气体动力学基础

音速为绝对速度，不以扰动源的速度的变化而变化。 扰动源的运动情况： v＝0、 v<c、 v＝c、 v>c
11
第二节 气体的一维定常流动
由于质量力较小，为简化分析，将其忽略 理想气体：分子本身没有体积，分子间无内聚 力即无粘性。p、v、T符合理想气体状态方程。 常温下，理想气体的一维定常流动的基本方程 适用于实际气体。
温度升高，从而当地音速 逐渐升高，即
① 0－Δv ，得到音速c1； ② Δv －2Δv ，在c1后得到扰动速度c2＋ Δv c 2 > c1 ③ 2Δv －3Δv ，得到扰动速度c3＋2Δv ┇ n (n-1)－n，得到扰动速度cn＋(n－1)Δv
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温度升高，从而当地音速逐渐升高，即 ① 0－Δv ，得到音速c1； ② Δv －2Δv ，在c1后得到扰动速度c2＋Δv ，c2 > c1 ③ 2Δv －3Δv ，得到扰动速度c3＋2Δv ┇ n (n-1)－n，得到扰动速度cn＋(n－1)Δv
dp cdv （2） 联立（1）和（2）得 c dp / d
整理得 液体和气 体均成立
8
F
QV (v2x v1x )
① 液体
1
c dp / d
dp d p E 据液体的弹性模量 Ev v d d
故液体内的音速计算式为
c Ev /
dv dv
A
p+dp ρ+dρ T+dT
dv
c
p ρ T
7
x
dv
dv
A
p+dp ρ+dρ T+dT
dv x
c
p ρ T
（3）建立方程 以虚线所示区域为控制体 连续性方程： 动量方程 整理并略去二阶无穷小量得
Ac ( d ) A(c dv)
cd dv （1）
x
pA ( p dp) A Ac[(c dv) c]
工程流体力学
第八章 气体动力学基础
1
压缩性：（一）外力作用使气体密度发生显著变化； （二）速度变化使压力变化，从而引起密度 的变化 本章内容：可压缩流体 以一维气体的流动为对象，即流速取断面上的平均值。 且为稳定流动。 压力的变化使温度也发生变化（如压力增大使温度变 化），此时还需要考虑气体的热力学过程。 约定：采用绝对压强和绝对温度 0℃～273K 0K～―273℃
cn (n 1)v
c3 2v c2 v c1
经过一段时间后，后面的波一个接一个地追赶上 前面的波，叠加的波的形状变得越来越陡，直至 形成一个垂直面的压缩波，这就是正激波。
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2 激波的传播速度
dv dv A p+dp ρ+dρ T+dT dv c p ρ T
v p2
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2 分类（按激波的形状） （1）正激波：气流方向与激波面垂直； （2）斜激波：气流方向与激波面不垂直； （3）曲线激波：波形为曲线形（由前两种激波 组成）
(1)
(2)
(3)
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二 正激波 1 形成分析
直管中活塞由静止加速到v，将其分解成很多阶段， 每一阶段活塞只有微小的速度增量Δv，即很多个微 小扰动的叠加
k
——称为绝热指数（比热容比），对于双 原子分子，如空气，k=1.4 cv R = cp－cv ——称为气体常数。 对于空气，R=287 J/kg.K R kR cV cp 4 k 1 k 1
cp
二熵
定义： dS
q
q
T 为微小过程单位质量气体吸收的热量。
理想气体状态方程：
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第三节 激波
弱扰动的传播速度——音速 强扰动的传播速度——大于音速 一 激波的概念和类型 1 激波：超音速气流在流过障碍物或受到突然压 缩时出现的特殊的物理现象，是一种强烈的压缩 波，又称冲击波。 注：亚音速气流不会出现激波。激波以比音速大 得多的速度传播。 激波的厚度：与气体分子的平均自由程是同一数 量级，约为10－4～10－5mm
c0 kRT0
（4）滞止密度ρ0 p 由 C k
和
p

