x 2－2·3x ·x cos 2π3，解得x ＝1，所以AB ＝BC ＝3，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12·3·3·sin 2π3＝934.7.(2017·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B 的值；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6， 得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.8.(2017·延边州一模)已知函数f (x )＝sin 2ωx －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω为常数且12＜ω＜1，函数f (x )的图象关于直线x ＝π对称. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝14，求△ABC 面积的最大值.解 (1)f (x )＝12－12cos 2ωx －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3－12cos 2ωx ＝－14cos 2ωx ＋34sin 2ωx ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.令2ωx －π6＝π2＋k π，解得x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .∴f (x )的对称轴为x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .令π3ω＋k π2ω＝π， 解得ω＝2＋3k6，k ∈Z .∵12＜ω＜1， ∴当k ＝1时，ω＝56，∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6.∴f (x )的最小正周期T ＝2π53＝6π5.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝14，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.∴A ＝π3.由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－12bc ＝12，∴b 2＋c 2＝bc ＋1≥2bc ， ∴bc ≤1.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34，∴△ABC 面积的最大值是34. 考点三 解三角形的综合问题方法技巧 (1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值. (3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.9.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值. 解 (1)在△ABC 中，因为a >b ， 所以由sin B ＝35，得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin A ＝a sin Bb ＝31313. 所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226.10.△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1＋tan A tan B ＝2c3b .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围.解 (1)因为1＋tan A tan B ＝2c 3b ，所以由正弦定理，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝2sin C3sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos A sin B ＝2sin C3sin B ，因为sin C ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝32，故A ＝π6. (2)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＝π6，所以B ＋C ＝5π6. 所以y ＝2sin 2B －2sin B cosC ＝1－cos 2B －2sin B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B＝1－cos 2B ＋3sin B cos B －sin 2B ＝1－cos 2B ＋32sin 2B －12＋12cos 2B ＝12＋32sin 2B －12cos 2B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12.又△ABC 为锐角三角形，所以π3＜B ＜π2⇒π2＜2B －π6＜5π6，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.故函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.11.(2017·咸阳二模)设函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R )， (1)求函数f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，c ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R ).化简可得f (x )＝12sin 2x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x －12. 令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，则k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )，即f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ).令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，则k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )，即f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ).(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，得sin C ＝12， 又因为△ABC 是锐角三角形， 所以C ＝π6.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，将c ＝2，C ＝π6代入得4＝a 2＋b 2－3ab ，由基本不等式得a 2＋b 2＝4＋3ab ≥2ab ，即ab ≤4(2＋3)， 所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12·4(2＋3)·12＝2＋3，即△ABC 面积的最大值为2＋ 3.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝1，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 内切圆的半径.解 (1)由已知可得(2a －c )cos B ＝b cos C ，结合正弦定理可得(2sin A －sin C )cos B ＝sinB cosC ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，又sin A ＝sin(B ＋C )＞0，所以cos B ＝12，所以B ＝π3.(2)由(1)得B ＝π3，又b ＝1，在△ABC 中，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以12＝a 2＋c 2－ac ，即1＋3ac ＝(a ＋c )2.又(a ＋c )2≥4ac ，所以1＋3ac ≥4ac ， 即ac ≤1，当且仅当a ＝c ＝1时取等号.从而S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤34，当且仅当a ＝c ＝1时，S △ABC 取得最大值34.设△ABC 内切圆的半径为r ，由S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ，得r ＝36.例 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积. 审题路线图向量m ∥n ―→边角关系式――――→利用正弦定理转化△ABC 三边关系式――――→余弦定理求得角B ――――→引进变量(设角θ)用θ表示a ＋2c (目标函数)―→辅助角公式求最值―→求S △ABC 规范解答·评分标准 解 (1)因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0，………………………………………………………………………………………………1分 由正弦定理，可得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac . ……………………3分由余弦定理可知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.…………5分(2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中，由B ＝π3可知，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.由正弦定理及AD ＝3，有BDsin θ＝ABsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3sinπ3＝2，所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ，所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ，………………………………………8分 从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3可知，θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即当θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3 (11)分此时a ＝23，c ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332.………………………………………………………………………………………………12分 构建答题模板[第一步] 找条件：分析寻找三角形中的边角关系.[第二步] 巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化. [第三步] 得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论. [第四步] 再反思：审视转化过程的合理性.1.(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan Acos B ＋tan Bcos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值. (1)证明 由题意知，2⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B.化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ， 即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解 由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.2.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，向量m ＝(2sin A ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2A ，2cos 2A 2－1，且m ∥n .(1)求A 的大小；(2)如果a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由m ∥n ，可得2sin A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2A 2－1＋3cos 2A ＝0，即2sin A ·cos A ＋3cos 2A ＝0，所以sin 2A ＝－3cos 2A ，即tan 2A ＝－ 3.因为A 为锐角，故0°＜2A ＜180°，所以2A ＝120°，A ＝60°.(2)如果a ＝2，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤4，所以S ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3， 故△ABC 面积的最大值为 3.3.在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为3－1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间.(注：6≈2.449)解 设缉私船追上走私船所需时间为t 小时，如图所示，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里.在△ABC 中，因为AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°， 根据余弦定理，可得BC ＝(3－1)2＋22－2·2·(3－1)cos 120°＝6(海里). 根据正弦定理，可得sin∠ABC ＝AC ·sin 120°BC ＝2·326＝22. 所以∠ABC ＝45°，易知CB 方向与正北方向垂直，从而∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，根据正弦定理，可得sin∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12， 所以∠BCD ＝30°，∠BDC ＝30°， 所以DB ＝BC ＝6海里.则有10t ＝6，t ＝610≈0.245(小时)＝14.7(分钟).故缉私船沿北偏东60°方向，最快需约14.7分钟才能追上走私船.4.(2017·济南一模)已知f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).(1)求f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，c ＝3，a ＋b ＝23，求△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).化简可得f (x )＝3sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)由(1)可知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵f (C )＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， 0＜C ＜π，可得2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3. 由a ＋b ＝23，可得a 2＋b 2＝12－2ab . ∵c ＝3，根据余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 可得12－2ab －c 22ab ＝12，解得ab ＝3. 故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32＝334. 5.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1). (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34.cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝22， 所以A ＝π4或A ＝3π4，因为b ＞a ，所以A ＝π4， f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π12， 所以32－1≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6≤2－12. 所以所求取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12.。
2020届高考数学：解三角形常见题型及技巧 学案(含习题)
高考解三角形常见题型及技巧【基础知识】1．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 其中2R 为△ABC 外接圆直径。
变式1：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 。
变式2：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= 变式3：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 。
2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
（边换角后）sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A 。
变式1：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab。
变式2：a 2＝（b ＋c ）2－2b c （1+cos A ）（题目已知b ＋c ，bc 或可求时常用） 3．解三角形（知道三个元素，且含有边）(1)已知三边a ，b ，c 或两边a ，b 及夹角C 都用余弦定理(2)已知两边a ，b 及一边对角A,一般先用正弦定理，求sin B ，sin B ＝b sin Aa 。
(3)已知一边a 及两角A ，B (或B ，C )用正弦定理(已知两角，第三角就可以求）。
4．三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h 。
(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R 。
(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)。
5.在△ABC 中，常有以下结论： 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π。
2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C 2。
副题03 解三角形(解析版)
