2014中考复习备战策略 数学PPT第21讲 矩形、菱形、正方形
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中考数学总复习 第五单元 四边形 第21课时 矩形、菱形、正方形数学课件
解: (2)证明:∵四边形 ABCD 是菱形,
BD 交于点 O,∠ABC∶∠BAD=1∶2,BE∥AC,CE∥BD.
∴∠BOC=90°.
(2)求证:四边形 OBEC 是矩形.
∵BE∥AC,CE∥BD,
∴∠OBE=∠BOC=∠OCE=90°,
∴四边形 OBEC 是矩形.
图 21-8
第十六页，共三十一页。
∴MN∥BC,∴∠CBN=∠MNB,∵∠PNB=3∠CBN,∴∠PNM=2∠CBN.
第十一页，共三十一页。
图21-6
高频考向探究
2.[2015·云南 22 题] 如图 21-6,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=6,M,N 分别是 AB,CD 的中点,P 是 AD 上的点,且
∠PNB=3∠CBN.
③若 AE=AF,则平行四边形 ABCD 是菱形;
图21-7
④若平行四边形 ABCD 是菱形,则 AE=AF,其中,结论正确的是
第十三页，共三十一页。
(只需填写正确结论的序号).
高频考向探究
[答案] ①③④
[解析] ①由等边三角形的性质得出∠EAF=60°,AE=AF,求出∠C=120°,由平行四边形的性质得出 AB∥CD,得出
1
1
2
2
④由菱形的性质得出 BC=CD,由面积相等得出 BC·AE= CD·AF,得出 AE=AF,④正确;即可得出结论.
[方法模型] 判定一个四边形是矩形或菱形时,一般先判定它是平行四边形.若要判定是矩形,则再通过找角或对角线
的关系进一步证明是矩形;若要判定是菱形,则进一步说明邻边相等或对角线互相垂直.
2
∴∠ABC+∠BAD=180°.
又∵∠ABC∶∠BAD=1∶2,
中考总复习--矩形菱形正方形课件
菱形的判定三
有一组邻边相等的平行四边形
对角线互相垂直的平行四边形
是菱形。
是菱形。
菱形的判定二
四条边都相等的四边形是菱形。
菱形的判定四
每条对角线平分一组对角的四
边形是菱形
随堂检测
1.如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC为6，则它的面积为（ A ）
A.24
B.28
C.32
D.48
2. 如图，四边形 ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列结论：①DA=DE;②∠ABC=2∠E；③
∵四边形ABCD是矩形
∴∠D=90°,AB=CD=3, BC=AD=4,
∴CF²=DF²+CD²
∴x²=(4-0)²+3²
∴x=25/8
∴CF=25/8
（3)设PB=PE=x
∵∠A=∠E=90°, ∠QP= ∠EQF, AQ=QE
∴△AQP≌△EQF(ASA)
∴PQ=FQ
∵AQ=QE
∴AF=PE=x
矩形中，内接一个平四，其边分别和矩形对角线平行则该平四的周长等于矩形对角线的和（2倍对角线）
证:如图，EH和AB的延长线交于点I
根据角等显然，△HGI为等腰，
故EH+HG=EI=CB，
同理EF+FG=AD，
得证
矩形角平分线和垂线
矩形ABCD中，做内角平分线CF，过B做对角线的垂线EF两直线交于点F，则BC=BF
证:做CG垂直于AD，
由CF平分△ACD得△GCO也被CF平分
平行线+角平分线得到等腰△BCF
故得证
03
菱形的定义与性
质
菱形的定义
定义二
人教版中考数学复习《第21讲：矩形、菱形、正方形》课件
BF=3x,由勾股定理得:AF2+BF2=AB2,即x2+(3x)2=22,解得
x=
10
,所以
5
3 10
,即
5
3x=
BF=
3 10
.
5
18
考点梳理自清
考法1
考法2
考题体验感悟
考法互动研析
考法3
3.(2017·江苏徐州)如图,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,
连接DO并延长,交AB延长线于点E连接EC.
