蔡氏电路的仿真研究_叶昕
蔡氏电路中非线性电阻的实验实现汇总
蔡⽒电路中⾮线性电阻的实验实现汇总引⾔蔡⽒电路是美国贝克莱(Berkeley) ⼤学的蔡少棠教授(L eon. O. Chua) 设计的能产⽣混沌⾏为的最简单的⾃治电路, 该典型电路并不唯⼀, 最初发现的蔡⽒电路实际上是同性质的某⼀族电路中的⼀个，这类电路被命名为“蔡⽒振荡器”, 从⽽将这⼀普适性电路与最初定义的“蔡⽒电路”加以区别⽒电路在⾮线性系统及混沌研究中占有极为重要的地位[2]。
在蔡⽒电路的分析及实验研究中, 为电路建⽴⼀个精确的试验模型, 从⽽观察混沌现象并定量分析它, 这⼀点⼗分重要, ⽽其中, ⾮线性电阻的试验电路的实现这⼀环节是⼀个关键。
实现蔡⽒电路中⾮线性电阻的⽅法很多，本⽂采⽤的是运放加双⼆极管的电路来实现，这个实现电路是⼀个压控型电路，即其电流是输⼊电压的⼀个单值函数，从⽽测量出⼀定电压范围内每个输⼊电压对应的电流⼤⼩．本⽂就蔡⽒电路中⾮线性电阻，建⽴了等效的硬件电路模型，并对其电路进⾏了测试和PSPICE软件的仿真，得到了该电路的伏安数据。
⽽且从数据上得出了该电路伏安特性性是⾮线性的，并对⽐了软件仿真数据和硬件测试数据，给出了详细的误差分析，从⽽为蔡⽒混沌现象和其它理论研究奠定了理论基础。
1 ⾮线性电阻电路在电路系统中，如果元件的参数与其电压或电流有关，就称该元件为⾮线性元件，含有⾮线性元件的电路称为⾮线性电路。
实际电路元件的参数总是或多或少地随着电压或电流⽽变化, 所以、严格说来,⼀切实际电路都是⾮线性电路。
但是,在⼯程计算中,特别是对于那些⾮线性程度⽐较微弱的电路元件作为线性元件来处理, 不会带来本质上的差异, 从⽽将会简化电路分析。
但是,对于许多本质因素具有⾮线性特性的元件,如果忽略其⾮线性特性就将⽆法解释⾮线性电路所发⽣的物理现象;可能导致计算结果与实际量值相差太⼤⽽⽆意义, 甚⾄可能还会产⽣本质的差异。
由于⾮线性电路本⾝固有的特殊性,分析研究⾮线性电路具有极其重要的⼯程物理意义。
蔡氏电路
（1）
非线性负阻 蔡氏电路示意图 （截自实验中心讲义）
f(U1)是分段函数，每一段是线性 函数，但整体呈非线性 分别在上区、中区、下区考虑方 程组（1）的特性（此时分别为 线性微分方程组），然后再联合 起来考虑
上区
上区
中区
中区
中区
下区
下区
整体（双吸引子）
整体（双吸引子）
整体（双吸引子）
整体（单吸引子）
整体（单吸引子）
整体（单吸引子）
混沌的特性：初值敏感性
R=2000Ω 双吸引子
初值分别为： [I3, U2, U1](T=0)=[0.001, 0, 0](蓝线）； [I3, U2, U1](T=0)=[0.001+10^-10, 0, 0](红线）； 作U1随T的时序图
混沌的特性：初值敏感性
混沌的特性：初值敏感性
R=2105Ω
[I3, U2, U1](T=0)=[0.001, 0, 0]
混沌的特性：初值敏感性
R=2105Ω
[I3, U2, U1](T=0)=[-0.0析
蔡氏电路
I3、U2、U1张成一个 三维相空间，相空间 中的轨迹（I3（t）， U2（t），U1（t）） 描述电路的状态变化， 称为相图 U2 U1
I3
实验中通过调节电阻 R来得到不同参数下 的相图，反映电路不 同的变化规律
非线性负阻 蔡氏电路示意图 （截自实验中心讲义）
非线性负阻的伏安特性
蔡氏电路现象及分析蔡氏电路蔡氏电路示意图截自实验中心讲义非线性负阻u2u1i3i3u2u1张成一个三维相空间相空间中的轨迹i3tu2tu1t描述电路的状态变化称为相图实验中通过调节电阻r来得到不同参数下的相图反映电路不同的变化规律非线性负阻的伏安特性ga761041gb4091041e165v参考值典型相图双吸引子三维相图二维相图典型相图单吸引子三维相图二维相图典型相图单周期三维相图二维相图典型相图不动点三维相图二维相图非线性负阻蔡氏电路示意图截自实验中心讲义u2u1i3分析方法fu1是分段函数每一段是线性函数但整体呈非线性分别在上区中区下区考虑方程组1的特性此时分别为线性微分方程组然后再联合起来考虑dtdudtdudtdi上区上区中区中区中区下区下区整体双吸引子整体双吸引子整体双吸引子整体单吸引子整体单吸引子整体单吸引子混沌的特性
蔡氏电路MATLAB混沌仿真
蔡氏电路的Matlab混沌仿真研究班级：姓名：学号：摘要本文首先介绍非线性系统中的混沌现象，并从理论分析与仿真计算两个方面细致研究了非线性电路中典型混沌电路，即蔡氏电路反映出的非线性性质。
通过改变蔡氏电路中元件的参数，进而产生多种类型混沌现象。
最后利用软件对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，实现了双涡旋和单涡旋状态下的同步，并准确地观察到混沌吸引子的行为特征。