2020届高考数学23题对对碰【二轮精品】 第一篇副题3 解三角形【副题考法】本副题考题形式为选择题、填空题，主要考查利用正弦定理、余弦定理、三角公式、三角函数图象与性质解三角形边角及三角形的面积、解测量、航行等实际问题、求平面图形中的边角关系、求与三角形有关最值、取值范围等综合问题，难度为基础题和中档题，分值为分.【副题回扣】1.三角形中的三角变换：（1）角的变换：因为在ABC ∆中，()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=- 222()C A B π⇔=-+，所以sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan()tan A B C +=-sin 2A B +=2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+；学科-网 （2）三角形边、角关系定理及面积公式面积公式(r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半).（3）在ABC ∆中，熟记并会证明：,,A B C 成等差数列的充分必要条件是60B =︒；ABC ∆是正三角形的充分必要条件是,,A B C 成等差数列且,,a b c 成等比数列. 2.要熟记如下知识： （1）正弦定理：分类 内容定理2sin sin sin a b cR A B C===(R 是ABC ∆外接圆的半径) 变形公式①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，②sin :sin :sin ::A B C a b c =， ③sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R=解决的问题①已知两角和任一边，求其他两边和另一角，②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（2）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC ∆中，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>.（3）在ABC ∆中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 sin a b A = sin b A a b << a b ≥a b >解的个数一解 两解一解一解（4）余弦定理分类内容定理在ABC ∆中，有2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-变形公式222cos 2b c a A bc +-=；222cos 2a c b B ac+-=；222cos 2a b c C ab +-= 解决的问题①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角【易错提醒】1. 已知三角形两边及一边对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.2 .注意隐含条件的挖掘；学&科网【副题考向】考向一 已知三角形中的边角关系解三角形【解决法宝】1.对已知三角形的边角关系解三角形问题，若所给条件即含边又含角，若含边或含角的余弦的齐次式，则常用正弦定理将边化成角化成纯角问题，利用三角公式求角或把角化成边利用余弦定理求边或角.2.若条件给出三角形面积，则利用三角形面积公式化为边角问题处理.3.若以向量运算的形式给出条件，则利用向量运算的相关知识化为边角关系，再利用余弦定理求解.4.在利用正弦定理解题时，注意利用大边对大角来判断所求角的范围.5.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.6.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.例1【2020百校联盟12月质量监测】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若8a b +=，27c =，()()2222212sin 22B abc a b a b c -⎛⎫=- ⎪⎝+⎭-，则ABC ∆的面积为（ ）A ．63B ．83C ．33D ．43【分析】先根据余弦定理以及二倍角余弦公式，将()()2222212sin22B abc a b a b c-⎛⎫=- ⎪⎝+⎭-，变形整理为2cos cos cos a C b C c B =+，再根据正弦定理，变形整理为2sin cos sin A C A =，确定1cos 2C =，然后根据余弦定理，确定12ab =，根据三角形面积公式in 12s S ab C =求解即可. 【解析】依题意，()()22222cos a b a b cabc B -+-=，即()2222cos 2a b c a b c B ab+--=，故()cos 2cos B a C b c =-⋅，故2cos cos cos a C b C c B =+，即2sin cos sin cos sin cos sin A C B C C B A =+=， 因为sin 0A ≠，故1cos 2C =； 由余弦定理，()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，即28643ab =-，即336ab =，则12ab =，则ABC ∆的面积13sin 63322S ab C ==⨯=，故选C考向二 利用正弦定理、余弦定理解平面图形问题【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系.例2【2020广东六校联盟第三次联考】如图，ABC 上，D 是BC 上的点，且AC CD =，23AC AD =，2AB AD =，则sin B 等于______.【分析】由题意设2AD x =，则3AC CD x ==，4AB x =，先利用余弦定理求出cos ,ADC ∠再利用正弦定理求出sin B 的值.【解析】由题意设2AD x =，则3AC CD x ==，4AB x =，在ADC 中由余弦定理可得2223cos 3223ADC x x∠==⨯⨯， 236sin sin 133ADB ADC ⎛⎫∴∠=∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴在ADB △中由正弦定理可得62sin 63sin 46x AD ADBB ABx ∠===， 考向三 利用正弦定理、余弦定理解测量、航行问题 【解决法宝】1.把握解三角形应用题的四步：①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，根据题意画出示意图；②根据图形分析图中哪些量是已知量，哪些量是未知量，需要通过哪些量将未知与已知沟通起来，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；学=科网 ③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 2.要理解仰角和俯角、方位角、方向角的概念，并能将其化为三角形内角.例3【2020湖北宜昌3月线上调研】如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30的方向上，再开回C 处，由C 向西开26D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）A ．3B ．32C ．4D ．2【分析】先根据角度分析出,,CBE ACB DAC ∠∠∠的大小，然后根据角度关系得到AC 的长度，再根据正弦定理计算出BC 的长度，最后利用余弦定理求解出AB 的长度即可.【解析】由题意可知：60,67.5,45,75,60ACB ADC ACD BCE BEC ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒， 所以180756045CBE ∠=︒-︒-︒=︒，18067.54567.5DAC ∠=︒-︒-︒=︒， 所以DAC ADC ∠=∠，所以26CA CD ==又因为sin sin BC CE BEC CBE =∠∠，所以3226BC ==所以2212cos 2462266322AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯= B. 考向四 判定三角形性质【解题法宝】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A B C π++=这个结论． 3.如何利用余弦定理判定三角形的形状由于cos A 与222b c a +-同号， 故当2220b c a +->时，角A 为锐角； 当2220b c a +-=时，三角形为直角三角形； 当2220b c a +-<时，三角形为钝角三角形．例4 【2020江西高安中学期末】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos sin sin B A C =，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【分析】将角C 用角A 角B 表示出来，和差公式化简得到答案.【详解】因为2cos sin sin B A C =，所以2cos sin sin()sin cos cos sin B A A B A B A B =+=+， 即cos sin cos sin 0B A A B -=，所以sin()0A B -= 因为角A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以ππ<-<-B A ， 所以A B ∠=∠，故选C【副题集训】1.【2019届北师大实验中学二模】中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，p ＝10，S 8，∴此三角形面积的最大值为8，故选C ．2. 【2020陕西汉中11月月考】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，a bc =2，则ABC ∆为（ ） A ．直角三角形 B ．锐角非等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形【答案】D【解析】在ABC ∆中，60A =︒，a bc =2，由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-=，()20b c ∴-=，b c ∴=，又60A =︒，故ABC ∆为等边三角形.，故选D3.【2020山东德州期中】中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为2米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B ．5323C ．7323D ．8323【答案】B【解析】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45HB =︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，103534623v ==（米/秒），故选B ．4. 【2019届上海市七宝中学期末】△ABC 中，a 2：b 2=tan A ：tan B ，则△ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 【答案】D【解析】∵a 2：b 2=tan A ：tan B ，由正弦定理可得，，∵sin A sin B ≠0，∴，∴sin A cosA=sin B cosB 即sin2A =sin2B ，∴2A =2B 或2A +2B =π，∴A =B 或A +B =，即三角形为等腰或直角三角形，故选D ．5.【2020云南昆明一中期中】在ABC ∆中，3B π=，3AC =2AB BC +的最大值为（ ）A ．5B ．27C ．3D ．4【答案】B【解析】因为2sin sin sin AB AC BCC B A===，所以22sin 4sin 2sin 4sin 4sin 23cos 27sin()3AB BC C A C C C C C πϕ⎛⎫+=+=++=+=+ ⎪⎝⎭，其中3tan 2ϕ=，当()sin 1C ϕ+=取得最大值，存在C 使得最大值为27，故选B. 6.【2019届闽粤赣三省十校联考】已知中，角所对的边分别是，且，点在边上，且，，则（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由正弦定理可知：，即，即，，在中，，即，解得，故选7.【2020河南洛阳二高期末】一船沿北偏西45方向航行，正东有两个灯塔A,B, 10AB =海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60，另一灯塔在船的南偏东75，则这艘船的速度是每小时 （ ） A ．5海里 B ．52海里C ．10海里D ．102海里【答案】D【解析】如图所示,∠COA=135°,∠ACO=∠ACB=∠ABC=15°,∠OAC=30°，AB=10，∴AC=10，△AOC 中,由正弦定理可得102sin135sin30OC =︒︒，∴52OC =，∴5210212v ==，∴这艘船的速度是每小时102海里，故选D.8.【2019届湖南省怀化一模】在中，角的对边分别为，的面积为，若，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，因为，由余弦定理，所以由，可得，整理得，所以，所以，化简得，因为，所以，故选C ．9. 【2020江西名师联盟一模】在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知24a b +=，sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=，则ABC ∆的面积取得最小值时有2c =（ ）A ．55+B ．55+C ．2553-D ．4553-【答案】D【解析】由已知有sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=，根据正弦定理得2246sin a b ab C +=，又in 12s S ab C =，即22412a b S +=，由于24a b +=，即有2224(2)4164a b a b ab ab +=+-=-，即有41612ab S =-，由于224282a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，即16128S -≤，解得23s ≥，当且仅当22a b ==时取等号，当2a =，1b =，S 取最小值23，又2sin 3C =（C 为锐角），则5cos 3C =， 则22242cos 553c a b ab C =+-=-，故选D 10.【2019届陕西省汉中市重点中学3月联考】在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是边的中点，且，则的面积为（ ） A ．B ．C ．或D ．或【答案】D 【解析】由题可知，，则，或.因为，所以，即，当时，，所以的面积为；当时，，所以的面积为，故选D.11．【2020四川成都石室天府中学四质检】我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =若ABC ∆的面积2S =，a =2b =，则sin A 等于（ ）A B C D ．1120或1136【答案】C【解析】已知2S =，a =2b =，代入S =2=，即4212450c c -+= ，解得225,9c c ==，当25c =时，由余弦弦定理得：222cos 210b c a A bc +-==，sin 10A ==.当29c =时，由余弦弦定理得：2225cos 26b c a A bc +-== ，11sin 6A ==，故选C 12.【2020湖北武汉3月质检】已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为（ ）A B C D 【答案】B【解析】因为a 2+b 2+2c 2＝8，所以22282a b c +=-，由余弦定理得222283cos 22a b c c C ab ab+--==，即22cos 83ab C c =-①由正弦定理得in 12s S ab C =，即2sin 4ab C S =② 由①，②平方相加得()()()()()222222222483482ab c S a b c =-+≤+=-，所以()()()()2222222222116556448283165525c c S cc c c ⎛⎫-+≤---=-≤= ⎪⎝⎭，即245S ≤，所以25S ≤，当且仅当22a b =且221655c c -=即222128,55a b c ===时，取等号，故选B 13.【2019届河北省保定市10月摸底】已知在河岸处看到河对岸两个帐篷分别在北偏东和北偏东方向，若向东走30米到达处后再次观察帐篷，此时二者分别在北偏西和北偏西方向，则帐篷之间的距离为（ ）A ．米B ．米C ．米D ．米【答案】C【解析】由题意可得在中有因为所以解得在中有：解得在中有：，解得，故选C 。
(通用版)2020版高考数学大二轮复习专题二第2讲解三角形课件理
近五年高考试题统计与命题预测
年份 卷别 题号 考查角度
Ⅰ 17 正弦定理、余弦定理解三角形的问题
2019 Ⅱ 15 余弦定理及三角形的面积公式
Ⅲ 18 正弦定理、余弦定理解三角形的问题
Ⅰ 17 正、余弦定理解三角形
2018 Ⅱ 6 余弦定理的应用
Ⅲ 9 三角形面积公式及余弦定理的应用
(5-������ )2 32
=1,解得
x1=-35(舍去),x2=251
⇒BD=125
2.在
△ABD 中,由正弦定理得 0.8 =
sin∠ ������������������
sin
4 (π-π4 )
⇒sin∠ABD= 2
10
⇒cos∠ABD=7 2.
10
答案:12 2 7 2
5
10
3.(2019全国Ⅰ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin
2
=
12.
因为 0°<A<180°,
所以 A=60°.
(2)由(1)知 B=120°-C,由题设及正弦定理得 2sin
A+sin(120°-C)=2sin C,
即 6+
2
23cos C+12sin C=2sin C,
可得 cos(C+60°)=- 22.
由于 0°<C<120°,所以 sin(C+60°)= 22,
因为 cos���2���≠0,故 sin���2��� = 12,因此 B=60°.
(2)由题设及(1)知△ABC 的面积 S△ABC= 43a.
由正弦定理得
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2020年高考数学(理)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形(含答案)
2020年高考数学（理）二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形三角函数是一种重要的基本初等函数，它是描述周期现象的一个重要函数模型，可以加深对函数的概念和性质的理解和运用．其主要内容包括：三角函数的概念、三角变换、三角函数、解三角形等四部分．在掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式的基础上，能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；理解并能正确解决正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形．重点考查相关的数学思想方法，如方程的思想、数形结合、换元法等．§3－1 三角函数的概念【知识要点】1．角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数．2．弧度rad 以及度与弧度的互化： 3.57)π180(rad 1,π180;≈===r l α． 3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角α 的顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边上任意一点P (x ，y )，｜OP ｜＝r (r ≠0)，则;cos ;sin r x r y ==αα⋅=xyαtan5．三角函数线：正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT6．同角三角函数基本关系式：⋅==+αααααcos sin tan ,1cos sin 22 7．诱导公式：任意角α 的三角函数与角ααα±±-2π,π,等的三角函数之间的关系，可以统一为“k ·2π±α ”形式，记忆规律为“将α 看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”．【复习要求】1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表示方法． 2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值， 3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值． 4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式． 【例题分析】例1 (1)已知角α 的终边经过点A (－1，－2)，求sin α ，cos α ，tan α 的值；(2)设角α 的终边上一点),3(y P -，且1312sin =α，求y 的值和tan α ． 解：(1)5||==OA r ，所以.2tan ,55cos ,55252sin ==-==-=-==x y r x r y ααα(2),13123sin ,3||22=+=+==y y y OP r α 得⎪⎩⎪⎨⎧=+>13123022y y y ，解得.3236tan ,6-=-===x y y α 【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注其中变量的符号．例2 (1)判断下列各式的符号：①sin330°cos(－260°)tan225° ②sin(－3)cos4 (2)已知cos θ ＜0且tan θ ＜0，那么角θ 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 (3)已知α 是第二象限角，求角αα2,2的终边所处的位置．解：如图3－1－1，图3－1－2 (1)①330°是第四象限角，sin330°＜0；－260°是第二象限角，cos(－260°)＜0；225°是第三象限角，tan225°＞0；所以sin330°cos(－260°)tan225°＞0.②－3是第三象限角，sin(－3)＜0；5是第四象限角，cos5＞0，所以sin(－3)cos5＜0或：－3≈－3×57.3°＝－171.9°，为第三象限角；5≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图3－1－1，图3－1－2两个坐标系应予以重视．(2)cos θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第三象限或在x 轴负半轴上tan θ ＜0，所以角θ终边在第二或第四象限中，所以角θ 终边在第二象限中，选B.【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，(3)分析：容易误认为2α是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是),π,2π(α 是第二象限角，所以2k π＋2π＜α ＜2k π＋π，(k ∈Z )，所以,2ππ2π4ππ+<<+k k )(Z ∈k 如下图3－1－3，可得2α是第一象限或第三象限角，又4k π＋π＜2α ＜4k π＋2π，2α 是第三象限或第四象限角或终边落在y 轴负半轴的角．【评析】处理角的象限问题常用方法(1)利用旋转成角，结合图3－1－1，图3－1－2，从角度制和弧度制两个角度处理； (2)遇到弧度制问题也可以由)π180(rad 1=°≈57.3°化为角度处理； (3)在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况． (4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练． 如第一象限角：)(,2ππ2π2Z ∈+<<k k k α，注意防止2π0<<α的错误写法．例3 (1)已知tan α ＝3，且α 为第三象限角，求sin α ，cos α 的值； (2)已知31cos -=α，求sin α ＋tan α 的值；(3)已知tan α ＝－2，求值：①ααααcos sin cos sin 2-+；②sin 2α ＋sin α cos α ．