T
p
1 k 1
C 故
0
T0
1 k 1

RT 得
C 0 C
（5）滞止压力p0

RT
0
p0
RT0 故 p0 = C
23
2 极限状态和极限参数（最大速度状态）
绝对温度降低到0时的状态，此时气体的焓全 部转化为速度，达到最大速度 vmax。
17
3 定熵流动（绝热＋可逆）
dp
v2 d( ) 0 2
流动过程中，如果与外界没有热交换 —— 绝热过程 无摩擦的绝热过程——定熵过程
定熵过程方程：
p
k
p ( ) p C C
则 又

C
1 k 1 k
1 k

dp
k p C p dp k 1

1 k
1 k
2
第一节 可压缩气体的一些基本概念 与热力学基本参量
一 内能、焓与比热
内能：因内部分子的热运动具有的能量。 符号 —— u 单位 —— J/kg 焓：h = u + p/ρ 单位：J/kg
du 定容比热： cv dT dh 定压比热： cp dT
单位：J/kg.K 单位：J/kg.K
3
容器内气体吸热分析： （1）定容时（体积不变），吸收的热量用于使气体 的内能增加； （2）定压时，吸收的热量除了增加气体的内能，同 时还因体积膨胀而克服压力做功，两者的和为焓。 所以，升高相同的温度，定压过程需要的热量 要高于定容过程 —— 焓比内能多p/ρ 项。 从而 dh>du，cp > cv u = cvT，h = cpT
不计质量力 f s ，略去下角标 s 则有
最后得
1 p v v 0 s s
dp

vdv 0
dp
v d( ) 0 2
2
（对任意方向均成立 ）
不同过程时上式的积分结果不同 —— 能量方程
15
三 能量方程 1 定容流动
dp
v d( ) 0 2
2
气体体积不变， 常数
3
如：水温为5℃时， 1000kg/m 代入公式得 c = 1435m/s
Ev 2.06 109 Pa
9
② 气体
微弱扰动的传播可认为是一个定熵过程。故有
p
k
联立状态方程 p RT 有
故
C
dp kRT d
c kRT
c 20.05 T
如，对于空气，k=1.4，R=287J/(kg.K)，代入得
vcrit ccrit
2 kRT0 k 1
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4 速度系数 定义：气流速度与临界音速之比
M*
v ccrit
v Ma c
优点：1）ccrit为常数，c为变量； 2）绝热流动中，极限状态时Ma无限大。 而M*max是一个有限量。
M *max
vmax k 1 ccrit k 1
vs v
p2 p1
2 1 vs A1vs A2 (vs v) v 2
19
v u C 2
定熵流动的意义：任意截面上单位质量气体所 具有的内能、压能和动能之和保持不变。 又据 h u 得
p
2
p
2 v h C 2
2
cpT
v cpT C 2
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四 定熵过程的三种特定状态 在一维定熵流动中，p、ρ、T 发生变化，计 算时缺乏比较基准。 1 滞止状态和滞止参数 滞止参数：气体在某一段面的速度降低为0时的 参数。对于一个确定的流动，滞止参数在流动 过程中始终保持不变。此时，动能即速度全部 转化为焓。 以下标“0”表示滞止参数，如p0、 ρ 0、T0 、h0、 c0等。
21
（1）滞止焓h0
h —— 静焓； h0 —— 总焓
（2）滞止温度T0 据h0 = cpT0，而cp= 常数，故
h0 T0 cp
1 2 h0 h v 常数 2
为常数
2
v —— 动温 T0 —— 称为总温；T —— 静温； 2c p 运动物体表面温度升高，即使无摩擦也会升高。
22
（3）滞止音速c0
（1）模型描述 管中充满可压缩气体，活塞在力的作用下以微小速度dv 向右运动，产生一个微小扰动的平面波波峰。
6
（2）选定坐标
波的运行速度为音速，c； 左侧气体速度 dv，压力p+dp，密度ρ+dρ； 右侧气体速度0，压力p，密度ρ； 选择相对坐标系，坐标原点在波峰上。气体相对于波 峰（坐标）向左运动。 左侧气体速度：c-dv，压力为p+dp，密度为ρ+dρ； 右侧气体速度为：c，压力为p，密度为ρ；
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一 连续性方程 任意截面的质量流量相等，即
1v1 A1 2v2 A2 或 vA C d( vA) 0
vdA vAd Adv 0
两边同时除以 vA 得
d
dA dv 0 A v
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二 运动方程
N-S方程
2 2 2 dux u u ux 1 p x x fx ( 2 2 ) 2 dt x x y z
p
p 静止流体，定容过程： C T p
定温过程：

