3.1 光学谐振腔的一般问题汇总
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3.1 光学谐振腔的一般问题
二、光学谐振器的作用
1. 提供光学反馈 反馈的效果和特征决定于
（1）组成腔的两个反射镜的反射率。 组成腔的两个反射镜的反射率。 （2）反射镜的几何形状和它们之间的组合方式
二、光学谐振器的作用
2. 波形的限制作用
（1）对方向的限制； 对方向的限制； （2）对频率的限制； 对频率的限制； （3）控制腔内实际振荡的模式数目，提高光子 控制腔内实际振荡的模式数目， 简并度。 简并度。
3.1 光学谐振腔的一般问题
一、光学谐振腔的构成与分类
1. 开腔 最常用的一种谐振腔形式。 最常用的一种谐振腔形式。
通常的气体激光器和大部分固体激光器都 采用开腔。 采用开腔。
主要特点： 主要特点：
侧面敞开，没有光学边界； 侧面敞开，没有光学边界； L>>λ L>>d。 L>>λ，L>>d。
一、光学谐振器的构成与分类
三、腔与模的一般联系
对于开腔—R 对于开腔 R1，R2，L
给定了腔的具体几何结构， 给定了腔的具体几何结构，振荡模式的特征就 几何结构 确定了。 确定了。 模的基本特征： 模的基本特征： （1）每一个模的电磁场分布，特别是腔的横截 每一个模的电磁场分布， 面内的场分布； 面内的场分布； （2）模的振荡频率； 模的振荡频率； （3）模的损耗情况； 模的损耗情况； （4）模的发散角。 模的发散角。
二、腔与模的一般联想
模的概念： 的概念：
一切被约束在有限空间范围内的电磁场， 一切被约束在有限空间范围内的电磁场，都只 能存在于一系列分立的本征状态之中， 能存在于一系列分立的本征状态之中，场的每一个 本征态就称为一个模 本征态就称为一个模。 在激光技术中， 在激光技术中，电磁场被光学谐振器部分或者 全部地约束在腔内，我们将光学谐振器内可能存在 全部地约束在腔内， 模式， 的电磁场的本征态称为腔的模式 亦即激光器的模 的电磁场的本征态称为腔的模式，亦即激光器的模 式。
第二章 第三节 光学谐振腔损耗
损耗的描述
1.平均单程损耗指数因子 2.光子平均寿命 3.品质因数Q
1 a ln R (1) R ( 2) 2
R L /(c)
Q R 2 L c 1 c v vc 2 R 2L Q
4.无源谱线宽度
2.3.1平均单程损耗指数因子
透射损耗 R ( 2)
光子在腔内运行 时间 t m(2 L / c)
光强随时间衰 减
I (t ) I 0 exp(tc / L)
光子寿命
光子平均寿命定义： I (t ) I 0 exp(t / R )
R L /(c)
I Nhc
N (t ) N 0 exp(t / R )
t
R L /(c)
2.3.4 无源腔本征模式线宽
光强 I (t ) I 0e t / 傅里叶变换
0
R
I (t ) E (t )
2
E (t ) E 0 e t / 2 R e i 0t
功率谱
E (v) E (t )e jt dt
P (v ) E (v )
tN (t )dt
0
N (t )dt
0
R
2.3.3谐振腔的品质因数Q
腔内初始光能量( ) Q值定义： Q 2 单位时间内损耗的能量(P)
d dN (t ) hvV dt dt
N (t )hV
P
N (t ) N 0 exp(t / R )
Q R 2 L c
第三节 光学谐振腔损耗
产生激光的两个必要条件： 1. 激活介质 （增益optical gain） 2. 光学谐振腔 （光学反馈）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
北交大激光原理第4章谐振腔部分
9.共焦腔是什么腔？稳定性如何？
10.共焦腔是不是稳定腔？为什么？
11.什么样的光学谐振腔腔内存在焦点？
12.试分析ABCD定律在光学谐振腔分析中的作用。
13.一般稳定球面镜谐振腔与其等价共焦谐振腔，有什么相同，有什么不同？
14.非稳腔的优点是什么？
15.几何损耗存在于哪一类型的谐振腔中？
16.光学谐振腔的衍射损耗与其什么参数相关？
方形镜共焦腔和圆形镜共焦腔的基模光束的振幅分布、基模光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散角都完全相同。
基模场振幅分布
基模光斑尺寸
镜面上基模的光斑半径， 高斯光束的基模的腰斑半径，坐标原点选在腔的中心。
腰斑尺寸：
镜面上光斑尺寸：
共焦腔基模体积：
高阶模体积: (模阶次愈高模体积愈大)
等相位面（共焦场的等相位面近似为球面）的曲率半径：
解得：
几何放大率
镜 的单程放大率