解：(1)因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0⎪⎩⎪⎨⎧=+=1cos sin 3cos sin 22αααα，得到.1010cos 10103sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=αα (2)因为031cos <-=α，且不等于－1，所以α 为第二或第三象限角， 当α 为第二象限角时，sin α ＞0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2-===-=ααααα 所以⋅-=+324tan sin αα 当α 为第三象限角时，sin α ＜0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2==-=--=ααααα 所以⋅=+324tan sin αα 综上所述：当α 为第二象限角时，324tan sin -=+αα，当α 为第三象限角时，⋅=+324tan sin αα 【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求其余的三角函数值的步骤：(1)先定所给角的范围：根据所给角的函数值的符号进行判断(2)利用同角三角函数的基本关系式，求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号) (3)当角的范围不确定时，应对角的范围进行分类讨论(3)(法一)：因为tan α ＝－2，所以.cos 2sin ,2cos sin αααα-=-= ①原式1cos 3cos 3cos cos 2cos cos 4=--=--+-=αααααα，②原式＝(－2cos α )2＋(－2cos α )cos α ＝2cos 2α ，因为⎩⎨⎧=+-=1cos sin cos 2sin 22αααα，得到51cos 2=α，所以⋅=+52cos sin sin 2ααα (法二)：①原式,112141tan 1tan 21cos sin 1cos sin 2=--+-=-+=-+=αααααα②原式⋅=+-=++=++=5214241tan tan tan cos sin cos sin sin 22222αααααααα 【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值：(1)可以利用αααcos sin tan =将切化弦，使得问题得以解决； (2)1的灵活运用，也可以利用sin 2α ＋cos 2α ＝1，αααcos sin tan =，将弦化为切．例4 求值：(1)tan2010°＝______； (2))6π19sin(-＝______； (3)⋅+---+-)2πcos()π3sin()2π3sin()πcos()π2sin(ααααα解：(1)tan2010°＝tan(1800°＋210°)＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝3330tan = (2)216πsin )6ππsin()6ππ3sin(619πsin )6π19sin(==+-=+-=-=-或:216πsin )6ππsin()6ππ3sin()6π19sin(==--=--=-【评析】“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”，6π2π26ππ-⨯-=--，可以看出是2π的－2倍(偶数倍)，借助图3－1－2看出6ππ--为第二象限角，正弦值为正． (3)原式)2πcos()πsin()]2π(πsin[)cos (sin ααααα---+--=⋅⋅⋅⋅-=-=--=αααααααααsin 1sin cos cos sin sin )2πsin(cos ·sin【分析】αα-⨯=-2π32π3，将α 看做锐角，借助图3－1－2看出α-2π3为第三象限角，正弦值为负，2π的3倍(奇数倍)，改变函数名，变为余弦，所以可得ααcos )2π3sin(-=-，同理可得ααsin )2πcos(=+-，所以原式αααααααcsc sin 1sin sin cos )cos (sin -=-=---=⋅⋅⋅. 【评析】诱导公式重在理解它的本质规律，对于“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”要灵活运用，否则容易陷入公式的包围，给诱导公式的应用带来麻烦．例5 已知角α 的终边经过点)5πsin ,5πcos (-，则α 的值为( ) A ．5π- B ．5π4 C )(,π5πZ ∈+-k k D ．)(,π25π4Z ∈+k k解：因为05πsin ,05πcos >>，所以点)5πsin ,5πcos (-在第二象限中，由三角函数定义得，5πtan 5πcos 5πsin tan -=-==x y α，因为角α 的终边在第二象限， 所以)π25π4tan(5π4tan )5ππtan(tan k +==-=α，所以，)(,π25π4Z ∈+=k k α，选D ．例6 化简下列各式：(1)若θ 为第四象限角，化简θθ2sin 1tan - (2)化简θθ2tan 1cos +(3)化简)4πcos(4sin 21--解：(1)原式＝|cos |cos sin |cos |tan cos tan 2θθθθθθθ===， 因为θ 为第四象限角，所以cos θ ＞0，原式＝θθθθsin cos cos sin ==⋅，(2)原式＝⋅==+=+=|cos |cos cos 1cos cos sin cos cos cos sin 1cos 222222θθθθθθθθθθθ当θ 为第二、三象限角或终边在x 轴负半轴上时，cos θ ＜0，所以原式1cos cos -=-=θθ，当θ 为第一、四象限角或终边在x 轴正半轴上时，cos θ ＞0，所以原式1cos cos ==θθ.(3)原式|4cos 4sin |)4cos 4(sin 4cos 4sin 212+=+=+=.4弧度属于第三象限角，所以sin4＜0，cos4＜0， 所以原式＝－(sin4＋cos4)＝－sin4－cos4．【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法： (1)函数名称有弦有切：切化弦；(2)分式化简：分式化整式；(3)根式化简：无理化有理(被开方式凑平方)，运用||2x x =，注意对符号的分析讨论；(4)注意公式(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α ＝1±sin2α 的应用．例7 扇形的周长为定值L ，问它的圆心角θ (0＜θ ＜π)取何值时，扇形的面积S 最大?并求出最大值． 解：设扇形的半径为)20(Lr r <<，则周长L ＝r ·θ ＋2r (0＜θ ＜π) 所以44214421)2(2121ππ2,22222222++=++=+==⋅=+=θθθθθθθθθθL L L r r S L r ． 因为844244=+⨯≥++θθθθ，当且仅当θθ4=，即θ ＝2∈(0，π)时等号成立．此时16812122L L S =⨯≤，所以，当θ ＝2时，S 的最大值为162L .练习3－1一、选择题1．已知32cos -=α，角α 终边上一点P (－2，t )，则t 的值为( ) A ．5 B ．5± C ．55 D ．55±2．“tan α ＝1”是“Z ∈+=k k ,4ππ2α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要不而充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知点P (sin α －cos α ，tan α )在第一象限，则在[0，2π]上角α 的取值范围是( )A ．)4π5,π()4π3,2π( B ．)4π5,π()2π,4π(C ．)2π3,4π5()4π3,2π(D ．)π,4π3()2π,4π(4．化简=+170cos 10sin 21( ) A ．sin10°＋cos10° B ．sin10°－cos10° C ．cos10°－sin10°D ．－sin10°－cos10°二、填空题5．已知角α ，β 满足关系2π0;<<<βα，则α －β 的取值范围是______． 6．扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则扇形的面积为______．7．若2π3π,sin <<=ααm ，则tan(π－α )＝______． 8．已知：2π4π,81cos sin <<=ααα，则cos α －sin α ＝______．三、解答题9．已知tan α ＝－2，且cos(π＋α )＜0，求 (1)sin α ＋cos α 的值 (2)θθ2cos sin 22-－的值10．已知21tan =α，求值： (1)ααααcos sin cos 2sin -+； (2)cos 2α －2sin α cos α ．11．化简ααααααααtan 1tan cos sin ]π)1cos[(]π)1sin[()πcos()πsin(2+++++++-⋅k k k k§3－2 三角变换【知识要点】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α ＋β )＝sin α cos β ＋cos α sin β ；sin(α －β )＝sin α cos β －cos α sin β ； cos(α ＋β )＝cos α cos β －sin α sin β ；cos(α －β )＝cos α cos β ＋sin α sin β ；⋅+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(;tan tan 1tan tan )tan(2．正弦、余弦、正切的二倍角公式sin2α ＝2sin α cos α ：cos2α ＝cos 2α －sin 2α ＝1－2sin 2α ＝2cos 2α －1；⋅-=ααα2tan 1tan 22tan 【复习要求】1．牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用； 2．掌握三角变换的通法和一般规律； 3．熟练掌握三角函数求值问题． 【例题分析】例1 (1)求值sin75°＝______；(2)设54sin ),π,2π(=∈αα，则=+)4πcos(α______；(3)已知角2α的终边经过点(－1，－2)，则)4πtan(+α的值为______； (4)求值=+-15tan 115tan 1______．解：(1)=︒︒+︒︒=︒+︒=︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin 222322+⨯ 21⨯426+=． (2)因为53cos ,54sin ),π,2π(-==∈ααα所以， 1027)5453(22sin 22cos 22)4πcos(-=--=-=+ααα(3)由三角函数定义得，342tan 12tan2tan ,22tan2-=-==αααα， 所以71tan 1tan 1tan 4πtan 14πtantan )4πtan(-=-+=-+=+ααααα. (4)3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1=︒=︒-︒=︒︒+︒-︒=︒+︒-⋅==-=+-=+-3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1o【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握，灵活运用，这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心．注意αααtan 1tan 1)4πtan(-+=+和αααtan 1tan 1)4πtan(+-=-运用． 例2 求值： (1)=-12πsin 12πcos3______； (2)cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝______； (3)=++37tan 23tan 337tan 23tan o______． 解：(1)原式)12πsin 3πcos 12πcos 3π(sin 2)12πsin 2112πcos 23(2-=-= 24πsin 2)12π3πsin(2==-=.【评析】辅助角公式：,cos ),sin(cos sin 2222ba a xb a x b x a +=++=+ϕϕ⋅+=22sin b a b ϕ应熟练掌握，另外本题还可变形为=-)12πsin 2112πcos 23(2 -12πcos 6π(cos 2.24πcos 2)12π6πcos(2)12πsin 6πsin ==+=(2)分析所给的角有如下关系：77°＋43°＝120°，167°＝90°＋77°，原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°cos77°－sin43°sin77° ＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝⋅-21 (3)分析所给的角有如下关系：37°＋23°＝60°，函数名均为正切，而且出现两角正切的和tan a ＋tan β 与两角正切的积tan α tan β ，所有均指向公式⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(∵,337tan 23tan 137tan 23tan )3723tan(60tan =︒︒-︒+︒=+=∴,37tan 23tan 3337tan 23tan -=+ ∴337tan 23tan 337tan 23tan =++o．【评析】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+的变形tan α ＋tan β ＝tan(α ＋β )(1－tan α tan β )应予以灵活运用．例3 41)tan(,52)tan(=-=+βαβα，则tan2α ＝______； (2)已知1312)4πsin(,53)sin(),π,4π3(,=--=+∈ββαβα，求)4πcos(+α的值．解：(1)分析所给的两个已知角α ＋β ，α －β 和所求的角2α 之间有关系(α ＋β )＋(α －β )＝2α ，=-++=)]()tan[(2tan ββa a a 1813415214152)tan()tan(1)tan()tan(=⨯-+=-+--++βαβαβαβα， (2)∵)π,4π3(,∈βα，∴)43,2π(4π),π2,23π(π∈-∈+ββα，又∵53)sin(-=+βα，∴54)cos(=+βα；∵1312)4πsin(=-β，∴135)4πcos(-=-β．)4πsin()sin()4πcos()cos()]4π()cos[()4πcos(-++-+=--+=+ββαββαββαα65561312)53()135(54-=⨯-+-⨯=. 【评析】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关系，如αββαααββα2)(,4π)4π()(，+-=+=--+++=)(βα)(βα-等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号．例4 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α ，β ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为552,102.(Ⅰ)求tan(α ＋β )的值； (Ⅱ)求α ＋2β 的值．解：由三角函数定义可得552cos ,102cos ==βα， 又因为α ，β 为锐角，所以55sin ,1027sin ==βα，因此tan α ＝7，21tan =β (Ⅰ)3tan tan 1tan tan )tan(-=-+=+βαβαβα；(Ⅱ) 34tan 1tan 22tan 2=-=βββ，所以12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα， ∵α ，β 为锐角，∴4π32,2π320=+∴<+<βαβα 【评析】将三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式结合在一起进行考查，要求基础知识掌握牢固，灵活运用；根据三角函数值求角，注意所求角的取值范围．例5 化简(1)12cos2sin22sin 22cos 2-+αααα；(2).2sin 3)4πcos()4πcos(2x x x +-+解：(1)原式⋅+-=--=--=-=)4πsin(2sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22αααααααααα (2)法一：原式x x x x x 2sin 3)sin 22cos 22)(sin 22cos 22(2++-= x x x 2sin 3sin cos 22+-=⋅+=+=+=)6π2sin(2)2sin 232cos 21(22sin 32cos x x x x x法二：,2π)4π()4π(=--+x x原式x x x 2sin 3)4πcos()]4π(2πcos[2+--+=x x x x x 2sin 3)2π2sin(2sin 3)4πcos()4πsin(2+--=+---=⋅+=+=)6π2sin(22sin 32cos x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础．例6 (1)已知α 为第二象限角，且415sin =α，求12cos 2sin )4πsin(+++ααα的值． (2)已知323cos sin 32cos 62-=-x x x ，求sin2x 的值． 解：(1)因为α 为第二象限角，且415sin =α，所以41cos -=α， 原式.2cos 42)cos (sin cos 2)cos (sin 221)1cos 2(cos sin 2)cos (sin 222-==++=+-++=ααααααααααα 【评析】此类题目为给值求值问题，从分析已知和所求的三角式关系入手，如角的关系，另一个特征是往往先对所求的三角式进行整理化简，可降低运算量．(2)因为32sin 32cos 32sin 322cos 16+-=-+⋅x x x x3233)6π2cos(323)2sin 212cos 23(32-=++=+-=x x x 所以0)6π2sin(,1)6π2cos(=+-=+x x 216πsin )6π2cos(6πcos )6π2sin(]6π)6π2sin[(2sin =+-+=-+=x x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)22cos 1sin ,22cos 1cos 22αααα-=+=和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础，因为处理三角函数图象性质问题时往往先进行三角变换．练习3－2一、选择题1．已知53sin ),π,2π(=∈αα，则)4πtan(+α等于( ) A ．71 B ．7 C ．71-D ．－72．cos24°cos54°－sin24°cos144°＝( ) A ．23-B ．21 C ．23 D ．21-3．=-o30sin 1( )A ．sin15°－cos15°B ．sin15°＋cos15°C ．－sin15°－cos15°D ．cos15°－sin15°4．若22)4πsin(2cos -=-αα，则cos α ＋sin α 的值为( ) A ．27-B ．21-C ．21 D ．27 二、填空题 5．若53)2πsin(=+θ，则cos2θ ＝______． 6．=-10cos 310sin 1______．7．若53)cos(,51)cos(=-=+βαβα，则tan α tan β ＝______． 8．已知31tan -=α，则=+-ααα2cos 1cos 2sin 2______． 三、解答题 9．证明⋅=++2tan cos 1cos .2cos 12sin ααααα10．已知α 为第四象限角，且54sin -=α，求ααcos )4π2sin(21--的值．11．已知α 为第三象限角，且33cos sin =-αα. (1)求sin α ＋cos α 的值；(2)求αααααcos 82cos 112cos2sin82sin 522-++的值．§3－3 三角函数【知识要点】12π 2π π 对称轴Z ∈+=k k x ,ππx ＝k π，k ∈Z2．三角函数图象是研究三角函数的有效工具，应熟练掌握三角函数的基本作图方法．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图．3．三角函数是描述周期函数的重要函数模型，通过三角函数体会函数的周期性．函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||π2ω=T ；y ＝A tan(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||πω=T ．同时应明确三角函数与周期函数是两个不同的概念，带三角函数符号的函数不一定是周期函数，周期函数不一定带三角函数符号．【复习要求】1．掌握三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质：定义域、值域(最值)、单调性、周期性、奇偶性、对称性等．2．会用五点法画出函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图，掌握图象的变换方法，并能解决相关图象性质的问题．3．本节内容应与三角恒等变换相结合，通过变换，整理出三角函数的解析式，注意使用换元法，转化为最基本的三个三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x ，结合三角函数图象，综合考察三角函数性质 【例题分析】例1 求下列函数的定义域(1)xxy cos 2cos 1+=；(2)x y 2sin =.