无穷大无穷小两个重要极限
函数与极限数列极限函数极限无穷大与无穷小的性质两个重要
1.函数与极限：数列极限、函数极限；无穷大与无穷小的性质；两个重要极限；函数的连续性与间断点；闭区间上连续函数的性质。
2.导数与微分：导数概念；函数的求导法则、二阶导数；函数的微分；洛比达法则；函数的单调性与极值。
3.不定积分与定积分：原函数与不定积分的概念；第一换元积分法与第二换元积分法；分部积分法；微积分基本公式、牛顿-莱布尼茨公式；定积分性质与计算；反常积分的计算。
4.微分方程：微分方程的基本概念、变量分离方程、齐次微分方程；一阶线性齐次微分方程、一阶线性非齐次微分方程、常数变易法。
5.多元函数微分：多元函数的概念、二元函数的极限和连续性；偏导数的概念、偏导数计算；全微分概念、全微分的计算；多元函数的极值及其求法。
6.二重积分：二重积分的计算；重积分的应用。
7.无穷级数：常数项级数的概念和性质、收敛法则；幂级数的概念及收敛半径、收敛域；函数展开成幂级数的方法；掌握判别无穷级数、正项级数和交错级数的敛散性的方法；理解绝对收敛与条件收敛的关系。
无穷小(大)与极限运算(无穷小的比较)及两个重要极限
第4、5讲 无穷小（大）与极限运算（无穷小的比较）及两个重要极限 一、计划学时：2节 二、内容三、要求 四、重点 五、难点六、教学过程：（一） 无穷小与无穷大 一、无穷小量定义1 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量，简称为无穷小。
无穷小量只是极限的一个特殊情况（A =0），因而可由极限的不等式定义得到无穷小的精确定义，共有七种，先以x →x 0为例给出无穷小的精确定义：定义2 设函数f (x )当|x |充分大时有定义。
若 ∀ M >0，∃ X >0，∍ |x |> X ⇒ ⎪f (x ) ⎪>M ，则称函数f (x )当x →∞时为无穷大量，记为)()(∞→∞→x x f 或∞=∞→)(lim x f x . 注 由无穷大定义知，无穷大不是数，再大的数也不是无穷大。
且若函数是无穷大，则函数必无极限。
但为描述函数的这种变化趋势的性态，也称函数的极限是无穷大。
如：x →0时，x 1是无穷大；x → -1时，2)1(1x +也是无穷大；x →∞时，1-ln x 是无穷大。
显然这些无穷大的变化趋势不相同，随着x →∞，的值非负且越来越大，而1-ln x 则取负值且绝对值越来越大，在数学上加以区别就是正无穷大+∞与负无穷大-∞。
将定义2中的“|x |> X ”相应地改为“x < X ”和“x >-X ”即可得到x →∞时正无穷大和负无穷大的定义。
共有21种无穷大的定义。
例2 证明∞=-→11lim 1x x . 证 ∀ M >0，要使⎪f (x ) ⎪=│11-x │>M ，只要 | x -1|< M 1，取 δ =M1，则当δ<-<|1|0x 时，⇒ │11-x │>M ， ∴ ∞=-→11lim1x x . 注❶ 证明无穷大的思想方法完全同于极限证明部分。
❷ 从图形(图10—13)上看直线 x =1是曲线y = 的垂直渐近线。
两个重要的极限8个公式
两个重要的极限8个公式1. 重要的极限概念：介绍极限的定义和重要性极限是数学中一种重要的概念，用来描述函数在某个特定点或无穷远处的行为。
它在微积分、数学分析以及物理学等领域都有着广泛的应用。
极限的定义可以简单地说就是函数在某个点取逼近值时的极限值。
2. 极限公式：介绍极限公式的概念和常用的公式极限公式是用来计算函数在特定极限情况下的值的数学公式。
常见的极限公式包括：- 代数极限公式：如乘积的极限、商的极限、和的极限等；- 指数函数和对数函数的极限公式：如指数函数的极限、自然对数函数的极限等；- 三角函数的极限公式：如正弦函数、余弦函数的极限等；- 复合函数的极限公式：如复合函数的极限法则等；3. 重要的极限公式1：拉'Hospital法则拉'Hospital法则是一种用于解决一些涉及无穷大与无穷小的不定型极限的方法。
该法则可以用于求解一些无法直接得出极限的函数，如极限中分子和分母都趋向于0或趋向于无穷大的情况。
4. 重要的极限公式2：泰勒级数泰勒级数是将一个函数表示为一系列无穷多个多项式的和的方法，适用于近似计算各种函数的值。
对于某些函数，可以通过泰勒级数来计算它在某个特定点的极限值。
