§2.5 主理想整环
主理想整环上的有限生成模
湖北大学硕士学位论文主理想整环上的有限生成模姓名：***申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：***20040601摘要环Ｒ上的有限生成模的结构和分类是模论的中心问题之一，当Ｒ为主理想整环时（以下用Ｐ表示），有限生成模的结构与分类问题已经解决，本文利用矩阵的方法对这些结果重新进行讨论。
本文由三节组成．在第一节里，我们给出整环，主理想整环，模，有限生成模，自由模等基本概念。
在第二节里，我们讨论了秩有限的自由Ｐ．模的不变因子。
设Ｍ是秩ｎ的自由Ｐ．子模，Ｎ是Ｍ的秩ｒ的自由Ｐ．子模，‰Ｘ２…，Ｘ。
和Ｙｌ，Ｙ２…，ｙｒ分别是他们的一组基，且（Ｙ１．Ｙ２…，阶）＝（ｏｌ，Ｘ２·一．ｚ，。
）．＾靠ｘ，。
定义ｗ（Ｍ：Ｎ）＝（ｄｅｔＭ）；ｒ＝ｎ，Ｏ；ｒ＜ｎ，贝０可以证明存在ｄｌｌｄ２卜－Ｉｄｒ（ｄｉ∈Ｐ）使得ｄ１。
ｌ，ｄ２ｘ２一，４ｚ，是Ｎ的一组基，而且（ｄｌｄ２…也）＝ｇ．ｃ．如｛ｏ），其中Ｆ跑遍的极大秩ｓ的子模，ａ为”（Ｆ：ＦｎＮ）的生成元，我们称ｄ１，ｄ２…ｄ，为子模Ｎ的不变因子。
这说明不变因子是自由模自身的特性，与基底的选择无关。
在第三节里，我们得到有限生成模的结构与分类定理：每个有限生成模是某个自由模和它的扭子模的直和。
关键词：主理想整环，有限生成模，不变因子２ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｏｆｆｉｎｉｔｅｇｅｎｅｒａｔｅｄｍｏｄｕｌｅｏｖｅｒａｒｉｎｇｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｃｅｎｔｒａｌｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｒｉｎｇｔｈｅｏｒｙｏｒｍｏｄｕｌｅｔｈｅｏｒｙ．ＷｈｅｎＰｉｓａｐｒｉｎｃｉｐｌｅｉｄｅａｌｄｏｍａｉｎ，ｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｏｆＰ—ｍｏｄｕｌｅｈａｄｂｅｅｎｓｏｌｖｅｄ．Ｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓ，ｗｅｔｒｙｔｏｄｉｓｃｕｓｓｔｈｏｓｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓｆｒｏｍａｎｅｗｗａｙ．Ｔｈｅｔｈｅｓｉｓｃｏｎｓｉｓｔｓｏｆｔｈｒｅｅｓｅｃｔｉｏｎｓ．Ｉｎｔｈｅｆｉｒｓｔｓｅｃｔｉｏｎ，Ｗｅｇｉｖｅｓｏｍｅｅｌｅ—ｍｅｎｔａｒｙｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓｏｆ：ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｉｄｅａｌｄｏｍａｉｎ，ｍｏｄｕｌｅ，ｆｉｎｉｔｅｇｅｎｇｅｒａｔｅｄｒｏｏｄ—ｕｌｅ，ｆｒｅｅｍｏｄｕｌｅａｎｄＳＯｏｎ．Ｉｎｓｅｃｔｉｏｎｔｗｏ，ｗｅｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｉｎｖａｒｉａｎｔｆａｃｔｏｒｓｏｆｆｒｅｅｍｏｄｕｌｅｗｉｔｈｆｉｎｉｔｅｒａｎｋＬｅｔＭｂｅａｆｒｅｅＰ．ｍｏｄｕｌｅｗｉｔｈｒａｎｋｎａｎｄＮｉｓｆｒｅｅＰ—ｓｕｂｍｏｄｕｌｅｏｆＭｗｉｔｈｒａｎｋａｎｄＹｌ，Ｙ２·，Ⅳｒｂｅｔｈｅｉｒｒ，。
唯一分解整环
又 a 不是 b 的因子，故 a, b 的最大公约元不能是 a ．另一方面，
( ) a = 3 2 + − 5 ，
而 3 和 2 + − 5 都是既约元，从而 a, b 的最大公约元如果存在的话，只能是 3 或 2 + − 5 ．亦
见 3 或 2 + − 5 都不是 a, b 的最大公约元，即对于 R 中这两个元 a, b 来说， (a,b)不存在．
下证
3 /| 2 + − 5 ， 3 /| 2 − − 5 ．
若
2 + − 5 = 3(x + y − 5) ，
则 3x = 2, 3y = 1 应有整数解 x, y, 这是不可能的．同样可得 3 /| 2 − − 5 ．
有了因子的概念，我们可以定义公因子、最大公因子的概念．
定义 8 设 R 为整环，对 a, b ∈ R ，存在 d ∈ R 满足
１８３
（1） d | a, d | b ；
（2）对任意 c ∈ S ，若 c | a, c | b 则， c | d ．
则 d 是 a, b 的一个最大公约元，记为 d = (a, b) ． 由定义可知若 d 是 a, b 的一个最大公约元，对任意 ε ∈U , 则 dε 也是 a, b 的最大公约元．
p = ab ，
那么 a 或 b 至少有一个为单位，则 p 为 R 的一个既约元．
显然，在整数环中，既约元即为素元，所以我们在数论中并未区分两个概念的区别．在一 般整环中，既约元与素元未必是两个等价的概念．二者的关系通过以下定理与例子便可知晓．
定理 3 在整环 R 中，每个素元都是既约元． 证明 设 p 是 R 的素元，且
a的相伴元, 记为 a ～ b ．
近世代数课件环的概念
§1 环的概念
例 3 设 n 是一个正整数.我们已经知道,集合 Ζn {[0], [1], [2], , [n 1]}
关于模 n 剩余类的加法构成一个交换群.下面进一步考察集 合Ζ n . 假 设 [a], [a1], [b], [b1] Z n , 并 且 [a] [a1] , [b] [b1] . 于
§1 环的概念
(4)根据(2),我们有 a(b c) a(b (c)) ab a(c) ab ((ac)) ab ac .