解：(1)cos x ≠0，定义域为},2ππ|{Z ∈+≠k k x x (2)sin2x ≥0，由正弦函数y ＝sin x 图象(或利用在各象限中和轴上角的正弦函数值的符号可得终边在第一二象限，x 轴，y 轴正半轴上) 可得2k π≤2x ≤2k π＋π， 定义域为},2πππ|{Z ∈+≤≤k k x k x例2 求下列函数的最小正周期 (1))23πsin(x y -=；(2))4π2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=； (4)y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜．解：(1)π|2|π2=-=T ．(2)22ππ==T ．(3)214cos 2124cos 1+=+=x x y ，所以2π=T .(4)1)4π2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ，所以T ＝π．(5)y ＝｜sin x ｜的图象为下图，可得，T ＝π．【评析】(1)求三角函数的周期时，通常利用二倍角公式(降幂升角)和辅助角公式先将函数解析式进行化简，然后用||π2ω=T (正余弦)或||πω=T (正切)求最小正周期． (2)对于含绝对值的三角函数周期问题，可通过函数图象来解决周期问题． 例3 (1)已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 (2)若函数f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)为R 上的奇函数，则ϕ＝______． (3)函数)2π2π(lncos <<-=x x y 的图象( )解：(1),,44cos 12sin 21)cos sin 2(21sin cos 2)(2222R ∈-====x xx x x x x x f 周期为2π，偶函数，选D (2)f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以2sin(－2x ＋ϕ)＝－2sin(2x ＋ϕ)对x ∈R 恒成立， 即sin ϕcos2x －cos ϕsin2x ＝－sin2x cos ϕ－cos2x sin ϕ， 所以2sin ϕcos2x ＝0对x ∈R 恒成立，即sin ϕ＝0，所以ϕ＝k π，k ∈Z ．【评析】三角函数的奇偶性问题可以通过奇偶性定义以及与诱导公式结合加以解决．如在本题(2)中除了使用奇偶性的定义之外，还可以从公式sin(x ＋π)＝－sin x ，sin(x ＋2π)＝sin x 得到当ϕ＝2k π＋π或ϕ＝2k π＋π，k ∈Z ，即ϕ＝k π，k ∈Z 时，f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)可以化为f (x )＝sin x 或f (x )＝－sin x ，f (x )为奇函数．(3)分析：首先考虑奇偶性，f (－x )＝lncos(－x )＝lncos x ＝f (x )，为偶函数，排除掉B ，D 选项 考虑(0，2π)上的函数值，因为0＜cos x ＜1，所以lncos x ＜0，应选A 【评析】处理函数图象，多从函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等方面综合考虑．例4 求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ;(2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ； (3) x x y 2sin 32cos -=；(4))23πsin(2x y -=解：(1)y ＝cos x 的增区间为[2k π＋π，2k π＋2π]，k ∈Z ，由π2π23π21ππ2+≤-≤+k x k 可得3π14π43π8π4+≤≤+k x k )3π21cos(-=x y 的增区间为Z ∈++k k k ],3π14π4,3π8π4[，(2)先求出函数)6π2sin(2+=x y 的增区间Z ∈+-k k k ],6ππ,3ππ[然后与区间[－π，0]取交集得到该函数的增区间为]6π5,π[--和]0,3π[-，(3))3π2cos(2)2sin 232cos 21(2+=-=x x x y ，转化为问题(1)，增区间为 Z ∈++k k k ],6π5π,3ππ[(4)原函数变为)3π2sin(2--=x y ，需求函数)3π2sin(-=x y 的减区间， 2π3π23π22ππ2+≤-≤+k x k ，得12π11π12π5π+≤≤+k x k ， )23πsin(2x y -=的增区间为.],12π11π,12π5π[Z ∈++k k k【评析】处理形如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，(ω ＜0)的函数单调性时，可以利用诱导公式将x 的分数化正，然后再求相应的单调区间．求三角函数单调区间的一般方法：(1)利用三角变换将解析式化为只含有一个函数的解析式，利用换元法转化到基本三角函数的单调性问题． (2)对于给定区间上的单调性问题，可采用问题(2)中的方法，求出所有的单调增区间，然后与给定的区间取交集即可．例5 求下列函数的值域(1)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合(2))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y (4)y ＝cos2x －2sin x解：(1)当Z ∈+=+k k x ,ππ26π21时，1)6π21cos(-=+x ，函数的最大值为3，此时x 的取值集合为},3π5π4|{Z ∈+=k k x x(2)结合正弦函数图象得：当)3π2,6π(-∈x 时，1sin 21≤<-x该函数的值域为(－1，2](3)分析：利用换元法，转化为题(2)的形式．)6π,3π(),3π2cos(2-∈+=x x y ，,3π23π23π),6π,3π(<+<-∴-∈x x设3π2+=x t ，则原函数变为3π23π,cos 2<<-=t t y ，结合余弦函数图象得：1cos 21≤<-t ，所以函数的值域为(－1，2]．(4)y ＝－2sin 2x －2sin x ＋1，设t ＝sin x ，则函数变为y ＝－2t 2－2t ＋1，t ∈[－1，1]， 因为⋅++-=23)21(22t y 结合二次函数图象得，当t ＝1时，函数最小值为－3，当21-=t 时，函数最大值为23，所以函数的值域为].23,3[-【评析】处理三角函数值域(最值)的常用方法：(1)转化为只含有一个三角函数名的形式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A cos(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A tan(ω x ＋ϕ)＋k 等，利用换元法，结合三角函数图象进行处理．(2)转化为二次型：如A sin 2x ＋B sin x ＋C ，A cos 2x ＋B cos x ＋C 形式，结合一元二次函数的图象性质求值域． 例6 函数y ＝sin(ω x ＋ϕ)的图象(部分)如图所示，则ω 和ϕ的取值是( )A ．3π,1==ϕωB ．3π,1-==ϕωC ．6π,21==ϕωD ．6π,21-==ϕω 解：π)3π(3π24=--=T ，即ωπ2π4==T ，所以21=ω， 当3π-=x 时，0])3π(21sin[=+-⨯ω，所以Z ∈+=k k ,6ππω，选C例7 (1)将函数x y 21sin =的图象如何变换可得到函数)6π21sin(+=x y 的图象(2)已知函数y ＝sin x 的图象，将它怎样变换，可得到函数)3π2sin(2-=x y 的图象解：(1)x y 21sin =−−−−−−−−→−个单位图象向左平移3π)6π21sin()3π(21sin +=+=x x y (2)法一：y ＝sin x −−−−−−−−→−个单位图象向右平移3π)3πsin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,)3π2sin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y法二：y ＝sin x −−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,x y 2sin =−−−−−−−−→−个单位图象向右平移6π)6π(2sin -=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y【评析】由y ＝sin x 的图象变换为y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的图象时，特别要注意伸缩变换和横向平移的先后顺序不同，其横向平移过程中左右平移的距离不同．例8 (1)函数)3π21sin(2-=x y 的一条对称轴方程为( ) A ．3π4-=x B ．6π5-=x C ．3π-=x D ．3π2=x (2)函数)3π2cos(-=x y 的对称轴方程和对称中心的坐标解：(1)法一：)3π21sin(2-=x y 的对称轴为Z ∈+=-k k x ,2ππ3π21， 即Z ∈+=k k x ,3π5π2，当k ＝－1时，3π-=x ，选C法二：将四个选项依次代入)3π21sin(2-=x y 中，寻找使得函数取得最小值或最大值的选项当3π-=x 时，22πsin 2)3π6πsin(2-=-=--=y ，选C(2) )3π2cos(-=x y 的对称轴为Z ∈=-k k x ,π3π2，即Z ∈+=k k x ,6π2π对称中心：,,2ππ3π2Z ∈+=-k k x 此时Z ∈+=k k x ,12π52π所以对称中心的坐标为Z ∈+k k ),0,12π52π(【评析】正余弦函数的对称轴经过它的函数图象的最高点或最低点，对称中心是正余弦函数图象与x 轴的交点，处理选择题时可以灵活运用．例9 已知函数)0(),2πsin(sin 3,sin )(2>++=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π． (1)求ω 的值． (2)求f (x )在区间]3π2,0[上的值域． (3)画出函数y ＝2f (x )－1在一个周期[0，π]上的简图．(4)若直线y ＝a 与(3)中图象有2个不同的交点，求实数a 的取值范围． 解：(1)x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=21)6π2sin(212cos 21sin 23+-=+-=x x x ωωω 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω ＞0，所以π2π2=ω，解得ω ＝1 (2)由(1)得21)6π2sin()(+-=x x f ，因为3π20≤≤x ，所以6π76π26π≤-≤-x ，结合正弦函数图象，得1)6π2sin(21≤-≤-x因此2321)6π2sin(0≤+-≤x ，即f (x )的取值范围为]23,0[(3)由(1)得)6π2sin(21)(2-=-=x x f y(4)由图象可得，－2＜a ＜2且a ≠－1． 【评析】本节内容应与三角恒等变换相结合，利用降幂升角公式和辅助角公式等三角公式化简三角函数解析式，整理、变形为只含有一个函数名的解析式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)或y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的形式，利用换元法，结合y ＝sin x 、y ＝cos x 的图象，再研究它的各种性质，如求函数的周期，单调性，值域等问题，这是处理三角函数问题的基本方法．练习3－3一、选择题1．设函数),2π2sin()(-=x x f x ∈R ，则f (x )是( ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 2．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) A ．R ∈-=x x y ),3π2sin( B ．R ∈+=x x y ),6π2sin(C ．R ∈+=x x y ),3π2sin(D ．R ∈+=x x y ),32π2sin(3．函数)3π2sin(+=x y 的图象( )A ．关于点(3π，0)对称B ．关于直线4π=x 对称C ．关于点(4π，0)对称D ．关于直线3π=x 对称4．函数y ＝tan x ＋sin x －｜tan x －sin x ｜在区间)2π3,2π(内的图象大致是( ）二、填空题5．函数)2πsin(sin 3)(x x x f ++=的最大值是______． 6．函数)]1(2πcos[)2πcos(-=x x y 的最小正周期为______．7．函数)2π0,0)(sin(<<>+=ϕωϕωx y 的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为y ＝______．8．函数y ＝cos2x ＋cos x 的值域为______． 三、解答题9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R ． (Ⅰ)求函数f (x )的对称轴的方程； (Ⅱ)求函数f (x )的单调减区间． 10．已知函数.34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期及最值； (Ⅱ)令)3π()(+=x f x g ，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．11．已知R ∈>++=a a x x x x f ,0(,cos sin 32cos 2)(2ωωωω，a 为常数)，且满足条件f (x 1)＝f (x 2)＝0的｜x 1－x 2｜的最小值为2π． (Ⅰ)求ω 的值； (Ⅱ)若f (x )在]3π,6π[-上的最大值与最小值之和为3，求a 的值．§3－4 解三角形【知识要点】1．三角形内角和为A ＋B ＋C ＝πA CB -=+π,2π222=++C B A ，注意与诱导公式相结合的问题． 2．正弦定理和余弦定理正弦定理：r CcB b A a 2sin sin sin ===，(r 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理：abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ;2cos ;2cos 222222222-+=-+=-+= . a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．3．在解三角形中注意三角形面积公式的运用：21=∆ABC S ×底×高.21=∆ABC S ab sin .sin 21sin 21B ac A bc C == 4．解三角形中注意进行“边角转化”，往往结合三角变换处理问题．【复习要求】1．会正确运用正余弦定理进行边角的相互转化；2．会熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的求角，求边，求面积问题． 【例题分析】例1 (1)在△ABC 中，3=a ，b ＝1，B ＝30°，则角A 等于( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．60°或120°(2)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足等式(a ＋b )2＝ab ＋c 2，则角C 的大小为______. (3)在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则∠B 的大小是______． (4)在△ABC 中，若31tan =A ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝______． 解：(1)∵,23sin ,30sin 1sin 3,sin sin =∴=∴=A A B b A a又∵a ＞b ，∴A ＞B ＝30°，∴A ＝60°或120°，(2)∵(a ＋b )2＝ab ＋c 2，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴,120,2122cos 222 =∴-=-=-+=C ab ab ab c b a C (3)∵CcB b A a sin sin sin ==，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8. ∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴21852*******cos 222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ，∴B ＝60°． (4)分析：已知条件为两角和一条对边，求另一条对边，考虑使用正弦定理，借助于31tan =A 求sin A 210,150sin 10101,sin sin ,1010sin ,31tan =∴=∴==∴=AB AB B AC A BC A A . 【评析】对于正弦定理和余弦定理应熟练掌握，应清楚它们各自的使用条件，做到合理地选择定理解决问题． 例2 (1)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 (2)在△ABC 中，2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 解：(1)法一：BbA a sin sin =，a cos A ＝b cos B ， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∵2A ，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B 或2π=+B A ，选D ．法二：∵a cos A ＝b cos B ，∴acb c a b bc a c b a 2)(2)(222222-+=-+，整理得(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0．所以：a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，选D ．(2)∵2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A ， ∴2sin B ·sin C ＝1－(cos B cos C －sin B sin C )， ∴cos B cos C ＋sin B ·sin C ＝1， ∴cos(B －C )＝1，∵B ，C ∈(0，π)，∴B －C ∈(－π，π)， ∴B －C ＝0，∴B ＝C ，选C ．【评析】判断三角形形状，可以从两个角度考虑(1)多通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而判断三角形形状，(2)多通过余弦定理将角的关系转化为边的关系，进而判断三角形形状，通常情况下，以将边的关系转化为角的关系为主要方向，特别需要关注三角形内角和结合诱导公式带给我们的角的之间的转化．例3 已知△ABC 的周长为12+，且sin A ＋sin B ＝2sin C (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为C sin 61，求角C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++ABAC BC AC BC AB 212，解得AB ＝1． (2)由△ABC 的面积C C AC BC S sin 61sin 21=⋅=，得31=⋅AC BC ，因为2=+AC BC ，所以(BC ＋AC )2＝BC 2＋AC 2＋2AC ·BC ＝2，可得3422=+AC BC ，由余弦定理，得212cos 222=-+=⋅BC AC AB BC AC C ， 所以C ＝60°．例4 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和b c ＝321+，求∠A 和tan B 的值．解(1)由已知和余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，所以∠A ＝60°． (2)分析：所给的条件是边的关系，所求的问题为角，可考虑将利用正弦定理将边的关系转化为角的关系．在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin(60°＋B )，因为B BB B B BC b c sin sin 60cos cos 60sin sin )60sin(sin sin +⋅=+==.32121tan 123+=+=B所以⋅=21tan B 【评析】体现了将已知条件(边321+==b c )向所求问题(角tan B →sin a ，cos α )转化，充分利用了正弦定理和三角形内角关系实现转化过程．例5 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，3π=C ． (Ⅰ)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(Ⅱ)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(Ⅰ)由余弦定理abc b a C 2cos 222-+=及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以3sin 21=C ab ，得ab ＝4．联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得a ＝2，b ＝2．(Ⅱ)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，(sin B cos A ＋cos B sin A )＋(sin B cos A －cos B sin A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0时，332,334,6π,2π====b a B A ，当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得334,332==b a . 