离散数学课件第二章后三节

(5). ∀x(C(x)→W(x)∧R(x) )
(6). C(a)→W(a)∧R(a)
(7). W(a)∧R(a)
(8). R(a)
(9). Q(a)∧R(a)
(10). ∃x(Q(x)∧R(x))
例4 ∀x(P(x) ∨ Q(x)) ⇒ ∀xP(x) ∨∃xQ(x)
∀x(P(x)∨Q(x))⇒ ¬∀xP(x)→∃xQ(x)
2.3 等值演算
一.等值与推出 定义 设A,B是公式,若A↔B是永真式,则称 A,B等价.记作A⇔B.
定义 设A,B是公式,若A→B是永真式,则称 A蕴含B.记作A⇒B. A⇔B 当且仅当 A ⇒ B且B ⇒ A
二.常用等值式 1 命题公式的推广 命题逻辑等值式的代换实例是一阶逻辑等值式
例如 P→Q ⇔ ¬P∨Q 用 ∀xP(x) 代替 P; ∃xQ(x) 代替 Q 得到: ∀xP(x)→∃xQ(x)⇔¬∀xP(x)∨∃xQ(x) ∀x(P(x)∧Q(x))→∃xR(x)
⇔¬∀x(P(x)∧Q(x) )∨ ∃xR(x)
2 按照约束变元换名规则和自由变元代入规则得 到的公式与原公式等值
3.常用等值式
（1）消去量词等值式 若设个体域为 {a1, a2, …, an} 则： ∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an) ∃xA(x)⇔A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
结论：∃x(L(x) ∧F(x))
1) L(a) ∧F(a)
2) L(a) 3) ∀x(L(x)→ ∀y(G(y, x) →L(y))) 4) L(a)→ ∀y(G(y, a) →L(y)) 5) ∀y(G(y, a) →L(y)) 6) F(a) 7) ∀x(F(x)→ ∃y(H(y) ∧ G(y, x))) 8) F(a)→ ∃y(H(y) ∧ G(y, a))
前提：∀x(F(x)→ ∃y(H(y) ∧ G(y, x))) ∀x(L(x)→ ∀y(G(y, x) →L(y)))
L(a) ∧F(a)
结论： ∃x(L(x) ∧F(x))
前提：∀x(F(x)→ ∃y(H(y) ∧ G(y, x)))
∀x(L(x)→ ∀y(G(y, x) →L(y))) , L(a) ∧F(a)
(□x1)(□x2)...(□xn) A
∀或∃ 指导变元 母式(不含量词)
例如 ∀x∀y∃z(Q(x,y)→ R(z)) √
Q(x,y)→ R(z)
√
∀xP(x)∨ Q(x)
×
注 任一谓词公式,均有前束范式与之等值.（不唯一）
化前束范式的方法
(1).将公式中的连接词化为∧,∨,¬.(非必须) (2).利用否定律,德.摩根律,及量词转化律,将否
y = -x
全称量词之间可交换,存在量词之间可交换.
∀x∀yA(x,y) ⇔∀ y∀ xA(x,y) ∃x∃ yA(x,y) ⇔ ∃ y∃xA(x,y)
例1 证明 ∃x(A(x)→B(x)) ⇔ ∀xA(x)→∃xB(x)
右式 ⇔¬∀xA(x)∨ ∃xB(x) ⇔∃x¬A(x) ∨ ∃xB(x) ⇔∃x(¬A(x) ∨ B(x) ) ⇔∃x (A(x) → B(x) )
Baidu Nhomakorabea
∃x(A(x)∨B(x)) ⇔∃xA(x)∨∃xB(x) ∃对∨满足分配律
× ∀x(A(x)∨B(x)) ⇔ ∀xA(x)∨ ∀xB(x) ? × ∃x(A(x)∧B(x)) ⇔ ∃xA(x)∧ ∃xB(x) ?
例 D:整数集合, A(x): x是偶数, B(x): x是奇数
∃xA(x)∧∃xB(x) (1) ∃x(A(x)∧B(x)) (0) ∀x(A(x)∨B(x)) (1) ∀xA(x)∨ ∀xB(x) (0) ∀xA(x)∨ ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x)∨B(x)) ∃x(A(x)∧B(x)) ⇒ ∃xA(x)∧ ∃xB(x) （后祥）
二、每个等值式可生成两个推理定律 三、量词的填加和消去
1、全称量词消去规则（UI）
∀xA(x) ⇒ A(c) ∀xA(x) ⇒ A(y)
A(x) : 任意以x为自由变元的一阶公式 c : 任意个体常元
y : 个体变元，但在A(x)中不能约束出现
例1
证明苏格拉底三段论 : 所有的人都是要死的， 苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的
10) H(b) ∧ G(b, a) 11) G(b, a)
12) G(b, a) →L(b)
13) L(b) 14) H(b)
15) H(b) ∧ L(b)
16) ∃x(L(x) ∧F(x))
9) ∃y(H(y) ∧ G(y, a))
6
定深入到谓词字母前. (3).利用换名规则或代入规则使所有约束变元均
不相同且使所有的自由变元与约束变元不同. (4).利用量词的扩张与收缩,扩大量词的辖域
至整个公式.
