集合之间的运算性质
集合的性质及其运算
集合的性质及其运算1、研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：}lg |{x y x ==}0/{>x x ,}lg |{x y y ==}/{R y y ∈,}lg |),{(x y y x =各不相同。
元素与集合的关系用“∈或∉”，集合与集合的关系用“⊆，⊂，⊄，⊇，⊃”2、任何一个集合是它本身的一个子集，即A ⊆A 。
规定空集是任何集合的子集，即φ⊆A ，φφ⊆。
如果A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B 。
如果A ⊆B 且B 中至少有一个元素不在A 中，则A 叫B 的真子集，记作A ⊂B 。
空集是任何非空集合的真子集。
3、含n 个元素的集合A 的子集有2n 个，非空子集有2n －1个，非空真子集有2n －2个。
集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则从A 到B 的映射有m n 个。
4、重要性质：（1）A ∪A ＝A ，A ∩A ＝A ，A ∩ø＝ø，A ∪ø＝A ， A ∩A C U ＝ø，A ∪A C U ＝U（2）A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ，A ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ，（3）U C （A ∩B ）＝（U C A ）∪（U C B ） ，U C （A ∪B ）＝（U C A ）∩（U C B ）（4）A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔ B ⊆A第二讲映射与函数概念、函数的定义域和图象一、映射、函数的有关概念：1、映射的定义：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应关系f,对集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作：f ：A →B ，2、像与原像：如果给定一个集合A 到集合B 的映射，那么，和集合A 中的a 对应的集合B 中的b 叫做a 的像，a 叫做b 的原像。
3、映射f ：A →B 的特征：（1）存在性：集合A 中任一元素在集合B 中都有像，（2）惟一性：集合A 中的任一元素在集合B 中的像只有一个，（3）方向性：从A 到B 的映射与从B 到A 的映射一般是不一样的（4）集合B 中的元素在集合A 中不一定有原象，若集合B 中元素在集合A 中有原像，原像不一定惟一。
集合的基本运算及其性质
04
集合的并集运算
定义及性质
并集的定义： 由两个集合中 所有元素组成 的集合
0 1
并集的性质： A∪B=B∪A， 即并集具有对 称性
0 2
并集的运算律： A∪(B∪C)=(A ∪B)∪C，即并 集具有结合性
0 3
空集与任意集 合的并集： A∪∅=A，即空 集与任意集合 的并集等于该 集合本身
0 4
集合加法的性质： 集合加法满足交换 律和结合律，即 A+B=B+A和 (A+B)+C=A+(B+ C)
02
集合的减法运算
定义及性质
定义：集合的减法运算是指从一个集合中减去另一个集合中的元素，得到 一个新的集合。 性质：集合的减法运算具有反交换性，即A - B = B - A。
性质：集合的减法运算具有反身性，即A - A = 空集。
并集与元素的关系
并集的定义：两个集合A和B的并集是由所有属于A或属于B的元素组成的集合，记作A∪B。
并集的性质：如果A和B是两个集合，那么A∪B的元素个数最多是A和B的元素个数之和。
并集与元素的关系：如果一个元素属于A∪B，那么它一定属于A或B。
并集运算的意义：并集运算在数学和计算机科学中有着广泛的应用，例如在集合的运算、 概率论、数据结构等领域。
集合减法与元素的关系
集合减法定义： 从一个集合中减 去另一个集合， 得到一个新集合
元素关系：属于 第一个集合但不 属于第二个集合 的元素组成新集 合
举例说明：例如 ，集合A为{1，2 ，3，4}，集合B 为{3，4}，则A B = {1，2}
性质：集合减法 不具有交换性-(BC)=(A-B)-C；
- 差集的运算满 足吸收律，即A(B-A)=A-B。
集合与运算的基本概念与性质
集合与运算的基本概念与性质一、集合的基本概念1.集合的定义：集合是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
2.集合的表示方法：用大括号{}括起来，里面列出集合中的元素，如集合A={1,2,3}。
3.集合的元素：集合中的每一个对象称为集合的元素。
4.空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。
5.集合的性质：a.确定性：集合中的元素是确定的，不存在模糊不清的情况。
b.互异性：集合中的元素是互不相同的。
c.无序性：集合中的元素排列顺序不影响集合的本质。
二、集合的运算1.并集：两个集合A和B的并集，记作A∪B，包含所有属于A或属于B的元素。
2.交集：两个集合A和B的交集，记作A∩B，包含所有同时属于A和属于B的元素。
3.补集：对于全集U，集合A的补集，记作A’，包含所有不属于A的元素。
4.运算法则：a.交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩Ab.结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)c.分配律：A(B∪C)=(AB)∪(AC)，A(B∩C)=(AB)∩(AC)三、集合的其他概念1.子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
2.超集：如果集合A包含集合B的所有元素，那么集合A是集合B的超集，记作A⊇B。
3.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且A不等于B，那么A是B的真子集，记作A⊊B。
4.空集的特殊性质：空集是任何集合的子集，也是任何集合的超集。
四、整数的运算1.加法：两个整数相加，得到它们的和。
2.减法：一个整数减去另一个整数，得到它们的差。
3.乘法：两个整数相乘，得到它们的积。
4.除法：一个整数除以另一个整数（不为0），得到它们的商。
5.幂运算：一个整数的n次幂，表示这个整数连乘n次。
五、实数的运算1.加法：两个实数相加，得到它们的和。
2.减法：一个实数减去另一个实数，得到它们的差。
3.乘法：两个实数相乘，得到它们的积。
4.除法：一个实数除以另一个实数（不为0），得到它们的商。
集合的概念及其运算
集合的概念及其运算1、集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性2、有n个元素的集合的子集的个数是2n，真子集的个数是2n-13、自然数集N 正整数集N* 整数集Z 有理数集Q 实数集R 复数C4、交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A与B的并集，记为A∪B，即A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}补集：一般地设S是一个集合，A是S的一个子集(即A S)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在全集S中的补集(或余集)．5、真子集关系对于集合A、B，如果A ⊆ B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集 显然，空集是任何非空集合的真子集1.设集合A={1，2}，则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是( )A.1B.3C.4D.82.