5. 重要的极限公式3：柯西极限定理柯西极限定理是一种用于验证函数极限存在的方法。
根据柯西极限定理，如果对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当函数自变量的取值在某一范围内，且与函数极限点的距离小于δ时，函数的值与极限的差的绝对值小于ε，则函数在该点存在极限。
6. 重要的极限公式4：正弦函数极限公式正弦函数的极限公式可以帮助我们计算正弦函数在某个特定角度的极限。
例如，sin(x)/x的极限在x趋向于0时等于1，这可以通过三角函数的性质和数列极限的概念来证明。
7. 重要的极限公式5：自然对数函数极限公式自然对数函数的极限公式可以用来计算自然对数函数在某个特定值处的极限值。
一个常见的例子是ln(1+x)/x的极限在x趋向于0时等于1，这可以通过泰勒级数展开和估计得出。
1.5极限的运算法则、两个重要极限
又 Q x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k < 3 + 3 < 3,
∴ lim x n 存在.
n→∞
2 lim x n + 1 = lim ( 3 + x n ), n→ ∞ n→∞
2 Q x n+1 = 3 + x n , x n+1 = 3 + x n ,
存在如果推论2limlimlimlimlimlim分母的极限都是零分子1后再求极限因子先约去不为零的无穷小分母的极限都是无穷大分子再求极限分出无穷小去除分子分母先用无穷小因子分出法小结
1.5 极限的运算法则、两个重要极限 极限的运算法则、
• 一、极限的运算法则 • 二、两个重要极限 • 三、无穷小量的比较
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
例7
3 1 lim( − ) 3 x →1 1 − x 1− x
两个重要极限教案(修改
两个重要极限教案教学目标：1. 理解极限的定义和性质。
2. 掌握两个重要极限的表达式和应用。
3. 能够运用两个重要极限解决实际问题。
教学内容：第一章：极限的定义和性质1.1 极限的定义1.2 极限的性质1.3 极限的存在条件第二章：两个重要极限2.1 极限lim(x->0) (sin x / x) = 12.2 极限lim(x->∞) (sin x / x) = 02.3 两个重要极限的证明和应用第三章：极限的计算方法3.1 直接计算法3.2 因式分解法3.3 代数运算法第四章：无穷小和无穷大4.1 无穷小的定义和性质4.2 无穷大的定义和性质4.3 无穷小和无穷大的比较第五章：极限的运算法则5.1 极限的基本运算法则5.2 极限的复合运算法则5.3 极限的逆运算教学过程：第一章：1.1 引入极限的概念，引导学生理解极限的定义。
1.2 引导学生通过举例和观察，总结极限的性质。
1.3 引导学生探讨极限的存在条件，并举例说明。
第二章：2.1 引导学生理解两个重要极限的表达式，并通过图形和实例进行解释。
2.2 引导学生掌握两个重要极限的证明方法，并能够运用到实际问题中。
2.3 引导学生通过练习题，巩固两个重要极限的应用。
第三章：3.1 引导学生学习直接计算法，并通过例子进行演示。
3.2 引导学生学习因式分解法，并通过例子进行演示。
3.3 引导学生学习代数运算法，并通过例子进行演示。
第四章：4.1 引导学生理解无穷小的概念，并通过例子进行解释。
4.2 引导学生理解无穷大的概念，并通过例子进行解释。
4.3 引导学生掌握无穷小和无穷大的比较方法，并能够运用到实际问题中。
第五章：5.1 引导学生学习极限的基本运算法则，并通过例子进行演示。
5.2 引导学生学习极限的复合运算法则，并通过例子进行演示。
5.3 引导学生学习极限的逆运算，并通过例子进行演示。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生的参与度和积极性。
高等数学1-6极限存在准则,两种重要极限
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x
两个重要极限
x→∇ ∆
1.3 第一重要极限 lim sin x = 1的误用
x→0 x
(1)
lim x ⋅ sin
x→0
1 x
=
sin 1
lim
x→0
x 1