所以△ABC 的面积332sin 21==C ab S .【评析】以上两例题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．以及三角形面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆的运用．同时应注意从题目中提炼未知与已知的关系，合理选择定理公式，综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转化．例6 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α ，∠BDC ＝β ，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ ，求塔高AB ．解：在△BCD 中，∠CBD ＝π－α －β ．由正弦定理得．sin sin CBDCDBDC BC ∠=∠所以)sin(sin sin sin βαβ+=∠∠=⋅s CBD BDC CD BC ．在Rt △ABC 中，⋅+=∠=⋅)sin(sin tan tan βαβθs ACB BC AB例7 已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A ，B ，C 的大小． 解：sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0，sin A sin B ＋sin A cos B －(sin A cos B ＋cos A sin B )＝0， sin A sin B －cos A sin B ＝sin B (sin A －cos A )＝0， 因为sin B ≠0，所以sin A －cos A ＝0，所以tan A ＝1，4π=A ，可得BC +=4π3， 所以02sin sin )22π3cos(sin )4π3(2cos sin =+=++=++B B B B B B ，sin B ＋2sin B cos B ＝0，因为sin B ≠0，所以12π,3π2,21cos ==-=C B B .【评析】考查了三角形中角的相互转化关系，同时兼顾了两角和、二倍角、诱导公式等综合应用． 练习3－4一、选择题1．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶2∶3B ．2:3:1C ．1∶4∶9D ．3:2:12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3,3π==a A ，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2C ．13-D ．33．△ABC 中，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形4．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若b a 25=，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A ．35B ．45 C ．55 D ．65二、填空题5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，3π,3==C c ，则A ＝______． 6．在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=-+，则角B 的值为______．7．设△ABC 的内角6π=A ，则2sinB cosC －sin(B －C )的值为______． 8．在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，则∠B 的大小为______. 三、解答题9．在△ABC 中，53tan ,41tan ==B A .(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若AB 的边长为17，求边BC 的边长．10．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为120°．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米．求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)．11．在三角形ABC 中，5522cos ,4π,2===B C a ，求三角形ABC 的面积S ．专题03 三角函数参考答案练习3－1一、选择题：1．B 2．B 3．B 4．C 二、填空题 5．)0,2π(-6．16 7．21mm - 8．23- 三、解答题9．解：(1)⋅-=+=-=>55cos sin ,55cos ,552sin ,0cos ααααα(2)原式＝222)sin 1(sin sin 21cos 1sin 21θθθθθ-=+-=-+-=⋅+=-=-=5521sin 1|sin 1|θθ 10．解：(1)原式51tan 2tan -=-+=αα(2)原式.0tan 1tan 212=+-=αα11．解：当k 为偶数时，原式.0cos sin cos sin 1cos sin 1cos sin .cos sin )cos (sin cos sin 22=+-=++---=αααααααααααααα当k 为奇数时，原式01cos sin )cos (sin =+-=αααα，综上所述，原式＝0．练习3－2一、选择题1．A 2．C 3．D 4．C 二、填空题 5257-6．4 7．21 8．65- 三、解答题9．解：左边=====2tan 2cos 22cos2sin22cos 2sin 2cos 2cos cos 2cos sin 22222.ααααααααααα右边.10．解：原式)sin (cos 2cos 1cos 2cos sin 21cos )2cos 2(sin 12ααααααααα-=-+-=--=， 因为α 为第四象限角，且54sin -=α，所以53cos =α， 所以原式514=. 11．解：(1)由a a a a cos sin 21)cos (sin 2-=-＝31可得32cos sin 2=αα， 所以a a a a cos sin 21)cos (sin 2+=+＝35，因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0，sin α ＋cos α ＜0， 所以315cos sin -=+αα. (2)原式αααααααααcos cos 3sin 4cos )12cos 2(3sin 4cos 82cos 6sin 4522+=-+=-++=3tan 4+=α，因为51tan 1tan cos sin cos sin -=-+=-+αααααα，所以2531515tan -=+-=α，。
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练及答案解析
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。
微专题09 正、余弦定理解三角形-2020高考数学(理)二轮复习微专题聚焦
专题09 正、余弦定理解三角形——2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦【考情分析】解三角形是高考的一个必考点，试题难度不大，多为中、低档题.主要命题的角度：（1）以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积或判断三角形的形状，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用；（2）以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类问题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者的青睐，应给予关注；（3）解三角形常与三角恒等变换、不等式、平面向量等知识综合命题，这一直是高考考查的重点和热点，考查学生的逻辑思维、转化化归、数形结合的思想和数学运算的核心素养.【必备知识】1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b c R C===AB(R 为C ∆AB 的外接圆的半径).2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2bR B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④R SinC SinB SinA cb a 2=++++.3、三角形面积公式：111sin sin sin 222CS bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc+-A =；变形：A bc a c b cos 2222=-+.【重要结论】1、解三角形所涉及的其它知识 （1）三角形内角和定理：A+B+C=π.（2）三角形边角不等关系：B A B A B A b a cos cos sin sin <⇔>⇔∠>∠⇔>. 2、诱导公式在ABC ∆中的应用（1）()()C B A C B A C B A tan )tan(;cos cos ;sin sin -=+-=+=+；（2）2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+； 3、已知三边（或三边之比，或三内角正弦之比）判定三角形的形状设a 是三角形中最长的边，则（1）若0222>-+a c b ，则ABC ∆是锐角三角形； （2）若0222=-+a c b ，则ABC ∆是直角三角形； （3）若0222<-+a c b ，则ABC ∆是钝角三角形；或（1）若0sin sin sin 222>-+A C B ,则ABC ∆是锐角三角形； （2）若0sin sin sin 222=-+A C B ,则ABC ∆是直角三角形； （3）若0sin sin sin 222<-+A C B ,则ABC ∆是钝角三角形； 4、三角形中，最大的角不小于3π，最小的角不大于3π. 考点一 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题【例1】已知ABC ∆中的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且)3sin(sin π+=A b B a .（1）求A ； （2）若c a b ,23,成等差数列，ABC ∆的面积为32，求a 【解析】（1）因为)3sin(sin π+=A b B a ，所以由正弦定理可得)3sin(sin sin sin π+=A B B A ，因为0sin ≠B ，所以)3sin(sin π+=A A .因为),0(π∈A ，所以ππ=++3A A ，所以3π=A .（2）因为c a b ,23,成等差数列，所以a c b 3=+. 又因为ABC ∆的面积为32，所以32sin 21==∆A bc S ABC ，所以323sin bc 21=⨯⨯π，可得bc=8.所以由余弦定理可得bc c b bc bc c b A bc c b a 3)(3cos22)(cos 222222-+=--+=-+=π，即24)3(22-=a a ，解得32=a .【方法归纳 提炼素养】——数学思想是转化与化归，核心素养是数学运算.利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化.化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论.利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等.【类比训练】在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A b c B a cos )4(cos -=，则=A 2cos （ ）A.87-B.81-C.87D.81【解析】A.因为A b c B a cos )4(cos -=， 所以A B A C B A cos sin cos sin 4cos sin -=， 即A C A B B A cos sin 4cos sin cos sin =+， 所以C A C sin cos 4sin =，又因为0sin ,0≠<<C C π，所以A cos 41=，即41cos =A ， 则871cos 22cos 2-=-=A A ，故选A.考点二 利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值问题 【例2】在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且tan 21+tan A cB b=． （1）求角A ；（2）若a =ABC ∆面积的最大值. 【解析】（1）tan 21tan A cB b +=Q sin cos 2sin 1sin cos sin A BC B A B∴+=即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B+=， sin()2sin sin cos sin A B C B A B+∴=，整理得1cos 2A = 0,3A ππ∴=Q ＜A ＜ （2）2222cos ,a b c bc A =+-Q22222122a b c bc b c bc =∴=+-⨯=+-， 即2232,b c bc bc bc bc =+-≥-=当且仅当3==c b 时，bc 取最大值，从而433sin 21≤=∆A bc S ABC .所以ABC ∆面积的最大值为433. 【方法归纳 提炼素养】——数学思想是转化与化归、整体代换、函数与方程思想，核心素养是数学运算.利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值问题，一般先运用正、余弦定理进行边角互化，然后通过三角形中相关角的三角恒等变换，构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基本不等来处理.解题的思路是：1、定基本量.根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围.2、构建函数.根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式关系.3、求最值.利用基本不等式或函数的单调性等求最值.【类比训练1】在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足)6cos(sin π-=B a A b .（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且BD=1，求ABC S ∆的最大值． 【解析】（1）因为)6cos(sin π-=B a A b ，所以B A B A A B sin sin 21cos sin 23sin sin +=, 即B A B A cos sin 3sin sin =， 因为0sin ≠A ，所以3tan =B ， 又因为），（π0∈B ， 所以3π=B .（2）因为D 为AC 的中点，所以由向量的中线定理得)(21BC BA BD +=,3cos 214141π⋅⋅++=， 又因为BD=1，所以ac ac c a 2422≥-=+ 故34≤ac ，当且仅当a=c 时，等号成立，此时34max =）（ac ， 所以ABC S ∆的最大值为333sin 3421=⨯⨯π.【类比训练2】已知ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，满足bcB A B A 2sin sin cos cos =+，且b=3. （1）求B.（2）求ABC ∆的周长l 的最大值. 【解析】利用正弦定理对b c B A B A 2sin sin cos cos =+化简得BCB B A B B A sin sin 2sin cos sin cos sin cos =+, 即BC B B B A sin sin 2sin cos )sin(=+. 因为0sin )sin(≠=+C B A ，所以21cos =B . 又),0(π∈B ，所以3π=B .（2）解法一：在ABC ∆中，由余弦定理得9cos 222222=-+=-+=ac c a B ac c a b ， 所以22)2(3939)(c a ac c a ++≤+=+，即6≤+c a ， 所以9≤++=c b a l ，当且仅当a=b=c=3时，ABC ∆的周长l 取得最大值，且最大值为9. 解法二：由正弦定理得32sin 2==BbR ，所以B B R b A A R a sin 32sin 2,sin 32sin 2====，所以)32sin(32sin 323sin 32sin 323A A B A c b a l -++=++=++=π=)6sin(63cos 3sin 333π++=++A A A又因为)32,0(π∈A ，所以)65,6(6πππ∈+A 所以当26ππ=+A ，即3π=A 时，1)6sin(=+πA ， 所以963max =+=l .考点三 利用正、余弦定理解平面四边形【例3】如图所示,在四边形ABCD 中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,33cos =B . (1)求△ACD 的面积;(2)若32=BC ,求AB 的长. 【解析】(1)因为∠D=2∠B,33cos =B ， 所以cos D=cos 2B=2cos 2B-1=31-. 因为D ∈(0,π),所以sin D=322cos 12=-D . 因为AD=1,CD=3,所以△ACD 的面积S=21AD·CD·sin D=2322121=⨯⨯.(2)在△ACD 中,由余弦定理得AC 2=AD 2+DC 2-2AD·DC·cos D=12,所以AC=32. 因为BC=32,所以∠B=∠BAC, 由正弦定理得ACBABB AC ∠=sin sin ,所以B ABB B AB B AB B AB B sin 332cos sin 22sin )2sin(sin 32===-=π, 所以AB=4.【方法归纳 提炼素养】——数学思想是转化与化归、数形结合思想，核心素养是数学运算.利用正余弦定理解四边形的解题思路是：1、对于在四边形中解三角形的问题或把一个三角形分为两个三角形来解三角形的问题，分别在两个三角形中列出方程，组成方程组，通过加减消元或者代入消元，求出所需要的量；2、对于含有三角形中的多个量的已知等式，化简求不出结果，需要依据题意应用正余弦定理再列出一个等式，由此组成方程组通过消元法求解.【类比训练】如图，在四边形ABCD 中，7,2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=（1）求CAD ∠的正弦值；（2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长. 【解析】（1）在△ACD 中，设(0)AD x x =>，由余弦定理得2227=422cos 3x x x x +-⨯⋅π， 整理得277x =，解得1x =. 所以1, 2.AD CD ==由正弦定理得2sin sin 3DC ACDAC =∠π，解得21sin 7DAC ∠= （2）由已知得4ABC ACD S S ∆∆=，所以11sin 4sin 22AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠， 化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠ 于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠= 因为21sin 7CAD ∠=，且CAD ∠为锐角， 所以227cos 1sin CAD CAD ∠=-∠=，因此7.AB =考点四 利用正、余弦定理求解实际应用问题【必备知识】 1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B 点的方位角为α(如图②). 3.方向角：相对于某一正方向的水平角.(1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③). (2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似. 4.坡角与坡度(1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角).(2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i 为坡度).坡度又称为坡比. 注意：两种角的区别(1)方位角:从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，方位角的范围是[0,2π]. (2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.【例4】如图,A,B 是海面上位于东西方向相距）（335+海里的两个观测点,现位于A 点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且与B 点相距320海里的C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D 点至少需要多长时间?【解析】由题意知AB=）（335+ 海里,因为∠DAB=90°-45°=45°,∠DBA=90°-60°=30°, 所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°, 在△ADB 中,由正弦定理得ADBABDAB DB ∠=∠sin sin , 所以00105sin 45sin )33(5sin sin +=∠∠⋅=ADB DAB AB DB=464222)33(560sin 45cos 60cos 45sin 45sin )33(500000+⨯+=++=310231)31(35=++（海里），又因为∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=320海里, 所以在△DBC 中,由余弦定理得DBC BC BD BC BD CD ∠⋅-+=cos 2222 即900213203102-12003002=⨯⨯⨯+=CD ， 所以CD=30(海里), 所以需要的时间13030==t (小时),即救援船到达D 点至少需要1小时. 