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2019广东省一模文科数学答案

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2019年广州市一模试题及答案(文科数学)

2019年广州市一模试题及答案(文科数学)

文科数学试题 第1页（共19页）2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-≤，则A B =I（A ）{}12x x -≤≤ （B ）{}10x x -≤≤ （C ）{}12x x ≤≤ （D ）{}01x x ≤≤ （2）已知复数3i1iz +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）已知函数()2,1,1,1,1x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩则()()2f f -的值为（A ）12（B ）15 （C ）15- （D ）12-（4）设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2CP PA =u u u r u u u r，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）如果函数()cos 4f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为 （A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24（6）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12（7）在平面区域(){},0112x y x y ≤≤≤≤，内随机投入一点P ，则点P 的坐标(),x y 满足2y x ≤的文科数学试题 第2页（共19页）概率为 （A ）14 （B ）12 （C ）23 （D ）34（8）已知()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若3sin 5α=2πα⎛⎫<<π ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（A ）210-（B ）210- （C ）210（D ）210 （9）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=L ，则12n PF P F P F +++=L （A ）10n + （B ）20n + （C ）210n +（D ）220n +（10）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（A ）20π （B ）2053π （C ）5π （D ）556π（11）已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-；3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A ）88246+ （B ）88226+（C ）2226+ （D ）126224++第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～文科数学试题第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）函数()33f x x x =-的极小值为 ．（14）设实数x ，y 满足约束条件230,230,3x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则23z x y =-+的取值范围是 ．（15）已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且0BA BF =u u u r u u u r g ，则双曲线C 的离心率为 ．（16）在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =，5CD =,2BD AD =，则AD 的长为 ．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .（18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1． （Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[)45,75取一个容量为6个总体，从中任意抽取2件产品，求这件产品都在区间[)45,65内的概率．（19）（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面文科数学试题 第4页（共19页）21==AA AB ．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面1A CO ；（Ⅱ）若60BAD ∠=o，求点C 到平面1OBB 的距离．（20）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（21）（本小题满分12分）已知函数()e ln 1x f x m x =--.（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()1f x >.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲文科数学试题 第5页（共19页）如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DE CA P 交BA 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：2DE AE BE =g ；（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，求线段AC 的长．（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l：32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()f x x x =+-． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．文科数学试题 第6页（共19页）2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题（1）D （2）D （3）C （4）B （5）B （6）C （7）A （8）B（9）A（10）D（11）B（12）A二．填空题（13）2-（14）[]6,15- （15（16）5三．解答题（17）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，因为24a =，所以34a q =，244a q =．…………………………………………1分因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+．……………………2分即()224244q q +=+，化简得220q q -=．因为公比0q ≠，所以2q =．………………………………………………………4分所以222422n n n n a a q --==⨯=（*n ∈N ）．…………………………………………5分（Ⅱ）因为2n na =，所以22log 121n nb a n =-=-．所以()212nn n a b n =-．……………………………………………………………7分 则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-， ①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-. ②………………9分文科数学试题 第7页（共19页）①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--……………………………………10分()()()11142221262321212n n n n n ++-=+⨯--=-----，所以()16232n n T n +=+-．……………………………………………………………12分（18）解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.03010421x x x +++⨯+++=，……………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间[)45,55，[)55,65，[)65,75内的频率依次为0.3，0.2，0.1．用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取一个容量为6的样本，则在区间[)45,55内应抽取0.3630.30.20.1⨯=++件，记为1A ，2A ，3A ．在区间[)55,65内应抽取0.2620.30.20.1⨯=++件，记为1B ，2B ．在区间[)65,75内应抽取0.1610.30.20.1⨯=++件，记为C ．…………………6分设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[)45,65内”为事件M ， 则所有的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}1,A C ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}2,A C ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}3,A C ，{}12,B B ，{}1,B C ，{}2,B C ，共15种．…………………………………………………………………8分事件M 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10种．…………10分所以这2件产品都在区间[)45,65内的概率为102153=．………………………12分 （19）（Ⅰ）证明：因为1A O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，文科数学试题 第8页（共19页）所以1A O ⊥BD ．……………………………………………………………………1分因为ABCD 是菱形，所以CO ⊥BD ．……………………………………………2分因为1AO CO O =I ，1A O ，CO ⊂平面1A CO ， 所以BD ⊥平面1A CO ．……………………………………………………………3分 （Ⅱ）解法一：因为底面ABCD 是菱形，AC BD O =I ，21==AA AB ，60BAD ∠=o，所以1OB OD ==，OA OC ==4分所以OBC ∆的面积为112212OBC S OB OC ∆==⨯=⨯⨯．…………………5分 因为1A O ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以1A O AO ⊥，11AO ==．………………………………………6分因为11A B P 平面ABCD ，所以点1B 到平面ABCD 的距离等于点1A 到平面ABCD 的距离1A O ．…………7分 由（Ⅰ）得，BD ⊥平面1A AC ．因为1A A ⊂平面1A AC ，所以BD ⊥1A A ．因为11A A B B P ，所以BD ⊥1B B ．………………………………………………8分 所以△1OBB 的面积为111121212OBB S OB BB ∆=⨯⨯==⨯⨯．……………………9分 设点C 到平面1OBB 的距离为d ， 因为11C OBB B OBC V V --=，所以111133OBB OBC S d S A O D D =g g ．………………………………………………10分所以111212OBC OBBS AO d S ∆∆⨯⋅===．所以点C 到平面1OBB的距离为2．……………………………………………12分文科数学试题 第9页（共19页）解法二：由（Ⅰ）知BD因为BD ⊂平面11BB D D 所以平面1A CO ⊥平面连接11A C 与11B D 交于点连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，11//AA CC ，所以11CAAC 为平行四边形． 又O ，1O 分别是AC ，11A C 的中点，所以11OA O C 为平行四边形．所以111O C OA ==．…………………………………………………………………6分 因为平面11OA O C 与平面11BB D D 交线为1OO ，过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．………………………………8分 因为11O C A O P ，1A O ⊥平面ABCD ，所以·1O C ⊥平面ABCD ．因为OC ⊂平面ABCD ，所以·1O C ⊥OC ，即△1OCO 为直角三角形．………10分 所以1122O C OC CH OO ⋅===．所以点C 到平面1OBB 2．……………………………………………12分（20）（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．……………………………1分 设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上， 由椭圆的定义知122BF BF a +=，所以2a ==．………………………………………………………2分 所以a =2b =．………………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分文科数学试题 第10页（共19页）解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①…………………1分因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b+=． ②…………………2分由①②解得，a =2b =．…………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．…………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =，0y =．………………………………………………6分所以直线AE的方程为y x =+．……………………………7分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =，即点M ⎛ ⎝．……………………8分同理可得点N ⎛⎫ ⎝．…………………………………………………9分 假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=u u u r u u u r．………10分即20t =，即240t -=．………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角．文科数学试题 第11页（共19页）………………………………12分 解法二： 因为椭圆C 的左端点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --．所以直线AE的方程为y x =+．………………………………6分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =M ⎛⎫⎝．……………………………7分同理可得点N ⎛⎫⎝．……………………………………………………8分 假设在x 轴上存在点(),0P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=u u u r u u u r．即20t =，即2220808y t x +=-． （※）…………9分因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=，即220082x y -=．……………………………………………10分 将220082x y -=代入（※）得240t -=．………………………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角． ………………………………12分 解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--．……6分 所以直线AE的方程为y x =+．………………………7分因为直线AE 与y 轴交于点M ，文科数学试题 第12页（共19页）令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．………………………………8分同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．………………………………………………………9分假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=u u u r u u u r．………10分即22sin 2sin 0cos 1cos 1t θθθθ--+⨯=+-，即240t -=．…………………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角． ………………………………12分（21）（Ⅰ）解：当1m =时，()e ln 1xf x x =--，所以1()e x f x x'=-．………………………………………………………………1分 所以(1)e 1f =-，(1)e 1f '=-. …………………………………………………2分 所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x --=--． 即()e 1y x =-.………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）证法一：当1m ≥时，()e ln 1e ln 1xxf x m x x =--≥--.要证明()1f x >，只需证明e ln 20xx -->.……………………………………4分 以下给出三种思路证明e ln 20xx -->. 思路1：设()e ln 2xg x x =--，则1()e x g x x'=-. 设1()e x h x x =-，则21()e 0x h x x'=+>， 所以函数()h x =1()e x g x x '=-在0+∞（，）上单调递增．…………………………6分 因为121e 202g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->，所以函数1()e x g x x '=-在0+∞（，）上有唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.…………8分文科数学试题 第13页（共19页）因为0()0g x '=时，所以01ex x =，即00ln x x =-.………………………………9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．……………………………………10分 故()000001()=e ln 220xg x g x x x x ≥--=+->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分 思路2：先证明e 1xx ≥+()x ∈R ．………………………………………………5分 设()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-．因为当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以当0x <时，函数()h x 单调递减，当0x >时，函数()h x 单调递增． 所以()()00h x h ≥=．所以e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取等号）．………………………………………7分 所以要证明e ln 20xx -->，只需证明()1ln 20x x +-->．……………………………………………………8分 下面证明ln 10x x --≥． 设()ln 1p x x x =--，则()111x p x x x-'=-=． 当01x <<时，()0p x '<，当1x >时，()0p x '>，所以当01x <<时，函数()p x 单调递减，当1x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()10p x p ≥=．所以ln 10x x --≥（当且仅当1x =时取等号）．………………………………10分由于取等号的条件不同， 所以e ln 20xx -->．综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分文科数学试题 第14页（共19页）（若考生先放缩ln x ，或e x、ln x 同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明e ln 2x x ->.因为曲线e xy =与曲线ln y x =的图像关于直线y x =对称，设直线x t =()0t >与曲线e xy =，ln y x =分别交于点A ，B ，点A ，B 到直线y x = 的距离分别为1d ，2d ， 则)122AB d d +． 其中12t d =22d ()0t >．①设()e t h t t =-()0t >，则()e 1t h t '=-． 因为0t >，所以()e 10t h t '=->．所以()h t 在()0,+∞上单调递增，则()()01h t h >=． 所以122t d =>． ②设()ln g t t t =-()0t >，则()111t g t t t -'=-=．因为当01t <<时，()0g t '<；当1t >时，()0g t '>，所以当01t <<时，()ln g t t t =-单调递减；当1t >时，()ln g t t t =-单调递增． 所以()()11g t g ≥=． 所以222d =≥ 所以)1222222AB d d =+>+=⎭． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分证法二：因为()e ln 1xf x m x =--，要证明()1f x >，只需证明e ln 20xm x -->.…………………………………4分以下给出两种思路证明e ln 20xm x -->.文科数学试题 第15页（共19页）思路1：设()e ln 2xg x m x =--，则1()e x g x m x'=-. 设1()e x h x m x =-，则21()e 0x h x m x'=+>． 所以函数()h x =()1e x g x m x'=-在()0+∞，上单调递增．……………………6分因为11221e 2e 202mm g m m m m ⎛⎫⎛⎫'=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1e 10g m '=->， 所以函数1()e x g x m x '=-在()0+∞，上有唯一零点0x ，且01,12x m ⎛⎫∈⎪⎝⎭.……8分 因为()00g x '=，所以01ex m x =，即00ln ln x x m =--．……………………9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．……………………………………10分 故()()000001e ln 2ln 20xg x g x m x x m x ≥=--=++->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >．………………………………………………12分 思路2：先证明e 1()xx x ≥+∈R ，且ln 1(0)x x x ≤+>．……………………5分设()e 1xF x x =--，则()e 1xF x '=-．因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>， 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．所以()(0)0F x F ≥=，即e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取等号）．……………7分由e 1()xx x ≥+∈R ，得1e x x -≥（当且仅当1x =时取等号）．………………8分所以ln 1(0)x x x ≤->（当且仅当1x =时取等号）．……………………………9分 再证明e ln 20xm x -->．因为0x >，1m ≥，且e 1xx ≥+与ln 1x x ≤-不同时取等号，文科数学试题 第16页（共19页）所以()()e ln 2112x m x m x x -->+---()()11m x =-+0≥．综上可知，当1m ≥时，()1f x >．………………………………………………12分（22）（Ⅰ）证明：因为AD 是⊙O 的切线，所以DAC B ∠=∠（弦切角定理）． (1)因为DE CA P ，所以DAC EDA ∠=∠．……………………………2所以EDA B ∠=∠．因为AED DEB ∠=∠（公共角），所以△AED ∽△DEB ．……………………………………………………………3分 所以DE AE BEDE=．即2DE AE BE =g ．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）解：因为EF 是⊙O 的切线，EAB 是⊙O 的割线，所以2EF EA EB =g （切割线定理）．……………………………………………5分 因为4EF =，2EA =，所以8EB =，6AB EB EA =-=．…………………7分 由（Ⅰ）知2DE AE BE =g ，所以4DE =．………………………………………8分 因为DE CA P ，所以△BAC ∽△BED ． ………………………………………9分 所以BA ACBEED=．所以6438BA ED AC BE⋅⨯===． …………………………………………………10分（23）（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分文科数学试题 第17页（共19页）所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………………………5分因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分 因为()220011x y +-=，解得02x =-或02x =． 所以点D的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分 由于点D到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分 解法二：因为直线l的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l50y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分所以点D 到直线l的距离为d =2sin 3ϕπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭．………………………………8分文科数学试题 第18页（共19页）因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分 此时D 32⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………10分（24）（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解；②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<；③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分 （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分以下给出两种思路求()f x 的最大值.思路1：因为()f x x x =+-- ()01a ≤≤，当x ≤()f x x x =-=0<．当x <<时，()f x x x =2x =+≤=当x ≥()f x x x ==所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分思路2：因为 ()f x x x =x x ≤=文科数学试题 第19页（共19页）=当且仅当x ≥ 所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >．………………………………………………………8分以下给出三种思路求()g a 的最大值. 思路1：令()g a = 所以()21ga =+2212≤++=．=12a =时等号成立． 所以()maxg a =⎡⎤⎣⎦．所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分思路2：令()g a =因为01a ≤≤，所以可设2cosa θ= 02θπ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则()g a=cos sin 4θθθπ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭当且仅当4θπ=时等号成立． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分 思路3：令()g a =因为01a ≤≤，设x y ìï=ïíï=ïî则221x y +=()01,01x y＃＃．问题转化为在221x y +=()01,01xy ＃＃的条件下，求z x y =+的最大值．利用数形结合的方法容易求得z ，此时2x y ==．所以b 的取值范围为)∞．…………………………………………………10分。

