2014年北京市中学生数学竞赛(初二)

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恒等证明-第1讲联赛班学生版

①配方法：分项配方：()()()22222212a b c ab bc ca a b b c c a⎡⎤++±±±=±+±+±⎣⎦ 整体配方：()2222222a b c ab bc ca a b c +++++=++②低次代数式的因式分解：常见形式：22ax bxy cy ++、xy ax by ab +++、22ax bxy cy dx ey f +++++等．③常见高次代数式的因式分解：()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---()()()()444222222222a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c ++---=++---+---+ ()()10211201n n n n n n a b a b a b a b a b a b -----=-++++当n 为奇数时有：()()1021321201n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b -----+=+-+--+ ④1a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1n n a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的关系． 222112a a a a ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭、22114a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、 12121111n n n n n n a a a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ⑤根式的化简：有理化分子或分母后比较大小；根号内配方化简；构造等式：x a b =+()()()22222x a x a b a b a b x ax b a ⇒-=+-=-⇒-=-． ⑥大除法与因式定理．第1讲北京市初二数学竞赛专项训练【例 1】已知0abc ≠，且0a b c ++=，则代数式 222a b c bc ca ab++的值是_______． A ．3． B ．2． C ．1． D ．0．【例 2】设a ，b 是不相等的任意正数，又()21b x a +=，()21a y b+=，则这两个数一定（）． A ．都不大于2； B ．都不小于2；C ．至少有1个大于2；D ．至少有1个小于2．【例 3】若22m n =+，22n m =+（m n ≠），则332m mn n -+的值为（）A ．1．B ．0．C ．1-．D ．2-．【例 4】若实数a 满足322331132a a a a a a +-+=--，则1a a+=______．【例 5】设512a -=，则5432322a a a a a a a+---+=-______．板块二：常见题型板块一：选择题常用技巧【例 6】（2004年全国初中数学联合竞赛试题）如果2312a b c ++=，且222a b c ab bc ca ++=++，则23a b c ++的值是（）A ．12B ．14C ．16D ．18．【例 7】 a b c ，，是实数．若2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-之和恰等于1，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为1-．【例 8】已知非零实数a b c ，，满足0a b c ++=，求证：9a b b c c a c a b ca b a b b c c a ---⎛⎫⎛⎫++++= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭．习题 1．若01a <<，则()22111211a a a a ⎛⎫+-÷+⨯ ⎪+⎝⎭可以化简成（）A ．11a a -+B ．11a a -+C ．21a -D ．21a +习题 2．若21310x x -+=，则44x x --的个位数字是（）A ．1B ．3C ．5D ．7习题 3．（2007年北京市中学生数学竞赛）化简：1111111111111111a b a c a b d a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111111a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=______．习题 4．已知443253x <<+-，那么满足上述不等式的整数x 的个数是（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7习题 5．实数a 、b 满足1ab =，记1111M a b =+++，11a b N a b=+++，则M 与N 的关系是：（） A ．M N > B ．M N = C ．M N < D ．不确定习题 6．当119942x +=时，多项式()20013419971994x x --的值为＿＿＿． A ．1 B ．1- C ．20012 D ．20012-小镜子的妙用有一天，一位以研究反射变换而闻名世界的德国代数学家在桌面上用几根火柴棒搭出了两个不平凡的“等式”：接着，这位教授笑眯眯地对身旁的青年实验员说：“小伙子，看到这两个式子了吗?它们显然是不成立的。

2014年北京市中学生数学竞赛(初二)

2014年北京市中学生数学竞赛（初二）试题一、选择题（每小题5分，共25分）1.若5=+b a ，则ab b ab a b b a a 3224224+++++=（） A ．5 B. 253 C. 52 D. 255 2.已知一个面积为S 且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为A 的小正六边形的顶点. 则S A =（） A ．41 B. 31 C. 22 D. 23 3.在数29 998，29 999，30 000，30 001中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是（）A ．30 001 B. 30 000 C. 29 999 D. 29 9984.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数x y 1=在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3512=-x x . 则=∆AOB S （） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 14132 5.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（）A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008二、填空题（每小题7分，共35分）1.在1～10 000的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有个.2.=⨯+++]2015[]2014[]2016[]2015[]2014[]2013[ （][x 表示不超过实数x 的最大整数）.3.在四边形ABCD 中，已知BC=8，CD=12，AD=10，∠A=∠B=60°.则AB= .4.已知M 是连续的15个自然数1，2，…，15的最小公倍数.若M 的约数中恰被这15个自然数中的14个数整除，称其为M 的“好数”.则M 的好数有个.5.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -的最大值为 .三、（10分）已知0)()()(222=-+-+-b a c a c b c b a .证明：a ，b ，c 三个数中至少有两个相等.四、（15分）在凸四边形ABCD 中，已知∠BAC=30°，∠ADC=150°，且AB=DB.证明：AC 平分∠BCD.五、（15分）某校对参加数学竞赛的选手的准考证进行编号，最小号为0001，最大号为2014.无论哪名选手站出来统计本校其他所有选手准考证号数的平均值时，发现所得的平均值均为整数.问这所学校参加竞赛的选手最多有多少名？参考答案一、选择题（每小题5分，共25分）5.设2 015个整数为1x ，2x ，…，2015x .记1x +2x +…+2015x =M.不妨设M-i x =i （i =1，2，…，2014），M-2015x =A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A 除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当i x =1008-i （i =1，2，…，2014），2015x =1时取到.二、填空题（每小题7分，共35分）4.M=1311753223⨯⨯⨯⨯⨯，则M 的约数中恰能被这15个自然数中的14个整除的有四个，即2M 、3M 、11M 、13M . 5.由题意记S=21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -. 该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如48-+74-+17-+51-+25-+62-+36-+83-=32.三、由左边进行因式分解得到0))()((=---c a c b b a 即可.四、提示：作点B 关于AC 的对称点E ，连接AE 、BE 、DE.则△ABE 为正三角形，下面证明E 、D 、C 三点共线即可.可设∠DBE=θ，可得到∠EDA=30°.五、设该校共有n 名选手参赛，其准考证号依次为20141121=<<<<=-n n x x x x . 依题意知+∈=--++=Z n k n x x x x S k n k ),,2,1(121 . 对任意)1(,n j i j i ≤<≤均有+∈--=-Z n x x S S ij j i 1. 于是，1-≥-n x x i j .故2122111)1()()()(-≥-++-+-=----n x x x x x x x x n n n n n 452013)1(12≤⇒=-≤-⇒n x x n n . 由于112014--n 为整数，从而，1-n 为2013的约数. 注意到，2013=3×11×61不超过45的最大约数为33.于是，n 的最大值为34，即参赛选手最多有34名.这样的34名选手的号码是可以实现的.如2014),33,,2,1(323334==-=x i i x i . 因此，该校参加竞赛的选手最多有34名.。

因式分解在初中数学竞赛中的应用_王盛裕

因为 a ! 均为正整数 ,所以 ,不妨设 a < 友 b 解得
(a ,6 ,e ) 二 ,解 ,2 ) , (8 ,15 ,17 ) , (9 ,12 , 15 ). (7 5
4.振石丽万 + 沁" 1 一 4涯的是值
(20 9 , 北京市中学生数学竞赛复赛 (高 0
一)) 提示 :参见本刊 20 r 年第 5 期. o
的多项式因式分解问题 , 通常采用选择主元
n (n + l ) (n + 2 ) (n + 3 ) + l = (n, + 3 n ) (n , + 3n + 2 ) + l
二(n, + 3 n )2 + 2 (n, + 3n ) + l = ( n, + 3n + l ) .. 所以 ,k = 3 .
(20 0 , 我爱数学初中生夏令营数学竞 1
赛)
= 分析 >给出的条件等式与求值代数式
结构一致 , 根据已知条件等式又无法确定 a !
条件和所求代数式的整体结构的分析后得到
的正确判断 , 是解题经验的积累和试验的结果.
4 解方程 (组 ) 例5 求方程
二(a 一 ) (ab + be + ea ) = O # b 又 a 护b , 则 ab + 6e + ea = O #
故 " (a + 6 ) 一6, ( "+ " , ) = ( "一b ) (a6 + be + ea ) = 0 # 因此 , "(a + 6) = 6, (a + " = 2 0 10 . , ) 例4 设实数 x ! ! 同时满足 y :

八年级数学(竞赛)因式分解

第一讲分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) (上海市竞赛题)思路点拨原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；(2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多项式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学历训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为．5．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)6．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 7．分解因式:（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．8．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．9．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．10．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x11．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定12．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-．利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+第二讲分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。

2018年北京市中学生数学竞赛初二年级获奖名单

2018年北京市中学生数学竞赛初二年级获奖名单一等奖（94名）姓名学校年级姓名学校年级唐锦琪人大附中初一樊骏一人大附中初一袁浩然人大附中初二杨丽鸿清华附中初二陈竞帆人大附中初二段睿思清华附中初二关乃粼人大附中早六宋知轩清华附中初一张世奇人大附中初二沈芸伍清华附中初二张世潇北师大实验中学初一许易清华附中初二赵亦阳十一学校初二张一锐清华附中初二王浩霖人大附中初一潘宇锐北京一零一中初二廖昱博人大附中初一陈昕宇北京一零一中初二李永一人大附中初一李昊轩人大附中初一王原北大附中初二苗硕人大附中初二邹听雨十一学校初一黄安辀人大附中初一张书豪十一学校初二梁恒睿人大附中分校初一黄亦骐人大附中早六王俣涵北大附中初二宋嘉玺人大附中初二武正坤人大附中初一胡殊闻人大附中早六卢远人大附中初一王誉墨北师大实验中学初二谢昊霖人大附中初一贾博暄人大附中初二黄鹤鸣人大附中初一黄子萌北师大实验中学初二曲兆轩牛栏山一中实验学校初二张涵之人大附中初二阮宗泽人大附中初一陈嘉雪人大附中初二王慕涵人大附中初二徐健十一学校初一许睿泽北师大实验中学初二徐文昕人大附中初一许远航北京一零一中初二周亚琪清华附中初二刘若易北师大实验中学初二肖子健清华附中初一李海峰清华附中初一孙胤博人大附中初一许子涵人大附中初一王小龙人大附中早六朱祎然北京二中分校初二陈吉轲人大附中初二张元之清华附中初二李思学北大附中初二郭逸远北京一零一中初一廖原北京五中分校初二吴迪北师大实验中学初二王默涵清华附中初一钟沐阳人大附中初二刘星彤清华附中初二陈宇轩人大附中早六张皓翔北京一零一中初一蓝漩十一学校初二张章北京一零一中初二邓宇晨人大附中初一修时雨人大附中初二邓怡馨人大附中初一游天宇人大附中初一刘馨阳人大附中初一孙晓森清华附中初二吕博涵清华附中初二刘睿韬清华附中初一高子昂清华附中初一邹岳桐人大附中初二虞明达清华附中初一何翰韬十一学校初一李祖豫人大附中早六徐烨堃十一学校初二王中天人大附中初二张翔宇人大附中初二左泽成北师大实验中学初二张皓天北师大实验中学初一吴紫菱北师大实验中学初二张远洋人大附中初一罗天择人大附中初二高梓博人大附中初二卢天戈北大附中初二陈坤宁人大附中初二范唯楚清华附中初一张庭语人大附中初一付紫成人大附中初一二等奖（144名）姓名学校年级姓名学校年级范天舒人大附中初二齐锴人大附中初一张家铭人大附中初二李安之北京二中分校初二蔡振浩人大附中初二肖翊宸人大附中初一王凤怡人大附中初二袁籁人大附中初一孟博彰人大附中初一张泰然人大附中初一晁一沣人大附中初二彦昕人大附中初一王培阳清华附中初一孙嘉鸿人大附中初一毛嘉琛人大附中初一郭尉含章人大附中初二刘一铭清华附中初一栗选丞人大附中早六陈胤彤清华附中初二葛皓天人大附中初一李汝诚清华附中初二董亦麟人大附中初二曾广宇清华附中初二查益清华附中初二曹硕清华附中六年顾芸萌北师大实验中学初二张邵博清华附中初一丛诗雨北京一零一中初二张智清人大附中初二于天润北京一零一中初二王梓畅人大附中初一王梓翔人大附中初一杨昊源北京一零一中初二刘俊宏人大附中初一李宗润北师大实验中学初二洪维清华附中初一张一博北师大实验中学初二蒋辰昊人大附中初一刘以诺清华附中初二高慈欣北京一零一中初二吴梦晗清华附中初二董昀翱人大附中初一刘嫁新清华附中初二张天意北师大实验中学初二孙嘉阳清华附中初一翟凌飞人大附中早六夏海闻北师大实验中学初一朱泽睿人大附中初二陈宇奇人大附中初一周以端十一学校初二董天诺人大附中初二张煦恒人大附中初一吴飞扬人大附中初二李易铭人大附中初一段文博人大附中初二李飞跃十一学校初二郑元彬人大附中初二王羽健十一学校初二夏一桐人大附中初一斯文人大附中初二苗可明人大附中初一吴奕涵人大附中初一钱海天人大附中初一赵宸宇北京二中分校初二陆雪松人大附中初二李佳俊清华附中初二肖旭磊十一学校初一陈彦旭清华附中初二李春进人大附中早六王子兮清华附中初二乔铎北京亦庄实验中学初二李子豪清华附中初一郭俊游人大附中早六常三思人大附中初一黄俊维人大附中早六吕逍依人大附中初一王雨晗十一学校初二王镜廷人大附中早六龙韬智十一学校初二祝世博十一学校初二吴青阳人大附中初二陆洲锋北京二中分校初二龚云锋牛栏山一中实验学校初二黄兆屹人大附中分校初二方郑琦牛栏山一中实验学校初二张广源清华附中初一徐定坤人大附中初二刘一晨北京一零一中初二周蔚然人大附中初二张致远北京二中分校初二崔焱扬北京二中分校初二陈炫东北大附中初二张逸轩北大附中初一赵泽昕人大附中分校初二陈灵钧北京五中分校初二肖惠文清华附中六年黎丹宇北大附中初二张殊赫北京一零一中初二申君皓清华附中初二李依桐北京一零一中初二赵培源清华附中初二汪远北京一零一中初二韩羽霄清华附中初二姚亦嵩北京一零一中初二关清元人大附中初一李思颖北京一零一中初二余凌越清华附中初二李奕含北师大实验中学初二卞皓晨北师大实验中学初二吕彦荣北师大实验中学初二陈霁芸人大附中早六田昊霖人大附中初一耳昶玮人大附中初二孟晙阳北京二中分校初二王子初北京二中分校初二刘语玹人大附中初二刘任达北京四中初二郭晟毓十一学校初二申奕坤人大附中初二徐皓天人大附中初二马迹昀十一学校初一胡晓君人大附中初二阮家琪人大附中初一张子睿人大附中分校初一王子鸣人大附中初一徐金人大附中初二吴雨轩人大附中初二王子涵人大附中早六李铭泽清华附中初一陈智谦人大附中初二徐启鑫清华附中初一董雪瑞北大附中初二郑睿阳清华附中初二杨子谦北京五中分校初二杨舒涵清华附中初二付浩辰十一学校初二刘语涵清华附中初一赵柯人大附中初一荆明健清华附中初二蒋穆清人大附中初一李浩明北师大实验中学初一许景粟人大附中初一张涵钰清华附中初一郑睿阳清华附中初二三等奖（123名）姓名学校年级姓名学校年级刘相卿清华附中初二赵天珺十一学校-初二杜胤臻清华附中初二杨成科人大附中初一钱铭阳清华附中初二李卓言北京五中分校初二张文健清华附中初二李天圣北大附中初一陈楚瑜清华附中初二陈桢懿北大附中初二董予人大附中初一陈灿首师大附中初二赵一辰北师大实验中学初二张逸扬北京二中分校初二陈誉霄人大附中初二蔡泊屹北大附中初一周子昂人大附中初二马昊宇十一学校初二张雪桢北京二中分校初二苗瀚文人大附中初一王帅烨人大附中早六鲍俊辰清华附中初二张冰喆人大附中初一张宁远清华附中初二王泽尘人大附中初二张天翼清华附中初二田笑冰北京五中分校初二贺家琦北师大实验中学初一李昀濠清华附中初一张雨桐北京一零一中初二李金宸清华附中初一余瑶北师大实验中学初二孙一文清华附中初一张杰辰北京一零一中初二陆宜行十一学校初二杨谨毓北京一零一中初一周雪阳清华附中初一梁毓北师大实验中学初二孙家瑞人大附中初二杨博涵北师大实验中学初二李一申北京五中分校初二诸晨岳清华附中初二韩沛瑾人大附中初一郭馨锴清华附中初二康恺文牛栏山实验中学初二王一飞清华附中初二梁宸菲牛栏山实验中学初二关澜清华附中初二张喆人大附中初二宋清岳清华附中初二李诗均北大附中初一许赫男清华附中初一杜恒奕北京二中分校初二杨凡楷清华附中初二卢思翰人大附中早六吕桉驰清华附中初二杨紫雄人大附中初二汪佳萱北师大实验中学初二朱炯亦首师大附中初一李子闻北师大实验中学初一匡天一北京二中分校初二杨润欣北师大实验中学初一王彦翔北京四中初二刘孟歆北师大实验中学初一石家霖人大附中初二徐鼎新人大附中分校初一徐隽镕人大附中早六姬奕晨北京一零一中初二罗嘉祺北京一零一中初二高飞人大附中初二张亦鑫人大附中初一张沁月北大附中初二汪宁北京二中分校初二贾天歌人大附中初一王雨桉北京四中初二吴道宁人大附中初一张童开首师大附中初二李思海人大附中初一丁牧云北京市第十二中学初二魏梦萱人大附中初一刘涵柞人大附中初二邢琬瑜人大附中早六高欢瑜人大附中早六方大容人大附中初一何思远清华附中初二陈瑞泽首师大附中初一任墨也人大附中初二郑文博首师大附中初二王禹腾清华附中初二里正阳北京四中初二陈禹铭清华附中初二何阳松人大附中初二侯博文十一学校初一许昊翔人大附中早六东紫昭十一学校初二丁天岚人大附中初一王润山十一学校初一王泽芃北京四中初二隋远昊十一学校初一陈子璐北京一零一中初二史洪毓人大附中初一高江山清华附中初二杨佳营北京五中分校初二纪明悦清华附中初二迟嘉会北京五中分校初二李熙民北师大实验中学初二张语轩人大附中初二战治成师达中学初二王众一人大附中初二张斗和人大附中初二温雪岭人大附中初二王心睿人大附中初二刘羿镝人大附中初二孟繁钰人大附中初二张皓翔人大附中初二张婧婷十一学校初一刘俊扬人大附中初一闫岳霖牛栏山一中实验学校初二张戈飞人大附中早六张天艺牛栏山一中实验学校初二侯梓超人大附中初二杨卓然首师大附中初二陈含哲北京一零一中初二。