= 1 是不对的，因为
x
→ 0时，1 x
→
∞，
x
即不是无穷小。此极限虽然满足“一致性”，但不满足“无穷小性”，
实际上，
2016.22
3 结束语
本文对两个重要极限进行了讨论，一定要要注意两个重要极 限都必须同时满足两个特性—“一致性”和“无穷小性”，这两个特 性缺一不可。尤其仅满足
“一致性”时，很容易错误地认为是重要极限，这一点一定要 注意。
参考文献
[1《] 高等数学》同济大学数学系编 2007 年 4 月第七版。 [2《] 考研数学历年真题分题型精解》华中科技大学出版社 2012
DOI:10.16520/ki.1000-8519.2016.22.092
1 第一个重要极限 lim sin x = 1 x→0 x
1.1 第一重要极限 lim sin x = 1的特点 x→0 x
（1）一致性
所谓“一致性”是指分子是 sin “什么”分母就是“什么”，如
sin 2x 2x
,
第二重要极限必须同时满足“一致性”和“无穷小性”才行，缺
一不可。
第 二 个 重 要 极 限 可 归 纳 推 广 成 如 下 形 式：
lim(1 +
)1
∆∆
= 1(x
→
∇时，∆
→
0)。
x→∇
145
科技论坛
经济数学1.4两个重要极限
三.无穷小量的等价代换
tan x sin x （3） lim x 0 tan 3 3 x
sin 2 x （4）lim x 0 (1 cosx )arctan x 2
tan x(1 cos x) tan x sin x lim lim 解（3） 3 x 0 x 0 tan 3 3 x tan 3 x 1 2 x x 1 2 lim 3 x0 (3 x ) 54
n
ESC
二.第一个重要 极限
sin x 1 1. lim x 0 x
(1.4.1)
因为 sin( x) sin x sin x ，所以 x x x 只讨论 x 由正值趋于零的情形． 证
作单位园O， 设圆心角 AOB x ,延长 OB 交过 A点的切线于于 D ， 则 AOB 面积＜扇形 AOB 面积＜ AOD 面积．即 ESC
1 x 3 1 5 lim(1 ) (1 ) e 1 e x x 3 x 3 2 2 x2 x2 x x 2 lim ( ) lim (1 ) e （4） x2 2 2 x2
ESC
三.无穷小量的等价代换
1.无穷小的比较（复习） 一般的, 设 ， 是同一极限过程中的两个无穷小， 1）若 lim 0 ，则称 是比 高阶的无穷 小，也可以称 是比 低阶的无穷小； 2）若 lim c （c为非零常数），则称 与 是同阶的无穷小； 特殊地，若 lim 1 ，则称 与 是等价的无 ESC 穷小， 记为 ～ .
1 2 x 5 1 2x 1 5 lim(1 ) lim(1 ) lim(1 ) x x x x x x 1 x 2 [lim(1 ) ] e 2 x x
第四次课 两个重要极限 无穷小与无穷大
思考题
若 f ( x ) 0 ， 且 lim
x
f (x) A，
问：能否保证有 A 0的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证.
例 f (x)
lim
1 x
x 0,
1 x A 0.
有 f (x)
1 x
0
x
f ( x ) lim
x
但 y ( x k ) 2 k sin 2 k 0 M .
不是无穷大．
例
证明 lim
1 x 1
x1
.
y 1 x 1
定义 : 如果 lim
x x0
f ( x ) , 则直线 x x 0 是函数 y f ( x ) .
的图形的铅直渐近线
性质：
x
x 0
1 2x
1.6 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
1.无穷小量定义
定义1。 若
定义2。 若
n
(极限为零的变量)
lim x n 0 , 则 称 { x n } 为 无 穷 小 量
lim f ( x ) 0 , 则 称 f ( x ) 在 x a 的 过 程 中 为 无 穷 小 量
(3)lim x
2
x 0
0 , 故 当 x 0时 , 3 x 2 是 比 x高 阶 的 无 穷 小 量 ,
2
x 2
x2
1, 故 当 x 2 时 , x 2 与 x 2 是 等 价 无 穷 小 .
即 x x 2, ( x 2 ).