同理可证, (b c)a ba ca .
(5-7)的证明留作练习.□
作业 p36,第 1-3 题;第 5-7 题.
谢谢！
§1 环的概念
容易验证, Z[x] , Q [x], R[x] 和 C[x] 关于多项式的加法和 乘法分别构成环,依次称为整系数一元多项式环,有理系 数一元多项式环,实系数一元多项式环和复系数一元多项 式环,也可以依次称为 Z 上的一元多项式环,Q 上的一元 多项式环,R 上的一元多项式环和 C 上的一元多项式环.
命题 1.3 设 R 是一个环.那么, (1) 0a a0 0 ; (2) (a)b a(b) ab ; (3) (a)(b) ab; (4) a(b c) ab ac , (b c)a ba ca ;
§1 环的概念
(5)
m i 1
ai
n
bj
j 1
m i 1
n j 1
例 5 设 (R, ) 是一个交换群.定义 R 上的乘法“ ” 如下:
ab 0 , a, b R . 则 (R, , ) 是一个环.这样的环称为零乘环.
§1 环的概念
定义 1.2 设 (R, , ) 是一个环. (1)若“ ”适合交换律,则称 R 是交换环;否则,称 R 是 非交换环. (2)若存在 e R ,使得 ea ae a , a R ,则称 e 为环 R 的单位元,并称 R 是有单位元(的)环.
第5章 主理想整环与欧氏环(2015)
作业
第三版 5-4第201页 1，2
5.3-5.4
、理想的定义 、理想的构造 一、主理想整环 二、 欧氏环
一、主理想整环
——（第五章第三节）
定义 设K是一个有单位元的整环，如果K的每个 理想都是Байду номын сангаас理想，则称K是一个主理想整环.
例 (1) 整数环是主理想整环. (2) 域F上的多项式环F[x]是主理想整环. (P166 习题3(1)） (3) 整数环Z上的多项式环Z[x]不是主理想整环. (因为 <2,x>不是主理想 ) 故Zn不是主理想整环. （4）当n为合数时，环Zn有零因子， 定理 Gauss整环Z[i]={a+bi|a,b∈Z}是主理想整环.
二、 欧氏环
——（第五章第四节）
定义 设K是一个有单位元的整环.如果 （1）有一个从K-{0}到非负整数集的映射 存在, 使 （2）对于K中任意元素a及b≠0, 存在元素q, r∈K，
a bq r , r 0, 或 ( r ) (b), 则称K关于 作成一个欧氏环.
例 整数环Z是一个欧氏环. 例 域F上的多项式环F[x]是一个欧氏环. 定理 欧氏环必是主理想整环.
近世代数第四章整环里的因式分解
第四章整环里的因式分解§1. 素元、唯一分解本讲中, 总假定为整环, 为的商域.1. 整除定义1 设D为整环, Db,, 如果存在Da∈c∈, 使得则称整除, 记作; 并称是的一个因子, 是的倍元.•整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广, 因此有许多与整数的整除相类似的性质.•整除有下列常用的性质:(1) 如果, , 则;(2) 如果, , , 则.2.相伴定义2整环D的一个元叫做D的一个单位，假如是一个有逆元的元。
元叫做元的相伴元，假如是和一个单位的乘积：定理１两个单位的乘积也是一个单位.单位的逆元也是一个单位.例１因为整数环的单位仅有１与-１，故任一非零元有２个相伴元：与a-.例２有四个单位，１，-１，i,-i,所以任一非零元，有四个相伴元：定义3 单位以及元的相伴元叫做的平凡因子.若还有别的因子，则称为的真因子.３. 素元定义4 设D为整环，Dp∈，且既非零也非单位，如果只有平凡因子，则称为一个素元.定理２单位ε与素元的乘积也是一个素元.定理３整环中一个非零元有真因子的充分且必要条件是：，这里，都不是单位.推论设，并且有真因子：.则也是的真因子.定义5 我们称一个整环D的元在D中有唯一分解，如果以下条件被满足：(i) (为D的素元)(ii) 若同时有（为的素元）则有，并且可以调换的次序，使得（为的单位）整环的零元和单位不能有唯一的分解.所以唯一分解问题研究的对象只能是非零也非单位的元.例３给整环.那么有：(1)的单位只有.(2)适合条件的元一定是素元.首先，；又由(1),也不是单位.设为的因子：那么但不管，是何整数，或４若，则是单位.若，则而为单位.因而是的相伴元.从而只有平凡因子，故是素元.(3)没有唯一分解：我们有(A) ,,故由(2),2,都是的素元.由(1),都不是２的相伴元，因而给出了４的两种不同分解从而４没有唯一分解. 这说明并不是任意整环中的非零和非单位的元都有唯一分解.$2. 唯一分解环定理１一个唯一分解环有以下性质：若一个素元能够整除，则有整除或.定理２做定整环有如下性质：(i)的每一个非零非单位的元都有一个分解.（为的素元）(ii)的一个素元若能够整除，则有整除或，则一定是一个唯一分解环.定义6 元叫做的公因子，如果.定理３一个唯一分解环的两个元和在里一定有最大公因子.和的两个最大公因子和只能差一个单位因子：（是单位).推论一个唯一分解环的个元在里一定有最大公因子.的两个最大公因子只能差一个单位因子.定义一个唯一分解环的元称为互素的，如果它们的最大公因子是单位.$3. 主理想环引理１设是一个主理想环.若在序列里的每一个元是前一个元的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.引理２设是一个主理想环，那么的任一素元生成一个最大理想.定理一个主理想环是一个唯一分解环.证：我们证明是一个唯一分解环.设且不是零也不是单位.若不能写成有限个元的乘积，则不是一个素元，所以由$４.１的推论，都是的真因子.的这两个真因子中至少有一个不能写成素元的乘积，否则就是素元的乘积而与假设矛盾.于是有这样的结论；若没有分解，则一定有一个真因子也没有分解.