2014年全国初中数学联合竞赛(初二组)初赛试题参考答案及评分标准

2014年全国初中数学联合竞赛（初二组）初赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、C2、B3、B4、D5、D6、C二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、41n -2、43、14、3三、（本大题满分20分）解不等式13|2|-<-x x解：（1）当2<x 时，不等式化为132-<-x x ，解此不等式得43>x 故此时243<<x ；（10分）（2）当2≥x 时，不等式化为132-<-x x ，解此不等式得21->x 故此时2≥x ．（15分）综上所述，不等式的解为：34x >．（20分）四、（本大题满分25分）如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，DE BC ⊥于E .若3,5DE BD ==，求梯形ABCD 的面积．解：在直角△BDE 中，由勾股定理有：422=-=DE BD BE ；（5分）过D 作AC 的平行线交BC 的延长线于F ，连接DF 、CF ，则ACFD 是平行四边形，故CF =AD ，DF AC BD ==，所以DE 是等腰△DBF 底边上的高，故28BF BE ==（15分）所以1221)(21=⋅=+=DE BF DE AD BC S ABCD （25分）．五、（本大题满分25分）已知正整数a 、b 满足332)(b a b a +=+，试求a 、b 的值．解：由已知得b a b ab a +=+-22，（5分）则2)1()1()(222=-+-+-b a b a ．（10分）因为a 、b 均为正整数，故01≥-a ，01≥-b ，（1）当a=b 时，1)1()1(22=-=-b a ，即a =b=2；（15分）（2）当a b ≠时，2()1a b -=，从而2(1)1a -=且2(1)0b -=；或者2(1)0a -=且2(1)1b -=；所以，2,1a b ==，或者1,2a b ==．（20分）综上所述，所求,a b 的值是：2a b ==；或者1,2a b ==；或者2,1a b ==．（25分）。

北京市初二数学竞赛学生版

【题 8】某单位发年终奖 100 万元，其中一等奖每人 1.5 万元，二等奖每人 1 万元，三等奖每人 0.5 万元，如果三等奖与一等奖人数之差不少于 93 人，但小于 96 人，求该单位获奖的总人数为____________．
【题 9】△ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，高线 AD 与 BE 相交于 H，若 AB=1，求四边形 CDHE 的面积_________．
x
一点，则 OP 的最小值是（）
A.1
B. 2
C. 3
D.2
O
B M
Ax
【题 4】已知 a 555555 ，则 a 除以 84 所得余数是（）
2016个5
A.0
B.21
C.42
D.63
【题 5】一张三角形纸片的长为 1 的边仅与一个边长为 1 的正 12 边形纸片的一条边重合，平放在桌面上，则所得到的凸多边形的边数一定不是（）
A.11
B.12
C.13
D.14
【题 6】已知 24 t2 8 t2 2 ，求 24 t2 8 t2 的值为_______．
【题 7】正数 a，b，c 使得等式 a2 a 1 b2 b 1 c2 c 1 a a 1 bb 1 c c 1 成立，试确定
1956a2 1986b2 2016c2 的值为________．
A C1 C2
B2 B1
B A1 A2 C
【题 13】一个自然数 n 若能表示为若干个正整数的和，且这些正整数的倒数和也恰等于 1，则称 n 为“金猴数”，比如 2 4 8 8 22 且 1 1 1 1 1 ，22 就是一个“金猴数” 2488
（1）证明：11 与 28 是两个“金猴数”；（2）证明：如果 n 是“金猴数”，则 2n 2 、 2n 9 也是“金猴数”；（3）请你判定：2016 也是“金猴数”．

【精品】2014北京市初二数学竞赛获奖名单

2014年北京市中学生数学竞赛初二年级获奖名单一等奖（76名）姓名性别年级学校姓名性别年级学校王天睿男初二北京一零一中黄镇男初二十一学校张有辰男初一北师大实验中学张嘉宸男初二十一学校杨煦男初一北师大实验中学胡家祺男初二十一学校丘铱可男初二清华附中刘明钰女初二北师大实验中学李良辰男初二北京四中叶乃萌女初二清华附中毛宇翔男初二北师大实验中学于天韵女初二北大附中孔宇哲男初二北师大实验中学姚有恒男初二北京二中杨子琪女初一北师大实验中学刘石雨男初二北京四中刘辰飞男初二清华附中陈浩天男初二北京四中陈奕洋男初二人大附中袁景昭男初二北京四中高怿男初二十一学校张睿齐男初二北京五中分校樊潇宇男初一北师大实验中学饶腾铂男初二北京一零一中陈远洲男初一北师大实验中学赵一泽男初一北京一零一中朱辰澎男初二清华附中邓育豪男初二北师大实验中学徐易男初二清华附中王天玮女初二北师大实验中学方政清男初二清华附中陈通男初二北师大实验中学曾若凡男初二人大附中顾弘毅男初一北师大实验中学荆诚男初一十一学校苗中博男初一北师大实验中学康雨璇女初二北京十二中赵福民男初一北师大实验中学宋在男初二北师大实验中学蒲舒桐男初二清华附中顾博森男初二北师大实验中学柯王雨沁女初二清华附中杨思远女初一北师大实验中学魏宇辰男初二清华附中赵嘉瑞男初一北师大实验中学王妍女初二清华附属实验学校易睿哲女初一北师大实验中学郭承钰男初二人大附中崔博伦男初二人大附中郝仪宸男初二人大附中姜正一男初二人大附中熊宇轩男初二人大附中于惠施女初二人大附中项京东男初一人大附中王子明男初二北师大实验中学陈天杨男早七人大附中刘祎钒男初二北师大实验中学徐家兴男初二十一学校陈瑛新男初二北师大实验中学张凯勃男初二十一学校李博文男初一北师大实验中学李子恒男初二北师大实验中学杨秉衡男初一北师大实验中学丁汐昂男初二北师大实验中学曹瀚哲男初一北师大实验中学郭思成男初二北师大实验中学周勋仪女初二海淀实验中学佟美仪女初一北师大实验中学周梦熊男初二清华附中李春一男初一北师大实验中学徐嘉晨男初二人大附中曹策男初二北京五中分校仇傲男早七人大附中李源昊男初二人大附中张潜男初二三帆中学廉瑞峰男初二十一学校二等奖（111名）姓名性别年级学校姓名性别年级学校徐奕飞男初二北师大实验中学姚锦文男早六清华附中朱从榕男初一北师大实验中学曹紫昱女初二人大附中何宇琦男初二北师大实验中学李芸鹏男初二人大附中张麒男初二北师大实验中学陈起渊男早七人大附中刘艾女初一北师大实验中学吕挹清男早七人大附中马嘉旭男初二清华附中孙方圆男初二上地实验学校严子昂男初二人大附中刘孟臻男初二十一学校应润凯男初二北京一零一中王乐桐女初二首师大附中李经纬男初二北师大实验中学王宇洋恒男初二北京五中分校赵玥女初二北师大实验中学王子惠女初二十一学校李元鹏男初二北师大实验中学向李圆女初二北京一零一中沈孟京男初二北师大实验中学田隆凌男初二北师大实验中学汤恺宸男初一北师大实验中学雷原正男初二北师大实验中学田清磊男初二清华附中徐浩轩男初一北师大实验中学李汉唐男初二人大附中李天琦男初一景山学校周天翔男初二人大附中元晨晔男初二清华附中嵇晨希男初二人大附中黄思男初一清华附中闫子垚男早六人大附中安澜女初二人大附中段易非男初二三帆中学尚壮飞男初二人大附中陈子杰男初二三帆中学李逸涵男初二人大附中孙彻然女初二北大附中石雨哲男早七人大附中祁雅欣女初二北京四中胡小龙男早七人大附中赵昕瞳男初二北京四中赵博雨男初二北京八中邹永基男初二北京四中石宇豪男初二北京十二中陈楚洋男初二北京一零一中关文妍女早八人大附中薛司旸男初二北师大实验中学伍颉男初二北大附中韩百洋女初二北师大实验中学苏晴女初二北京十二中刘锐枫男初二北师大实验中学徐子昂男初一北京四中蒋宇初男初二北师大实验中学刘泓杉女初二北京五中分校朱玥华女初二北师大实验中学宗佳铭男初二北京一零一中孙孚嘉女初一北师大实验中学张弋丰男初二北京一零一中李思炀男初一北师大实验中学陈赫男初二北师大实验中学龙象男初一北师大实验中学孙博扬男初二北师大实验中学刘若怡女初一北师大实验中学王紫晨女初二北师大实验中学尹畅男初二景山学校陈朗女初二北师大实验中学王嘉伟女初二清华附中邢适之男初二北师大实验中学武钰淞男初二清华附中李西可女初一北师大实验中学宋子萌男初一清华附中吴寒羽男初一北师大实验中学谷泓毅男初一北师大实验中学程润腾男初二北师大实验中学辛雨晨男初二景山学校周世元男初二北师大实验中学张亦弛男初二清华附中田艺洵女初一北师大实验中学邱远男初一清华附中漆沛羽男初一北师大实验中学王衍之男初二人大附中谢瀚锋男初一北师大实验中学徐昕男初一人大附中印嘉驹男初二北京五中分校杨诚远男早六人大附中蔡天秦男初二北京五中分校林清源男初二十一学校钮滉男初二清华附中马昕桐女初二十一学校李翔龙男初二人大附中刘宇阳男初二十一学校殷文喆男初二人大附中崔子昂男初一十一学校胡煜彬男初一人大附中杨子江男初二北京一零一中张博然男初一人大附中甘晓露女初二北大附中姜岚曦男初一人大附中张以曦女初一北大附中张弛男早七人大附中李心怡女初二北京四中王晓鸥男初二三帆中学何蔚赞男初二北京四中王筱雯女初二上地实验学校张誉泷男初二北京一零一中王一辰男初二十一学校乐阳男初二北京一零一中三等奖（112名）姓名性别年级学校姓名性别年级学校刘昱婷女初二北大附中李冉昕男初二北师大实验中学高嘉成男初二北大附中曹浩轩男初二首师大附中孙毅男初二北京十二中胡亦洋女初二北京八中周显昊男初一北京四中马瀚洋男初二北京十二中方泽栋男初二北京一零一中冯湛女初二北京十二中王昊宇男初二北京一零一中邱杨嘉昱男初二北京四中王煦彤男初二北京一零一中兰纯熙男初二北京五中分校李浩云女初二北师大实验中学朱泽清男初二北师大实验中学齐嘉容女初二北师大实验中学白浩辰男初二北师大实验中学吴浩哲男初二北师大实验中学赵瀚之男初二北师大实验中学缴婧然女初二景山学校陈纪源男初一北师大实验中学梁馨为男初二景山学校杨东林男初一北师大实验中学李子昂男初二清华附中朱翊豪男初二清华附中王卓峣男初二人大附中唐颂男初二清华附属实验学校魏澜男初一人大附中李欣然女初二人大附中牛山水男早七人大附中徐宁男初二人大附中李辰飞女初二三帆中学荣星睿男早六人大附中田雅琦女初二十一学校艾文斯男早七人大附中徐子楷男初二十一学校邹寒凝男初二北京五中分校周昊泽男初二首师大附中屠俊天男初二北京五中分校祝一帆女初二北大附中王诗玥女初二北京五中分校张靖楠女初二北京八中金梓乔男初二北京五中分校阮思瑞男初二北京四中吴孟旌男初二北京五中分校袁慧华女初二北师大实验中学高国荃男初一北京五中分校崔达铭男初二北师大实验中学陆佳纬女初二北京一零一中朱铮男初二北师大实验中学张逸康男初二北京一零一中包逸博男初一北师大实验中学闫洁女初一北京一零一中张雪琪女初一景山学校汤博文男初二北师大实验中学刘子昂男初二清华附中王若晴女初二北师大实验中学凌紫舒男初二清华附中朱子健男初一北师大实验中学张志龙男初二人大附中屈文杰男初一北师大实验中学巩煜聪男初二十一学校崔轶锴男初一北师大实验中学樊洛卿女初一十一学校庾湫镆男初二景山学校郑乔男初二北师大实验中学牛润萱女初二景山学校张可欣女初一北师大实验中学郭帅男初二清华附中伊慧澄女初二人大附中谢屯洋男初二清华附中戴天翔男初二人大附中宁宇鸿男初二清华附中姚雅楠女初二北大附中徐浩川男初二清华附中孙逸男初一北京四中杜佳霖男初二清华附中潘乐延男初二北京一零一中张旭东男初一清华附中祁晟男初二景山学校郭涛鸣男初二人大附中陈诺男初二清华附中张彦哲男初二人大附中狄杰齐男初二首师大附中齐治平男初二人大附中王佳漪女初二北大附中张宇琪男初二人大附中刘晨男初一北大附中陈方辰男初二人大附中陈瑞麒女初二北京八中宛乐天男初二人大附中邓匡甫男初一北京八中褚子恒男初一人大附中汪泽西男初二北京二十中陈宇可女早七人大附中吕赛彤女初二北京十二中郑北辰女初二十一学校邹懿麟男初二北京四中计智怡女初二十一学校杨佳明男初二北京四中梁俊康男初二十一学校金梓博男初二北京四中郑皓天男初一十一学校杨天祎女初二北京四中蒋沛君男初一十一学校何佳昕男初二北京四中徐炜男初二首师大附中胡嘉铭女初一北京四中马瑞聪女初二首师大附中刘铭超男初二北京五中分校陈诗雨女初二北京五中分校。