若集合A={x|x2-4x＜0}，则集合A∩Z中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.23.已知集合A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,则a= .4、已知集合A={1，3，5}，B={2，4，6}.定义集合A+B={a+b|a∈A,b∈B},则A+B中元素的个数是( )A.9B.6C.5D.45、满足Φ A⊆{1,2,3}的集合A的个数是( )A.7B.8C.6D.42＞0},N={x|x＞a}.若M⊆N,求实数a的取值范围6、 已知集合M={x|3+2x-x7、已知集合M={x|x2+x-6=0},N={x|ax-1=0}，且M∩N=N,求实数a的值.8、集合A={0,2,a},B={1,a2}.若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )A.0B.1C.2D.49、若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有A. A⊆CB.C⊆AC.A≠CD.A＝∅10、已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝{y|y＝（1/2）x，x＞1}，则A∩B等于A. ∅B.{y|0＜y＜1}C.{y|1/2＜y＜1}D.{y|0＜y＜1/211、.设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|≥1}，则下图中阴影部分所表示的集合是A.{x|－2≤x＜1}B.{x|－2≤x≤2}C.{x|1＜x≤2}D.{x|x＜2}12、.设集合A＝{5，log2（a2－3a＋6）}，集合B＝{1，a，b}，若A∩B ＝{2}，则集合A∪B的真子集的个数是A.3个B.7个C.12个D.15个13、.设全集U＝R，A＝{x|x＜－3或x≥2}，B＝{x|－1＜x＜5}，则集合{x|－1＜x＜2}是A. （UA）∪（UB）B. U（A∪B）C. （UA）∩BD.A∩B14、定义集合A*B＝{x|x∈A，且xB}，若A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，5}，则A*B的子集个数为10、A.1 B.2 C.3 D.415、.设集合M＝{x|x≤m}，N＝{y|y＝2-x，x∈R}，若M∩N≠，则实数m 的取值范围是A.m≥0B.m＞0C.m≤0D.m＜016、.已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}.（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；命题及其关系充要条件1、2. 用命题的等价性判断：判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真还是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件．3. 原命题为“若P则q，则它的逆命题为若q则p;否命题为若非p则非q,逆否命题为若非q则非p 原命题与它的逆否命题等价，逆命题与它的否命题等价1、写出“面积相等的两个三角形是全等三角形”的逆命题、否命题、逆否命题2、写出“若a>b且c>d，则a+c>b+d”的逆命题、否命题、逆否命题3、设原命题”若p则q”假，而逆命题真，则p是q的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D既不充分也不必要条件3、0<x<5是不等式lx-2l<4成立的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D既不充分也不必要条件4、1命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是 ( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥12．已知集合M＝{x|0<x<1}，集合N＝{x|－2<x<1}，那么“a∈N”是“a∈M”的 ( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件。
集合的概念和性质,以及集合之间的运算集合{所有课程全体}
• 集合{所有课程全体}和集合{所有教室}这两个集合 之间就存在着某种联系。
• 例：A={a,b,c}为学生集合，B={x,y,z,w}为课程集 合，则笛卡儿积A×B就是学生与课程所组成的有序 对全体。
• A×B={(a,x),(a,y),(a,z),(a,w),(b,x),(b,y),(b,z),
1 mij 0
(ai,bj)R (ai,bj)R
当A=B时,A上的二元关系R可以用方阵来表示。
2020/9/28
• 例 : A={1,2,3,4} 上 模 3 同 余 关 系 R={(1,1),(2,2),(3,3), (4,4),(1,4),(4,1)}, 其 关系矩阵为
1234
11 0 0 1
(b,w),(c,x),(c,y),(c,z),(c,w)} • 若(a,x)表示学生a选修课程x，则当a,b,c三个学生选
定课程，其情况是： • (a,y),(a,w),(b,x),(b,y),(b,w)，而c什么课也没选，
• R={(a,y),(a,w),(b,x),(b,y),(b,w)} • 反映了学生与课程的联系。 • RA×B,即R是A×B 的子集。 • 集合A到集合B的关系。
并且Dom RA,Ran RB。
• 例 : A={1,3,5,7},B={0,2,4,6}, 定 义 关 系 R:(a,b)R当且仅当a<b
• 关系还可以用表格表示
• R={(1,2),(1,4),(1,6),(3,4), (3,6),(5,6)}
2020/9/28
• A={1,2,3,4},定义A上二元关系:(a,b)R当 且仅当(a-b)/3为整数。称为模3同余关系 。
集合的运算律与性质
集合的运算律与性质在数学中，集合是由一组元素组成的。
集合的运算包括交集、并集、差集和补集四种基本操作。
了解集合的运算律与性质能够帮助我们更好地理解和应用集合的概念。
本文将重点介绍集合的运算律与性质，包括结合律、交换律、分配律以及其他相关的性质。
1. 结合律在进行集合的交运算和并运算时，元素的顺序不会影响最终的结果。
例如，给定三个集合A、B和C，则有以下结合律成立：(A∩B)∩C = A∩(B∩C) （交运算的结合律）(A∪B)∪C = A∪(B∪C) （并运算的结合律）2. 交换律在进行集合的交运算和并运算时，集合的顺序不会影响最终的结果。
例如，给定两个集合A和B，则有以下交换律成立：A∩B = B∩A （交运算的交换律）A∪B = B∪A （并运算的交换律）3. 分配律集合的交运算和并运算满足分配律。
例如，给定三个集合A、B和C，则有以下分配律成立：A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) （交运算对并运算的分配律）A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) （并运算对交运算的分配律）通过运用结合律、交换律和分配律，我们可以简化集合的运算过程，并得到更简洁的结果。
除了这些基本的运算律，集合还有其他一些重要的性质。
4. 互补性对于给定的集合A和它的全集U，A和A的补集(A的补集表示为A')之间是互补的。
即A∪A' = U，A∩A' = ∅。
这意味着A和A'的交集为空集，而并集则包含全集U。
5. 吸收律对于给定的两个集合A和B，如果A是B的子集(A⊆B)，则有以下吸收律成立：A∪(A∩B) = A （并运算的吸收律）A∩(A∪B) = A （交运算的吸收律）吸收律的意义在于，如果集合A是集合B的子集，那么在进行运算时，可以忽略掉相同的元素。
6. De Morgan定律De Morgan定律是集合论中的重要定律，描述了集合的补运算。