镜 的单程放大率
非稳腔对几何自再现波型在腔内往返一周的放大率
对望远镜非稳定腔（实共焦腔和虚共焦腔）
平均单程能量损耗
往返能量损耗
四、思考题
1.光学谐振腔的作用是什么？
2.光学谐振腔的构成要素有哪些，各自有哪些作用？
3.光学谐振腔有哪些常用研究方法？
4.什么是光学谐振腔的模式？对纵、横模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？
43.试求出方形镜共焦腔面上 模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？
44.求圆形镜共焦腔 和 模在镜面上光斑的节线位置。
45.腔长L=0.8m的球面腔，腔镜曲率半径分别为R1=1.5m和R2=1m。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。
46.某二氧化碳激光器采用平、凹腔，L=50cm，R=2m，2a=1cm， 。试计算 、 、 、 、 、 各为多少。
10.共焦腔是不是稳定腔？为什么？
11.什么样的光学谐振腔腔内存在焦点？
12.试分析ABCD定律在光学谐振腔分析中的作用。
13.一般稳定球面镜谐振腔与其等价共焦谐振腔，有什么相同，有什么不同？
14.非稳腔的优点是什么？
15.几何损耗存在于哪一类型的谐振腔中？
16.光学谐振腔的衍射损耗与其什么参数相关？
方形镜共焦腔和圆形镜共焦腔的基模光束的振幅分布、基模光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散角都完全相同。
基模场振幅分布
基模光斑尺寸
镜面上基模的光斑半径， 高斯光束的基模的腰斑半径，坐标原点选在腔的中心。
腰斑尺寸：
镜面上光斑尺寸：
共焦腔基模体积：
高阶模体积: (模阶次愈高模体积愈大)
等相位面（共焦场的等相位面近似为球面）的曲率半径：
解得：
几何放大率
镜 的单程放大率
镜 的单程放大率
非稳腔对几何自再现波型在腔内往返一周的放大率
对望远镜非稳定腔（实共焦腔和虚共焦腔）
平均单程能量损耗
往返能量损耗
四、思考题
1.光学谐振腔的作用是什么？
2.光学谐振腔的构成要素有哪些，各自有哪些作用？
3.光学谐振腔有哪些常用研究方法？
4.什么是光学谐振腔的模式？对纵、横模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？
43.试求出方形镜共焦腔面上 模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？
44.求圆形镜共焦腔 和 模在镜面上光斑的节线位置。
45.腔长L=0.8m的球面腔，腔镜曲率半径分别为R1=1.5m和R2=1m。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。
46.某二氧化碳激光器采用平、凹腔，L=50cm，R=2m，2a=1cm， 。试计算 、 、 、 、 、 各为多少。
光学谐振腔的稳定性问题资料课件
减小腔镜间距
减小腔镜间距可以减小光 束在腔内的损耗，从而降 低谐振腔对外部环境的敏 感性。
优化腔镜形状
采用合适的腔镜形状，如 球面或抛物面，可以减少 光束在腔内的散射和折射 ，提高谐振腔的稳定性。
采用新型材料和制造工艺
采用高反射率材料
采用反射率更高的材料制 作腔镜，可以减小光束在 腔镜上的反射损失，提高 谐振腔的稳定性。
在这一领域中，光学谐振腔的 稳定性问题主要体现在如何减 小测量误差和提高测量精度。
为此，需要采取一系列技术措 施来提高光学谐振腔的稳定性 ，如采用高精度位移台、光学 锁相等技术。
05
CATALOGUE
未来展望与研究方向
深入研究稳定性问题的物理机制
01
深入研究光学谐振腔的稳定性问 题，需要深入理解其物理机制， 包括光场与物质相互作用的细节 、光学元件的散射和损耗等。
稳定性问题的重要性
光学谐振腔在激光雷达、光学通信、光学传感等领域具有广泛应用，其稳定性 问题直接影响到这些领域的应用效果和性能。因此，解决稳定性问题对于提高 光学谐振腔的应用性能和可靠性具有重要意义。
光学谐振腔稳定性的影响因素
01
环境因素
温度、湿度、振动等环境因素对光学谐振腔的稳定性产生影响。这些因
素会导致光学元件的位置和角度发生变化，从而影响光束的输出质量和
稳定性。
02
光学元件的加工和装配精度
光学元件的加工和装配精度对光学谐振腔的稳定性也有重要影响。元件
的加工和装配误差会导致光束的聚焦位置、模式质量和光束指向发生变
化，从而影响光束的输出质量和稳定性。
03
光学谐振腔的设计