例如 ∀xP(x,y)→Q(x) ∀xP(x)∨∃xQ(x)
例 1 化前束范式
F(x)∨(∀xG(x) →∀xH(x))
⇔ F(x)∨(∀yG(y) →∀zH(z)) ⇔ F(x)∨∃y(G(y) →∀zH(z)) ⇔ F(x)∨∃y∀z(G(y) →H(z)) ⇔ ∃y∀z(F(x)∨ (G(y) →H(z))
(1). ¬∀xP(x) (2). ∃x¬P(x) (3). ¬ P(c))
附加前提证明法 也可用归谬法
(4). ∀x(P(x)∨Q(x))
(5). P(c)∨Q(c)
(6). Q(c))
(7). ∃xQ(x)
5
四、几个推理定律
1、∀xA(x)∨ ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x)∨B(x)) 2、∃x(A(x)∧B(x)) ⇒∃xA(x)∧ ∃xB(x) 3、∀x(A(x) → B(x)) ⇒ ∀xA(x) → ∀xB(x) 4、 ∀x(A(x) → B(x)) ⇒ ∃xA(x) → ∃ xB(x) 5、∃ y∀xP(x, y) ⇒ ∀x∃yP(x, y)
3
练习1 ¬∀x∀y∃z(P(x,z)∧P(y,z) →∃uQ(x,y,u))
化为前束范式 .
2.5 谓词逻辑的推理理论
推理定律 一、命题逻辑推理定律的代换实例为一阶逻辑 推理定律
比如: p ∧ q ⇒ p
有
∀xG(x) ∧ ∃y P(y) ⇒ ∀xG(x)
比如: (p → q) ∧ p ⇒ q
有 (∀xG(x) → ∃y P(y)) ∧ ∀xG(x) ⇒ ∃y P(y)
(3) 量词辖域的扩张与收缩等值式
∀x (A(x) → B) ⇔ ∃xA(x) →B ∀x( B →A(x) )⇔ B→ ∀xA(x) ∃x(A(x) → B) ⇔ ∀xA(x)→B ∃x(B →A(x)) ⇔ B → ∃ x A(x)
1
(4) 量词分配等值式
∀对∧满足分配律
∀x(A(x) ∧B(x)) ⇔∀xA(x) ∧ ∀xB(x)
2、全称量词引入规则（UG）
A(y) ⇒ ∀xA(x) 1）y在A(y)中自由出现，y取个体域中任何值A(y)均真
2）x不能在A(y)中约束出现
3、存在量词消去规则（EI） ∃xA(x) ⇒ A(c)
1）A(x)中除了x 之外，不能含有其他的自由变元。
2）c 是特定的新常元
4
4、存在量词引入规则（EG） A(c) ⇒ ∃xA(x) 1）x不能已在A(c)中出现过
结论： ∀x（S(x)→¬ Q(x) ∧ ¬ P(x) ）
• 例6：每个一年级学生至少有一个高年级 学生作他的辅导员。凡理科生的辅导员皆 是理科生。小王是理科一年级学生。因 此，至少有一个理科高年级学生。 设: F(x): x是一年级学生 H(x): x是高年级学生 L(x): x是理科生 G(x,y): x是y 的辅导员 a:小王
• 构造实际问题的推理 例5：所有的有理数都是实数。所有的无理数 也都是实数。虚数不是实数，因此虚数既不 是有理数也不是无理数。
设: R(x): x是实数 Q(x): x是有理数 P(x): x是无理数 S(x): x是虚数
前提：∀x（Q(x)→ R(x)）， ∀x（P(x)→ R(x)）
∀x（S(x)→¬ R(x)）
5） ∃ y∀xP(x, y)
∃ y∀xP(x, y) ⇒ ∀x∃yP(x, y)
例证3 明 ∀x(C(x)→W(x)∧R(x) ) ∧ ∃x(C(x)∧ Q(x)) ⇒ ∃x(Q(x) ∧R(x))
证明
(1). ∃x(C(x)∧Q(x))
(2). C(a) ∧ Q(a )
(3). C(a)
(4). Q(a)
2
例3