这样，在没有分解的假设之下，就得到一个无穷序列在此序列中每一个元都是前一个元的真因子.依照引理１，这是不可能的，所以一定有分解.即满足$４.２定理２中的条件(i).又设的素元能整除的元乘积，那么这就是说在剩余类环里，所代表的类与o所代表的类相同：由引理２，是最大理想，因而由$３.９的定理，是一个域.因为域没有零因子，所有由上面等式有或即有或亦即或从而或，故也满足$４.２定理２的条件(iii).因而是一个唯一分解环.$4. 欧氏环定义一个整环叫做一个欧氏环，如果(i)有一个从的非零元所作成的集合－｛０｝到全体非负整数作成的集合的映射存在；(ii)任意给定的一个非零元，的任何元都可以写成的形式，这里有或例整数环是一个欧氏环.因为：定理１是一个适合条件(i)的映射并且任意给定整数，则任何整数都可写成这里或上面定义中的映射称为欧氏映射.定理１每一个欧几里德环都是主理想整环, 因而也是唯一分解环.证明设为欧几里德环的任一理想, 为欧氏映射.(1) 如果, 则.(2) 如果, 令则非空, 且. 设, 使得为中的最小数, 下证.任给, 因为, 所以存在, 使得. 于是, .如果, 则, 与的选取矛盾. 所以, , 则, 于是. 由的任意性可知.又, 所以, 从而.这就证明了, 的任一理想都是主理想, 故为主理想整环.定理２整数环是主理想，因而是唯一分解环.定理３一个域上的一元多项式是一个欧氏环.因而是一个唯一分解环.$５. 多项式环的因子分解本章讨论唯一分解环上的一元多项式环.我们称的素元即素多项式为不可约多项式，日有真因子的多项式叫做可约多项式.定义的一个元叫做一个本原多项式，如果的系数的最大公因子是单位.我们有如下结论：(A)的单位是的仅有的单位.(B)一个本原多项式不会等于零.(C)若本原多项式可约，那么且有（表示的次数）引理1 设，那么是本原多项式的充分且必要条件是和都是本原多项式.设是的商域，那么多项式环是唯一分解环.引理2 的每一个非零多项式都可以写成的形式，这里是的本原多项式.如果也有的性质，那么，（为的单位）引理3 的一个本原多项式在里可约的充分必要条件是在里可约.引理4 的次数大于零的本原多项式在里有唯一分解.有了以上的结论，我们就有定理如果是唯一分解环，，则也是唯一分解环.$６. 因子分解与多项式的根定义整环的元叫做的多项式的一个根，如果有定理１是的一个根的充分且必要条件是整除定理２的个不同的元都是的根的充分且必要条件是整除推论若的次数为，则在中至多有个根.定义的元叫做的一个重根，如果能被整除，这里是大于1的整数.定义由多项式唯一决定的多项式叫做的导数.导数适合如下计算规则：,定理３的一个根是一个重根的充分且必要条件是整除推论设是唯一分解环.的元是的一个重根的充分且必要条件是：能整除和的最大公因子.。
第四讲：主理想整环上的模及其分解
數學傳播32卷1期,pp.25-47線性代數五講一一第四講主理想整環上的模及其分解龔昇·張德健4.1.環上的模的基本概念A.在第二講及第三講中,我們討論了向量空間及其上線性變換,在這一講及下一講中將從模的觀點來重新認識之,這是本書的主要部份,在這一講中,將介紹模的定義和基本性質,尤其是在主理想整環上的模及其分解。
若V體F上的一個向量空間,T∈L(V)。
對F[x]中任一多項式p(x),對任意 v∈V,可定義p(x) v=p(T)( v),這就是我們要討論作用在V上的線性算子。
顯然對任意r(x),s(x)∈F[x], u, v∈V有r(x)( u+ v)=r(x) u+r(x) v,(r(x)+s(x)) u=r(x) u+s(x) u,(r(x)s(x)) u=r(x)(s(x) u),1 u= u,等等。
但是F[x]不是體而是環,所以F[x]中元素對V作純量乘積,V不能成為一個向量空間。
於是引入了比向量空間更為一般的概念:模。
定義4.1.1:若R是有單位元的交換環,其元素稱為純量(scalar)。
一個R−模(R−module),或R上的一個模(a module over R)是一個非空集合M,有運算加法,記作+,對( u, v)∈M×M,有 u+ v∈M;另一個是R與M的運算是純量乘積,用毗連來表示,對(r, v)∈R×M,有r v∈M,而且有1.M對加法而言是Abel群;2.對所有r,s∈R, u, v∈M有2526數學傳播32卷1期民97年3月a.(分配律):r( u+ v)=r u+r v,(r+s) u=r u+s v;b.(結合律):(r s) u=r(s u),c.1 u= u.顯然當R為體,則模為向量空間,即體上的模就是向量空間。
當R=Z(整數環),則Z−模就是Abel群,故模也是Abel群的概念之擴充。
特別重要的是在第一講開始就說到的R=F[x],若F是體,則由定理1.2.1,F[x]是主理想整環,於是可以定義F[x]−模,這是我們今後要主要討論的對象。
主理想整环上保对称矩阵群逆的线性算子
滨
ｒ ｎ
几何 、 系统 控 制 、 理 统计 等 领 域 有 着 广泛 的 实 际应 用 背 景 ． 着 对 广 义 逆 和 线 性 保 持 问 题 的深 入 研 究 ， 得 广 义逆 数 随 使
的保 持 问 题 有 着 广 泛 的 实 际 应 用 前 景 ． 文 中 ， 是 一 个 特 征 为 ２的 町 交换 的 主 理 想 整 环 ， 少 有 ４个 单 位 ． 用 刻 在 Ｒ 至 利 画基 底 的 形 式 证 明 了主 理 想 整 环 上 保 持 对 称 矩 阵 群 逆 的 可 逆 线 性 算 子 的 形 式 ． 关键词 ： 主理 想 整环 ； 性 算 子 ； 逆 ； 线 群 对称 矩 阵 中图 分 类 号 ： ５ ． １ Ｏ １ ２ 文 献标 识码 ： Ｏ１ １ ２ ； ０ ３ ０ Ａ 文 章 编 号 ： ０ ６７ ４ （ ０ ７ ０ — ９ ２０ １ ０ ～０ ３ ２ ０ ） ８ ０ ４ — ５
