第八届全国高中青年数学教师优质课大赛：空间向量正交分解及其坐标表示教学设计(陈巴尔)

《空间向量的正交分解及其坐标表示》

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浙江省温州中学陈巴尔

各位专家评委、老师们：

大家好！我是来自浙江省温州中学的数学教师陈巴尔.有机会参加本次全国青年教师课堂教学评比活动，并向全国的专家和老师们学习，我深感荣幸.

我的课题是《空间向量的正交分解及其坐标表示》，下面我就根据课程标准，结合我对教材的理解和所教学生的实际情况，从教学背景、教学目标、教学策略、教学过程、教学特点及反思五个方面对本节课作一个说明.希望各位专家评委、老师们对我的这节课例，多提宝贵意见.

一、教学背景分析

（一）教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的3.1.4节《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于新授课.

本章知识结构

《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐

标的定义，从而完成从向量到坐标的转化

．．．．．．．．．，进而为后面的立体几何问题的解决服务.

但同时，学生已经在之前的必修4中学习过平面向量的相关知识.

因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比．．，引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳．．．．．，体验数学在结．构．上的和谐性．．．与在推广过程中的问题，同时教学过程中，还应注意维度．．增加．．所带

来的影响.”

“又因为教材在本章专门安排了一个‘阅读与思考 向量概念的推广与应用’，把二维向量，三维向量，推广．．

为高维向量，并说明了其应用. 有条件的地区，可以引导学生学习这个阅读材料，将空间向量的有关性质向多维推广．．．．

.” 而事实上，之前学生所学习的向量共线定理，本质也是一样的，因此，

仔细研究教材的编写意图．．．．，我们会发现这节课在整个高中向量课程教学中起到了一个重要的承上启下．．．．的作用，即：完成了从必修4到选修2-1中的向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理对比与统一．．．．．，同时通过教材的阅读与思考．．．．．

环节，又将学生带入了高维向量的世界，完成了一个学生对于不同维度下向量空

间结构

．．的认识的升华过程，巧妙至极！

（二）学生学情分析

在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.

因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是

容易

．．. 同时有了平面向量坐标的定义，得到．．的，但是证明唯一性具有一定的难度

空间坐标的定义是容易

．．．的理解却

．．的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性

是模糊

．．的.

因此，我设置本节课的教学重点和难点如下：

重点：学生通过平面向量的类比与归纳，得到空间向量基本定理的表述形式，以及选择特殊的单位正交基底，通过正交分解得到空间向量的坐标定义.

难点：类比过程中空间向量基本定理分解的唯一性的证明，与坐标定义中选择单位正交基底的合理性．

二、教学目标设置

依据课程标准，同时基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：

1、通过类比

．．平面向量基本定理理解空间向量基本定理的建立过程，掌握定理的表述形式；

2、理解如何通过反证法，证明分解的唯一性；

3、体会根据具体问题选择基底的重要性，特别是正交分解对于处理向量数量积

．．．

问题的意义

．．所在；

4、掌握空间向量的坐标定义，并能写出给定的空间向量的坐标；

5、体会向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理之间的内在联系，

体会不同维度的向量空间之间的结构异同点，了解高维向量定义的合理性与

必要性，并将本节课所获得的结果，在高维

．．，培养学

．．向量

．．作简单的推广

．．空间

生的类比归纳能力.

三、教学策略分析

鉴于学生已经具有一定的平面向量知识的基础，制定如下教学策略： 1、通过回顾平面向量基本定理，引导学生通过类比得到空间向量基本定理的表示，并证明分解的唯一性；

2、通过具体实例，让学生真实体会单位正交基底与正交分解对于数量积问题的重要性，得出向量的正交分解与坐标表示；

3、完成从二维到三维的类比之后，再引导学生完成一维向量空间的类比，从而让学生体会到不同维度向量空间的结构．．特点上的统一性．．．，并通过简单探究将向量空间进一步推广到高维时的情形，同时将空间向量基本定理作进一步的推广；

四、教学过程

为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下七个环节：

接下来，我将对每一教学环节中涉及的主要问题，教学步骤以及设计意图作

出说明. （一）引入

问题1：如图，已知a ，b 是给定的向量，对于任意的p ，请问p 能用a ，b 表示吗？

【学生活动】学生思考是否能够表示，有学生认为可以，理由是之前学习的平面向量基本定理，还有学生认为不一定，因为p 可能与a ，b 不共面.

【设计意图】本节课的采用通过从平面向量到空间向量的类比．．得到空间向量的相关内容的类比教学策略，因此设置该问题，让学生意识到我们现在不单单是研究平面向量，同时研究空间向量，但容易发现它们之间有类似的地方，因此本节课的目的就是要弄清推广过程中的不同之处，并加以解决.

（二）温故知新，建立定理

问题2：如果a ，b ，p 是共面的，那该怎么表示呢？ 【学生活动】学生提出通过作平行四边形的方法，可以得到

''OP OA OB xOA yOB =+=+,

所以

x y =+p a b .

并回顾了平面向量基本定理的表述：

平面向量基本定理：如果向量a ，b 不共线，那么对于平面中的任一向量p ，存．在唯一．．．

有序实数组{,}x y ，使得x y =+p a b ，其中{a ,}b 称为平面的一组基底. 【教师总结】这个就是我们之前在必修4中所学习的平面向量基本定理，同时我们知道这个分解不但存在．．，而且唯一．．

！ 【设计意图】用这个问题，帮助学生回顾之前所学习的平面向量基本定理，同

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