第3讲特殊三角形专题复习.docx
特殊三角形复习
特殊三角形复习一：等腰三角形 例1：如图1，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论中正确的有（ ） ①△ACE ≌△BCD ，②BG=AF ，③△DCG ≌△ECF ，④△ADB ≌△CEA ，⑤DE=DG ，⑥∠AOB=60°．A ． ①②③⑤B ． ①②④⑤C ． ①②③⑥D ．①②③④⑤⑥图1 图3二：等腰三角形的性质 例2：如图2，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连结AE ． （1）求证：AE ∥BC ； （2）当AD=AE 时，求∠BCE 的度数．图2例3： 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ，则∠A 的度数是 _________ ．例4：如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ABC 的平分线BG ，交AD 于点E ，EF ⊥AB ，垂足为F ．求证：EF=ED ．拓展：如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，BD 为∠ABC 的平分线，若A 点到直线BD 的距离为a ，则BE 的长为 _________ ．三，等腰三角形的判定例5：等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．例6：如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有_________ 个．例7：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC．四，直角三角形的性质例8：如图，已知：△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足．求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE．例9：已知∠BAC=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，求证：∠AMB=∠DMC．四，直角三角形的判定例10：如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C 、D 、E 在同一条直线上，连接BD 、BE ．把以下所有正确结论的序号都填在写在横线上： _________ ．①BD=CE ； ②∠ACE+∠DBC=45°； ③BD ⊥CE ； ④BE 2=2（AB 2+AD 2）．五，直角三角形全等的判定例11： 在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF ．（1）求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF ；（2）若∠CAE=30°，求∠ACF 的度数．课后练习一．选择题1．如图1，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE=DF ，②∠DAF=15°，③AC 垂直平分EF ，④BE+DF=EF ，⑤S △CEF =2S △ABE ．其中正确结论有（ ）个．A．2 B． 3 C ． 4 D ． 5图1 图2 图3 图42．如图2，OP 平分∠BOA ，∠BOA=45°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD 等于（ ）A 4BCD 2．．．．二．填空题1．如图3，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=4，则DE的长为_________ ．2．如图4，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= _________ 度．3．如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个6×6的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为1个平方单位的直角三角形的个数是_________ 个．4．如图a，P是等边△ABC内任意一点，由P向边BC、AC、AB分别引垂线段PD、PE、PF，AM⊥BC，AM=6cm，则PD+PE+PF= _________ ．图a 图b 图c5．如图b，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC= _________ °．6．如图c，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于_________ ．三．解答题1．已知，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．（1）求证：PE+PF=CH；（2）P为BC延长线上的点时，其它条件不变，求证：PE﹣PF=CH．2．如图：已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，点D是AB上任意一点，AE⊥AB，且AE=BD，DE与AC相交于点F．（1）试判断△CDE的形状，并说明理由．（2）是否存在点D，使AE=AF？如果存在，求出此时AD的长，如果不存在，请说明理由．3．如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，E在AC边上，且AD=AE．（1）若∠BAD=40°，求∠EDC的度数；（2）若∠EDC=15°，求∠BAD的度数；（3）根据上述两小题的答案，试探索∠EDC与∠BAD的关系．4．如图，△ABC是等腰三角形，D、E分别是腰AB及AC延长线上的点，且DG=GE，请证明：BD=CE．5．如图所示，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，点F在边BC上，BF=CF．求证：△DEF是等腰三角形．6．如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．7．如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．求证：DB=DE．8．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管_________ 根．9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AD=AE．10.在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE．求证：AD=CE．11．如图，点D，E分别在AB，AC上，且AD=AE，∠BDC=∠CEB．求证：BD=CE．12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N．求证：AM=AN．13．如图，已知在等边三角形ABC的边AC、BC上各取一点P、Q，且AP=CQ，AQ、BP相交于点O，（1）求证：△ABP≌△ACQ；（2）求∠BOQ的度数．14．如图，P是等边△ABC内一点，∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明．15．已知：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BD平分∠ABC．求证：DC=AD．16．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，求证：BC=BD+AD．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．求证：EC∥AB．18.如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．19．如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．20．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．21．如图，正方形ABCD中，边长为4，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE=BC．求证：AF⊥FE．22．如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．23．已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画出图表示．。
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M
E
A
例4. 如图2-8-6，在△ABC中AB=AC=CB， AE=CD， AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q. 请说明BP=2PQ的理由.