ＢＵ ａ ｇｊａ ｇ， ＡＮＧ ｉｙ ｎ，ＪＮＧ ｈ—ｉ Ｃｈ ｎ —ｉｎ Ｗ Ｇｕ—ａ Ｉ Ｓ ｉ ｌ
（ Ｃｏｌｅ ｆＳｃｅ ｃ ｌｇｅ ｏ ｉｎ ｅ， Ｈ ａ ｂ ｎ Ｅｎｇ ｎ ｅ ｉｇ Ｕ ｎｉ ｒ ｉｙ， Ｈ ａ ｂｉ ５０ ０１， ｉ ａ） ｒ ｉ ｉ ｅ ｒｎ ｖｅ ｓｔ ｒ ｎ１ ０ Ｃｈ ｎ
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主理想整环上的纯子模与有限生成模
主理想整环上的纯子模与有限生成模摘要：本文主要讨论主理想整环上纯子模与有限生成模的性质。
首先介绍主理想整环及其性质，接着给出纯子模与有限生成模的定义和性质，讨论它们之间的关系以及对每种模的分类和描述。
最后给出一些相关的例子和定理的证明。
关键词：主理想整环；纯子模；有限生成模；分类；定理正文：1. 引言主理想整环是一类非常特殊的环，在学习和研究线性代数和抽象代数中起到了很重要的作用。
纯子模和有限生成模是主理想整环上最具代表性的两种模，它们在很多领域应用广泛。
本文将介绍主理想整环、纯子模和有限生成模的定义和性质，以及它们之间的关系。
此外，本文还将对每种模的分类和描述进行讨论，并给出一些相关的例子和定理的证明。
2. 主理想整环和其性质主理想整环是指每个理想都是主理想的整环。
一个整环被称为主理想整环，当且仅当它满足以下条件：（1）它是一个整环。
（2）所有它的理想都是主理想。
（3）它有一个非零元素作为唯一基本域。
主理想整环具有如下性质：（1）每个主理想整环都是唯一分解整环。
（2）每个主理想整环都是域当且仅当它是PID（主理想整环）。
（3）每个有限生成交换整环都是主理想整环。
3. 纯子模和有限生成模3.1 纯子模设M是主理想整环R的一个左模，如果对任意的0 ≠ a∈R和任意非0元素m∈M，存在一个整数n=n(a,m) (n可能是负数)，使得am^n \in M，则称M是R的纯子模。
3.2 有限生成模设M是主理想整环R的一个左模，如果存在一个元素集{m1,m2, ..., mn} \subset M，使得M=\sum Rm_i，则称M是R的有限生成模。
4. 纯子模和有限生成模的分类和描述下面对纯子模和有限生成模根据条件进行分类和描述。
4.1 纯子模的分类和描述对于纯子模M，以下是几个可能的情况：（1）如果M ={0}，则M是零模。
（2）如果M ≠ {0}，但存在一个元素 a∈R，使得am \notin M，对于任意m\in M，则称M是零子模。
主理想整环与欧几里得整环讲解
一、主理想整环
定义4.4.1
定理4.4.1
例1 例2
定义4.4.2 ---欧几里得整环 例4 三、欧几里德整环、 主理想整环及惟一分解 整环的关系 定理4.4.5 例5
定理4.4.2
定理4.4.3 二、欧几里得整环 定理4.4.4 ---最大公因子的存 在表示定理 例3
例 6 设F为域. 则 F [ x ]为欧几里德整环, 因而也 是主理想整环及惟一分解整环. 证 令
: F [ x] {0} N {0}
f ( x)
设
deg f ( x).
f ( x), g ( x) F [ x], g ( x) . 0 令 { f ( x) g ( x)h( x) | h( x) F [ x]},
a dq, 于是 a d . 由此得 I d . 因而 I d
,
即 I 为 D 的主理想. 注：这个定理的逆是不成立的. 例如, 可以证明整 1 Z[ ] {a b | a, b Z}, (1 19), 环 2 是主理想整环, 但却不是欧几里德整环(参见[1]).
d ak . 另一方面,
ak I d
, 所以
d ak d .
从而
d ak .
由此知, 真因子链(4.4.1)仅有 k项.
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定理4.4.3 设 D为主理想整环, a是 D 的一个非 零非单位的元素. 则下列条件等价: (1)a是素元; (2)a是不可约元; (3) a 是极大理想; (4) a 是素理想. 证 (1) (2) 见定理 4.3.3。 (2)(3) 因为 a不是单位, 所以 a 为 D 的真理想.
主理想整环的分式环
主题：主理想整环的分式环导语：分式环是数学中一个重要的代数结构，在抽象代数和环论中有广泛的应用。
其中，主理想整环作为分式环的一种特殊情况，在研究整数环、多项式环等方面起到了重要的作用。
本文将从浅入深，分析主理想整环的性质及其在数学中的应用。
一、分式环的基本定义1.1 分式环的引入有理数的概念是我们日常生活中最为熟悉的分数形式，其表现的是实数之间的比值关系。
在代数学中，如果将一个环扩展为能充分描述其中元素之间的比值关系的代数结构，我们就得到了一个分式环。
1.2 主理想整环的定义主理想整环是指一个含有单位元的环，在此环中，每个非零元素都生成一个称为主理想的特殊理想。
具体而言，对于主理想整环R，元素a生成的主理想为(a) = {ra | r∈R}。
二、主理想整环的性质2.1 主理想的生成元对于主理想整环中的任意一个非零元素a，我们可以证明一定存在一个元素b，使得主理想(a) = (b)。
这个元素b就是a的一个生成元。
2.2 主理想整环中的主理想主理想整环中的每一个主理想都可以表示为某个元素的生成，即对于主理想I，存在一个元素a使得I = (a)。
由此可得，主理想整环中的主理想是非常特殊的。
2.3 主理想整环中的不可约元素不可约元素指在主理想整环中无法分解为两个非单位元的乘积的元素。
主理想整环中不可约元素具有很多重要的性质，如素元意味着不可约。
三、主理想整环在数学中的应用3.1 整数环整数环是主理想整环的一个重要实例。
整数环中的每个元素都可以表示为一个主理想的生成元。
整数环是一个主理想整环。