2019年广东省高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2019年广东省高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2019年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}，B＝{x|1＜2x＜16}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，3）C．（0，8）D．（0，3）2．（5分）复数z＝（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±，0）B．（0，）C．（±5，0）D．（0，±5）4．（5分）若sin（）＝，则cos2α＝（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4，即5个数据的方差为4B．S＝4，即5个数据的标准差为4C．S＝20，即5个数据的方差为20D．S＝20，即5个数据的标准差为208．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C+cos A＝1，则cos B 的取值范围为（）A．（）B．[）C．（，1）D．[，1）9．（5分）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣310．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．11．（5分）已知F为抛物线C：x2＝4y的焦点，直线y＝x+1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB＝（）A．B．C．D．212．（5分）函数f（x）＝（kx﹣2）lnx，g（x）＝2lnx﹣x，若f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为（）A．[1﹣，﹣）B．（1﹣，﹣]C．[﹣，2﹣）D．（﹣，2﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（2））＝．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为．16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC ＝2，∠EAD＝30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据：调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”． （1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率； （2）若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程＝x +，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），……，（x n ，y n ），其回归直线＝x +的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝．20．（12分）已知点（1，），（）都在椭圆C ：＝1（a ＞b ＞0）上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （0，1）的直线l 与椭圆C 交于不同两点P ，Q （异于顶点），记椭圆与y 轴的两个交点分别为A 1，A 2，若直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，证明：点S 恒在直线y ＝4上． 21．（12分）已知函数f （x ）＝e x﹣2ax （a ∈R ）（1）若曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求该切线方程；（2）当a＞0时，证明f（x）≥﹣4a2+4a(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线∁l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A，B两点，若＝3，求k的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）﹣5＜0的解集为（m，n），且n﹣m＝，求a的值．2019年广东省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜2}＝（﹣∞，3），B＝{x|1＜2x＜16}＝（0，4）∴A∩B＝（0，3）．故选：D．2．【解答】解：∵z＝＝，∴z＝的虚部为．故选：B．3．【解答】解：双曲线9x2﹣16y2＝1的标准方程为：，可得a＝，b＝，c＝＝，所以双曲线的焦点坐标为（0，±）．故选：B．4．【解答】解：sin（）＝﹣cosα＝，则cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣，故选：B．5．【解答】解：∵x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4；∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1得，f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1，+∞）．故选：D．6．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：＝3π，故选：A．7．【解答】解：根据程序框图，输出的S是x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23这5个数据的方差，∵＝（17+19+20+21+23）＝20，∴由方差的公式S＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A．8．【解答】解：∵cos C+cos A＝1，∴由余弦定理可得：•+•＝1，化简可得：b2＝ac，由余弦定理可得；cos B＝＝≥＝，∴≤cos B＜1，即：cos B∈[，1）．故选：D．9．【解答】解：由题意，可知：对于A：＝＝，整理上式，可得：16﹣12﹣3＝，这与题干中条件相符合，故选：A．10．【解答】解：设BC＝a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ＝，CP＝，所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a，S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为＝，故选：B．11．【解答】解：抛物线C：x2＝4y的焦点（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：x2﹣2x﹣4＝0，由韦达定理可知：x1+x2＝2，y1+y2＝3由抛物线的性质可知：|AB|＝p+y1+y2＝2+3＝5，点O到直线y＝x+1的距离d，d＝．∴则△OAB的面积S，S＝•|AB|•d＝．故选：C．12．【解答】解：当x＞1时，lnx＞0，由f（x）＜g（x）得（kx﹣2）lnx＜2lnx﹣x，即kx﹣2＜2﹣，即kx＜4﹣，设h（x）＝4﹣，则h′（x）＝﹣＝﹣，由h′（x）＞0得﹣（lnx﹣1）＞0得lnx＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得﹣（lnx﹣1）＜0得lnx＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x＝e时，h（x）取得极大值h（e）＝4﹣＝4﹣e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→﹣∞，h（3）＝4﹣，h（4）＝4﹣＝4﹣，即A（3，4﹣），B（4，4﹣），当直线y＝kx过A，B点时对应的斜率k A＝＝﹣，k B＝＝1﹣，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x＝2，和x＝3，即直线y＝kx的斜率k满足k B＜k≤k B，即1﹣＜k≤﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，﹣]，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．【解答】解：f（2）＝ln2，∴f（f（2））＝f（ln2）＝e ln2＝2．故答案为：2．14．【解答】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y﹣z＝0过点A时，z＝2x+y取得最大值为2×3+1＝7．故答案为：7．15．【解答】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，得，∴，设三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r＝．∴三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为S＝．故答案为：．16．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），由2|PQ|＝|QR|＝，解得|PQ|＝，∴T＝|PQ|+|QR|＝π，∴ω＝＝2，设P（x0，m），则Q（﹣x0，m），R（T+x0，m），∴|PQ|＝﹣2x0，|QR|＝+2x0，∴2（﹣2x0）＝+2x0，解得x0＝＝，∴m＝sin（2×）+＝+＝1，∴ω+m＝2+1＝3．故答案为：3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）①．当n＝1时，解得：，当n≥2时，S n﹣1＝1﹣a n﹣1．②①﹣②得：2a n＝a n﹣1，所以：（常数），故：数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b n＝log2a n＝﹣n．所以：b n+1＝﹣（n+1），则：，故：＝．18．【解答】解：（1）证明：因为AD＝2，DC＝4，AC＝2，所以AD2+DC2＝AC2，所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE＝2，AD＝2，AB＝2，∠EAD＝30°．可得E到底面ABCD 的距离为：2sin60°＝，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F﹣BCH的体积，可得＝4＝．19．【解答】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：因为，，所以，，所以．当x＝10时，，当x＝11时，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由1.4x+9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为18分钟．20．【解答】解：（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝2，故椭圆C的方程为+＝1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y＝kx+1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y可得（k2+2）x2+2kx﹣3＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∵A1（0，2），A2（0，﹣2），∴直线A1P的方程为y＝x+2＝•x+2＝（k﹣）x+2，则直线A2Q的方程为y＝x﹣2＝（k+）﹣2，由，消x可得＝，整理可得y＝＝＝+4＝+4＝4，直线A1P与A2Q交于点S，则点S恒在直线y＝4上21．【解答】（1）解：f′（x）＝e x﹣2a，f′（0）＝1﹣2a＝2，解得：a＝﹣，∴f（x）＝e x+x，则f（0）＝1．∴切线方程为y＝2x+1；（2）证明：f′（x）＝e x﹣2a，由f′（x）＝e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a．∴当x∈（﹣∞，ln2a）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（ln2a）＝e ln2a﹣2aln2a＝2a﹣2aln2a．令g（a）＝2a﹣2aln2a+4a2﹣4a＝2a2﹣2a﹣2aln2a（a＞0）．要证g（a）≥0，即证a﹣1﹣ln2a≥0，令h（a）＝a﹣1﹣ln2a，则h′（a）＝1﹣＝，当a∈（0，1）时，h′（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h′（a）＞0，∴h（a）≥h（1）＝0，即a﹣1﹣ln2a≥0．∴f（x）≥﹣4a2+4a．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．【解答】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2＝4，设M（x，y）则P（2x﹣4，2y）在曲线C1上，所以（2x﹣4）2+（2y）2＝4，即（x﹣2）2+y2＝1，即x2+y2﹣4x+3＝0，C2轨迹的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（2）如图：取AB的中点M，连CM，CA，在直角三角形CMA中，CM2＝CA2﹣（AB）2＝1﹣AB2，①在直角三角形CMO中，CM2＝OC2﹣OM2＝4﹣（AB）2＝4﹣AB2，②由①②得AB＝，∴OM＝，CM＝，k＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）f（x）＝，∴x＝1时，f（x）的最小值为a+1．（2）如图所示：当a+1＜5＜2a+2即＜a＜4时，f（x）﹣5＜0的解集为（a﹣3，﹣），∴﹣﹣a+3＝﹣＝，∴a＝3符合，当2a+2≤5即0＜a≤时，f（x）的解集为（﹣﹣1，﹣），∴﹣++1＝≠．综上可得a＝3．。

2019年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(文科)含答案

2019年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(文科)含答案

2019年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M＝{x||x|＜3}，N＝{x|1og3x＜1}，则M∩N等于（）A．?B．{x|0＜x＜3}C．{x|x＜3}D．{x|﹣3＜x＜3} 2．（5分）已知i为虚部单位，若（1+i）z＝1﹣i，则（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i3．（5分）若cos（α），且α∈（，π），则sin（π﹣2α）＝（）A．B．C．D．4．（5分）已知抛物线C：y 2＝8x的焦点为F，直线y（x﹣2）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若m，则实数m的值为（）A．B．3C．2D．5．（5分）下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某校高三一级部和二级部的人数分别是m，n，本次期末考试两级部数学平均分分别是a，b，则这两个级部的数学平均分为；③某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497﹣512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组001﹣016中随机抽到的学生编号是007．其中命题正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．（5分）正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）＞，＞，＜的部分图象如图所示，若，∈，，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）＝（）8．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则?（）的最小值是（）A．﹣2B．C．D．﹣19．（5分）设函数f（x）＝xcosx﹣sinx的图象上的点（x0，y0）处的切线的斜率为k，若k＝g（x0），则函数g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．10．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．3D．11．（5分）数列{a n}满足a1＝1，对任意n∈N*的都有a n+1＝1+a n+n，则（）12．（5分）设f （x ）是定义在R 上的函数，其导函数为f'（x ），若f （x ）+f'（x ）＞1，f （0）＝2018，则不等式e xf （x ）＞e x+2017（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．（﹣∞，0）∪（0，+∞）B ．（﹣∞，0）∪（2017，+∞）C ．（2017，+∞）D ．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）已知函数f （x ）＞，则不等式f （f （1））＝．14．（5分）已知实数x ，y 满足＞，则的取值范围为．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为．16．（5分）在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A+sin 2B ﹣sin Asin B ＝sin 2C ，则a+b 的取值范围．三、解答题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2+2n ，等比数列{b n }满足b 2＝a 1，b 3＝a 4．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）求数列{a n b n }的前n 项和T n ．18．（12分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，，D ，E 分别是BC ，CC 1的中点．（1）证明：平面ADB 1⊥平面ADE ；（2）求三棱锥D ﹣AB 1E 的高．19．（12分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60）[60，70），[70，80），[80，90）[90，00]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（2）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到0.1）；（3）在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率．20．（12分）已知椭圆C：＞＞的离心率为，右焦点F2到直线l1：3x+4y＝0的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证：k?k′为定值．21．（12分）设函数f（x）alnx．a∈R．（1）求函数y＝f（x）的单调区间和极值．（2）若函数f（x）在区间（1，e2]内恰有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ＝2sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，），求|P A|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+1|+2．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．2019年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M＝{x||x|＜3}，N＝{x|1og3x＜1}，则M∩N等于（）A．?B．{x|0＜x＜3}C．{x|x＜3}D．{x|﹣3＜x＜3}【解答】解：集合M＝{x||x|＜3}＝{x|﹣3＜x＜3}，N＝{x|1og3x＜1}＝{x|0＜x＜3}，则M∩N＝{x|0＜x＜3}．故选：B．2．（5分）已知i为虚部单位，若（1+i）z＝1﹣i，则（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：若（1+i）z＝1﹣i，则z i，则i，故选：A．3．（5分）若cos（α），且α∈（，π），则sin（π﹣2α）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（α）＝﹣sinα　，且α∈（，π），即sinα　，∴cosα　，则sin（π﹣2α）＝sin2α＝2sinαcosα　，故选：D．4．（5分）已知抛物线C：y 2＝8x的焦点为F，直线y（x﹣2）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若m，则实数m的值为（）A．B．3C．2D．【解答】解：设A、B在l上的射影分别是A1、B1，过B作BM⊥AA1于M．由抛物线的定义可得出Rt△ABM中，得∠BAM＝60°，cos60°，解得m＝3．故选：B．5．（5分）下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某校高三一级部和二级部的人数分别是m，n，本次期末考试两级部数学平均分分别是a，b，则这两个级部的数学平均分为；③某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497﹣512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组001﹣016中随机抽到的学生编号是007．其中命题正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；正确②某校高三一级部和二级部的人数分别是m、n，本次期末考试两级部数学平均分分别是a、b，则这两个级部的数学平均分为；故②错误③某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，则样本间隔为800÷50＝16，已知从497﹣﹣512这16个数中取得的学生编号是503，则设在初始在第1小组00l～016中随机抽到的学生编号是x．则503＝16×31+x，得x＝7，∴在第1小组1～l6中随机抽到的学生编号是007号，故③正确，故正确的是①③，故选：C．6．（5分）正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为（）A．B．C．D．【解答】解：取BD中点O，连结EO、FO，设正四面体的棱长为a，则OF∥CD，OE∥AB，且OF＝OE，∴∠EFO是异面直线EF与CD所成的角，取CD中点G，连结BG、AG，则AG⊥CD，BG⊥CD，∵BG∩AG＝G，∴CD⊥平面ABG，∵AB?平面ABG，∴CD⊥AB，∴OF⊥OE，∴∠EFO．∴异面直线EF与CD所成的角为．故选：B．7．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）＞，＞，＜的部分图象如图所示，若，∈，，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）＝（）A．1B．C．D．【解答】解：由图象可得A＝1，，解得ω＝2，∴f（x）＝sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（φ）＝0∴φ＝kπ，∴φ＝kπ　，k∈Z又|φ|＜，∴φ　，∴f（x）＝sin（2x），∴sin（2）＝1，即图中点的坐标为（，1），又，∈，，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），∴x1+x22，∴f（x1+x2）＝sin（2），故选：D．8．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则?（）的最小值是（）A．﹣2B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则（﹣x，y），（﹣1﹣x，﹣y），（1﹣x，﹣y），则?（）＝2x2﹣2y+2y2＝2[x2+（y）2]∴当x＝0，y时，取得最小值2×（），故选：B．9．（5分）设函数f（x）＝xcosx﹣sinx的图象上的点（x0，y0）处的切线的斜率为k，若k＝g（x0），则函数g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y＝xcosx﹣sinx，可得y′＝﹣xsinx，在点（x0，y0）处的切线的斜率为k，若k＝g（x0）＝﹣x0sinx0，函数k是偶函数，排除A，D，当x0时，k＜0，显然C不正确，B正确；故选：B．10．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．3D．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为，则F2到渐近线的距离为b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|＝2b，A为F2M的中点又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2＝c2+4b2∴3c2＝4（c2﹣a2），∴c2＝4a2，∴c＝2a，∴e＝2．故选：A．11．（5分）数列{a n}满足a1＝1，对任意n∈N*的都有a n+1＝1+a n+n，则（）A．B．2C．D．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足对任意n∈N*的都有a n+1＝1+a n+n，则a n+1﹣a n＝n+1，则a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+......+（a2﹣a1）+a1＝n+（n﹣1）+ (1)则；则2[（1）+（）+……+（）]＝2（1）；故选：C．12．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2018，则不等式e x f（x）＞e x+2017（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2017，+∞）C．（2017，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：令g（x）＝e x f（x）﹣e x，则g′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）﹣e x＝e x（f（x）+f′（x）﹣1），∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，g（x）在R上为单调递增函数，∵g（0）＝f（0）﹣1＝2018﹣1＝2017∴原不等式可化为g（x）＞g（0），根据g（x）的单调性得x＞0故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）已知函数f（x）＞，则不等式f（f（1））＝16．【解答】解：根据题意，函数f（x）＞，则f（1）＝1﹣6+9＝4，则f（f（1））＝24＝16；故f（f（1））＝16；故答案为：16．14．（5分）已知实数x，y满足＞，则的取值范围为（，]．【解答】解：实数x，y满足＞，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（，1），B（3，1），C（，），的几何意义是点（x，y）与P（﹣2，0）连线的斜率，由于PC的斜率为，PB的斜率为：．所以则的取值范围为：（，]．故答案为：（，]．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的后侧面SAC与底面垂直，高SO为，如图：其中OA＝OB＝OC＝1，SO⊥平面ABC，其外接球的球心在SO上，设球心为M，OM＝x，则x?x，∴外接球的半径R，∴几何体的外接球的表面积S＝4π　．故答案为：16．（5分）在△ABC中，已知c＝2，若sin 2A+sin2B﹣sinAsinB＝sin2C，则a+b的取值范围（2，4]．【解答】解：∵sin2A+sin2B﹣sinAsinB＝sin2C，由余弦定理可得：a2+b2﹣ab＝c2，可得cosC，C∈（0，π），∴C．由正弦定理可得：，∴a sinA，b sinB，B A．则a+b sinA sinB sin A sin（A）＝4sin，A∈，，∴∈　，，∴sin∈　，，∴a+b∈（2，4]．故答案为：（2，4]．三、解答题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n 2+2n，等比数列{b n}满足b2＝a1，b3＝a4．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）S n＝n2+2n，可得a1＝S1＝3；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+2n﹣（n﹣1）2﹣2（n﹣1）＝2n+1；上式对n＝1也成立，可得a n＝2n+1，n∈N*，等比数列{b n}的公比设为q，b2＝a1＝3，b3＝a4＝9，可得q3，则b n＝3n﹣1；（2）a n b n＝（2n+1）?3n﹣1，可得前n项和T n＝3?30+5?31+…+（2n+1）?3n﹣1，3T n＝3?3+5?32+…+（2n+1）?3n，两式相减可得﹣2T n＝3+2（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）?3n＝3+2?（2n+1）?3n，化简可得T n＝n?3n．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，，D，E分别是BC，CC1的中点．（1）证明：平面ADB1⊥平面ADE；（2）求三棱锥D﹣AB1E的高．【解答】解：（1）由已知得：所以Rt△B1BD∽Rt△DCE所以∠BB1D＝∠CDE，所以B1D⊥DE又因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC所以AD⊥平面BCC1B1，所以AD⊥B1D而AD∩DE＝D，所以B1D⊥平面ADE又B1D?平面ADB1，所以平面ADB1⊥平面ADE；（2）设三棱锥D﹣AB1E的高为h，因为，，所以，由，，，得：∠，所以∠，所以，由，得：，所以h＝1．19．（12分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60）[60，70），[70，80），[80，90）[90，00]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（2）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到0.1）；（3）在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率．【解答】解：（1）由题意知，样本容量n50，x0.004，y0.018；因为成绩是合格等级人数为：（1﹣0.1）×50＝45人，抽取的50人中成绩是合格等级的概率为P，即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为；（2）根据频率分布直方图，计算成绩的中位数为7010＝73.9；（3）由茎叶图知，A等级的学生有3人，D等级的学生有0.1×50＝5人，记A等级的学生为A、B、C，D等级的学生为d、e、f、g、h，从这8人中随机抽取2人，基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28个；至少有一名是A等级的基本事件是：概率．AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch共18个；故所求的概率为P．20．（12分）已知椭圆C：＞＞的离心率为，右焦点F2到直线l1：3x+4y＝0的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证：k?k′为定值．【解答】（Ⅰ）解：由题意得，，∴c＝1，a＝2，∴所求椭圆方程为；（Ⅱ）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y＝k（x﹣1），再设点E（x1，y1），点F（x2，y2），将直线l方程y＝k（x﹣1）代入椭圆：，整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．∵点P在椭圆内，∴直线l和椭圆都相交，△＞0恒成立，且，直线AE的方程为：，直线AF的方程为：．令x＝3，得点，，，，∴点P的坐标，，直线PF2的斜率为′，将，代入上式，得：′∴k?k'为定值．21．（12分）设函数f（x）alnx．a∈R．（1）求函数y＝f（x）的单调区间和极值．（2）若函数f（x）在区间（1，e2]内恰有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）alnx，得f′（x）＝x（x＞0），①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，函数无极大值，也无极小值；②当a＞0时，由f′（x）＝0，得x或x（舍去）．于是，当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）f′（x）﹣0+f（x）递减递增所以函数f（x）的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）．函数f（x）在x处取得极小值f（），无极大值．综上可知，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），函数既无极大值也无极小值；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间是（0，），单调递增区间为（，+∞），函数f（x）有极小值，无极大值．（2）当a≤0时，由（1）知函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，故函数f（x）在区间（1，e2]上至多有一个零点，不合题意．当a＞0时，由（1）知，当x∈（0，）时，函数f（x）单调递减；当x∈（，+∞）时，函数f（x）单调递增，所以函数f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（）．若函数f（x）在区间（1，e2]内恰有两个零点，则需满足＜＜＜＞，即＜＜＜＞整理得＜＜＞，所以e＜a．故所求a的取值范围为（e，]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ＝2sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，），求|P A|+|PB|的值．【解答】解：（1）∵圆C的方程为ρ＝2sinθ，即，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2＝2y，即x2+（y）2＝5．（2）将直线l的参数方程为（t为参数）代入5，得：（1t）2+（t）2＝5，即，∵△＝2+16＞0，∴设t1，t2是上述方程的根，则t1+t2，t1t2＝﹣4，∵点P的坐标为（1，），∴|PA|+|PB|＝|t1﹣t2|3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+1|+2．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x﹣1|+|x+1|+2，，＜＜，，∴不等式f（x）≥6可化为：或＜＜或，解得x≤﹣2或x≥2，∴不等式f（x）≥6的解集为{x|x≤﹣2或x≥2}；（2）f（x）＝|x﹣1|+|x+1|+2≥|（x﹣1）﹣（x+1）|+2＝4，若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，则a2﹣a﹣2≤4，即a2﹣a﹣6≤0，解得﹣2≤a≤3，∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤3．。