一半
5
考点梳理自清
考点一
考点二
考点三
考题体验感悟
考法互动研析
考点四
考点三正方形(高频)
正方形
的定义
正方形
的性质
正方形
的判定
有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫
做正方形
(1)正方形的对边平行
(2)正方形的四条边相等
(3)正方形的四个角都是直角
(4)正方形的对角线相等,互相垂直平分 ,每条对角线
( C )
A.2 5
B.3 5
C.5
D.6
10
考点梳理自清
命题点1
命题点2
考题体验感悟
考法互动研析
命题点3
解析 如图,连接EF交AC于点O,根据菱形性质有FE⊥AC,OG=OH,
易证OA=OC.由四边形ABCD是矩形,得∠B=90°,根据勾股定理得
AC=
4 5
42
+
82 =4
5,OA=2 5,易证△AOE∽△ABC,则
考法3
考法1矩形的相关证明与计算
例1(2017·山东潍坊)如图,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向
x=
10
,所以
5
3 10
,即
5
3x=
BF=
3 10
.
5
18
考点梳理自清
考法1
考法2
考题体验感悟
考法互动研析
考法3
3.(2017·江苏徐州)如图,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,
连接DO并延长,交AB延长线于点E连接EC.
一半
5
考点梳理自清
考点一
考点二
考点三
考题体验感悟
考法互动研析
考点四
考点三正方形(高频)
正方形
的定义
正方形
的性质
正方形
的判定
有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫
做正方形
(1)正方形的对边平行
(2)正方形的四条边相等
(3)正方形的四个角都是直角
(4)正方形的对角线相等,互相垂直平分 ,每条对角线
( C )
A.2 5
B.3 5
C.5
D.6
10
考点梳理自清
命题点1
命题点2
考题体验感悟
考法互动研析
命题点3
解析 如图,连接EF交AC于点O,根据菱形性质有FE⊥AC,OG=OH,
易证OA=OC.由四边形ABCD是矩形,得∠B=90°,根据勾股定理得
AC=
4 5
42
+
82 =4
5,OA=2 5,易证△AOE∽△ABC,则
考法3
考法1矩形的相关证明与计算
例1(2017·山东潍坊)如图,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向
中考数学 矩形、菱形、正方形复习数学课件
为什么？
③如果题目(tímù)中的矩形变为正方形(图二)，结论又
应变为什么？
A
D
O
A
D
O
B
C
P
B
C
P
图一
图二
归纳：解题时，要熟练运用各种四边形的性质
12/9/2021
第十一页，共二十页。
例2、①如图，直线(zhíxiàn)L过正方形 ABCD 的顶点B,点A、C到直线
L的距离分别是1和2,则正方形的边长是 ____
．
12/9/2021
第十四页，共二十页。
拓展(tuò 练 zhǎn) 习
四边形ABCD中，AC=6，BD=8，AC⊥BD，顺次连结四边形ABCD各边中点，
得到(dé dào)四边形A1B1C1D1；再顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，得 到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn . （1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形； （2）写出四边形A1B1C1D1和四边形
+ 一个直角 =
② 对角线互相(hù xiāng)垂直的平行四边形是菱形
+对角线相等 =
③ 有三个角是直角的四边形是矩形
12/9/2021
+ 三个直角 =
第五页，共二十页。
3.菱形(línɡ xínɡ)的判定：
① 有一组邻边相等(xiāngděng)的平行四边形叫做菱形
+ 邻边相等 =
② 对角线互相垂直(chuízhí)的平行四边形是菱形
②矩形ABCD中，
，将角D与角C分别(fēnbié)沿过A和B
的直线AE、BF向内折叠，使点D、C重合于点G，
且
，则
．
解：由折叠(zhédié)的性质知，AD=AG=BG=BC，
③如果题目(tímù)中的矩形变为正方形(图二)，结论又
应变为什么？
A
D
O
A
D
O
B
C
P
B
C
P
图一
图二
归纳：解题时，要熟练运用各种四边形的性质
12/9/2021
第十一页，共二十页。
例2、①如图，直线(zhíxiàn)L过正方形 ABCD 的顶点B,点A、C到直线
L的距离分别是1和2,则正方形的边长是 ____
．
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第十四页，共二十页。
拓展(tuò 练 zhǎn) 习
四边形ABCD中，AC=6，BD=8，AC⊥BD，顺次连结四边形ABCD各边中点，
得到(dé dào)四边形A1B1C1D1；再顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，得 到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn . （1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形； （2）写出四边形A1B1C1D1和四边形
+ 一个直角 =
② 对角线互相(hù xiāng)垂直的平行四边形是菱形
+对角线相等 =
③ 有三个角是直角的四边形是矩形
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+ 三个直角 =
第五页，共二十页。
3.菱形(línɡ xínɡ)的判定：
① 有一组邻边相等(xiāngděng)的平行四边形叫做菱形
+ 邻边相等 =
② 对角线互相垂直(chuízhí)的平行四边形是菱形
②矩形ABCD中，
，将角D与角C分别(fēnbié)沿过A和B
的直线AE、BF向内折叠，使点D、C重合于点G，
且
，则
．
解：由折叠(zhédié)的性质知，AD=AG=BG=BC，
中考数学总复习 第21讲 矩形、菱形、正方形课件 新人教版精品
(1)求证：四边形 BECF 是菱形； (2)若四边形 BECF 为正方形，求∠ A 的度数．
•最新中小学课件 •13
【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质、菱形的 判定、正方形的性质等． 解：(1)证明：∵ BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D， ∴ BF＝ CF， BE＝ CE. 又∵∠ ACB＝ 90° ，∴ EF∥ AC.