3.2 多项式环多项式环也是主理想整环的一个重要实例。
对于多项式环R[x]，其中x是一个变元，任意一个非零多项式f(x)生成的主理想即为(f(x))。
多项式环的理论在代数几何、代数拓扑等领域有重要应用。
四、个人观点和理解主理想整环作为分式环的一种特殊情况，具有一些重要的性质和应用。
在数学的研究中，我们经常需要将一个环扩展为能描述元素之间比值关系的结构，而主理想整环为我们提供了一种有力的工具。
素理想环
正式定义[编辑]∙环R的理想P是素理想，当且仅当它是一个真理想（也就是说，P≠R），且对于R的任何两个理想A和B使得AB⊆P，都有A⊆P或B⊆P。
交换环的素理想[编辑]素理想对交换环有一个较简单的描述：如果R是一个交换环，那么R的理想P是素理想，如果它具有以下两个性质：∙只要a，b是R的两个元素，使得它们的乘积ab位于P内，那么要么a位于P内，要么b位于P内。
∙P不等于整个环R。
这推广了素数的以下性质：如果p是一个素数，且p能整除两个整数的乘积ab，那么p要么能整除a，要么能整除b。
因此，我们可以说：正整数n是素数，当且仅当理想n Z是Z的素理想。
例子[编辑]∙如果R表示复系数二元多项式环C[X, Y]，那么由多项式Y2−X3−X− 1生成的理想是素理想（参见椭圆曲线）。
∙在整系数多项式环Z[X]中，由2和X生成的理想是素理想。
它由所有系数项为偶数的多项式组成。
∙在任何环R中，极大理想是一个理想M，它是R的所有真理想的集合中的极大元，也就是说，M包含在R的正好两个理想内，即M本身和整个环R。
每一个极大理想实际上是素理想；在主理想整环中，每一个非零的素理想都是极大的，但这一般不成立。
∙如果M是光滑流形，R是M上的光滑函数环，而x是M中的一个点，那么所有满足f(x) = 0的光滑函数f形成了R内的一个素理想（甚至是极大理想）。
性质[编辑]∙交换环R中的理想I是素理想，当且仅当商环R/I是整环。
∙环R的理想I是素理想，当且仅当R \ I在乘法运算下封闭。
∙每一个非零的交换环都含有至少一个素理想（实际上它含有至少一个极大理想），这是克鲁尔定理的一个直接结果。
∙一个交换环是整环，当且仅当{0}是一个素理想。
∙一个交换环是域，当且仅当{0}是唯一的素理想，或等价地，当且仅当{0}是一个极大理想。
∙一个素理想在环同态下的原像是素理想。
∙两个素理想的和不一定是素理想。
例如，考虑环，它的素理想为P = (x2 + y2 - 1)和Q = (x)（分别由x2 + y2 - 1和x生成）。
§4.3.主理想环
特殊的唯一分解环：第一种是主理想环.
定义1 一个整环I 叫做一个主理想环, 假如 I的每一个理想都是主理想.
一个主理想环一定是一个唯一分解环.
例1环R的理想升链 : I1 I 2 I n I n 1 的并 I I i 是理想.
i 1 n
例2在整环中 (1) ( a ) (b) b a (2)( a ) (b) a, b是相伴元
(i ) I的每一个既不是零也不是单位的元a都有 一个分解a p1 p2 pr
pi是I的素整除ab, 那么p能整除a或b.
§ 4.3 主理想环
§ 4.3 主理想环
令A 为这些理想的并集,则A 是I的一个理想,
由于I 是主理想环, 所以A 是一个主理想:A = (d).
由于d A , 所以d也属于某一个 an .可以证明, 这个an一定是要求的元.
§ 4.3 主理想环
否则,若an 存在真因子an +1 ,由于d an , an 1 d =A , 因此an | d , d | an 1 ,于是an | an 1
又 an1 | an ,可得an1和 an是相伴元,与an1是an的 真因子矛盾.
综上，这个序列一定是一个有限序列.
§ 4.3 主理想环
引理2 假定I 是一个主理想环,那么I的一个素元p 生成一个最大理想.
§ 4.3 主理想环
定理 一个主理想环I 是一个唯一分解环.
证明 利用P131定理2的性质来证明.
§ 4.3 主理想环
引理1 假定I 是一个主理想环.若在序列 a1 , a2 , a3 ,
ai I
里每一个元都是前面一个的真因子,那么 这个序列一定是一个有限序列.
环的定义与性质
3．无零因子环的充分必要条件.
定理.3 设 R 是环，R 是无零因子环当且仅当 R 中的乘法适合消去律. 即a,b,c∈R，a≠0，有 ab = ac b = c 和 ba = ca b = c
证 充分性. 任取 a,b∈R，ab = 0 且 a ≠ 0. 由 ab = 0 = a0 和消去律得 b = 0. 这就证明了 R 是无零因子环. 必要性. 任取 a,b,c∈R，a ≠ 0，由 ab = ac 得 a(bc) = 0， 由于 R 是无零因子环，a ≠ 0，必有 bc = 0，即 b = c. 左消去律 成立. 同理可证右消去律也成立.
理解左（右）零因子。如果是交换环，则如果 a 是左零因子，那么 也是右零因子。请举出 a 仅为左零因子的环的例子。
2．交换环、含幺环、无零因子环、整环的实例 （1）整数环 Z、有理数环 Q、实数环 R、复数环 C 都是交换环、含幺 环、无零因子环和整环. （2）令 2Z={2z | z∈Z}，则<2Z,+,·>构成交换环和无零因子环. 但不是含 幺环和整环. （3）设 nZ, n2, 则 n 阶实矩阵的集合 Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成 环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环. （4）<Z6,,>构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整 环. 23=32=0，2 和 3 是零因子. 注意：对于一般的 n, Zn 是整环当且仅当 n 是素数.
