第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵

g12 g1n g 22 g 2 n g n 2 g nn
( , ) X T GY
(GT ) G
度量矩阵
定义1.3:
复共轭转置矩阵
A A
H

T
复共轭转置矩阵性质
(1) AH AT
(2)( A B) H AH B H
定理4.3：V 上的线性变换 是 V 上的投影变换的 充要条件是 S R( ), T N ( ) 即
正交变换和酉变换的实质是内积空间中不改变向量内积结果 的线性变换，也就是说变换前后度量不会发生改变，在解析 几何中就是指长度不变，比如平移，旋转等操作就具有度量 的不变性。。
酉变换（正交变换）的性质： 定理3.2: 下列命题等价：
(1) 称 是V的酉变换（正交变换）
(2)
( ) , V
第三章 内积空间、正规矩阵、 Hermite矩阵
第1节 欧氏空间、酉空间
定义1.1: 设V是实数域R上的n维线性空间， 定义如下法 则，称为内积。
, V
如果有，
( , ) R
(1) ( , ) ( , ) (3) ( , ) ( , ) ( , )
T nn
换种说法，就是矩阵 的逆等于它的复共轭 转置。由此可见，对 于这类矩阵，求逆矩 阵是十分方便的。
(1), A A
1
T
(2),Βιβλιοθήκη Baidudet A 1
(4), if B U
nn
,
(3), AT E nn
(4), if B E nn , then AB, BA E nn
i , i 1,2,, n
因此，可以分析求解内积空间的标准基的问题。
正交基，标准正交基
从线性空间的任何一组基出发，可以采用Gram-Schmidt 正交化方法构造出一个标准正交基。
目的:引入标准正交基的好处是使得度量矩阵 变为单位矩阵，在很多计算问题中可用以简化 运算。
例题：3.2.1~ 3.2.2
n
( j , i )＝0(i j时) k j ( j , j )＝0
i 1
k j＝0, 即k j＝0, (j 1, 2,, n)
正交向量组线性无关 那么线性无关向量组是否正交呢？ 否
线性无关组的正交化：
(1,2 , ,r )线性无关
(1) : 1＝1
( 2 , 1 ) (2) : 2＝ 2 1 ( 1 , 1 ) ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) (3) : 3＝3 1 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) ( r , 1 ) ( r , 2 ) ( r , r 1 ) (r ) : r＝ r 1 2 r 1 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) ( r 1 , r 1 )
习题：
第3节 酉变换、正交变换
由标准正交向量组构成 的矩阵具有什么性质呢？
定义3.1:
酉矩阵
正交矩阵
A C nn A U nn
AH A AAH E
A R nn
A E
nn
AT A AAT E
(1), A1 AH
(2), det A 1
(3), A U
沿 T 至 S 的投影 称 y 是 沿 S 至 T 的投影 n n S ,T : V S S ,T : V C y S ,T ( ) x S ,T ( ) x
那么称 x 是
投影映射 投影变换
操作是线性变换，就 称之为投影变换。
T

