2014中考复习备战策略 数学PPT第21讲 矩形、菱形、正方形

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方法总结 1.正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形 和菱形的所有性质 . 2.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形， 再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再 证有一个角是直角或对角线相等.
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一、选择题 (每小题 4 分，共 40 分 ) 1．(2013· 宜昌 )如图，在矩形 ABCD 中，AB＜ BC， AC ， BD 相交于 点 O ，则图中等腰三角形的个数是 ( C ) A． 8 B．6
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1． 如图， 矩形 ABCD 的对角线 AC＝8 cm， ∠AOD ＝120° ，则 AB 的长为( D )
A.
3 cm
B．2 cm D．4 cm
C．2 3 cm
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解析：∵四边形 ABCD 为矩形，∴OA＝OB＝OC ＝OD.∵∠AOD＝120° ， ∴∠AOB＝60° .∴△AOB 是等 1 边三角形．∴AB＝AO＝ AC＝4 cm.故选 D. 2
(1)线段 BD 与 CD 有何数量关系，为什么？ (2)当△ ABC 满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩 形？请说明理由．
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【点拨】 本题考查全等三角形的判定与性质、 平行 四边形的判定、矩形的判定． 解：(1)BD＝ CD.理由如下： ∵ AF∥ BC， ∴∠ AFE＝∠ DCE，∠ FAE＝∠ CDE. 又∵ E 是 AD 的中点，∴ AE＝ DE. ∴△ AFE≌△ DCE. ∴ AF＝ CD. 又∵ AF＝ BD，∴ BD＝ CD.
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方法总结 对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形， 则可证一组邻边相等或对角线互相垂直； 若相等的边较 多，则可证四条边都相等.
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考点三 正方形的性质与判定 例 3 (2013· 南京 )如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ BC，对角线 BD 平分∠ ABC，P 是 BD 上一点，过点 P 作 PM⊥ AD，PN⊥ CD，垂足分别为 M， N.
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考点一
矩形的性质与判定
例 1(2013· 白银 )如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边上 的一点， E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F，且 AF＝ BD，连接 BF.
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∵ D 为 BC 的中点， ∴ DE 为△ ABC 的中位线，∴ BE＝ AE. 又∵ CF＝ AE，∴ CF＝ BE.∴ CF＝ BF＝ BE＝ CE. ∴四边形 BECF 是菱形．
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(2)如图，∵四边形 BECF 为正方形， ∴∠ BEC＝ 90° . 又∵ AE＝ CE，∴∠ A＝ 45° .
C．4
D．2
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解析：∵矩形的对角线相等且互相平分，∴ AO＝ BO＝ CO＝ DO， ∴△AOB， △ BOC， △ COD， △ AOD 都是等腰三角形．又∵AB＜ BC，∴△ ABC， △BCD， △ ADC， △ADB 都不是等腰三角形．∴共有 4 个等腰 三角形．故选 C.
A． 1
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B. 3
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C． 2
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D. 3＋ 1
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解析： 如图， 作 AE⊥BC 于点 E， ∵四边形 ABCD 为菱形，∴点 Q 关于 BD 的对称点在 AD 上，∴AE 的 长是 PK＋QK 的最小值．∵∠A＝120° ，∴∠ABE＝ AE 60° .∵AB＝2，sin∠ABE＝ ，∴AE＝AB· sin∠ABE AB 3 ＝2× ＝ 3.故选 B. 2
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6．如图，在△ ABC 中，点 D 是边 BC 的中点， DE⊥ AC， DF⊥ AB，垂足分别是 E， F，且 BF＝ CE.
(1)求证： DE＝ DF； (2)当∠ A＝ 90° 时，试判断四边形 AFDE 是怎样的 四边形，并证明你的结论．
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第21讲
矩形、菱形、正方形
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考点一
矩形、菱形、正方形的性质和判定
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温馨提示 1.正方形的判定： 1先证明四边形是矩形，再证 明有一组邻边相等或对角线垂直；2先证明四边形是 菱形，再证明有一个角是直角或对角线相等 . 2.矩形的面积： S＝ aba， b 表示长和宽 ；菱形的 面积等于两条对角线乘积的一半；正方形的面积等于 边长的平方或对角线乘积的一半 .
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解：(1)证明：∵点 D 是 BC 的中点， ∴BD＝CD. ∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠BFD＝∠CED＝90° . 在 Rt△DFB 和 Rt△DEC 中，
BD＝CD， BF＝CE，
∴Rt△DFB≌Rt△DEC. ∴DE＝DF.
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(1)求证：∠ ADB＝∠ CDB； 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、正方 形的判定等． 证明： (1)∵ BD 平分∠ ABC，∴∠ ABD＝∠ CBD. 又∵ AB＝ BC， BD＝ BD，∴△ ABD≌△ CBD. ∴∠ ADB＝∠ CDB.