光学谐振腔的设计参数也会影响其稳定性。例如，腔长、反射镜曲率、
3.3 光学谐振腔的稳定性问题
共轴球面腔的稳定性条件：
稳定腔：0 < g1g2 <1; 非稳腔：g1g2 < 0 临界腔：g1g2 = 0 或 或 g1g2 > 1; g1g2 = 1;
四、稳定性条件
例题
临界腔
四、稳定性条件
例题
稳定腔
四、稳定性条件
例题
稳定腔
四、稳定性条件
例题
非稳腔
四、稳定性条件
特征点：顶点和曲率中心
任一腔镜的两个特征点之间，只包含另一腔镜的 一个特征点时，为稳定腔；包含两个特征点或者不包 含特征点时，为非稳腔。
平为∞。
二、光线传播矩阵
3. 平面反射镜 当R= ∞ ，或 F= ∞时
θ2 θ1
θ1
r1 r2
即平面镜的反射定律。
二、光线传播矩阵
4.通过两介质的平面界面
θ1 θ1
θ2
r1 r2
n1
n2
二、光线传播矩阵
4.通过两介质的平面界面
θ2
θ1 θ1
r1 r2
表征的就是折射定律。
n2
n1
讨论：
二、光线传播矩阵
三、共轴球面腔的光线传播矩阵
光线在谐振腔内往返一次
谐振腔的g参数
三、共轴球面腔的光线传播矩阵
光线在谐振腔内往返n次
四、稳定性条件
腔镜上任一点发射出近轴的光线在谐振腔内往
返无限次而不侧向逸出。 数学描述： 传播矩阵Tn中各个元素，在n∞时，保持有界。
必须是实数。
四、稳定性条件
必须是实数。
四、稳定性条件
rn
r1
r1
= T
Θn Θ1
= Tn… T3 T2 T1
Θ1
稳定腔：0 < g1g2 <1; 非稳腔：g1g2 < 0 临界腔：g1g2 = 0 或 或 g1g2 > 1; g1g2 = 1;
四、稳定性条件
例题
临界腔
四、稳定性条件
例题
稳定腔
四、稳定性条件
例题
稳定腔
四、稳定性条件
例题
非稳腔
四、稳定性条件
特征点：顶点和曲率中心
任一腔镜的两个特征点之间，只包含另一腔镜的 一个特征点时，为稳定腔；包含两个特征点或者不包 含特征点时，为非稳腔。
平为∞。
二、光线传播矩阵
3. 平面反射镜 当R= ∞ ，或 F= ∞时
θ2 θ1
θ1
r1 r2
即平面镜的反射定律。
二、光线传播矩阵
4.通过两介质的平面界面
θ1 θ1
θ2
r1 r2
n1
n2
二、光线传播矩阵
4.通过两介质的平面界面
θ2
θ1 θ1
r1 r2
表征的就是折射定律。
n2
n1
讨论：
二、光线传播矩阵
三、共轴球面腔的光线传播矩阵
光线在谐振腔内往返一次
谐振腔的g参数
三、共轴球面腔的光线传播矩阵
光线在谐振腔内往返n次
四、稳定性条件
腔镜上任一点发射出近轴的光线在谐振腔内往
返无限次而不侧向逸出。 数学描述： 传播矩阵Tn中各个元素，在n∞时，保持有界。
必须是实数。
四、稳定性条件
必须是实数。
四、稳定性条件
rn
r1
r1
= T
Θn Θ1
= Tn… T3 T2 T1
Θ1
【激光原理】3.1光学谐振腔的衍射理论2015-2016(2)
• 在激活腔中，只要某一自再现模能满足阈值条件， 则该模在腔内就可以形成自激振荡。这时，自再现 模的形成过程将伴随着光的受激放大，其结果是： 光谱不断变窄，空间相干性不断增强，同时，光强 也不断增大，最终形成高强度的激光输出。
二、 自再现模 积分方程
图3-2 镜面上场分布的计算示意图
图(3-2)所示为一个圆形镜的平行平
的激光模式的良好近似 • 激活介质的作用主要是补充腔内电磁场在振荡过
程中的能量损耗，使之满足阈值条件；激活介质 对场的空间分布和振荡频率的影响是次要的，不 会使模式发生本质的变化
三 采用的理论
• 衍射光学理论(标量衍射理论) --深入了解模式特 性
模的概念——腔与模的一般联系
• 在激光技术术语中，通常将光学谐振腔内可能存在 的电磁波的本征态称为腔的模式。（每种本征态将 具有一定的振荡频率和空间分布）。
3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
1.决定腔模的形成：
（1）反射镜的有限大小会引起衍射损耗，而且在决定开腔 中激光振荡能量的空间分布方面，衍射将起主要作用
（2）非选择性损耗将使横截面内各点的场按同样的比例衰 减，对场的空间分布不会发生重要影响
（3）衍射主要发生在镜的边缘上，将对场的空间分布发生 重要影响；而且，只要镜的横向尺寸是有限的，这种影响 将永远存在。
一点的波应该看作是第一个孔面上所有各点
发出的子波的叠加，这样，第二个孔面上各
点波的相位就发生了一定的关联。
•
在经过了足够多次衍射之后，光束横
截面上各点的相位关联越来越紧密，因而空
间相干性随之越来越增强。
•
在开腔中，从非相干的自发辐射发展
成空间相干性极好的激光，正是由于衍射的