【方法归纳 提炼素养】——数学思想是转化与化归、数形结合思想，核心素养是数学建模、数学运算.解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解 出三角形，求得数学模型的解. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.【类比训练】 如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s 后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为 m.(取≈1.4,≈1.7)【解析】如图,作CD 垂直于AB 的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°, AB=50×420=21 000(m). 又在△ABC 中,=,所以BC =×sin 15°=10 500(-)(m).因为CD ⊥AD,所以CD=BC·sin ∠DBC=10 500(-)×=10 500(-1)≈7 350(m).故山顶的海拔高度h=10 000-7 350=2 650(m). 答案:2 650做高考真题 提能力素养【选择题组】1、（2019全国卷Ⅱ高考理·T15）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC ∆的面积为 .【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得23,23c c ==-（舍去） 所以243a c ==，113sin 43236 3.22ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯= 2、(2018·全国卷II 高考理科·T6)在△ABC 中,cos C2=√55,BC =1,AC =5,则AB =( ) A .4√2B .√30C .√29D .2√5【解析】选A .cos C =2cos2C2-1=2×(√55)2-1=-35, 在△ABC 中,由余弦定理AB 2=CA 2+CB 2-2CA ·CB ·cos C , 所以AB 2=1+25-2×1×5×(-35)=32,所以AB =4√2.3、(2018·全国Ⅲ高考理科·T9)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C = ( ) A .B .C .D .【解析】选C .由题意S △ABC =12ab sin C =a 2+b 2-c 24,即sin C =a 2+b 2-c 22ab,由余弦定理可知sinC=cosC,即tanC=1,又C ∈(0,π),所以C=.4、(2017·山东高考理科·T9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是 ( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A【解析】A.2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinAcosC+sinB=sinB+2sinBcosC, 即sinAcosC=2sinBcosC,由于△ABC 为锐角三角形, 所以cosC≠0,sinA=2sinB,由正弦定理可得a=2b. 【非选择题组】1、(2018·浙江高考T13)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a =√7,b =2,A =60°,则sin B = ,c = . 【解析】由正弦定理asinA =bsinB 得=2sinB ,得sin B =√217, 由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =4+c 2-74c=12,解得c =3.答案:√217 32、(2017·浙江高考·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC= .【解析】因为△ABC 中,AB=AC=4,BC=2,所以由余弦定理得cos ∠ABC=2222AB BC AC AB BC +-⋅=222424242+-⨯⨯=14,则sin ∠DBC=sin ∠ABC=154, 所以S △BDC =12BD·BCsin ∠15,因为BD=BC=2,所以∠BDC=12∠ABC ,则cos ∠cos 12ABC ∠+10答案:15103、（2019全国I 理·T17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sinC ．【解析】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈Q 3A π∴=（2）2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C -=22sin cos 1C C +=Q (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故sin C =（2）法二：2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C -=，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+故sin sin()46C ππ=+=.4、（2019全国III 理·T18）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【解析】(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=， 因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=. 因为0<B π<，02A Cπ+<< 故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A CB π++=不成立， 所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B =π，所以3B π=. (2)因为ABC △是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=V 22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=-=+.又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <+<故82ABC S <<V .故ABC S V取值范围是(82. 5、(2018·北京高考理科·T15)在△ABC 中,a=7,b=8,cosB=-17. (1)求∠A.(2)求AC 边上的高.【解析】方法一:(1)由余弦定理,cosB=c 2+a 2-b 22ca==-17,解得c=-5(舍),或c=3,所以cosA=b 2+c 2-a 22bc==12,又因为0<A<π,所以A=. (2)设AC 边上的高为h,则sinA=hc , 所以h=csinA=3×sin =3√32,即AC 边上的高为3√32. 方法二:(1)因为cosB=-17<0得角B 为钝角,由三角形内角和定理,角A 为锐角, 又sin 2B+cos 2B=1,所以sinB>0,sinB=4√37,由正弦定理,asinA =bsinB ,即sinA=ab sinB=78×4√37=√32, 又因为0<A<,所以A=.(2)设AC 边上的高为h,则h=asinC,由(1)及已知,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=√32×(-17)+12×4√37=3√314, 所以h=asinC=7×3√314=3√32,即AC 边上的高为3√32. 6、(2018·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos .(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值.【解析】(Ⅰ)在△ABC 中,由正弦定理asinA =bsinB ,可得bsinA=asinB, 又由bsinA=acos,得asinB=acos ,即sinB=cos ,所以sinB=√32cosB+12sinB ,可得tanB=√3. 又因为B ∈(0,π),可得B=.(Ⅱ)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b 2=a 2+c 2-2accosB=7,故b=√7. 由bsinA=acos,可得sinA=√37. 因为a<c,故cosA=√7.因此sin2A=2sinAcosA=4√37,cos2A=2cos 2A-1=17. 所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=4√37×12-17×√32=3√314. 6、(2017·北京高考理科·T15)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sinC 的值.(2)若a=7,求△ABC 的面积. 【解析】(1)根据正弦定理sinA a=sinCc ,所以sinC=sinA c a =37×sin60°=37(2)当a=7时,c=37a=3,因为所以1314,在△ABC 中,sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinA×cosC+cosA××1314+12,所以S △ABC =12ac×sinB =12×7×3×7=7、(2017·全国丙卷·理科·T174)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知,b=2. (1)求c.(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.【解析】(1)因为,所以,所以因为A ∈(0,π),所以A=23π.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA,代入,b=2得c 2+2c-24=0, 解得c=-6(舍去)或c=4,所以c=4. (2)由(1)知c=4.因为c 2=a 2+b 2-2abcosC,所以16=28+4-2×2×2×cosC ,所以,所以sinC=7,所以在Rt △CAD 中,tanC=ADAC ,所以2=2AD ,即则S △ADC =12×由(1)知S △ABC =12·bc·sinA =12×2×4×2=所以S △ABD =S △ABC -S △ADC =.8、(2017·全国甲卷理科·T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin 22B . (1)求cosB.(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin 22B,故sinB=4(1-cosB), 上式两边平方,整理得17cos 2B-32cosB+15=0, 解得cosB=1(舍去),cosB=1517, (2)由cosB=1517得sinB=817,故S △ABC =12acsinB=417ac , 又S △ABC =2,则ac=172,由余弦定理及a+c=6得b 2=a 2+c 2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×172×15117⎛⎫+ ⎪⎝⎭=4,所以b=2. 9、(2017·全国乙卷理科·T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC 的面积为23sin a A.(1)求sinBsinC.(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.【解析】(1)因为△ABC 面积S=23sinA a且S=12bcsinA ,所以23sinA a =12bcsinA ,所以a 2=32bcsin 2A ,由正弦定理得sin 2A=32sinBsinCsin 2A ,由sinA≠0得sinBsinC=32. (2)由(1)得sinBsinC=23,又cosBcosC=16,因为A+B+C=π,所以cosA =cos ()B C π--=-cos ()B C +=sinBsin C-cosBcosC =12,又因为A ∈()0,π,所以A=3π,sinA=2,cosA=12,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-bc=9 ①, 由正弦定理得b=sinA a ·sinB,c=sinAa ·sinC , 所以bc=22sin Aa ·sinBsinC=8 ②,由①②得所以即△ABC 的周长为10、(2017·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=35.(1)求b 和sinA 的值.(2)求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【解析】(1)△ABC 中,a>b,sinB=35,所以cosB=45,由余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2accosB=13,所以由正弦定理得,sinA=sinB a b(2)由(1)知又a<c,sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=1-2sin 2A=-513,所以,sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin2Acos 4π+cos2Asin 4π=26.11、(2017·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知2-b 2-c 2). (1)求cosA 的值.(2)求sin(2B-A)的值.【解析】(1)由asinA=4bsinB,及sinA a =sinBb ,得a=2b. 由(a 2-b 2-c 2),及余弦定理,得cosA=2222b c abc+-=5ac-(2)由(1)可得sinA=5,代入asinA=4bsinB,得sinB=sinA4a b=5. 由(1)知,A 为钝角,所以cosB==5, 于是sin2B=2sinBcosB=45,cos2B=1-2sin 2B=35,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=45×⎛⎝⎭-35。
(新高考)2020高考数学二轮复习大题考法专训(一)解三角形(最新整理)
大题考法专训（一）解三角形A级——中档题保分练1．在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b，c，且cos2B－cos2C＝sin2A＋sin A sin B．(1）求角C的大小；（2）若A＝错误!,△ABC的面积为4错误!，M为BC的中点，求AM.解：（1)由cos2B－cos2C＝sin2A＋sin A sin B，得sin2C－sin2B＝sin2A＋sin A sin B．由正弦定理，得c2－b2＝a2＋ab，即a2＋b2－c2＝－ab，所以cos C＝错误!＝错误!＝－错误!。
因为0＜C＜π，所以C＝错误!。
（2)因为A＝错误!，所以B＝错误!.所以△ABC为等腰三角形，且顶角C＝错误!.因为S△ABC＝错误!ab sin C＝错误!a2＝4错误!，所以a＝4。
在△MAC中,AC＝4，CM＝2，C＝错误!，所以AM2＝AC2＋CM2－2AC·CM·cos C＝16＋4＋2×4×2×错误!＝28,所以AM＝2错误!。
2．(2019·长沙统考）已知△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c,且a sin(A＋B）＝c sin错误!.（1）求角A的大小；(2）若△ABC的面积为错误!，周长为8，求a.解：（1）由题设得a sin C＝c cos 错误!，由正弦定理得sin A sin C＝sin C cos 错误!，所以sin A＝cos A2，所以2sin 错误!cos 错误!＝cos 错误!,所以sin 错误!＝错误!，故A＝60°.（2）由题设得12bc sin A＝错误!，从而bc＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a2＝（b＋c)2－12。
又a＋b＋c＝8，所以a2＝（8－a）2－12，解得a＝错误!。
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c＝7,sin C＝错误!.（1)若cos B＝错误!,求b的值；(2）若a＋b＝11，求△ABC的面积．解:（1）在△ABC中，因为cos B＝错误!,且B∈(0,π）,所以sin B＝错误!,根据正弦定理错误!＝错误!，及c＝7，sin C＝错误!，解得b＝5.（2）在△ABC中，因为sin C＝错误!，所以cos C＝±错误!。
人教A版2020届高考数学二轮复习解答题题型归纳：三角函数 解三角形(基础)
解答题题型归纳核心考点1: 三角函数的图像和性质1.函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2 B.π C.2π D.4π1.B [∵T ＝2π2＝π，∴B 正确.]2.将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A.t ＝12，s 的最小值为π6B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π32.A [点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12. 又由题意得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ， 故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.]3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.103.C [由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.]4.为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A.向右平移π4个单位B.向左平移π4个单位C.向右平移π12个单位D.向左平移π12个单位4.C [因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，故选C.]5.函数y ＝1－2cos 2(2x )的最小正周期是________.5.π2 [y ＝1－2cos 2(2x )＝1－2×1＋cos 4x 2＝－cos 4x ，则最小正周期为π2.]6.定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是 .6. 7 [在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点.]7.设常数a ∈R ，函数f(x)=asin2x +2cos 2x ．（1）若f(x)为偶函数，求a 的值；（2）若f （π4）=√3+1，求方程f(x)=1﹣√2在区间[﹣π，π]上的解．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b 和sin （2A ﹣B ）的值．10.解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得a sinA =b sinB ，得bsinA=asinB ， 又bsinA=acos （B ﹣π6）．∴asinB=acos （B ﹣π6），即sinB=cos （B ﹣π6）=cosBcos π6+sinBsin π6=√32cosB+12sinB ， ∴tanB=√3，又B ∈（0，π），∴B=π3．（Ⅱ）在△ABC 中，a=2，c=3，B=π3，由余弦定理得b=√a 2+c 2−2accosB =√7，由bsinA=acos （B ﹣π6），得sinA=√3√7， ∵a ＜c ，∴cosA=2√7，∴sin2A=2sinAcosA=4√37， cos2A=2cos 2A ﹣1=17，∴sin （2A ﹣B ）=sin2AcosB ﹣cos2AsinB=4√37×12−17×√32=3√314． 11. 在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=﹣17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．11.解：（Ⅰ）∵a ＜b ，∴A ＜B ，即A 是锐角， ∵cosB=﹣17，∴sinB=√1−cos 2B =√1−(−17)2=4√37， 由正弦定理得a sinA =b sinB 得sinA=asinB b =7×4√378=√32，则A=π3． （Ⅱ）由余弦定理得b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，。
江苏省2020届高考数学二轮复习 专题七 三角恒等变换与解三角形 苏教版