对于给定的两个集合A和B，有以下De Morgan定律成立：(A∪B)' = A'∩B' （并补律）(A∩B)' = A'∪B' （交补律）De Morgan定律对于化简复杂的集合运算很有帮助。
集合的运算与运算性质
集合的运算与运算性质在数学中，集合是由一组互不相同的元素组成的。
集合的运算是指对集合进行操作，从而得到新的集合。
本文将探讨集合的运算以及运算性质。
一、并集运算并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并在一起得到的新集合。
用符号"∪"表示。
例如，设集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
并集运算具有以下性质：1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∪B = B∪A。
2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
3. 幂等律：对于任意集合A，A∪A = A。
4. 吸收律：对于任意两个集合A和B，如果A包含于B，则A∪B = B。
二、交集运算交集是指取两个或多个集合中的共同元素得到的新集合。
用符号"∩"表示。
例如，设集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B={3}。
交集运算具有以下性质：1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∩B = B∩A。
2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
3. 幂等律：对于任意集合A，A∩A = A。
4. 吸收律：对于任意两个集合A和B，如果A包含于B，则A∩B = A。
三、补集运算补集是指一个集合中所有不属于另一个集合的元素构成的集合。
用符号"-"表示。
例如，设集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A-B={1,2}。
补集运算具有以下性质：1. 对于任意集合A，A-A = ∅，其中∅表示空集。
2. 对于任意集合A，A-∅ = A。
3. 对于任意集合A，∅-A = ∅。
4. 对于任意集合A，A-U = ∅，其中U表示全集。
四、差集运算差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素得到的新集合。
用符号"\"表示。
例如，设集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A\B={1,2}。
集合间的基本运算(交集,并集,补集)非常全面的题型分类
集合间的基本运算一、并集(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A 与B的并集.(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)图形语言；如图所示.二、交集交集的三种语言表示：(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集.(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(3)图形语言：如图所示.三、并集与交集的运算性质题型一 并集及其运算例1 (1)设集合M ＝{4,5,6,8}，集合N ＝{3,5,7,8}，那么M ∪N 等于( ) A.{3,4,5,6,7,8} B.{5,8} C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8}(2)已知集合P ＝{x |x ＜3}，Q ＝{x |－1≤x ≤4}，那么P ∪Q 等于( ) A.{x |－1≤x ＜3} B.{x |－1≤x ≤4} C.{x |x ≤4}D.{x |x ≥－1} (3).已知集合=A {}31<≤-x x ，=B {}52≤<x x ，则B A ⋃=（ ）A .{}32<<x xB .{}51≤≤-x xC .{}51<<-x xD .{}51≤<-x x变式练习1 已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}，则集合A ∪B 是( ) A.{－1,2,3}B.{－1，－2,3}C.{1，－2,3}D.{1，－2，－3}2.若集合=A {}x ,3,1，=B {}2,1x ，B A ⋃={}x ,3,1，则满足条件的实数x 有（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个题型二 交集及其运算例2 (1)设集合M ＝{m ∈Z |－3<m <2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N 等于( ) A.{0,1} B.{－1,0,1} C.{0,1,2}D.{－1,0,1,2}(2)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x >2}，则A ∩B 等于( ) A.{x |2<x ≤3} B.{x |x ≥1} C.{x |2≤x <3} D.{x |x >2}变式练习2(1)设集合A ＝{x |x ∈N ，x ≤4}，B ＝{x |x ∈N ，x >1}，则A ∩B ＝________. (2)集合A ＝{x |x ≥2或－2<x ≤0}，B ＝{x |0<x ≤2或x ≥5}，则A ∩B ＝________.（3）.设集合=M {}23<<-∈m Z m ，{}31≤≤-∈=n Z n N ，则N M ⋂=( ) A .{}1,0 B .{}1,0,1- C .{}2,1,0 D .{}2,1,0,1-（4）.集合=A {}121+<<-a x a x ，=B {}10<<x x ，若=⋂B A ∅，求实数a 的取值范围.题型三已知集合的交集、并集求参数例3已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围变式练习3设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________.例4设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a 的取值范围.变式练习4设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|2x2－ax＋2＝0}，若A∪B ＝A，求实数a的取值范围.例5 (1)设集合A＝{(x，y)|x－2y＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B 等于( )A.∅B.{53，13}C.{(53，13)} D.{x＝53，y＝13}(2)已知集合A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}，求A∩B.变式练习5（1）设集合A＝{y|y＝x2－2x＋3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋10，x∈R}，求A∪B；（2）设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋34，x ∈R }，求A ∩B .6.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．课后练习 一、选择题1.设集合A ＝{－1,0，－2}，B ＝{x |x 2－x －6＝0}，则A ∪B 等于( ) A.{－2} B.{－2,3} C.{－1,0，－2}D.{－1,0，－2,3}2.已知集合M ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈Z }，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N 等于( ) A.