思路 在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30°
证明 ∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°， AE=CD， ∴△BAE≌△ACD ∴∠ABE=∠CAD ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP =∠CAD+∠BAP=60° 又∵BQ⊥AD ∴∠PBQ=30° ∴BP=2PQ 说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方 法值得同学们细心体会。
2 2
D
B
C
E
49 — 3
2、当BC为腰时，设∠B为顶角，分下面几种情况讨论：
（1） 顶角B为锐角时，如图： ∵ AD=1/2BC=1/2AB AD ⊥BC ∴ ∠B= 300 ∴ ∠BAC= ∠C= 1/2（1800﹣300 )= 750
B
D
C
A
（2）当顶角B为钝角时，如图：
D ∵ AD ⊥BC AD=1/2BC=1/2AB ∴ ∠ABD= 300 ∴ ∠BAC= ∠C= 1/2 ∠ABD = 150 B C
互余 。 1 在直角三角形中，两个锐角_______ 两直角边 的平方和等于_______ 斜边 的平方。 2、直角三角形_____________ 如果用字母a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和 2 2 2 b c a 斜边，那么_____+ _____=_____。 较小 两边的平方和等于______ 较大 一边 3、如果三角形中_______ 斜边 所对的角是 的平方，那么这个三角形是直角三角形，________ 直角。 30 度，那么它所对 4、在直角三角形中，如果一个锐角等于 _____ 斜边 的一半。 的直角边等于_________ 斜边的一半 那么这 5、在直角三角形中，如果一条直角边等于___________, 条直角边所对的角等于300。
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特殊三角形复习一、基础知识回顾一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线：1、性质：角平分线上的点到得距离相等2、判定：在角的内部到角两边距离相等的【提醒：1、写出上述定理性质的几何语言；2、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的；3、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对 边是 边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：⑴有一个角是 的三角形是直角三角形⑵有两个角是 的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的 这个三角形是直角三角形一、典型例题1.在等腰△ABC 中，∠A=30°，AB=8，则AB 边上的高CD 的长是 ．2.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是AC 边上的高，则∠DBC 的度数是（ ）A ．18°B ．24°C ．30°D ．36°3.在等腰ABC △中，AB AC ，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．11C ．7或11D ．7或104.已知：如图，下列三角形中，AB=AC ，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）A.①③④B.①②③④C.①②④D.①③5.如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ，则∠A 的度数是 ．6.已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长BC 至E ，使CE=CD=1，连接DE ，则DE= ．7.如图，在△ABC 中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为 ．第6题图D C BA8.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（）个．A．2B．3C．4D．59.已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是__________．10.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式c2－a2－b2＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为__________．11.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度．12.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1B．2C．3D．413.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是．14.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为______.15.如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012=16.已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．(1)如图甲，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；(2)如图乙，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；(3)若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示．17.一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO 和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．（2）特殊位置，证明结论若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC 上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）18.将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．（1）当点P在∠ABC的平分线上时，求DP的长；（2）当点PD＝BC时，求此时∠PDA的度数.二、跟踪训练1.