2019广东高考文科数学试卷及答案解析【word版】

2019广东高考文科数学试卷及答案解析【word版】

2019年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科) 一、选择题{}{}{}{}{}{}1.2,3,4,0,2,3,5,()..0,2.2,3.3,4.3,5M N M N A B C D ===已知集合则答案:B2.(34)25,()..34.34.34.34z i z z A i B iC iD i-==---+-+已知复数满足则答案:D 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),()..(2,1).(2,1).(2,0).(4,3)a b b a A B C D =-=--已知向量则答案:B284.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于 答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C. 5.下列函数为奇函数的是（ ）.A.x x212- B.x x sin 3 C.1cos 2+x D.xx 22+答案:A111:()2,(),()22(),222(), A.x x xx x x f x f x R f x f x f x --=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6.1000,,40,()..50.40.25.20:1000:25.40A B C D C=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为7.,,,,,,sin sin ().....::,,,sin ,sin ,sin sin .sin sin ABC A B C a b c a b A B A B C D Aa ba b A B a b A B A B∆≤≤=∴≤⇔≤在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件答案提示由正弦定理知都为正数22228.05,11().165165....05,50,160,16(5)21(16)5,x y x y k k k k A B C D k k k k k k <<-=-=--<<∴->->+-=-=-+若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又故两双曲线的焦距相等,选D.1234122334141414149.,,,,,//,,()...//..l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l ⊥⊥⊥若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与既不垂直也不平行与的位置关系不确定答案:D1212122212310.,,=,,,,z z z ωωωωωωωω*对任意复数定义其中是的共轭复数对任意复数有如下四个命题:①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*；③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真A.1B.2C.3D.412312313231323123123123121312131231231231231231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,;Bz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.二、填空题(一)必做题（11-13）''142511.53(0,2)_______.:520:5,5,25,520.12.,,,d,e ________.2:542:105x x x y e x y y e y y x x y a b c a C P C ==-+-++==-∴=-∴+=-++====曲线在点处的切线方程为答案提示所求切线方程为即从字母中任取两个不同字母,则取到字母的概率为答案提示13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.212223242525242322212152:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,5.S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则2121214.()2cos sin cos =1.,,_____________.C C x C C ρθθρθ=坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,曲线与的方程分别为与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线与交点的直角坐标为 2221212:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.()1,,2,,___________.:3:, 3.ABCD E AB EB AE AC DE F CDF AEF CDF CD EB AECDFAEF AEF AE AE=∆=∆∆+∆∆∴===∆几何证明选讲选做题如图在平行四边形中点在上且与交于点的周长则的周长答案的周长提示显然的周长三、解答题16.(本小题满分12分) 已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且532()122f π=（1） 求A 的值；（2） 若()()3,(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-5533232:(1)()sin()sin ,2 3.12123422(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336sin cos3sin 333sin ,(0,),32f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴--=+--+=+--+-===∴=∈解由得又6cos 36()3sin()3sin()3cos 3 6.66323f θππππθθθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17. 某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为 (2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)504132102011(121123412100)25212.62020+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为18.2,,,1, 2.3://,,,,,.(1):;(2).ABCD PD ABCD AB BC PC EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF CF MDF M CDE ⊥===⊥⊥-如图四边形为矩形平面作如图折叠折痕其中点分别在线段上沿折叠后点叠在线段上的点记为并且证明平面求三棱锥的体积1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 000:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2222221333132,=,,,,2442833336()(),44211362.338216CDE M CDE CDE CF DE DE PE S CD DE P CP MD ME DE PE DE V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅==-=-=-=∴=⋅=⋅⋅=即{}{}222119.,(3)3()0,.(1);(2);n n n n n n a n S S S n n S n n n N a a *-+--+=∈设各项均为正数的数列的前项和为且满足求的值求数列的通项公式(3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3):,()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)n k k n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又解法一当时(1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44111111:(),.(1)2(21)(21)(21)22121(:)n n k k a a n n n n a a k k k k k k +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-=<=-++-+-+解法二以下略注解法二的放缩没有解法一的精确,在使用中第一项不放缩时才能得到答案22220022222520.:1(0)(5,0),.3(1);(2)(,),,.55:(1)5,,3,954,31.94(2),,4x y C a b a b C P x y C P C P c c e a b a c a a x y C x y +=>>====∴==-=-=∴+=已知椭圆的一个焦点为离心率为求椭圆的标准方程若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个002200222000022222000000(3,2),(3,2).(),(),194(94)18()9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4y y k x x x y y k x x y k x k y kx x y kx k y kx y kx k y kx -±±-=-=-++=⎡⎤++-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--⎣⎦,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意即:即22222000001220220022(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2),13.k y x k x y k y k k x x y P x y +=-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±∴+=两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为'22'2'':(1)()2,20:44,1,0,()0,()(,).1,2011,(,11),()0,(),(11,11),()0,(),(11,)f x x x a x x a a a f x f x a x x a a x a f x f x x a a f x f x x a =++++=∆=-∴≥∆≤∴≥-∞+∞<++=-±-∈-∞--->∴∈----+-<∈-+-+∞解方程的判别式当时此时在上为增函数当时方程的两根为当时此时为增函数当时此时为减函数当时',()0,(),,1,()(,),1,()(,11),(11,),()(11,11).f x f x a f x a f x a a f x a a >≥-∞+∞<-∞----+-+∞----+-此时为增函数综上时在上为增函数当时的单调递增区间为的单调递减区间为3200121.()1().3(1)();111(2)0,(0,)(,1),()=().222f x x x ax a R f x a x f x f =+++∈<∈已知函数求函数的单调区间当时试讨论是否存在使得3232000033220002000000200000111111(2):()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()322422211111()()()(4236122122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-解法一2000020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,14221487214872148:,0,,8447+2148,01,7214x x a x f x f x x a a a a a a ax x a +++∴∈=+++=<∴∆=-+=->-±--±--+-=>∴--<<<-若存在使得必须在上有解方程的两根为只能是依题意即000002574811,492148121,,12127+2148155=,,,,424425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)(1212422a a a a a x a a x f x f a x f x <∴<-<-<<---=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈⎨⎬⎩⎭即又由得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1)().2f =00:0,110,()3,111,(1)()(0,1),111(0,)(,1),()=();222()30,()(0,11),(11,1),5111),()(0,),(,1),422a a i a a f x x f x f ii a f x a a a f x <∴-+->≤--+-≤∈-<<-+--+-=-解法二若从而由知在区间上是减函数故此时不存在使得若则函数在区间上递减在区间上递增若则在上递减在上递增显然此时不存在满足题意的000000;512)3,111,,(11,1),4212525255(1)()0,0,,;222412124513)0,011,,(0,11),421775(0)()0,0,,2224124x a a x x a a f f a a x a a x x a a f f a -<<-<-+-<∈-+-->+>>--<<--<<<-+-<∈-+-->--><--若则若题意中的存在则故只需即则故时存在满足题意的若则若题意中的存在则故只需即则故000007.12:25557111(,)(,),(0,)(,1)()().1244122222575111(,][,0),(0,)(,1)()().12124222a x a x f x f a x f x f <<-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭时存在满足题意的综上所述当时存在唯一的满足当时不存在使。

2019届广东省东莞市数学(文科)一模试题及答案解析

2019届广东省东莞市数学(文科)一模试题及答案解析

2019届广东省东莞市数学（文科）一模试题及答案解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,2，5}，B ={x|x ≤2}，则A ∩B =( )A. {1}B. {5}C. {1,2}D. {2,5}【答案】C【解析】解：集合A ={1,2，5}，B ={x|x ≤2}，则A ∩B =(1,2}． 故选：C ．直接求解交集即可．本题考查集合的交集的求法，基本知识的考查．2. 已知i 是虚数单位，z =4(1+i)4−3i ，则|z|=( )A. 10B. √10C. 5D. √5【答案】B【解析】解：∵z =4(1+i)4−3i =4(2i)2−3i =−1−3i ， ∴|z|=√(−1)2+(−3)2=√10． 故选：B ．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3. 现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( )A. 12B. 13 C. 16 D. 112【答案】B【解析】解：现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件总数n =C 42C 22A 22⋅A 22=6，乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数m =C 22C 22⋅A 22=2，∴乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率p =m n=26=13．故选：B ．先求出基本事件总数n =C 42C 22A 22⋅A 22=6，再求出乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数m =C 22C 22⋅A 22=2，由此能求出乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.双曲线x24−y2=1的焦点到渐近线的距离为()A. 1B. √2C. 2D. 3【答案】A【解析】解：双曲线中，焦点坐标为(±√5,0)，渐近线方程为：y=±12x，∴双曲线x24−y2=1的焦点到渐近线的距离：d=√5|√1+4=1．故选：A．分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，能求出结果．本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．5.由y=2sin(4x−14π)的图象向左平移π2个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为()A. y=2sin(8x−14π) B. y=2sin(2x+14π)C. y=2sin(2x−18π) D. y=2sin(2x−14π)【答案】D【解析】解：由y=2sin(4x−14π)的图象向左平移π2个单位，可得y=2sin(4x+2π−π4)=2sin(4x−π4)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，可得y=2sin(2x−π4)的图象，故选：D．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．6.函数y=log a(x+4)+2(a>0且a≠1)的图象恒过点A，且点A在角θ的终边上，则sin2θ=()A. −513B. 513C. −1213D. 1213【答案】C【解析】解：对于函数y =log a (x +4)+2(a >0且a ≠1)，令x +4=1，求得x =−3，y =2，可得函数的图象恒过点A(−3,2)，且点A 在角θ的终边上，∴tanθ=yx =−23，则sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=−1213，故选：C ．令对数的真数等于零，求得x 、y 的值，可得定点A 的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得tanθ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin2θ的值．本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．7. 如图所示，△ABC 中，BD⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是线段AD 的中点，则( )A. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BE ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =54AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BE ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =54AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】C【解析】解：如图所示，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =54AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：C ．利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出．本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8. 已知{a n }是等差数列，{b n }是正项等比数列，且b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6，则a 2018+b 9=( )A. 2274B. 2074C. 2226D. 2026【答案】A【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，正项等比数列{b n }的公比为q >0，∵b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6， ∴q 2=q +2，q 3=2a 1+6d ，q 4=3a 1+13d ， 解得q =2，a 1=d =1．则a 2018+b 9=1+2017+28=2274． 故选：A ．利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A. α⊥β，α∩β=m，m⊥n⇒n⊥βB. α⊥β=n，m⊂α，m//β⇒m//nC. m⊥n，m⊂α，n⊂β⇒α⊥βD. m//α，n⊂α，⇒m//n【答案】B【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，得：在A中，α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n与β相交、平行或n⊂β，故选A；在B中，α⊥β=n，m⊂α，m//β，则由线面平行的性质定理得m//n，故B正确；在C中，m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，m//α，n⊂α，则m与n平行或异面，故D错误．故选：B．在A中，n与β相交、平行或n⊂β；在B中，由线面平行的性质定理得m//n；在C中，α与β相交或平行；在D中，m与n平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数表结合思想，是中档题．10.三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=30∘，△APC的面积为2，则三棱锥P−ABC的外接球体积的最小值为()A. 4πB. 4π3C. 64π D. 32π3【答案】D【解析】解：设AC=x，由于PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC，则△APC的面积为S△APC=12AC⋅PA=2，则PA=4x，由正弦定理知，△ABC的外接圆直径为2r=ACsin∠ABC =xsin30∘=2x，所以，三棱锥P−ABC的外接球直径为2R=√PA2+(2r)2=√16x +4x2≥√2√16x⋅4x2=4，当且仅当16x2=4x2，即当x=√2时，等号成立，则R≥2．所以，该三棱锥P−ABC的外接球的体积为43πR3≥43π×23=323π．因此，三棱锥P−ABC的外接球体积的最小值为323π．故选：D．先证明PA−⊥AC，并设PA=x，利用△APC的面积得出PA=4x，然后利用正弦定理得出△ABC的外接圆直径2r的表达式，并利用公式2R=√PA2+(2r)2并结合基本不等式可得出外接球半径的最小值，最后利用球体体积公式可得出答案．本题考查球体体积的计算，考查利用基本不等式求最值，解决本题的关键在于找出合适的模型求出球体的半径，考查计算能力，属于中等题．11.在△ABC中，AB=2，C=π6，则AC+√3BC的最大值为()A. 4√7B. 3√7C. 2√7D. √7【答案】A【解析】解：△ABC中，AB=2，C=π6，则：2R=ABsinC=4，则：AC+√3BC，=4sinB+4√3sinA，=4sin(5π6−A)+4√3sinA，=2cosA+6√3sinA，=4√7sin(A+θ)，由于：0<A<5π6，0<θ<π2所以：0<A+θ<4π3，所以最大值为4√7．故选：A．直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用．12.设函数f(x)={1−log2x,x>121−x,x≤1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A. [−1,2]B. [0,2]C. [1,+∞)D. [0,+∞)【答案】D【解析】解：当x≤1时，21−x≤2的可变形为1−x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x>1时，1−log2x≤2的可变形为x≥12，∴x≥1，故答案为[0,+∞)．故选：D．分类讨论：①当x≤1时；②当x>1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=e x−1x在点(1,f(1))处的切线的斜率为______．【答案】e +1【解析】解：曲线y =e x −1x ，可得y′=e x +1x 2，所以曲线y =e x −1x 在点(1,f(1))处的切线的斜率为：y′|x=1=e +1． 故答案为：e +1．求出函数的导数，代入x =1，得到切线的斜率即可．本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，考查计算能力．14. 若x ，y 满足约束条件{x −y −1≤02x −y +1≥0x ≥0，则z =−x2+y 的最小值为______．【答案】−1【解析】解：画出约束条件{x −y −1≤02x −y +1≥0x ≥0表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z =−12x +y 过点A 时取得最小值， 由{x −y −1=0x=0，解得A(0,−)， 代入计算z =0+(−1)=−1， 所以z =−12x +y 的最小值为−1． 故答案为：−1．画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数z =−12x +y 的最小值．本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．15. 设双曲线x 29−y 26=1的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B两点，则|AF 2|+|BF 2|的最小值等于______．【答案】16【解析】解：根据双曲线x29−y26=1，得：a=3，b=√6，由双曲线的定义可得：|AF2|−|AF1|=2a=6…①，|BF2|−|BF1|=2a=6…②，①+②可得：|AF2|+|BF2|−(|AF1|+|BF1|)=12，∵过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，∴|AF1|+|BF1|=|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小．∴|AF2|+|BF2|−(|AF1|+|BF1|)=|AF2|+|BF2|−|AB|=12．|BF2|+|AF2|=|AB|+12≥2b2a +12=2×63+12=16．故答案为：16．根据双曲线的标准方程可得：a=3，b=√6，再由双曲线的定义可得：|AF2|−|AF1|= 2a=6，|BF2|−|BF1|=2a=6，所以得到|AF2|+|BF2|−(|AF1|+|BF1|)=12，再根据A、B两点的位置特征得到答案．本题考查两条线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意双曲线的简单性质的合理运用．16.圆锥底面半径为1，高为2√2，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是______．【答案】3√3【解析】解：圆锥的侧面展开图为扇形，其弧长为底面圆的周长，即2π∵圆锥的母线长为3.扇形的圆心角2π3，∴一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是：2×3√32=3√3．故答案为：3√3．利用圆锥的侧面展开图，确定扇形的圆心角，即可求得结论．本题考查旋转体表面上的最短距离，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}的首项a1=1，且a2+1、a3+1、a4+2构成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式(2)设b n=2a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n【答案】解：(1)等差数列{a n}的首项a1=1，公差设为d，a2+1、a3+1、a4+2构成等比数列，可得(a3+1)2=(a2+1)(a4+2)，即为(2+2d)2=(2+d)(3+3d)，解得d=2或−1，当d=−1时，a2+1=0，不成立，舍去，则d=2，a1=1，可得a n=2n−1；(2)b n=2a n a n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，前n项和S n=1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=1−12n+1=2n2n+1．【解析】(1)设公差为d，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d，即可得到所求通项公式；(2)求得b n=2a n a n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题．18.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式：方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：(1)用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1)，并据此判断哪种培训方式效率更高？(2)在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．【答案】解：(1)设甲乙两组员工受训的平均时间分别为t1、t2，则t1=20×5+25×10+10×15+5×2060=10(小时)----------------------------------------(2分)t2=8×4+16×8+20×12+16×1660≈10.9(小时)----------------------------------------(4分)据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因10<10.9，据此可判断培训方式一比方式二效率更高.---------------------------------------------(6分)(2)从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，则这6人中来自甲组的人数为：630×10=2，--------------------------------------------------(7分)×20=4，----------------------------------------------------------------(8分来自乙组的人数为：630)记来自甲组的2人为：a、b；来自乙组的4人为：c、d、e、f，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)，共15种，----------------------------------------------(10分)其中至少有1人来自甲组的有：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，共9种，=故这2人中至少有1人来自甲组的概率P=9153.----------------------------------------------------------(12分)5【解析】(1)分别求出甲乙两组员工受训的平均时间，据此可判断培训方式一比方式二效率更高．(2)从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，则这6人中来自甲组的人数为2，来自乙组的人数为4，记来自甲组的2人为：a、b；来自乙组的4人为：c、d、e、f，则从这6人中随机抽取2人，利用列举法能求出这2人中至少有1人来自甲组的概率．本题考查平均数、概率的求法，考查古典概型、列举法、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60∘，E是BC中点，M是PD的中点．(1)求证：平面AEM⊥平面PAD；(2)若F是PC上的中点，且AB=AP=2，求三棱锥P−AMF的体积．【答案】证明：(1)连结AC，∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60∘，∴△ABC是正三角形，∵E是BC中点，∴AE⊥BC，又AD//BC，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，∵PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，又AE ⊂平面AEM ，∴平面AEM ⊥平面PAD ． 解：(2)∵F 是PC 上的中点，且AB =AP =2， ∴AD =2，AE =√3， ∴三棱锥P −AMF 的体积：V P−AMF =V M−APF =12V F−PAD =12×12V C−PAD=14V P−ACD =14×13×S △ACD ×PA =112×12×AD ×AE ×PA =124×2×√3×2=√36． 【解析】(1)连结AC ，推导出AE ⊥BC ，AE ⊥AD ，PA ⊥AE ，从而AE ⊥平面PAD ，由此能证明平面AEM ⊥平面PAD ．(2)三棱锥P −AMF 的体积：V P−AMF =V M−APF =12V F−PAD =12×12V C−PAD ，由此能求出结果．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 已知椭圆E 的一个顶点为A(0,1)，焦点在x 轴上，若椭圆的右焦点到直线x −y +2√2=0的距离是3． (1)求椭圆E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与该椭圆交于另一点B ，当弦AB 的长度最大时，求直线l 的方程．【答案】解：(1)由题意：b =1，右焦点(c,0)(c >0)到直线x −y +2√2=0的距离为： d =√2|√2=3，∴c =√2，又∵a 2−b 2=c 2，∴a =√3，又∵椭圆E 的焦点在x 轴上，∴椭圆E 的方程为：x 23+y 2=1(2)①当直线l 的斜率不存在时，|AB|=2； ②当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx +1， 联立{y =kx +1x 23+y 2=1，得：(1+3k 2)x 2+6kx =0，∵x A =0，∴x B =−6k 1+3k 2，∴|AB|=√1+k 2|x B −x A |=√1+k 2⋅6|k|1+3k 2， ∴|AB|2=36k 2(1+k 2)(1+3k 2)2，设1+3k 2=t ≥1，则k 2=t−13记f(t)=4(t 2+t−2)t 2=4[−2(1t )2+1t +1]，∴1t =14，即t=4，k=±1时，|AB|=f(t)取得最大值92>2，此时直线l：y=x+1或y=−x+1．【解析】(1)根据点到直线的距离列式求得c，再求得a；(2)根据弦长公式求得弦长后，换元成二次函数求最值．本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题．21.已知函数f(x)=xe x+a(lnx+x)．(1)若a=−e，求f(x)的单调区间；(2)当a<0时，记f(x)的最小值为m，求证：m≤1．【答案】(1)解：当a=−e时，f(x)=xe x−e(lnx+x)，f(x)的定义域是(0,+∞)……(1分)f′(x)=(x+1)e x−e(1x +1)=(x+1x)(xe x−e)，…………………………………(2分)当0<x<1时，；当x>1时，0.'/> (3))所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞).……………(4分) (2)证明：由(1)得f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=x+1x(xe x+a)，令g(x)=xe x+a，则g′(x)=(x+1)e x>0，g(x)在(0,+∞)上单调递增，………………………(5分)因为a<0，所以g(0)=a<0，g(−a)=−ae−a+a>−a+a=0，故存在x0∈(0,−a)，使得g(x0)=x0e x0+a= 0.…………………………………………(6分)当x∈(0,x0)时，g(x)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x0,+∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增；故x=x0时，f(x)取得最小值，即m=f(x0)=x0e x0+a(lnx0+x0)，…………………………(8分)由x0e x0+a=0，得m=x0e x0+aln(x0e x0)=−a+aln(−a)，………………………………(9分)令x=−a>0，h(x)=x−xlnx，则，当x∈(0,1)时，0'/>，h(x)=x−xlnx单调递增，………………………………(10分)当x∈(1,+∞)时，，h(x)=x−xlnx单调递减，………………………………(11分)故x=1，即a=−1时，h(x)=x−xlnx取最大值1，故m≤1.……………………(12分)【解析】(1)代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，得到m=x0e x0+aln(x0e x0)=−a+aln(−a)，令x=−a>0，h(x)=x−xlnx，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：{y =1+tsinαx=tcosα(t 为参数，α∈[0,π))，曲线C 的极坐标方程为：ρ=4sinα．(1)写出曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，若|PQ|=√15，求直线l 的斜率．【答案】解：(1)曲线C 的极坐标方程为：ρ=4sinα．转换为直角坐标方程为：x 2+y 2=4y ．∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4．(2)把 {y =1+tsinαx=tcosα代入x 2+y 2=4y ，整理得t 2−2tsinα−3=0设其两根分别为 t 1和t 2，则t 1+t 2=2sinα，t 1t 2=−3，∴|PQ|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4sin α+12=√15得sinα=√32，α=π3或2π3，∴直线l 的斜率为±√3．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23. 设函数f(x)=|x +1|+|x −2|．(1)求不等式f(x)≤3的解集；(2)当x ∈[2,3]时，f(x)≥−x 2+2x +m 恒成立，求m 的取值范围．【答案】解：(1)f(x)=|x +1|+|x −2|={1−2x,x ≤−13,−1<x <22x −1,x ≥2，由f(x)≤3，解得：1≤x ≤2，故不等式的解集是{x|−1≤x ≤2}；(2)当x ∈[2,3]时，f(x)=2x −1，由f(x)≥−x 2+2x +m ，得2x −1≥−x 2+2x +m ，即m ≤x 2−1在x ∈[2,3]恒成立，故m ≤3，即m 的范围是(−∞,3]．【解析】(1)通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可；(2)问题转化为m ≤x 2−1在x ∈[2,3]恒成立，求出m 的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及转化思想，分类讨论思想，是一道常规题．。