作用。
二、 自再现模 积分方程
图3-2 镜面上场分布的计算示意图
图(3-2)所示为一个圆形镜的平行平
的激光模式的良好近似 • 激活介质的作用主要是补充腔内电磁场在振荡过
程中的能量损耗，使之满足阈值条件；激活介质 对场的空间分布和振荡频率的影响是次要的，不 会使模式发生本质的变化
三 采用的理论
• 衍射光学理论(标量衍射理论) --深入了解模式特 性
模的概念——腔与模的一般联系
• 在激光技术术语中，通常将光学谐振腔内可能存在 的电磁波的本征态称为腔的模式。（每种本征态将 具有一定的振荡频率和空间分布）。
3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
1.决定腔模的形成：
（1）反射镜的有限大小会引起衍射损耗，而且在决定开腔 中激光振荡能量的空间分布方面，衍射将起主要作用
（2）非选择性损耗将使横截面内各点的场按同样的比例衰 减，对场的空间分布不会发生重要影响
（3）衍射主要发生在镜的边缘上，将对场的空间分布发生 重要影响；而且，只要镜的横向尺寸是有限的，这种影响 将永远存在。
一点的波应该看作是第一个孔面上所有各点
发出的子波的叠加，这样，第二个孔面上各
点波的相位就发生了一定的关联。
•
在经过了足够多次衍射之后，光束横
截面上各点的相位关联越来越紧密，因而空
间相干性随之越来越增强。
•
在开腔中，从非相干的自发辐射发展
成空间相干性极好的激光，正是由于衍射的
作用。
光学谐振腔的稳定性问题资料
二、光线传播矩阵
5.通过薄透镜（焦距F，凹为-；凸为正）
二、光线传播矩阵
5.通过薄透镜 讨论：
通过薄透镜光心的光线不改变方向。
二、光线传播矩阵
5.通过薄透镜 讨论：
平行于光轴的光线通过焦点。
二、光线传播矩阵
5.通过薄透镜 讨论：
通过前焦点的光线平行于光轴出射。
三、共轴球面腔的光线传播矩阵
假设n个光学元件的光线传播矩阵分别为： T1，T2，T3，……，Tn
光线依次通过这n个光学元件：
rn
r1
r1
=T
= Tn… T3 T2 T1
Θn
Θ1
Θ1
这n个光学元件总的传播矩阵：
T = Tn… T3 T2 T1
三、共轴球面腔的光线传播矩阵
例题1：求光线通过一块长度为L折射率为n的晶体 的光线传播矩阵（不考虑晶体孔径）
例题2：求光线在光学谐振腔内往返一次的光线传 播矩阵。
g1g2 > 1; g1g2 = 1;
四、稳定性条件
例题
临界腔
四、稳定性条件
例题
稳定腔
四、稳定性条件
例题
稳定腔
四、稳定性条件
例题
非稳腔
四、稳定性条件
特征点：顶点和曲率中心
任一腔镜的两个特征点之间，只包含另一腔镜的 一个特征点时，为稳定腔；包含两个特征点或者不包 含特征点时，为非稳腔。
两个腔镜的特征点有重合的情况下，为临界腔。
五、典型稳定腔
1. 双凹腔
五、典型稳定腔
1. 双凹腔
五、典型稳定腔
2. 平凹腔
五、典型稳定腔
3. 凹凸腔
六、稳区图
六、稳区图
例题：构建一个腔长为L的对称稳定腔，求：腔长 L的取值范围？
激光原理 十、光学谐振腔的衍射理论
u(P) ik u '(P ') eikr (1＋cosq )ds '
4
r
uq1(x, y)
ik
4
M
'
uq
(
x',
y'
)
eikr
r
(1 cosq )ds'
(3-1) (3-2)
➢考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示
振幅衰减和相位移动的常数因子以外，uq+1应能够将uq再现出来
每一个模的激光束的发散角
2、稳态场的形成——模的“自再现”
1960年Fox A G和Tingye Li采用计算机进行迭代法数值计算 证明，当反射次数足够多时（大约三百多次反射），光束的横 向场分布便趋于稳定，不再受衍射的影响。场分布在腔内往返 传播一次后能够“再现”出来，反射只改变光的强度大小，而 不改变光的强度分布。这种稳态场经一次往返后，唯一的变化 是，镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点的相位发生 同样大小的滞后。当两个镜面完全相同时(对称开腔)，这种稳 态场分布应在腔内经单程渡越（传播）后即实现“再现”。这 个稳定的横向场分布，就是激光谐振腔的自再现模。
1. 自再现模的概念 2. 自再现模积分方程 3. 积分方程解的物理意义 3.1.3 激光谐振腔的谐振频率和激光纵模 1. 谐振条件、驻波和激光纵模 2. 纵模频率间隔
在开腔中存在怎样的电磁场本征态（即：不随时间变 化的稳态场分布）? 如何求场分布?
稳态场分布的形成可看成光在两镜面间往返传播的结果!