北京市中学生数学竞赛初二年级获奖名单

初中数学竞赛专题6：因式分解

专题6：因式分解第1讲因式分解赛题练习一、选择题1．（第17届希望杯竞赛题）若22222006200620072007m =+⨯+，则m （） A ．是完全平方数，还是奇数 B ．是完全平方数，还是偶数 C ．不是完全平方数，但是奇数D ．不是完全平方数，但是偶数2．（第17届希望杯竞赛题）There is a two-placed number 10ab a b =+satisfying that ab ba + is a complete square number ，then total number of those like ab is （） A ．4B ．6C ．8D ．10（英汉词典：two-placed number 两位数；number 数；to satisfy 满足；complete square 完全平方（数）；total 总的，总数）3．（2005年全国初中数学竞赛题）若223894613M x xy y x y =-+-++（x ，y 是实数），则M 的值一定是（） A ．正数B ．负数C ．零D ．整数4.（北京市竞赛题）44a +分解因式的结果是（） A.()()222222a a a a +--+ B.()()222222a a a a +--- C.()()222222a a a a ++--D.()()222222a a a a ++-+5.（2006年希望杯竞赛题）实数320052005m =-，下列各数中不能整除m 的是（） A.2006B.2005C.2004D.20036.（2005年武汉市竞赛题）若3234x kx -+被31x -除后余3，则k 的值为（） A.2B.4C.9D.107.（第13届希望杯竞赛题）已知a b c >>，222M a b b c c a =++，222N ab bc ca =++，则M 与N 的大小关系是（） A.M N <B.M N >C.M N =D.不能确定8.（美国犹他州竞赛题）322136x x x +-+的因式是（） A.21x - B.2x + C.3x -D.21x +E.21x +9.（2005年全国初中数学竞赛题）若22389M x xy y =-+-4613x y ++（x 、y 是实数），则M 的值一定是（） A.正数B.负数C.零D.整数10.（武汉市竞赛题）如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（） A.7 B.8C.15D.21二、填空题11．（第7届五羊杯竞赛题）把()()()()16a b c d b c a d c a b d a b c d abcd ++++--+--+--+因式分解为________．12．（第18届五羊杯竞赛题）在实数范围内分解因式：432344x x x x +---=________． 13．（第18届五羊杯竞赛题）分解因式：2226773x xy y x y --+++=________．14．（2004年全国初中数学竞赛题）已知实数a ，b ，x ，y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=________．15．（2007年全国初中数学联赛题）若10064a +和20164a +均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是________．16.（北京市竞赛题）已知222246140x y z x y z ++-+-+=，则2002()x y z --=__________. 17.（2004年广西竞赛题）已知()22210x y x y +--+=，则()999x y +=__________.18.（北京市竞赛题）1~100若存在整数n ，使2x x n +-能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有____________个.19.（郑州市竞赛题）分解因式：22423a b a b -+++=_______________________________________. 20.（2004年河南省竞赛题）分解因式：229643x x y y --+-=_______________________________. 21.（第16届希望杯竞赛题）分解因式：()()221ab a b a b +-++=_____________________________. 22.（2004年全国初中数学竞赛题）已知实数a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=___________________.23.（第15届江苏省竞赛题）已知26x x +-是多项式43221x x ax bx a b +-+++-的因式，则a =___________，b =___________.24.（第18届五羊杯竞赛题）在实数范围内分解因式：432344x x x x +---=___________. 25.（大连市第8届育英杯竞赛题）分解因式：()()112x x y y xy -++-=____________. 三、解答题26．（1991年黄冈初中数学竞赛题）已知a 是自然数，且3221215a a a +-+表示质数，求这个质数．27．（1999年天津市数学竞赛题）当k 为何值时，多项式222352x xy ky x y -++-+能分解成两个一次因式的积？28．（第9届华杯赛总决赛题）计算；()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++．29．（第10届希望杯竞赛题）272-1能被500与600之间的若干整数整除，请找出三个这样的整数，它们是________．30．（第10届希望杯竞赛题）若233x x x k +-+有一个因式是x +1，求k 的值．31．（第6届希望杯竞赛题）计算：2211100.010.01101001000⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．32．（第9届五羊杯竞赛题）当n =1，x =2时，求多项式51n n x x ++的两个因式的和．33．（2000年美国犹他州中学数学竞赛题）如果328x ax bx +++有两个因式x +1和x +2，求a +b 的值．34．（第5届美国数学邀请赛试题）计算：()()()()()()()()()()44444444441032422324343244632458324432416324283244032452324++++++++++．35．（第37届美国中学生数学竞赛题）设543269569106910695691N =+⨯+⨯+⨯+⨯+．问：有多少个正整数是N 的因数？36．（第9届莫斯科奥林匹克试题）证明：对任何整数x 和y ，343223453515412x x y x y x y xy y +--++的值都不会等于33．37．（第37届美国中学生数学竞赛题）已知b ，c 是整数，二次三项式2x bx c ++既是42625x x ++的一个因式，也是4234285x x x +++的一个因式，求当x =1时，2x bx c ++的值．38.（祖冲之杯竞赛题）分解因式：32539x x x ++-.39.（北京市竞赛题）证明恒等式：()244422()2a b a b a ab b +++=++.40.（江苏省竞赛题）已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，求22x y +的值.41.（希望杯竞赛题）分解因式：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-.42.（第12届五羊杯竞赛题）分解因式：()()42424310x x x x +-+++.43（2006年希望杯培训题）计算：32322007220072005200720072008-⨯-+-.44.（太原市竞赛题）已知关于x 、y 的二次式22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式的乘积，求a 的值.45.（2005年莫斯科市竞赛题）对方程22222004a b a b ++=，求出至少一组整数解.46.（2006年创新杯培训题）已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，求n .47.（2006年全国初中数学竞赛题）计算 (252)(472)(692)(8112)(200420072)(142)(362)(582)(7102)(200320062)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+48.计算：（1）（第15届希望杯竞赛题）2220034004200320024008200320042003300520032003200520053005-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯；（2）（第九届华杯赛竞赛题）()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++49.分解因式：（1）4464a b +；（2）4224x x y y ++；（3）()2222(1)x x x x ++++；（4）（昆明市竞赛题）()()()24c a b c a b ----；（5）（第15届希望杯竞赛题）432234232a a b a b ab b ++++；（6）（重庆市竞赛题）32256x x x +--.50.（重庆市竞赛题）分解因式：（1）224443x x y y --+-；（2）343115x x -+.问题解决例1.分解因式：()()()3332332125x y x y x y -+---=______. 例2.把下列各式分解因式：（1）()()22525312x x x x ++++-；（2）()()()()21236x x x x x +++++；（3）()()()()211x y x y xy xy xy +++++-.例3.阅读理解：观察下列因式分解的过程：（1）244x xy x y -+-原式()()()()()()24444x xy x y x x y x y x y x =-+-=-+-=-+. （2）2222a b c bc --+原式()()()()222222a b c bc a b c a b c a b c =-+-=--=+--+.第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式.仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：（1）2a ab ac bc -+-；（2）22244x y z yz --+.例4.分解因式：326116x x x +++.例5.把下列各式分解因式：（1）261110y y --；（2）22823x xy y --.数学冲浪知识技能广场1.分解因式：（1）()()22162x x x ---=______；（2）()()4a b a b ab --+=______；（3）276ax ax a -+=______. 2.分解因式：（1）3222a ab a b +-=______；（2）()()21211x x ---+=______；（3）2221a ab b -+-=______；（4）2244x y x --+=______. 3.分解因式：（1）323412x x x +--=______；（2）()()2223238x xx x +-+-=______.4.若()()23x x m x x n ++=-+对x 恒成立，则n =______.5.把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（）. A.()34xy x y x --B.()22x x y --C.()2244x xy y x --D.()2244x xy y x --++6．()()()()()()656565323322134x x x x x x x xx +-+++-+++-与下列哪一个式子相同（）.A.()()653421x x x -+ B.()()653423x x x -+ C.()()653421x x x --+D.()()653423x x x --+7．把多项式22243x y x y ----因式分解之后，正确的结果是（） A.()()31x y x y ++-- B.()()13x y x y +--+ C.()()31x y x y +--+D.()()13x y x y ++--8．已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（） A.3个B.4个C.6个D.8个9．先阅读以下材料，然后解答问题.分解因式：()()()()mx nx my ny mx nx my ny x m n y m n +++=+++=+++=()()m n x y ++；也可以()()()()()()mx nx my ny mx my nx ny m x y n x y m n x y +++=+++=+++=++. 以上分解因式的方法称为分组分解法. 请用分组分解法分解因式：3322a b a b ab -+-.10.分解因式：（1）22463a b a b -+-；（2）222944a b bc c -+-；（3）()()()2a c a c b b a +-+-；（4）()()221212x x x x ++++-；（5）()22223122331x x x x -+-+-；（6）()()()213512x x x -+++.思维方法天地11.分解因式：()()()()()12345x x x x x x ++++++=______. 12.分解因式：()()()33322x y x y -----=______.13.已知()()()()1931131713171123x x x x -----可因式分解为()()8ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a b c ++=______.14.已知1x -得多项式33x x k -+的一个因式，那么k =______；将这个多项式分解因式，得______. 15.44a +分解因式的结果是（）.A.()()222222a a a a +--+B.()()222222a a a a +---C.()()222222aa a a ++-- D.()()222222aa a a ++-+16．实数320052005m =-，下列各数中不能整除m 的是（） A.2006B.2005C.2004D.200317．已知3a b -=，5b c +=-，则代数式2ac bc a ab -+-的值为（） A.15-B.2-C.6-D.618．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，且满足()222220a b c b a c ++-+=，则此三角形是（）. A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不能确定19．分解因式：（1）224443x x y y --+-；（2）()()()2221x y xy x y xy +-+-+-；（3）343115x x -+；（4）32539x x x ++-.应用探究乐园20.已知在ABC ∆中，三边长a ，b ，c 满足等式222166100a b c ab bc --++=.求证：2a c b +=.21.下金蛋的鸡法国数学家费马（1601-1665）一生中提出了不少猜想，最著名的是“费马大定理”：关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=（n 为大于2的整数）没有正整数解.直到350年之后，这个猜想才由英国数学家怀尔斯（1953— ）于1994年证明.德国数学家希尔伯特（1862-1943）将费马大定理称为“一只会下金蛋的鸡”，因为在攻克它的漫漫征程中，不但引出了许多数学概念和方法，而且促进了一些新的分支的创立和发展.这些远比证明定理本身更重要！不过费马的猜想并不总是正确的.他考察了12215+=，222117+=，3221257+=，422165537+=，发现结果都是素数（也称质数），于是猜想：对任意正整数n ，221n+（即()221n+）都是素数.瑞士数学家欧拉（1707-1783）指出，5221+并不是素数.我国数学家华罗庚（1910—1985）在他的著作《数论导引》中给出一种简明的证法：设72a =，5b =，可算得()524442111ab a a b +=++-，可见5221+必有除1和本身以外的约数______（填较简单的一个，用含a ，b 的式子表示），即5221+能被______整除（填入具体数值），所以不是素数.第2讲因式分解的应用赛题练习1.（2004年重庆市竞赛题）已知2310x x x +++=，则220041x x x ++++的值为（）A.0B.1C.1-D.20042.（第19届江苏省竞赛题）若432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，则:a b 的值是（） A.2-B.12-C.6D.43.（第14届希望杯竞赛题）若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值为（） A.0B.1-C.1D.34.（第17届江苏省竞赛题）a 、b 、c 是正整数，a b >，且27a ab ac bc --+=，则a c -的值为（） A.1-B.1-或7-C.1D.1或75.（中学生智能通讯赛试题）设()()322320042003200420052003200220012002a -⨯+=⨯--，()()322320052004200520062004200320022003b -⨯+=⨯--，则a 、b 的大小关系是（） A.a b >B.a b =C.a b <D.不能确定6.（湖北省竞赛题）设a 是正数，且21a a -=，那么224a a-的值为（） A.3-B.1C.3D.57.（2005年全国初中数学竞赛题）已知2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭，则与A 最接近的正整数是（） A.18B.20C.24D.258.（2007年全国初中数学竞赛题）方程323652x x x y y ++=-+的整数解(),x y 的个数是（） A.0B.1C.3D.无穷多9.（第17届希望杯竞赛题）若22222006200620072007m =+⨯+，则m （） A.是完全平方数，还是奇数 B.是完全平方数，还是偶数 C.不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数10.（2002年全国初中数学联赛题）若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为（） A.1B.0C.1-D.2-11.（2003年全国初中数学联赛题）满足等式2003=的正整数对(),x y 的个数是（）A.1B.2C.3D.412.（第14届希望杯竞赛题）已知54410a a b a a b --+--=，且231a b -=，则33a b +的值为___________.13.（全国初中数学竞赛题）已知a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=___________.14.（第17届希望杯竞赛题）A 、n 都是自然数，且21526A n n =++是一个完全平方数，则n =_____________.15.（四川省竞赛题）对一切大于2的正整数n ，数5354n n n -+的最大公约数是____________. 16.（2001年全国初中数学联赛题）一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为___________.17.（第9届华杯赛试题）a 、b 、c 是正整数，并且满足等式12004abc ab ac bc a b c +++++++=，那么a b c ++的最小值是__________.18.（祖冲之杯竞赛题）整数a 、b 满足6910303ab a b =-+，则a b +=___________.19.（第18届五羊杯竞赛题）若P 是两位的正整数，则以下等式中有可能成立的式子的个数是______________.①22006(34)(59)x Px x x ++=--； ②22006(17)(118)x Px x x ++=--； ③22006(34)(59)x Px x x --=+-； ④22006(17)(118)x Px x x --=+-； ⑤22006(1)(2006)x Px x x +-=-+.20.（2001年全国初中数学联赛题）若214x xy y ++=，228y xy x ++=，则x y +的值为___________. 21.（2005年四川省竞赛题）对于一个正整数n ，如果能找到正整数a 、b ，使得n a b ab =++，则称n 为一个“好数”，例如31111=++⨯，3就是一个“好数”，那么，在1~20这20个正整数中，好数有___________个.22.（2004年北京市竞赛题）已知x 、y 为正整数，且满足22222341x y x y +=+，则22x y +__________. 23.（第10届希望杯竞赛题）7221-能被500与600之间的若干整数整除，请找出3个这样的整数，它们是__________.24.（2008年天津市竞赛题）已知4个实数a 、b 、c 、d ，且a b ≠，c d ≠.若4个关系式：22a ac +=，22b bc +=，24c ac +=，24d ad +=同时成立，则6232a b c d +++的值为___________. 25.（五城市联赛题）若a 是自然数，则4239a a -+是质数还是合数？给出你的证明.26.（全国初中数学联赛题）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是()911145mn m n +++元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.27.（2006年俄罗斯萨温市竞赛题）（1）证明：19992000200120032004200536⨯⨯⨯⨯⨯+是一个完全平方数.（2）证明：数848497n n ++-对于任何自然数n 都能被20整除.28.（江苏省竞赛题）（1）证明：791381279--能被45整除；（2）证明：当n 为自然数时，()221n +形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）计算：44444444441111124681044444111111357944444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭29.（2005年太原市竞赛题）二次三项式22x x n --能分解为两个整系数一次因式的乘积. （1）若130n ≤≤，且n 是整数，则这样的n 有多少个？（2）当2005n ≤时，求最大的整数n .30.（重庆市竞赛题）按下面规则扩充新数：已有两数a 、b ，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，在a 、b 、c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4. （1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；（2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.问题解决例1.方程2270xy x y --+=的整数解（x y ≤）为______. 例2.1621-能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是（）. A.6 B.5 C.4 D.3例3.计算：（1）2220034004200320024008200320042003300520032003200520053005-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯；（2）()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++. 例4.设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数.例5.已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，求n 的值.例6.（1）实数x ，y 满足221252810x xy y y ++-+=，则22x y -=______.（2）在平面直角坐标系中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标(),x y 的个数为（）. A.10B.9C.7D.5数学冲浪知识技能广场1.设y ax =，若代数式()()()23x y x y y x y +-++化简的结果为2x ，则a =______.2.如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为______. 3.如果实数x ，y 满足方程组1,2225,x y x y ⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩那么22x y -的值为______.4.已知2m ≥，2n ≥，且m ，n 均为正整数，如果将n m 进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述：（1）在52的“分解”中最大的数是11；（2）在34的“分解”中最小的数是13；（3）若3m 的“分解”中最小的数是23，则m 等于5. 其中正确的是______.5.若实数x ，y ，z 满足()()()240x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是（） A.0x y z ++= B.20x y z +-= C.20y z x +-=D.20z x y +-=6．边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（） A.140B.70C.55D.247．设n 为某一自然数，代入代数式3n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中正确的结果是（）. A.5814B.5841C.8415D.84518．a ，b ，c 是正整数，a b >，27a ab ac bc --+=，则a c -等于（） A.1- B.1-或7- C.1 D.1或79．计算：（1）32322004220042002200420042005-⨯-+-；（2）44444444441111124681044444111111357944444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.10.选取二次三项式()20ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫配方. ①选取二次项和一次项配方：()224222x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：(()22424x x x x -+=+，或((32424x x x x -+=-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-.根据上述材料，解决下面的问题.（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方；（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值.思维方法天地11.若两个不等实数m ，n 满足22m m a -=，22n n a -=，225m n +=，则实数a 的值为______. 12.已知a ，b ，x ，y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222a b xy ab x y +++=______. 13.整数x ，y 满足方程283xy x y ++=，则x y +=______.14.A ，n 都是自然数，且21526A n n =++是一个完全平方数，则n =______. 15.若22222006200620072007m =+⨯+，则m （）. A.是完全平方数，还是奇数 B.是完全平方数，还是偶数 C.不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数16．设n 为某一正整数，代入代数式2n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中仅有一个是正确的，则这个正确的结果是（） A.7770B.7775C.7776D.777917．方程222334x xy y ++=的整数解(),x y 的组数为（）. A.3B.4C.5D.618．黑板上写有1，12，…，1100共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数a ，b ，然后删去a ，b ，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后黑板上剩下的数是（）. A.2012B.101C.100D.9919．已知()()222012a b c b a c +=+=，且a b ≠，求()2c a b +的值.20.计算：()()()()()()()()()()424242424242424242422214416618881010133155177199111111++++++++++++++++++++.应用探究乐园21.当我们看到下面这个数学算式333337133713503724613724++==++时，大概会觉得算题的人错用了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++，但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种等式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，…，你能发现以上等式的规律吗？22.按下面规则扩充新数：已有两数a ，b ，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，在a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数……每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4. （1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；（2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.。