2019年广东省佛山市高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2019年广东省佛山市高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2019年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（0，1）2．（5分）复数z满足（z+i）（2+i）＝5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．﹣2﹣2i3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．7B．8C．15D．164．（5分）命题“∀x∈N*，f（x）≤x”的否定形式是（）A．∀x∈N*，f（x）＞x B．∀x∉N*，f（x）＞xC．∃x0∈N*，f（x0）＞x0D．∃x0∉N*，f（x0）＞x05．（5分）不透明的布袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只黄球，2只红球，从中随机摸出2只球，则这两只球颜色不同的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，sin C＝，则＝（）A．B．C．2D．37．（5分）若曲线y＝e x在x＝0处的切线，也是y＝lnx+b的切线，则b＝（）A．﹣1B．1C．2D．e8．（5分）a＝log2，b＝log3，c＝log，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c9．（5分）执行如图所示程序框图，若输出的S值为﹣20，则条件框内应填写（）A．i＞3？B．i＜4？C．i＞4？D．i＜5？10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）两条相邻对称轴为x ＝和x＝，若f（0）＝，则f（）＝（）A．﹣B．﹣C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2＝4x和直线l：x﹣y+1＝0，F是C的焦点，P是l上一点过P 作抛物线C的一条切线与y轴交于Q，则△PQF外接圆面积的最小值为（）A．B．C．D．2π12．（5分）设a为常数，函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，给出以下结论：①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0：③若a＜0，则当x＜0时，f（x）＜0其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题每小题5分满分20分13．（5分）已知双曲线＝1（a＞0）的离心率为a，则该双曲线的渐近线为．14．（5分）已知f（x）＝x|x|，则满足f（2x﹣1）+f（x）≥0的x的取值范围为．15．（5分）已知矩形ABCD，AB＝1，AD＝，E为AD的中点现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使点A，D重合，记为点P，则几何体P﹣BCE的外接球表面积为．16．（5分）等腰直角△ABC内（包括边界）有一点P，AB＝AC＝2，＝1，则||的取值范围是．三、解答题本大题共5小题共70分解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）数列{a n}中，a1＝1，a n+a n+1＝pn+1，其中p为常数．（Ⅰ）若a1，a2，a4成等比数列，求P的值：（Ⅱ）若p＝1，求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：用这44人的两科成绩制作如下散点图：学号为22号的A同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的B同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将A、B两同学的成绩（对应于图中A、B两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ＝0.8222，回归直线l（如图所示）的方程为y＝0.5006x+18.68．（Ⅰ）若不剔除A、B两同学的数据，用全部44的成绩作回归分析，设数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ0，回归直线为l0，试分析γ0与γ的大小关系，并在图中画出回归直线l0的大致位置．（Ⅱ）如果B同学参加了这次物理考试，估计B同学的物理分数（精确到个位）：（Ⅲ）就这次考试而言，学号为16号的C同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式Z i＝统一化成标准分再进行比较，其中X i为学科原始分，为学科平均分，s为学科标准差）．19．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，E、F分别是CD边上的三等分点将△ADF，△BCE分别沿AF、BE折起到△AD′F、△BC′E的位置，且使平面AD′F⊥底面ABCD，平面BC′E⊥底面ABCD，连结D'C’．（Ⅰ）证明：D′C′∥平面ABEF；（Ⅱ）求点A平面EFD′C′的距离．20．（12分）已知过点D（4，0）的直线1与椭圆C：＝1交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1y2≠0，O为坐标原点．（Ⅰ）若x1＝0，求△OAB的面积：（Ⅱ）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA与TB的斜率互为相反数？21．（12分）已知a是常数函数f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x．（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若0＜a＜1，证明：f（e a）＞﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数，a＞0），直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）若a＝2，求曲线C与l的普通方程；（Ⅱ）若C上存在点P，使得P到l的距离为，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+x，a∈R．（Ⅰ）若f（1）+f（2）＞5，求a的取值范围；（Ⅱ）若a，b∈N*，关于x的不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，），求a，b的值．2019年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：解二次不等式x2﹣2x＜0，得0＜x＜2，所以集合A＝（0，2），又B＝（﹣1，1），所以A∩B＝（0，1），故选：D．2．【解答】解：由（z+i）（2+i）＝5，得＝2﹣2i．∴．故选：A．3．【解答】解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图：由z＝2x+y知，所以动直线y＝﹣2x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（3，2）．结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z＝2×3+2＝8．故选：B．4．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈N*，f（x）≤x”的否定形式是：∃x0∈N*，f（x0）＞x0故选：C．5．【解答】解：∵不透明的布袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只黄球，2只红球，从中随机摸出2只球，基本事件总数n＝＝6，则这两只球颜色不同的对立事件为这两只球的颜色相同，∴这两只球颜色不同的概率为p＝1﹣＝．故选：A．6．【解答】解：由题意可设AB＝AD＝x，BD＝，△ABD中由余弦定理可得，cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴sin A＝，∵sin C＝，△ABC中，由正弦定理可得，，，∴BC＝则＝＝2，故选：C．7．【解答】解：y＝e x的导数为y′＝e x，曲线y＝e x在x＝0处的切线斜率为k＝1，则曲线y＝e x在x＝0处的切线方程为y﹣1＝x，y＝lnx+b的导数为y′＝，设切点为（m，n），则＝1，解得m＝1，n＝2，即有2＝ln1+b，解得b＝2．故选：C．8．【解答】解：∵a＝log2＝log23﹣1，b＝log3＝log34﹣1，2＝log24＞log23＞log34＞log33＝1，c＝log＞＝1，∴a，b，c的大小关系是c＞a＞b．故选：B．9．【解答】解：模拟执行程序，可得：i＝1，S＝10，满足判断框内的条件，第1次执行循环体，S＝10﹣21＝8，i＝2，满足判断框内的条件，第2次执行循环体，S＝8﹣22＝4，i＝3，满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S＝4﹣23＝﹣4，i＝4，满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S＝﹣4﹣24＝﹣20，i＝5，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S值为﹣20，则条件框内应填写：i＜5，故选：D．10．【解答】解：f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）两条相邻对称轴为x＝和x＝，∴T＝2（﹣）＝π，∵ω＞0，∴ω＝＝3，即f（x）＝A sin（3x+φ），∵对称轴为x＝和x＝，∴φ+，∴φ＝kπ，∵0＜φ＜π，∴φ＝，f（x）＝A sin（3x+），∵f（0）＝A sin＝，∴A＝则f（）＝A sin（φ）＝＝，故选：C．11．【解答】解：如下图所示，设过点A所作的切线与抛物线C相切于点M（x0，y0），则，易知，直线PM的方程为y0y＝2x+2x0，即，该直线的斜率为，直线PM交y轴于点，所以，直线FQ的斜率为，∵k PM•k FQ＝﹣1，所以，FQ⊥PQ，将直线l的方程与PM的方程联立得，解得，所以，点P的坐标为，由两点间的距离公式可得＝，所以，当y0＝0时，|PF|取得最小值，则△PFQ的外接圆的半径的最小值为，因此，△PFQ的外接圆的面积的最小值为．故选：A．12．【解答】解：函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，可得f（0）＝0，f（x）恒过原点，①，若a＞1，由f（x）的导数为f′（x）＝e x（x﹣a+1），即有x＞a﹣1时，f（x）递增；x＜a﹣1时，f（x）递减，可得x＝a﹣1处取得最小值，且f（a﹣1）＝a﹣e a﹣1，由e x≥x+1，可得a﹣e a﹣1＜0，即有f（a﹣1）＜0，f（a）＝a＞0，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点，故正确；②，若0＜a＜1，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且x→+∞时，f（x）→+∞，x→﹣∞时，f（x）→a，结合图象可得x＜a﹣1时存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0，故正确；③，若a＜0，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且f（0）＝0，x→﹣∞时，f（x）→a，结合图象可得当x＜0时，f（x）＜0，故正确．故选：D．二、填空题：本大题共4小题每小题5分满分20分13．【解答】解：双曲线＝1（a＞0）的离心率为a，可得：，解a ＝1，所以双曲线方程为：＝1，所以该双曲线的渐近线为y＝±x．故答案为：y＝±x．14．【解答】解：根据题意，f（x）＝x|x|＝，则f（x）为奇函数且在R上为增函数，则f（2x﹣1）+f（x）≥0⇒f（2x﹣1）≥﹣f（x）⇒f（2x﹣1）≥f（﹣x）⇒2x﹣1≥﹣x，解可得x≥，即x的取值范围为[，+∞）；故答案为：[，+∞）．15．【解答】解：∵AB＝1，AD＝，E为AD中点，可得∠EPB＝∠EPC＝90°，∠CPB＝90°，∴P﹣BCE为长方体一角，其外接球直径为长方体的体对角线长，∴2R＝＝，∴R＝，∴外接球表面积为4π×＝，故答案为：．16．【解答】解：建立以点A为直角坐标系的原点，AB，AC所在直线为x轴，y轴的直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，2），设P（x，y），则＝（﹣x，﹣y），＝（2﹣x，﹣y），由＝1，得：（x﹣1）2+y2＝2，图象为以F（1，0）为圆心，为半径的圆，由图可知D（0，1）由圆的知识可知：||取最小时为|CE|＝|CF|﹣＝，最大为|CD|＝1，故||的取值范围是：[，1]，故答案为：[，1]，三、解答题本大题共5小题共70分解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．【解答】解：（Ⅰ）a1＝1，a n+a n+1＝pn+1，可得a1+a2＝p+1，a2+a3＝2p+1，a3+a4＝3p+1，解得a2＝p，a3＝p+1，a4＝2p，若a1，a2，a4成等比数列，可得a22＝a1a4，即p2＝2p，解得p＝2（0舍去）；（Ⅱ）若p＝1，可得a n+a n+1＝n+1，当n为偶数时前n项和S n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）＝2+4+…+n＝•（2+n）＝；当n为奇数时，S n＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a n﹣1+a n）＝1+3+5+…+n＝（1+n）•＝．综上可得S n＝．18．【解答】解：（Ⅰ）γ0＜γ，说明理由可以是：①离群的点A，B会降低变量间的线性关联程度，②44个数据点与回归直线l0的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，③42个数据点与回归直线l的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，④42个数据点更加贴近回归直线l，⑤44个数据点与回归直线l0更离散，或其他言之有理的理由均可；，要点：直线l0斜率须大于0且小于l的斜率，具体位置稍有出入没有关系，无需说明理由；（Ⅱ）令x＝125，代入y＝0.5006x+18.68≈81，故估计B同学的物理分数大约是81分；（Ⅲ）由表中知C同学的数学原始分为122，物理原始分为82，数学标准分为Z16＝＝≈0.63，物理标准分为Z16＝＝≈0.72，0.72＞0.63，故C同学物理成绩比数学成绩要好一些．19．【解答】证明：（Ⅰ）分别过D′，C′作AF，BE的垂线，垂足为M，N，连结MN，∵平面AD′F⊥平面ABEF，且平面AD′F∩平面ABEF＝AF，∴D′M⊥平面ABEF，同理可证C′N⊥平面ABEF，∴D′M∥C′N，∵△AD′F≌△BC′E，∴D′M＝C′N，∴四边形D′MNC′为平行四边形，∴D′C′∥MN，∵D′C′⊄平面ABEF，MN⊂平面ABEF，∴D′C′∥平面ABEF．解：（Ⅱ）连结DD′，在Rt△D′AF中，D′F＝AD′＝1，∴D′M＝，∵＝，∴V D′﹣ADF＝＝＝，设点A到平面EFD′C′的距离为h，∵＝1，D′F＝DF＝1，∴S△DFD′＝，∴V A﹣DFD′＝＝，∵V A﹣DFD′＝V D′﹣ADF，∴，解得h＝，∴点A平面EFD′C′的距离为．20．【解答】解：（Ⅰ）当x1＝0时，A（0，1）或A（0，﹣1），由对称性，不妨令A（0，1），此时直线l：x+4y﹣4＝0，联立，消x整理可得5y2﹣8y+3＝0，解得y1＝1，或y2＝，故B（，），所以△OAB的面积为×1×＝，（Ⅱ）显然直线l的斜率不为0，设直线l：x＝my+4，联立，消去x整理得（m2+4）y2+8my+12＝0，所以△＝64m2﹣4×12（m2+4）＞0，即m2＞12，则y1+y2＝﹣，y1y2＝，设T（t，0），则k TA+k TB＝+＝＝，因为直线TA与TB的斜率互为相反数，所以k TA+k TB＝0，即2my1y2+（4﹣t）（y1+y2）＝+＝＝0，解得t＝1，故x轴上存在定点T（1，0），使得直线TA与TB的斜率互为相反数．21．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（1﹣）lnx＝，①若a≤0，则由f′（x）＝0，解得：x＝1，且f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，由f′（x）＞0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；②若a＞0，则由f′（x）＝0解得：x＝1或x＝2a，（i）若2a＜1即0＜a＜时，由f′（x）＜0，解得：2a＜x＜1，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜2a或x＞1，故f（x）在（2a，1）递减，在（1，+∞）递增；（ii）若2a＝1即a＝时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增；（iii）若2a＞1即a＞时，由f′（x）＜0，解得：1＜x＜2a，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞2a，故f（x）在（0，1）递增，在（1，2a）递减，在（2a，+∞）递增；（Ⅱ）f（e a）＝a（e a﹣a2）﹣e a，由f（e a）＞﹣1得a（e a﹣a2）﹣e a＞﹣1，故（a﹣1）e a＞a3﹣1（*），而0＜a＜1，故（*）等价于e a＜a2+a+1⇔＞1，令g（a）＝（0＜a＜1），则g′（a）＝＞0，故g（a）在（0，1）递增，故g（a）＞g（0）＝1，故f（e a）＞﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（θ为参数，a＞0），由于：a＝2，故：（θ为参数），所以转换为直角坐标方程为：．（Ⅱ）设点P（a cosθ，sinθ），则：点P到直线的距离d＝＝，当时，即a时，，当时，即：时，，由于：，．当a时，，解得：故：a的取值范围是：[．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）由f（1）+f（2）＞5得|1﹣a|+|2﹣a|＞2，当a≥2时，a﹣1+a﹣2＞2，解得：a＞，当1≤a＜2时，a﹣1+2﹣a＞2，不等式无解，当a≤1时，1﹣a+2﹣a＞2，解得：a＜，综上，a的范围是（﹣∞，）∪（，+∞）；（Ⅱ）∵f（x）＜b，∴|x﹣a|+x＜b，当x≥a时，x﹣a+x＜b，解得：x＜，当x＜a时，a﹣x+x＜b，得a＜b，由不等式的解集是（﹣∞，），则，又a，b∈N*，故a＝1，b＝2．。