RT p RT
C为常数

C
定熵过程（绝热＋无摩擦）：
p

k
C
将定熵过程方程与理想气体状态方程联立可得
p2 T2 ( ) p1 T1
k k 1
2 k ( ) 1
5
三 音速/声速
1 定义 压力扰动：气体中某处受外力作用，使其压力发生变化 音速：微弱扰动在流体中的传播速度。 如，音叉振动时，对气体有扰动。扰动在空气中以音速 向外传播。任意一种微弱的扰动即使听不见，也以音速 向外传播。 2 音速的理论推导 流体中微弱扰动的传播速度
结论：液体内的音速大于气体音速；音速随气体温度 升高而增加；音速是状态参数的函数，因此是指当地 音速。
10
四 马赫数（Ma）
Ma v / c
音速与状态参数有关，因次称为当地音速。 不同地方音速不同，Ma也不同 Ma<1，亚音速； Ma =1，音速； Ma >1，超音速。
五 微弱扰动在气体中的传播
积分上式得
v2 C C为常数 2 p
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2 定温流动
dp
p
v d( ) 0 2
2

dp
RT 常数
p = RT
dp RT d( ln p) RT RTd( ln p) p 2
v 积分得 RT ln p 常数 2
v RTd( ln p) d( ) 0 2 2
26
Ma与M*的关系
3.0 2.5
(k 1) Ma 2 M* 2 2 (k 1) Ma
2
2 2
2.0
2M * Ma 2 (k 1) (k 1) M *
M*
1.5 1.0 0.5 0.0 0 10 20 30 40 50
Ma
当 Ma＝0 时，M*＝0；当 Ma < 1 时，M* < 1； 当 Ma＝1 时，M*＝1；当 Ma < 0 时，M* < 0。
对于任意s轴上的一微元ds —— 任一方向
dvs 1 p fs dt s
dvs vs vs ds vs vs vs dt t s dt t s
对于一维定常流动，有
p d p s d s
vs dvs s ds
vs 0 t
14
dvs 1 p fs dt s
vmax
2 2h0 kRT0 k 1
T=0
c kRT

c＝0
实际上不可能达到极限参数，但可作为 参考值
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3 临界状态和临界参数
v c 气流速度由小变到大和当地 音速由大（滞止温度时当地 音速最大）变到小的过程中， 气流速度恰好等于当地音速 时的参数称为临界参数，有 Ma＝1。该状态称为临界状 极限 crit 滞止 态。以下标crit表示。
v2 v2 d( 2 ) 2
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v2 v2 d( 2 ) 2 1 1 dp k p k k C p dp k 1
dp v2 d( ) 0 2
k p v C k 1 2
2
1 p p v2 变形得 C k 1 2 cv p cv p 1 p cvT u k 1 cp cv R p v2 u C 2
vs p1
x v2 = vs-v v1 = vs p1
p2
pA ( p dp) A Ac[(c dv) c]
A( p1 p2 ) A1vs [(v2 v) v2 ] vs v
p2 p1
1
32
Ac ( d ) A(c dv)