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．cm D．cm2.已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．3.等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为4.已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E 三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．45.如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE 的长度为何？（）A．10 B．11 C．12 D．136.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长．7.如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，且CD，BE相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.8. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为边BC上的任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF的形状，并证明你的结论．9.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．。
特殊三角形专题复习
导 学 过 程 设 计一、看图说话二、知识梳理 复习等腰、等边、直角三角形的性质与判定三、我来闯关探究一:等腰、直角三角形边、角计算1.如果等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为___________.2.如果等腰三角形的一个内角为50°，则其它的底角的度数是___________.3.如果一个等腰三角形的一个内角为100°，则它的顶角的度数是________. 4.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为 ________. 探究二:等腰、直角三角形的性质与判定1.如图1，在△ABC 中，已知∠ABC 与∠ACB 的角分平线相交于点O ，过O 点作DE 平行于 BC 交AB 点D ，交AC 于点E ，已知DE ＝5，则BD+CE ＝________.2.如图2，在△ABC ，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，O 是BC 边的中点，连接OD 、OE 、 DE ，猜想△ODE 是等腰三角形吗？请说明理由。
3.如图3，在五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC ＝DE ，∠B ＝∠E ，F 是CD 的中点，求证：恩江中学数学中考总复习课导学案图3 图1探究三:等腰、直角三角形在平面直角坐标系中的应用1.如图1在平面直角坐标系中，OA=OB=13,点B 在x 轴上，OB ＝10则点A 的坐标是________.2.如图2在平面直角坐标系中，OA=AB=2,点A 在x 轴上，∠OAB＝150°则点B 的坐标是________.3.如图3在平面直角坐标系中，OA=2,OA 与x 轴的夹角是30° ，点P 在坐标轴上运动，若 速度从A 向点B 运动，到达B 点停止，（1）求当点P 运动多少秒时，△ACP （2）求当点P 运动多少秒时，△ACP四、当堂检测 1.如果一个等腰三角形的周长10,其中一边长为4，则它的腰长为_________.2.如果一个等腰三角形的一个外角为50°，则其它的顶角的度数是__________.3.在直角三角形中，已知两直角边分别为3和4，则斜边上的高为__________.五、课堂小结 六、 课后作业 七、教学反思 B。
特殊三角形章节必考点题型归纳
特殊三角形二十个考点归纳总结考点1轴对称图形的识别解决此类问题关键是掌握如果一个图形沿一条直线折丧，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴 对称图形.例题1 2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情.一方有难，八方支援，全国多家医院纷纷选派医护人员 驰援武汉.下面是四家医院标志的图案部分，其中图案部分是轴对称图形的是（ ）功盘 ⑥曲A.协和医院B.湘雅医院C.齐鲁医院D.华西医院【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可.【解析】工、不是轴对称图形，故此选项不合题意：不是轴对称图形，故此选项不符合题意：C 、是轴对称图形，故此选项符合题意；。
、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C.变式1 下列交通指示标识中，是轴对称图形的有（ ）【分析】根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合解答.【解析】第一、二、四个图形是轴对称图形，第三个图形不是轴对称图形，故选：C.【小结】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合. 变式2 下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（ ）A A ® A 当心辐射I I 当心感染I I 必须戴防护手套］I 小心腐蚀A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个A.1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可.【解析】第一个图案和第二个图案是轴对称图形，第三个图案和第四个图案不是轴对称图形，则不是轴对称图形的有2个，故选：B.【小结】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念.变式3 下列图形中，是轴对称图形的有（）个.①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案.【解析】①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形中只有平行四边形不是轴对称图形.故轴对称图形有6个.故选：C.【小结】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的定义是解题关键.考点2轴对称的性质与运用轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等.例题2 如图，尸为内一点，分别画出点尸关于。