性质(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
极限的计算两个重要极限
极限的计算两个重要极限初等函数的极限是微积分中的重要概念之一，它能够帮助我们研究函数在其中一点的趋势。
在微积分中，极限是指当自变量趋近于其中一特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。
可以说，极限是描述函数在无穷接近其中一特定点时的行为。
在本文中，我们将探讨两个重要的极限：无穷大极限和无穷小极限。
1.无穷大极限无穷大极限也称为“函数趋向于无穷”的极限。
当自变量趋近于一些特定值时，函数的取值趋向于正无穷或负无穷。
例如，考虑函数f(x)=x^2，当x趋近于正无穷时，f(x)也趋向于正无穷。
这意味着不论多大的正实数M，只要x足够大，都能找到一个正实数N，使得当x>N时，f(x)>M成立。
我们可以用数学符号表示无穷大极限：lim(x→∞) f(x) = ∞类似地，当x趋近于负无穷时，f(x)也趋向于负无穷，可以表示为：lim(x→-∞) f(x) = -∞2.无穷小极限无穷小极限也称为“函数趋向于零”的极限。
当自变量趋近于一些特定值时，函数的取值趋向于零。
例如，考虑函数f(x)=1/x，当x趋近于正无穷时，f(x)趋向于零。
这意味着无论多小的正实数ε，只要x足够大，都能找到一个正实数N，使得当x>N时，f(x)，<ε成立。
我们可以用数学符号表示无穷小极限：lim(x→∞) f(x) = 0类似地，当x趋近于负无穷时，f(x)也趋向于零，可以表示为：lim(x→-∞) f(x) = 03.极限的计算方法计算极限的方法有很多种，常见的有代入法、夹逼定理、洛必达法则等。
代入法是最简单直接的计算极限的方法，即直接将极限点的值代入函数中进行计算。
但有时函数在极限点处可能没有定义，此时代入法就不适用。
夹逼定理是一种常用的计算极限的方法，该原理是利用一个已知的不等式夹住相同极限点的函数，以确定其极限值。
洛必达法则是一种用于解决极限问题的有力工具。
它可以用来解决函数极限的不定型问题，它的基本思想是将极限问题转化为导数问题，通过求导数来确定极限值。
两个重要极限教案(修改
两个重要极限教案（修改）一、教学目标：1. 让学生理解两个重要极限的概念和意义。
2. 让学生掌握两个重要极限的推导过程。
3. 让学生能够运用两个重要极限解决实际问题。
二、教学内容：1. 极限概念的引入。
2. 两个重要极限的定义和推导。
3. 两个重要极限的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：两个重要极限的概念、推导和应用。
2. 教学难点：两个重要极限的推导过程和实际应用。
四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解两个重要极限的概念、推导和应用。
2. 利用多媒体课件，展示两个重要极限的推导过程和实际应用。
3. 进行课堂练习，巩固学生对两个重要极限的理解和应用。
五、教学过程：1. 引入极限概念，引导学生理解极限的思想。
2. 讲解两个重要极限的定义和推导，让学生掌握推导过程。
3. 进行课堂练习，让学生运用两个重要极限解决实际问题。
4. 总结两个重要极限的应用，强调其在数学和物理中的重要性。
5. 布置课后作业，巩固学生对两个重要极限的理解和应用。
教学评价：通过课堂讲解、课堂练习和课后作业，评价学生对两个重要极限的概念、推导和应用的掌握程度。
关注学生在解决问题时的思维过程和方法，培养学生的数学思维能力。
六、教学目标：1. 让学生理解极限的基本性质和运算规则。
2. 让学生掌握极限的求解方法，如直接求极限、夹逼定理、单调有界定理等。
3. 让学生能够运用极限的性质和求解方法解决实际问题。
七、教学内容：1. 极限的基本性质：保号性、保不等式性、保单调性等。
2. 极限的运算规则：加减乘除、乘方、对数等。
3. 极限的求解方法：直接求极限、夹逼定理、单调有界定理等。
4. 极限的实际应用：解决函数的极值、曲线的切线等问题。
八、教学重点与难点：1. 教学重点：极限的基本性质、运算规则和求解方法。
2. 教学难点：极限的求解方法和实际应用。
九、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解极限的基本性质、运算规则和求解方法。
2. 利用多媒体课件，展示极限的求解过程和实际应用。
教学内容极限存在准则与两个重要极限(精)
若 limk C 0, 则称 是关于 的 k 阶无穷小;
若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~
或 ~
例如 , 当x 0 时
x3 o( 6x2 ) ; sin x～ x ; tan x ～ x arcsin x～x
又如 ，
lim
即
xn a
,
故
lim
n
xnLeabharlann a.例1. 证明
证: 利用夹逼准则 . 由
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
n2
n2
且
lim
n
n2 n2
lim n1
1
n2
1
lim n
n
1
n2
n2
1
2
n2
1
n
xn
a xn
a
xn1 xn
1 (1 2
a xn 2
)
1 (1 2
a) a
1
∴数列单调递减有下界，故极限存在，设
lim
n
xn
A
则由递推公式有 A 1 ( A a )
A a
2A
x1 0,
xn 0, 故
lim
n
xn
a
2. 设
证明下述数列有极限 .
