因式分解的八个注意事项及课本未拓展的五个的方法

因式分解的“八个注意”事项及

“课本未拓展的五个的方法”

一、“八个注意”事项

（一）首项有负常提负

例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。

解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）

这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止出现诸如－a2－b2=（－a+b）（－a－b）的错误。

（二）各项有公先提公

例2因式分解8a4－2a2

解:8a4－2a2=2a2(4a2－1)=2a2(2a+1)(2a－1)

这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。防止出现诸如4a4-a2=（2a2+a）(2a2-a）而又不进一步分解的错误.

（三）某项提出莫漏1

例3因式分解a3-2a2+a

解：a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2

这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如a3-2a2+a=a(a2-2a) 的错误。

（四）括号里面分到“底”。

例4 因式分解x 4－3x 2－4

解：x 4+3x 2－4＝（x 2＋4）（x 2－1）＝（x 2＋4）（x ＋1）（x －1）

这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。如上例中许多同学易犯分解到x 4+3x 2－4＝（x 2＋4）（x 2－1）而不进一步分解的错误。

因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤是一脉相承的。

（五）各式之间必须是连乘积的形式

例5 分解因式x 2

－9+8x= 解：x 2－9+8x=x 2

+8x －9=(x －1)(x+9) 这里的“连乘积”，是指因式分解的结果必须是几个整式的连乘积的形式，否则不是因式分解。 有些同学只注意到前两项运用平方差公式，得（x+3）(x －3)+8x 。结果从形式上看右式不是乘积形式，显然是错误的。正解应是：原式= x 2

+8x －9=(x －1)(x+9) （六）数字因数在前，字母因数在后；

例6因式分解 x x x 2718323+-

解：x x x 2718323+-=3x(x 2-6x+9)=3x(x-3)2这里的“数字因数在前，字母因数在后”，指分解因式中不能写成x x x 2718323+-=x3(x 2-6x+9)= x3(x-3)2

（七）单项式在前，多项式在后；

例7因式分解33xy y x -

解：33xy y x -=xy(x 2-y 2)=xy(x+y)(x-y) 这里的“单项式在前，多项式在后”，指分解因式中不能把单项式写在后面，即不能写成33xy y x -= (x 2-y 2) xy = (x+y)(x-y) xy

（八）相同因式写成幂的形式；

例8因式分解x 4y-x 2y 3

解：x 4y-x 2y 3=x 2y(x 2-y 2)=x 2y(x+y)(x-y) 这里的“相同因式写成幂的形式”，指分解因式中不能相同的因式写成乘的形式，而应该写成幂的形式，即不能写成x 4y-x 2y 3

=x 2y(x 2-y 2)= xxy(x+y)(x-y)； 二、课本未拓展的五个的方法

以下五个方法是因式分解中比较难的一些，需要大家熟练掌握因式分解基本方法：（1）提公因式；（2）公式法：平方差公式，完全平方公式及常用公式；（3）十字相乘。只有熟练掌握了以上三种方法，你才能更好的理解这五种拓展方法。

（一）巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

例1、因式分解 32422+++-b a b a

解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），

则32422+++-b a b a =)12()44(14242

222+--++=-+++-b b a a b a b a =)3)(1()1()2(2

2+-++=--+b a b a b a 例2、因式分解 611623+++x x x

解析：根据多项式的特点,把26x 拆成2242x x +；把x 11拆成x x 38+

则611623+++x x x =)63()84()2(2

23+++++x x x x x =)3)(2)(1()34)(2()2(3)2(4)2(2

2+++=+++=+++++x x x x x x x x x x x （二）巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

例3、因式分解444y x +

解析：根据多项式的特点,在444y x +中添上2

2224,4y x y x -两项， 则444y x +=2

222224224)2()2(4)44(xy y x y x y y x x -+=-++ =)22)(22(2

222y xy x y xy x +-++ 例4、因式分解 4323+-x x

解析：根据多项式的特点，将23x -拆成224x x +-，再添上x x 4,4-两项，则

4323+-x x =4444223+-++-x x x x x

=)1)(44()44()44(2

22++-=+-++-x x x x x x x x =2

)2)(1(-+x x （三）巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。

例5、因式分解24)6)(43(22+---+x x x x