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方法总结 矩形是特殊的平行四边形， 证明矩形的常用方法就 是先证明四边形是平行四边形， 然后再证明有一个角是 直角或对角线相等 .
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考点二
菱形的性质与判定
例 2 (2013· 梅州 )如图， 在四边形 ABFC 中， ∠ ACB ＝ 90° ， BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于 点 E，且 CF＝ AE.
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2．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，CE∥BD，DE∥AC.若 AC＝4，则四边形 CODE 的 周长是( C )
A．4
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B．6
C．8
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D．10
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1 解析：∵四边形 ABCD 是矩形，∴OC＝ OD＝ AC 2 ＝ 2.∵ CE∥BD， DE∥AC， ∴四边形 CODE 是平行四 边形．又∵OC＝ OD，∴四边形 CODE 是菱形，∴它的 周长＝4OC＝ 4× 2＝ 8.故选 C.
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∴S 菱形 ABCD＝AB· DE＝8×4 3＝32 3(cm )，
2
1 1 S△AED＝ AE· DE＝ ×4×4 3＝8 3( cm2)， 2 2 S△DFC＝S△AED＝8 3( cm2)． ∴S 四边形 BEDF＝32 3－2×8 3＝16 3( cm2)．
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3． (2013· 大庆)已知四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 互相垂直，则下列结论正确的是( C ) A．当 AC＝ BD 时，四边形 ABCD 是矩形 B．当 AB＝ AD，CB＝ CD 时，四边形 ABCD 是菱 形 C．当 AB＝ AD＝BC 时，四边形 ABCD 是菱形 D．当 AC＝ BD，AD＝ AB 时，四边形 ABCD 是正 方形
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4．如图，菱形 ABCD 的边长为 8 cm，∠A＝60° ， DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，则四边形 BEDF 的面积为 16 3 cm2.
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解析：∵在 Rt△AED 中，∠A＝60° ，AD＝8 cm， DE sin∠DAE＝ ， AD 3 ∴DE＝AD· sin∠DAE＝8× ＝4 3(cm)， 2 1 AE＝ AD＝4(cm)． 2
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(2)当△ ABC 满足 AB＝ AC 时，四边形 AFBD 是矩 形．理由如下： ∵ AF∥ BC， AF＝ BD，∴四边形 AFBD 是平行四 边形． 又∵ AB＝ AC， BD＝ CD， ∴ AD⊥ BC.∴∠ ADB＝ 90° . ∴四边形 AFBD 是矩形．
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5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝BC ＝6，E 是斜边 AB 上任意一点，作 EF⊥AC 于 F， EG⊥BC 于 G，则矩形 CFEG 的周长是 12.
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解析：∵ AC＝ BC， ∴∠ A＝ ∠ B. ∵∠ EFC＝ 90° ， ∠ C＝ 90° ， ∴ EF∥ BC， ∴∠ AEF＝ ∠ B， ∴∠ A＝ ∠ AEF， ∴ AF＝ EF. 同理 EG＝ BG. ∴矩形 CFEG 的周长为 EF＋ FC＋ CG＋ GE＝ AF ＋ FC＋ CG＋ GB＝ AC＋ CB＝ 2AC＝ 12.
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(2)若∠ ADC＝90° ， 求证： 四边形 MPND 是正方形．
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(2)∵ PM⊥ AD， PN⊥ CD， ∴∠PMD＝∠ PND＝ 90° . 又∵∠ ADC＝ 90° ，∴四边形 MPND 是矩形． ∵∠ ADB＝∠ CDB， PM⊥ AD， PN⊥ CD， ∴ PM＝ PN. ∴四边形 MPND 是正方形．
(1)求证：四边形 BECF 是菱形； (2)若四边形 BECF 为正方形，求∠ A 的度数．
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【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质、菱形的 判定、正方形的性质等． 解：(1)证明：∵ BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D， ∴ BF＝ CF， BE＝ CE. 又∵∠ ACB＝ 90° ，∴ EF∥ AC.
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考点二 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
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温馨提示 1.矩形、 菱形和正方形都具有平行四边形的所有性 质 .2.平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点比较 多，要想做到准确而不混淆就要从 “边、角、对角线、 对称性 ”这四个方面来研究它们的性质和判定，多用 数形结合法，掌握它们的区别与联系，把握它们的特 征是关键 .
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(2)四边形 AFDE 是正方形． 证明： ∵DE⊥ AC， DF⊥ AB， ∴∠ AFD＝ ∠ AED＝ 90° . 又 ∵∠ A＝ 90° . ∴四边形 AFDE 是矩形． 又 ∵ DF＝ DE， ∴四边形 AFDE 是正方形．
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2．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相 交于点 O，下列说法错误的是( B )
A． AB∥ DC C． AC⊥ BD
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B． AC＝ BD D． OA＝ OC
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3．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2，∠ A＝ 120° ， 点 P， Q， K 分别为线段 BC， CD， BD 上任意一点， 则 PK＋ QK 的最小值为 ( B )