证: 显然 xn xn1 , 即
(1 ) 1
单调增, 又
04 极限存在准则 两个重要极限
例5 求 lim(1 1 )x .
x
x
解 原式 lim[(1 1 ) x ]1
x
x
1. e
26
例6 求 lim(3 x )2x . x 2 x
解 原式 lim(1 1 )2(x2)4 x x 2
lim[(1 1 )x2 ]2 (1 1 )4
x
x2
x2
e2.
27
1
例7 lim(1 x) x x0 1 (1) lim[1 (x)](x) x0
e1
28
三、小结
1、两个极限存在准则
2、两个重要极限
sin (x)
(1) lim
1
(x)0 (x)
1
(2) lim 1 (x) (x) e (x)0
12
准则II 单调有界数列必有极限。
数列 xn
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
13
例2 证明数列 xn 2 2 2 的极限存在，并求出该极限。
证 1）先证数列{xn}有界—数学归纳法 n=1时，x1 2 2, 假定n=k时，xk 2
由牛顿二项公式得，n (1 an )n
1
nan
n(n 1) 2
an2
ann
>
n(n 2
1)
an2
an2
2n n(n 1)
2 n 1
即 0 an
2 n1
lim 0 lim
n
n
2 0 n 1
lim
n
an
无穷大无穷小,两个重要极限
解：
lim
2 3
n
n
4 1
n
2 lim 4
n
n n
3 4 1
n
1
4
00 1 0 0
n
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例7
求 lim
x 2
x2 x 1 1
常 见 例 题 解 析
解：原式 lim2 x
lim
x 2
x 1 1
x 1 1
1
12 1
1
1 lim 1 x 2x 1
1
2 1 2 lim 1 x 2x 1 t
1 lim 1 e t t
t
e2
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一、填空题 1、 lim 2、 lim
1
x
1 3
练 习 题
C、 lim
x
x
lim sin x 0 ;D、 lim 1 x x e ;
x
x
三、计算题 1、 lim
1 co s 2 x x
2 x 0
；
2、 lim
tan 2 x sin 3 x
x
x 0
3、 lim 1 2 x ；
2
常 见 例 题 解 析
解： 1 2 3 ... n
lim
n n 1 2 n n
2
1 2 3 ... n 3n 4
2
n
lim
n
6n 8
2
1 6
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例6
对两个重要极限的新认识
Science &Technology Vision 科技视界在“高等数学”或是“数学分析”课程的开头讲“极限”时,都会讲到下面两个重要极限lim x →0sin x x=1或lim x →∞1+1x ()x=e .它们之所以重要是因为推导正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到,而所有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发,经过有限次的四则运算、复合得到。
再由于积分是微分的逆运算,可以得到微积分学计算的基础,其重要性就不难理解了。
1两个重要极限的新证明1.1第一个重要极限:lim x →0sin x x=1证法1利用几何图形,作一单位圆(如图所示):设∠BOC =x (弧度),对于AB 轴作半径OC ,∠BOD =x ,连接CD ,则BC⌢=x ,CD ⌢=2x ,CD =2sin x 所以sin x x =CD CD ⌢,当x →0时,CD →CD⌢,从而lim x →0sin x x =lim x →0CD CD⌢=1,即lim x →0sin x x=1证法2利用拉格朗日中值定理,选取函数f (x )=sin x ,则f (x )在[0,x ]上满足拉格朗日中值定理的条件,且f′(x )=cos x ,因而在(0,x )内至少存在一点ξ使得sin x-sin0x-0=cos ξ,即sin x x=cos ξ(0<ξ<x )从而有lim x →0sin x x =lim ξ→0cos ξ=1,即lim x →0sin x x=11.2第二个重要极限:lim x →∞1+1x()x=e证明lim x →∞1+1x()x=e 的关键是通过证明lim n →∞1+1n ()n=e 来实现,而证明lim n →∞1+1n ()n=e 的关键是证明1+1n()n{}是递增有界数列,故先引入下面引理。
引理:设数列a n =1+1n()n,则1+1n()n {}是一个递增有界数列。
1.5-1.6 极限运算法则极限存在准则,两个重要极限
4 2 3 3 4x 2 2 3 3 x 3 x x lim 3 lim 2 5 3 x 7 x 5x 3 x 7 3 7 x x 2 2x 1 3 x 例 63 求 lim 3 2 例 x 2x x 5
解 先用x3去除分子及分母 然后取极限 3 2 1 2 2x 1 2 x3 3 x x x lim 3 2 lim 0 0 x 2x x 5 x 2 1 53 2 x x
x 3 ( x ) 3 x
x 1
.
