反比例函数常见几何模型

一、知识点回顾

k

1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y= k（k≠0）．其解析式有三种表示方法：

x

k

①y= （k0）；②y=kx-1（k0）；③xy=k

x

k

2 ．反比例函数y= k（k≠0）的性质

x

（1）当k>0 时函数图像的两个分支分别在第一，三象限内在每一象限内，y 随x 的增大而减小．

（2）当k<0 时函数图像的两个分支分别在第二，四象限内在每一象限内，y 随x 的增大而增大．

k

（3）在反比例函数y=k中，其解析式变形为xy=k，故要求k 的值（也就是求其图像

x

上一点横坐标与纵坐标之积）.

k

（4）若双曲线y= k图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求x 双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是-2

y= ．

x

（5）由于反比例函数中自变量x和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．

二、新知讲解与例题训练

模型一：

如图，点 A 为反比例函数y = k图象上的任意一点，且AB垂直

S

OAB |k|

2

于x轴，x

则有

m

例1：如图Rt ABC的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=m在第一象限的交点，且S AOB =3,（1）求m的值（2）求ABC的面积

变式题

1、如图所示，点A1, A2, A3在x 轴上，且O A1= A1A2

= A2A3,分别过A1, A2, A3作y 轴平

8

行线，与反比例函数y= 8（x>0）的图像交于点B1,B2,B3，分别过点B1,B2,B3作x轴的平

x

13

2、如图，点A在双曲线y = 1上，点B在双曲线y = 3上，且AB∥x轴，C、D在x轴

上，xx

若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .

行线，分别与y 轴交于点C1,C2,

模型二：

k

如图：点A、B是双曲线y = k (k0)任意不重合的两点，直线 AB交x轴于M

x

点，交y轴于N点，再过A、B两点分别作AD⊥y轴于D点，BF⊥x轴于F 点，再连结DF两点，则有：DF || AB且BM＝AN

例2 ：如图，一次函数y= ax+ b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y = k的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x 轴的垂线，垂x

足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：①S CEF = S DEF；② AOB 相似

于FOE；③△ DCE≌△ CDF；④ AC=BD其中正确的

结论是

．(把你认为正确结论的序号都填上)

例3：一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M,N，与反比例函数

y= k的图象相交于点A, B．过点A分别作AC⊥ x轴，AE⊥y轴，垂足分别为x

C, E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于

点K，连接CD．

（1）若点A，B在反比例函数y = k的图象的同一分支上，如图1，试证明：

x

① S

四边形AEDK = S

四边形CFBK

；② AN =BM．

（2）若点A，B分别在反比例函数y = k的图象的不同分支上，如图2，则

AN与x

BM还相等吗？试证明你的结论．

图1图2

模型三：

如图，已知反比例函数y = k（k≠0，x>0）上任意两点P、C，过P做PA⊥x

x

例4 ：如图，在直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y = k 2

的图象交于A（1,4）、B（4，1）两点，则△AOB的面积

是

例5：如图，在直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比

例函数y= k2的图象交于A（1,4）、B（3，m）两点，则△AOB的面积是

1k

例6：如图1，已知直线y = 1x与双曲线y = k（k0）交于A、B两点，且点A

2x

的横坐标为4．

（1）求k的值；

k

（2）如图2，过原点O的另一条直线l交双曲线y=k（k0）于C、D两点

（点x

C在第一象限且在点A的左边），当四边形ACBD的面积为24时，求点

C的坐

标．

模型四：

在矩形AOBC中，OB=a，OA=b，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，

建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过

F点的反比例函数y = k (x0)的图象与AC边交于点E，则CE = a.

x CF b

例7：两个反比例函数y = k和y = 1在第一象限内的图象如图所示，点P在y = k x x x 的图象上，PC⊥x轴于点C，交y= 1的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y= 1 xx 的图象于点B，当点P在y = k的图象上运动时，以下结论：

x

①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；

③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是(把你认为正确结论的序号都填上)．

课堂练习：