特殊三角形(直角三角形)人教版(含答案).docx
学生做题前请先回答以下问题问题1:问题2：30。
角所对的直角边是直角三角形斜边上的中线等于BC = -AB问题3：已知：如图，在RtA ABC中，ZC=90°, ZA=30°.求证：2.你是怎么思、考的？特殊三角形（直角三角形）人教版一、单选题（共9道，每道□分）2.如图,在RtA ABC中，ZACB=90°, AB=4, CD是AB边上的中线,则CD的长为（A.lB.2C.3D.8答案:B解题思路：在Rt△九BC中，Z.4C5=90°, CD是九8边上的中线, 可知CD = ^AB f '：AB=4, ；・CD=2・故选B.试题难度：三颗星知识点：直角三角形2.如图是屋架设计图的一部分，其中ZA=30°,点D 是斜梁AB 的中点，BC, DE 垂直于横梁 AC, AB=16m,则 DE 的长为（ ）答案:B解题思路：•：BC, QE 垂直于横梁川C,・•・乙DEA=/BCA=9y,・・・D 为斜梁九8的中点，九8=16,・•・ ZD = ±13=1x16 = 8, 2 2在 Rt △且DE 中，Z.4=30°, AD=8・•・ Z)£=l.W=-x8 = 4(m)・ 2 2故选B.3.如图，在RtA ABC 中，ZACB=90°, D 是AB 的中点，过点C 作EF 〃AB, 若ZBCF=35°,则ZACD 的度数是（）A.65°C.45°D.35°难度：三颗星知识点：直角三角形A.2mB.4mC.6mD.8mB.55°答案：B解题思路：\'EFl)AB f・•・乙B=ZBCFT 乙BCF=3T・・・Z5=35°在RtAACB中，仞是斜边•站上的中线/. CD=BD•I ZBCD=/B=35。
•・• Z-4C5=90°・•・ZACD=ZACB-ZBCD=55O故选B・试题难度：三颗星知识点：直角三角形4.如图，在△ABC44, ZA=60°, BE±AC,垂足为E, CF丄AB,垂足为F, BE, CF交于点M.若CM=4, FM=5,则BE 等于（）A.14B.13C.12D.9答案：C解题思路：如图,答案:C 解题思路:\'BE1AC, CF1AB, ・・・ZQFW90。
初中数学特殊三角形复习讲义
等边”）．
数学语言：在△ABC 中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
要点诠释：
等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化
全国热线：400-0541-099
2
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为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相
类型六：直角三角形的性质运用 1、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，AD⊥BE 于 D， 下列结论：①AC﹣BE=AE；②点 E 在线段 BC 的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD， 其中正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
性质 2 用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
４.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情
况只有一条对称轴．
要点三、等腰三角形的判定
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对
授课标题 特殊三角形复习
1、熟记并理解运用特殊三角形的判定和性质 学习目标 2、准确运用性质进行分类讨论
3、掌握直角三角形的补充性质并灵活运用 三线合一的运用 重点难点 分类讨论问题
教学负责人签字处
1
学习，为了追寻更好的自己！
本次课课堂教学内容
一、知识点梳理
要点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，
------特殊三角形专题复习课
若∠BAC=n°,则∠CBD=__2___ (0°<n°<180°)
由以上的结论，你能猜想出∠CBD与∠BAC的数量关系吗？ CBD1BAC 2
你能验证上题的猜想吗？
△ABC中，AB=AC, BD⊥AC于D.
说明: CBD1BAC
2
角
形
形
等腰、直角来转化， 三线合一 常用到， 斜边中线 巧用好， 倍分方法 要悟道。
谢 谢 大 家
如图，AD∥BC，∠ADC和∠DCB的平分线 交AB于点E，试说明：E是AB中点
A
D
E
F
B
C
如图，已知OA平分∠BAC，∠1=∠2，试 说明△ABC是等腰三角形
A
O
B
1
2 C
谢谢你的阅读
知识就是财富 丰富你的人生
A
A
A
C
BC
BC
B
BAC为锐角 BAC为 2
2 CB DBAC
F
E
E
2
如图，△ABC中，AD平分∠BAC交CF于点E,AD⊥BC 于点D. AF=CF,∠AFC=90°
试说明： 2CDAE
A
F E
C
D
B
请你来说说
等
三线合一
直
腰
角
三
三
角 斜边上的中线
从剪纸中想到的……
------特殊三角形专题复习课
你的朋友 江卫华
课前独白： 1. 不是很容易； 2. 不同的方法； 3. 不同的视角；
1 2
等腰三角形
两个全等直角三角形
两个等腰三角形
2
在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=40°, BD⊥AC于D，求∠CBD的度数。
中考数学一轮复习课件 特殊三角形
一个角是 ① 60° 等边三角形 判定 两个角是 ② 60°
的等腰三角形是等边三角形 的三角形是等边三角形
特
三个角 ③ 相等 的三角形是等边三角形
殊 三
面积:等边三角形的面积为
3 4
×边长的平方
角
直角三角形的两个锐角④ 互余
形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的⑤ 一半 性质
勾股定理:直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和
线段的垂直平分线 性质:线段垂直平分线上的点到线段的两端点的距离⑨ 相等
判定:与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
性质:角平分线上的任意一点到角的两边距离⑩ 角平分线
相等
判定:角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
考点一等腰三角形的性质和判定[10年6考]
典例1 如图,在△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB
考向2 等边三角形的性质和判定 2.如图,在等边△ABC的边BC上任取一点D,作 ∠ADE＝60°,DE交∠ACB的外角平分线于点E.求证:△ADE 是等边三角形.