1 解 (1) 原式 lim(1 ) x x 3 3 x 1 3 3 3 [lim(1 ) ]x (1) lim(1 ) ; x x
1 cos x 例2 求 lim x 0 x sin x x 2 x sin 2sin 1 1 cos x 2 2 lim lim . 解 lim x 0 x 0 x sin x x 2 x x x 0 x 2 cos 2 x sin cos 2 2 2 2
注：一般地，若x→x0时，函数φ(x)→0，则有
x2 9 x2 9 是由 y u 与 u 复合而成的 解解 y x 3 x 3
x2 9 u 6, 因为 lim 6, 而 lim u 6 x 3 x 3
x 9 所以， lim 6. x 3 x 3
2
16
第六节 极限存在准则
准则 I
两个重要极限
x x0
u u0
使得0 x x0 1时, 有 g( x) u0
取 min{ 0 , 1},则0 x x0 时,有0 g( x) u0
所以有
f (u) A f [ g( x)] A
1-5 极限存在准则 两个重要极限
π
（3）求极限
sin x Q cos x < < 1, x
又 lim cos x = 1,
x→0
(0 <| x |<
π
2
)
lim 1 = 1,
x →0
由夹逼法则
sin x lim = 1. x →0 x
机动
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结束
例5
tan x sin x 1 (1) lim = lim ⋅ =1 x →0 x →0 x x cos x
x = 弧 AB ,
tan x = AC ,
1 1 1 ∴ sin x < x < tan x , 2 2 2
∴ sin x < x < tan x ,
(0 < x <
π
2
)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
sin x < x < tan x ,
(0 < x < (0 < x <
π π
2 2
) )
n
证 Q x1 = 3 < 3, 假定 xk < 3, x k + 1 = 3 + x k < 3 + 3 < 3,
∴
{xn } 有上界 ;
假定 xk > xk −1 ,
又 Q x2 = 3 + 3 > 3 = x1 ,
x k + 1 = 3 + x k > 3 + x k −1 = x k
∴ {xn } 是单调递增的 ; ∴ lim xn 存在 . n→ ∞
显然 xn+1 > xn ,
极限的运算法则无穷小与无穷大两个重要极限
定 理 在 自 变 量 的 同 一 变 化 过 程 中 , 如 果 f( x )为 无 穷 大 , 则
1为 无 穷 小 ; 反 之 , 若 f(x )为 ( 非 零 ) 无 穷 小 , 则 1为 无 穷 大 .
f(x )
f(x )
如 lim x 0 lim 1
x0
x 0 x
8
二、函数的极限运算法则
1、定理 设 lim u A ,lim v B ,则 ( 1 )li u m v ) li u ( m li v m A B ; ( 2 )liu m ) l v i u ( l m i v m A B ; u lim u A (3) lim (B0) v lim v B
9
说明：
例如, 当 x 0 时 ,3 x ,x 2 ,s in x ,都 是 无 穷 小 .
观
x2
lim 0, x0 3 x
下节证
x2比3x要快得;多
察
sin x
各 lim
1,
极 x0 x
sinx与x大致相;同
限
lim
x0
x x2
，
x比x2要 慢 得 多.