关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真AbstractThis paper introduces the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’s circuit was a typical chaos circuit, thus theoretical analysis and simulation was made to research it. Many kinds of chaos phenomenon on would generate as long as one component parameter was altered in Chua’s circuit．On the platform of Matlab, mathematical model of Chua’s circuit was programmed and simulated to acquire the synchronization of dual and single cochlear volume. Meanwhile, behavioral characteristics of chaos attractor were observed.Key words：chaos phenomenon；Chua’s circuit；Simulation1、引言混沌理论的基本思想起源于20世纪初，完善于20世纪60年代后，发展壮大于20世纪80年代，被认为是继相对论、量子力学之后，人类认识世界和改造世界的最富有创造性的科学领域第三次大革命。
非线性电路分析-蔡氏电路仿真
蔡氏电路
电路由 1 个线性电感 L、 2 个线性电容 C1、 C2，1 个线性电阻 R0，1 个非线性电阻 R 构成，为三阶自治动态电路， 即分为 LC 振荡电路、 RC 分相电路和非线性元件三部分。电阻 R0 起调节 C1、 C2 的相位差。 非线性电阻 R 为分段线性电阻， 伏安特性 iR= g( uR) ，如图 2 所示。
参考文献
[1]吴淑花, 孟玮德, 马志春. 蔡氏电路的实验与仿真研究[J]. 石 家庄学院学报, 2019(6). [2]戚慧珊, 杨明健, 刘百钊,等. 蔡氏混沌电路实验的改进设计 [J]. 大学物理实验, 2019, 32(02):69-7 [3]吕恩胜, 黄双成. 蔡氏电路的等效电路设计及其应用[J]. 电子 器件, 2014, (5):891-895.4.
基于Multisim的蔡氏电路 混沌现象仿真研究
混沌现象
自治电路：不包含随时间变化的激励信号的电路 非自治电路：包含随时间变化的激励信号的电路
混沌是一种确定系统中出现的貌似不规则的有序运动
混沌电路：由确定性运动方程所描述的确定性电路，由直流或确定 性信号所激励，其输出波形中包含一段或多端连续频谱的电路
先将 R7 调到最大(2kΩ)，然后逐渐减小 R7 的值，观察 R7 在减小的过程 中各个示波器的波形变化。
单周期，R7=1960Ω
双周期，R7=1760Ω
单漩涡，R7=1680Ω
双漩涡，R7=1520Ω
极限环，R7=1320Ω
总：利用Multisim可以直观的观察电路结构，更好的分析仿真结果
根据文献[1]， 图 1 中非线性电阻 R 的等效电路可由图 3 所示的电路并 联得到， 等效电路如图 5 所示，为 有源负阻非线性电阻，其作用是使 振动周期生分岔和混沌等一系列非 线性现象。
变形蔡氏电路的混沌仿真研究
始值 固定 ，系统参数取不 同值的时候 ，随着参数的变化 ，系统的混沌吸引子也会有不 同的变
化。
关键 词 ：变形蔡 氏电路 ；混沌 ；稳 定性 分析 中 图分类 号 ： ４ ５ ５ Ｏ １ ． 文献 标识 码 ： Ａ 文章 编号 ：６ ３—０ ６ （ ０ １ ０ ０ ２ ０ １７ ５ ９ ２ １ ） １— ０ ７— ４
Ａｂｓｒ ｃ ：Ｔｈ ｉ ｅ ｒｓａ ｌｔ ｎ ｌｓｓｏ ｈ ｉ ｅ ｕ Ｓｃ ｒ ｕｔｈ ｓ ｂ ｅ ｄ ｔａ ｔ ｅ ｌｎ ａ ｔｂｉ ｙ ａ ａ ｙ ｉ ｆｔ ｅ ｍｄｆ ｄ Ｃｈ ａ’ ｉｃ ｉ ａ ｅ ｎ ｍａ ｅ，ａ ｄ ｔ ｅ ｐｒｐｅｔ ｆ ｉ ｉ ｎ ｈ ｏ ｒｙ ｏ ｂ ｌｎ ｅ ｐ ｉ ｔｈ ｓ ａｓ ｅ ｎ ｇｖ ｎ Ｔｈ ｈ ｏｉ ｈ ｎ ｍｅ ｎ ｒ ｐ ｒｉ ｓ ｏ ｅ ｓ ｓｅ ｈ ｖ ｅ ｎ ｓｕ ｉｄ ａ ａ ｃ ｏ ｎ ａ ｌｏ ｂ ｅ ｉｅ ． ｅ ｃ ａ ｔｃ ｐ ｅ ｏ ｎａ ａ ｄ ｐ ｏ ｅ ｔｅ ｆ ｔ ｙ ｔ ｍ ａ ｅ ｂ ｅ ｔ ｄ ｅ ｈ ｔ ｒ ｕ ｈ ｔ ｏ ｕ ｅ ｉ ｌｔ ｎ ． ｅ ｒ ｓ ｌｓ ｓ ｏ ｔ ｔ ｔｅ ｓ ｓｅ ｉ ｅ ｓｔｖ ｏ ｔ ｅ ｉ ｉｉｌ ｖ ｕ ｓ，ａ ｄ ｔ ｅ ｈ ｏ ｇ ｈｅ ｃ ｍｐ ｔ ｒ ｓｍｕ ａｏ ｓ Ｔ ｅ ｕ ｔ ｈ ｗ ｈａ ｈ ｙ ｔｍ ｓ ｓ ｎ ｉ ｅ ｔ ｈ ｎ ｔａ ａ ｅ ｎ ｈ ｉ ｌ ｈ
２ ９
２ ２变形 蔡 氏 电路 系统 随参 数 的变化 ．
当参 数一 定 时 ， 随着 初始 值 的不 同 ， 系统会 出现 了不 同 的混 沌 吸 引子 ， 么 当初 始 值一 定 时 ， 统 的 那 系
混沌 吸 引子会 随着 参数 值 的不 同而有 不 同的 变化 。
蔡氏电路实验研究
蔡氏电路实验研究卢元元,薛丽萍(深圳大学 信息工程学院,广东深圳518060)摘 要:从电路课教学的角度,介绍了蔡氏电路及蔡氏二极管的实现方案,讨论了蔡氏电路的简单工作原理,给出观察蔡氏电路周期1、周期2极限环及单涡旋和双涡旋混沌吸引子的实验方案及实验结果。
实验结果表明,蔡氏电路结构简单且有丰富的动力学行为。
结合电路课程中的非线性电路教学内容开展蔡氏电路实验研究,可提高学生学习积极性,为他们在非线性领域的进一步学习研究打下基础。