2019年广州一模文科答案

2019年广州一模文科答案

2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2 ．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3 ．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D D A C B C A D B C 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题 5 分，满分20 分．其中14~15 题是选做题，考生只能选做一题．11．1,2 12 ．12. 38 13 ．8 ， 2 2n n 14 ．111, 15 ．4 6说明：①第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．②第14题的正确答案可以是：111,2k ( k Z).6三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵ f (x) 的最大值为2，且 A 0 ，∴A 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵f ( x) 的最小正周期为8，∴ 2T 8 ，得 4 . ⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴( ) 2sin( )f x x . ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4 4（2）解法1：∵ f (2) 2sin 2cos 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2 4 4f (4) 2sin 2sin 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4 4∴P(2, 2), Q(4, 2) . ⋯⋯⋯⋯⋯7 分∴OP 6, PQ 2 3, OQ 3 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分∴cos POQ2 2 22 2 2 63 2 2 3 3OP OQ PQ2 OP OQ 2 63 2 3.⋯⋯12分解法2：∵(2)2sin 2 c o s 2f ，⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2 4 4f (4) 2sin 2sin 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4 4∴P(2, 2), Q(4, 2) . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分∴OP (2, 2), OQ (4, 2). ⋯⋯⋯⋯⋯10 分∴cos POQ cos OP ,OQ O P OQOP OQ6 336 3 2. ⋯⋯⋯⋯⋯12 分解法3: ∵(2) 2sin 2cos 2f ，⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2 4 4yPf (4) 2sin 2sin 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4 4∴P(2, 2), Q(4, 2) . ⋯⋯⋯⋯⋯7 分O P1Q1x作PP x轴,QQ x轴,垂足分别为P,Q ,1 1 1 1 Q∴O P 6, OP 2, PP 2, OQ 3 2, OQ14, QQ1 2 . ⋯⋯⋯8 分1 1设POP , QOQ ,1 13 6 1 2 2则s in ,cos ,sin ,cos . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分3 3 3 3∴cos POQ cos 3cos cos sin sin . ⋯⋯⋯12 分317．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解: 样本中产量在区间45, 50 上的果树有 a 5 20 100a （株），⋯⋯⋯⋯ 1 分样本中产量在区间50, 60 上的果树有 b 0. 02 5 20 100 b 0. 02（株），⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分依题意，有4100a 100 b 0. 02 ，即34a b 0. 02 . ①⋯⋯⋯⋯3 分3根据频率分布直方图可知0. 02 b 0. 06 a 5 1，②⋯⋯⋯⋯ 4 分解①②得: a 0. 08, b 0. 04 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2）解：样本中产量在区间 50, 55 上的果树有 0. 04 5 20 4 株，分别记为A , A , A , 123A ，⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯7 分4产量在区间55, 60 上的果树有 0. 02 5 202 株，分别记为B , B . ⋯ 8 分 12从这6 株果树中随机抽取两株共有15 种情况：A 1, A 2 , A 1, A 3 ， A 1, A 4A ,B , A , B , A , A , A , A , A , B , A , B , 111223242122A , A , 34A ,B ,31A ,B ，3 2 A , B , A , B ,4 1 4 2B , B . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分1 2其中产量在55, 60 上的果树至少有一株共有9 种情况：A , B , A , B ,1 1 1 2A ,B , A , B , A , B , A , B ,2 1 2 23 1 3 2 A , B , A , B ，4 1 4 2B , B . ⋯⋯⋯111 2分记“从样本中产量在区间50, 60 上的果树随机抽取两株，产量在区间55, 60 上的9 3果树至少有一株被抽中”为事件M，则P M . ⋯⋯⋯⋯⋯12 分15 518．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）(1) 证明:连接A C ，AC 与BD 相交于点O , 连接M O ，∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点. ⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵M 为PC 的中点，∴MO // AP . ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∵PA 平面BMD , MO 平面BMD ,∴PA // 平面BMD . ⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分(2) 证明:∵PD 平面ABCD ，AD 平面ABCD ，∴PD AD . ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∵BAD BCD 60 ，AB 2AD ，P∴ 2 2 2 2 60BD AB AD AB AD cos M2 2 2 2 ABAD AD2 2AB AD . ⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分D N C∴ 2 2 AB AD2BD . AOB∴AD BD . ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∵PD BD D ，PD 平面PBD ，BD 平面PBD ，∴AD 平面PBD . ⋯⋯⋯⋯⋯7 分∵PB 平面PBD ，∴AD PB . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分（3）解：取CD 的中点N ，连接M N ，则M N // PD 且 1MN PD .2∵PD 平面ABCD ，PD 2 ，∴MN 平面ABCD ，MN 1. ⋯⋯⋯⋯⋯9 分1 12 2在Rt△PCD 中，CD AB PD 2 ，DM PC PD CD 2 ，2 2∵BC // AD , AD PB ,∴BC PB .在Rt△PBC 中，1BM PC 2 .2在△BMD 中，BM DM ，O为B D 的中点,∴MO BD .在Rt△ABD 中，60 2 3 3BD AB sin .2在Rt△MOB 中，MO BM 2 OB25 2.∴ 1 3 S AD BD ，ΔABD2 21 15S BD MO . ⋯⋯⋯⋯11 分ΔMBD2 4设点A到平面BMD 的距离为h，∵V V ，M ABD A MBD∴13 MN1S hΔABD3S . ⋯⋯⋯⋯⋯12 分ΔMBD即13 13213h154，解得2 5h . ⋯⋯⋯⋯⋯13 分52 5 ∴点 A 到平面 BMD 的距离为5. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯14 分19．（本小题满分 14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：∵当n 2 时，S S S ，1 4 1 5n n n∴S1S 4 S S 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯1 分n n n n∴a a . ⋯⋯⋯⋯⋯2 分1 4n n∵a，1 2 a2 8 ，∴a24a1 . ⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴数列a是以na1 2为首项，公比为 4 的等比数列.∴n 1 2n 1a 2 4 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯4 分n（2）解：由（1）得：2n 1log log ，⋯⋯⋯⋯⋯5 分2a 2 2 2n 1n∴T log a log a log an 2 1 2 2 2 n1 3 2n 1 ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分n 1 2n 12 ⋯⋯⋯⋯⋯7 分2n . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分（3）解：1 1 11 1 1T T T2 3 n1 1 11 1 12 2 22 3 n⋯⋯⋯⋯⋯9 分2 2 2 22 13 14 1 n 12 2 2 22 3 4 n1 32 43 5 n 1 n 12 2 2 22 3 4 n⋯⋯⋯⋯⋯10分n 1. ⋯⋯⋯⋯⋯11 分2n令n 12n10102013，解得：4n 287 . ⋯⋯⋯⋯⋯13 分7故满足条件的最大正整数n的值为287 . ⋯⋯⋯⋯⋯14 分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆 C 的方程为12 2x y2 2 1a b 0 ,a b2 22 32 2a b2 2a b 1,4.解得:2a2b16,12.依题意: ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴椭圆C 的方程为12 2x y16 121. ⋯⋯⋯⋯⋯3 分解法2：设椭圆2 2x yC 的方程为2 2 11a ba b 0 ，根据椭圆的定义得2a AF AF 8，即a 4，⋯⋯⋯⋯⋯1 分1 2∵c 2 ，∴b2 a2 c2 12 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴椭圆2 2x yC 的方程为116 121.⋯⋯⋯⋯⋯3 分1 1 12 2 2 2(2) 解法1：设点)B( x1, x , C(x2 , x ) ，则BC (x2 x , ( x x )) ，1 2 1 2 14 4 412BA (2 x1,3 x ) ，14 ∵A, B, C 三点共线,∴BC // BA. ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∴1 12 2 2x x 3 x x x 2 x , 2 1 1 2 1 14 4化简得：2(x x ) x x 12. ①⋯⋯⋯⋯⋯ 51 2 1 2分由 2 4x y , 即12y x , y412x . ⋯⋯⋯⋯⋯ 6分1 x2 1∴抛物线C在点B 处的切线x1 x xl 的方程为y( ) ，1 2 14 2即x 11 2y x x . ②⋯⋯⋯⋯⋯712 4分同理，抛物线C在点C 处的切线l 的方程为2 2x 12 2y x x . ③⋯⋯⋯⋯⋯822 4分设点P(x, y) ，由②③得：x 1 x 1 2 1 2 2x x x x，1 22 4 2 4而1x1 x ，则x ( ) . ⋯⋯⋯⋯⋯9 分x1 x2 22代入②得1y x x ，⋯⋯⋯⋯⋯10 分1 24则2x x x ，4y x1x2 代入①得4x 4y12 ，即点P 的轨迹方程为1 2y x 3. ⋯⋯⋯⋯⋯11 分若P F PF AF AF ，则点P 在椭圆C1 上，而点P 又在直线y x 3上，1 2 1 2⋯⋯⋯⋯⋯12 分∵直线y x 3经过椭圆 C 内一点(3,0) ,1∴直线y x 3与椭圆 C 交于两点. ⋯⋯⋯⋯⋯13 分1∴满足条件P F PF AF AF 的点P 有两个. ⋯⋯⋯⋯⋯14 分1 2 1 2...解法2：设点B(x1 , y1 ) , C( x2 , y2 ) ，P(x0 , y0 ) ，由 2 4x y , 即12y x , 得y412x . ⋯⋯⋯⋯⋯ 4分∴抛物线 C 在点B 处的切线2x1l 的方程为y1 (x x )y ，1 12即x 11 2y x y x . ⋯⋯⋯⋯⋯5 分1 12 2∵1 x2 11xy x ，∴y x y1 .1 412∵点P( x , ) 在切线yx1l 上, ∴y x0 y1 . ①⋯⋯⋯⋯⋯ 612分同理，x2y x y . ②⋯⋯⋯⋯⋯70 20 2分x 综合①、②得，点B( x1, y ), C(x , y ) 的坐标都满足方程x yy0 01 2 22 ∵经过B( x1 ,y ),C(x , y )两点的直线是唯一的，1 2 2 . ⋯⋯8 分x ∴直线L 的方程为x yy0 02 ，⋯⋯⋯⋯⋯9 分∵点A( 2,3) 在直线L 上，∴y0 x0 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分∴点P 的轨迹方程为y x 3. ⋯⋯⋯⋯⋯11分若P F PF AF AF ，则点P 在椭圆C 上，又在直线y x 3上，⋯12 分1 2 1 2 1∵直线y x 3经过椭圆C 内一点(3,0) ,1∴直线y x 3与椭圆C交于两点. ⋯⋯⋯⋯⋯13 分1∴满足条件PF PF AF AF 的点P 有两个. ⋯⋯⋯⋯⋯141 2 1 2...解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为y k x 2 3，由y k x2,x 4y,2 3 消去y ，得 2 4 8 120x k x k . ⋯⋯⋯⋯⋯4分设B x , y , C x , y , 则1 12 2 x1 x2 4k, x1x2 8k 12. ⋯⋯⋯⋯⋯ 5分由 2 4x y , 即12y x , 得y412x . ⋯⋯⋯⋯⋯ 6分∴抛物线 C 在点B 处的切线2x1l 的方程为y y1 (x x ) ，1 12即x11 2y x y x . ⋯⋯⋯⋯⋯71 12 2...∵ 12y x ，∴1 41x 121y x x .12 4x 12 2同理, 得抛物线C在点C 处的切线l2 的方程为y x x . ⋯⋯⋯⋯⋯82 22 4 分由x 11 2y x x ,12 4解得x x1 2 ,x 2k2x 12 ,2y x x22 4x xy 2k 3.1 24∴P 2k, 2k 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分∵P F PF AF AF ,1 2 1 22 2x y∴点P 在椭圆C1 : 1上. ⋯⋯⋯⋯⋯11 分16 12∴2 22k 2k 316 121.化简得 27k 12k 3 0.(*) ⋯⋯⋯⋯⋯12 分由 2Δ12 4 7 3 228 0 , ⋯⋯⋯⋯⋯13 分可得方程(*) 有两个不等的实数根.∴满足条件的点P 有两个. ⋯⋯⋯⋯⋯14 分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵2 3x xy f2(x) kx 1 x kx, ⋯⋯⋯⋯⋯1 分2 3∴ 2 2y 1 x x k ( x x k 1). ⋯⋯⋯⋯⋯2 分方程 2 1 0x x k 的判别式2Δ 1 4 k 1 3 4k .当3k 时，Δ0 ，42y (x x k 1) 0，故函数y f2(x) kx 在R上单调递减；⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分...当3k 时，方程41 3 4k2 1 0x x k 的两个实根为x ，121 3 4kx . ⋯⋯⋯⋯⋯ 422 分则x, x 时，y 0 ；x x1, x2 时，y 0；x x2 , 时，y 0 ；1故函数y f2(x) kx 的单调递减区间为, x1 和x2, ，单调递增区间为x , x . ⋯⋯⋯⋯⋯5 分1 2*（2）解：存在t 1，对于任意n N ，关于x的方程f n (x) 0在区间t, t 1 上有唯......一实数解，理由如下： 当 n 1时， f xx ，令 1( ) 1f 1(x) 1 x 0，解得 x 1，∴关于x的方程f 1( x) 0有唯一实数解 x 1. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯6 分当 n 2时，由f (x) 1 x n2 32n 1xx x，232n 1得22n 32n 2f (x)1 x x x x.⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯7 分n若 x 1，则f (x)f ( 1)(2n 1) 0 ，nn若 x 0 ，则f (x)1 0 ,⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 8 分n若 x 1且 x 0 时，则f (x)n2n 11 x x 1,⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯9 分当 x 1时，2n 1x 1 0, x1 0, f (x) 0 ,n当 x1时，2n 1x 1 0,x 1 0, f (x) 0 ,n∴ f n (x) 0，故f ( x)在 (, ) 上单调递减.⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 10 分n∵ f n1 1 1 111(1) (1 1) ( ) ( )( )2 3 4 52n 2 2n 10 ， ⋯ ⋯ ⋯ 11分f n2 3 4 5 2n 2 2n 1 2 2 2 22 2 (2) (1 2) ( ) ( ) ( ) 2345 2n 2 2n 1 1 2 1 2 1 2 1 ( )2 ( )2( )2 2 3 4 52n 2 2n 1242n 2132n 3242n 21 2 2 22 34 5 (2n 2)(2 n 1)0 . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯12 分∴方程f n (x) 0在1,2 上有唯一实数解 .⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 13 分当 x , 1 时，fx f 10；当 x2,时， fx f2 0 .nnnn综上所述，对于任意n Nf x在区间1, 2 上有唯一实数解 .*，关于x的方程( ) 0n∴ t 1.⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 14 分。

广东省2019届广州市高中毕业班综合测试(一)文科数学试题附(解析版)

广东省2019届广州市高中毕业班综合测试(一)文科数学试题附(解析版)