证明 ∃x ∃y(A(x)→B(y)) ⇔ ∀xA(x)→∃yB(y) 左边 ⇔ ∃x (A(x)→ ∃ yB(y)) ⇔ ∀ x A(x)→ ∃ yB(y)
练习
证明 ∀x ∃y(P(x)→Q(y)) ⇔ ∃y∀x(P(x) →Q(y))
2.4 前束范式
定义 一个公式,如果量词均在全式的开头,它们的作用域, 延伸到整个公式的末尾,则该公式叫做前束范式。 前束范式简记为:
(3)F(a)
UG
(4)F(a) →G(a) ES
(5)G(a)
EG
(6)(∃x)G(x)
EG
(2) 前提： ∀x∃yP(x, y)
结论： ∃ y∀xP(x, y)
1） ∀x∃yP(x, y) 2） ∃yP(x, y)
∃yA(y) ⇒ A(c) A(y)中除了y 之外，不能含
有其他的自由变元
3） P(x, a) × 4） ∀xP(x, a)
例2
证明 ∀x (¬F(x) ∧G(x)) ⇔ ¬ (∀x G(x)→ ∃ x F(x))
右式⇔ ¬ (¬ ∀x G(x) ∨∃ x F(x)) ⇔ ¬ (¬ ∀x G(x) ∨∃ x F(x)) ⇔ ∀x G(x) ∧ ¬ ∃ x F(x) ⇔ ∀x G(x) ∧ ∀ x ¬ F(x) ⇔ ∀x (¬ F(x) ∧ G(x))
例2 找出推理中的错误
(1) 前提： ∃xF(x) ， ∃xG(x) 结论： ∃x(F(x) ∧G(x)) 1） ∃xF(x) 2） F(a) 3） ∃xG(x) 4） G(a) × a是特定的新常元 5） F(a) ∧G(a) 6） ∃x(F(x) ∧G(x))
∃x(A(x)∧B(x)) ⇒ ∃xA(x)∧ ∃xB(x)
练习 前提: ∀x (F(x)→G(x) ), ∃xF(x) 结论: ∃xG(x)
(1)(∀x) (F(x)→G(x) ) (2)(∃x)F(x) (3)F(a) →G(a), (4)F(a)
不是新常元
(5)G(a)
(6)(∃x)G(x)
(1)(∀x) (F(x)→G(x) )
(2)(∃x)F(x)
(3) 量词辖域的扩张与收缩等值式 ∀x ( A(x) ∨ B) ⇔ ∀xA(x) ∨ B ∀x ( A(x) ∧ B) ⇔ ∀xA(x) ∧ B ∃ x ( A(x) ∨ B) ⇔ ∃ xA(x) ∨ B ∃ x ( A(x) ∧ B) ⇔ ∃ xA(x) ∧ B
注：A(x) :任意以x为自由变元的一阶公式。 B：不含x为自由变元的一阶公式
∃x(A(x)→B) ⇔∀xA(x)→B ∀x( B→A(x))⇔B→∀xA(x)
例2
化前束范式
∀xP(x,y) → ¬∀y Q(x,y)
⇔ ∀zP(z,y) → ¬∀u Q(x,u)
⇔ ∀zP(z,y) → ∃u¬ Q(x,u)
⇔ ∃u(∀zP(z,y) → ¬ Q(x,u)) ⇔ ∃ u∃z(P(z,y) → ¬ Q(x,u))
(5) 多个量词的等值式
公式中多个量词的出现次序关系到命题的含义,不能随意交换.
例如 ∀x∃y A(x,y): 对任意x ,都存在y, 使得A成立. y 的值依赖于x .
∃y∀xA (x,y) : 存在着y, 对所有的x 都有A成立. y 的值独立于x .
例 (∀x) (∃y)(x+y=0) 为真命题 , (∃y) (∀x)(x+y=0) 为假命题
(2) 量词否定等值式
¬∀xP(x) ⇔ ∃x¬P(x)
¬∃xP(x) ⇔ ∀x¬P(x)
例 设 P(x) : x今天来校上课, DI:学生 则 ¬P(x)表示: x今天没来校上课 “并非所有人今天来校上课” ¬∀xP(x) 等价 “有人今天没来校上课” ∃x¬P(x) “ 没有人今天来校上课” ¬∃x P(x) 等价 “所有人今天都没来校上课” ∀x¬P(x)