关键词:蔡氏电路;蔡氏二极管;混沌;极限环中图分类号:TN711.4 文献标识码:A文章编号:1008-0686(2003)03-0067-04Experimental Study on Chua s CircuitLU Yuan-yuan,XUE Li-ping(Colleg e o f Inf or mation E ngineering,Sh enzhe n Univ er sity,Sh enzh en518060,China)Abstract:Fo rm the teaching point of view for the electric cirucit course,appro aches to realize Chua s circuit and Chua s diode are introduced and the simple w or king principle of Chua s cir cuit is discussed.An ex peri-mental scheme to view the period1,period2limit cycles and the sing le-scroll and double-scroll chaos at-tr actors of Chua s circuit is g iven.The results o f the ex perim ent show that Chua s circuit has rich dynami-cal behaviors and its str ucture is v er y sim ple.By doing the experimental study on Chua s circuit co mbining w ith the teaching of the nonlinear circuit,the enthusiasm for students study ing the co urse w ill be ex cited and the base for their fur ther study and research on the no nlinear field w ill be established.Keywords:Chua s circuit;Chua s dio de;chaos;limit cycle0 引言非线性系统及混沌现象的研究是当今科学研究领域的一个前沿课题,其涉及面广,应用前景非常广阔。
四阶蔡氏电路的建模与仿真
四阶蔡氏电路的建模与仿真摘要：混沌现象是一种确定性的非线性运动，在非线性控制领域，混沌控制的研究受到人们越来越多的关注。
典型蔡氏电路结构简单，但有复杂的混沌动力学特征，因而在混沌控制领域中成为研究的重要对象。
本次设计简单介绍了混沌学基本理论，从理论分析和仿真实验两个角度分别研究Chua's Circuit 的混沌行为，用Multisim 软件对电路进行仿真实验，通过改变参数，得到了系统各周期的相轨图，并对实验中遇到的现象进行简单的讨论。
在三阶蔡氏电路的基础上添加一个电感，可以建立四阶蔡氏电路，在此四阶蔡氏电路的基础上，进行了简单的数值分析与仿真分析。
由于普通蔡氏电路在产生混沌现象时, 其元件参数可调围很小,且对初始条件极为敏感，不易于搭建实验电路。
所以引入了电感等效电路，在本文中将蔡氏电路中的电感用等效电路替代，从而实现了无感蔡氏电路。
关键词：混沌；蔡氏电路；Multisim ；等效电感Experimental Study of Chua's circuit chaoticAbstract ：Chaos is a deterministic non-linear movement, in the field of nonlinear control, chaotic control get more and more attention by people. Typical Chua's circuit is simple, but complex and chaotic dynamics characteristics, so become an important research object in the field of chaos control . The design simple introduced the basic theory of chaos, study the chaotic behavior of Chua'sCircuit from two angles of the theoretical analysis and experimental with Multisim circuit simulation software, by changing the parameters, get each cycle tracks phase diagram of the system, simple discuss the experimental phenomena encountered, couple the second-order Chua's circuit with a linear circuit ("oscillation absorber"), get even more chaotic behavior of the rich. As the general chaos in Chua's circuit in the production, its range of component parameters adjustable is very small, and extremely sensitive to initial conditions, hard to set up experimental circuit. Therefore introduce the inductor equivalent circuit, in this final, change the inductor of Chua's circuit with the equivalent circuit, thus achieving non- inductor of Chua's circuit.Key words ：chaos; Chua's circuit; Multisim; vibration absorber; equivalent inductance目录第一章混沌学基本理论. (5)1.1 混沌的简单介绍 (5)1.1.1 混沌的定义. (5)1.1.2 混沌的主要特征. (6)1.1.3 混沌的现实意义和应用. (7)1.1.4 混沌的前景展望. (8)1.2 蔡氏电路简介 (9)1.3 蔡氏电路的研究 (10)1.4 软件介绍 (10)1.4.1 数值仿真软件. (10)1.4.2 电路仿真软件. (11)第二章三阶蔡氏电路分析. (12)2.1 电路原理与数学建模 (12)2.2 数值仿真分析 (13)2.3 蔡氏二极管等效电路设计 (15)2.4 三阶蔡氏电路制作和电路仿真 (17)2.5 蔡氏电路的平衡点及稳定性 (19)第三章四阶蔡氏电路分析. (22)3.1 四阶蔡氏电路数学建模 (22)3.2 四阶蔡氏电路数值仿真分析 (24)3.3 四阶蔡氏电路电路仿真分析. (25)3.4 三阶蔡氏电路等效电感分析 (27)第四章总结与分析. (30)参考文献. (31)致. (32)附录Matlab 程序 (33)第一章混沌学基本理论1.1 混沌的简单介绍1.1.1 混沌的定义混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，是自然界及社会中的一种普遍现象，它是一种在确定性系统中所出现的类似随机而无规则运动的动力学行为。
基于蔡式电路的仿真
一、选题背景混沌(chaos)研究是20 世纪物理学的重大事件。
混沌现象普遍存在于自然界和人类社会中，是在确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象，是非线性动力学系统特有的一种运动形式。
混沌具有三个特点：随机性；遍历性；规律性。
随着高精度电子器件的广泛应用，电路中出现了大量的非线性现象。
已有的线性电路理论无法解释非线性电路的行为，又不能指导非线性电路的分析与综合，于是有关非线性电路的理论研究迅速展开，非线性电路中的混沌现象研究也开始兴起。
1984 年，Chua 提出著名的“蔡氏电路”，这个电路为非线性电路中分岔、混沌现象的研究提供了经典的范例。
1、蔡氏电路模型蔡氏电路是一种物理结构和数学模型简单的混沌系统，该混沌系统也常被用来进行混沌理论及应用方面的研究。
该电路使用三个储能元件和一个分段线性电阻。
这样可以把电路分为线性和非线性两部分。
其中线性部分包括:电阻R、电感L(含内阻r)和两个电容C1 与C2；非线性部分由分段线性电阻N R来完成。
电路原理图如下：图一蔡氏电路原理图图二分段线性电阻N R的伏安特性曲线2、蔡氏电路理论基础由Kirchhoff结点电流定律（KCL）得到蔡氏电路的动力学状态方程为：蔡氏电路中的非线性电阻又称为蔡氏二极管，可采用多种方式实现。
一种较简单的实现电路见图三。
图三用集成运放组成蔡氏二极管电路二、电路实现和仿真验证（1）用直流扫描分析蔡氏二极管的伏安特性。
已知R1=3.3kΩ，R2=22kΩ，R3=22kΩ，R4=2.2kΩ，R5=220Ω，R6=220Ω。
通过双运算放大器（型号：TL082）和6个电阻来实现非线性电阻。
在仿真时，除集成运算放大器外均使用的是虚拟元件。
电路原理图如下：通过直流扫描（DC Sweep），得到蔡氏二极管的伏安特性曲线如下：从而得到分段线性电阻N R的伏安特性曲线中U0=0.966V（2）R=1.6kΩ，L =18mH，C1=10nF，C2=100nF，初值为零，蔡氏二极管按（1）中参数实现。
蔡氏电路数值仿真图像与实测图像的对比研究
关 键 词: 蔡氏电路ꎻ混沌ꎻＭＡＴＬＡＢꎻ数值仿真ꎻ实测图像ꎻ结果对比
中图分类号: Ｏ ４￣３４源自文献标志码: ＡＤＯＩ:１０.１４１３９ / ｊ.ｃｎｋｉ.ｃｎ２２￣１２２８.２０１８.０４.０１４
混沌现象是一种广泛存在且长期表现出不可 预测的非线性行为ꎮ 混沌具有三个特点:规律性、 遍历性、随机性[１ꎬ２] ꎮ 随着计算科学和社会科学 的发展ꎬ混沌的不可预测性与规律性使其成为了 物理、数学等众多学科领域的一个热点研究课题ꎮ 近年来ꎬ非线性电路是许多学者研究混沌的重要 途径之一ꎬ其中一个最典型的非线性电路就是三 阶自治蔡氏电路( Ｃｈｕａ’ ｓ ｃｉｒｃｕｉｔ) [３] ꎮ