A． AB∥ DC C． AC⊥ BD
•最新中小学课件
B． AC＝ BD D． OA＝ OC
•26
3．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2，∠ A＝ 120° ， 点 P， Q， K 分别为线段 BC， CD， BD 上任意一点， 则 PK＋ QK 的最小值为 ( B )
A． 1
(2)若∠ ADC＝90° ， 求证： 四边形 MPND 是正方形．
(2)∵ PM⊥ AD， PN⊥ CD， ∴∠PMD＝∠ PND＝ 90° . 又∵∠ ADC＝ 90° ，∴四边形 MPND 是矩形． ∵∠ ADB＝∠ CDB， PM⊥ AD， PN⊥ CD， ∴ PM＝ PN. ∴四边形 MPND 是正方形．
•最新中小学课件 •10
(2)当△ ABC 满足 AB＝ AC 时，四边形 AFBD 是矩 形．理由如下： ∵ AF∥ BC， AF＝ BD，∴四边形 AFBD 是平行四 边形． 又∵ AB＝ AC， BD＝ CD， ∴ AD⊥ BC.∴∠ ADB＝ 90° . ∴四边形 AFBD 是矩形．
•最新中小学课件
•11
方法总结 矩形是特殊的平行四边形， 证明矩形的常用方法就 是先证明四边形是平行四边形， 然后再证明有一个角是 直角或对角线相等 .
•最新中小学课件
•12
考点二
菱形的性质与判定
初中数学中考知识点考点学习课件PPT之矩形、菱形和正方形知识点学习PPT
① <m></m> _ _.
② <m></m> _____.
【分步分析】 A.作辅助线（见中点，联想“中点模型”，构造中位线）：取 <m></m> 的中点 <m></m> ,连接 <m></m> .B. <m></m> ___, <m></m> ____ <m></m> ， <m></m> ___.C. <m></m> _____.
（4） 如图（3）,点 在四边形 外部，且 , .
图（3）
① 若四边形 是矩形，则四边形 的形状为______；
菱形
② 若四边形 是菱形，则四边形 的形状为______；
矩形
③ 若四边形 是正方形，则四边形 的形状为________.
正方形
课时一 矩形
命题角度1 与矩形的性质有关的计算
6
[答案] 如图
图（2）
（3） 得出结论：当点 <m></m> 到 <m></m> 的距离为1时， <m></m> 的长为_ ________.
或
例3 如图，在矩形 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ，点 <m></m> 为 <m></m> 的中点，点 <m></m> 为射线 <m></m> 上一点，连接 <m></m> , <m></m> ,若将 <m></m> 沿直线 <m></m> 折叠后，点 <m></m> 的对应点 <m></m> 恰好落到 <m></m> 上，则 <m></m> 的值为____________________．
② <m></m> _____.
【分步分析】 A.作辅助线（见中点，联想“中点模型”，构造中位线）：取 <m></m> 的中点 <m></m> ,连接 <m></m> .B. <m></m> ___, <m></m> ____ <m></m> ， <m></m> ___.C. <m></m> _____.
（4） 如图（3）,点 在四边形 外部，且 , .
图（3）
① 若四边形 是矩形，则四边形 的形状为______；
菱形
② 若四边形 是菱形，则四边形 的形状为______；
矩形
③ 若四边形 是正方形，则四边形 的形状为________.
正方形
课时一 矩形
命题角度1 与矩形的性质有关的计算
6
[答案] 如图
图（2）
（3） 得出结论：当点 <m></m> 到 <m></m> 的距离为1时， <m></m> 的长为_ ________.