x
S
有降维的投影对应于投影映射，没有降维的投影对应 于投影变换。
1, (i , j )＝ij = 0,
i j i j
零向量和任意向量正交，反之和任意向量正交的向量必 是零向量
定理2.1: 不含零向量的正交向量组是线性无关的
(1,2 , ,n ) 设： k11 +k22 ++knn＝0
( j , k11 +k22 ++knn )＝ ki ( j , i ) ＝0
(2) (k , ) k ( , ), k R
(4) ( , ) 0, 当且仅当 0时( , )＝0
那么称V是n维欧几里得空间，简称欧氏空间。
欧氏空间的性质
(1) ( , k ) k ( , ) (2) ( , ) ( , ) ( , )
单位向量
向量的单位化
例3.1.1 ~例3.1.7
第2节 标准正交基、Schmidt 正交化方法
定义2.1:
设V是酉（欧氏）空间，对 , V 若,
( , )＝0
那么称向量 , 正交，记为
正交向量组： 向量组 i 内的向量两两正交。
在解析几何中，垂直是一个非常重要的概念。当两个向量垂直时，他们的内 积为零。在内积空间中引入了相似的概念，当两个向量的内积为零时，称这 它们为正交向量。进一步拓展，可以得到正交向量组的概念。
R( I A)
（4） Ax x 的充分必要条件是 x R( A)
（ 5） C n R( A) N ( A)
定理4.1：设 A 是一个秩为 r 的 n 阶矩阵，那么 A 为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在 P Cnnn 使得， E O
P AP O
1
r
O
(1,2 , , r )正交
1 2 r ( , , , )标准正交 1 2 r
正交基，标准正交基
正交向量组是无关向量组。既然是无关的，那么自然而 然可以想到，拿他们来构成线性空间的一组基，这组基称为 标准正交基。
定义2.1: 设V是n维酉（欧氏）空间，由n个正交向量组 成的基，称为正交基，由n个标准正交向量组成的基，称 为标准正交基。
(3) ( i 1 ki i , ) i 1 ki ( i , )
s s
(4) ( , i 1 ki i ) i 1 ki ( , i )
s s
定义1.2: 设V是复数域C上的n维线性空间， 定义如下法 则，称为内积。
, V
如果有，
( , ) C
标准化的过程
标准正交向量组： 若正交向量组中的向量都是单位向量 的话，则说向量组是标准正交向量。
如果一组向量不仅正交，而且自己与自己的内积为1，那么称这样 的向量组为标准正交向量组。
正交向量组的性质：
向量组 i 是正交向量组
(i , j )＝0, (i j)
向量组 i 是标准正交向量组
then AB, BA U nn
AH A AAH E 酉矩阵
A A AA E 正交矩阵
T T
a11 a12 a1n a a a 21 22 2n A an1 an 2 ann
定理3.1，矩阵A是酉矩阵（正交矩阵）的充要条件是A 的n个行或（列）向量都是标准正交向量。
y1 y2 n ＝(1 , 2 , , n ) i 1 yi i yn Y
g11 n ( , ) i , j 1 xi y j ( i , j ) g 21 G gij 由定义中法则1( , ) ( , )得g ji gij g n1
s s
综合起来说，酉空间的性质均适用于欧氏空间，而欧氏 空间的性质并不完全适用于酉空间。
设V是一酉空间，它的基是 1, 2 ,, n
x1 x2 n (1 , 2 , , n ) x i 1 i i xn X
H
A
det( A)
(6)( A1 )H ( AH )1, if A 0
设V是一酉空间，那么不同基下的度量矩阵之间的关系是：
1, 2 ,, n
,, n 1, 2
度量矩阵
A B
度量矩阵
, 2 ,, n ) (1, 2 ,, n ) P (1
欧氏空间中的转置对应于酉 空间中的复共轭转置，所以， 欧氏空间中的很多定理可以 通过把转置替换为复共轭转 置的方式迁移到酉空间中去。
(7)( A) H AT if A Rmn
(3)(kA) H kAH
(4)( AB) H BH AH
(5) ( A)
H

(8)det( AH ) ?
Er 例: A O M nn r ( n r ) C , M C O
是一个分块幂等矩阵。
定理4.2： 幂等矩阵的一些性质：设
T H T
A 是幂等矩阵，那么:
H
（1）A , A , I A, I A , I A 都是幂等矩阵；
（2）A( I A) ( I A) A 0 （3） N ( A)
(1) ( , ) ( , )
(2) (k , ) k ( , ), k C (3) ( , ) ( , ) ( , )
(4) ( , ) 0, 当且仅当 0时( , )＝0
那么称V是n维复欧氏空间，简称酉空间。 复数域与实数域条件稍有区别，即引入了共轭运算。
非负性 齐次性 三角不等式
柯西许瓦兹三角不等式
欧氏空间，酉空间这两类空间之所以被提出，是为了将 度量概念引入线性空间中，所以需要关注度量的基本性 质。
向量的夹角、距离、单位向量
cos( , )
( , )

向量的夹角
d ( , )
向量的距离
1

1
酉空间的性质
(1) ( , k ) k ( , )
(2) ( , ) ( , ) ( , )
(3) ( i 1 ki i , ) i 1 ki ( i , )
s s
(4) ( , i 1 ki i ) i 1 ki ( , i )
B PT AP or BT PH AT P
定义1.5:
设V是酉（欧氏）空间，定义 V 长度为
( , ),
V
( , ),
长度的性质
V
(1) 0, 0 0 (2) k k , k C (3) (4) ( , )
推论：设 A 是一个
n 阶幂等矩阵，则有
tr ( A) Rank ( A)
投影变换
将一个空间中的向量唯一的表示为其两个互补 子空间中的向量之和，这时称其中属于某个子 空间的子向量为原向量沿其补子空间到本子空 间的投影。
定义4.2：设 S , T 是 V 的子空间， V S T ， 如果对应的操作是线 则对任意的 V 都有 性映射，就称之为投 x y, x S , y T影映射，如果对应的
定义3.2:酉变换、正交变换 设V是n维酉空间， 是V的线性变换，如果
, V ( ), ( ) , ，
则称 是V的酉变换。 设V是n维欧氏空间， 是V的线性变换，如果
, V ( ), ( ) , ，
则称 是V的正交变换。
(3) 将V的标准正交基变为标准正交基 (4) 酉变换（正交变换）在标准正交基下的矩阵表示 是酉矩阵（正交矩阵）
例题3.3.1~3.3.3
第4节幂等矩阵
简单说来就是平方等于 本身的矩阵。
幂等矩阵
定义：设 A C nn，如果 A 满足
A2 A
则称 A 是一个幂等矩阵。
这类矩阵有个特殊的性质，就是其特征值非零即1。 并且与它相关的很多矩阵也具有特殊性质，比如它 的转置，复共轭转置也都是幂等矩阵等。