在此基础上ꎬ蔡少棠教授提出了一个将物理 模型与数学模型相结合的典型混沌系统—蔡氏电 路ꎮ 它是一个三阶自治电路ꎬ包含两个电容 Ｃ１、 Ｃ２ꎬ一个电感 Ｌꎬ一个线性电阻 Ｒ 及一个非线性电 阻元件 ＲＮ( 也称作蔡氏二极管) [３] ꎮ 蔡氏电路物 理模型如图 １ 所示:
在蔡氏电路模型中ꎬ非线性电阻元件 ＲＮ 可
ＭＡＴＬＡＢ 平台下描述蔡氏电路的混沌图像ꎮ 为了更好的与实测图像进行对比分析ꎬ我们
设置数值仿真的初始参数与真实实验电路中的参 数保持一致即:电容 Ｃ１ 值为 ０.０２２ μＦ、电容 Ｃ２ 值 为 ０.１ μＦ、电感 Ｌ 为 １０ ｍＨꎬ电阻 Ｒ 的变化范围设 置在 ０ ~ ３ ＫΩꎮ
图 ３ 实际电路图
下图 ４ 所示的就是在电容 Ｃ１ 值为 ０.０２２ μＦ、 电容 Ｃ２ 值为 ０.１ μＦ、电感 Ｌ 为 １０ ｍＨ 的条件下ꎬ 电阻 Ｒ 阻值从 ３ ＫΩ 减小至 ０ ＫΩ 的过程中所得 到的混沌图像:
实测结果分析: 如上图 ４ 所示ꎬ非周期变化的混沌行为中存 在一倍周期ꎬ单吸引子等混沌图像ꎻ但是很难观测 到清晰的二倍周期和双吸引子等混沌图像ꎬ这主 要由于通过调节滑动变阻器我们不能给定这些特 殊混沌图像所需的电阻 Ｒ 的精确参数值[６] ꎮ
蔡氏电路混沌现象仿真
引言混沌研究最先起源于Lorenz研究天气预报时用到的三个动力学方程．后来的研究表明，无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨，但实际是非周期有序运动，即混沌现象．现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术的众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响．随着计算机和计算科学的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。
而非线性电路是混沌及混沌同步应用研究的重要途径之一。
其中一个最典型的电路是三阶自治蔡氏电路，这个电路是由加州大学伯克利分校的蔡少棠首先发起研究的。
在这个电路中观察到了混沌吸引子。
蔡氏电路是能产生混沌行为最简单的自治电路，所有应该从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的分岔和混沌现象都能够在蔡氏电路中通过计算机仿真和示波器观察到。
蔡氏电路虽然简单，但其中蕴含着丰富和复杂的非线性现象。
不须改变电路系统结构，只调整控制参数R，就能获得电路系统不同状态的响应输出信号[1]。
该文对产生混沌现象的蔡氏电路进行了研究,建立了数学模型,分析了产生混沌的原因,并根据建立的数学模型,利用MATLAB进行了仿真研究,仿真结果表明在一定的条件下该电路能够出现混沌双涡卷吸引子和稳定周期轨道。
+1 混沌学概述1.1混沌与非线性科学混沌学于上世纪六十年代初在美国兴起。
它是非线性系统中存在的一种普遍现象，也是非线性系统所特有的一种复杂状态。
所以我在论文中研究的蔡氏电路必然是一个非线性系统，确切地说是一个非线性动力系统。
从函数构造的角度来说，非线性系统要比“线性系统”更多、更普遍。
“线性系统”与“非线性系统”的不同之处至少有两个方面。
第一：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统则不能。
第二：（也就是最本质的）非线性系统对初值极敏感，而线性系统则不然。
1.2混沌的含义混沌到目前为止，还没有一个统一的、有足够数学定理支持的、普遍适用和完美的混沌理论，所以只能通过混沌系统所表现出的一些普遍现象总结归纳出其所谓的本质。
模电期末论文《蔡氏电路混沌特性的研究》2009013157.docx
模电期末论文《蔡氏电路混沌特性的研究》2009013157模电期末论文——关于蔡氏电路混沌现象的研究2009013157 生医9 王颖奇*所有仿真结果均于2010年12月24日完成在上学期的大学物理教材中，混沌现象就曾经被老师提起。
书中介绍，混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。
进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。
牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。
因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。
“ 混沌”是近代非常引人注目的热点研究，它掀起了继相对论和量子力学以来基础科学的第三次革命。
科学中的混沌概念不同于古典哲学和日常语言中的理解，简单地说，混沌是一种确定系统中出现的无规则的运动。
混沌理论所研究的是非线性动力学混沌，目的是要揭示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律，以求发现一大类复杂问题普遍遵循的共同规律。
那么这种现象在电路有什么应用呢？传统上，人们把信号分为两大类：确定性信号这种信号所有时刻的波形都是确定的；随机过程它的波形由概率分布确定。