例如: Z3 和 Z2 是无零因子环, 消去律在 Z3 和 Z2 中都是成立的, 但 Z3×Z2 就不是无零因子环。 由<2, 0> ·<0, 1> = <0, 0> = <2, 0> ·<0, 0>，<2, 0> <0, 0>和消去律 可得: <0, 1> = <0, 0>, 显然这是错误的。
近世代数 第22讲
第 22 讲 §7 理 想 (Ideals)本讲的教学目的和要求:与群中不变子群平行的理论研究就是环中的理想(子环).所以,理想在环论中占有特别重要的作用,在后一讲我们会发现,可以利用它做出环的商环. 本讲中要求掌握1、理想的定义,特别是对”吸收律”的正确理解.2、单环的概念.尤其是除环中没有真理想,这个事实告诉我们:每个理想中一旦有了环里的单位元,那么它一定是单位理想.3、生成理想)S (的基本概念以及理想中元素的表示形式.4、主理想和特殊情况下主理想的结构问题.5、补充的知识:和理想,积理想以及理想的传递问题.本讲的重点和难点:本讲的重点是了解理想的基本概念和性质,还有理想的各种表现形式.难点在于如何了解生成理想的结构问题和传递问题.一. 理想的定义.简单的性质和例子 (1)问题的提出设N 是环R 的一个子环,那么由子环的定义知:},{+N 是加群},{+R的一个子加群,又因},{+R 是可换群∴ R N (N 是不变子加群)于是得到商群NR,其中}|{R a N a NR∈∀+=商群中的加法运算为: N b a N b N a ++=+++)()()(对于N R 已有加法,是否可以再定义一个乘法并使N R 成为环呢? 如果乘法已规定好,那么必有”两个陪集之积仍是陪集”自然地想到:(*)))(( N ab N a N a +=++要使(*)真正成立,N 应满足什么条件呢? 首先,Nb aN N ab N b N a N ab +++=++⊆+))(( 所以,(*)成立的关键是:N ab N b N a +⊆++))(( 结论1.设N 如上所示.那么N ab N b N a +⊆++))((.N Nb N aN ⊆⊆⇔且证明:)(⇒因对任意的b a ,,都有N ab N b N a +⊆++))((那么特取N aN N N N a b ⊆⇒⊆⋅+⇒=)(0 特取N N Nb N N b N a ⊆+⊆+⇒=,)(0∴N Nb ⊆.总是有N aN ⊆且N Nb ⊆)(⇐ NN aN ab N b N a ++=++))((N ab NN N N ab +=+++⊆ ∴N ab N b N a +⊆++))((.由结论1知.子环满足:.,R b a ∈∀有N Nb N aN ∈⊆,是非常重要的.因为,由此可以在商群},{+N R 中定义一个新的代数运算—乘法,使.))((,,N ab N b N a R b a +=++∈∀(2)理想的定义.定义1.设N 是环R 的一个子环,那么.R a ∈∀(ⅰ)当N aN ∈,则称N 是R 的一个左理想. (ⅱ)当N Na ∈,则称N 是R 的一个右理想.(ⅲ)若R b a ∈∀,,都有N aN ∈且N Nb ∈,那么称N 是R 的一个理想.(理想=左理想+右理想)本讲我们重点讨论理想.由上可知,所谓理想N 就是要: N 是R 的子环,其次. N aN ∈和N Nb ∈,R b a ∈∀,.于是有定义2.设N 是R 的非空子集.如果满足条件则称N 是R 的一个理想①.,,,N ab N b a N b a ∈∈-∈∀且 ②N Nr N rN R r ⊆⊆∈∀且,,注意1:容易发现:定义2中的②“N n N N r ∈∀⇔⊆1 有N n r ∈1”,“N nr N n N Nr ∈∈∀⇔⊆22,”. 所以定义2可改为: ①.,,,N ab N b a N b a ∈∈-∈∀且 ②N nr N rn N n R r ∈∈∈∀∈∀且,,注意2:容易发现,定义2中①的.,,N ab N b a ∈∈∀显然是可用②来替代,故理想的定义能省.定义3. 设R N ⊆≠Φ,如果N 满足下面条件,则称N 是R 的一个理想,并记R N ˉ①,,,N b a N b a ∈-∈∀②.,,N nr N rn N n R r ∈∈∈∀∈∀且(吸收律)注意3:由定义3可知,理想必是子环,但子环未必是理想,⇒理想要比子环的条件要强些. (3)理想的例子.例1.任一个环至少都有如下二个理想:}0{—零理想,R —单位理想.而习惯上将零理想和单位理想统称为平凡理想,而其它理想(若存在)叫作真理想.例2.偶数环Z 2是整数环Z 的理想. 例3.在2阶矩阵环)(2R M 中,显然⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∀⎪⎪⎭⎫⎝⎛=R a a a N |00 是)(2R M 的一个子环,而N a a b b ∉⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 0000,∴N 不是理想. (4)一些重要性质.定理1,任一个除环R 只有平凡理想(∴域也是如此) 证明 设N 是除环的R 非零理想,那么R n ∈≠∀0∵n 必可逆R ∈∃⇒-1,由理想的定义N n n R ∈=⇒-11.∴N R ∈1.于是N r r R r R ∈=∈∀1,,由r 的任意性N R N R =∴⊆⇒,.这表明R 只有平凡理想.定义4.一个环若有平凡理想,则称此环为单环.(∴除环是单环) 明示1.若N 是幺环R 的理想,且R N N R =⇒∈.1. 结论2.设21,N N 都是环R 的理想.那么},|{2121N b N a b a N N ∈∀∈∀+=+△也是R 的理想,叫做1N 与2N 的和理想. 证明: ∅≠+∴+⊆∈∀+=212111,}|0{N N N N N a a N △.212211,N N b a y b a x +∈+=+=∀.则2121212211)()()()(N N b b a a b a b a y x +∈-+-=+-+=-又若 ,R r ∈则有21112111,.,N r b N r a N rb N ra ∈∈∈∈211111)(N N rb ra b a r rx +∈+=+= 211111)(N N r b r a r b a xr +∈+=+=∴由理想的定义知R N N 21+,习惯上称21N N +为理想1N 与2N 的和.类似地,可以考虑:当21,N N 都是R 的理想时.21N N 和},|{2121N b N a ab N N ∈∀∈∀=会是理想吗?事实上,因为它们对加法都未必封闭,所以都不一定能成为理想.但若这样定义:},,|{21221121为自然数n N b N a b a b a b a N N i i n n ∈∈+++=可以验证R N N ˉ21,通常称21N N 为1N 与2N 的积理想.结论3.设,,I i R N i ∈ ,那么 Ii i R N ∈.二.主理想(1)由子集生成的理想设R S ⊆≠∅,而R 为任意环,设A S R A A ⊆=Ω且 .由结论3知Ω∈A A 必是R 的理想.叫做子集S 生成的理想,记为)(S .易知, )(S 是R 中包含S 的理想中最小的一个.S 称为)(S 的生成子集.当},,,{21n a a a S =是一个有限集时.虽然),,,()(21n a a a S =当}{a S =时,那么)()(a S =就是下面要研讨的内容.(2) 定义5.由环R 中一个元素a 生成的理想)(a 叫做主理想.为了弄清主理想的结构,我们有 结论4.设R 为任意环,R a ∈∀则},,,,,|{)('1'Z n N n R t s y x na at sa ay x a i i n i i i ∈∈∈+++=∑=证明:由于R a )(.