或
例3 如图，在矩形 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ，点 <m></m> 为 <m></m> 的中点，点 <m></m> 为射线 <m></m> 上一点，连接 <m></m> , <m></m> ,若将 <m></m> 沿直线 <m></m> 折叠后，点 <m></m> 的对应点 <m></m> 恰好落到 <m></m> 上，则 <m></m> 的值为____________________．
中考数学 矩形、菱形、正方形数学课件
互相平分且相等
中心对称图形 轴对称图形
互相垂直平分，且每一 中心对称图形 条对角线平分一组对角 轴对称图形
互相垂直平分且相等，每 中心对称图形 一条对角线平分一组对角 轴对称图形
12/9/2021
二、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定：
1.平行四边形的判定：
D
C
① 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
+对角线线互相垂直 =
③ 有四条边相等的四边形是菱形
四条边相等 +
=
12/9/2021
4.正方形的判定：
① 有一组邻边相等的矩形叫做正方形
+ 邻边相等 =
② 一个角是直角的菱形是正方形
+有一个角是直角 =
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任意四边形
三、四边形的分类及转化
矩形 两组对边 平行四边形
平行 菱 形
12/9/2021
型
例
题
解：∵四边形ABCD是矩形，
A
∴AC=BD,OA=OC,OB=OD,
∴OC=OB,
B
D
O C
∵BP∥OC,BP=OC,
P
∴四边形COBP是平行四边形，
∵OC=OB,
∴四边形COBP是菱形.
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例1：①如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交 于点O，过点B作 BP∥OC，且 BP=OC，连结
CP，试说明：四边形COBP的形状。
②如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应 变为什么？
③如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论
又应变为什么？
A
D
O
A
D
O
B
C
P
中考数学备考大一轮复习第21课时矩形、菱形与正方形
考点二 菱形的性质与判定
3.菱形的判定（满足下列条件之一的四边形是菱形） （1）有一组邻边相等的平行四边形. （2）对角线互相垂直的平行四边形. （3）四条边都相等的四边形.
归纳拓展
【归纳拓展】 菱形的说明方法（三种） ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边 形ABCD的任一组邻边相等. ②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边 形ABCD的对角线互相垂直. ③说明四边形ABCD的四条边相等.
归纳拓展
注意以下要点： (1)菱形的对角线互相垂直且平分； (2)菱形的邻边相等； (3)菱形的对角线分别平分两组内角.
强化训练
考点三:正方形的性质和判定
例3（武汉中考）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是
．
解：如图1， ∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形， ∴AB=BC=CD=AD=AE=DE， ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°， ∠AED=∠ADE=∠DAE=60°， ∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE， ∴∠AEB=∠CED=15°， 则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．
考点聚焦
考点三 正方形的性质与判定
1.正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形.它是 最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形. 2.正方形的性质 （1）边：四条边都相等. （2）角：四个角都相等（都等于90°）. （3）对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为45°. （4）对称性：轴对称图形（对称轴有4条）；中心对称图形.
归纳拓展
注意以下要点： 矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等; 矩形的四个内角都为90° .
3.菱形的判定（满足下列条件之一的四边形是菱形） （1）有一组邻边相等的平行四边形. （2）对角线互相垂直的平行四边形. （3）四条边都相等的四边形.
归纳拓展
【归纳拓展】 菱形的说明方法（三种） ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边 形ABCD的任一组邻边相等. ②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边 形ABCD的对角线互相垂直. ③说明四边形ABCD的四条边相等.
归纳拓展
注意以下要点： (1)菱形的对角线互相垂直且平分； (2)菱形的邻边相等； (3)菱形的对角线分别平分两组内角.
强化训练
考点三:正方形的性质和判定
例3（武汉中考）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是
．
解：如图1， ∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形， ∴AB=BC=CD=AD=AE=DE， ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°， ∠AED=∠ADE=∠DAE=60°， ∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE， ∴∠AEB=∠CED=15°， 则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．
考点聚焦
考点三 正方形的性质与判定
1.正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形.它是 最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形. 2.正方形的性质 （1）边：四条边都相等. （2）角：四个角都相等（都等于90°）. （3）对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为45°. （4）对称性：轴对称图形（对称轴有4条）；中心对称图形.
归纳拓展
注意以下要点： 矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等; 矩形的四个内角都为90° .
2014中考复习备战策略_数学PPT第21讲_矩形、菱形、正方形
BD＝CD， BF＝CE，
∴Rt△DFB≌Rt△DEC. ∴DE＝DF.