【答案】过点D作DP∥AC交AB于点P. 易得△BDP为等边三角形,BD＝BP,∴AP＝CD. ∵∠ADP＋∠DAP＝∠BPD＝60°, ∠ADP＋∠EDC＝180°－∠BDP－∠ADE＝60°, ∴∠DAP＝∠EDC.
等腰三角形的两底角相等,简称“等边对等角”
性质 等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的平分线相互重合,简称“三线合一”
等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线所在的直线是它的对称轴
有两边相等的三角形是等腰三角形 判定
有两个角相等的三角形是等腰三角形,简称“等角对等边”
等腰三角形
性质:三边都相等,三个角都是 60° 定义:三边相等的三角形是等边三角形
特殊三角形的复习
〔A〕30°〔B〕40°〔C〕45°〔D〕60°4．等腰△的顶角∠A＝20°，P是△内部的一点，且∠＝∠，那么∠的度数为〔〕〔A〕100°〔B〕130°〔C〕115 °〔D〕140°5．在△中，，∠B＝36°，D、E在边上，且与把∠三等分，那么图中共有等腰三角形的个数〔〕〔A〕3 〔B〕4 〔C〕5 〔D〕66．如图，在△中，，，，那么∠A等于〔〕〔A〕30°〔B〕36°〔C〕45 °〔D〕54°7．等腰△中，，⑴假设6，那么△的周长的取值范围是；⑵假设6，那么△的周长的取值范围是；8．等腰△中，，假设其周长为20㎝，那么的取值范围是；的取值范围是。
9．假设等腰三角形的两边长分别为3、5，那么该等腰三角形的周长为。
10．假设等腰三角形有一个角为50°，那么另两个角分别为。
11．等腰三角形周长是29，其中一边是7，那么等腰三角形的底边长是。
12．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米与11厘米两局部，那么此三角形的底边长为 .13．假设等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的底角为度。
14．假设等腰三角形的底角为15°，腰长为2，那么腰上的高为15．如果，等腰三角形的一个外角是125°，那么底角为度；16．等腰三角形两个内角及它们不相邻的外角之与等于260°，那么它的顶角度数为类型三：“三线合一〞及其应用例1．如图△中，＝，∠A ＝36°，平分∠，⊥于E ，假设＝4，且△周长为24，求的长度。
例2．△中，，D 、M 分别为、的中点，E 为延长线上一点，且，求证：〔1〕∠∠；〔2〕例3．如图，在△中，∠A ＝90°，且，平分∠交于F ，过C 作的垂线交于E ，求证：A BC E D21例4．如图，在△中，平分∠，⊥于点D，∥交于点E，求证：()AB-BC2类型四：等腰〔边〕三角形的判定及其应用例1．如图，P是△内一点，且∠1=∠2=∠45°，求证：.1．直角三角形的两边长分别是6，8，那么第三边的长为〔 〕。
2024年特殊三角形复习浙教版标准课件
2024年特殊三角形复习浙教版标准课件一、教学内容本节课我们将复习浙教版数学教材中关于特殊三角形内容，具体包括第九章“几何图形与证明”中第三节“特殊三角形”。
详细内容涉及等腰三角形性质、等边三角形判定与性质、直角三角形勾股定理及其应用。
二、教学目标通过本节课学习，使学生能够：1. 熟练掌握等腰三角形、等边三角形判定与性质；2. 熟练运用勾股定理解决直角三角形相关问题；3. 提高学生几何图形识别能力，培养学生逻辑思维和空间想象能力。
三、教学难点与重点教学难点：特殊三角形性质应用。
教学重点：等腰三角形、等边三角形判定与性质，勾股定理应用。
四、教具与学具准备教具：三角板、直尺、圆规、多媒体课件。
学具：三角板、直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示一些生活中常见特殊三角形实物，如等腰三角形屋顶、等边三角形装饰品等，引导学生发现其中特殊三角形。
2. 例题讲解：（1）等腰三角形性质：通过一个等腰三角形，讲解两边相等、两角相等、高、中线、角平分线重合性质。
（2）等边三角形判定与性质：通过一个等边三角形，讲解三边相等、三角相等、高、中线、角平分线重合性质。
（3）勾股定理：以一个直角三角形为例，讲解勾股定理及其应用。
3. 随堂练习：针对例题内容，设计一些练习题，让学生当堂完成，巩固所学知识。
4. 小组讨论：将学生分成小组，针对一些特殊三角形性质和应用问题进行讨论，培养学生合作意识。
六、板书设计1. 等腰三角形性质2. 等边三角形判定与性质3. 勾股定理4. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目：（1）已知等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，求该三角形高。
（3）已知直角三角形两条直角边长分别为3cm和4cm，求斜边长。
2. 答案：（1）高为12cm。
（2）①是等边三角形；②不是等边三角形。
（3）斜边长为5cm。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对特殊三角形性质和应用掌握情况较好，但部分学生在解决问题时对性质应用还不够熟练，需要在课后加强练习。
《特殊三角形》全章复习与巩固 知识讲解(提高)
《特殊三角形》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1．认识轴对称图形的基本特征；掌握判断轴对称图形的方法，并能正确画出简单的轴对称图形；2. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；3．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，并能判断命题的真假；4．了解尺规作图的常用工具；理解并掌握线段垂直平分线定理的逆定理、角平分线性质的第二个定理，并能够熟练地应用它们；5．理解直角三角形的概念及性质的广泛应用，掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用. 领会直角三角形中常规辅助线的添加方法．6．掌握勾股定理及其勾股定理的逆定理的内容及应用，学会用勾股定理解决简单的几何问题，应用勾股定理的逆定理来判断直角三角形．7.理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜边，直角边”（即“HL”）判定两个直角三角形全等；【知识网络】【要点梳理】要点一、图形的轴对称1.