2014年北京市中学生数学竞赛(初二)

2014年北京市中学生数学竞赛（初二）试题

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.若5=+b a ，则ab b

ab a b b a a 32

2

4

224+++++=（ ） A ．5 B.

253 C. 52 D. 2

5

5 2.已知一个面积为S 且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为A 的小正六边形的顶点. 则

S

A

=（ ） A ．41 B. 3

1

C. 22

D. 23

3.在数29 998，29 999，30 000，30 001中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是（ ）

A ．30 001 B. 30 000 C. 29 999 D. 29 998

4.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数x

y 1

=

在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3

5

12=-x x . 则=∆AOB S （ ）

A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 14132

5.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ） A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008 二、填空题（每小题7分，共35分）

1.在1～10 000的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有 个.

2.

=⨯+++]

2015[]2014[]

2016[]2015[]2014[]2013[ （][x 表示不超过实

数x 的最大整数）.

3.在四边形ABCD 中，已知BC=8，CD=12，AD=10，∠A=∠B=60°.则AB= .

4.已知M 是连续的15个自然数1，2，…，15的最小公倍数.若M 的约数中恰被这15个自然数中的14个数整除，称其为M 的“好数”.则M 的好数有 个.

5.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则

21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -的最大值为 .

三、（10分）已知0)()()(222=-+-+-b a c a c b c b a .证明：a ，b ，c 三个数中至少有两个相等.

四、（15分）在凸四边形ABCD 中，已知∠BAC=30°，∠ADC=150°，且AB=DB.证明：AC 平分∠BCD.

五、（15分）某校对参加数学竞赛的选手的准考证进行编号，最小号为0001，最大号为2014.无论哪名选手站出来统计本校其他所有选手准考证号数的平均值时，发现所得的平均值均为整数.问这所学校参加竞赛的选手最多有多少名？

参考答案

一、选择题（每小题5分，共25分）

5.设2 015个整数为1x ，2x ，…，2015x .记1x +2x +…+2015x =M.不妨设M-i x =i （i =1，2，…，2014），M-2015x =A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A 除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当i x =1008-i （i =1，2，…，2014），2015x =1时取到. 二、填空题（每小题7分，共35分）

4.M=1311753223⨯⨯⨯⨯⨯，则M 的约数中恰能被这15个自然数中的14个整除的有四个，即2M 、3M 、11M 、13

M

. 5.由题意记

S=21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -. 该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如48-+74-+17-+51-+25-+62-+36-+83-=32. 三、由左边进行因式分解得到0))()((=---c a c b b a 即可.

四、提示：作点B 关于AC 的对称点E ，连接AE 、BE 、DE.则△ABE 为正三角形，下面证明E 、D 、C 三点共线即可.可设∠DBE=θ，可得到∠EDA=30°. 五、设该校共有n 名选手参赛，其准考证号依次为

20141121=<<<<=-n n x x x x .

依题意知+∈=--++=

Z n k n x x x x S k

n k ),,2,1(1

21 .

对任意)1(,n j i j i ≤<≤均有+∈--=

-Z n x x S S i j j i 1

.

于是，1-≥-n x x i j .

故2122111)1()()()(-≥-++-+-=----n x x x x x x x x n n n n n

452013)1(12≤⇒=-≤-⇒n x x n n .

由于

1

1

2014--n 为整数，从而，1-n 为2013的约数. 注意到，2013=3×11×61不超过45的最大约数为33.于是，n 的最大值为34，即参赛选手最多有34名.

这样的34名选手的号码是可以实现的.如2014),33,,2,1(323334==-=x i i x i . 因此，该校参加竞赛的选手最多有34名.