2019年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B ={x|x＞0}，则（）A. A∩B=⌀B. A∪B=RC. B⊆AD. A⊆B2.已知a为实数，若复数（a+i）（1-2i）为纯虚数，则a=（）A. −2B. −12C. 12D. 23.已知双曲线C：x2−y2b2=1的一条渐近线过点（b，4），则C的离心率为（）A. √52B. 32C. √5D. 34.a⃗，b⃗ 为平面向量，己知a⃗=（2，4），a−-2b⃗ =（0，8），则a⃗，b⃗ 夹角的余弦值等于（）A. −45B. −35C. 35D. 455.若sinα＞sinβ＞0，则下列不等式中一定成立的（）A. sin2α>sin2βB. sin2α<sin2βC. cos2α>cos2βD. cos2α<cos2β6.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A. ba B. abC. 3abD. 3ba7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则直线CE与D1F所成角的大小为（）A. π6B. π4C. π3D. π28.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h=f（t）的图象大致是（）A. B. C. D.9.函数f(x)=sin(x+π12)+sin(x+5π12)最大值是（）A. 2B. 32C. √3D. 2√310.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A. 13π2B. 7πC. 15π2D. 8π11.已知F为抛物线C：y2=6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则|AB|=（）A. 6B. 8C. 10D. 1212.已知函数f（x）=e|x|-ax2，对任意x1＜0，x2＜0，都有（x2-x1）（f（x2）-f（x1））＜0，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,e2] B. (−∞,−e2] C. [0,e2] D. [−e2,0]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=x3+a log3x，若f（2）=6，则f(12)=______．14.已知以点（1.2）为圆心的圆C与直线x+2y=0相切，则圆C的方程为______．15.已知关于x，y的不等式组{2x−y+1≥0x+m≤0y+2≥0，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0-2y0=2，则m的取值范围是______．16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，c=3，C=2B，则△ABC的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是等差数列，且lg a1=0，lg a4=1．（1）求数列{a n}的通项公式（2）若a1，a k，a6是等比数列{b n}的前3项，求k的值及数列{a n+b n}的前n项和．18.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD=√6，cos∠BPD=−√33，求三棱锥A-BCD的体积．19.某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表；学时数[5，10）[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）男性181299642女性24827134（1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．（3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”．请根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？非十分爱好该课程者十分爱好该课程者合计男性女性合计100附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.82820.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（1，0），点P(23，2√63)在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆C相交于A，B两点，问y轴上是否存在点M，使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若在在，求点M的坐标：若不存在，说明理由．21.已知函数f（x）=e x-1+a，g（x）=ln x，其中a＞-2．（1）讨论函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点个数；（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象无交点，设直线y=t与的数y=f（x）和y=g（x）的图象分别交于点P，Q．证明：|PQ|＞a+1．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =sin 2t x=cost（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−acosθ)=12（a ∈R ）． （1）写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程； （2）若直线C 2与曲线C 1有两个不同交点，求a 的取值范围．23. 已知函数f （x ）=|x +a |-|2x -1|．（1）当a =1时，求不等式f （x ）＞0的解集；（2）若a ＞0，不等式f （x ）＜1对x ∈R 都成立，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由x2-2x＜0，得：0＜x＜2，则集合A={x|0＜x＜2}，A、A∩B=A，故本选项错误．B、A∪B=B，故本选项错误．C、A⊆B，故本选项错误．D、A⊆B ，故本选项正确．故选：D．先由二次不等式，得到集合A，再借助数轴，得到集合A，B的关系，以及集合A，B的交集和并集．本题考查二次不等式的解法，以及集合的交并集和集合之间的包含关系．2.【答案】A【解析】解：（a+i）（1-2i）=a+2+（1-2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1-2a≠0，得a=-2且a≠，即a=-2，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：双曲线的渐近线方程为y=±bx，由题意可得4=b2，可得b=2，则双曲线的离心率为e===．故选：C．求得双曲线的渐近线方程，由题意可得b=2，再由离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：己知=（2，4），-2=（0，8），∴=[-（-2）]=（1，-2），∴•=2-8=-6．设，夹角，又•=||•||•cosθ=2••cosθ=10cosθ，∴10cosθ=-6，∴cosθ=-，故选：B．由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得，夹角的余弦值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵cos2α=1-2sin2α，cos2β=1-2sin2β，∵sinα＞sinβ＞0，∴sin2α＞sin2β＞0，-2sin2α＜-2sin2β，则1-2sin2α＜1-2sin2β，即cos2α＜cos2β，故选：D．利用二倍角公式，结合不等式的性质进行判断即可．本题主要考查不等式大小的半径，结合二倍角公式进行化简是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】解：由几何概型中的面积型可得：=，所以=，即π=，故选：C．由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：=，所以=，即π=，得解本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题7.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z国，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则C（0，2，0），E（2，1，0），D1（0，0，2），F（1，2，0），=（2，-1，0），=（1，2，-2），设直线CE与D1F所成角的大小为θ，则cosθ==0，∴θ=．∴直线CE与D1F所成角的大小为．故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z国，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与D1F所成角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．8.【答案】B【解析】解：函数h=f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵sin（x+）=sin（+x-）=cos（x-），∴f （x ）=sin （x+）+cos（x-）=sinxcos +cosxsin +cosxcos+sinxsin=（sin +cos ）sinx+（sin +cos）cosx，∵sin+cos=sin（+）=sin =．∴f（x）=sinx+cosx=sin（x+）．∴f（x）的最大值为．故选：C．根据诱导公式和两角和的正弦公式化简f（x）即可得出结论．本题考查了三角恒等变换，三角函数的最值，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2=7π．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：抛物线y2=6x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=-设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=3|BF|，∴x1+=3（x2+），∴x1=3x2+3∵|y1|=3|y2|，∴x1=9x2，∴x1=，x2=，∴|AB|=（x1+）+（x2+）=8．故选：B．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的长度．．本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．12.【答案】A【解析】解：由题意可知函数f（x）是（-∞，0）上的单调递减函数，且当x＜0时，，据此可得：2axe x+1≥0，即恒成立，令g（x）=xe x（x＜0），则g'（x）=e x（x+1），据此可得函数g（x）在区间（-∞，-1）上单调递减，在区间（-1，0）上单调递增，函数g（x）的最小值为，则，据此可得：实数a的取值范围是．故选：A．由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数a的取值范围即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，恒成立问题的处理方法等知识，属于中等题．13.【答案】178【解析】解：函数f（x）=x3+alog3x，若f（2）=6，则f（2）=8+alog32=6，变形可得alog32=-2，则=（）3+alog3=-alog32=；故答案为：．根据题意，由f（2）的值分析可得f（2）=8+alog32=6，变形可得alog32=-2，则有则=（）3+alog3=-alog32，代入计算可得答案．本题考查函数值的计算，关键是求出函数的解析式，属于基础题．14.【答案】（x-1）2+（y-2）2=5【解析】解：根据题意，设圆C的半径为r，以点（1.2）为圆心的圆C与直线x+2y=0相切，则有r==，则圆C的方程为（x-1）2+（y-2）2=5；故答案为：（x-1）2+（y-2）2=5．根据题意，设圆C的半径为r，由直线与圆的位置关系可得r==，结合圆的标准方程分析可得答案．本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判定方法，属于基础题．15.【答案】（−∞，43]【解析】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（-m，-2），直线x-2y=2的斜率为，斜截式方程为y=x-1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则点C（-m，-2）必在直线x-2y=2的下方，即-2≤-m-1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（-m，1-2m），可得1-2m≥-1，解得m，故m的取值范围是：（-∞，]．故答案为：（-∞，]．作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则平面区域内必存在一个C点在直线x-2y=2的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16.【答案】15√716【解析】解：∵b=2，c=3，C=2B，∴由正弦定理，可得：，可得：==，∴可得：cosB=，可得：sinB==，∴可得：sinC=sin2B=2sinBcosB=，cosC=cos2B=2cos2B-1=，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC==，∴S=bcsinA==．故答案为：．由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cosB的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用二倍角公式可求sinC，cosC的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinA 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.【答案】解：（1）数列{a n}是等差数列，设公差为d，且lg a1=0，lg a4=1．则：{a1=1a1+3d=10，解得：d=3所以：a n=1+3（n-1）=3n-2．（2）若a1，a k，a6是等比数列{b n}的前3项，则：a k2=a1⋅a6，整理得：a k=3k-2，解得：k=2；所以：等比数列{b n}的公比为q=4．所以：b n=4n−1．则a n+b n=3n−2+4n−1，故：S n=(1+1)+(4+41)+⋯+(3n−2+4n−1)，=n(3n−1)2+4n−14−1，=32n2−12n+13(4n−1)．【解析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用等比数列求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）证明：如图所示，因为△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，所以Rt△ABD≌Rt△BCD，可得AD=CD，又因为点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，又PD∩PB=P，PD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以平面ACD ⊥平面BDP ；（2）设AB =a ，在Rt △ABD 中，BD =√6，则AD =√BD 2−AB 2=√6−a 2；在等边△ABC 中，BP =√32AB =√32a ，在等腰△ACD 中，DP =√AD 2−AP 2=√6−a 2−(12a)2=√6−54a 2； 在△BPD 中，由cos ∠BPD =−√33，得sin ∠BPD =√63；由余弦定理得BD 2=BP 2+DP 2-2•BP •cos ∠BPD ， 即6=34a 2+6-54a 2-2×√32a ×√6−54a 2×（-√33），解得a =2；所以△BPD 的面积为S =12•BP •DP •sin ∠BPD =√22，所以三棱锥A -BCD 的体积为V =13•AC •S △BPD =13×2×√22=√23． 【解析】（1）证明PD ⊥AC ，PB ⊥AC ，得出AC ⊥平面PBD ，从而证明平面ACD ⊥平面BDP ；（2）利用直角三角形以及余弦定理求出AB 的值，计算△BPD 的面积和AC 的值，即可求得三棱锥A-BCD 的体积．本题考查了平面与平面垂直的判定问题，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，以及三棱锥体积的计算问题，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意知，在100位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值为x −=160（7.5×18+12.5×12+17.5×9+22.5×9+27.5×6+32.5×4+37.5×2）≈16.92； 所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92． （ 2）设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A ，依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为[5，10），[l 0，15），[15，20）的女性客户中抽取1人（设为a ），2人（设为A ，B ）4人，（设为c 1，c 2，c 3，c 4），从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为：aA ，aB ，ac 1，ac 2，ac 3，ac 4，AB ，Ac 1，Ac 2，Ac 3，Ac 4，Bc 1，Bc 2，Bc 3，Bc 4，c 1c 2，c 1c 3，c 1c 4，c 2c 3，c 2c 4，c 3c 4，共21种，其中事件A 所包含的基本事件为：c 1c 2，c 1c 3，c 1c 4，c 2c 3，c 2c 4，c 3c 4，共6个， 则事件A 发生的概率P =621=27． （3）依题意得2×2列联表如下则K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(48×24−16×12)264×36×60×40≈16.667＞10.828．故有99.9%6的把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关． 【解析】（1）根据平均数的公式进行计算即可．（2）利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可． （3）完成2×2列联表，计算K 2的值，利用独立性检验的性质进行判断即可． 本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．20.【答案】解：（1）由题意可得c =1，点P(23，2√63)在C 上，∴49a +83b =1， 又a 2=b 2+c 2=b 2+1， 解得a 2=4，b 2=3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，（2）假设y 轴上存在点M （0，t ），△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为N （x 0，y 0）， 由{x 24+y 23=1y =x +m ，消去y 可得7x 2+8mx +4m 2-12=0， △=64m 2-28（4m 2-12）=16（21-3m 2）＞0，解得m 2＜7， ∴x 1+x 2=-8m 7，x 1x 2=4m 2−127，∴x 0=-x 1+x 22=-4m 7，y 0=x 0+m =3m 7，∴N （-4m 7，3m 7），依题意有AM ⊥BM ，MN ⊥l ，由MN ⊥l ，可得t−3m 70−(−4m7)×1=-1，可得t =-m7，由AM ⊥BM 可得y 1−t x 1•y 2−t x 2=-1，∵y 1=x 1+m ，y 2=x 2+m ，代入上式化简可得2x 1x 2+2（m -t ）（x 1+x 2）+（m -t ）2=0， 则2(4m 2−12)7-（8m 7）2+（8m 7）2=0，解得m =±√3，当m =√3时，点M （0，-√37）满足题意，当m =-√3时，点M （0，√37）满足题意【解析】（1）先求出c 的值，再根据+=1，又a 2=b 2+c 2=b 2+1，即可得到椭圆的方程，（2）假设y 轴上存在点M （0，t ），△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为N （x 0，y 0），根据韦达定理求出点N 的坐标，再根据AM ⊥BM ，MN ⊥l ，即可求出m 的值，可得点M 的坐标本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题21.【答案】解：（1）函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象交点个数即方程e x -1+a =ln x 根的个数，设F （x ）=e x -1+a -ln x ，x ＞0．则F ′(x)=e x−1−1x 在（0，+∞）上单调递增，且F ’（1）=0．当x ∈（0，1）时，F ’（x ）＜F ’（1）=0，则F （x ）在（0，1）上单调递减； 当x ∈（1，+∞）时，F ’（x ）＞F '（1）=0，则F （x ）在（1，+∞）上单调递增． 所以，当x =1时，F （x ）min =F （1）=l +a ．当a +1＞0，即a ＞-1时，函数F （x ）无零点，即函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象无交点； 当a =-1时，函数F （x ）有一个零点，即函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象有一个交点； 当-2＜a ＜-1时，F(e a )=e ea −1＞0．又F （1）=1+a ＜0．F （3）=e 2+a -ln3＞e 2-2-ln3＞e 2-4＞0，所以F （x ）=e x -1+a -ln x 在（e a ，1）和（1，3）上分别有一个零点． 所以，当-2＜a ＜-1时，F （x ）有两个零点，即函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象有两个交点． 综上所述：当a ＞-1时，函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象的交点个数为0； 当a =-1时，函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象的交点个数为1； 当-2＜a ＜-1时，函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象的交点个数为2． （2）由（1）可知，当函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象无交点时，a ＞-1． 设P （m ，t ），Q （n ，t ），由得m =1+In （t -a ），由ln=t 得n =e t ， |PQ |=|n -m |=|e t -ln （t -a ）-1|． 设h （t ）=e t -ln （t -a ）-1，先证明不等式e t ≥1+t ，再证明t -In （t -a ）≥a +1，t ∈（a ，+∞）．设p （t ）=e t -1-t ．则p ’（t ）=e t -1．当t ∈（0，+∞）时，p ’（t ）=e t -1＞0，p （t ）=e t -1-t 在（0，+∞）上单调递增， 当t ∈（-∞，0）时，p ’（t ）=e t -1＜0，p （t ）=e t -1-t 在（-∞，0）上单调递减， 所以p （t ）≥p （0）=0，即e ≥1+t ．设q （t ）=t -ln （t -a ）-a -1．则q ′(t)=1−1t−a =t−a−1t−a．当t ∈（a ，a +1）时，q ’（t ）＜0，q （t ）单调递减： 当t ∈（a +1，+∞）时，q ’（t ）＞0，q （t ）单调递增． 所以q （t ）≥q （a +1）=0，即t -1n （t -a ）≥a +1．所以h （t ）=e t -ln （t -a ）-1≥1+t -ln （t -a ）-1=t -ln （t -a ）≥a +1．因为t =a +1时，t -ln （t -a ）≥a +1中等号成立，t =0时，e t ≥l +t 中等号成立， 而t =a +1＞0，所以等号不能同时成立． 所以h （t ）=e t -ln （t -a ）-1＞a +1． 所以IPQl ＞a +1． 【解析】（1）原问题等价于求解方程e x-1+a=lnx 根的个数，据此构造函数，分类讨论即可确定交点的个数；（2）由（1）可知，当函数y=f （x ）与y=g （x ）的图象无交点时，a ＞-1，据此构造函数证明题中的不等式即可．本题主要考查导数研究函数零点的个数，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．22.【答案】解：（1）曲线C 1的普通方程为y =1-x 2（-1≤x ≤1），把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入ρ（cosθ-a sinθ）=12， 得直线C 2的直角坐标方程为y -ax =12，即ax -y +12=0， （2）由直线C 2：ax -y +12=0，知C 2恒过点M （0，12）， 由y =1-x 2（-1≤x ≤1），当时，得x =±1， 所以曲线C 1过点P （-1，0），Q （1，0）， 则直线MP 的斜率为k 1=0−12−1−0=12，直线MQ 的斜率k 2=0−121−0=-12，因为直线C 2的斜率为a ，且直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点， 所以k 2≤a ≤k 1，即-12≤a ≤12，所以a 的取值范围为[-12，12]． 【解析】（1）利用平方关系消去参数t 可得C 1的普通方程，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C 2的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． 23.【答案】解：（1）函数f （x ）=|x +1|-|2x -1|，f （x ）＞0即为|x +1|＞|2x -1|， 可得（x +1+2x -1）（x +1-2x +1）＞0， 即3x （x -2）＜0，解得0＜x ＜2， 则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a ＞0，不等式f （x ）＜1对x ∈R 都成立， 即有1＞f （x ）max ，由f （x ）=|x +a |-|2x -1|=|x +a |-|x -12|-|x -12| ≤|x +a -x +12|-0=|a +12|，可得f （x ）的最大值为|a +12|=a +12，（a ＞0）， 则a +12＜1，解得0＜a ＜12． 【解析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f （x ）max ，由绝对值不等式的性质可得f （x ）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。