{1} B.{－1,1} C.{0,1}D.{－1,0,1}3.已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个4.已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于( )A.{x|x<－5或x>－3}B.{x|－5<x<5}C.{x|－3<x<5}D.{x|x<－3或x>5}三、解答题5.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.6.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.7.(1)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值；(2)若P＝{1,2,3，m}，Q＝{m2,3}，且满足P∩Q＝Q，求m的值.四、全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.(2)记法：全集通常记作U.五、补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言为∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言为六、补集的性质①A∪(∁U A)＝U；②A∩(∁U A)＝∅；③∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A；④(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)；⑤(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ).题型一 补集运算例1 (1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A 等于( ) A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5}D.∅(2)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则∁U A ＝________.变式练习 1 已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3＜x ≤4}，则A C U ＝________.2.已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________.题型二 补集的应用例2 设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值.变式练习2若全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，∁U A＝{7}，则实数a＝________.题型三并集、交集、补集的综合运算例3 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B).变式练习3设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.题型四利用Venn图解题例4 设全集U＝{不大于20的质数}，A∩∁U B＝{3,5}，(∁U A)∩B＝{7,11}，(∁U A)∩(∁UB)＝{2,17}，求集合A，B.变式练习4全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.变式练习5已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求a的取值范围.课后作业一、选择题1.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于( )A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}2.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则A∩(∁U B)等于( )A.{4,5}B.{2,4,5,7}C.{1,6}D.{3}3.设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么(∁U M)∩(∁N)等于( )UA.∅B.{d }C.{a ，c }D.{b ，e }4.已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A.{a |a ≤1}B.{a |a <1}C.{a |a ≥2}D.{a |a >2}5.设全集是实数集R ，M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x <1}，则(∁R M )∩N 等于( )A.{x |x <－2}B.{x |－2<x <1}C.{x |x <1}D.{x |－2≤x <1}6.已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}，若全集U ＝R ，且A ⊆∁U B ，则a 的取值范围为________.7.设U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(∁U A )∩B ＝{3,7}，(∁U B )∩A ＝{2,8}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5,6}，则集合A ＝________，B ＝________.8.已知全集U ＝R ，A ＝{x ||3x －1|≤3}，B ＝{x |⎩⎨⎧ 3x ＋2>0，x －2<0}，求∁U (A ∩B ).9.已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}.(1)分别求∁R (A ∩B )，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围.10.已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }.(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围.11.已知集合{}31<≤-=x x A ；{}242-≥-=x x x B .（1）求B A ⋂；（2）若集合{}02>+=a x x C ，满足C C B =⋃,求实数a 的取值范围.12.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．。
数学知识点归纳集合的基本运算与性质
数学知识点归纳集合的基本运算与性质在数学中，集合是由一组特定元素构成的，而集合的基本运算和性质则是用来描述和操作这些集合的方法和规律。
本文将对集合的基本运算和性质进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用数学中的集合概念。
一、集合的基本运算1. 交集：表示为A∩B，表示同时属于集合A和集合B的元素的集合。
例如，如果A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。
2. 并集：表示为A∪B，表示属于集合A或集合B的元素的集合。
例如，如果A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。
3. 差集：表示为A-B或A\B，表示属于集合A但不属于集合B的元素的集合。
例如，如果A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A-B={1}。
4. 互斥事件：指两个集合没有相同元素，其交集为空集。