江苏省2020届高考数学（苏教版）二轮复习专题7 三角恒等变换与解三角形回顾2020～2020年的考题，在填空题中主要考查了三角公式的运用、正、余弦定理的运用.在解答题中有2020、2020年主要考查了三角化简求值，2020年考查了向量与三角化简的综合问题，2020年考查角的恒等变换及正、余弦定理.在近五年的应用题考查中，有两年考查了与三角函数有关的应用题.,在近四年的考查中，同角三角函数关系与诱导公式没有两角和与差的公式考查力度大，但作为三角化简的基本功还是要掌握的.预测在2020年的高考题中：1填空题依然是考查简单的三角函数化简、解三角形，随着题目设置的顺序，难度不一.2在解答题中，三角函数的化简、三角函数的性质与解三角形和平面向量的交汇问题仍是考查的重点.1．(2020·南京名校4月阶段性考试)若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.解析：由题意得tan α＋1tan α－1＝3.所以tan α＝2.又tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2. 所以(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan β－α－tan α1＋tan β－αtan α＝43.答案：432.1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(tan －15°－tan 5°)＝________.解析：原式＝2cos 210°4sin 10°cos 10°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°－10°2sin 10°＝cos 10°－2sin 30° cos 10°＋2cos 30° sin 10°2sin 10°＝cos 30°＝32. 答案：323．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于________，AC 的取值范围为________．解析：设A ＝θ，则B ＝2θ.由正弦定理得AC sin 2θ＝BCsin θ，∴AC2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2. 由锐角△ABC 得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°，又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32， ∴AC ＝2cos θ∈(2，3)． 答案：2 (2，3)4．(2020·西安名校三检)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )，满足p ∥q ，则∠C ＝________.解析：由p ∥q ⇒4S －3(a 2＋b 2－c 2)＝0，又4S ＝4×12ab sin ∠C ＝3(a 2＋b 2－c 2)，可得sin ∠C ＝3×a 2＋b 2－c 22ab ＝3cos ∠C ，即tan ∠C ＝3，故∠C ＝π3.答案：π35．在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A ＋C )＝－43， sin B ＝45，则cos 2(B＋C )＝________.解析：∵A 为最小角，∴2A ＋C ＝A ＋A ＋C <A ＋B ＋C ＝180°. ∵cos(2A ＋C )＝－45，∴sin(2A ＋C )＝35.∵C 为最大角，∴B 为锐角． 又sin B ＝45，故cos B ＝35.即sin(A ＋C )＝45，cos(A ＋C )＝－35.∵cos(B ＋C )＝－cos A ＝－cos[(2A ＋C )－(A ＋C )]＝－2425，∴cos 2(B ＋C )＝2cos 2(B ＋C )－1＝527625.答案：527625[典例1]已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35.(1)用α＋β，α－β表示2α；(2)求sin 2α，cos 2α的值． [解] (1)2α＝(α－β)＋(α＋β)．(2)因为π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2.又因为cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝513，cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－45. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665， cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β) ＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－3365.三角函数式的化简、求值，常从角的差异入手，寻求条件与结论之间的关系，通过三角恒等变换消除差异，使问题获解．[演练1]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－x 的值为________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＋sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝516.答案：516[典例2](2020·南通第一次调研)在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若2sin A cos C ＝sin B ，求a c的值； (2)若sin(2A ＋B )＝3sin B ，求tan Atan C 的值．[解] (1)由正弦定理得sin A sin B ＝ab.从而2sin A cos C ＝sin B 可化为2a cos C ＝b .由余弦定理得2a ×a 2＋b 2－c 22ab＝b .整理得a ＝c ，即ac＝1.(2)在斜三角形ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(2A ＋B )＝3sin B 可化为sin[π＋(A －C )]＝3sin[π－(A ＋C )]， 即－sin(A －C )＝3sin(A ＋C )．故－sin A cos C ＋cos A sin C ＝3(sin A cos C ＋cos A sin C )． 整理得4sin A cos C ＝－2cos A sin C ， 因为△ABC 是斜三角形，所以cos A cos C ≠0， 所以tan A tan C ＝－12.解三角形常用的工具是正弦定理和余弦定理，要熟悉它们的使用的条件，合理选用．解三角形常与三角恒等变换、三角求值综合考查，要注意三角形中角的限制条件．[演练2]在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1＋tan A tan B ＝2cb ，则角A 的大小为________．解析：由1＋tan A tan B ＝2c b ，得sin A ＋B cos A sin B ＝2sin Csin B ，即cos A ＝12，故A ＝π3.答案：π3[典例3](2020·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ；则下列命题正确的是________．①若ab >c 2，则C <π3；②若a ＋b >2c ，则C <π3；③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2；④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2；⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3. [解析] ①ab >c 2⇒cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab 2ab ＝12⇒C <π3；②a ＋b >2c ⇒cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >4a 2＋b 2－a ＋b28ab≥12⇒C <π3； ③当C ≥π2时，c 2≥a 2＋b 2⇒c 3≥a 2c ＋b 2c >a 3＋b 3与a 3＋b 3＝c 3矛盾；④取a ＝b ＝2，c ＝1满足(a ＋b )c <2ab 得C <π2；⑤取a ＝b ＝2，c ＝1满足(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2得C <π3.[答案] ①②③利用正、余弦定理可实现三角形中的边角转化，常用方法是：①化边为角结合内角和定理求解；②化角为边结合勾股定理、三边关系求解．[演练3]在△ABC 中，sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C ，判断这个三角形的形状．解：应用正弦定理、余弦定理，可得a ＝b ＋c c 2＋a 2－b 22ca ＋a 2＋b 2－c22ab，所以b (a 2－b 2)＋c (a 2－c 2)＝bc (b ＋c )．所以(b ＋c )a 2＝(b 3＋c 3)＋bc (b ＋c )． 所以a 2＝b 2－bc ＋c 2＋bc .所以a 2＝b 2＋c 2. 所以△ABC 是直角三角形．[专题技法归纳](1)在三角化简、求值、证明中，表达式往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中的角，使问题获解．如角的变形：15°＝45°－30°＝60°－45°＝30°2，α＝(α＋β)－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－α2，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.特别地，π4＋α与π4－α为互余角，它们之间可以互相转化，在三角变形中使用频率高．(2)两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例．另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解．1．(2020·连云港调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋bc ，sin C ＝2sin B ，则A ＝________.解析：由sin C ＝2sin B ，得c ＝2b .又a 2＝b 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－bc 2bc ＝4b 2－2b 24b2＝12，所以A ＝π3. 答案：π32．设α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，则sin(α＋β)＝________.解析：α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝45.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴3π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213.∴sin(α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－π2 ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝5665. 即sin(α＋β)＝5665.答案：56653．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝________. 解析：∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45. 则tan α＝－34.由tan(π－β)＝12，可得tan β＝－12，tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－43. tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan α·tan 2β＝－34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－431＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝724.答案：7244.如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是________．解析：因为l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，所以过A 作l 2的垂线，交l 2、l 3分别于点D 、E ，如图，则∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAE ，即∠BAD ＝60°＋∠CAE ，记正三角形ABC 的边长为a ，两边取余弦得1a ＝cos 60°·cos ∠CAE －sin 60°sin ∠CAE ，即1a ＝12×3a －32×a 2－32a 整理得，3a 2－9＝1，解之得，a ＝2213.答案：22135．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值是________．解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝13，tan(2α－β)＝tan α－β＋tan α1－tan α－βtan α＝1.∵tan β＝－17，∴β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π， ∴2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π4.∴2α－β＝－3π4.答案：－3π46．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝________.解析：∵2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝(a ＋c )2－2ac ＝4b 2－2ac .在△ABC 中，B ＝30°，△ABC 的面积32，所以12ac sin B ＝32，即ac ＝6，于是a 2＋c 2＝4b 2－12，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32，即4b 2－12－b 212＝32，解得b 2＝4＋23，于是b ＝1＋ 3. 答案：1＋ 37．△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B，sin(B －A )＝cosC ．则B ＝________.解析：因为tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B ，即sin C cos C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ， 即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ， 得sin(C －A )＝sin(B －C )，所以C －A ＝B －C 或C －A ＝π－(B －C )(不成立)． 即2C ＝A ＋B ，得C ＝π3，所以B ＋A ＝2π3.又因为sin(B －A )＝cos C ＝12，则B －A ＝π6或B －A ＝5π6(舍去)，得A ＝π4，B ＝5π12.答案：5π12 8．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，则四边形ABCD 的面积为________．解析：如图：连结BD ，则有四边形ABCD 的面积S ＝S △ABD ＋S △CDB ＝12·AB ·AD sin A ＋12·BC ·CD ·sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C .故S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )sin A ＝12(2×4＋6×4)·sin A ＝16sin A .由余弦定理，在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝20－16cos A ，在△CDB 中，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos C ＝52－48cos C ，∴20－16cos A ＝52－48cos C ．∵cos C ＝－cos A ，∴64cos A ＝－32，cos A ＝－12. 又0°<A <180°，∴A ＝120°，故S ＝16sin 120°＝8 3.答案：839．在正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上，在这种情况下，若要使AD 最小，则AD ∶AB ＝________.解析：按题意，设折叠后A 点落在边BC 上改称P 点，显然A 、P 两点关于折线DE 对称，又设∠BAP ＝θ，∴∠DPA ＝θ，∠BDP ＝2θ，再设AB ＝a ，AD ＝x ，∴DP ＝x .在△ABC 中，∠APB ＝180°－∠ABP －∠BAP ＝120°－θ，由正弦定理知：BP sin ∠BAP ＝AB sin ∠APB. ∴BP ＝a sin θsin 120°－θ.在△PBD 中，DP sin ∠DBP ＝BP sin ∠BDP， 所以BP ＝x ·sin 2θsin 60°，从而a sin θsin 120°－θ＝x sin 2θsin 60°， ∴x ＝a sin θ·sin 60°sin 2θ·sin 120°－θ＝3a 2sin 60°＋2θ＋3. ∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°＋2θ≤180°.∴当60°＋2θ＝90°，即θ＝15°时，sin(60°＋2θ)＝1，此时x 取得最小值3a 2＋3＝(23－3)a ，即AD 最小， ∴AD ∶DB ＝23－3. 答案：23－3 10．(2020·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________． 解析：因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝22×1725＝17250. 答案：1725011．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B .1cos A ＋1cos C ＝－2cos B ，求cos A －C 2的值． 解：由题设条件知B ＝60°，A ＋C ＝120°设α＝A －C2，则A －C ＝2α，可得A ＝60°＋α，C ＝60°－α，所以1cos A ＋1cos C ＝1cos 60°＋α＋1cos60°－α ＝112cos α－32sin α＋112cos α＋32sin α ＝cos α14cos 2α－34sin 2α＝cos αcos 2α－34， 依题设条件有cos αcos 2α－34＝－2cos B ， 又cos B ＝12，∴cos αcos 2α－34＝－2 2. 整理得42cos 2α＋2cos α－32＝0，即(2cos α－2)(22cos α＋3)＝0.∵22cos α＋3≠0，∴2cos α－2＝0.从而得cos A －C2＝22.12.(2020·苏锡调研)如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB u u u r ·AC u u u r ＝50. (1)求cos ∠BAC 的值； (2)求sin ∠CAD 的值；(3)求△BAD 的面积．解：(1)因为AB u u u r ·AC u u u r ＝| AB u u u r || AC u u u r |cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB u u u r ·AC u u u r | AB u u u r || AC u u u r |＝5013×10＝513. (2)在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－6522×10×5＝35. 因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝ 1－cos 2∠CAD ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. (3)由(1)知，cos ∠BAC ＝AB u u u r ·AC u u u r | AB u u u r || AC u u u r |＝513. 因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213. 从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD )＝sin ∠BAC ·cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD＝1213×35＋513×45＝5665. 所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×13×5×5665＝28.。
2020年高考数学二轮复习热点难点全面突破 专题04 三角比、解三角形的综合应用试卷及答案
2ac
2bc
a2 c2 b2 b2 c2 a2 c
2c
2c
所以 a cos B bcos A c ．
由题意得 (a bi) ( cos A i cos B) 3i ，
即 (a cos A-b cos B) (a cos B b cos A)i 3i ，
由复数相等的定义可得
B． 10 10
C． - 10 10
D． - 3 10 10
【答案】C
【解析】 设△ ABC 中角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，由题意可得
1 / 13
1a
c sin
2 c ，则 a 3 2 c ．在△ ABC 中，由余弦定理可得
3
42
2
b2 a2 c2 2ca 9 c2 c2 3c2 5 c2 ，则 b 10 c ．
1t2 1 t
故 l CP CQ PQ 1 t 2t 1 t 2 1 t 1 t 2 1t 1t
所以△ CPQ 的周长 l 是定值 2
（2） S
S正方形ABCD
SABP
SADQ
1
t 2
1 1t 2 1t
当且仅当 t 2 1 时，等号成立
2
1 2
(t
1
1
2
t
)
2
2
所以摄像头能捕捉到正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为 2 2 hm2
，∴4α∈(π，2π)，∴4α＝5π，得α＝5π.