比值极限不同, 反映了两者趋向于零的
“快慢”程度不同.
limsinx0. x x
4
例2 limarctanx x x
解 Q lim 1 0 x x
arctan x
2
limarctanx 0 x x
5
2、无穷大(量)
定义 如果变量u在其变化过程中|u|无限增大，则 称u为无穷大(量)，记作
u 或 liu m
注: 1. 无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数 混为一谈；
记作 a~;
极限的运算和两个重要极限
3 x 2x 例5 求 lim( ) . x 2 x
解
1 x2 2 1 4 原式 lim[(1 ) ] (1 ) e2 . x x2 x2
小结
1.两个准则
迫敛准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 为某过程中的无穷小,
sin 0 1 lim 1; 某过程
1 令t , x
x 0
1t lim(1 x ) lim(1 ) e. x 0 t t
1 x
1 x
lim(1 x ) e
模式
1
1 x 例4 求 lim(1 ) . x x
解
1 1 x 1 原式 lim[(1 ) ] lim x x 1 x x (1 ) x 1 . e
2
0 解 x 1时, 分子, 分母的极限都是零 ( 型 ) . 0
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1 ( x 1)( x 1) lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
x1 1 . lim x 的四则运算
二、两个重要极限 三、无穷小量的比较
说明：记号“lim”下面没有标明自变量的变化过程， 实际上，下面的定理对x→X0及x→∞都成立。我们 只证明x→X0的情形。
一、极限的四则运算
定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
( x a) lim 3 2 3 x a x ax 3 a 2
3 2
令u x a
lim 3 u 2
u 0 3
3 a
2
0．
小结
对两个重要极限的重要性的认识
e x x x =+∞→)11(lim 1sin lim 0=→xxx对两个重要极限的重要性的认识摘要 ：通过对两个重要极限重要性的理解和认识, 总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性。
关键词 ： 重要极限；重要性；证明；应用1.绪论两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。
《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限 和 时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。
它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常灵活。
因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难理解了。
试想, 若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。
2.两个重要极限的证明两个重要极限是极限理论的重要内容, 也是解决极限问题的一种有效方法,在学生的学习中, 起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的，它的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。
2.1第一个重要极限：1sin lim0=→xxx证明：作单位圆，如图1：图1设x 为圆心角AOB ∠，并设20π<<x 见图不难发现：AO D AO B AO B S S S ∆∆<<扇形，即：x x x tan 2121sin 21<<，即 x x x tan sin <<，1sin cos cos 1sin 1<<⇒<<⇒xx x x x x （因为20π<<x ，所以上不等式不改变方向）当x 改变符号时，x xx sin ,cos 及1的值均不变，故对满足20π<<x 的一切x ，有1sin cos <<xxx 。
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穷
时，
x
12
是无穷小量；当
x
时，
1 x2
是无
小
穷小量。
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一
、
定义：若 y f x在自变量 x的某个变化趋势
无
中的绝对值无限增大，则函数 y f x叫做在
穷
该变化过程中的无穷大量，简称无穷大，记作
大
lim f (x) 。
与
例如，当
x
0时，x3
1
2
x
是无穷大量；当
x
1
无 穷
与
lim f (x) A的充要条件是 f (x) A a ,其中a 是
无
xx0
x
穷 该变化趋势下的无穷小。
小
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4、无穷小的三个性质
一
、
⑴ 有限个无穷小量的代数和是无穷小。
无
⑵ 有限个无穷小量的乘积是无穷小。
穷
⑶ 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小。
大
与
无
穷
小
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解： lim tan x lim sin x 1
应
x0 x
x0 x cos x
用
举
lim sin x lim 1 x0 x x0 cos x
例
11 1
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例 2：求lim sin Rx （ R 0） x0 x
2
0
常 见 例
若m 3 若m 3
,则lim x
2xm 3x x3 2x
2
,则lim x
2xm 3x x3 2x
2
2
题 解
5、若m
2,则lim x