“互斥”表示两个事件不可能同时发生。
例如，如果A={1, 2, 3}，B={4, 5, 6}，则A∩B={}。
二、集合的性质1. 交换律：集合的交集和并集满足交换律，即A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。
这意味着两个集合的交集和并集的顺序可以随意调换。
2. 结合律：集合的交集和并集满足结合律，即(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
这意味着多个集合的交集和并集的计算可以不用考虑括号的位置。
3. 分配律：集合的交集和并集满足分配律，即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
这意味着两个运算在同时进行时，可以通过分配律来简化运算。
4. 对偶律：集合的交集和并集满足对偶律，即(A∩B)'=A'∪B'，(A∪B)'=A'∩B'。
这意味着对两个集合进行交集或并集运算后再取相对补集，结果与先取相对补集再进行交集或并集运算的结果相同。
5. 恒等律：集合与全集的并集为全集，集合与空集的交集为空集，即A∪U=U，A∩∅=∅。
交集、并集的性质
交集、并集的性质交集和并集是集合论中两个非常重要的概念，它们描述了集合之间的关系和运算。
交集是两个或多个集合中共有元素的集合，而并集则是将两个或多个集合中的元素合并成一个新的集合。
交集和并集具有一些基本的性质，这些性质在数学和计算机科学中经常被用到。
以下是交集和并集的一些重要性质：交集的性质：1.交换律：A ∩ B = B ∩ A这个性质表明，交集的运算满足交换律，即交换两个集合的位置，交集的结果不变。
2.结合律：A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C这个性质表明，交集的运算满足结合律，即多个集合的交集运算可以任意地加括号，结果不变。
3.空集与任何集合的交集都是空集：∅∩ A = ∅这个性质表明，空集与任何集合的交集都是空集，因为空集中没有任何元素可以与其他集合的元素共同出现。
4.幂等律：A ∩ A = A这个性质表明，一个集合与自身的交集还是该集合本身。
5.吸收律：A ∩ (A ∪ B) = A这个性质表明，一个集合与包含它的并集的交集还是该集合本身。
并集的性质：1.交换律：A ∪ B = B ∪ A这个性质表明，并集的运算满足交换律，即交换两个集合的位置，并集的结果不变。
2.结合律：A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C这个性质表明，并集的运算满足结合律，即多个集合的并集运算可以任意地加括号，结果不变。
3.空集与任何集合的并集都是该集合本身：∅∪ A = A这个性质表明，空集与任何集合的并集都是该集合本身，因为空集中的任何元素都可以加入到其他集合中。
4.幂等律：A ∪ A = A这个性质表明，一个集合与自身的并集还是该集合本身。
5.吸收律：A ∪ (A ∩ B) = A这个性质表明，一个集合与包含它的交集的并集还是该集合本身。
除了以上这些基本性质外，交集和并集还有一些其他的性质，例如德摩根定律、分配律等。
这些性质在集合论和数学中有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和处理集合之间的关系和运算。
集合之间的运算律
集合之间的运算律在数学中，集合是指由对象组成的集合的总称，这些对象被称为集合的元素。
集合之间的运算律是指在特定的操作下，集合之间的关系和性质满足的规律。
在集合论中存在着几种常见的集合运算，包括并集、交集、差集和补集。
下面将详细介绍集合之间的运算律。
首先是并集运算。
两个集合A和B的并集，表示为A∪B，包括了所有属于A或者属于B的元素。
并集的运算律可以表述如下：1. 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)这意味着无论是先将A和B的并集再与C的并集求并集，还是先将B和C的并集再与A的并集求并集，所得的结果都是一样的。
2. 交换律：A∪B = B∪A这意味着A和B的并集与B和A的并集是相等的。
3. 幂等律：A∪A = A这意味着A自己和A的并集是相等的。
4. 包含律：A⊆A∪B这意味着A是A和B的并集的子集。
接下来是交集运算。
两个集合A和B的交集，表示为A∩B，包括了所有同时属于A和B的元素。
交集的运算律可以表述如下：1. 结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)这意味着无论是先将A和B的交集再与C的交集求交集，还是先将B和C的交集再与A的交集求交集，所得的结果都是一样的。
2. 交换律：A∩B = B∩A这意味着A和B的交集与B和A的交集是相等的。
3. 幂等律：A∩A = A这意味着A自己和A的交集是相等的。
4. 包含律：A∩B⊆A这意味着A和B的交集是A的子集。
接下来是差集运算。
两个集合A和B的差集，表示为A-B，包括了属于A但不属于B的元素。
差集的运算律可以表述如下：1. 结合律：(A-B)-C = A-(B∪C)这意味着先将A和B的差集再与C的差集求差集，等价于将A和B并上C后再取差集。
2. 非交换律：A-B ≠ B-A这意味着A和B的差集和B和A的差集是不相等的。
3. 幂等律：A-A = ∅这意味着A自己和A的差集是空集。
4. 零律：A-∅ = A这意味着A和空集的差集等于A本身。
最后是补集运算。
集合的概念与运算总结
集合的概念与运算总结在数学中，集合是由一组特定对象组成的。
这些对象可以是数字、字母、词语、人物、事物等等。
集合的运算是指对集合进行交、并、差等操作的过程。
本文将对集合的概念及其运算进行总结。
一、集合的概念集合是数学中的基础概念之一，通常用大写字母表示，如A、B、C 等。
集合中的对象称为元素，用小写字母表示。
一个元素要么属于一个集合，要么不属于，不存在属于但不属于的情况。
表示元素属于某个集合的关系可以用符号∈表示，不属于则用∉表示。
例如，对于集合A={1,2,3}，元素1∈A，元素4∉A。
集合还有一些常用的特殊表示方法，如空集∅表示不包含任何元素的集合，全集U表示某一给定条件下所有可能元素的集合。
二、集合的基本运算1. 交集运算(∩)交集运算是指将两个集合中共同拥有的元素合并成一个新的集合。
用符号∩表示。
例如，对于集合A={1,2,3}和集合B={2,3,4}，它们的交集为A∩B={2,3}。
2. 并集运算 (∪)并集运算是指将两个集合中所有的元素合并成一个新的集合。
用符号∪表示。
例如，对于集合A={1,2,3}和集合B={2,3,4}，它们的并集为A∪B={1,2,3,4}。
3. 差集运算（\）差集运算是指从一个集合中去除另一个集合的所有元素。
用符号\表示。
例如，对于集合A={1,2,3}和集合B={2,3,4}，集合A减去集合B的差集为A\B={1}。
4. 补集运算补集运算是指对于给定的全集U，从全集中去除某个集合中的元素得到的集合。
用符号'表示。
例如，对于集合A={1,2,3}和全集U={1,2,3,4,5}，A的补集为A'={4,5}。
三、集合运算的性质集合运算具有以下几个基本性质：1. 交换律交换律指的是对于任意两个集合A和B，A∩B = B∩A，A∪B =B∪A。
2. 结合律结合律指的是对于任意三个集合A、B和C，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)，(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
集合的基本运算相关知识点
集合的基本运算是集合论中的重要内容，涉及到集合的交、并、差和补运算。
在数学和计算机科学中，集合的基本运算是解决问题和推理的基础。
本文将介绍集合的基本运算及其相关知识点。
一、集合的定义集合是由一些确定的事物组成的整体，这些事物称为集合的元素。
用大写字母表示集合，用小写字母表示集合的元素。
集合中的元素是无序的，且不重复。