3
12
∴2sin2α ＋ tanα － cotα － 1 ＝ － cos2α ＋ sin2α－cos2α ＝ － cos2α ＋ －2cos2α ＝ － (cos2α ＋
2020届高考(文)数学二轮复习专项训练《18 解三角形》含答案
解三角形1．在ABC △中，22a =，π4B =，π3A ∠=，则b =（ ）A ．533B ．534 C ．332D ．4332．设ABC △的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3b =，1c =，2A B =，则a =（ ） A ．3B ．23C ．32D ．23．ABC △中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-，则sin A =（ ） A ．158B ．54C ．58D ．344．已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b c bc =+-，则A =（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π35．在ABC △中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=︒，2c a =，则（ ）A ．AB < B ．A B >C ．A B =D ．A 与B 的大小关系不能确定6．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知cos cos 2sin b C c B a B +=，2226a c b +-=，则ABC △的面积为（ ） A ．833B ．433C ．32D ．337．三角形ABC 的面积是1，2AB =，2BC =，B ∠为钝角，则AC =（ ）A ．105C ．2D ．18．在ABC △中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2()3sin 2cos 32Af A A =-+，当函数()f A 取到最大值时ABC △的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定9．ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长．已知22a =，6cos 3A =，π2B A =+，一、选择题则ABC△的面积是（）A．223B．233C．433D．42310．已知在ABC△中，角,,A B C所对的边分别是,,a b c，()tan2sinA B C+=-，3c=，ABC△的周长的取值范围是（）A．[6,9]B．(6,9]C．(6,323]+D．[6,323]+11．在ABC△中，,,A B C所对的边分别为,,a b c，且()3sin cos2f A A A=-+，若()3,6f A a==，3ABCS=△，则ABC△的周长是（）A．326+B．236+C．336+D．226+12．某新建学校规划如下图五栋建筑的位置，,A E是教学区，,,B C D是生活区，B A E→→为读书长廊，BE为校内的一条快速安全通道，120BCD EDC BAE∠=∠=∠=︒，506mDE=，50mBC CD==，则读书长廊（不考虑宽度）最长为（）A．150B．100C．1003D．150313．在ABD△中，60A∠=︒，2AB=，23BD=．则AD=．14．在ABC△中，内角,,A B C的对边,,a b c，且4,3a c==，已知23AB BC⋅=u u u r u u u r，则B=．15．如图ABC△中，已知点D在BC边上，AD AC，2sin3BAC∠=，32AB=，2AD=，则ABD△的面积是．16．在ABC△中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，120ABC∠=︒，ABC∠的平分线交AC于点D，⊥AB CD二、填空题且1BD =，则2a c +的最小值为 ．1．【答案】D【解析】由正弦定理，得sin sin a bA B =，即223222b =，所以433b =． 2．【答案】B 【解析】∵2A B =，∴sin sin 22sin cos A B B B ==，∴22222a c b a b ac+-=⋅，∵3b =，1c =，∴23a =． 3．【答案】A【解析】根据余弦定理可得2214(7)22(7)()4b b b =+--⨯⨯-⨯-，解得4b =，1cos 4B =-Q ，15sin 4B ∴=， 由正弦定理sin sin a bA B =，得24sin 154A =，解得15sin 8A =． 4．【答案】C 【解析】由222a b c bc =+-，得222b c a bc +-=，根据余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，0πA <<Q ，π3A ∴=． 5．【答案】B 【解析】120C ∠=︒Q ，2c a =，2222cos c a b ab C ∴=+-，222122()2a ab ab =+--， 22a b ab ∴-=，0aba b a b-=>+，a b ∴>，A B ∴>． 6．【答案】C【解析】cos cos 2sin b C c B a B +=Q ，sin cos sin cos 2sin sin B C C B A B ∴+=， 即()sin sin 2sin sin B C A A B +==，1sin 2B ∴=． 答 案 与 解 析一、选择题2226a c b +-=Q，2223cos 22a cb B ac ac +-∴===，ac ∴=111sin 222ABC S ac B ∴==⨯=△． 7．【答案】A【解析】由面积公式得1sin 12AB BC B ⋅⋅=，∴sin B = B ∠Q是钝角，cos 2B ∴=-， 在三角形ABC中由余弦定理得AC ==8．【答案】C【解析】2π()2cos 32sin 226A f A A A ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． A Q 为三角形的内角，所以0A <<π，666A ππ5π∴-<-<． ∴当62A ππ-=，即3A 2π=时，()f A 取得最大值4，此时该三角形为钝角三角形． 9．【答案】D【解析】在ABC △中，由题意知sin 3A ==， 又因为π2B A =+，所有πsin sin()cos 23B A A =+==，由正弦定理可得sin 4sin a Bb A===．由π2B A =+，得πcos cos()sin 2B A A =+=-=，由πA B C ++=，得π()C A B =-+，所以sin sin[π()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+1(33333=⨯-+=．因此，ABC △的面积111sin 42233S ab C ==⨯⨯=． 10．【答案】B【解析】由()tan 2sin A B C +=-，可得tan 2sin C C -=-，即1cos 2C =， 0πC <<Q ，π3C ∴=， 由余弦定理得()22293a b ab a b ab =+-=+-，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭Q ，()()222332a b a b ab a b +⎛⎫∴+-≥+- ⎪⎝⎭，∴6a b +≤． 又3a b +>Q ， 69a b c ∴<++≤，即ABC △的周长的取值范围是(6,9]． 11．【答案】A 【解析】由题意知()3f A =，得1sin()62A π-=， 666A ππ5π-<-<Q ，π66A π∴-=，即3A π=，又ABC S =Q △，1sin 2bc A ∴=，即4bc =．由余弦定理得()2222cos a b c bc bc A =+--，化简得b c +=ABC ∴△的周长为．12．【答案】C 【解析】连接BD ，在BCD △中，由余弦定理得21250025002505075002BD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，BD ∴=,120CB CD BCD =∠=︒Q ，30CBD CDB ∴∠=∠=︒，又120CDE ∠=︒Q ，90BDE ∴∠=︒， 在BDE △中由勾股定理得150BE ===（米），在BAE △中，120BAE ∠=︒，150BE =，由正弦定理得1502100332R ==， 设π03ABE θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则π3AEB θ∠=-， ππ2sin sin 1003sin 33AB AE R θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴当π6θ=，即AB AE =时，AB AE +取得最大值，即读书长廊最长为1003．13．【答案】4 【解析】在ABD △中，由余弦定理得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⨯⨯， 即21242AD AD =+-，化简得2280AD AD --=，解得4AD =． 14．【答案】2π3【解析】∵4,3a c ==，()cos π43cos 23AB BC ca B B ∴⋅=-=-=u u u r u u u r，1cos 2B ∴=-，又0πB <<，2π3B ∴=． 15．【答案】10 【解析】∵π2sin sin()cos 23BAC BAD BAD ∠=∠+=∠=，∴45sin 193BAD ∠=-=， 32AB =Q ，2AD =，∴由三角形面积公式可得153221023ABD S =⨯⨯⨯=△． 16．【答案】322+ 【解析】120ABC ∠=︒Q ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，60ABD CBD ∴∠=∠=︒， 由三角形的面积公式可得111sin120sin 60sin 60222ac a c ︒=︒+︒， 化简得ac a c =+， 又0a >，0c >，所以111a c+=， 二、填空题则1122(2)()333c a a c a c a c a c +=++=++≥+=+a =时取等号，故2a c +的最小值为3+。
2020新课标高考数学(文)二轮总复习课件：1-1-2 解三角形
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
B＋C 5．sin A＝sin(B＋C)，sin A2＝ cos 2 .
6.sina
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝2R.
由 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R 为△ABC 的外接圆半径)．可推出
则(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得 x＝420. 在 Rt△ACH 中，AC＝420，∠CAH＝30°， 所以 CH＝AC·tan∠CAH＝140 3(m)， 即该仪器的垂直弹射高度 HC 为 140 3 m.
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
3．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45°方向，相距 12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75°方向前 进，若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的速度，沿北偏东 45°＋α 方向拦截蓝方的小 艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角 α 的正弦值．
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
解析：如图，设红方侦察艇经过 x h 后在 C 处追上蓝方的小艇． 则 AC＝14x，BC＝10x， ∠ABC＝120°. 根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°， 解得 x＝2. 故 AC＝28，BC＝20.
因为 sin A≠0，所以 sinA＋2 C＝sin
B.(2 分)
由 A＋B＋C＝180°，可得 sinA＋2 C＝cosB2，故 cosB2＝2sinB2cosB2.(3 分)
2020高考二轮复习 解三角形
2020高考数学二轮复习 解三角形一、 知识点复习1、正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b Bb Bc C c C===2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 如：已知a ，b 和A ，求B 时的解的情况:如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解；如果sin A <sin B <1，则B 有两解； 如果sin B =1，则B 有唯一解；如果sin B >1，则B 无解. 3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B aca b c C ab+-=+-=+-=4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角； （2）已知三边。
5、常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）；6、三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在△ABC 中，由A+B+C=π，可得sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。