2019年广东省高考数学一模试卷(文科)-含详细解析

2019年广东省高考数学一模试卷(文科)-含详细解析

2019年广东省高考数学一模试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-1＜2}，B={x|1＜2x＜16}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.3.双曲线9x2-16y2=1的焦点坐标为（）A. B. C. D.4.若sin（）=，则cos2α=（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且当x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4，则关于x的不等式f（x）＜-1的解集为（）A. B. C. D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.7.执行如图的程序框图，依次输入x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23，则输出的S值及其统计意义分别是（）A. ，即5个数据的方差为4B. ，即5个数据的标准差为4C. ，即5个数据的方差为20D. ，即5个数据的标准差为208.△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C+cos A=1，则cos B的取值范围为（）A. B. C. D.9.已知A，B，C三点不共线，且点O满足16-12-3=，则（）A. B.C. D.10.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足==≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A. B. C. D.11.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，直线y=x+1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB=（）A. B. C. D.12.函数f（x）=（kx-2）ln x，g（x）=2ln x-x，若f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=，则f（f（2））=______．14.设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为______．15.在三棱锥P-ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=，则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为______．16.已知函数f（x）=sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y=m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|=|QR|=，则ω+m=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前n项和为S n，S n=1-a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{}的前n项和T n．18.在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD=2DE=2AD=2AB=4，AC=2，∠EAD=30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．19.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，调查小组先从这组数据中选取组数据求线性回归方程，再用剩下的组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程=x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：==，=．20.已知点（1，），（，）都在椭圆C：=1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y=4上．21.已知函数f（x）=e x-2ax（a∈R）（1）若曲线y=f（x）在x=0处的切线与直线x+2y-2=0垂直，求该切线方程；（2）当a＞0时，证明f（x）≥-4a2+4a22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线C l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y=kx与曲线C2交于A，B两点，若=3，求k的值．23.已知函数f（x）=|x+a|+2|x-1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）-5＜0的解集为（m，n），且n-m=，求a的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|x-1＜2}=（-∞，3），B={x|1＜2x＜16}=（0，4）∴A∩B=（0，3）．故选：D．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵z==，∴z=的虚部为．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线9x2-16y2=1的标准方程为：，可得a=，b=，c==，所以双曲线的焦点坐标为（0，±）．故选：B．直接利用双曲线的方程求解a，b，c得到焦点坐标即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】B【解析】解：sin（）=-cosα=，则cos2α=2cos2α-1=-，故选：B．利用诱导公式求得cosα的值，再利用二倍角公式求得cos2α的值．本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4；∴f（-1）=-1；∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜-1得，f（x）＜f（-1）；∴x＞-1；∴不等式f（x）＜-1的解集为（-1，+∞）．故选：D．根据条件可得出f（-1）=-1，根据f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，即可由f（x）＜-1得出f（x）＜f（-1），从而得到x＞-1，即得出原不等式的解集．考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．6.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：=3π，故选：A．几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．7.【答案】A【解析】解：根据程序框图，输出的S是x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23这5个数据的方差，∵=（17+19+20+21+23）=20，∴由方差的公式S=[（17-20）2+（19-20）2+（20-20）2+（21-20）2+（23-20）2]=4．故选：A．根据程序框图，输出的S是x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：∵cosC+cosA=1，∴由余弦定理可得：•+•=1，化简可得：b2=ac，由余弦定理可得；cosB==≥=，∴≤cosB＜1，即：cosB∈[，1）．故选：D．由余弦定理化简已知等式可得b2=ac，由余弦定理，基本不等式可求cosB≥，结合余弦函数的性质即可得解．本题考查了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：由题意，可知：对于A：==，整理上式，可得：16-12-3=，这与题干中条件相符合，故选：A．本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答案．本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题．10.【答案】B【解析】解：设BC=a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ=，CP=，所以PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ：S△ABC=PQ：BC=（-2）a：a=-2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为=，故选：B．先阅读题意，理解“黄金分割”，再结合几何概型中的面积型可得：BQ=，CP=，所以PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ：S△ABC=PQ：BC=（-2）a：a=-2，则在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为=，得解．本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题．11.【答案】C【解析】解：抛物线C：x2=4y的焦点（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：x2-2x-4=0，由韦达定理可知：x1+x2=2，y1+y2=3由抛物线的性质可知：|AB|=p+y1+y2=2+3=5，点O到直线y=x+1的距离d，d=．∴则△OAB的面积S，S=•|AB|•d=．故选：C．根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x1+x2，由抛物线的性质可知|AB|=p+y1+y2，利用点到直线的距离公式求得O到直线y=x+1的距离d，根据三角形的面积公式S=•|AB|•d，即可求得则△OAB的面积．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：当x＞1时，lnx＞0，由f（x）＜g（x）得（kx-2）lnx＜2lnx-x，即kx-2＜2-，即kx＜4-，设h（x）=4-，则h′（x）=-=-，由h′（x）＞0得-（lnx-1）＞0得lnx＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得-（lnx-1）＜0得lnx＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x=e时，h（x）取得极大值h（e）=4-=4-e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→-∞，h（3）=4-，h（4）=4-=4-，即A（3，4-），B（4，4-），当直线y=kx过A，B点时对应的斜率k A==-，k B==1-，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x=2，和x=3，即直线y=kx的斜率k满足k B＜k≤k B，即1-＜k≤-，即实数k的取值范围是（1-，-]，故选：B．将不等式f（x）＜g（x）转化为kx＜4-，设h（x）=4-，求函数的导数，研究函数的极值和图象，利用数形结合确定使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数为2，3，然后求出对应点的坐标和对应直线y=kx的斜率，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合求出对应两点的坐标和斜率是解决本题的关键．13.【答案】2【解析】解：f（2）=ln2，∴f（f（2））=f（ln2）=e ln2=2．故答案为：2．利用分段函数的定义、对数的恒等式即可得出．本题考查了分段函数的定义、对数的恒等式，属于基础题．14.【答案】7【解析】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y-z=0过点A时，z=2x+y取得最大值为2×3+1=7．故答案为：7．画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出z的最大值．本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=，得，∴，设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r=．∴三棱锥P-ABC的内切球的表面积为S=．故答案为：．由题意画出图形，利用等体积法求出多面体内切球的半径，则球的表面积可求．本题考查多面体内切球表面积的求法，训练了利用等积法求多面体内切球的半径，是中档题．16.【答案】3【解析】解：函数f（x）=sin（ωx+）+（ω＞0），由2|PQ|=|QR|=，解得|PQ|=，∴T=|PQ|+|QR|=π，∴ω==2，设P（x0，m），则Q（-x0，m），R（T+x0，m），∴|PQ|=-2x0，|QR|=+2x0，∴2（-2x0）=+2x0，解得x0==，∴m=sin（2×）+=+=1，∴ω+m=2+1=3．故答案为：3．根据题意求出函数f（x）的最小正周期T，得出ω的值，再求出m的值，即可求出ω+m的值．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，S n=1-a n（n∈N*）①．当n=1时，解得：，当n≥2时，S n-1=1-a n-1．②①-②得：2a n=a n-1，所以：（常数），故：数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b n=log2a n=-n．所以：b n+1=-（n+1），则：，故：=．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）证明：因为AD=2，DC=4，AC=2，所以AD2+DC2=AC2，所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE=2，AD=2，AB=2，∠EAD=30°．可得E到底面ABCD 的距离为：2sin60°=，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F-BCH的体积，可得=4=．【解析】（1）证明AD⊥CD，CD⊥DE，推出CD⊥面ADE，然后证明AB⊥平面ADE；（2）转化几何体的体积为棱柱的体积，减去三棱锥的体积，即可求该五面体的体积．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：因为，，，，所以，，所以．当x=10时，，当x=11时，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由1.4x+9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为18分钟．【解析】（1）由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可；（2）首先求得回归方程，然后确定其是否为“恰当回归方程”即可；（3）结合（2）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间．本题主要考查古典概型计算公式，线性回归方程及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：（1）由题意可得，解得a2=4，b2=2，故椭圆C的方程为+=1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y=kx+1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y可得（k2+2）x2+2kx-3=0，∴x1+x2=-，x1x2=-，∵A1（0，2），A2（0，-2），∴直线A1P的方程为y=x+2=•x+2=（k-）x+2，则直线A2Q的方程为y=x-2=（k+）-2，由，消x可得=，整理可得y===+4=+4=4，直线A1P与A2Q交于点S，则点S恒在直线y=4上【解析】（1）由题意可得，解得a2=4，b2=2得椭圆方程，（2）先设出直线l的方程，再分别求出直线A1P的方程，直线A2Q的方程，联立，消x整理可得y=，根据韦达定理化简整理可得直线y=4 本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查了运算求解能力，属于中档题21.【答案】（1）解：f′（x）=e x-2a，f′（0）=1-2a=2，解得：a=-，∴f（x）=e x+x，则f（0）=1．∴切线方程为y=2x+1；（2）证明：f′（x）=e x-2a，由f′（x）=e x-2a=0，解得x=ln2a．∴当x∈（-∞，ln2a）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（-∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增．∴f（x）min=f（ln2a）=e ln2a-2a ln2a=2a-2a ln2a．令g（a）=2a-2a ln2a+4a2-4a=2a2-2a-2a ln2a（a＞0）．要证g（a）≥0，即证a-1-ln2a≥0，令h（a）=a-1-ln2a，则h′（a）=1-=，当a∈（0，1）时，h′（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h′（a）＞0，∴h（a）≥h（1）=0，即a-1-ln2a≥0．∴f（x）≥-4a2+4a．【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（0），得到关于a的方程，求得a，得到函数解析式，求得f（0），再由直线方程点斜式得答案；（2）把证明f（x）≥-4a2+4a转化为证f（x）的最小值大于等于-4a2+4a，即证a-1-ln2a≥0，令h（a）=a-1-ln2a，求其最小值大于等于0即可．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，是中档题．22.【答案】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2=4，设M （x ，y ）则P （2x -4，2y ）在曲线C 1上，所以（2x -4）2+（2y ）2=4，即（x -2）2+y 2=1，即x 2+y 2-4x +3=0，C 2轨迹的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ+3=0． （2）如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在直角三角形CMA 中，CM 2=CA 2-（ AB ）2=1-AB 2，① 在直角三角形CMO 中，CM 2=OC 2-OM 2=4-（ AB ）2=4-AB 2，②由①②得AB = ，∴OM =，CM =，k ===．【解析】（1）消去θ得曲线C 1的普通方程为：x 2+y 2=4；设出M 的坐标后利用中点公式得到P 的坐标后代入C 1德轨迹C 2的直角坐标方程，再化成极坐标方程； （2）如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在两个直角三角形中，根据勾股定理解得CM ，OM 后可得斜率．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f （x ）= ， ， ＜ ＜ ，，∴x =1时，f （x ）的最小值为a +1．（2）如图所示：当a +1＜5＜2a +2即＜a ＜4时，f （x ）-5＜0的解集为（a -3，1-），∴1--a +3=4- =，∴a =2符合，当2a +2≤5即0＜a ≤时，f （x ）的解集为（ --1，1-），∴1- ++1=2≠． 综上可得a =2． 【解析】（1）去绝对值变成分段函数可求得最小；（2）结合分段函数的图象，按照两种情况讨论可得． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

2019年广东省东莞市高考文科数学一模试卷及答案解析

2019年广东省东莞市高考文科数学一模试卷及答案解析

2019年广东省东莞市高考文科数学一模试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{1A =，2，5}，{|2}N x x =…，则M N 等于( ) A ．{1} B ．{5} C ．{1，2}D ．{2，5} 2．（5分）已知i 是虚数单位，443(1)z i i =-+，则||(z = )A ．10BC ．5 D3．（5分）现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( )A ．12B ．13C ．16D ．1124．（5分）双曲线2214x y -=的焦点到渐近线的距离为( )A ．2BC ．1D ．35．（5分）由12sin(4)4y x π=-的图象向左平移2π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为( )A ．12sin(8)4y x π=- B ．12sin(2)4y x π=+C ．12sin(2)8y x π=-D ．12sin(2)4y x π=- 6．（5分）函数log (4)2(0a y x a =++>且1)a ≠的图象恒过点A ，且点A 在角θ的终边上，则sin 2(θ= )A ．513-B ．513C ．1213-D ．12137．（5分）如图所示，ABC ∆中，2BD DC =，点E 是线段AD 的中点，则( )A ．3142AC AD BE =+B ．34AC AD BE =+ C ．5142AC AD BE =+ D ．54AC AD BE =+8．（5分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是正项等比数列，且11b =，322b b =+，435b a a =+，5462b a a =+，则20189(a b += )A ．2274B ．2074C ．2226D ．20269．（5分）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．αβ⊥，m αβ=，m n n β⊥⇒⊥ B ．n αβ⊥=，m α⊂，////m m n β⇒C ．m n ⊥，m α⊂，n βαβ⊂⇒⊥D ．//m α，n α⊂，//m n ⇒10．（5分）三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，30ABC ∠=︒，APC ∆的面积为2，则三棱锥P ABC -的外接球体积的最小值为( )A ．4πB ．43πC ．64πD ．323π 11．（5分）在ABC ∆中，2AB =，6C π=，则AC 的最大值为( ) AB．C．D．12．（5分）设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧⎪=⎨->⎪⎩…，则满足()2f x …的x 的取值范围是( ) A ．[1-，2] B ．[0，2] C ．[1，)+∞ D ．[0，)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）曲线1x y e x=-在点(1，f （1）)处的切线的斜率为 ． 14．（5分）若x ，y 满足约束条件102100x y x y x --⎧⎪-+⎨⎪⎩………，则2x z y =-+ 的最小值为 ． 15．（5分）设双曲线22196x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则22||||AF BF +的最小值等于 ．16．（5分）圆锥底面半径为1，高为点P 是底面圆周上一点，则一动点从点P 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P ，则绕行的最短距离是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：。

广东省2019届广州市高中毕业班综合测试(一)文科数学试题(解析版)

广东省2019届广州市高中毕业班综合测试(一)文科数学试题(解析版)