图形轴对称的定义及其性质如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这两个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段.图形的轴对称：一般的，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形是全等形.2.利用轴对称的性质求两点之间的最短距离已知点A,B（A,B）在直线的同侧，和直线a,在直线上求作一点C，使AC+BC的距离和最小.作法：1.作点A关于直线a的对称点A′；2.连接A′B,交直线a与点C;3.连接AC.点C就是所求作的点.下面给出证明：设P是直线a上任意一点，连结AP，A′P．由作图知，直线a垂直平分AA′，则AC=A′C，AP=A′P（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．．．．AP+BP=A′P+BP≥A′B，A′B=A ′C+BC=AC+BC，即AP十BP≥AC+BC，所以沿折线A-C-B的路线行走时路程最短．要点诠释：1.轴对称图形与图形的轴对称是两个不同的概念，轴对称图形是指一个图形的两个部分，也就是说，一条直线把一个图形（一个等腰三角形）分成两个部分，这两个部分之间的关系；而图形的轴对称是指两个图形之间的关系，比如两个全等的等腰直角三角形.2.对称轴的实质是一条直线，向两方无限延伸的.3.两点之间的最短距离要分情况讨论，看这两点是否在某一条直线的同侧还是异侧. 要点二、等腰三角形及等边三角形的性质与判定1.等腰三角形的定义及其对称性有相等两边的三角形叫做等腰三角形.三边相等的三角形叫做等边三角形.等腰三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，就是顶角的平分线或是底边的高、中线.等边三角形也是轴对称图形，对称轴有三条，等边三角形是特殊的等腰三角形.2.等腰三角形的性质与判定定理性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“在同一三角形中，等边对等角”）．推论：等边三角形的各个内角都等于60°；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角（简称“在同一三角形中，等角对等边”）.等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：等腰三角形的性质与判定定理是三角形中边与角之间相互转化的重要依据，性质定理是由边的相等得出角的相等，判定定理是由角的相等得出边的相等..等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点三、尺规作图，命题、定理与逆命题、逆定理1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.命题与逆命题判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题；（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分；（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.3.定理与逆定理如果一个命题是真命题（正确的命题），那就可以称它为定理.如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理.要点诠释：一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.4.角平分线性质的第二个定理角的内部,到角两边的距离相等的点,在这个角平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；第二个性质定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.5.线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理的逆定理逆定理：到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上．要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点四、直角三角形性质及判定直角三角形的性质性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.性质定理2：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.性质定理2的逆命题也同样正确，在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点五、勾股定理及其逆定理1.勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系；（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.2.勾股定理逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点六、判定直角三角形全等的一般方法和全等的特殊方法——斜边，直角边定理由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。
数学人教版八年级上册特殊三角形复习课
特殊三角形复习课一、知识点回顾（一）等腰三角形的性质与判定1.性质(1)等腰三角形的两个底角相等。
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
2.判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形:1 , 三个角都相等的三角形是等边三角形。
2 , 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
3 , 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（二）等腰三角形性质与判定的应用1、计算角的度数利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。