那么at sa ay x i i ,,和na a a na +++=都应在)(a 中,(∵吸收律和加法封闭性).再用加法封闭性∑=∈+++⇒'1)(n i i i a nt at sa ay x∴)(},,,,,|{'1'a Z n N n R t s y x na at sa ay x i i n i i i ⊆∈∈∈+++=Ω∑=(其中∑='1n i i i ay x 为有限个i i ay x 之和).另一方面,设Ω∈∀y x ,,那么x 和y 都应是Ω中元素的形式:∑=+++='1n i i i na at sa ay x x∑=+++='1m j j j ma av ua ay x y那么 Ω∈++-+++=-∑+=''1)()()(m n k kk a m n v t a a u s ayx y x.R r ∈∀Rw y x wa ay x a nr rs ay x nrarat a rs ay rx rx h h n h h h n h h h n i i i ∈Ω∈+=++=+++=∑∑∑+=+==,11111,)()()(''' 其中 Rp y x ap ay x nr tr a sar r y a x ar n tr a sar r y a x xr l l n l l l n i i i n i i i ∈Ω∈+=+++=+++=∑∑∑+===,,,)()()()()(1'111''其中 ∴Ω是R 的理想,且显然Ω∈a .由)(a 的最小性)(a =Ω⇒.由上可知,一般情况下,环R 中一个元素a 生成的理想)(a 中元素是比较复杂的,但当R 具有某些特殊性质时,那么)(a 便得到相应的简化.例如原来}|{)(1∑=+++=mi i i na at sa ay x a①当环R 可交换时,(或者生成元a 在R 的中心内容时)},|{)(Z n R r na ra a ∈∈+=;②当环R 中有单位元R 1时,},|{}|1)1(11{)(111∑∑+==∈=+++=m j j j j j mi R R R R i i R y x ay x a n at sa ay x a ③当R 有单位元且R 可交换(或R 有单位元a 在中心时)}|{)(R r ra a ∈=(3)有限个元素生成的理想设R a a a S n ⊆=},,,{21 ,那么由子集S 生成的理想)(S 中的结构是怎样的呢?事实上,},,2,1),(|{)()()()(211121n i a s s s s a a a S i i n =∈+++=+++=.可知∑=n i ia 1)(是R 的理想.且每个生成元∑=∈ni iia a 1)(但)(S 是含n a aa ,,,21中最小的理想∑==⇒ni i a S 1)()(.例4.设R 为整数环,而][x R 自然也是整环.取R x ∈,2那由2与x 生成的理想为}|2{]}[)(),(|)()(2{),2(01R a a x a x a x R x g x f x xg x f x i n n ∈+++=∈∀+= .下面证明),2(x 不是理想.如果是),2(x 主理想,则)()())((),()(2))((2].[)()),((),2(x f x h x x f x x f x g x f x R x f x f x =⇒∈=⇒∈⇒∈=又但2是零次多项式)(x g ⇒和)(x f 都是零次多项式(是非零常数)即0)(≠=a x f .∴1)(±=⇒=a a x h x .∴),2())((1x x f =∈± 可是1±不可能表成012a x a x a n n +++ 的形式⇒矛盾三.理想的传递性问题.与群中不变子群的传递性一样,理想也存在有类似的问题:设N 是R 的理想,而I 是N 的理想,那么是否有R I例5.易知在整数环Z 中.有Z Z 2,且Z Z 2 ∆而显然Z Z . 例6.设)(,,,|2Z M Z w z y x w z y x R =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛= R Z a a a a a N i ???2|,,4321⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= N Z a a a a a I i ???2|24321⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 但⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛***22214321 za x a w z y x a a a a 中 不能保证212za x a +是4的除数. ∴I 未必是R 的理想.上二例告诉我们.理想有时可以传递,有时不能传递,下面介绍一个能传递的充分条件.结论5.设R N .N I 且N R ∈1那么?R I 证明:R r I x ∈∀∈∀,.则 I x r x r rx N N ∈==)1()1(I r x r x xr N N ∈==)1()1(∴吸收律成立.至于I 是子环是显然, ∴R I注意4.由例5知.结论5中的条件“N N ∈1”上是充分条件而不是必要条件.。
《群与代数表示论》课程大纲
（More）
备注
（Notes）
备注说明：
1.带*内容为必填项。
2.课程简介字数为300-500字；课程大纲以表述清楚教学安排为宜，字数不限。
0
课堂布置
大作业
完成
面谈
Hilbert 基定理
2
课堂讲授与讨论
预习、听课、小结、
习题
预习、听课、小结、
习题
作业
交换环的整性扩张
2
课堂讲授与讨论
预习、听课、小结、
习题
预习、听课、小结、
习题
作业
Hilbert 零点定理
2
课堂讲授与讨论
预习、听课、小结、
习题
预习、听课、小结、
习题
作业
大作业
0
课堂布置
大作业
1.6 特征标表计算举例（3 学时）
对称群 S_4, 交替群 A_4, 二面体群 D_n，8 阶群的特征标表。
1.7 从特征标表读群的结构（4 学时）
体现表示与结构的联系：如何从特征标表读出正规子群、单性、换位子群、中心、可阶性、幂零性等。
大作业布置(对应代码A3, A4, A5, B1, B2, B3, B4, C1, C2, C3,C4)
特征标的定义和 11 条常用性质；单位特征标；正则特征标；特征标表；有限 Abel 群的特征标。
1.4 第一正交关系（2 学时）
第一正交关系的表述和证明并强调其意义；不可约分解的重数、表示等价的判别法、不可约性的判别法。
1.5 分裂域上不可约常表示个数的群论意义（4 学时）
主要定理（群的分裂域上不可约常表示个数等于群的共轭类的个数）的证明； 第二正交关系；举例。
3.1Hilbert基定理（2学时） Hilbert基定理的证明与重要意义。
近世代数主理想环.ppt
（1）
/ (r m)2 (s n)2 1 1 1 1. （2）
44 2
现在令 . 显然 0 N. 于是N 中绝对值最小的非零元，故 0. 从而 ( ).，因此 N () 。
a ( p) ( p) 或 b ( p) ( p) 即 a ( p) 或 b ( p) 亦即 p | a 或 p | b 这说明 K 中的不可约元都是素元。
综上，由定理 4.2.3 知 K 是唯一分解环。
注意：这个定理的逆命题不成立，即一个唯一分解环 不一定是一个主理想环。
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
上课啦！
The class is begin!