例如，集合A={1, 2, 3}，表示A是由元素1、2和3组成的集合。
二、集合的基本运算1.交集交集运算是指给定两个集合，求出两个集合共有的元素所组成的集合。
用符号∩表示交集。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。
2.并集并集运算是指给定两个集合，求出两个集合所有元素的组合所组成的集合。
用符号∪表示并集。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。
3.差集差集运算是指给定两个集合，求出第一个集合减去与第二个集合交集后的元素所组成的集合。
用符号－表示差集。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A-B={1}。
4.补集补集运算是指给定一个全集和一个子集，求出子集相对于全集的差集所组成的集合。
用符号’表示补集。
例如，全集U={1, 2, 3, 4}，集合A={2, 3}，则A’={1, 4}。
三、集合运算的性质1.交换律集合的交集和并集满足交换律，即A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。
2.结合律集合的交集和并集满足结合律，即(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
3.分配律集合的交集和并集满足分配律，即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
4.互补律集合的补集满足互补律，即(A’)’=A。
四、集合运算的应用1.逻辑推理集合运算可以用于逻辑推理中。
通过对集合的交、并、差和补运算，可以分析给定条件的关系和推导出新的结论。
集合的并与交的计算与性质
集合的并与交的计算与性质在数学中，集合是由一组特定元素组成的对象。
集合的并与交是常用的集合运算符号，它们具有不同的计算方式和性质。
本文将详细介绍集合的并与交的计算方法以及它们的性质。
一、集合的并运算集合的并运算，常用符号为∪（读作“并”），表示将多个集合中的所有元素合并为一个集合。
计算集合A和集合B的并，记作A∪B，其结果是一个包含A和B 中所有元素的新集合。
例如，假设有集合A = {1, 2, 3}和集合B = {3, 4, 5}，那么A∪B的结果为{1, 2, 3, 4, 5}。
并集的性质如下：1. 交换律：A∪B = B∪A，即并集的顺序不影响最终结果。
2. 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，即并集的计算顺序不影响最终结果。
3. 幂等律：A∪A = A，即对同一个集合进行并运算两次，结果与原集合相同。
二、集合的交运算集合的交运算，常用符号为∩（读作“交”），表示求多个集合中公共元素所构成的新集合。
计算集合A和集合B的交，记作A∩B，其结果是一个包含A和B中公共元素的新集合。
例如，假设有集合A = {1, 2, 3}和集合B = {3, 4, 5}，那么A∩B的结果为{3}。
交集的性质如下：1. 交换律：A∩B = B∩A，即交集的顺序不影响最终结果。
2. 结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)，即交集的计算顺序不影响最终结果。
3. 幂等律：A∩A = A，即对同一个集合进行交运算两次，结果与原集合相同。
三、集合的并与交的关系集合的并与交运算之间存在一定的关系。
1. 吸收律：A∩(A∪B) = A，即交集与并集的运算结果再进行交运算，结果与原集合A相同。
2. 分配律：A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)，即交集对并集的运算可进行分配。
例如，假设有集合A = {1, 2, 3}，集合B = {3, 4, 5}，集合C = {2, 3}，那么根据分配律可得到如下结果：A∩(B∪C) = {1, 2, 3}∩{2, 3, 4, 5} = {2, 3}(A∩B)∪(A∩C) = ({1, 2, 3}∩{3, 4, 5})∪({1, 2, 3}∩{2, 3}) = {3}∪{2, 3} = {2, 3}从上述计算结果可以看出，交集运算和并集运算在满足分配律的情况下结果相等。
集合之间的运算性质_2022年学习资料
有限集合的子集个数公式-1.设有限集合A中有n个元素，其中真子集的个数-为2n-1个，非空子集 数为2n-1个，非空真子集个-数为2n-2个-2.对任意两个有限集合A、B有-card AUB card A+card B-card AnB
题型1：集合概念的理解及元素的特性-例1、集合M={k,yx-y=0,x∈R,y∈R},N=仅 +y=1,-x∈R,y∈R},则集合M∩N中元素的个数A-A.0B.1C.2D.3-变式：集合 ={xy川x-y=0,X∈R,y∈R,N={《xy川x+y=1,-x∈Ry∈R,则集合M∩N中 素的个数B-特别提示：解答集合问题，必须准确理解集合的有关-概念，对于用描述法给出的集合xx∈ },-要紧紧抓住竖线前面的代表x以及它所具有-的性质P,例如：-A={xy=2}=R,B={y =2}={yy>0
题型2：-子集与真子集的概念-例2：2007年，中山模拟已知集合P-{1,2},那么满足QP的 合Q-的个数A-A.4-B.3-C.2-D.1-变式：满足QcP的集合Q的个数是B-引申：若有 集P中有n个元素，P的子集个数为2"-特别提示：-P的真子集个数为2”-1-空集是任何集合的子 ；是任何非空集合的真-2任何集合都是它本身的子集
A-、一B-解：-30-x-xX33-X-赞成A的人数为30，赞成B的人数为33，如上图，记5 名-学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的-学生全体为集合B.-设对事 A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生-人数为二+1，赞成A而不赞成B的人数为3 -x,赞成B而不赞成A的人数-为33-x.依题意30-x+33-x+x++1=50,解得x=2 -所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.-方法归纳：解决这一类问题一般借用数形结 ，借助于-Venn图，把抽象的数学语言与直观的图形结合-起来
集合的关系及运算
CA－CB，CA≥CB， CB－CA，CA<CB，
若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可
能取值构成的集合是S，则C(S)等于
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“理想
集合”.给出下列4个集合：①M＝x，yy＝1x ；②M＝{(x，y Nhomakorabea|y＝sin
x}；
③M＝{(x，y)|y＝ex－2}；④M＝{(x，y)|y＝lg x}.
其中所有“理想集合”的序号是
A.①③
B.②③
C.②④
D.③④
跟踪演练1 (1)(2017届云南曲靖一中月考)已知集合A＝{x∈N|x2－5x＋
4≤0}，B＝{x|x2－4＝0}，下列结论成立的是
A.B⊆A
B.A∪B＝A
C.A∩B＝A
D.A∩B＝{2}
解析 A＝{x∈N|1≤x≤4}， B＝{x|x＝±2}⇒A∩B＝{2}，故选D.
(2)用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝
例1 (1)(2017届湖南师大附中月考)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{y|y＝2x， x≥0}，则A∩B等于
A.∅
B.{x|1<x<2}
C.{x|1≤x<2}
D.{x|1<x≤2}
解析 由已知可得A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥1}⇒A∩B＝{x|1≤x<2}，故选C.
