无穷大无穷小两个重要极限

穷
时，
x
12
是无穷小量；当
x
时，
1 x2
是无
小
穷小量。
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一
、
定义：若 y f x在自变量 x的某个变化趋势
无
中的绝对值无限增大，则函数 y f x叫做在
穷
该变化过程中的无穷大量，简称无穷大，记作
大
lim f (x) 。
与
例如，当
x
0时，x3
1
2
x
是无穷大量；当
x
1
无 穷
• 能熟练的利用两个重要极限的结论求 给的函数的极限
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一
、
1、定义
无
定义：若 y f x在自变量 x的某个变化趋势
穷
中的极限为 0，则函数 y f x叫做在该变化
大
过程中的无穷小量，简称无穷小，即
与
lim f (x) 0。
无
例如，当 x 0时，x3 2x是无穷小量；当 x 1
与
lim f (x) A的充要条件是 f (x) A a ,其中a 是
无
xx0
x
穷 该变化趋势下的无穷小。
小
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4、无穷小的三个性质
一
、
⑴ 有限个无穷小量的代数和是无穷小。
无
⑵ 有限个无穷小量的乘积是无穷小。
穷
⑶ 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小。
大
与
无
穷
小
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an bn
解
0
nm
析
a0 b0
nm
nm
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例4 根据上题的结论填空
常 见
1、lim x
x3 x2
3x 2x
2
例
2、lim x
x3 x2
3x 2x
2
0
题
3
解
3、lim x
3x3 2x3
3x 2x
2
2
析
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4、若m 3
,则lim x
2xm 3x x3 2x
5、实际解题应用
例 1：求极限 lim x 4
x1 x 1
常
解：当 x 1时，分母的极限为零，所以不能
见
用商的运算法则，但分子的极限
例
lim x 4 5 0，于是，lim x 1 0 0
题
x1
x1 x 4 5
由无穷小与无穷大关系知：lim x 4
解
x1 x 1
析
倒数法，适用范围分母极限为0，分子极限
2
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例5
求
lim
n
1
23 3n2
... 4
n
常 见
解：
nn 1
1 2 3 ... n
2
例 题
1 2 3 ... n
lim n
3n2 4
lim
n
n2 n 6n2 8
解
1
析
6
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例6
求lim n
2n 4n
3 1
常 见 例
解：
lim 2n 3 n 4n 1
二、 两 个 重 要 极 限
其中t 可以是自变量也可以是中间变量。
使用这两个公式时一定要注意公式的形式特
征和变量的变化趋势。对于lim sin t 1，要 t0 t
使 t 0 且分子、分母为同一变量t 。防止
出现lim sin 2x 1这样的错误。 x0 x
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例 1：求lim tan x x0 x
不为0
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例 2：求
x2 x 2
lim
x2
x2 4
常 见
解：
lim
x2
x2 x2
x
4
2
lim (x 2)(x 1) x2 (x 2)(x 2)
例
lim x 1 3 x2 x 2 4
题
解
通分法：适用范围，分子分母极限同时
析
为0的有理分式
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例
3：求lim x
lim 1 1 x2 x 1 1 2
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二、 两 个 重 要 极 限
令t 1
1、lim sin x 1
x
x0 x
x0 ,t
1
limt sin 1
t
t
1
2、lim1 xx e 1 x0 1 倒数
令t 1 x
x0 ,t
limBaidu Nhomakorabea
t
1
1 t t
e
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关于两个重要极限的几点说明：
a0 xn b0 xm
a1xn1 a2 xn2 ... an1x an b1xm1 b2 xm2 ... bn1x bn
常
求解方法：分子分母同除以x的最高次幂
见
一般的有如下结论：
例 题
lim
x
a0 xn b0 xm
a1xn1 b1xm1
a2 b2
xn2 xm2
... an1x ... bn1x
lim
2n 4n
3 4n
题
n
1
1 4n
解
析
00 0 1 0
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例 7 求lim x 2
x2 x 1 1
常
x 2 x 1 1
见
解：原式 lim x2 x 1 1 x 1 1
例 题
lim x 1 1 2 x2
解 析
同理，若分子出现根式，方法一样—根式 有理化
lim x 1 1 lim x 1 1 x 1 1 x2 x 2 x2 x 2 x 1 1
第一章 极限与连续
第三节 无穷大与无穷小 第四节 两个重要极限
• 知道什么是无穷大什么是无穷小（除 了0以外，两个都是变量）
• 理解无穷小的三个性质（此三个性质
重
是无穷大没有的）
点
• 掌握利用无穷大与无穷小的关系求函 数极限的方法。
难
• 熟悉求几种不同类型的函数的极限的
点
方法。
• 掌握两个重要极限的形式，变形形式
与
小，都不是无穷小
无
• 5、指出一个变量是无穷大或者无穷小的 同时，要指出变化趋势。
穷 • 6、0是唯一的一个无穷小常数。
小
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2、两者的关系
一 在自变量的同一变化过程中，如果 f x为无
、 无
穷大量，则
f
1
x
是无穷小；反之，如果
f
x为
穷
无穷小量，且
f
x
0，则
f
1
x
是无穷大量。
大 3、无穷小与函数极限的关系
解： lim tan x lim sin x 1
应
x0 x
x0 x cos x
用
举
lim sin x lim 1 x0 x x0 cos x
例
11 1
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例 2：求lim sin Rx （ R 0） x0 x
时，
x
1
12
是无穷大
量；当
x
时，
x
2
是
无
小
穷大量。
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• 注意
一 • 1、除了0以外，无穷大与无穷小都是变量
、 • 2、无穷小，不是指数值越来越小，而是
无
指数值越来越趋近于0 • 3、无穷大有两种情形，一是正的无限增
穷
大，一是负的无限增大
大
• 4、任何一个常数，无论多大都不是无穷 大，除了0以外，任何一个常数，无论多
2
0
常 见 例
若m 3 若m 3
,则lim x
2xm 3x x3 2x
2
,则lim x
2xm 3x x3 2x
2
2
题 解
5、若m
2,则lim x
2xm 3x x3 2x
2
0
析
若m
4,则lim x
2xm 3x x3 2x
2
若m
3,则lim x
2xm 3x x3 2x
2