（1）已知角的度数，求其它角的度数（2）已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）2、证明线段或角相等以等腰三角形为条件时的常用辅助线:如图：若AB=ACA12B CD（1）作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC（2）若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC （3）作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.二、例题分析例1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。
分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程……已知：线段a、h求作：△ABC ，使AB=AC=a ，高AD=h 作法：1、作PQ ⊥MN ，垂足为DABCDahABCD M Nha PQ2、在DM 上截取DA=h3、以点A 为圆心，以a 为半径作弧，交PQ 于点B 、C4、连结AB 、AC则△ABC 为所求的三角形。
例2.如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 与CE 相交于M 点。
浙教版八年级三角形及特殊三角形总复习
浙教版八年级三角形及特殊三角形总复习三角形是初中数学中的重要内容，而特殊三角形更是具有独特的性质和应用。
在八年级的数学学习中，我们深入研究了三角形及特殊三角形的相关知识。
接下来，让我们一起进行一次全面的总复习。
一、三角形的基本概念三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
这三条线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
三角形按边分类，可以分为不等边三角形和等腰三角形（等边三角形是等腰三角形的特殊情况）；按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
二、三角形的性质1、三角形的内角和为 180°。
这是三角形的一个基本性质，可以通过多种方法进行证明，如拼图法、平行线法等。
2、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
外角和为360°。
3、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这一性质在判断三条线段能否组成三角形时非常有用。
三、三角形的全等1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
3、全等三角形的判定方法：SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
四、特殊三角形1、等腰三角形定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
性质：等腰三角形的两腰相等。
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
判定：有两边相等的三角形是等腰三角形。
有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
《特殊三角形》期末复习资料
期末总复习
第一页，编辑于星期四：十六点 二十八分。
第一部分：等腰三角形
A
21
顶角
腰
底角 底角
B 底D边
C
第二页，编辑于星期：等腰三角形的两腰相等。 (2)角：等腰三角形的两个底角相等。(在同一个三角形中,等边对等角)
(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线是它的对称轴. (4)重要线段：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高
A、b2=a2-c2
B、 ∠C=∠A-∠B
C、∠A：∠B：∠C=3：4：5
D、a:b:c=12:9:15
2、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是：（
A、一条直角边和一个锐角分别相等
）
A
B、两条直角边对应相等
C、斜边和一条直角边对应相等
D、斜边和一个锐角对应相等
第三十二页，编辑于星期四：十六点 二十八分。
例3、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°AB=4， BC=3,AD=12， DC=13 ， 求四边形ABCD的面积
解: 连接AC ∵∠B=90°,AB=4,BC=3 ∴AC=5 ∵AD=12,DC=13
D A
S 4、如A∴图C∠2已C+知AAD四D=2边9=0形°CADB2CD四中边，形∠AAB=C60D°= ∠_21×B=3∠×4D＋=_2190×°5×，1B2C=3=63，CDB=2，求
例2. 已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成 2:1两部分，已知三角形底边长为5，求腰长？
Ａ
解：如图，令CD＝x，则AD＝x，AB
x ＝2x
2x
Ｄ
∵底边BC＝5
∴BC＋CD＝5＋x
x
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特殊三角形专题复习
【构造等腰三角形解题的常见途径】
一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形
当一个三角形中岀现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图1①中，若4D 平分 ZB4C, AD//EC,则/VICE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分ZBAC, DE//AC,则ZVIDE 是等腰三 角形；如图1③中，AQ 平分ZBAC, CE//AB,则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分ZBAC, EF //AD,则ZV1GE 是等腰三角形.