(2)(2017届潍坊临朐县月考)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，
集合论中的集合运算与性质
集合论中的集合运算与性质在数学的广袤领域中，集合论宛如一座基石，为众多数学分支提供了坚实的基础。
其中，集合的运算与性质是理解和应用集合论的关键所在。
让我们一同走进这个充满逻辑与规律的世界，探寻集合运算与性质的奥秘。
集合，简单来说，就是一堆具有特定性质的对象的总体。
比如，一个班级里所有的男生可以构成一个集合，一周中所有的工作日也能构成一个集合。
集合运算包括并集、交集和差集。
并集，就像是把两个集合中的元素统统放到一起。
比如说集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛3, 4, 5}，那么 A 和 B 的并集就是｛1, 2, 3, 4, 5}。
它的符号表示是“∪”。
交集呢，则是两个集合中共同拥有的元素组成的新集合。
还是上面的例子，集合 A 和集合 B 的交集就是｛3}，因为 3 是 A 和 B 都有的元素。
交集的符号是“∩”。
差集稍微有点复杂，它是从一个集合中去掉另一个集合里含有的元素。
假设集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛2, 3, 4}，那么 A 减去 B 的差集就是｛1}，也就是 A 中有但 B 中没有的元素。
这些运算在解决实际问题中非常有用。
比如说，在调查一个学校学生的兴趣爱好时，喜欢音乐的学生构成集合 A，喜欢体育的学生构成集合 B。
那么既喜欢音乐又喜欢体育的学生人数，就可以通过 A 和 B的交集来得知；而喜欢音乐或者喜欢体育的学生人数，就通过 A 和 B 的并集来计算。
说完运算，咱们再聊聊集合的性质。
集合具有确定性、互异性和无序性。
确定性很好理解，就是对于一个集合，任何一个元素要么属于这个集合，要么不属于，不能模棱两可。
比如说“所有高个子的人”就不能构成一个集合，因为多高才算高个子没有明确的标准。
互异性指的是集合中的元素不能重复。
像｛1, 1, 2, 2, 3} 这样的表述是不规范的，应该写成｛1, 2, 3}。
无序性意味着集合中的元素排列顺序不影响集合本身。
｛1, 2, 3} 和｛3, 2, 1} 是同一个集合。
集合的运算与关系的性质
集合的运算与关系的性质在数学的广袤领域中，集合的运算与关系的性质犹如一座神秘的城堡，等待着我们去探索和揭示其内在的奥秘。
集合作为数学中最基本的概念之一，其运算和关系的性质不仅在理论上具有重要意义，还在众多实际应用中发挥着关键作用。
让我们首先来了解一下集合的基本运算。
集合的运算主要包括并集、交集和差集。
并集，顾名思义，就是将两个或多个集合中的所有元素合并在一起，组成一个新的集合。
比如说，集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛3, 4, 5}，那么 A 和 B 的并集就是｛1, 2, 3, 4, 5}。
并集的符号表示为“∪”。
交集则是指两个或多个集合中共同拥有的元素所组成的集合。
还是以上面的集合 A 和 B 为例，它们的交集就是｛3}，因为 3 是 A 和 B中唯一相同的元素。
交集的符号是“∩”。
差集相对来说稍微复杂一些。
如果有集合 A 和集合 B，那么 A 减去 B 的差集，就是在集合 A 中去掉 A 和 B 交集的部分。
比如说，集合A ＝｛1, 2, 3}，集合B ＝｛2, 3, 4}，那么 A B 的差集就是｛1}。
了解了集合的基本运算，接下来我们探讨一下集合关系的性质。
集合之间常见的关系有包含、相等和互不相交。
包含关系是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合。
比如集合C ＝｛1, 2, 3, 4}，集合D ＝｛1, 2}，那么我们就说集合 D 包含于集合C，或者集合 C 包含集合 D。
这种关系在数学中用符号“⊆”表示。
相等关系则是指两个集合中的元素完全相同。
如果集合 E ＝｛5, 6, 7}，集合 F ＝｛7, 6, 5}，虽然元素的排列顺序不同，但它们是相等的集合。
互不相交的集合是指两个集合没有共同的元素。
比如集合 G ＝｛1, 2, 3}，集合 H ＝｛4, 5, 6}，它们就是互不相交的。
集合的运算和关系的性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
例如，在数据库管理中，通过对数据集合的运算和关系的分析，可以高效地检索和处理信息；在概率论中，对事件集合的运算有助于计算各种概率；在计算机科学中，集合的概念和运算常用于算法设计和数据结构的优化。
集合的运算与关系的性质
集合的运算与关系的性质在数学的广袤世界中，集合是一个基础且重要的概念。
而集合的运算和关系的性质则像是打开这个神秘世界大门的钥匙，帮助我们更好地理解和处理集合之间的相互作用。
让我们先来谈谈集合的运算。
集合的运算主要包括并集、交集和差集。
并集，简单来说，就是把两个或多个集合中的所有元素合并在一起，组成一个新的集合。
比如说，集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛3, 4, 5}，那么 A 和 B 的并集就是｛1, 2, 3, 4, 5}。
这就好像把两堆水果放在一起，形成一个更大的水果堆。
交集呢，则是找出两个或多个集合中共同拥有的元素所组成的集合。
还是上面的例子，集合 A 和集合 B 的交集就是｛3}。
交集反映了集合之间的共同部分，就像是找出两堆水果中都有的那几种水果。
差集，是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所剩下的元素组成的集合。
假设集合 A B，那就是在集合 A 中去掉集合 B 中的元素，结果就是｛1, 2}。
了解了这些基本的运算，我们再来看看集合关系的性质。
集合之间的关系主要包括包含、相等和互不相交。
包含关系，比如集合 C ＝｛1, 2, 3, 4, 5}，集合 D ＝｛1, 2}，那么我们就说集合 D 包含于集合 C，或者说集合 C 包含集合 D。
这就像是一个小盒子可以放进一个大盒子里。
相等关系，当两个集合拥有完全相同的元素时，它们就是相等的。
比如集合 E ＝｛5, 6, 7}，集合 F ＝｛7, 6, 5}，虽然元素的顺序不同，但它们是相等的集合。
互不相交的集合，就是两个集合没有共同的元素。
例如集合 G ＝｛1, 2, 3}，集合 H ＝｛4, 5, 6}，它们之间没有任何交集，是互不相交的。
集合的运算和关系的性质在实际生活中也有着广泛的应用。
比如说在数据分析中，我们可以通过集合的运算来筛选和整合数据；在计算机编程中，集合的概念和运算可以帮助我们更高效地处理数据结构和算法。
再举个具体的例子，假设我们有一个班级学生的兴趣爱好集合。
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3.已知集合A = x|a - 1< x < 2a +1和
B = x|0 x 1，若A∩B = ，
求实数a的取值范围。 空集优先原则
解析：由A∩B = 可知A = 或A ≠
若A = 则a -1 2a +1解得a -2满足要求
若A ≠又A ∩B =
∴a
- 1 < 2a 2a + 1
2.并集的运算性质 A∪B＝B∪A，A∪B A，A∪B B，A∪A＝A， A∪Φ＝A，A BA∪B＝B 3.补集的运算的性质 CS(CSA)=A，CSΦ=S，A∩CSA＝Φ，A∪CSA＝S CS(A∩B)＝(CSA)∪(CSB)，CS(A∪B)＝ (CSA)∩(CSB)
有限集合的子集个数公式
1或
2 a
=
2
解得a = 2或a = 1
所以a的值为0，1或2。
练习：
已知集合P={x│x 2+x-6=0}， Q={ x│mx-1=0}，若 Q P ，求 实数m .