八年级数学竞赛专题训练16 等腰三角形的性质(附答案)

八年级数学竞赛专题训练16 等腰三角形的性质阅读与思考等腰三角形是一类特殊三角形，具有特殊的性质，这些性质为角度的计算、线段相等、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据．因此，在解与等腰三角形相关的问题时，除了要运用全等三角形知识方法外，又不能囿于全等三角形，应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径，应熟悉以下基本图形、基本结论．⑴ 图1中，01802A B ∠=-∠，01802AB C -==∠∠∠，22DAC B C ==∠∠∠．⑵ 图2中，只要下述四个条件：①AB AC =；②12=∠∠；③CD DB =；④AD BC ⊥中任意两个成立，就可以推出其余两个成立．例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，D 在AC 上，E 在AB 上，且AB =AC ，BC =BD ，AD =DE =BE ，则∠A =___________．（五城市联赛试题）解题思路：图中有很多相关的角，用∠A 的代数式表示这些角，建立关于∠A 的等式．【例2】如图，在△ABC 中，已知∠BAC =900，AB =AC ，D 为AC 中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，求证：∠ADB =∠CDF ．（安徽省竞赛试题）解题思路：∠ADB 与∠CDF 对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的高(中线)是一条常用的辅助线．BC AD 图1A BC1 2图2A BCD E A BCD EF【例3】如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =900，D 是AC 上一点，且AE 垂直BD 的延长线于E ，又AE =12BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线．（北京市竞赛试题）解题思路：∠ABC 的角平分线与AE 边上的高重合，故应作辅助线补全图形，构造全等三角形、等腰三角形．【例4】如图，在△ABC 中，∠BAC =∠BCA =440，M 为△ABC 内一点，使∠MCA =300，∠MAC =160，求∠BMC 度数．（北京市竞赛试题）解题思路：作等腰△ABC 的对称轴(如图1)，通过计算，证明全等三角形，又440+160=600；可以AB 为一边，向点C 所在的一侧作等边△ABN ，连结CN ，MN (如图2)；或以AC 为一边，向点B 所在的一侧作等边△ACN ，连结BN (如图3)．BCMAA EBCDB C M A 图 1 DO BC M A 图 2NBC MA 图 3 N【例5】如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC =1200的等腰三角形，以D 为顶点作一个600角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN ，形成一个三角形．求证：△AMN 的周长等于2．（天津市竞赛试题）解题思路：欲证△AMN 的周长等于2，只需证明MN =BM +CN ，考虑用补短法证明．【例6】如图，△ABC 中，∠ABC =460，D 是BC 边上一点，DC =AB ，∠DAB =210，试确定∠CAD 的度数．（北京市竞赛试题）解题思路：解本题的关键是利用DC =AB 这一条件．能力训练A 级1．如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夹角为450，那么这个等腰三角形的底角为_____________． 2．如图，已知∠A =150，AB =BC =CD =DE =EF ，则∠FEM =_____________．3．如图，在等边△ABC 的AC ，BC 边上各取一点P 、Q ，使AP =CQ ，AQ ，BP 相交于点O ，则 ∠BOQ =____________.4．如图，在△ABC 中，∠BCA =900，∠BAC =600，BC =4，在CA 的延长线取点D ，使AD =AB ，则D ，B 两点之间的距离是____________．BD ABACDN M (第2题)ACEM NABC QPO(第3题)ABC D(第4题)5．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 上一点，BF =CD ，CE =BD ，那么∠EDF 等于（） A ．900-12∠A B ．900-∠AC ．1800-∠AD ．450-12∠A 6．如图，在△ABC 中，∠ACB =900，AC =AE ，BC =BF ，则∠ECF =（）A ．600B ．450C ．300D ．不确定（安徽省竞赛试题）B第5题图第6题图7．△ABC 的一个内角的大小是400，且∠A =∠B ，那么∠C 的外角的大小是（）A ．1400B ．800或1000C ．1000或1400D ．800或1400(“希望杯”邀请赛试题) 8．三角形三边长a ，b ，c 满足1111a b c a b c -+=-+，则三角形一定是（） A ．等边三角形 B ．以a 为底边的等腰三角形C ．以c 为底边的等腰三角形D ．等腰三角形（北京市竞赛试题）9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D ，E 分别是腰AB ，AC 延长线上的点，且BD =CE ，连结DE 交BC 于G ，求证：DG =EG ．（湖北省竞赛试题）ABC D GE ABEF10．如图，在△ABC 中，∠BAC =900，AB =AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE ，求证：CE =12BD ．（江苏省竞赛试题）11．已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠C =900，D 为AB 边中点，∠EDF =900，将∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC ，BC (或它们的延长线)于E 、F ，当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时(如图1)，易证：S △DEF +S △CEF =12S △ABC ，当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S △DEF ，S △CEF ，S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（牡丹江市中考试题）12．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =800，O 为△ABC 内一点，且∠OBC =100，∠OCA =200，求∠BAO 的度数．（天津市竞赛试题）BA B CAB CAB CE D FE DF DF图1图2图3A B C D EB 级1．如图，在△ABC 中，∠ABC =1000，AM =AN ，CN =CP ，则∠MNP =_________．2．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =900，直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下4个结论：①AE =CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =12S △ABC；④EF =AP ．当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A ，B 重合)．上述结论正确的是____________．（苏州市中考试题）3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，M ，N 为BC 边上两点，并且∠BAM =∠CAN ，MN =AN ，则∠MAC 的度数是____________．4．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC 与∠ACB 的平分线相交于D ，∠ADC =1300，那么∠CAB 的大小是（）A ．800B ．500C ．400D ．2005．如图，在△ABC 中，∠BAC =1200，AD ⊥BC 于D ，且AB +BD =DC ，则∠C 的大小是（）A ．200B ．250C ．300D ．450 6．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =900，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，BD ⊥AE 于D ，DM ⊥AC 交AC 的延长线于M ，连CD ，下列四个结论：①∠ADC =450；②BD =12AE ；③AC +CE =AB ；④AB -BC =2MC ．其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，已知△ABC 为等边三角形，延长BC 至D ，延长BA 至E ，并且使AE =BD ，连结CE 、DE ，求证：CE =DE ．ABCNP (第1题)ABC PEF(第2题)AB CN M(第3题)A(第4题)BCD(第5题)ABCD ABD ECM(第6题)A BCDE8．如图，△ABC 中，已知∠C =600，AC ＞BC ，又△ABC ′、△A ′BC 、△AB ′C 都是△ABC 外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC =DC ．⑴ 证明：△C ′BD ≌△B ′DC ； ⑵ 证明：△AC ′D ≌△DB ′A ；⑶ 对△ABC 、△ABC ′、△A ′BC 、△AB ′C ，从面积大小关系上，你能得出什么结论？（江苏省竞赛试题）9．在△ABC 中，已知AB =AC ，且过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形，试求△ABC 各内角的度数．（江苏省扬州中学测试题）10．如图，在△ABC 中，∠C =900，∠CAD =300，AC =BC =AD ，求证：CD =BD ．11．已知△ABC 中，∠B 为锐角，从顶点A 向边BC 或BC 的延长线引垂线交BC 于H 点，又从顶点C 向边AB 或AB 的延长线引垂线交AB 于K ，试问：当2BH BC ，2BKAB是整数时，△ABC 是怎样的三角形？并证明你的结论．（“智能杯”通讯赛试题）ABCDA ′B ′C ′AC D专题16 等腰三角形的性质例1 45°例2 提示：过点A作∠A的平分线BD交于G，先证明△ABG≌△ACF，再证明△AGD≌△CFFD例3 提示：延长BC，AE交于一点.、例4 提示：如图，作BD⊥AC于D，则∠OCD=∠OAD=30°，∴∠BA0=44°－30°=14°，∠MAO=∠OAC－∠MAC=14°，∴∠BAO=∠MAO，又∵∠AOD=∠COD=90°－30°=60°，∴∠AOB=∠AOM=120°，∴OB=OM.又∵AO=AO，∴△AOB≌△AOM又∵∠BOM=120°，∴∠OMB=30°，故∠BMC=180°－∠OMB=150°.例5 如图，在AC延长线上截取CM1=BM，由Rt△BDM≌Rt△CDM1，得MD=M1D，∠MDB= ∠M1DC.∴∠MDM1=120°－∠MDB+∠M1DC=120°，又∠MDN=60°，∴∠NDM1=60°，∵MD=MD1，∠MDN=∠NDM1=60°，DN=DN，∴△MDN≌△M1DN，得MN=NM1，故△AMN周长：AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2.例6 解法1 如图a，作△ABD关于AD的轴对称图形△ADC，则∠EAD=21°，AE=AB，∴DE=BD，又∠ADC=21°+46°=67°，故∠ADE=∠ADB=180°－67°=113°，∠CDE=113°－67°=56°，连CE，可证△CDE≌△ABD≌△AED，∠ODE=∠OED=46°，得OD=OE，又DC=AE，则AO=CO，∠OCA=∠OAC，∠COE=2∠ACO，∠COE=2×46°=92°=2∠ACO.从而∠ACO=46°=∠OAC，∴∠DAE+∠EAC=67°.解法2 如图b，过A点作AE∥BC.过D作DE∥AB，连接EC.∵∠EDC=∠ABC=46°，DE=AB=CD，∴∠DCE=∠CED=12×（180°－46°）=67° ∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=46°+21°=67° ∴∠ADC=∠DCE ，，∴AD=EC. ∴梯形ADCE 为等腰梯形∴AC=DE （等腰梯形对角线相等），∴AB=AC=CD ，∴∠DAC=∠ADC=67°.A 级1. 67.5°或22.5° 2.75°3.60°4.85.A6.B7.B8.D 提示：由已知得(b －c)(a －b)(a+c)=0，故b=c 或a=b.9. 提示：过D 作DF ∥AC 交BC 于F ，证明△DFG ≌△ECG .10. 提示：延长CE 交BA 的延长线于F ，证明△BEC ≌△BEF ，再证明△AFC ≌△ADB. 11. 提示：图2成立，联系图1，可证明△ECD ≌△FBD ，12DEF CEF ECD CDF FBD CDF CDB ACB S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+=+=+==图3不成立，此时12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆-=12.作∠BAC 的角平分线与CO 的延长线交于D ，连BD ，则△ABD ≌△ACD ，则∠ABD=∠ACD=30°， ∠OBD=∠ABC －∠OBC －∠ABD=20°=∠ABD ， ∠DOB=∠OBC+∠OCB=40°=∠DAB ，从而△ABD ≌△OBD ，AB=OB ，即△ABO 为等腰三角形，得∠BAO=12（180°－40°）=70° B 级1.40°2.①②③ 提示：连AP.3. 60°提示：设∠CAN =∠BAM =α，∠MAN =β，则∠C =∠BAC =2α+β，∠AMN =β4. D5.A6.D7. 提示：延长BD 到F ，使DF =BC ，则△BEF 为等边三角形，再证明△BCE ≌△FDE8.⑴证明略；⑵由①得C ´D =AC =AB ´，由②得DB ´=BA =C ´A ，又AD =AD ，∴△AC ´D ≌△DB ´A ；⑶S △AB ´C ＞S △ABC ´＞S △ABC ＞S △A ´BC ，S △ABC + S △ABC ´= S △AC ´B + S △A ´BC 9.满足题意的图形有以下四种情形：10.提示：在△ACD 内以CD 为边作等边△ECD ，连AE ，则△ACE ≌△ADE .∴∠CAE =12∠CAD =15°，又∵∠DCB =90°-∠ACD =90°-75°=15°，∴∠CAE =∠BCD =∠ECA . 又∵AC =BC ，CE =CD ，∴△ACE ≌△BCD ，∴∠DBC =∠EAC =15°. ∴∠DCB =∠DBC ，∴DC =DB .ABE C图bABC F图c图dABC GABD C图a11.设2BHm BC =，2BK n AB =，因BH ＜BA ，BK ＜BC ，故mn ＜4，得11m n =⎧⎨=⎩；12m n =⎧⎨=⎩；13m n =⎧⎨=⎩；21m n =⎧⎨=⎩；31m n =⎧⎨=⎩ ①当m =n =1时，BH =12BC ，BK =12AB ，△ABC 是等边三角形.②当m =1，n =2时，BH =12BC ，BK =AB ，△ABC 是∠A 为直角的等腰直角三角形. ③当m =1，n =3时，BH =12BC ，BK =32AB ，△ABC 是∠A 为120°的等腰三角形. ④当m =2，n =1时，△ABC 是以∠C 为直角的等腰直角三角形. ⑤当m =3，n =1时，△ABC 是以∠C 为120°的等腰三角形.A CB ED。