(2)四边形 AFDE 是正方形． 证明： ∵DE⊥ AC， DF⊥ AB， ∴∠ AFD＝ ∠ AED＝ 90° . 又 ∵∠ A＝ 90° . ∴四边形 AFDE 是矩形． 又 ∵ DF＝ DE， ∴四边形 AFDE 是正方形．
A．14
B．15
C．16
D．17
解析：∵四边形 ABCD 为菱形， AB＝ 4， ∴ BC＝ AB＝ 4.∵∠ABC＝ 60° ， ∴△ABC 是等边三角形， ∴ AC＝ AB＝ 4.∴ C 正方形 ACEF＝4×4＝16.故选 C.
5．(2013· 扬州)如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝ 80° ， AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F， 垂足为 E， 连接 DF，则∠CDF 等于( B )
考点二 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
温馨提示 1.矩形、 菱形和正方形都具有平行四边形的所有性 质 .2.平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点比较 多，要想做到准确而不混淆就要从 “边、角、对角线、 对称性 ”这四个方面来研究它们的性质和判定，多用 数形结合法，掌握它们的区别与联系，把握它们的特 征是关键 .
B． 2 5－ 1 D． 1 ＋ 2
解析： 由题意可先尝试画出符合条件的图形如图所 示，然后根据面积相等，
可得 (x＋ y)y＝ x ，将 y＝ 2 代入，可得 x － 2x－ 4＝ 0，解得 x1＝ 1＋ 5， x2＝ 1－ 5(舍去 )．故选 C.
2
2
8．(2013· 南京)设边长为 3 的正方形的对角线长为 a，下列关于 a 的四种说法：①a 是无理数；②a 可以用 数轴上的一个点来表示；③ 3＜a＜4；④a 是 18 的算术 平方根．其中，所有正确说法的序号是( A．①④ C．①②④ B．②③ D.①③④ C )
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考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
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方法总结 1.正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形 和菱形的所有性质 . 2.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形， 再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再 证有一个角是直角或对角线相等.
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
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考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
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1． 如图， 矩形 ABCD 的对角线 AC＝8 cm， ∠AOD ＝120° ，则 AB 的长为( D )
A.
3 cm
B．2 cm D．4 cm
C．2 3 cm
考点知识梳理
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解析：∵四边形 ABCD 为矩形，∴OA＝OB＝OC ＝OD.∵∠AOD＝120° ， ∴∠AOB＝60° .∴△AOB 是等 1 边三角形．∴AB＝AO＝ AC＝4 cm.故选 D. 2
考点知识梳理
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6．如图，在△ ABC 中，点 D 是边 BC 的中点， DE⊥ AC， DF⊥ AB，垂足分别是 E， F，且 BF＝ CE.
(1)求证： DE＝ DF； (2)当∠ A＝ 90° 时，试判断四边形 AFDE 是怎样的 四边形，并证明你的结论．
考点知识梳理 中考典例精析 基础巩固训练 考点训练
(2)若∠ ADC＝90° ， 求证： 四边形 MPND 是正方形．
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(2)∵ PM⊥ AD， PN⊥ CD， ∴∠PMD＝∠ PND＝ 90° . 又∵∠ ADC＝ 90° ，∴四边形 MPND 是矩形． ∵∠ ADB＝∠ CDB， PM⊥ AD， PN⊥ CD， ∴ PM＝ PN. ∴四边形 MPND 是正方形．
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
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方法总结 对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形， 则可证一组邻边相等或对角线互相垂直； 若相等的边较 多，则可证四条边都相等.
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考点三 正方形的性质与判定 例 3 (2013· 南京 )如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ BC，对角线 BD 平分∠ ABC，P 是 BD 上一点，过点 P 作 PM⊥ AD，PN⊥ CD，垂足分别为 M， N.
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4．如图，菱形 ABCD 的边长为 8 cm，∠A＝60° ， DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，则四边形 BEDF 的面积为 16 3 cm2.
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解析：∵在 Rt△AED 中，∠A＝60° ，AD＝8 cm， DE sin∠DAE＝ ， AD 3 ∴DE＝AD· sin∠DAE＝8× ＝4 3(cm)， 2 1 AE＝ AD＝4(cm)． 2
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解：(1)证明：∵点 D 是 BC 的中点， ∴BD＝CD. ∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠BFD＝∠CED＝90° . 在 Rt△DFB 和 Rt△DEC 中，
BD＝CD， BF＝CE，
∴Rt△DFB≌Rt△DEC. ∴DE＝DF.