方 法
一个镜面上的光场
求解衍射 积分方程
另一个镜面上的光场
3.1.1 菲涅尔-基尔霍夫衍射公式
1-7 光学谐振腔的基本知识
若腔内各种损耗所引起的腔寿命分别为 τci，则腔的总寿 命为： 1 1 （1-7-31） c i ci （三）腔Q值 与LC谐振电路相似，光学谐振腔与可以用品质因数Q来描 述腔的特性。它的定义为：
E Q 2 P
（1-7-32）
式中：E——储存在腔内的总能量 P——单位时间所损耗的能量 ν——腔内电磁场的振荡频率
c v q 2 L
同样长度的谐振腔，固体激光器的本征纵模频率间隔 要小于气体激光器，而同种激光工作物质的激光器，谐振 腔越短，本征纵模的频率间隔就越大。
五、菲涅耳数 在描述光学谐振腔的工作特性时，经常用到菲涅尔数这 个概念，它的定义为：
a2 F L
式中：a——反射镜线度
菲涅耳数的物理意义可以有多种不同的解释，下边我 们分别简单说明： 1. 衍射光的腔内的最大往返次数 ； 2. 从一面镜子的中心看另一面镜子的菲涅耳半波带数；
指当光从一个反射镜向另一个反射镜沿腔轴传播时由于光的衍射作用及反射镜的尺寸使得一部分光能量未被镜面覆盖而逸出腔外所造成的损耗因不同的横模的横向光场的分布不同故衍射损耗也不同基横模的衍射损耗最小模的阶数越高衍射损耗就越大
1-7 光学谐振腔的基本知识
本节将简单介绍有关谐振腔的基础知识，包括谐振腔 与激光模式、无源腔损耗、无源腔本征纵模线宽、谐振腔 本征纵模的频率间隔以及谐振腔的菲尼尔数等问题。 一、谐振腔与激光模式 激光模式：激光场的分布以及振荡频率都只能存在一系列 分立的本征状态，每一个本征态称为一种激光模式。从光 子的角度说，每一种激光模式就是腔内可以区分的一种光 子态。 激光模式分类： （一）纵模：它是指可能存在于腔内的每一种驻波场，用 模序数q描述沿腔轴的激光场的节点数。
（二）腔寿命 τc的物理意义为，光强从初始值I0衰减到I0的1/e所用的时 间腔平均单程功率损耗率 c——光速
光学谐振腔的图解分析与设计方法
（见图 1-5），利用式（1-9）与式（1-18），则有
1 = 1 −1 q′ − d′ q + d f
或
q′
=
⎜⎜⎝⎛1 −
d f
′
⎟⎟⎠⎞q
+
⎜⎜⎝⎛ d
+
d′
−
dd ′ f
（1-16）
由上面两式可以看出，高斯光束传播特性，除与激光波长有关外，唯一地决定于 束参数 b0 值。基于这个特点，我们引入高斯光束的两个侧焦点 Fl，Fl'，它们位于
-3-
高斯光束的束腰截面内，对称地分置于光轴的两侧，两者的距离为 2b（0 见图 1-2）。 确定了侧焦点 Fl，Fl'后，就可以通过作两种传播圆的方法来描写高斯光束的传播 特性。这两种传播圆具体规定如下：
（1-10）
为束腰处的复参数。由式（1-8）、式（1-9）和式（1-10），我们不难导出式（1- 2） 和式（1-3）的关系。
将高斯光束的传播规律与通常发自点光源的球面波的传播规律进行比较，可 以看出其含义。我们知道，后者的传播规律可由如下式子描写：
R = R0 + z
（1-11）
此处 R0，R 分别为 r0 与 r0＋z 处的球面波的波面曲率半径（见图 1-1）。对比式（1-9） 和式（1-11）可以看出，高斯光束的复参数 q 类似有复数波面曲率半径的特点。 从图 1-1 的图示中我们可以更好地看出两者的传播规律的异同。事实上，利用式 （ 1 - 8 ）、 式 （ 1 - 1 0 ）、 式 （ 1 - 2 ）、 式 （ 1 - 3 ） 和 式 （ 1 - 4 ） 的 关 系 ， 可
（1） σ 圆
它们是通过侧焦点 Fl，Fl'和光轴上任意点 P 处的一些圆。任意点 P 处的波面 曲率半径 R 等于通过该处的一个σ 圆的直径（见图 1-2）。因此，可以通过作一 系列的 σ 圆来决定高斯光束在光轴上各点的波面曲率半径及其在传播过程中的 变化（见图 1-3）。
第三章激光原理光学谐振腔理论(ABCD矩阵)
I 0e 2
i 1 2 3
损耗因子也可以用 ' 来定义
当损耗很小时，两种定义方式是一致的
2 ' I0 I1
I0
2 ' I0 I1 I0 I0e2 I0 I0 (1 2 ) 2