然而，这样的分类忽略了另一类极为重要的信号——混沌信号。
混沌信号的波形是非常不规则的，表面上看来就象噪声，但实际上它却是由确定性的规则所产生的，这种规则有时是很简单的。
正是这种简单的规则产生出复杂的波形激发了人们对它极大的兴趣。
在图（1-2）中，我们向大家展示了由Logistic映射所生成的混沌信号与白噪声信号，从表面上我们是无法判断出噪声与混沌的。
让人兴奋的是：实践证明，在大量的物理系统和自然系统中都存在着混沌信号！虽然，混沌现象的出现使我们无法对系统的长期行为进行预测，但是我们完全可以利用混沌的规律对系统进行短期的行为预测，这样比传统的统计学方法更加有效。
在工程学中，混沌现象主要有以下两方面的应用。
蔡氏混沌电路分析研究
蔡氏混沌电路分析研究蔡氏混沌电路分析研究摘要：众所周知，蔡氏电路是一种简单的非电子性电路设计，它可以表现出标准的混沌理论行为。
混沌是一种发生在确定系统中的不确定行为，表现为不同于平衡状态、周期状态和拟周期状态的这三种状态外的另一种状态，产生的混沌现象极为丰富。
随着社会的开展，混沌动力学以其内容丰富的特点，成为了一个被广泛研究应用的知识学科。
混沌现象是产生于确定性的状态方程中的一种相似随机的运动，在我们现实生活中较为广泛的存在。
在工程和电工电子学科上最近几年的开展前景也越来越开阔和活泼。
随着时代开展，在现实生活中，混沌应用取得了很大的成果，得到了广泛的成果研究。
尤其是混沌独电路这一局部，其中包括混沌压缩、混沌保密通信、混沌加密和混沌同步。
但是还有一些实际问题需要探讨和研究，作者通过文章来介绍蔡氏混沌电路的电路设计根底与存在的问题及其面临的挑战与机遇。
关键词：混沌电路；广泛；开展；问题文章着重介绍了蔡氏混沌电路的根本设计思路与混沌系统分析方法和混沌电路的根底设计，依据国内外对电路的研究，分析当前各种混沌系统，总结得出混沌电路的开展历史。
文章在理论根底的分析和参考文献研的前提下，对混沌电路的动力学行为的复杂性提出了一种具有多方向多漩涡吸引子的可扩展的蔡氏电路；对混沌振荡的频率那么提出了如MOS管的Colpitts振荡电路设计和同步的一种方法。
20年的时间，人们对蔡氏混沌电路的深入研究与探究，我们发现在蔡氏电路里呈现出来一种丰富的混沌力学行为。
且蔡氏混沌电路已经在保密通讯领域具备了一定的应用能力。
混沌学，是继量子论、相对论的20世纪第三次物理革命产物。
法国数学家在19世纪末期首次发现了动力学系统中的异归宿轨迹和同归宿轨迹，混沌现象作为存在在非线性动力学系统中的一种现象，虽没有复杂的运动形式，但具有普遍性的规律。
1 蔡氏混沌电路工作原理的介绍与研究意义蔡氏混沌电路由线性电感、线性电阻、非线性电阻各一个和线性电容两个组成的三阶段自治动态电路，非线性电阻的伏特安特性，是一个分段型函数，电路中电感L和电容LC振荡电路，有原型的电阻R和电容做成了一个源RC滤波电路。
蔡氏电路仿真课程设计
蔡氏电路仿真课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解蔡氏电路的基本原理，掌握其组成结构和功能。
2. 学生能描述蔡氏电路在模拟电子技术中的应用，了解其在实际电路中的作用。
3. 学生能运用所学的电路知识，分析蔡氏电路的静态工作点和动态特性。
技能目标：1. 学生能运用电路仿真软件，搭建蔡氏电路模型，并进行仿真实验。
2. 学生能通过调整电路参数，观察电路性能的变化，提高电路调试能力。
3. 学生能运用所学知识，解决实际电路问题，提高创新能力。
情感态度价值观目标：1. 学生通过本课程的学习，培养对电子技术的兴趣，激发学习热情。
2. 学生在团队协作中，学会沟通交流，培养合作精神和集体荣誉感。
3. 学生通过实践操作，体验科学研究的严谨性，培养科学态度和探究精神。
课程性质：本课程为模拟电子技术课程的一个教学单元，以蔡氏电路为研究对象，通过理论讲解和实践操作，使学生掌握电路分析和设计方法。
学生特点：学生处于高中阶段，具有一定的物理和数学基础，对电子技术有一定了解，但对电路仿真的实际操作相对陌生。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，提高学生的动手能力和创新能力。
在教学过程中，关注学生的个体差异，因材施教，使学生在课程学习中取得良好的学习成果。
通过分解课程目标为具体的学习成果，为后续的教学设计和评估提供依据。
二、教学内容1. 理论知识：- 蔡氏电路的基本原理和组成结构- 蔡氏电路的静态工作点分析- 蔡氏电路的动态特性分析- 蔡氏电路在模拟电子技术中的应用2. 实践操作：- 电路仿真软件的介绍与操作方法- 搭建蔡氏电路模型及仿真实验- 调整电路参数，观察电路性能变化- 分析实际电路问题，提出解决方案3. 教学大纲安排：- 第一课时：蔡氏电路基本原理及组成结构，教材第3章第1节- 第二课时：静态工作点分析，教材第3章第2节- 第三课时：动态特性分析，教材第3章第3节- 第四课时：蔡氏电路应用案例分析，教材第3章第4节- 第五课时：电路仿真软件操作及实践，教材第3章附录4. 教学进度：- 前两课时，共计2学时，完成理论知识的学习- 第三课时，1学时，进行实践操作指导- 第四课时，1学时，分析蔡氏电路应用案例- 第五课时，2学时，学生进行电路仿真实践操作教学内容确保科学性和系统性，结合教材章节安排，注重理论与实践相结合，旨在提高学生的电路分析和设计能力。