2016年初二获奖名单355(93+141+121)

2016年北京市中学生数学竞赛初二年级获奖名单一等奖（93名）姓名性别年级学校姓名性别年级学校杨尚卿男初二十一学校徐如虹女初二十一学校童昊原男初二北京一零一中刘宽宽男初二十一学校关涛男早六人大附中赵世博男初二十一学校高萌彦男早七人大附中吕洋男初二十一学校王文越男初二北京八中韩潇男初二首师大附中王奕飞男初二北京五中分校尉迟逸轩男初二育英学校朱昕永男初二北京一零一中郭婧涵女初二北京八中艾秋富男初二北京一零一中阙英哲男初二北京五中分校陆俊丞男初二北京一六一中李昊洋男初二北京一零一中殷琪川男初二北师大实验中学李丁一城男初一北师大实验中学许心莹女初二北师大实验中学李蕴奇男早八人大附中李珩周男初二北师大实验中学王雨轩男早六人大附中向骊澄女初二北师大实验中学刘景和男早七人大附中丰连悦女初二北师大实验中学李昀锟男初二十一学校晋子芊女初二北师大实验中学王九同男少21北京八中付强男初二汇文中学阎禹辰男初二北京二中郝梓涵男初二清华附中王昊华女初二北京一零一中文欣芃男初二清华附中陈高明男初二北京一零一中赵光宇男初二清华附中张开维男初二清华附中谷小来男初二清华附中李哲宇男初一清华附中金彦妮女初二清华附中吴垒男初二人大附中李沐冉女初一清华附中韦彦浩男初二人大附中郭新阳男初二人大附中高祎晨男初一人大附中史君炜男初二人大附中张成浩男早八人大附中朱晗希男初二人大附中胡梁栋男早七人大附中白锦儒男初一人大附中贾维宸男早七人大附中宋弛男早七人大附中高睿敏女初二十一学校赵云潇男早七人大附中张涵博男初二十一学校聂彦辰男早七人大附中蔡鸿蔚男初二十一学校魏子淇男早七人大附中吴明霖男初二十一学校张昊男初二三帆中学李宇晨男初二中关村中学付鹏诚男初二十一学校樊天行男初二清华附中高昀健男初二十一学校王程男初一清华附中李坚瑞男初二十一学校周琰青女初二首师大附中高健庭男初二十一学校黄金男初二北师大实验中学杨贺彭男初二北师大实验中学潘逸宸男初二十一学校刘政佐男初二景山学校郭鑫垚男初二十一学校李璐佳女初二景山学校赵博文男初二十一学校郝帅男初二清华附中倪辰昊男初二十一学校简章树男初二清华附中倪行健男初二十一学校白浩桐男初二清华附中吴雨涵女初二北达资源中学李昶昊男初二清华附中袁瑞鑫女初二北京十二中张宇尊男初一清华附中孙怿辰男初二北京二中分校崔从博男初二人大附中樊浩伦男初二北京五中分校李晓语男初二人大附中刘新雨女初二北京一六一中宋加宸男初一人大附中魏泽明男初二东直门中学李佳栩男早六人大附中二等奖（141名）姓名性别年级学校姓名性别年级学校吴效丞男初二北京八中余帛航男初一清华附中张洁昕女初二北京一零一中王京逸男初一人大附中王铭男初二北京一零一中孙睿男初一人大附中李骏芃男初二北师大附中李凯阳男初一人大附中秦禹洲男初一北师大附中吴雨轩男六人大附中白行健男初二北师大实验中学黄亦宸男早八人大附中陈嘉易男初二北师大实验中学单战男早八人大附中张孟轩男初二北师大实验中学陈于思男早六人大附中郝汀女初二北师大实验中学李延坤男早六人大附中王竞搈女初二北师大实验中学白松屹男早六人大附中张芸瑞女初二北师大实验中学郭尧昱女早六人大附中陈锐恒男初二北师大实验中学邹明轩男早六人大附中金予晗男初二北师大实验中学李享男早七人大附中王启隆男初一北师大实验中学李若蘅女初二三帆中学胡沛骅男初一北师大实验中学卢孟媛女初二三帆中学张泓昊男初二清华附中宋凌跃男初二三帆中学刘穆欣女初二清华附中郭甤女初二十一学校蒋凌睿男初二清华附中董彦雷男初二十一学校逯博文男初二清华附中王子元男初二十一学校苗蒲男初二清华附中袁一峰男初二十一学校梁易男初二清华附中邓宇同男初二十一学校王安睿男初一清华附中田雨祺女初二十一学校宋德霖男初一清华附中陈蓬辉男初二北京五中分校王进一男初一清华附中周文韬男初二北京五中分校李欣瑞女初二北京一零一中罗佳睿男早六人大附中唐韵蕾女初二北师大实验中学李亦之女早七人大附中林宇男初二北师大实验中学毛悦合女初二三帆中学刘嘉熙女初二北师大实验中学王杰男初二北达资源中学钱成男初二清华附中孙佑时女初二北大附中钟宇博男初二清华附中王禹睿男初二北京八中朱天昱男初二清华附中杨博源男初二北师大实验中学赵树祺男初一清华附中王紫蛟男初二清华附中李斯羽女初一清华附中吴闻道男初一人大附中曹陈华睿男初一人大附中蒋汉闻男早六人大附中赵谦伊女初一人大附中伍智楗男初二人大附中分校申宇安男早六人大附中秦孟阳男初二三帆中学马景伦男早七人大附中于洋洋男初二师达中学林雨晨男早七人大附中余海韵女初二十一学校刘昊宇男初二人大附中分校余佳珉男初二十一学校孙梓馨女初二三帆中学朱家鼎男初二京源学校胡纯斌男初二十一学校崔涵婷女初二北京四中杜盈莹女初二十一学校杨昊翔男初二北京四中张晚治男初二北京十二中张逸飞男初二北京一零一中元哲明男初二北京四中璞瑅中学毛雨宸男初二北京一零一中王鹏力男初二十一学校蒋天琪男初二北京一零一中肖云鹏男初一北京八中马思远男初二北京一零一中葛佳鑫女初二北京五中分校李梦喆男初一北京一零一中张怡雯女初二北师大实验中学魏文来男初二北师大实验中学张家铭男初二北师大实验中学张皓宸男初二北师大实验中学郑子阳男初二北师大实验中学何佳优男初二北师大实验中学何铠桓男初二北师大实验中学黄靖涵女初二北师大实验中学崔泽楷男初二北师大实验中学吴晓青女初二北师大实验中学林溪涓女初二清华附中任憬羿男初二北师大实验中学王驰原男初一清华附中麻宇曦女初二景山学校闫昕宇男初一清华附中陈辰男初二景山学校卜一凡男初二人大附中何林轩男初二清华附中朴喜泰男初二人大附中田肇阳男初二清华附中周柏林男初一人大附中郝家祺男初二清华附中赵佳伟男初一人大附中李亦硕男初二清华附中殷子萦女初一人大附中田葆同男初二人大附中简宇卿男初一人大附中黄宇成男初二人大附中董天浩男早六人大附中李越之男初一人大附中姓名性别年级学校姓名性别年级学校范稷源男早八人大附中张浩中男早六人大附中石宗华女早八人大附中陈吉轲男早六人大附中陈坤宁女早六人大附中王昱骁男早七人大附中裘天烨男早六人大附中涂千里男初二人大附中分校王心睿男早六人大附中惠颖茜女初二三帆中学邹晨男早六人大附中戎誉女初二首师大附中宋鹤女早六人大附中杜雨萱女初二北京十二中陈雪枫男早六人大附中马隆和男初一北京化工大学附中王凤仪女早六人大附中三等奖（121名）姓名性别年级学校姓名性别年级学校程启硕男初二北大附中廖阔男初一北京一零一中怀柔校区崔净凯男初二北京八中郑康夫男初二北师大实验中学张一宸男初二北京二中分校张博鑫男初二北师大附中温佳琳女初二北京五中分校赵鹏飞男初二人大附中王秭祺男初二北京五中分校秦亦菲女初二人大附中徐康男初二北京一零一中马鹏程男初二人大附中白云麒男初二北京一零一中李天骥男初一人大附中王思晨女初二北师大实验中学江荷女初一人大附中董椿浩男初二北师大实验中学潘佳骐男初一人大附中王宏睿男初二清华附中刘会凌男早八人大附中张锐翀男初二清华附中侯翰飞男早六人大附中孙一宁女初二清华附中田葆华男早六人大附中曾若言男初一清华附中许倬源男早六人大附中甘金女初二人大附中沈泽之女初二三帆中学李思航男初二人大附中周子涵男初二十一学校于程男初二十一学校张荐科男初二十一学校薛天瑞男初二十一学校张翊轩男初二十一学校何安景昇男初二首师大附中郭沐瑶女初二十一学校苏玥宁女初二北大附中熊高越男初二首师大附中崔永遂男初二北京三十五中王楚先男初二北大附中李东宇男初二北京十二中应骏达男初二北大附中刘梓豪男初一北京十二中王鼎男初二北京八中钱行女初二北京四中王文卓男初二北京八中姜绍筠女初二北京四中戴云初男初二北京二中张展维男初二北京四中张润瑶女初二北京十二中王琎男初二北京五中分校王奥辉男初二北京十二中王彦翔男初二北京五中分校李睿宁男初二北京四中贾天瑞男初二北京一零一中欧洋男初二北京五中分校姓名性别年级学校姓名性别年级学校崔冕峰男初二北京五中分校严子轶男初二北师大实验中学葛达闻男初二北京一零一中单乐与男初二景山学校李家琛男初二北师大实验中学杨女成女初二清华附中王芷祺女初二北师大实验中学韦晨男初一人大附中梁壹然男初二北师大实验中学徐浩峰男初二首师大附中赵天健男初一北师大实验中学沈欣女初二首师大附中李斯骢男初二景山学校李明翰男初二北大附中刘靖彤女初二清华附中吴冠衡男初二北大附中马乐妍女初二清华附中熊雨辰女初二北大附中弓佳彤女初一清华附中李成竺男初二北京二中李诗舟男初二人大附中古翔远男初二北京五中分校陈阳男初一人大附中温佳琪女初二北京五中分校崔皓男初一人大附中杨博涵男初一北京五中分校李新宇男早六人大附中胡清阳男初二北京一零一中程浩宇男早六人大附中马鸿远男初一北师大附中赵晨迪男早七人大附中吕喆男初二北师大实验中学张子健男早七人大附中王嘉怡女初二北师大实验中学司徒青毅男初一人大附中分校张鸣悦女初二北师大实验中学甄昊宇男初二十一学校王芷强女初二北师大实验中学闫彤丰男初二十一学校童予阳男初二北师大实验中学杜田沣男初二十一学校曹宇祺男初二朝阳外国语学校申舒仪女初二首师大附中李泓轩男初二东直门中学叶承林男初二首师大附中谭乐之女初二景山学校吴疆懿女初二首师大附中刘腾渊男初二清华附中上地学校周雨蛰男初二北京八十中钟嘉意男早六人大附中周钧翰男初二北京十二中崔明男早六人大附中张宇君女初二北京五中分校斯文男早六人大附中杨肖然男初二北京一零一中陈锐韬男早六人大附中王劭晨男初二北京一零一中李沐涵男早六人大附中葛沛然女初二北京一零一中施耀民男初二三帆中学杨绍琦男初二北师大实验中学孟禹铭男初二育英学校薛媛元女初二北师大实验中学张运晗男初二人大附中朝阳学校。

八年级数学竞赛例题专题讲解5：和差化积--因式分解的应用初二数学试题试卷

⼋年级数学竞赛例题专题讲解5：和差化积--因式分解的应⽤初⼆数学试题试卷专题05 和差化积——因式分解的应⽤阅读与思考：因式分解是代数变形的有⼒⼯具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、⼀元⼆次⽅程等知识的基础，其应⽤主要体现在以下⼏个⽅⾯：1．复杂的数值计算； 2．代数式的化简与求值； 3．简单的不定⽅程（组）； 4．代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常⽤到，我们应熟悉这些结果： 1. 4224(22)(22)xx x x x +=++-+;2. 42241(221)(221)xx x x x +=++-+;3. 1(1)(1)ab a b a b ±±+=±±；4.1(1)(1)ab a b a b ±-=± ；5. 3332223()()ab c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---．例题与求解【例1】已知0≠ab ，2220aab b +-=，那么22a ba b-+的值为___________ .（全国初中数学联赛试题）解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a ，b 之间的关系，代⼊关系求值．【例2】a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且27a ab ac bc --+=，则a c -等于( ).A . －1B ．－1或－7C ．1 D.1或7（江苏省竞赛试题）解题思路：运⽤因式分解，从变形条件等式⼊⼿，在字母允许的范围内，把⼀个代数式变换成另⼀个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、⽅程和函数的重要⼯具，换元、待定系数、配⽅、因式分解⼜是恒等变形的有⼒⼯具．求代数式的值的基本⽅法有； (1)代⼊字母的值求值； (2)代⼊字母间的关系求值； (3)整体代⼊求值．【例3】计算：(1) 32321997219971995199719971998--+- （“希望杯”邀请赛试题）（2）444444444411111(2)(4)(6)(8)(10)4444411111(1)(3)(5)(7)(9)44444++++++++++ （江苏省竞赛试题）解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨⽤字母表⽰数，通过对分⼦、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究41()4x +的规律．【例4】求下列⽅程的整数解．(1)64970xy x y +--=; （上海市竞赛试题）(2)222522007x xy y ++=. （四川省竞赛试题）解题思路：不定⽅程、⽅程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察⽅程、⽅程组的特点，利⽤整数解这个特殊条件，从分解因式⼊⼿．解不定⽅程的常⽤⽅法有：(1)穷举法； (2)配⽅法； (3)分解法； (4)分离参数法．⽤这些⽅程解题时，都要灵活地运⽤质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.【例5】已知3a b +=，2ab =，求下列各式的值： (1) 22a b ab +； (2) 22a b +； (3)2211a b+．解题思路：先分解因式再代⼊求值.【例6】⼀个⾃然数a 恰等于另⼀个⾃然数b 的⽴⽅，则称⾃然数a 为完全⽴⽅数，如27＝33，27就是⼀个完全⽴⽅数．若a ＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：a 是⼀个完全⽴⽅数．（北京市竞赛试题）解题思路：⽤字母表⽰数，将a 分解为完全⽴⽅式的形式即可．能⼒训练A 级1. 如图，有三种卡⽚，其中边长为a 的正⽅形卡⽚1张，边长分别为a ，b 的长⽅形卡⽚6张，边长为b 的正⽅形卡⽚9张，⽤这16张卡⽚拼成⼀个正⽅形，则这个正⽅形的边长为 ________．（烟台市初中考试题）babbaa2．已知223,4x y x y xy +=+-=，则4433x y x y xy +++的值为__________．（江苏省竞赛试题）3．⽅程25510x xy x y --+-=的整数解是__________．（“希望杯”邀请赛试题）4. 如果2(1)1x m x -++是完全平⽅式，那么m 的值为__________．（海南省竞赛试题）5. 已知22230xxy y -+=(0≠xy )，则x yy x+的值是( )． A ．2，122 B ．2 C ．122 D ．12,22-- 6．当1x y -=，43322433xxy x y x y xy y ---++的值为( )．A . －1B ．0C ．2D ．17．已知a b c ＞＞，22222M a b b c c a N ab bc ca =++=++，，则M 与N 的⼤⼩关系是( )．A . M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不能确定（“希望杯”邀请赛试题）8．n 为某⼀⾃然数，代⼊代数式3n n -中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．A . 388944B .388945C .388954D .388948（五城市联赛试题）9．计算：(1) 3331999100099919991000999--?? （北京市竞赛试题）(2) 333322223111122222311111++ (安徽省竞赛试题)10. ⼀个⾃然数a 恰好等于另⼀个⾃然数b 的平⽅，则称⾃然数a 为完全平⽅数，如64＝82，64就是⼀个完全平⽅数，若a ＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a 是⼀个完全平⽅数．（北京市竞赛试题）11.已知四个实数a ，b ，c ，d ，且a b ≠，c d ≠，若四个关系式224,b 4a ac bc +=+=，82=+ac c ，28d ad +=，同时成⽴.(1)求a c +的值；(2)分别求a ，b ，c ，d 的值．（湖州市竞赛试题）B 级1．已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n ____________ .（“希望杯”邀请赛试题）2．已知三个质数,,m n p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则2n p ++＝________ .（“希望杯”邀请赛试题）3.已知正数a ，b ，c 满⾜3ab a b bc b c ac c a ++=++=++=，则(1)(1)(1)a b c +++＝_________ . （北京市竞赛试题）4．在⽇常⽣活中如取款、上⽹等都需要密码，有⼀种⽤“因式分解”法产⽣的密码，⽅便记忆．原理是：如对于多项式4 4xy -，因式分解的结果是22()()()x y x y x y -++，若取x ＝9，y＝9时，则各个因式的值是：22()0,()18,()162x y x y x y -=+=+=，于是就可以把“018162”作为⼀个六位数的密码，对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10时，⽤上述⽅法产⽣的密码是：__________．（写出⼀个即可）．（浙江省中考试题）5．已知a ，b ，c 是⼀个三⾓形的三边，则444222222222a b c a b b c c a ++---的值( )．A .恒正B ．恒负C ．可正可负D ．⾮负(太原市竞赛试题)6．若x 是⾃然数，设4322221y x x x x =++++，则( )．A . y ⼀定是完全平⽅数B ．存在有限个x ，使y 是完全平⽅数C . y ⼀定不是完全平⽅数D ．存在⽆限多个x ，使y 是完全平⽅数7．⽅程2223298xxy x --=的正整数解有( )组．A .3B ．2C ．1D ．0 （“五⽺杯”竞赛试题）8．⽅程24xy x y -+=的整数解有( )组．B ．4C ．6D .8（”希望杯”邀请赛试题）9．设N ＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N 的因数？（美国中学⽣数学竞赛试题）10．当我们看到下⾯这个数学算式333337133713503724372461++==++时，⼤概会觉得算题的⼈⽤错了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++．但是，如果你动⼿计算⼀下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，…你能发现以上等式的规律吗？11.按下⾯规则扩充新数：已有a ，b 两数，可按规则c ab a b =++扩充⼀个新数，⽽以a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则⼜可扩充⼀个新数，…每扩充⼀个新数叫做⼀次操作. 现有数1和4，求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最⼤新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．（重庆市竞赛试题）12.设k ，a ，b 为正整数．k 被22,ab 整除所得的商分别为m ，16+m .(1)若a ，b 互质，证明22a b -与22,a b 互质；(2)当a ，b 互质时．求k 的值；( 3)若a ，b 的最⼤公约数为5，求k 的值．（江苏省竞赛试题）。