题型3 集合的运算
例3: (2006年）已知集合A= x|x2 5x 6 0 ，集合B=x|x<-1或x 2，
P + Q = a + b |a p,b Q ,
A 若P = 0，2，5 Q = 1，2，6，则P + Q 中元素的个数是（ ）
A .8 B .9 C .7 D .6
关键：验证求出的集合是否满足“互异性”
练习2：
集合 A = { x│ax2 +2x+1=0}中 有且只有一个元素，求 a 的值 .
集合复习课
要点·疑点·考点
一、集合的基本概念及表示方法 二、元素与集合、集合与集合之间的关系 三、集合之间的运算性质 四、有限集合的子集个数
知识网络
集合的含义
元素的特征 确定性，互异性，无序性 集合的分类 按元素个数分 集合的表示方法 列举法、描述法、图示法
元素与集合 “属于” 或“不属于”
集合
则集合A B=( C )
A.x|2 x 3 B.x|2 x<3 C.x|2<x 3 D.x|-1<x<3
数形结合的思想 数轴法
再求：CR A∪CRB = {x | x 2或x 3}
摩根定律：C（U A∩B）= CUA∪CUB C（U A∪B）= CUA∩CUB
集合间的关系
集合与集合 子集、真子集、集合相等
交集 A B ={x|xA，且xB} 集合的运算 并集 A B ={x|xA，或xB}
补集 CUA ={x|x U，且x A}
集合之间的运算性质
1.交集的运算性质 A∩B＝B∩A，A∩B A，A∩B B，A∩A＝A， A∩Φ＝Φ，A BA∩B＝A
题型2： 子集与真子集的概念
例2：(2007年，中山模拟)已知集合P=1，2，那么满足Q P的集合Q
的个数（A ） A.4 B.3 C.2 D.1
变式：满足Q P的集合Q的个数是（ B ）
引申：若有限集P中有n个元素,P_1
x R ,y R },则集合M ∩N 中元素的个数（A）
A .0 B .1 C .2 D .3
变式:集合M {(x, y) | x y 0, x R, y R}, N （{ x，y) | x y 1,
x R, y R},则集合M N中元素的个数（B）
A.0 B.1 C.2 D.3
1. 设有限集合A中有n个元素，其中真子集的个数 为2n-1个，非空子集个数为2n-1个，非空真子集个 数为2n-2个
2. 对任意两个有限集合A、B有 card(A∪B)＝card(A)+card(B)-card(A∩B)
题型1: 集合概念的理解及元素的特性
例1、集合M = {(x,y)|x - y = 0,x R ,y R },N = {x |x + y = 1,
+ 0
1
或
a
- 1 < 2a + a-11
1
解得 -
2
<
a
-
1 2
或a
2
综上所述a的取值范围是：（- ∞，- 1 ]∪[2，+ ∞） 2
1
4、设全集 U ={2 , 3 , a2 +2a-3}， A={│2a-1│,2}， Cu A={5}，求a的值 .
题型4 集合实际应用
例4：向50名学生调查对A、B两事件的态度， 有如下结果：赞成A的人数是30，其余的不赞成， 赞成B的人数是33，其余的不赞成；另外，对A、 B都不赞成的学生比对A、B都赞成的学生数的三 分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成 的学生各多少人？
练习：
1.已知集合 M -1，1，2 集合 N y y x2 ，x M ，
则M∩N是( B )
（A）1，2，4
（B） { 1 }
（C） {1，4}
（D） Φ
2.集合S，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所 表示的集合是( D ) (A) M∩(N∪P) (B) M∩CS(N∩P) (C) M∪CS(N∩P) (D) M∩CS(N∪P)
2
=
0}≠{x|x
=
2} a
要注意对a是否为0进行讨论。
解：A = x|x2 - 3x + 2 = 0 ={1，2},A∪B = A B A
当a = 0时，B = ,此时 A,符合要求
当a ≠ 0时，B ={x|ax - 2 = 0}={x|x = 2} a
∵B
A∴
2 a
=
（1）空集是任何集合的子集；是任何非空集合的真 子集
（2）任何集合都是它本身的子集
引申：
集合A ={x|x等2 -价3x转+2化= 0思},B想={x|ax- 2 = 0}
若A∪B = A,求实 数a.
思路分析：处理此类问题有两处值得注意：
分类讨论 （1）A∪B
=
A
B
A;(2)B
={x|ax
-
特别提示：解答集合问题，必须准确理解集合的有关
概念，对于用描述法给出的集合x | x P，
要紧紧抓住竖线前面的代表x以及它所具有 的 性质P，例如：
A x | y 2x R,而B y | y 2x y | y 0
练习1 :设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合