第四章 整环里的因子分解
第 28 讲
第四章 整环里的因子分解 §3 主理想环
在这一节和下一节，我们介绍两种特殊的唯一分解 环，那就是主理想环和欧氏环，它们对我们判断一个整 环是不是唯一分解环有一定帮助。
引理 1 设 K 是一个主理想环，若在序列 a1, a2 ,..., ai ,... (ai K ) (1)中， 每个元素都是前一个元素的真因子，则这个序列一定是有限序列。
证明：作主理想 (a1)、(a2 )、(a3 )... 因 ai1 是 ai 的真因子，对这些元素中的每一 个 作 主 理 想 ， 必 得 (a1) (a2 ) (a3) ... ， 令 N (a1) (a2 ) (a3) ... 则 a、b N 及 r K 总有 a (ai ), b (a j ) 其中 i, j 为某两个正整数，假设 i j ， 则 (ai ) (a j ) ，从而 a (a j ) ，于是 a b, ra (a j ) N 因此 N 是 K 的一个理想， 因为 K 是主理想环，所以 N (d) 于是 d N (ak ) 从而 d 属于某个 (an ) 下证 an 是序列(1)中最后一个元素。若不然，设在(1)中还有 an1则由于 d (an ) ， an1 N (d ) 因此 an | d, d | an1 。从而 an | an1 ，这与 an1是 an 的真因子矛盾。
素理想环
正式定义[编辑]∙环R的理想P是素理想，当且仅当它是一个真理想（也就是说，P≠R），且对于R的任何两个理想A和B使得AB⊆P，都有A⊆P或B⊆P。
交换环的素理想[编辑]素理想对交换环有一个较简单的描述：如果R是一个交换环，那么R的理想P是素理想，如果它具有以下两个性质：∙只要a，b是R的两个元素，使得它们的乘积ab位于P内，那么要么a位于P内，要么b位于P内。
∙P不等于整个环R。
这推广了素数的以下性质：如果p是一个素数，且p能整除两个整数的乘积ab，那么p要么能整除a，要么能整除b。
因此，我们可以说：正整数n是素数，当且仅当理想n Z是Z的素理想。
例子[编辑]∙如果R表示复系数二元多项式环C[X, Y]，那么由多项式Y2−X3−X− 1生成的理想是素理想（参见椭圆曲线）。
∙在整系数多项式环Z[X]中，由2和X生成的理想是素理想。
它由所有系数项为偶数的多项式组成。
∙在任何环R中，极大理想是一个理想M，它是R的所有真理想的集合中的极大元，也就是说，M包含在R的正好两个理想内，即M本身和整个环R。
每一个极大理想实际上是素理想；在主理想整环中，每一个非零的素理想都是极大的，但这一般不成立。
∙如果M是光滑流形，R是M上的光滑函数环，而x是M中的一个点，那么所有满足f(x) = 0的光滑函数f形成了R内的一个素理想（甚至是极大理想）。
性质[编辑]∙交换环R中的理想I是素理想，当且仅当商环R/I是整环。
∙环R的理想I是素理想，当且仅当R \ I在乘法运算下封闭。
∙每一个非零的交换环都含有至少一个素理想（实际上它含有至少一个极大理想），这是克鲁尔定理的一个直接结果。
∙一个交换环是整环，当且仅当{0}是一个素理想。
∙一个交换环是域，当且仅当{0}是唯一的素理想，或等价地，当且仅当{0}是一个极大理想。
∙一个素理想在环同态下的原像是素理想。
∙两个素理想的和不一定是素理想。
例如，考虑环，它的素理想为P = (x2 + y2 - 1)和Q = (x)（分别由x2 + y2 - 1和x生成）。
有理整数环
第二学期第十四次课第八章 有理整数环§1 有理整数环的基本概念8.1.1 有理整数环的基本概念全体整数所组成的集合中有两种运算：加法和乘法，而且它们满足下面运算法则：1） 加法满足结合律；2） 加法满足加换律；3） 有一个数0，是对任意整数a ，0a a +=；4） 对任意整数a ，存在整数b ，使0b a +=；5） 乘法满足结合律；6） 有一个数1，是对任意整数a ，1a a ∙=7） 加法与乘法满足分配律：()a b c ab ac +=+；8） 乘法满足加换律；9） 无零因子：如果0,0a b ≠≠，则0ab ≠。
我们把满足上述九条运算性质的代数系统称为有理整数环，并用Z 代表它。
“整除”、“互素”、“倍数”、“因数”、“最大公因数”、“最小公倍数”等概念在小学和中学已介绍，在这里就不再赘述。
现在，我们从抽象的角度对“环”这一代数对象作一概述。
设R 是一个非空集合。
如果在R 的元素之间定义了一种运算，称做加法，即对R 中任意两元素,a b ，都按某法则f 对应于R 内的一个唯一确定的元素，记作a b +，且满足如下运算法则：（i ） 结合律：()()a b c a b c ++=++；（ii ） R 中有一元素0，是对一切0a R a a ∈+=有；（iii ） 对R 中任一元素a ，有0b R a b ∈+=使；（iv ） 交换律：a b b a +=+。
又设R 内另有一种运算称作乘法，即对R 中任意两个元素,a b ，都按某个法则g 对应于R 内一个唯一确定的元素，记作ab ，且满足如下运算法则：（v ） 结合律：()()a bc ab c =；（vi ） 加法与乘法有两方面的分配律：(),(),a b c ab ac b c a ba ca +=++=+ 则R 成为一个环。
如果一个环R 的乘法也满足交换律，则R 称为交换环；如果环R 内存在一个元素e ，使()ae a ea a R ==∀∈，则e 称为R 的单位元素，R 称为有幺元的环；如果环R 内存在两个非零元,a b ，使0ab =，则a （b ）称为左（右）零因子，这时R 称为有零因子环；如果环R 至少包含两个元素，可交换，有幺元，无零因子，则称R 为一个整环； 如果R 是一个整环，且对R 内任一非零元素都有逆元，则R 称为一个域。