2015北京市中学生数学竞赛初二年级获奖名单

2015年北京市中学生数学竞赛初二年级获奖名单一等奖（82名）姓名性别年级学校姓名性别年级学校周凌波男八年级清华附中周昱衡男八年级北师大实验中学杨砚冰男八年级北师大实验中学孙语默男八年级北师大实验中学曹天越男早六人大附中左一鸣男八年级十一学校秦勉男八年级景山学校汤恺宸男八年级北师大实验中学龙象男八年级北师大实验中学徐栋男八年级清华附中周显昊男八年级北京四中张景宣男八年级清华附中漆沛羽男八年级北师大实验中学包逸博男八年级北师大实验中学顾梓煜男八年级清华附中荆诚男八年级十一学校李天琦男八年级景山学校姜岚曦男八年级人大附中陈纪源男八年级北师大实验中学姚锦文男七年级清华附中高文磊男八年级十一学校赵安琪女八年级十一学校毛辰瑞男八年级北京四中李思炀男八年级北师大实验中学宋子萌男八年级清华附中顾靖坤女八年级十一学校王骥勤男八年级清华附中张灏洋男八年级三帆中学顾弘毅男八年级北师大实验中学程荃女早培七人大附中崔子昂男八年级十一学校张浩天男八年级清华附中谢瀚锋男八年级北师大实验中学刘子川男八年级十一学校荣星睿男早七人大附中黄思男八年级清华附中张怡雯女七年级北师大实验中学段云迪男八年级人大附中分校杨溢男八年级三帆中学胡城睿男七年级清华附中宋驰男早六人大附中胡嘉铭女八年级北京四中黄子晴女八年级北京十二中刘艾女八年级北师大实验中学徐昕男八年级人大附中曹瀚哲男八年级北师大实验中学李一宁男八年级十一学校赵鉴开男八年级清华附中张天扬女八年级清华附中樊天行男七年级清华附中孙济时男八年级北大附中宮昊函男早七人大附中闫子垚男早七人大附中刘子琦男初三三帆中学马成男八年级北京一零一中郝梓涵男七年级清华附中刘宇淏男八年级清华附中唐仡夫男八年级北京二中分校唐静吾男八年级清华附中熊天翼男八年级育英学校郑宇开男八年级清华附中曾柯淏男八年级十一学校王肃男八年级北师大实验中学李子雍男八年级十一学校杨雨桐女八年级北师大实验中学徐子昂男八年级北京四中陈云逸男八年级人大附中向洋女八年级北达资源中学李远哲男八年级十一学校依嘉男八年级人大附中佟美仪女八年级北师大实验中学童圣博男八年级清华附中陈思哲男八年级三帆中学李春一男八年级北师大实验中学郑雨萱女七年级人大附中杨笛龙男八年级北京四中陈泉霖男早六人大附中夏天睿男七年级北师大实验中学杨东林男八年级北师大实验中学霍子宇男八年级十一学校邓明扬男早六人大附中李从予女八年级人大附中二等奖（164名）姓名性别年级学校姓名性别年级学校王嘉怡女七年级北师大实验中学付博雅男早七人大附中柴礼齐男八年级人大附中聂延辰男早六人大附中高昀健男七年级十一学校郭佳璐女八年级清华附中吴恩泽男八年级十一学校赵备伊女八年级清华附中张旭东男八年级清华附中关云瑞男八年级首师大附中张帅男八年级北师大实验中学王楚惟男八年级人大附中盛明诚男七年级清华附中陈昊宁男八年级首师大附中李文然女八年级北大附中朱天昱女七年级清华附中吕洋男七年级十一学校荆越骞男八年级清华附中李天骜男八年级三帆中学刘会凌男八年级人大附中方明洋男八年级清华附中谢雨彤女八年级清华附中胡行健男八年级人大附中魏王昊男八年级三帆中学冯伟轩男八年级十一学校徐诗雨女八年级人大附中何铠桓男七年级北师大实验中学刘景和男早六人大附中宋子麟男早八人大附中崔轶锴男八年级北师大实验中学杨明瞳女八年级北大附中詹妤婧男八年级北师大实验中学苗中博男八年级北师大实验中学晋子芊女七年级北师大实验中学董子兮女八年级北京四中杭信羽女八年级人大附中分校李兆滢女八年级北师大实验中学韩学思男八年级北京四中邱远男八年级清华附中岳潼男八年级清华附中李思源男八年级北京八中李盛石男八年级北京一零一中尹斯远女八年级北师大实验中学朱潇宇男八年级北师大实验中学杨思远女八年级北师大实验中学何杪松男早七人大附中康瀚文男八年级北京四中李济泽男八年级景山学校李家璨男七年级北师大实验中学王小林男八年级景山学校芮思语女八年级北达资源中学王晴阳男八年级景山学校闰均恒男八年级十一学校纪开轩男八年级清华附中黄博逸男八年级人大附中黄思聪男八年级十一学校刘以豪男八年级人大附中赵光宇男七年级清华附中李亦之女早六人大附中郭元昊男八年级十一学校李昊诚男七年级十一学校蒋楷男八年级朝阳外国语学校彭海悦女八年级清华附中樊洛卿女八年级十一学校李悦欣女八年级清华附中赵嘉瑞男八年级北师大实验中学王浩芃男八年级北京一零一中范子懿男八年级清华附中梁昊男八年级北师大实验中学刘哲男八年级十一学校李立缘女九年级人大附中金平宇男八年级北京一零一中刘骏男八年级北师大实验中学刘蓉蓉女八年级北师大实验中学高雨亭女八年级十一学校余佳珉男七年级十一学校朱子健男八年级北师大实验中学王大任男八年级北京一零一中刘珈可女八年级北京四中冯泊宁女八年级北师大实验中学朱飞宇男七年级人大附中文佳妮女八年级北师大实验中学林骐伟男八年级北师大实验中学高天伟男八年级北京五中分校罗千琪女八年级北京四中柴源男八年级首师大附中吴寒羽男八年级北师大实验中学杨天宇男七年级北京一零一中张锐翀男七年级清华附中张睿馨女八年级三帆中学李裕泰男八年级北师大实验中学李欣媛女八年级北师大实验中学陈泽溥男八年级清华附中韦连悦女七年级北师大实验中学乔川洋男八年级北师大实验中学陈锐恒男七年级北师大实验中学张庆航男八年级北师大实验中学袁源男八年级十一学校何婉榕女八年级清华附中苏小涵女八年级清华附中张哲一女八年级清华附属实验中学杨女成女七年级清华附中刘景清男八年级北京一零一中万子森男早八人大附中胡凌女八年级人大附中杜洋男八年级十一学校金彦妮女七年级清华附中陈彬惠女八年级北京四中王博轩男八年级北京一零一中尹畅男八年级景山学校张惟明男八年级北师大实验中学郑绚文女八年级十一学校吕喆男七年级北师大实验中学谷泓毅男八年级北师大实验中学高国荃男八年级北京五中分校张可欣女八年级北师大实验中学刘秉淇男八年级景山学校李凯阳男早六人大附中屈文杰男八年级北师大实验中学陈惜源男八年级北大附中张宬浩男早七人大附中郝嘉琛男八年级清华附中黄怡然女八年级人大附中陈蓬辉男八年级北京五中分校郝家易男七年级人大附中分校薛翊农女八年级北师大实验中学刘晨男八年级北大附中张皓宸男七年级北师大实验中学殷琪川男七年级北师大实验中学蒋凌睿男七年级清华附中石纪轩男八年级人大附中单明昊男八年级北京十二中王泽韬男八年级清华附中殷乐女八年级清华附中宋祎晗男八年级北京四中马鹏程男七年级人大附中邹灏迪女八年级北京四中高天女八年级清华附中龙飞男七年级人大附中王承雨男八年级北京八中旷楚乔男八年级清华附属实验学校沈于鸿男八年级十一学校马兰馨女八年级首师大附中雷苗苗女八年级北京四中祝楚龙男八年级人大附中霍雨佳女八年级北京十二中郭衍培男八年级人大附中贾国维男八年级北师大实验中学任永骞男八年级清华附中闫涵女八年级北师大实验中学邹灏明男八年级三帆中学喻渤洋男早七人大附中潘紫琪女八年级三帆中学刘岩男八年级北大附中张海墨男七年级人大附中秦亦菲女七年级人大附中吴静文女八年级北师大实验中学姜相宇男八年级人大附中田艺洵女八年级北师大实验中学杨秉衡男八年级北师大实验中学刘娅萱女八年级清华附中孙一宸男八年级北京五中分校顾海威男八年级北大附中范稷源男七年级人大附中三等奖（102名）姓名性别年级学校姓名性别年级学校喻子博男早六人大附中马泓锐男八年级北京五中分校郝汀女七年级北师大实验中学王思丰男八年级清华附中杨璟男八年级北京四中孙逸男八年级北京四中谢禹宸男八年级十一学校胡佳怡女八年级人大附中贾南山男八年级北京五中分校贾维宸男早六人大附中董益江男八年级北京一零一中王悦然女八年级三帆中学孙孚嘉女八年级北师大实验中学毛沐汐男早八人大附中郝帅男八年级清华附中成子淇男八年级北师大实验中学郭晗萱女八年级北京四中时清扬男八年级清华附中潘越女八年级清华附中王竟榕女七年级北师大实验中学牛晨源男八年级北京四中高文昊男八年级三帆中学岳泽洋男八年级北京二中分校孙铭阳男八年级十一学校吴依凡女八年级北京二中分校李欣然女八年级北京八中葛宇恒男八年级北大附中王孟晨男七年级人大附中王非石男八年级北京四中刘谦男八年级景山学校李畯雯女八年级人大附中王子约男八年级北京五中分校乔世琛男八年级北京一零一中杨一凡男八年级三帆中学王莛然男八年级清华附中谷雨男八年级北师大实验中学吴雪莎女八年级北师大实验中学白育奇男八年级北京五中分校徐浩萌男八年级三帆中学郭一凡女八年级北京一零一中徐子轶男八年级北师大实验中学赵辰熙男八年级北师大实验中学李伟楷男八年级清华附中陈慧忠男八年级清华附中贾悦彤女八年级首师大附中贾昊义男八年级北京一零一中林雨晨男七年级人大附中林满钰女八年级北师大实验中学金予晗男七年级北师大实验中学李昶昊男七年级清华附中杜码男七年级人大附中荣天泽男八年级北京四中李意洋男八年级人大附中周泽建男八年级北京八十中常亮男八年级人大附中杜培昀男八年级人大附中李蕴奇男七年级人大附中张居睿男七年级人大附中樊潇宇男八年级北师大实验中学马思超男八年级北京二中分校胡思源男七年级人大附中罗丹阳女八年级十一学校吴家明男八年级北师大实验中学张滋城男八年级人大附中王中原男八年级北师大实验中学衣楚琦女八年级十一学校任思源男八年级清华附中张尧松男八年级北京一零一中李嘉琦男七年级十一学校陆文一男八年级北京八中刘子艺女八年级北师大实验中学唐嘉玥女八年级首师大附中张雪琪女八年级景山学校刘智萌女八年级北师大实验中学隗经阁女八年级十一学校王昊男八年级景山学校远洋分校邹鸿刚男八年级北师大附中高畅女八年级北京一零一中崔君东男八年级北京四中谢芷欣女八年级十一学校王心鸥女八年级十一学校陈翰祺男八年级北京五中分校郁彬男八年级十一学校余维浩男八年级清华附中黄亦宸男早七人大附中于沐尘男八年级人大附中分校杨语薇女八年级北京四中施惟明男13创新北京二中分校陈泓鲲男八年级人大附中王潇扬男八年级十一学校周文韬男八年级北京五中分校邓重昆男八年级景山学校张元璟女八年级清华附中孙英博男七年级人大附中李晓语男八年级人大附中李西可女八年级北师大实验中学宗孚耕男早七人大附中赵天健男八年级北师大实验中学许博然男八年级清华附中马雨楠男七年级北京一零一中张之昊男八年级北京四中张心怡女八年级景山学校。