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第21讲
矩形、菱形、正方形
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考点一
矩形、菱形、正方形的性质和判定
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温馨提示 1.正方形的判定： 1先证明四边形是矩形，再证 明有一组邻边相等或对角线垂直；2先证明四边形是 菱形，再证明有一个角是直角或对角线相等 . 2.矩形的面积： S＝ aba， b 表示长和宽 ；菱形的 面积等于两条对角线乘积的一半；正方形的面积等于 边长的平方或对角线乘积的一半 .
(1)线段 BD 与 CD 有何数量关系，为什么？ (2)当△ ABC 满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩 形？请说明理由．
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【点拨】 本题考查全等三角形的判定与性质、 平行 四边形的判定、矩形的判定． 解：(1)BD＝ CD.理由如下： ∵ AF∥ BC， ∴∠ AFE＝∠ DCE，∠ FAE＝∠ CDE. 又∵ E 是 AD 的中点，∴ AE＝ DE. ∴△ AFE≌△ DCE. ∴ AF＝ CD. 又∵ AF＝ BD，∴ BD＝ CD.
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∴S 菱形 ABCD＝AB· DE＝8×4 3＝32 3(cm )，
2
1 1 S△AED＝ AE· DE＝ ×4×4 3＝8 3( cm2)， 2 2 S△DFC＝S△AED＝8 3( cm2)． ∴S 四边形 BEDF＝32 3－2×8 3＝16 3( cm2)．
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(2)四边形 AFDE 是正方形． 证明： ∵DE⊥ AC， DF⊥ AB， ∴∠ AFD＝ ∠ AED＝ 90° . 又 ∵∠ A＝ 90° . ∴四边形 AFDE 是矩形． 又 ∵ DF＝ DE， ∴四边形 AFDE 是正方形．
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一、选择题 (每小题 4 分，共 40 分 ) 1．(2013· 宜昌 )如图，在矩形 ABCD 中，AB＜ BC， AC ， BD 相交于 点 O ，则图中等腰三角形的个数是 ( C ) A． 8 B．6
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2．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相 交于点 O，下列说法错误的是( B )
A． AB∥ DC C． AC⊥ BD
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B． AC＝ BD D． OA＝ OC
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3．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2，∠ A＝ 120° ， 点 P， Q， K 分别为线段 BC， CD， BD 上任意一点， 则 PK＋ QK 的最小值为 ( B )
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2．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，CE∥BD，DE∥AC.若 AC＝4，则四边形 CODE 的 周长是( C )
A．4
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B．6
C．8
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D．10
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1 解析：∵四边形 ABCD 是矩形，∴OC＝ OD＝ AC 2 ＝ 2.∵ CE∥BD， DE∥AC， ∴四边形 CODE 是平行四 边形．又∵OC＝ OD，∴四边形 CODE 是菱形，∴它的 周长＝4OC＝ 4× 2＝ 8.故选 C.
(1)求证：四边形 BECF 是菱形； (2)若四边形 BECF 为正方形，求∠ A 的度数．
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【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质、菱形的 判定、正方形的性质等． 解：(1)证明：∵ BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D， ∴ BF＝ CF， BE＝ CE. 又∵∠ ACB＝ 90° ，∴ EF∥ AC.
A． 1
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B. 3
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C． 2
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D. 3＋ 1
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解析： 如图， 作 AE⊥BC 于点 E， ∵四边形 ABCD 为菱形，∴点 Q 关于 BD 的对称点在 AD 上，∴AE 的 长是 PK＋QK 的最小值．∵∠A＝120° ，∴∠ABE＝ AE 60° .∵AB＝2，sin∠ABE＝ ，∴AE＝AB· sin∠ABE AB 3 ＝2× ＝ 3.故选 B. 2
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∵ D 为 BC 的中点， ∴ DE 为△ ABC 的中位线，∴ BE＝ AE. 又∵ CF＝ AE，∴ CF＝ BE.∴ CF＝ BF＝ BE＝ CE. ∴四边形 BECF 是菱形．
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(2)如图，∵四边形 BECF 为正方形， ∴∠ BEC＝ 90° . 又∵ AE＝ CE，∴∠ A＝ 45° .
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(2)当△ ABC 满足 AB＝ AC 时，四边形 AFBD 是矩 形．理由如下： ∵ AF∥ BC， AF＝ BD，∴四边形 AFBD 是平行四 边形． 又∵ AB＝ AC， BD＝ CD， ∴ AD⊥ BC.∴∠ ADB＝ 90° . ∴四边形 AFBD 是矩形．
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5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝BC ＝6，E 是斜边 AB 上任 CFEG 的周长是 12.
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