点差法求椭圆中点弦

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

本文用这种方法作一些解题的探索。

一、以定点为中点的弦所在直线的方程

例1、过椭圆14

162

2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B

)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y

又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642

222=+y x

两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x

于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴

2

1244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2

11--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12

2

2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。

解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B

则221=+x x ，221=+y y

122121=-y x ，122

222=-y x 两式相减，得

0))((2

1))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121

=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由⎪⎩

⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆

这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）

若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。

二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2

1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则2

10=x 12021==+x x x ， 0212y y y =+

又 125752121=+x y ，125

752

222=+x y 两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y

即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴0

212123y x x y y -=-- 32

121=--=x x y y k ∴ 3230=-y ，即210-=y ∴点M 的坐标为)2

1,21(-。 例4、已知椭圆125

752

2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(y x M ，则

x x x 221=+， y y y 221=+

又 125752121=+x y ，125

752222=+x y 两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y

即0)(3)(2121=-+-x x x y y y ，即y

x x x y y 32121-=-- 32121=--=x x y y k ∴33=-y x ，即0=+y x 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+125

75022x y y x ，得)235,235(-P )235,235(-Q 点M 在椭圆内

∴它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为)2

35235(0<<-=+x y x 三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为

2

1，求椭圆的方程。 解：设椭圆的方程为122

22=+b

x a y ，则5022=-b a ┅┅① 设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则

210=x ，2

12300-=-=x y ∴12021==+x x x ，12021-==+y y y

又1221221

=+b x a y ，122

2222

=+b

x a y 两式相减得0))(())((2121221212=-++-+x x x x a y y y y b

即0)()(212212=-+--x x a y y b ∴ 22

2121b

a x x y y =-- ∴ 322=

b a ┅┅② 联立①②解得752=a ，252

=b ∴所求椭圆的方程是125

752

2=+x y 四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

例6、已知椭圆13

42

2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

解：设),(111y x P ，),(222y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点，),(y x P 为弦21P P

的中点，则12432121=+y x ，12432

222=+y x

两式相减得，0)(4)(322212221=-+-y y x x

即0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x x x x 221=+，y y y 221=+，

4

12121-=--x x y y ∴x y 3= 这就是弦21P P 中点P 轨迹方程。

它与直线m x y +=4的交点必须在椭圆内

联立⎩⎨⎧+==m x y x y 43，得⎩⎨⎧-=-=m y m x 3 则必须满足22433x y -<， 即224

33)3(m m -<，解得1313213132<<-m 五、注意的问题

（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。

利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。

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