2xm 3x x3 2x
2
0
析
若m
4,则lim x
2xm 3x x3 2x2若m3,则lim x
2xm 3x x3 2x
2
不为0
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例 2：求
x2 x 2
lim
x2
x2 4
常 见
解：
lim
x2
x2 x2
x
4
2
lim (x 2)(x 1) x2 (x 2)(x 2)
例
lim x 1 3 x2 x 2 4
题
解
通分法：适用范围，分子分母极限同时
析
为0的有理分式
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例
3：求lim x
时，
x
1
12
是无穷大
量；当
x
时，
x
2
是
无
小
穷大量。
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• 注意
一 • 1、除了0以外，无穷大与无穷小都是变量
、 • 2、无穷小，不是指数值越来越小，而是
无
指数值越来越趋近于0 • 3、无穷大有两种情形，一是正的无限增
穷
大，一是负的无限增大
大
• 4、任何一个常数，无论多大都不是无穷 大，除了0以外，任何一个常数，无论多
lim 1 1 x2 x 1 1 2
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二、 两 个 重 要 极 限
令t 1
1、lim sin x 1
x
x0 x
x0 ,t
1
limt sin 1
t
t
1
2、lim1 xx e 1 x0 1 倒数
令t 1 x
x0 ,t
lim
t
1
1 t t
e
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关于两个重要极限的几点说明：
与
小，都不是无穷小
无
• 5、指出一个变量是无穷大或者无穷小的 同时，要指出变化趋势。
穷 • 6、0是唯一的一个无穷小常数。
小
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2、两者的关系
一 在自变量的同一变化过程中，如果 f x为无
、 无
穷大量，则
f
1
x
是无穷小；反之，如果
f
x为
穷
无穷小量，且
f
x
0，则
f
1
x
是无穷大量。
大 3、无穷小与函数极限的关系
2
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例5
求
lim
n
1
23 3n2
... 4
n
常 见
解：
nn 1
1 2 3 ... n
2
例 题
1 2 3 ... n
lim n
3n2 4
lim
n
n2 n 6n2 8
解
1
析
6
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例6
求lim n
2n 4n
3 1
常 见 例
解：
lim 2n 3 n 4n 1
5、实际解题应用
例 1：求极限 lim x 4
x1 x 1
常
解：当 x 1时，分母的极限为零，所以不能
见
用商的运算法则，但分子的极限
例
lim x 4 5 0，于是，lim x 1 0 0
题
x1
x1 x 4 5
由无穷小与无穷大关系知：lim x 4
解
x1 x 1
析
倒数法，适用范围分母极限为0，分子极限
• 能熟练的利用两个重要极限的结论求 给的函数的极限
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一
、
1、定义
无
定义：若 y f x在自变量 x的某个变化趋势
穷
中的极限为 0，则函数 y f x叫做在该变化
大
过程中的无穷小量，简称无穷小，即
与
lim f (x) 0。
无
例如，当 x 0时，x3 2x是无穷小量；当 x 1
lim
2n 4n
3 4n
题
n
1
1 4n
解
析
00 0 1 0
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例 7 求lim x 2
x2 x 1 1
常
x 2 x 1 1
见
解：原式 lim x2 x 1 1 x 1 1
例 题
lim x 1 1 2 x2
解 析
同理，若分子出现根式，方法一样—根式 有理化
lim x 1 1 lim x 1 1 x 1 1 x2 x 2 x2 x 2 x 1 1
二、 两 个 重 要 极 限
其中t 可以是自变量也可以是中间变量。
使用这两个公式时一定要注意公式的形式特
征和变量的变化趋势。对于lim sin t 1，要 t0 t
使 t 0 且分子、分母为同一变量t 。防止
出现lim sin 2x 1这样的错误。 x0 x
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例 1：求lim tan x x0 x
an bn
解
0
nm
析
a0 b0
nm
nm
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例4 根据上题的结论填空
常 见
1、lim x
x3 x2
3x 2x
2
例
2、lim x
x3 x2
3x 2x
2
0
题
3
解
3、lim x
3x3 2x3
3x 2x
2
2
析
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4、若m 3
,则lim x
2xm 3x x3 2x
第一章 极限与连续
第三节 无穷大与无穷小 第四节 两个重要极限
• 知道什么是无穷大什么是无穷小（除 了0以外，两个都是变量）
• 理解无穷小的三个性质（此三个性质
重
是无穷大没有的）
点
• 掌握利用无穷大与无穷小的关系求函 数极限的方法。
难
• 熟悉求几种不同类型的函数的极限的
点
方法。
• 掌握两个重要极限的形式，变形形式
a0 xn b0 xm
a1xn1 a2 xn2 ... an1x an b1xm1 b2 xm2 ... bn1x bn
常
求解方法：分子分母同除以x的最高次幂
见
一般的有如下结论：
例 题
lim
x
a0 xn b0 xm
a1xn1 b1xm1
a2 b2
xn2 xm2
... an1x ... bn1x