圆锥曲线中范围问题

圆锥曲线中范围问题的探究

摘要：圆锥曲线中的范围问题往往是试卷中压轴题，考查考生运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；借助方程与不等式混合探究这类问题的解法，试图用代数方法，去除运算，探索出简洁、容易入手的解题方法。关键词：圆锥曲线；范围；方程与不等式混合组；基本量；途径圆锥曲线中的范围问题，是指确定某个变量的范围（如离心率、斜率、截距、点的坐标等），使得问题中给出的几何图形或具有某种几何性质，或满足某种未知关系，或满足某种数量关系。因为这类问题内涵丰富且极具综合性，所以是培养与考查学生数学综合能力的绝佳素材，同时也是教学中的一个难点，本文将着重探讨范围问题的探究方法、解决实质与问题的特殊性。

一、圆锥曲线范围问题的研究方法

圆锥曲线中范围问题的求解之所以难，原因有三：第一，由于这类问题本身所固有的结构特征，使得数量关系常隐含于几何图形之中，导致了解题入手难；第二，由于问题的解决始终伴随着大量的运算与推理，导致了解题深入难；第三，由于初学者未能掌握此类问题的研究方法，导致了解题调控难。下面我们结合例题来探究范围问题的研究方法。

例1.一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆c： +x2=1交于不同的两点m、n，若线段mn中点的横坐标为，求直线l的斜率的取值范围。

分析：依题意可设直线方程其为y=kx+b（k≠0），于是问题中涉及的基本量有：k与b，由mn中点的横坐标为，可利用中点坐标公式及韦达定理建立一个关于k与b的方程；又由直线l与椭圆c 有两个相异的交点得δ>0，由此建立起一个关于k与b的不等式。先利用方程消去b，再代入不等式可得范围。

解：依题意设y=kx+b（k≠0）代入椭圆c的方程消去y，得

（k2+9）x2+2kbx+（b2-9）=0 δ=k2-b2+9>0 ①

又∵线段mn中点的横坐标为，∴2kb=-（-9+k2）②

由②得b=- 代入①

得k4+6k2-27>0

解得k2>3或k2 或k02kb=-（9+k2）,在这个混合组中，我们得到解圆锥曲线中范围问题的解法实质，即先寻求问题中涉及的基本量，进而化归为基本量的方程——不等式混合组问题，利用方程消去某些变量，再代入不等式中，即可求得指定变量的取值范围。

三、圆锥曲线范围问题的特殊性

圆锥曲线总范围问题的特殊性主要表现为两个方面：一是基本量的确定；二是方程——不等式混合组的建立。

1.基本量的确定

所谓基本量是指使某一数学对象f唯一确定的n个量g1，g2……gn基本量的确定和基本量的多少，都直接影响到解题的繁简与成败。

例2.设椭圆 + =1（a>b>0）的长轴两端点分别为a1，a2，若

椭圆上存在一点q，使得∠a1qa2≥120°，求椭圆离心率e的取值范围。

分析：根据椭圆的对称性，设点q为（x0，y0），其中00即

m2-3k2+1>0 ①

设p（x0，y0）为cd的中点，c（x1，y1）,d（x1，y1）,则x0= = ，y0=kx0+m= ，

∴kap= ，

∵ap⊥cd,∴，k=-1，即

3k2=4m+1 ②

②代入①，得m2-4m>0.解得m>4或m-

故- 4为所求.

解题过程略。

评述：本题建立方程——不等式混合组时，δ>0处于明处，容易想到，但k2>0隐匿于等式3k2=4m+1之中，极易忽略，一明一暗前呼后应，共同约束着m的取值范围，稍不留神就要出错。

例5.椭圆中心是坐标原点o，焦点在x轴上，过椭圆左焦点f的直线交椭圆于p、q两点，且op⊥oq，求椭圆离心率e的取值范围。分析：设椭圆方程为 + =1（a>b>0），当pq⊥x轴时，f（-c,0）,fp= . ∵fp=pq且op⊥oq ∴op=fp，即c=

∴e2+e-1=0解得e=

当pq不垂直x轴时，设pq为y=k（x+c）（k≠0）代入椭圆方程得：

（b2+k2a2）x2+2k2a2cx+k2a2c2-a2b2=0

设p（x1，y1），q（x2，y2）

∵op⊥oq即（k2+1）x1x2+k2c（x1+x2）+k2c2=0

∴（k2+1） +k2c +k2c2=0

解得k2= >0 ①

∴a2c2+b2c2-a2b2>0 ②

又b2=a2-c2，e= 故e4-3e2+10只是一个假象，真正的不等式条件却隐匿于不等式①中。若不明其理，分离变量之后，盲目将①代入δ>0之中，势必陷入庞杂的算式堆里，以至无果而终或半途而废；反之，若能注意到k2>0这一隐含条件，便可轻松建立关于e的不等式，从容走出困境。正可谓真假之分，繁简之别，只在一念之间。综上所述，圆锥曲线中范围问题的求法将几何问题代数化，经常做法是通过代数方法来解决，通过建立目标函数来解决；利用本文所述方程——不等式混合组建立不等关系，产生不等关系的依据有：点、直线、曲线之间的位置关系、圆锥曲线的有界性、离心率的范围等。

参考文献：

［１］刘星红.椭圆中范围问题探求.高中数理化，2008（10）. ［2］许锐军.破解圆锥曲线中参数范围问题的八大转化方略.数学教学研究，2007（9）.

（作者单位福建省南安市新侨中学）

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