高等岩石力学岩石力学有限元法

二、岩体力学问题的特点
大多数岩土工程问题如结构-岩体相互作用，岩土边坡、 地下工程等，都涉及无限域或半无限域。处理这类问题通 常是在有限的区域进行离散化。为了使这种离散化不会产 生大的误差，必须取足够大的计算范围，并应使假定的外 边界条件尽可能接近真实状态。
岩石力学有限元法

第一节 概论
第二节 施工建造过程的模拟
第三节 节理及不连续面的模拟 第四节 多节理岩体的模拟 第五节 无限域单元及其应用 第六节 岩体工程中的弹塑性问题
第七节 无拉力分析及节理非线性分析
第八节 岩土工程三维非线性有限元程序系列
第一节 概

论
一、有限元法在工程中的应用 有限元自50年代发展至今，以成为求解复杂的岩石力学及 岩土工程问题的有力工具，并已为愈来愈多的工程科技人 员所熟悉。在求解像弹塑性及流变,动力，非稳态渗流等时 间相关性问题，以及温度场在求解像弹塑性及流变、动力、 非稳定渗流等时间相关性问题，以及温度场、渗流、应力 场的耦合问题等复杂的非线性问题中的效能已使它成为在 岩石力学领域中应用最广泛的数值分析手段。特别是近十 余年，在工程应用方面已有了较大的进展，并引起广大工 程科技人员的兴趣。在岩土工程有关专业的大学生和研究 生中，有限元已被列为独立的课程。在本章中将着重讨论 有限元法在岩石力学中应用的有关问题。涉及有限元法基 本原理，方法及求解技术方面的基础知识。
1 u 2 u 2 1 2 {2 [ x ( x ) y ( y ) ] Qu}dxdy [ 2 u qu]ds A
(4-3)

在对被考察域A进行离散化的情况下，此泛函驻值转化为多元函数的驻值：
m t 0 t 1 v
（4-4）

对于一个单元体的子域内，把方程式（4-1） 带Biblioteka Baidu方程式 （4-3)并进行变 分后即可得到单元的基本方程： (4-5)
{ f }e { p}e ([k ]e [k ]n2 ){ n }
{ n } 即为节点未知量组成的矢量： 式中 [k ]即单元特性矩阵： s 1 是由在[k ]上的边 e n2 界条件给定的a（x,y）有关的矩阵，故仅对a≠0的二类边界上的单元才予 考虑。对整个求解域A由变分驻值条件式（4-4）可得
u Ni ui 或 {u}e [ N ]{ }(4-1) e [ N1 , N 2 ,
i 1 m
, N m ]{ }e
式中[N]=[N1 ,
, N m ]称为插值函数或形函数；{ }e [u1 , u2
, um ]T 为单元节点处的函数值：
下标m表示单元的节点数目，下标e表示单元的序号。 有限元法即是以所有节点处的1值作为基本未知量。对于二 维的工程物理问题，如热传导、渗流等，其基本支配方 程为如下形式的准谐方程：

x
u u lx y ly u q x y
(4-2)
边界条件为： ① u( x, y) u( x, y) ，边界s1在上 u u ( ) ( ② x x x y y y ) Q( x, y) 0 边界在 s 2 上

当 x y =常量时，上式即退化为波松方程。由变分原理可知，满足方程 式（4-2）及相应边界条件的场函数，应使如下的泛函数驻值，即：
{}e [, , ]T n} e [ N1 I , N 2 I ,......,N n I ]{

(4-7)

式中，l为3×3阶单位矩阵；Nt 称为单元的位移插值函数或形函数（对 二维问题l为2×2阶，位移分量 ,）； , { t}为由单元各节点位移分量形成 的矢量称为移矢量， 利用弹性力学的几何方程及物理方程可导出单元的应变及应力表达式：
{ n } [ B]{ t } [ B1 , B2 ......Bn ]{ n } （4-8）
{ n } [ D]{ t } [ D][B]{ n }
（4-9）
应用最小势能原理或虚功原理可以推导出单元刚度矩阵的表 达式 T （4-10，a） [ K ] n [ B] [ D][B]dV

或写为
（[k ]
e 1
m
e
[k e 2 ]){ n }) { p}e 0
e 1
m
(4-6)
[ K ]{U } { p}
式中，[k]为由各单元特性矩阵[k ]e 2 及 [k ] e 按节点号组集得到的总体特性矩 阵：{u}为所有节点的待求值组成的矢量：{p}为与Q（x,y）有关的矢量及 q(x,y)有关的矢量。 解线性方程式（4-6）即可求得场函数 在各单元节点处的值。 对于弹性力学问题，可通过最小势能原理或虚功原理导出有限元法的基 本方程。有限元法求解弹性力学问题通常以位移作为基本未知量。位移 在直角坐标系中沿坐标轴X, Y, Z 的分量分别表示为 , , ，故单元位移 模式这时可写为
1.
有限元法基本方程 就数学概念来说，有限元法是通过变分原理(或加权余量 法)和分区插值的离散化处理把基本支配方程转化为线 性代数方程，把求解待解域内的连续场函数转化为求 解有限个离散点（节点）处的场函数值。显然，这种 离散化的处理是一种近似，因面中有当单元划分得充 分小时，才能保证满意的求解精度。 由于单元充分小，在一个微小的单元内，未知场函数 可以采用十分简单的代数多项式近似地表述。通常可 取为如下的插值形式：

v
{Q}n [ N ] {q}dA
v
T
（4-10，b）
{Q}n [ N ] { p}dA
v
T
（4-10，c）
式中，{q}为分布体力；{p}为分布面力，通常为坐标的已知 函数， 最简单也最常见的情况是{q}及{p}均为常量，上式的积分则 可简化。 对于一般准谐方程描叙的工程物理问题及弹性力学问题，有 限元法的公式表述及分析方法具有完全相同的格式，这是有限 元法的主要特点。这种统一的格式有利于实现具有广泛通用性 的计算机程序。