I0
I0
I0
损耗举例
反射镜反射不完全损耗：
cos A D
2
rm a x,
rs
n次往的返传播矩阵:
Tn
1
sin
Asin
n sinn 1
C sin n
其中
arccos
1 2
A
D
D
sin
B sin n
n sinn
1
可求得rn,n
例： L 3
R2 4
g1
1
可见，同一谐振腔，不同
的传播次序，往返矩阵T不
相同，但(A+D)/2相同。
s
1
s 1
T1 T2
T13
T23
1 0
0 1
A D
AD
1
L
1
1,1
2 T1
2 T2
f2
AD BC AD BC 1
T1
T2
思考题：
I0
I1 r1
I1 I0r1r2
r2 I1 I0e2r
r
1 2
ln
r1r2
衍射损耗（均匀平面波夫琅和费（Fraunhofer）衍射）：
光学谐振腔结构与稳定性
光学谐振腔结构与稳定性光学谐振腔是一种可以在其中产生共振的封闭结构，由高反射率的反射镜和一定长度和折射率的介质构成。
它是光学系统中的重要组成部分，广泛应用于激光器、光纤通信、光学传感等领域。
光学谐振腔的结构和稳定性对其性能产生重要影响。
光学谐振腔的结构一般由两个平行的反射镜组成，其中一个反射镜具有极高的反射率，另一个反射镜具有较低的反射率。
光线在腔内反复来回弥散，与介质相互作用，形成光学谐振。
谐振频率由腔长和光速共同决定，可以通过调整腔长来控制谐振频率。
常见的光学谐振腔结构有法布里-珀罗腔、平面-球面腔、球面-球面腔等。
光学谐振腔的稳定性是指腔内光线的轨迹是否稳定。
稳定性是光学谐振腔设计中需要考虑的重要因素。
一般来说，光学谐振腔的稳定性可以通过判断光线的角度是否稳定来衡量。
光线入射角度越大，腔内光线的轨迹越不稳定。
稳定性可以通过谐振腔的G参数来描述，G参数越大，稳定性越好。
光学谐振腔的稳定性可以通过计算腔的焦点位置来判断。
焦点位置的稳定性决定着光线的稳定性。
一般来说，平面-平面腔的焦点位置是固定的，稳定性较好。
而法布里-珀罗腔的焦点位置随着角度的变化而变化，稳定性较差。
对于具有较高稳定性要求的应用，如激光系统，常常选择平面-平面腔结构。
光学谐振腔的稳定性还受到腔内损耗的影响。
腔内的损耗会削弱光线的强度，导致光线很快耗散。
因此，减小腔内损耗是提高光学谐振腔稳定性的关键。
常见的降低损耗的方法有选择合适的腔内材料、控制腔内的散射和吸收等。
除了结构和损耗，光学谐振腔的稳定性还与激射源的位置和腔长有关。
激射源的位置决定了光线反射的次数，从而影响光线在腔内来回弥散的次数。
腔长的选择可以通过调整光线在腔内的弥散次数来控制，从而影响谐振频率和稳定性。
总之，光学谐振腔的结构和稳定性是该系统性能的关键因素。
合理设计和优化光学谐振腔的结构，降低腔内的损耗，调整激射源的位置和腔长，可以显著提高光学谐振腔的性能和稳定性，在各种光学应用中发挥重要作用。
光学谐振腔
隔远小于纵模间隔.例如
Δν m
ν = m+1,n,q
−ν m,n,q
=
cL 8a 2
m + (1/ 2) q
光学开式腔的本征模由纵模指数q和横模指数m,n 表征.激光输出频率主要由纵模指数决 定, 横模指数m,n决定模强度在横向的分布, 横模指数越大(kx,ky越大),光波偏离轴越大,衍射损 耗越大这些模不能在开腔内存在.
∫ σ u(x, y) = i e−ik ρ u(x′, y′)ds′
λL s
(1)
式中常令镜面上的场是规格化的,即令
Max[u(x, y)] = 1
(1) 是个积分方程,它的本征解un是稳定振荡模在镜面上的场分布,σn 是本征值.它与衍射损耗 有关. ⑶ 其它形式的光腔 除开式腔外,激光谐振腔还有介质波导腔,主要利用介质侧面上光的全内反射,使一部分满
(
x2
−
x1
)2
λ L −a
f
(x1 )dx1
σ y f (y2 ) =
∫ i
eb
−
ik 2L
(
y2
−
y1
)2
λ L −b
f
( y1 )dy1
σ = σ xσ y e−ikL
此为无限长平行平面条形镜腔的方程.
⑵ 费涅尔数N
设一平面单色波垂直入射在狭缝上, 缝宽 2a ,在缝后距离为 L 的屏上将产生衍射条纹.