蔡氏混沌电路的混沌现象及其simulink仿真PPT
从上图中可以看出，当电阻的值为 2.1K时，蔡氏电路的运行状态有一个渐进稳定点，并 且在稳定点附近运动。
2、蔡氏电路simulink数值仿真分析
• 2.1.2、R 1.91 K • 当 R 1.91 K 时，b=21.2098,simulink仿真结果如下：
• 当电阻的值减小到 R 1.91K 时，蔡氏电路的运动状态出现单漩涡混沌振荡。 从以上相轨图中可以观察到明显的倍周期现象。
2、蔡氏电路simulink数值仿真分析
• 2.2、调节电容 • 给定初始值：u1 0.1V , u 2 0.1V , iL 0.001 A ，固定电路参数 ,C2=100nF 、 L2=17.2mH、,此时b的值是14.51395保持不变，与以上内容不同，下面的内容 保持b的值不变，改变a的值。电容c1的值可变，simulink数值仿真可得到在不 同C1值时蔡氏电路的运行状态。
0、混沌现象及混沌电路介绍
• 0.4、混沌吸引子 • 混沌吸引子也称奇异吸引子，是反映混沌系统运动特征的产物，也是一种 混沌系统中无序稳态的运动形态，它具有复杂的拉伸、扭曲的结构。奇异吸引 子是系统总体稳定性和局部不稳定性共同作用的产物，具有自相似性，具有分 形结构。从整体上讲，系统是稳定的，即吸引之外的一切运动最终都要收敛到 吸引子上。但就局部来说，吸引子内的运动又是不稳定的，即相邻运动轨道要 相互排斥而按指数型分离。
2、蔡氏电路simulink数值仿真分析
• 2.2.1、令C1=20nF，则a=5,simulink仿真结果为：
• 有以上图可以得出，改变电容的值改变a系数同样可以得到蔡氏电路的稳定状 态，此时的运动轨迹基本上在一点处，是稳定状态。
2、蔡氏电路simulink数值仿真分析
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(5)
Q3= (-k，0，k)∈D-1
调节R ，可改变平衡点的位置及平衡点处系统
的特征值。当电路的平衡点是满足一定条件的鞍焦
平衡点时，系统有可能产生混沌。
式(5)中：k =(b -a )/(b +1)，a 与b 不为-1。由式 (5)可将状态空间R 3分为3个子空间D 1、D 0、D -1。在 每一个子空间内，方程(4)均是线性的，其Jacobi
1
2
3
x
图8 x变量与y变量的仿真图
z
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-3 -2 -1
0
1
2
3
x
图9 x变量与z变量的仿真图
混沌系统的数学模型通过软件 M a t l a b 来实 现仿真。实验表明 ：在相同的混沌行为预期下， 仿真实验与真实实验的参数范围可能会有一些差 别，但是，就总体而言，仿真实验与真实实验有 较好的对等性，而且仿真实验更容易实现预期的 混沌行为，更能准确地观测到混沌吸引子的行为 特征。
-
1 R4
1 R6
a)R N1电路及其伏安特性
b)R N2电路及其伏安特性
图2 两个非线性电阻及其伏安特性
适当选取电阻参数值使E 2远大于E 1，也远大于 蔡氏电路工作时 uC1 的变化范围，则在电路的工作 范围内，R N2是一个线性负电阻，R N1和R N2并联后可
实现图1中非线性电阻R N的伏安特性，其中：
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电工电气 (2009 No.4)
点附近出现极限环时，即发生了Hopf分岔，此时电
路参数α、β、m 满足条件：
1+α(m+1) 1 αβ(1+m) β+αm
=0
(8)
2 蔡氏电路的Matlab仿真
以下是蔡氏电路平衡点出的仿真，设置的初值 为x [y (1)]=0.1，y [y (2)]=0.1，z [y (3)]=0.1；其 中x ，y ，z 为上述式(2)变量代换所表示的值。
1 蔡氏电路的稳定性分析
蔡氏电路是一个典型的混沌电路，现今所报道
的混沌电路中有相当一部分是在该电路基础上改进
而成的。它是以著名华裔科学家、美国加州大学教
授蔡少堂的姓命名。该电路是一个三阶自治互易电
路，其电路及非线性电阻伏安特性如图1所示。
iL
R
a
i1
i1
L
+ U-C2
C2
+ U-C1
C1 RN g (uC1)
由图1可推出电路的状态方程为：
C
1
duC dt
1
=
1 R
(uC
-u
2
C
)-g
1
(u
C
)
1
C
2
duC dt
2
=
1 R
(uC
-u
1
C
2)+iL
(1)
L
diL dt
= -uC2
其中函数g
(u
C
)是分段线性函数，其形式为：
1
g (uC
)=
1
G
bu
C
+
1
1 2
(G
a-G
b)×(
u
C
+E
1
-
u
C
-E
1
)。
蔡氏电路中的非线性电阻又称为蔡氏二极管，
实验还表明 ：在仿真实验过程中能精确控制 系统的参数。与此相反，在真实实验中，系统的 一些参数存在不可精确控制和漂移等特性，由此 产生的随机性和混沌现象混合在一起，影响了对 混沌本质的研究。仿真实验可以有效地避免这一 问 题， 在 混 沌 控 制 和 混 沌 同 步 等 应 用 研 究 领 域， 可对系统的稳定性和鲁棒性等问题进行较为准确 的量化分析 [2]。