2010年北京市初二数学竞赛试卷

2010年北京市初二数学竞赛试卷一、选择题（每小题5分，共25分）1．（5分）设x，y为实数，满足，则x2+y2的值是（）A．2B．3C．4D．52．（5分）如图，直线a∥b，∠4﹣∠3＝∠3﹣∠2＝∠2﹣∠1＝d＞0，其中∠3＜90°，∠1＝50°，则∠4的最大可能的整数值是（）A．107°B．108°C．109°D．110°3．（5分）设P是质数，若有整数对（a，b）满足|a+b|+（a﹣b）2＝P，则这样的整数对（a，b）共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对4．（5分）设△ABC的三边长分别为BC＝2，CA＝3，AB＝4，h a，h b，h c分别表示边BC、CA、AB上的高，则＝（）A．B．C．D．5．（5分）如图，正方形ABCD被直线OE分成面积相等的两部分，已知线段OD、AD的长都是正整数，．则满足上述条件的正方形ABCD面积的最小值是（）A．324B．331C．354D．361二、填空题（每小题7分，共35分）6．（7分）如图，已知AB＝2，BC＝AE＝6，CE＝CF＝7，BF＝8，则四边形ABDE与△CDF 面积的比值是．7．（7分）已知，，则k＝．8．（7分）如图，在四边形ABCD中，设∠BAD+∠ADC＝270°，且E、F分别为AD、BC 的中点，EF＝4，阴影部分分别是以AB、CD为直径的半圆，则这两个半圆面积的和是（圆周率为π）．9．（7分）计算：＝．10．（7分）如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接六个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的顶点．则这六个小正方形的面积和是．三、解答题（共40分）11．（10分）如图，在凸五边形ABCDE中，连接AC，BE，AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC ＝2∠DBE．求证：∠ABC＝60°．12．（15分）能否2010写成k个互不相等的质数的平方和？如果能，试求k的最大值；如果不能，请简述理由．13．（15分）某次初二数学竞赛，共有99所学校中学报名参加，每校参赛者中既有男选手，也有女选手，证明：存在其中的50所学校的男选手总数不小于全部男选手总数的一半，且其参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半．2010年北京市初二数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共25分）1．（5分）设x，y为实数，满足，则x2+y2的值是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据x+y＝1，得出x2+y2＝1﹣2xy，再利用x4+y4＝，得出（1﹣2xy）2﹣2x2y2＝，进而求出xy的值，即可得出答案．【解答】解：∵x+y＝1，∴x2+y2+2xy＝1，∴x2+y2＝1﹣2xy，∵x4+y4＝，∴（x2+y2）2﹣2x2y2＝，∴（1﹣2xy）2﹣2x2y2＝，整理得出：2x2y2﹣4xy+1＝，解得：xy＝1±，∴x2+y2＝1﹣2（1+1.5）＝﹣4（不合题意舍去）或x2+y2＝1﹣2（1﹣1.5）＝2．故选：A．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法，熟练地应用完全平方公式得出xy＝1±是解决问题的关键．2．（5分）如图，直线a∥b，∠4﹣∠3＝∠3﹣∠2＝∠2﹣∠1＝d＞0，其中∠3＜90°，∠1＝50°，则∠4的最大可能的整数值是（）A．107°B．108°C．109°D．110°【分析】利用∠4﹣∠3＝∠3﹣∠2＝∠2﹣∠1＝d＞0变形得到∠4＝2∠3﹣∠2，2∠2＝∠3+50°，于是得到2∠4＝3∠3﹣50°，而∠3＜90°，则∠4＜110°，即可得到4的最大可能的整数值．【解答】解：∵∠4﹣∠3＝∠3﹣∠2，∴∠4＝2∠3﹣∠2，又∵∠3﹣∠2＝∠2﹣∠1，∠1＝50°，∴2∠2＝∠3+50°，∴2∠4＝4∠3﹣2∠2＝4∠3﹣∠3﹣50°＝3∠3﹣50°，∴∠3＝，而∠3＜90°，∴＜90°，∴∠4＜110°，∴∠4的最大可能的整数值是109°．故选：C．【点评】本题考查了直线平行的性质：两直线平行同位角相等．3．（5分）设P是质数，若有整数对（a，b）满足|a+b|+（a﹣b）2＝P，则这样的整数对（a，b）共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【分析】因为都是整数，所以|a+b|与（a﹣b）2的奇偶性相同，所以P为偶数，偶数中只有2是质数，所以P＝2，因为|a+b|与（a﹣b）2都是非负数，（a﹣b）2是完全平方数所以（a﹣b）2只能为0或者1．【解答】解：因为|a+b|与（a﹣b）2的奇偶性相同，推出|a+b|+（a﹣b）2＝P必为偶．在质数中，唯一的偶质数只有2一个，故P＝2．则|a+b|+（a﹣b）2＝2，可知：任何整数的平方最小是0，然后是1，4，9…所以此处的（a﹣b）2只有0和1两个选择：①当（a﹣b）2＝0，则|a+b|＝2，解得：a＝b，所以|2b|＝2，|b|＝1，则a＝b＝±1；②（a﹣b）2＝1，则|a+b|＝1，解得：a﹣b＝±1，a+b＝±1，组成4个方程组：a﹣b＝1a+b＝1，解之得：a＝1，b＝0；a﹣b＝1a+b＝﹣1，解之得：a＝0，b＝﹣1；a﹣b＝﹣1a+b＝1，解之得：a＝0，b＝1；a﹣b＝﹣1a+b＝﹣1，解之得：a＝﹣1，b＝0．综上，符合条件的整数对（a，b）共有6对：（1，1）（﹣1，﹣1）（1，0）（0，﹣1）（0，1）（﹣1，0）．故选：D．【点评】解答本题的关键是判断出P的值，再依次推导出|a+b|和（a﹣b）2的值即可．4．（5分）设△ABC的三边长分别为BC＝2，CA＝3，AB＝4，h a，h b，h c分别表示边BC、CA、AB上的高，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的面积公式列出关于h a，h b，h c间的关系式BC•h a＝CA•h b＝AB •h c，然后求得它们之间的数量关系，将这种数量关系代入化简后的代数式并求值．【解答】解：∵△ABC的三边长分别为BC＝2，CA＝3，AB＝4，h a，h b，h c分别表示边BC、CA、AB上的高，∴BC•h a＝CA•h b＝AB•h c，即2h a＝3h b＝4h c；故设2h a＝3h b＝4h c＝t（t＞0），则h a＝，h b＝，h c＝，∴＝（++）（++）＝•＝，即＝．故选：B．【点评】本题考查了三角形的面积．解答此类题目，可以利用比例的基本性质将h a，h b，h c间的数量关系解答出来．5．（5分）如图，正方形ABCD被直线OE分成面积相等的两部分，已知线段OD、AD的长都是正整数，．则满足上述条件的正方形ABCD面积的最小值是（）A．324B．331C．354D．361【分析】根据直线将正方形分成面积相等的两部分，可见OE必过正方形ABCD的中心O′，设BE＝a，OD＝m，表示出O′的坐标，将坐标代入OE的解析式y＝kx，求出m 的值，再根据线段OD、AD的长都是正整数，求出a的最小值．【解答】解：OE一定过正方形ABCD的中心O′．不妨设BE＝a，OD＝m．∴CE＝20a，正方形边长为21a；∴O′（m+10.5a，10.5a），E（m+21a，20a），设OE解析式为y＝kx，∴k（m+10.5a）＝10.5a，k（m+21a）＝20a，∴＝，化简得：m＝a，∵线段OD、AD的长都是正整数，∴m，21a都是正整数，∴21a的最小值为19，此时m＝1．此时正方形ABCD的最小面积为（21a）2＝192＝361．故选：D．【点评】本题考查了一次函数与正方形的性质，找到OE一定过正方形ABCD的中心O′并设出心O′的坐标是解答此类题目的关键．二、填空题（每小题7分，共35分）6．（7分）如图，已知AB＝2，BC＝AE＝6，CE＝CF＝7，BF＝8，则四边形ABDE与△CDF 面积的比值是1．【分析】由题意得AC＝CB+BA＝8，可得AC＝BF，利用SSS可证得△AEC≌△BCF，从而可得S△AEC＝S△BCF，也就得出S△CDF+S△CDB＝S ABDE+S△CDB，这样可求出四边形ABDE 与△CDF面积的比值．【解答】解：由题意得AC＝CB+BA＝8，∴AC＝BF，在△AEC和△BCF中，∴△AEC≌△BCF，∴S△AEC＝S△BCF，故可得S△CDF+S△CDB＝S ABDE+S△CDB⇒S ABDE＝S△CDF，∴四边形ABDE与△CDF面积的比值是1．故答案为：1．【点评】本题考查了面积及等积变换的知识，难度一般，根据题意证明△AEC≌△BCF 是解答本题的关键，另外要注意等量代换在解答数学题目中的运用．7．（7分）已知，，则k＝﹣1．【分析】先从等式右边进行分母有理化，即原式＝﹣2，然后依次循环即可求k的值．【解答】解：由原式可知＝+2﹣4＝﹣2，∴4+＝+2，依此类推得：＝+2，∴k＝﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了分母有理化的知识，解题时可从等式右边进行分母有理化，那样会简便些．8．（7分）如图，在四边形ABCD中，设∠BAD+∠ADC＝270°，且E、F分别为AD、BC 的中点，EF＝4，阴影部分分别是以AB、CD为直径的半圆，则这两个半圆面积的和是8π（圆周率为π）．【分析】连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，EM交BC于N，根据三角形的中位线定理推出EM＝AB，FM＝CD，EM∥AB，FM∥CD，推出∠ABC＝∠ENC，∠MFN＝∠C，求出∠EMF＝90°，根据勾股定理求出ME2+FM2＝16，根据圆的面积公式求出阴影部分的面积即可．【解答】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，延长EM交BC于N，∵∠BAD+∠ADC＝270°，∴∠ABC+∠C＝360°﹣270°＝90°，∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，∴EM＝AB，FM＝CD，EM∥AB，FM∥CD，∴∠ABC＝∠ENC，∠MFN＝∠C，∴∠MNF+∠MFN＝90°，∴∠NMF＝180°﹣90°＝90°，∴∠EMF＝90°，由勾股定理得：ME2+FM2＝EF2＝42＝16，∴阴影部分的面积是：π+＝π×（ME2+FM2）＝π×16＝8π．故答案为：8π．【点评】本题主要考查对勾股定理，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，三角形的中位线定理，圆的面积，平行线的性质，面积与等积变形等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线并求出ME2+FM2的值是解此题的关键．9．（7分）计算：＝．【分析】把前面2010个分数的和看作被减数，后面2009个分数的和的看作减数，本题就是求它们的差．由于被减数中每一个分数的分子都是1，分母都是2个数的乘积，且这两个数的和为1+2010＝2+2009＝…＝2010+1＝2011，所以将每一个分数改写成两个分数的和，＝＝（+），＝＝（+），依此类推，＝（+）；同理，减数中每一个分数也可以改写成两个分数的和，＝（+），＝（+），…，＝（+），然后根据运算法则及乘法的分配律计算即可．【解答】解：＝（++++…++）﹣×（++++…++）＝（++++…++﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）＝（+）＝×＝．故答案为：．【点评】本题考查了有理数的混合运算，属于竞赛题型，难度较大．关键是通过观察，发现分数之间的特点，从而将每一个分数改写成两个分数的和．10．（7分）如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接六个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的顶点．则这六个小正方形的面积和是．【分析】如图，过点Q作QF⊥AD，垂足为F，可以得到△BQP∽△FQN，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到QB和DN，根据勾股定理可求QN的长，从而求出六个小正方形的面积和．【解答】解：如图所示：∵正方形ABCD边长为10，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝10，过点Q作QF⊥AD，垂足为F，则∠4＝∠5＝90°，∴四边形AFQB是矩形，∴∠2+∠3＝90°，QF＝AB＝10，∵六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中，∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠PQB，∴△BQP∽△FQN，∴＝＝，∴＝，∴QB＝2．∴AF＝2．同理DN＝2．∴NF＝AD﹣DN﹣AF＝6．∴QN＝＝＝2，∴小正方形的边长为，则六个小正方形的面积和是6×（）2＝．故答案为：．【点评】考查了面积及等积变换，本题主要利用相似三角形的判定和相似三角形对应边成比例的性质和勾股定理，综合性较强，有一定的难度．三、解答题（共40分）11．（10分）如图，在凸五边形ABCDE中，连接AC，BE，AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC ＝2∠DBE．求证：∠ABC＝60°．【分析】等腰三角形的底角相等，一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【解答】证明：∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，同理∠CBD＝∠CDB．∵∠ABC＝2∠DBE，∴∠ABE+∠CBD＝∠DBE，∵∠ABE＝∠AEB，∠CBD＝∠CDB，∴∠AEB+∠CDB＝∠DBE，∴∠AEB+∠CDB＝180°﹣∠BED﹣∠BDE，∴∠AEB+∠BED+∠CDB+∠BDE＝180°，∴∠AED+∠CDE＝180°，∴AE∥CD，∵AE＝CD，∴四边形AEDC为平行四边形．∴DE＝AC＝AB＝BC．∴△ABC是等边三角形，所以∠ABC＝60°【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理．12．（15分）能否2010写成k个互不相等的质数的平方和？如果能，试求k的最大值；如果不能，请简述理由．【分析】先把2010分解成分解为几个质数的平方和的形式，再求出k的值即可．【解答】解：∵22+32+72+132+172+232+312＝2010；22+32+72+112+132+172+372＝2010．∴k＝7．【点评】本题考查的是质数与合数，能把2010分解为几个互不相等的质数的平方和的形式是解答此题的关键．13．（15分）某次初二数学竞赛，共有99所学校中学报名参加，每校参赛者中既有男选手，也有女选手，证明：存在其中的50所学校的男选手总数不小于全部男选手总数的一半，且其参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半．【分析】根据题意通过假设的方法依次进行论证．【解答】解：（1）如果有50所学校的男选手总数大于或等于全部男选手总数的一半，那就无需证明成立了，（2）如果有50所学校的男选手总数小于全部男选手总数的一半，那么剩下的49所学校的男选手总数就应该超过全部男选手总数的一半，因此，这49所学校的男选手数再任加1所学校的男选手数，其总数也必超过男选手总数的一半，同样道理，可证参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半．【点评】本题主要考查了推理与论证的方法，需要考虑周全，比较简单．。