ν m,n,q
≅
cq [1 + L2 2L 8q 2
m2 (
a2
+
n2 )]
b2
这些模中,当 m, n 为零,便得模频
ν 00q
=
cq , 2L
激光原理 第二章光学谐振腔理论
光学谐振腔一方面具有光学正反馈作用,另一方面 也存在各种损耗。损耗的大小是评价谐振腔质量 的一个重要指标,决定了激光振荡的阈值和激光的 输出能量。本节将分析无源开腔的损耗,并讨论表 征无源腔质量的品质因数Q值及线宽。
一、损耗及其描述 (1)几何偏折损耗: 光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面 偏折出去，我们称这种损耗为几何偏折损 耗。其大小首先取决于腔的类型和几何尺 寸。
概述
3.波动光学分析方法 从波动光学的菲涅耳-基尔霍夫衍射积分理论出发,可以建立 一个描述光学谐振腔模式特性的本征积分方程。 利用该方程原则上可以求得任意光腔的模式,从而得到场的 振幅、相位分布,谐振频率以及衍射损耗等腔模特性。 虽然数学上已严格证明了本征积分方程解的存在性,但只有在 腔镜几何尺寸趋于无穷大的情况下,该积分方程的解析求解 才是可能的。 对于腔镜几何尺寸有限的情况,迄今只对对称共焦腔求出了 解析解。 多数情况下,需要使用近似方法求数值解。虽然衍射积分方 程理论使用了标量场近似,也不涉及电磁波的偏振特性,但与 其他理论相比,仍可认为是一种比较普遍和严格的理论。
第一节 光学谐振腔的基本知识
本节主要讨论光学谐振腔的构成、分类、作用,以及 腔模的概念
光学谐振腔的构成和分类
根据结构、性能和机理等方面的不同,谐振腔有不同 的分类方式。
按能否忽略侧面边界,可将其分为
开腔、 闭腔 气体波导腔
第一节 光学谐振腔的基本知识
开腔而言： 1. 根据腔内傍轴光线几何逸出损耗的高低,又可分为 稳定腔、非稳腔及临界腔; 2. 按照腔镜的形状和结构,可分为球面腔和非球面腔; 3. 就腔内是否插入透镜之类的光学元件,或者是否考 虑腔镜以外的反射表面,可分为简单腔和复合腔; 4. 根据腔中辐射场的特点,可分为驻波腔和行波腔; 5. 从反馈机理的不同,可分为端面反馈腔和分布反馈 腔; 6. 根据构成谐振腔反射镜的个数,可分为两镜腔和多 镜腔等。
光学谐振腔的基本知识
2 临界腔
特别是：R1=R2=R=L/2时，为对称共心腔它对应图中B点。如果 R1和R2异号，且R1+R2=L公共中心在腔外，称为虚共心腔。由于 g1>0，g2>0，g1*g2=1，它对应图中第一象限的 g1*g2=1的双曲线。
c) 半共心腔。由一个平面镜和一个凹面镜组成。凹面镜半径 R=L，因而g1=1，g2=0，它对应图中C点和D点。
优点：是可以连续地改变输出光的功率，在某些特 殊情况下能使光的准直性、均匀性比较好。
二、共轴球面腔的稳定图以及分类
3 非稳腔
区分稳定腔与非稳腔在制造和使用激光器时有很重要的实际 意义，由于在稳定腔内傍轴光线能往返传播任意多次而不逸出腔 外，因此这种腔对光的几何损耗（指因反射而引起的损耗）极小。 一般中小功率的气体激光器(由于增益系数G小)常用稳定腔，它 的优点是容易产生激光。
二、共轴球面腔的稳定图以及分类
稳定图来表示共轴球面腔的稳定条件 • 定义参数：
共轴球面谐振腔的稳定性条件（式5.1.1）可改写为
讨论
非稳腔的条件：
临界腔的条件：
（5.1.2） （5.1.3） （5.1.4）
二、共轴球面腔的稳定图以及分类
备 注：
图中没有斜线的部分是谐振腔的稳定工作区， 其中包括坐标原点；
二、共轴球面腔的稳定图以及分类
2 临界腔
a) 平行平面腔。因g1= g2=1，它对应图中的A点。只有 与腔轴平行的光线才能在腔内往返而不逸出腔外。 b) 共心腔。满足条件R1+R2=L的腔称为共心腔。如果，
公共中心在腔内，称为实共心腔。这时：
它对应图中第三象限的g1*g2=1的双曲线
二、共轴球面腔的稳定图以及分类
以下将会看到，整个激光稳定腔的模式理论是建立在对称共 焦腔的基础上的，因此，对称共焦腔是最重要和最有代表性的一 种稳定腔。
第三节光学谐振腔的稳定性条件
特点：稳定腔的几何损耗可以忽略
b. 满足 g1g2 1 或 g1g2 0 的腔，腔内任何近轴光 束 在往返有限多次后，会 横向逸 出腔外，这种谐振 腔处于非稳定工作状态 ，称为 非稳腔 。
特点：非稳腔具有较高的几何损耗
共轴球面腔的稳定性条件
c. 满足 g1g2 1 或 g1g2 0 的腔称为 临界腔或介稳腔 。
r1
1
r1
r2
r2
2
z
即
z1 z2 r2 Ar1 B1 2 Cr1 D1 A B 矩阵 C D 就是该光学系统的光线 变换矩阵 , 描述
光学系统
入射光线经过光学系统 后引起的坐标变化。
自由空间的光线变换矩 阵 TL
r1 r2 设光线 传输距离L后，成为光线 1 2
L=R1=R2
引入谐振腔的 g 参数：
g参数表示的稳定性条件 为： 0 g1g2 1
R的符号规则： 凹面镜向着腔内 R取 凸面镜向着腔内 R取
共轴球面腔的稳定性条件
以g1 、 g2为轴可以画出稳区图
g2
1
（1,1）平平腔
-1