电工电气 (2009 No.4)
蔡氏电路的仿真研究
蔡氏电路的仿真研究
叶昕，张茂青，周纯 (苏州大学 机电工程学院，江苏 苏州 215021)
摘 要 ： 从理论分析和仿真两个角度分别研究非线性电路中的混沌现象。蔡氏电路是一个典型的混 沌电路，只要改变其中一个元件的参数，就可产生多种类型混沌现象。在 Matlab 的平台上编制相关系统 和蔡氏电路数学模型的计算机仿真程序，就可实现双蜗卷和单蜗卷状态下的同步。研究结果表明在相同 的混沌行为下，仿真实验与理论分析结论十分吻合，能准确地观察到混沌吸引子的行为特征。
足时：
1+α(m+1) 1 αβ(1+m) β+αm
＞0
(7)
在式(5)表示的三个区域中，M 的特征值都具有
负的实部，此时，平衡点渐进稳定，电路不发生振
荡。如果保证ab＜0，Q 1、Q 3存在且位于对应的D 1∪ D- 1中，当a 、b 其中一个参数发生变化，平衡点的性 质就会改变。当平衡点由稳定变成不稳定且在平衡
可采用多种方式实现。一种较简单的实现，它相当
于两个非线性电阻 RN1 和 RN2 的并联，图 2 给出 RN1 和 RN2 电路及其伏安特性。
a + i1 u
b-
R3
V+ + - A1
V-
R1
R2
a + i2 u
b-
R6
V+ + - A2
V-
R4
R5
i1
E1
-E1
u
-
1 R1
1 R3
i2
E2
-E2
u
载线
i
1-uC
/R
1
分别用实线和虚线表示。
i1 R
Q1
i1
+
g (uC1) i1-uC1/R
Q2
uC1 - RN
U
Q3
uC1
i1=g(uC1)
图3 求平衡点等效电路及其图解法
当电阻R 满足一定条件时，电路有Q 1、Q 2、Q 3这 3个平衡点。平衡点分别为：
Q1= (k，0，-k)∈D1
Q2= (0，0，0)∈D0
矩阵为：
-α(m+1) α 0
M=
1 -1 1
(6)
0 -β 0
M 的特征方程为：
f(λ)=λE-M =λ3+[1+α(m+1)]λ2+(β+αm)λ+βα(m+1)。
式中：m =α， x ∈D 0；m = b ， x ∈D 1∪D-1，E 为 单位矩阵。
根据Routh-Hurwitz Crierion判据，当下式满
U
Gb
Ga E
-E 0
uC1
b
Gb
a)蔡氏电路
b)非线性电阻伏安特性
图1 蔡氏电路及其非线性电阻伏安特性
作者简介：叶昕(1984- )，女，硕士研究生，研究方向为控制理论与控制工程； 张茂青(1954- )，男，教授，硕士，研究方向为控制理论与控制工程。
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蔡氏电路的仿真研究
电工电气 (2009 No.4)
E = E 1=[R 1/(R 1+R 2)]u
Ga= -1/R 1-1/R 4 G b= 1/R 3-1/R 4
(2)
G= 1/R
作变量代换：
x = uEC 1 ，y
=
uC E
2
，z
=
iL EG
τ=
tG G2
，a =
Ga G
，b =
Gb G
(3)
α = CC 21 ， β = LCG2 2
图6 y变量与时间t的仿真图
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z
5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5
0 50 100 150 200 250 300 350 400 t /s
图7 z变量与时间t的仿真图
y
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.8
-3 -2 -1 0
蔡氏电路的仿真程序如下： function dy=chua(t,y) dy=zeros(3,1)； alfa=10.0； beta=14.87； a=-1.27； b=-0.65； bp=1.0； dy(1)=alfa*(y(2)-y(1)-(b*y(1)+0.5*(ab)*(abs(y(1)+bp)-abs(y(1)-bp))))； dy(2)=y(1)-y(2)+y(3)； dy(3)=-beta*y(2)； clear all； [T,Y]=ode45('chua',[0,400],[0.1,0.1,0.1])； figure;plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3),'-')； xlabel('X')； ylabel('Y')； zlabel('Z')； title('Chua system ')； figure;plot(T,Y(:,1),'-')； xlabel('T')； ylabel('X')； title('Chua system ')； figure;plot(T,Y(:,2),'-')； xlabel('T')； ylabel('Y')； title('Chua system ')； figure;plot(T,Y(:,3),'-')； xlabel('T')； ylabel('Z')； title('Chua system ')； figure;plot(Y(:,1),Y(:,2),'-')；