2014高一数学竞赛

2014年北京市中学生数学竞赛高一年级获奖名单一等奖（78名）姓名性别年级学校姓名性别年级学校卢丹葳女高一北师大实验中学邓京阳男高一人大附中林一衡男高一人大附中刘丹妮女高一北师大实验中学黄巍男高一北师大实验中学王宇琪男高一清华附中周展平男高一人大附中章哲昆男高一十一学校王若凡男高一北师大实验中学范弘毅男高一十一学校傅涵浩钰女高一北京四中李昀之男高一北京四中何章恺男高一北京四中王子杰男高一北师大实验中学马子麒女高一人大附中张恰然女高一陈经纶中学黄清扬女高一北师大实验中学于济坤男高一北京十二中李孝天男高一北京四中王嘉曦男高一北京十二中张翔宇男高一人大附中游弘晢男高一北京四中王旭琛男高一人大附中李研男初三北京五中分校彭俊尧男初三人大附中林彦涵男高一北京一零一中王玉女高一北京四中李书恒男高一北京一零一中那天行男高一北师大实验中学陈天一男高一北京一七一中季北辰男高一人大附中王凯章男高一北师大实验中学杨育璋男高一北师大实验中学朱怡洁女高一北师大实验中学陆嘉琛男高一北京二中赵婧瑶女初三北师大实验中学蒋易悰男高一北京四中舒业硕男高一民大附中陈家润男高一北京一零一中赵彤阳男高一人大附中王星瀚男初三北师大实验中学贾泽宇男高一人大附中包雨轩男高一人大附中裴元男高一人大附中崔浚鸥男高一北师大实验中学刘晟芊男高一十一学校包浩然男高一民大附中王健佑男初三十一学校刘睿男高一北师大实验中学徐天涵男高一八一中学程卓男高一人大附中苏涵女高一北大附中王嘉文男高一人大附中初纯光男高一北大附中郑汉唐男高一人大附中顾佳卿女高一北京八十中钟岩青男高一人大附中孙渤缘男高一北京二中彭正阳男高一北京一零一中李一腾男高一北师大实验中学张临云男高一清华附中张绍磊男高一景山学校赵毓瑾女高一清华附中王宪盟男高一人大附中张潞璐女高一人大附中王浩男男高一人大附中白瑞恒男高一景山学校李冬煜男高一十一学校于雨辰女高一人大附中赵昊喆男高一十一学校姓名性别年级学校姓名性别年级学校孙浩哲男高一首师大附中杜嘉涵男高一北京五中张梓航男高一北师大实验中学黄子琦男初三北京一零一中孙奥博男高一十一学校焦怡泽男高一北师大附中杜弘睿男高一北大附中陈宇飞男高一人大附中二等奖（103名）姓名性别年级学校姓名性别年级学校余江晖男初三北京五中分校孙晨楠女高一北京八十中罗季男高一北师大二附中王蕾女高一北京二中顾子毅男高一清华附中李舒阳男高一北京十二中张子豪男高一人大附中袁琦男高一北京一零一中李瑞晨男高一十一学校赵寅轩女高一北京一零一中郑锦华男高一北大附中崔曼修男高一北师大实验中学李天宇男高一北京四中原宇轩男高一北师大实验中学袁碧徽女高一北师大二附中王君玉女高一怀柔一中程名锐男高一北师大实验中学杜林翰男高一景山学校武建宇男初三北师大实验中学幸咏轩男初三景山学校董舰桥男高一景山学校黄宇昊男高一人大附中陈心怡女高一北京四中易希理男高一人大附中杨关霖男初三北师大实验中学宋东泽男高一人大附中马逸婷女高一景山学校吴昊男高一人大附中张雅雯女高一人大附中郑欣然女高一十一学校李江男高一人大附中李知雨女高一十一学校王卓远男高一北京八中梅子芃男高一北京十三中李泽涵男高一北京八中吉哲男高一北师大实验中学张家斗男高一北京四中刘恺闻男初三北师大实验中学谢飞廉男高一北京一零一中刘述凯男初三景山学校胡钧淇男高一景山学校孙博彦女高一清华附中王啸辰男高一清华附中苏浩洋女高一清华附中薛彦钊男高一人大附中刘博文男高一人大附中舒惠泽男高一北师大实验中学尹志祎男高一十一学校王欣宇男高一杨镇一中夏婧涵女高一首师大附中胡欣宇女高一北京八中郭锦恩男高一北京四中周博轩男高一北京一零一中刘俊歧男高一北京四中王牧峰男高一北京一零一中余江岳男高一清华附中王睿煊女高一北京一零一中张梓宁男高一清华附中李天翊女高一北师大二附中卢江天男高一人大附中胡易居女高一北师大实验中学薛竟一男高一十一学校董玎玎女高一北大附中张汤浩然男高一人大附中王永骜男高一北京二中李志恒男高一十一学校吴頔男高一北京四中胡晓潇男高一北师大实验中学崔雅琪女高一北京一零一中康孟博男高一北京十二中陈肇盟男高一北京一零一中郑博晨男高一北京四中祁特女高一北师大实验中学王镕祥男初三北京五中分校黄京磊男高一北师大实验中学孟庆霖男高一北京一零一中徐明宽男初三北师大实验中学梅阳男高一北京一零一中朱嘉翊男高一清华附中金元明男高一北师大附中崔旭萌女高一人大附中张贤睿男高一汇文中学徐呈寅男高一人大附中孙丹童男高一人大附中周玲西女高一人大附中刘昕怡女高一十一学校程怡然女高一十一学校贺逸涵男高一十一学校代家麟男高一北京四中许鹤凡男高一北京四中沈滨沨男高一北京五中张润宇男高一北京四中李泽宇男高一北师大二附中董正男高一北京五中金祉樵男高一民大附中方云逸男高一北京一六一中程亦平男高一清华附中郑之恺男高一景山学校张璟华女高一人大附中潘佳音女高一人大附中吴苇航女高一人大附中赵誉雄男高一人大附中孙榕泽男高一人大附中三等奖（102名）姓名性别年级学校姓名性别年级学校王昊男高一北京八十中魏思源男高一人大附中闫传麒男高一北京二中杨嗣祺女高一十一学校贾心琨女高一北京四中付瑜菲女高一十一学校赵旭瑞男高一北京四中张慧雯女高一北京八十中王力铖男高一北京四中周子涵男高一北京八中郭江濛女高一北京四中邢洛赫男高一北京十三中马谨然男高一北京一零一中李天志男高一北京四中李济宸男高一北京一零一中张无为男高一北京一零一中宋闻竹女高一北京一零一中史大譞男高一北师大二附中郑仁杰男高一北师大附中郭稼轩男高一北师大附中张宇佳男高一景山学校王昊然男高一北师大实验中学张霁恺男高一景山学校贾屿男高一北师大实验中学刘淏伟男高一立新学校杨承霖男高一北师大实验中学耿旌轩男高一牛栏山一中刘子骁男高一汇文中学高子琦男高一汇文中学李拓新男高一十一学校张盛才男高一民大附中任怡冰女高一北大附中董筱女高一民大附中刘铮男高一北京十八中刘羽翀男高一民大附中王小涵女高一北京四中耿思嘉女高一人大附中周朴淳男高一北京一零一中荣建华女高一人大附中彭宇辰男高一北师大实验中学胡筱彤女高一十一学校谭嘉斌男高一北师大实验中学肖泽菁男高一十一学校岳顺禹男初三北师大实验中学王子奇女高一十一学校杨楚来男初三北师大实验中学林忻桐女高一十一学校张宣松男高一汇文中学顾煜贤男高一十一学校刘盛平男高一汇文中学徐擎女高一顺义一中徐浩东男高一交大附中郝赫男高一顺义一中李享男高一景山学校徐世豪男高一北京八中楼书豪男高一景山学校崔正元男高一北师大实验中学朱逸清男高一景山学校褚子豪男高一北师大实验中学袁帅男高一民大附中陈忱女高一北师大实验中学任建阳男高一延庆一中贝冰玥女高一朝阳外国语学校陈肇宁男高一北京五十七中陈禹澄男高一景山学校施歌男高一北京五中李钧弘男初三景山学校张帜航女高一汇文中学杨宇涵男高一牛栏山一中李昱彤男高一清华附中鲍文轩男高一清华附中何逸飞男高一人大附中柯天润男高一清华附中刘柏君男高一十一学校刘昆玉女高一人大附中于腾男高一密云二中黄心宇男高一十一学校周杨男高一昌平一中吴乐周男高一十一学校阴宏伟男高一大兴一中马浩睿男初三十一学校李嘉浩男高一大兴一中黄从舒男高一北京八十中李娜女高一首师大红螺寺中学洪毅凡女高一北京四中李思桐男高一密云二中朱广原男高一北京一零一中宋智威男高一密云二中杨旭航男高一北师大实验中学王堃男高一密云二中徐中恕男高一北师大实验中学李玲秀女高一平谷中学李沛岩男初三北师大实验中学海育杰女高一首师大红螺寺中学陈启文男初三景山学校高坦博男高一大兴兴华中学何佳文男高一人大附中张情女高一大兴一中徐浩昱男高一十一学校张智男高一大峪中学赵海渏男高一十一学校张小贤女高一平谷中学。

初中数学竞赛中不定方程的整数解问题

２１０２年第５期
５
求ａｂ、的值．
（０８全国初中数学联赛）２０，
解原方程可化为
‘
．
进而，＝６
练习题
１求方程＋ｙ６的整数解．．＋＝（９６湖北省初中数学竞赛）１９，提示：仿例１可求得，
［ａ３￣ ± ６＋ｂ一
（ｌＡ）
（２Ｂ）
（３ｃ）
（４Ｄ）
其整数解分别为
－
（ｏ４全国初中数学竞赛天津赛区初赛）２０，
解一３ｙ＝知ｌｘ＋ｌ— ０，￣ｌ
＋
２，一４，２ｆ４１５
【＝４；【２１Ｙ４５Ｙ＝２．
当 ≥ｙ，时原方程还有两组整数解
由＋＝，ｚ（去．专÷ 解：舍）１得３
故原方程的正整数解为
（Ｙｚ，，）＝（，，４和（，８．２３２）２４，）
５利用罄除和同余
同上，，都是偶数．ａｂ
设口＝ｃｂ＝ｄ则２，２．ｃ＋ｄ＝２ｃｄ．２５（— １
１但２Ｏ１４除余３矛盾．，ｌ被，（ｉ若ｎｉ）为奇数，记
＝

４８
Ｙ＝３２
２ｋ＋１ｍ —ｎ＝２，ｑ＋１ｍ＋ｌ＝２，１ｐ＋１．．
６参数法
则由式①得
４２＋１＋（ｐ＋１＋（ｋ）（ｑ）２）２２＋１
２
中等数学
初中数学竞赛中不定方程的整数解问题

2016年北京市初二数学竞赛(学生版)

【题 7】正数 a ， b ， c 使得等式 a 2 a 1 b 2 b 1 c 2 c 1 a a 1 b b 1 c c 1 成立，试确定
1956a 2 1986b 2 2016c 2 的值为_____21
C.42
D.63
【题 5】一张三角形纸片的长为 1 的边仅与一个边长为 1 的正 12 边形纸片的一条边重合，平放在桌面上，则所得到的凸多边形的边数一定不是（）
A.11
B.12
C.13
D.14
【题 6】已知 24 t 2 8 t 2 2 ，求 24 t 2 8 t 2 的值为_______．
【题 10】如果正整数 x，y 满足等式 x2 84 x 2016 y 2 ，求 x3 y 2 的值__________．
【题 11】已知正整数 a，b，c，d 满足 ab cd ，求证： a 2016 b 2016 c 2016 d 2016 是合数．
A
【题 12】△ABC 是正三角形，在 BC 上取点 A1 ， A2 ，在 CA 上取点 B1 ， B2 ，在 AB 上取点 C1 ， C 2 ，使得凸六边形 A1 A2 B1 B2 C1C2 的边长都相等，如图所示，求证：直线 A1 B2 ， B1C 2 ， C1 A2 相交于．
C1 C2 B A1
B2 B1 A2 C
【题 13】一个自然数 n 若能表示为若干个正整数的和，且这些正整数的倒数和也恰等于 1，则称 n 为“金猴数”，比如 2 4 8 8 22 且
1 1 1 1 1 ，22 就是一个“金猴数” 2 4 8 8
（1）证明：11 与 28 是两个“金猴数”；（2）证明：如果 n 是“金猴数”，则 2n 2 、 2n 9 也是“金猴数”；（3）请你判定：2016 也是“金猴数”．

北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题.doc

一、（分 25 分，每小只有一个正确答案，答得5 分）1.当 m1，代数式21 5m m 9 mm 3的是（）6 m 2 9 m 2 m 3 m 3A. －1B.1C.1D.1222.一个正八形中最的角等于a ，最短的角等b ，个正八形的面（）A. a 2 b 2B. a 2b 2C.a bD. ab3. 111 1 16 11 26 26 1 1 的是（）.6 11 16 2121 31 31 36A.1B.1C.1D.1183633664.若 n 是正整数， 1×2×3×⋯× n=n! ，比如 1！=1，4！=1×2×3×4=24，等等，若 M=1! ×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！， M 的数中是完全平方数的共有（）A.504 个B.672 个C.864 个D.936 个5.将 2009 表示成两个整数的平方差的形式，不同的表示方法有（）A.16 种B.14 种C.12 种D.10 种二、填空（分 35 分，每小 7 分）1.45.12 13.9 2 45.1 13.9 的等于.31.22.平行四形 ABCD 中，AD= a ，CD=b ，点 B 分作 AD 上的高h a 和 CD 上的高 h b ，已知 h a a ， h b b ，角AC=20 厘米，平行四形 ABCD的面平方厘米 .3. 0 a 1 1 2 3 28 29，并且 a a a a a 18 ，已知30 30 30 30 30则 10a 等于.（其中x 表示不超过 x 的最大整数）4.已知△ ABC 中，∠A，∠B，∠C 的外角度数之比为α∶β∶γ（α，β，γ均为正数），则∠ A ∶∠ B∶∠ C 等于（.用含α，β，γ的式子之比表示）5.当1x 2 时，经化简x 2 x 1x 2 x 1 等于.三、（满分 10 分）已知 a b c 0 ，a2b2c21.（1）求ab bc ca的值（2）求a4b4c4的值四、（满分 15 分）如图所示，六边形ABCDEF 中， AB=BC=CD=DE=EF=FA ，并且∠ A+ ∠C+∠E=∠B＋∠ D＋∠ F，求证∠ A＝∠ D，∠ B=∠E，∠ C=∠ F.五、（满分 15 分）BCA DF E（1）证明：由 2009 个 1 和任意个 0 组成的自然数不是完全平方数；（2）试说明，存在最左边 2009 位都是 1 的形如1111的自然数2009个1（其中 * 代表阿拉伯数码）是完全平方数.。

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2014年北京市中学生数学竞赛（初二）试题
一、选择题（每小题5分，共25分）
1.若5=+b a ，则ab b
ab a b b a a 32
2
4
224+++++=（） A ．5 B.
253 C. 52 D. 2
5
5 2.已知一个面积为S 且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为A 的小正六边形的顶点. 则
S
A
=（） A ．41 B. 3
1
C. 22
D. 23
3.在数29 998，29 999，30 000，30 001中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是（）
A ．30 001 B. 30 000 C. 29 999 D. 29 998
4.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数x
y 1
=
在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3
5
12=-x x . 则=∆AOB S （）
A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 14132
5.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（） A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008 二、填空题（每小题7分，共35分）
1.在1～10 000的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有个.
2.
=⨯+++]
2015[]2014[]
2016[]2015[]2014[]2013[ （][x 表示不超过实
数x 的最大整数）.
3.在四边形ABCD 中，已知BC=8，CD=12，AD=10，∠A=∠B=60°.则AB= .
4.已知M 是连续的15个自然数1，2，…，15的最小公倍数.若M 的约数中恰被这15个自然数中的14个数整除，称其为M 的“好数”.则M 的好数有个.
5.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则
21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -的最大值为 .
三、（10分）已知0)()()(222=-+-+-b a c a c b c b a .证明：a ，b ，c 三个数中至少有两个相等.
四、（15分）在凸四边形ABCD 中，已知∠BAC=30°，∠ADC=150°，且AB=DB.证明：AC 平分∠BCD.
五、（15分）某校对参加数学竞赛的选手的准考证进行编号，最小号为0001，最大号为2014.无论哪名选手站出来统计本校其他所有选手准考证号数的平均值时，发现所得的平均值均为整数.问这所学校参加竞赛的选手最多有多少名？
参考答案
一、选择题（每小题5分，共25分）
5.设2 015个整数为1x ，2x ，…，2015x .记1x +2x +…+2015x =M.不妨设M-i x =i （i =1，2，…，2014），M-2015x =A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A 除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当i x =1008-i （i =1，2，…，2014），2015x =1时取到. 二、填空题（每小题7分，共35分）
4.M=1311753223⨯⨯⨯⨯⨯，则M 的约数中恰能被这15个自然数中的14个整除的有四个，即2M 、3M 、11M 、13
M
. 5.由题意记
S=21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -. 该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如48-+74-+17-+51-+25-+62-+36-+83-=32. 三、由左边进行因式分解得到0))()((=---c a c b b a 即可.
四、提示：作点B 关于AC 的对称点E ，连接AE 、BE 、DE.则△ABE 为正三角形，下面证明E 、D 、C 三点共线即可.可设∠DBE=θ，可得到∠EDA=30°. 五、设该校共有n 名选手参赛，其准考证号依次为
20141121=<<<<=-n n x x x x .
依题意知+∈=--++=
Z n k n x x x x S k
n k ),,2,1(1
21 .
对任意)1(,n j i j i ≤<≤均有+∈--=
-Z n x x S S i j j i 1
.
于是，1-≥-n x x i j .
故2122111)1()()()(-≥-++-+-=----n x x x x x x x x n n n n n
452013)1(12≤⇒=-≤-⇒n x x n n .
由于
1
1
2014--n 为整数，从而，1-n 为2013的约数. 注意到，2013=3×11×61不超过45的最大约数为33.于是，n 的最大值为34，即参赛选手最多有34名.
这样的34名选手的号码是可以实现的.如2014),33,,2,1(323334==-=x i i x i . 因此，该校参加竞赛的选手最多有34名.。