例2如图3,在△ABC 中，ZBAC 、ZBCA 的平分线相交于点0,过点。
作DE 〃人C,分别交4B 、BC 于点ZX E.试猜想线段AD. CE 、DE 的数量关系，并说明你的猜想理由.
例3 如图4, AABC 中，AD 平分ABAC, E 、F 分别在3£＞、AD 上，且DE=CD
求证：EF//AB ・
例1 如图2, /XABC 中，AB=AC,在AC _k 取点P,过点P 作EF 丄BC,交 BA 的延长线于点E,垂足为点F.求证：AE=AP.
B
C B
图1
二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图5 中，若AD平分
ZBAC, AD丄DC,则ZVIEC是等腰三角形.
例 4 如图6,已知等腰Rt/\ABC中，AB=AC, ZBAC=90° , BF 平分ZABC, CD 丄BD交BF的延长
线于D.求证：BF=2CD.
A
三、利用转化倍角，构造等腰三角形
当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形.如图7①中，若Z4BC=2ZC,如果作3D平分ZABC.则是等腰三角形；如图7②中，若Z4BC=2ZC, 如果延长线CB到D 使连结AD,则△4DC是等腰三角形；如图7③中，若kB=2ZACB,如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作ZACD=ZACB,交BA的延长线于点D,则△DBC是等腰三角形.
例 5 如图8,在△ABC 中，ZACB=2ZB, BC=2AC.求证：ZA=90°・
四、模拟画图例6已知在如图1的ZLABC中，AB=AC, ZA=36°,
仿照图1，请你再用两种不同的方法，将AABC分割成3个三角
形，使每个三角形都是等腰三角形（图2、图3供画图用，作图工
具不限，不要求写出作法，不要求证明，但要标出所分得每个等腰
三角形的内角度数）
.
图8
图1图3
【学力训练】一、基础夯实1.
（第2
题）2.
（第3题）
沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三
3.
4.
（第1题）
如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，
角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是_____________ •
如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻2008次，点P依次落在点Pi，P2，P3，…, 卩2（）08的位置，则点^2（X）8的横坐标为___________ •
将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方
法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结杲如下表：
所剪次数1234•
•
n
正三角形个数471013•
•
a n
则a n=（用含n的代数式表示）.
5. 如图，在四边形ABCD中，AB=8, BC=1, ZDAB=30° , ZABC=60°,四边形ABCD的面积为5^3 , 求AD的长.
B
6.已知：如图，AB二AC, BD丄AC,垂足为点D。
求证：ZDBC=1 ZA.
2
D
B
二、提高训练：
7.若a、b、c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是力，给出下列结论：
①以c2的长为边的三条线段能组成一个三角形
②以肠，丽，的长为边的三条线段能组成一个三角形
③以a + b, c + h, h的长为边的三条线段能组成直角三角形
④以丄，丄的长为边的三条线段能组成直角三角形
a b c
其中所有正确结论的序号为________________ .
8.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结用、PB、PC,以BP为边作等边三角形BPM,连结CM.
(1)观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；A
(2)若FA二PB二PC,则APMC是三角形；
若PA:PB:PO\ :迈：翻,试判断的形状，并说明理由.
9.(2008杭州)如图，在等腰AABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC于点E,连接BP交4C于点F.
(1)证明：ZCAE = ZCBF；
(2)证明：AE = BF；
(3)以线段AE, BF和AB为边构成一个新的三角形ABG (点E与点F重合于点G ),记厶ABC和△ABG的面积分别为S△仙。
和S△磁，如果存在点P，能使得S△初c=S△磁，求ZC的収值范围.
H
（第9
题）。