（-1,-1）
0 1 -1
g1
对称共焦腔
对称共心腔
共轴球面腔的稳定性条件
a. 满足 0 g1g2 1的腔，腔内傍轴光线在 腔内往返 无限多次而不会横向逸 出腔外，这种谐振腔处 于 稳定工作状态，称为 稳定腔 。
要求Tn的各元 素取有限实数
要求为实 数
共轴球面腔的稳定性条件
得： L L L2 0 1 1 R1 R2 R1R2 L L 0 (1 )(1 ) 1 R1 R2
L g1 1 R 1 g2 1 L R2
b. 满足 g1g2 1 或 g1g2 0 的腔，腔内任何近轴光 束 在往返有限多次后，会 横向逸 出腔外，这种谐振 腔处于非稳定工作状态 ，称为 非稳腔 。
特点：非稳腔具有较高的几何损耗
共轴球面腔的稳定性条件
c. 满足 g1g2 1 或 g1g2 0 的腔称为 临界腔或介稳腔 。
r1
1
r1
r2
r2
2
z
即
z1 z2 r2 Ar1 B1 2 Cr1 D1 A B 矩阵 C D 就是该光学系统的光线 变换矩阵 , 描述
光学系统
入射光线经过光学系统 后引起的坐标变化。
自由空间的光线变换矩 阵 TL
r1 r2 设光线 传输距离L后，成为光线 1 2
L=R1=R2
引入谐振腔的 g 参数：
g参数表示的稳定性条件 为： 0 g1g2 1
R的符号规则： 凹面镜向着腔内 R取 凸面镜向着腔内 R取
共轴球面腔的稳定性条件
以g1 、 g2为轴可以画出稳区图
g2
1
（1,1）平平腔
-1
（-1,-1）
0 1 -1
g1
对称共焦腔
对称共心腔
共轴球面腔的稳定性条件
a. 满足 0 g1g2 1的腔，腔内傍轴光线在 腔内往返 无限多次而不会横向逸 出腔外，这种谐振腔处 于 稳定工作状态，称为 稳定腔 。
要求Tn的各元 素取有限实数
要求为实 数
共轴球面腔的稳定性条件
得： L L L2 0 1 1 R1 R2 R1R2 L L 0 (1 )(1 ) 1 R1 R2
L g1 1 R 1 g2 1 L R2
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例题
例题2：上题的激光器，如果腔长L=5cm
求：可震荡纵模数。
例题3：一台红宝石激光器，腔长L=10cm，介质
折射率η =1.76，求：纵模间隔。
例题
例题4：有一复合腔，由折射率分别为η 1、η 2、
η 3……η n，对应的长度分别为L1、L2、L3……Ln的n
种介质组成，求：纵模频率和纵模间隔。
反馈的效果和特征决定于
（1）组成腔的两个反射镜的反射率。 （2）反射镜的几何形状和它们之间的组合方式
二、光学谐振腔的作用
2. 波形的限制作用
（1）对方向的限制；
（2）对频率的限制；
（3）控制腔内实际振荡的模式数目，提高光子
简并度。
三、腔与模的一般联系
模的概念：
一切被约束在有限空间范围内的电磁场，都只
能存在于一系列分立的本征状态之中，场的每一个
本征态就称为一个模。
在激光技术中，电磁场被光学谐振腔部分或者 全部地约束在腔内，我们将光学谐振腔内可能存在 的电磁场的本征态称为腔的模式，亦即激光器的模 式。
三、腔与模的一般联系
对于开腔—R1，R2，L
给定了腔的具体几何结构，振荡模式的特征就
确定了。
模的基本特征：
频率就是一个纵模。
（延轴线的驻波场节点数）
四、
ΔνF为介质的荧光线宽，[…]表示取整。
例题
例题1：一台He-Ne激光器，腔长L=50cm，其增
益谱宽为Δν G=1.7×109Hz。
求：（1）纵模序数q的量级；
（2）可震荡纵模数。
（1）每一个模的电磁场分布，特别是腔的横截 面内的场分布； （2）模的振荡频率； （3）模的损耗情况； （4）模的发散角。
四、纵模与横模
纵模的概念：
谐振腔内本征电磁场的纵向光场分布。
（存在于谐振腔内的驻波光场）
c q q ; 2L
c q 2L
q：纵模序数，决定腔的谐振频率，一个振荡
四、纵模与横模
横模的概念：
谐振腔内本征电磁场的横向光场分布。 （描述光斑的强度分布） TEMmn m,n代表延坐标方向的横模序数。
五、光学谐振腔的研究方法
1.直接求解Maxwell方程
固体激光器、波导气体谐振腔中波导管内的场。
2.几何光学方法
稳定性问题、非稳腔，忽略衍射效应。
3.标量衍射理论
求解谐振腔的衍射积分方程，不能忽略衍射效应。
第三章 光学谐振腔
3.1 光学谐振腔的一般问题
激光器的构成
一、光学谐振腔的构成与分类
1. 开腔 最常用的一种谐振腔形式。
通常的气体激光器和大部分固体激光器都 采用开腔。
主要特点：
侧面敞开，没有光学边界； L>>λ，L>>d。
一、光学谐振腔的构成与分类
2. 闭腔
半导体激光器原理示意图
一、光学谐振腔的构成与分类
2. 闭腔
一、光学谐振器的构成与分类
2. 闭腔
一、光学谐振腔的构成与分类
3. 气体波导腔
气体波导腔示意图
一、光学谐振腔的构成与分类
其它腔型
环形腔
折叠腔
一、光学谐振腔的构成与分类
本课程中： 开腔--------重点讨论 闭腔--------不讨论 气体波导腔—简要介绍
二、光学谐振腔的作用
1. 提供光学反馈