广东省2019届广州市高中毕业班综合测试（一）文科数学试题2019.03一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−2x<0}，B={x|x>0}，则()A. A∩B=⌀B. A∪B=RC. B⊆AD. A⊆B【答案】D【解析】解：由x2−2x<0，得：0<x<2，则集合A={x|0<x<2}，A、A∩B=A，故本选项错误．B、A∪B=B，故本选项错误．C、A⊆B，故本选项错误．D、A⊆B，故本选项正确．故选：D．先由二次不等式，得到集合A，再借助数轴，得到集合A，B的关系，以及集合A，B 的交集和并集．本题考查二次不等式的解法，以及集合的交并集和集合之间的包含关系．2.已知a为实数，若复数(a+i)(1−2i)为纯虚数，则a=()A. −2B. −12C. 12D. 2【答案】A【解析】解：(a+i)(1−2i)=a+2+(1−2a)i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1−2a≠0，得a=−2且a≠12，即a=−2，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3.已知双曲线C：x2−y2b2=1的一条渐近线过点(b,4)，则C的离心率为()A. √52B. 32C. √5D. 3【答案】C【解析】解：双曲线C：x2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bx，由题意可得4=b2，可得b=2，则双曲线的离心率为e=ca=√1+4=√5．故选：C．求得双曲线的渐近线方程，由题意可得b=2，再由离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.a⃗，b⃗ 为平面向量，己知a⃗=(2,4)，a−−2b⃗ =(0,8)，则a⃗，b⃗ 夹角的余弦值等于()A. −45B. −35C. 35D. 45【答案】B【解析】解：己知a⃗=(2,4)，a−−2b⃗ =(0,8)，∴b⃗ =12[a⃗−(a⃗−2b⃗ )]=(1,−2)，∴a⃗⋅b⃗ =2−8=−6．设a⃗，b⃗ 夹角，又a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |⋅cosθ=2√5⋅√5⋅cosθ=10cosθ，∴10cosθ=−6，∴cosθ=−35，故选：B．由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得a⃗，b⃗ 夹角的余弦值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．5.若sinα>sinβ>0，则下列不等式中一定成立的()A. sin2α>sin2βB. sin2α<sin2βC. cos2α>cos2βD. cos2α<cos2β【答案】D【解析】解：∵cos2α=1−2sin2α，cos2β=1−2sin2β，∵sinα>sinβ>0，∴sin2α>sin2β>0，−2sin2α<−2sin2β，则1−2sin2α<1−2sin2β，即cos2α<cos2β，故选：D．利用二倍角公式，结合不等式的性质进行判断即可．本题主要考查不等式大小的半径，结合二倍角公式进行化简是解决本题的关键．6.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内(a,b∈N∗,b<a)，则圆固率的近似值为()A. ba B. abC. 3abD. 3ba【答案】C【解析】解：由几何概型中的面积型可得：S正十二边形S圆=ba，所以12×12×2×2×sin3004π=ba，即π=3a b，故选：C ．由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：S 正十二边形S 圆=ba ，所以12×12×2×2×sin3004π=ba ，即π=3a b，得解本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题7. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则直线CE 与D 1F所成角的大小为( )A. π6B. π4C. π3D. π2【答案】D【解析】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 国，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则C(0,2，0)，E(2,1，0)，D 1(0,0，2)，F(1,2，0)， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,0)，D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，−2)， 设直线CE 与D 1F 所成角的大小为θ，则cosθ=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0， ∴θ=π2．∴直线CE 与D 1F 所成角的大小为π2．故选：D ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 国，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE 与D 1F 所成角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．8. 如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数ℎ=f(t)的图象大致是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】解：函数ℎ=f(t)是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选：B ．根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．9. 函数f(x)=sin(x +π12)+sin(x +5π12)最大值是( )A. 2B. 32C. √3D. 2√3【答案】C【解析】解：∵sin(x +5π12)=sin(π2+x −π12)=cos(x −π12)，∴f(x)=sin(x +π12)+cos(x −π12) =sinxcosπ12+cosxsinπ12+cosxcosπ12+sinxsin π12=(sinπ12+cos π12)sinx +(sinπ12+cos π12)cosx ，∵sin π12+cos π12=√2sin(π12+π4)=√2sin π3=√62． ∴f(x)=√62sinx +√62cosx =√3sin(x +π4). ∴f(x)的最大值为√3．故选：C ．根据诱导公式和两角和的正弦公式化简f(x)即可得出结论． 本题考查了三角恒等变换，三角函数的最值，属于中档题．10. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )A.13π2B. 7πC.15π2D. 8π【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个14的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：14×4π×12+2×π×12+2π×2=7π．故选：B ．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11. 已知F 为抛物线C ：y 2=6x 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AF|=3|BF|，则|AB|=( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B【解析】解：抛物线y 2=6x 的焦点坐标为(32,0)，准线方程为x =−32 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则∵|AF|=3|BF|，∴x 1+32=3(x 2+32)，∴x 1=3x 2+3 ∵|y 1|=3|y 2|，∴x 1=9x 2，∴x 1=92，x 2=12， ∴|AB|=(x 1+22)+(x 2+32)=8．故选：B ．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A ，B 的中点横坐标，即可求出线段AB 的长度..本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．12. 已知函数f(x)=e |x|−ax 2，对任意x 1<0，x 2<0，都有(x 2−x 1)(f(x 2)−f(x 1))<0，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,e2]B. (−∞,−e2]C. [0,e2]D. [−e2,0]【答案】A【解析】解：由题意可知函数f(x)是(−∞,0)上的单调递减函数， 且当x <0时，f(x)=e −x −ax 2,f′(x)=−1e x−2ax =−2axe x +1e x≤0，据此可得：2axe x +1≥0，即a ≤−12xe x 恒成立， 令g(x)=xe x (x <0)，则，据此可得函数g(x)在区间(−∞,−1)上单调递减，在区间(−1,0)上单调递增，函数g(x)的最小值为g(−1)=−1e ，则(−12xe x )min =e2，据此可得：实数a 的取值范围是(−∞,e2]．故选：A ．由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数a 的取值范围即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，恒成立问题的处理方法等知识，属于中等题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=x 3+alog 3x ，若f(2)=6，则f(12)=______． 【答案】178【解析】解：函数f(x)=x 3+alog 3x ，若f(2)=6， 则f(2)=8+alog 32=6，变形可得alog 32=−2， 则f(12)=(12)3+alog 312=18−alog 32=178；故答案为：178．根据题意，由f(2)的值分析可得f(2)=8+alog 32=6，变形可得alog 32=−2，则有则f(12)=(12)3+alog 312=18−alog 32，代入计算可得答案．本题考查函数值的计算，关键是求出函数的解析式，属于基础题．14. 已知以点(1.2)为圆心的圆C 与直线x +2y =0相切，则圆C 的方程为______． 【答案】(x −1)2+(y −2)2=5【解析】解：根据题意，设圆C 的半径为r ，以点(1.2)为圆心的圆C 与直线x +2y =0相切，则有r =√1+4=√5，则圆C 的方程为(x −1)2+(y −2)2=5； 故答案为：(x −1)2+(y −2)2=5．根据题意，设圆C 的半径为r ，由直线与圆的位置关系可得r =|1+2×2|√1+4=√5，结合圆的标准方程分析可得答案．本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判定方法，属于基础题．15. 已知关于x ，y 的不等式组{2x −y +1≥0x +m ≤0y +2≥0，表示的平面区域内存在点P(x 0,y 0)，满足x 0−2y 0=2，则m 的取值范围是______． 【答案】(−∞,43]【解析】解：作出x ，y 的不等式组{2x −y +1≥0x +m ≤0y +2≥0对应的平面如图：交点C 的坐标为(−m,−2)， 直线x −2y =2的斜率为12，斜截式方程为y =12x −1，要使平面区域内存在点P(x 0,y 0)满足x 0−2y 0=2， 则点C(−m,−2)必在直线x −2y =2的下方，即−2≤−12m −1，解得m ≤2，并且A 在直线的上方；A(−m,1−2m)， 可得1−2m ≥−12m −1，解得m ≤43， 故m 的取值范围是：(−∞,43]. 故答案为：(−∞,43].作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P(x 0,y 0)满足x 0−2y 0=2，则平面区域内必存在一个C 点在直线x −2y =2的下方，A 在直线是上方，由图象可得m 的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b =2，c =3，C =2B ，则△ABC的面积为______． 【答案】15√716【解析】解：∵b =2，c =3，C =2B ，∴由正弦定理bsinB =csinC ，可得：2sinB =3sinC ，可得：2sinB =3sin2B =32sinBcosB ， ∴可得：cosB =34，可得：sinB =2B =√74，∴可得：sinC =sin2B =2sinBcosB =3√78，cosC =cos2B =2cos 2B −1=18，∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =√74×18+34×3√78=5√716， ∴S =12bcsinA =12×2×3×5√716=15√716．故答案为：15√716． 由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cosB 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinB 的值，利用二倍角公式可求sinC ，cosC 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinA 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知{a n }是等差数列，且lga 1=0，lga 4=1．(1)求数列{a n }的通项公式(2)若a 1，a k ，a 6是等比数列{b n }的前3项，求k 的值及数列{a n +b n }的前n 项和． 【答案】解：(1)数列{a n }是等差数列，设公差为d ，且lga 1=0，lga 4=1． 则：{a 1=1a 1+3d =10，解得：d =3所以：a n =1+3(n −1)=3n −2．(2)若a 1，a k ，a 6是等比数列{b n }的前3项，则：a k 2=a 1⋅a 6，整理得：a k =3k −2， 解得：k =2；所以：等比数列{b n }的公比为q =4． 所以：b n =4n−1．则a n +b n =3n −2+4n−1，故：S n =(1+1)+(4+41)+⋯+(3n −2+4n−1)， =n(3n−1)2+4n −14−1，=32n 2−12n +13(4n −1)．【解析】(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式．(2)利用等比数列求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18. 如图，在三棱锥A −BCD 中，△ABC 是等边三角形，∠BAD =∠BCD =90∘，点P 是 AC 的中点，连接BP ，DP(1)证明：平面ACD ⊥平面BDP ；(2)若BD =√6，cos∠BPD =−√33，求三棱锥A −BCD 的体积．【答案】解：(1)证明：如图所示，因为△ABC 是等边三角形，∠BAD =∠BCD =90∘， 所以Rt △ABD≌Rt △BCD ，可得AD =CD ，又因为点P 是AC 的中点，则PD ⊥AC ，PB ⊥AC ， 又PD ∩PB =P ，PD ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ， 所以平面ACD ⊥平面BDP ；(2)设AB =a ，在Rt △ABD 中，BD =√6，则AD =√BD 2−AB 2=√6−a 2； 在等边△ABC 中，BP =√32AB =√32a ，在等腰△ACD 中，DP =√AD 2−AP 2=√6−a 2−(12a)2=√6−54a 2；在△BPD 中，由cos∠BPD =−√33，得sin∠BPD =√63；由余弦定理得BD 2=BP 2+DP 2−2⋅BP ⋅cos∠BPD ，即6=34a 2+6−54a 2−2×√32a ×√6−54a 2×(−√33)，解得a =2；所以△BPD 的面积为S =12⋅BP ⋅DP ⋅sin∠BPD =√22，所以三棱锥A −BCD 的体积为V =13⋅AC ⋅S △BPD =13×2×√22=√23．【解析】(1)证明PD⊥AC，PB⊥AC，得出AC⊥平面PBD，从而证明平面ACD⊥平面BDP；(2)利用直角三角形以及余弦定理求出AB的值，计算△BPD的面积和AC的值，即可求得三棱锥A−BCD的体积．本题考查了平面与平面垂直的判定问题，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，以及三棱锥体积的计算问题，是中档题．19.某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这间的中点值作代表，结果保留小数点后两位)；(2)从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．(3)将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”.请根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断是附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d数的平均值为x−=160(7.5×18+12.5×12+17.5×9+22.5×9+27.5×6+32.5×4+37.5×2)≈16.92；所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92．(2)设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A，依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为[5,10)，[l0,15)，[15,20)的女性客户中抽取1人(设为a)，2人(设为A，B)4人，(设为c1，c2，c3，c4)，从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为：aA，aB，ac1，ac2，ac3，ac4，AB，Ac1，Ac2，Ac3，Ac4，Bc1，Bc2，Bc3，Bc4，c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共21种，其中事件A所包含的基本事件为：c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共6个，则事件A发生的概率P=621=27．则K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(48×24−16×12)264×36×60×40≈16.667>10.828．故有99.9%6的把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关． 【解析】(1)根据平均数的公式进行计算即可．(2)利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可． (3)完成2×2列联表，计算K 2的值，利用独立性检验的性质进行判断即可．本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键.考查学生的计算能力．20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点为F(1,0)，点P(23,2√63)在C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y =x +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，问y 轴上是否存在点M ，使得△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形？若在在，求点M 的坐标：若不存在，说明理由．【答案】解：(1)由题意可得c =1，点P(23,2√63)在C 上，∴49a 2+83b 2=1，又a 2=b 2+c 2=b 2+1， 解得a 2=4，b 2=3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，(2)假设y 轴上存在点M(0,t)，△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为N(x 0,y 0)， 由{x 24+y 23=1y =x +m ，消去y 可得7x 2+8mx +4m 2−12=0， △=64m 2−28(4m 2−12)=16(21−3m 2)>0，解得m 2<7， ∴x 1+x 2=−8m 7，x 1x 2=4m 2−127，∴x 0=−x 1+x 22=−4m 7，y 0=x 0+m =3m 7，∴N(−4m 7,3m7)，依题意有AM ⊥BM ，MN ⊥l ， 由MN ⊥l ，可得t−3m 70−(−4m7)×1=−1，可得t =−m7， 由AM ⊥BM 可得y 1−t x 1⋅y 2−t x 2=−1，∵y 1=x 1+m ，y 2=x 2+m ，代入上式化简可得2x 1x 2+2(m −t)(x 1+x 2)+(m −t)2=0， 则2(4m 2−12)7−(8m 7)2+(8m 7)2=0，解得m =±√3，当m =√3时，点M(0,−√37)满足题意，当m =−√3时，点M(0,√37)满足题意 【解析】(1)先求出c 的值，再根据49a 2+83b 2=1，又a 2=b 2+c 2=b 2+1，即可得到椭圆的方程，(2)假设y 轴上存在点M(0,t)，△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为N(x 0,y 0)，根据韦达定理求出点N 的坐标，再根据AM ⊥BM ，MN ⊥l ，即可求出m 的值，可得点M 的坐标本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题21. 已知函数f(x)=e x−1+a ，g(x)=lnx ，其中a >−2．(1)讨论函数y =f(x)与y =g(x)的图象的交点个数；(2)若函数y =f(x)与y =g(x)的图象无交点，设直线y =t 与的数y =f(x)和y =g(x)的图象分别交于点P ，Q.证明：|PQ|>a +1．【答案】解：(1)函数y =f(x)与y =g(x)的图象交点个数即方程e x−1+a =lnx 根的个数，设F(x)=e x−1+a −lnx ，x >0．则F ′(x)=e x−1−1x 在(0,+∞)上单调递增，且F’(1)=0．当x ∈(0,1)时，F’(x)<F’(1)=0，则F(x)在(0,1)上单调递减；当x ∈(1,+∞)时，，则F(x)在(1,+∞)上单调递增．所以，当x =1时，F(x)min =F(1)=l +a ．当a +1>0，即a >−1时，函数F(x)无零点，即函数y =f(x)与y =g(x)的图象无交点； 当a =−1时，函数F(x)有一个零点，即函数y =f(x)与y =g(x)的图象有一个交点；当−2<a <−1时，F(e a )=e e a −1>0.又F(1)=1+a <0．F(3)=e 2+a −ln3>e 2−2−ln3>e 2−4>0，所以F(x)=e x−1+a −lnx 在(e a ,1)和(1,3)上分别有一个零点．所以，当−2<a <−1时，F(x)有两个零点，即函数y =f(x)与y =g(x)的图象有两个交点．综上所述：当a >−1时，函数y =f(x)与y =g(x)的图象的交点个数为0；当a =−1时，函数y =f(x)与y =g(x)的图象的交点个数为1；当−2<a <−1时，函数y =f(x)与y =g(x)的图象的交点个数为2．(2)由(1)可知，当函数y =f(x)与y =g(x)的图象无交点时，a >−1．设P(m,t)，Q(n,t)，由得m =1+In(t −a)，由ln =t 得n =e t ，|PQ|=|n −m|=|e t −ln(t −a)−1|．设ℎ(t)=e t −ln(t −a)−1，先证明不等式e t ≥1+t ，再证明t −In(t −a)≥a +1，t ∈(a,+∞)．设p(t)=e t −1−t.则p’(t)=e t −1．当t ∈(0,+∞)时，p’(t)=e t −1>0，p(t)=e t −1−t 在(0,+∞)上单调递增， 当t ∈(−∞,0)时，p’(t)=e t −1<0，p(t)=e t −1−t 在(−∞,0)上单调递减， 所以p(t)≥p(0)=0，即e ≥1+t ．设q(t)=t −ln(t −a)−a −1.则q ′(t)=1−1t−a =t−a−1t−a ．当t ∈(a,a +1)时，q’(t)<0，q(t)单调递减：当t ∈(a +1,+∞)时，q’(t)>0，q(t)单调递增．所以q(t)≥q(a +1)=0，即t −1n(t −a)≥a +1．所以ℎ(t)=e t −ln(t −a)−1≥1+t −ln(t −a)−1=t −ln(t −a)≥a +1． 因为t =a +1时，t −ln(t −a)≥a +1中等号成立，t =0时，e t ≥l +t 中等号成立， 而t =a +1>0，所以等号不能同时成立．所以ℎ(t)=e t −ln(t −a)−1>a +1．所以IPQl >a +1．【解析】(1)原问题等价于求解方程e x−1+a =lnx 根的个数，据此构造函数，分类讨论即可确定交点的个数；(2)由(1)可知，当函数y =f(x)与y =g(x)的图象无交点时，a >−1，据此构造函数证明题中的不等式即可．本题主要考查导数研究函数零点的个数，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =sin 2t x=cost (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−acosθ)=12(a ∈R)．(1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同交点，求a 的取值范围．【答案】解：(1)曲线C 1的普通方程为y =1−x 2(−1≤x ≤1)，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入ρ(cosθ−asinθ)=12，得直线C 2的直角坐标方程为y −ax =12，即ax −y +12=0，(2)由直线C 2：ax −y +12=0，知C 2恒过点M(0,12)，由y =1−x 2(−1≤x ≤1)，当时，得x =±1，所以曲线C 1过点P(−1,0)，Q(1,0)，则直线MP 的斜率为k 1=0−12−1−0=12， 直线MQ 的斜率k 2=0−121−0=−12， 因为直线C 2的斜率为a ，且直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，所以k 2≤a ≤k 1，即−12≤a ≤12，所以a 的取值范围为[−12,12].【解析】(1)利用平方关系消去参数t 可得C 1的普通方程，利用x =ρcosθ，y =ρsinθ可得C 2的直角坐标方程；(2)根据直线的斜率可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23. 已知函数f(x)=|x +a|−|2x −1|．(1)当a =1时，求不等式f(x)>0的解集；(2)若a >0，不等式f(x)<1对x ∈R 都成立，求a 的取值范围．【答案】解：(1)函数f(x)=|x +1|−|2x −1|，f(x)>0即为|x +1|>|2x −1|，可得(x +1+2x −1)(x +1−2x +1)>0，即3x(x−2)<0，解得0<x<2，则原不等式的解集为(0,2)；(2)若a>0，不等式f(x)<1对x∈R都成立，即有1>f(x)max，由f(x)=|x+a|−|2x−1|=|x+a|−|x−12|−|x−12|≤|x+a−x+12|−0=|a+12|，可得f(x)的最大值为|a+12|=a+12，(a>0)，则a+12<1，解得0<a<12．【解析】(1)运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；(2)由题意可得1>f(x)max，由绝对值不等式的性质可得f(x)的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。

2019年3月广东省广州市2019年普通高中毕业班综合测试一文科数学试题及参考答案广州一模

2019年3月广东省广州市2019年普通高中毕业班综合测试一文科数学试题及参考答案广州一模

一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
/ 4．只给整数分数．选择题不给中间分． cn 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 网 . 一项是符合题目要求的.
u 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 d 答案 D A C B D C D B C B B A
n (2) 解：设“所抽取的 2 人购买的学时数都不低于 15”为事件 A .依题意按照分层抽样的方
网 .c 式分别在学时数为[5,10)，[10,15)，[15,20)的女性客户中抽取 1 人（设为 a），2 人（设为 b1,b2 ），
du 4 人（设为 c1,c2,c3,c4 ）. e 则从 7 人中随机抽取 2 人所包含的基本事件为:
.
„„„„„„„„„„„„12 分
d 18.（12 分）
e （1）证明: 因为 ABC 是等边三角形， BAD BCD 90 ,
研 . 所以 Rt ABD Rt BCD ,可得 AD CD . „„„„„„„„„„„„„1 分
r 因为点 P 是 AC 的中点，则 PD AC , PB AC . „„„„„„„„„2 分 t 因为 PD PB P ， PD 平面 PBD ， PB 平面 PBD ，
研 .e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
r 17 t 13.
8
14. x 12 y 22 5
15.

,
4 3

15 7
16.
16
教 gz 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考 n 题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. a 17.（12 分）

2019广东高考文科数学试卷及答案

2019广东高考文科数学试卷及答案

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设3i12iz -=+，则z = A ．2BCD ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则UB A =A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A ．B ．C ．D ．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sincos x xx x++在[—π，π]的图像大致为 A ． B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．－2B ．－C ．2D ．8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+ D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省2019届广州市高中毕业班综合测试(一)文科数学试题(解析版)

广东省2019届广州市高中毕业班综合测试(一)文科数学试题(解析版)

．
故选： A． 由题意将原问题转化为函数单调性的问题， 值范围即可． 本题主要考查导函数研究函数的单调性， 法等知识，属于中等题．
故选： D．
利用二倍角公式，结合不等式的性质进行判断即可．
本题主要考查不等式大小的半径，结合二倍角公式进行化简是解决本题的关键．
6. 刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的 《 九章算术注 》 中首创 “割圆术 ”，所谓 “割圆术 ”，是用圆内接正多边形的面积 去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆 内接正十二边形的中心为圆心 O，圆 O 的半径为 2，现随机 向圆 O 内段放 a 粒豆子，其中有 b 粒豆子落在正十二边形内 ，则圆固率的近似值为
12. 已知函数
，对任意
，则实数 a 的取值范围是
A.
B.
【答案】 A
【解析】 解：由题意可知函数
是
且当
时，
，
，都有
C.
D.
上的单调递减函数， ，
据此可得： 令 减，在区间
，即 ，则 上单调递增，函数
恒成立， ，据此可得函数 的最小值为
在区间 ，则
上单调递 ，
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据此可得：实数 a 的取值范围是
则双曲线的离心率为
．
故选： C．
求得双曲线的渐近线方程，由题意可得
，再由离心率公式，计算可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质， 主要是渐近线方程和离心率的求法， 考查方程思想和运
算能力，属于基础题．
4. ， 为平面向量，己知
，
，则 ， 夹角的余弦值等于
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 解：己知

2019届广东省江门市高三数学(文科)一模试题及答案解析

2019届广东省江门市高三数学(文科)一模试题及答案解析

2019届广东省江门市高三数学（文科）一模试题及答案解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.R是实数集，A={x|3≤x<7}，B={x|4<x<10}，则(∁R A)∩B=()A. [3,10)B. (4,7)C. [7,10)D. [3,4]【答案】C【解析】解：∁R A={x|x<3，或x≥7}；∴(∁R A)∩B=[7,10)．故选：C．进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及补集、交集的运算．2.i是虚数单位，(1+i1−i)2019=()A. iB. −iC. 1D. −1【答案】B【解析】解：∵1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i，∴(1+i1−i)2019=i2019=(i4)504⋅i3=−i．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的性质计算．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的运算性质，是基础题．3.甲、乙、丙、丁四所学校分别有150、120、180、150名高二学生参加某次数学调研测试.为了解学生能力水平，需从这600名学生中抽取一个容量为100的样本作卷面分析，记这项调查为①；在丙校有50名数学培优生，需要从中抽取10名学生进行失分分析，记这项调查为②.完成这两项调查宜采用的抽样方法依次是()A. 分层抽样法、系统抽样法B. 分层抽样法、简单随机抽样法C. 系统抽样法、分层抽样法D. 简单随机抽样法、分层抽样法【答案】B【解析】解：①，四所学校，学生有差异，故①使用分层抽样，②在同一所学校，且人数较少，使用的是简单随机抽样，故选：B．根据分层抽样和简单随机抽样的定义进行判断即可．本题主要考查简单抽样的应用，根据分层抽样的定义是解决本题的关键．4. 在直角坐标系Oxy 中，若抛物线y 2=12nx 的准线经过双曲线x 22m 2−y 23n 2=1(m >0,n >0)的焦点，则双曲线的渐近线方程是( )A. y =±2xB. y =±12xC. y =±√2xD. y =±√22x【答案】D【解析】解：抛物线y 2=12nx 的准线：x =−3n ，双曲线x 22m2−y 23n 2=1(m >0,n >0)的左焦点(−√2m 2+3n 2,0)，可得：3n =√2m 2+3n 2.可得3n 2=m 2，解得m =√3n ， 双曲线的渐近线方程为：y =√3n2m=±√22x ． 故选：D ．求出抛物线的准线方程，求出双曲线的焦点坐标，然后推出mn 的关系，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．5. “a =2”是“两直线ax +3y +2a =0和2x +(a +1)y −2=0平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：两直线ax +3y +2a =0和2x +(a +1)y −2=0平行的充要条件为{a ×(−2)≠2a ×2a×(a+1)=2×3，即a =2或a =−3，又“a =2”是“a =2或a =−3的充分不必要条件，即“a =2”是“两直线ax +3y +2a =0和2x +(a +1)y −2=0平行”的充分不必要条件， 故选：A ．由两直线ax +3y +2a =0和2x +(a +1)y −2=0平行的充要条件为{a ×(−2)≠2a ×2a×(a+1)=2×3，即a =2或a =−3，再判断“a =2”与“a =2或a =−3的充要性即可得解． 本题考查了两直线平行的充要条件，属简单题．6. △ABC 中，∠ACB =90∘，AC =3，BC =4，CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 47CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +37CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 37CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +47CB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 1625CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +925CB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 925CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1625CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】C【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，可得：C(0,0)， A(0,3)，B(4,0)，由图可知：BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，解得： CD⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−4λ,3λ)， 又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−3) 所以4×(4−4λ)+(−3)×3λ=0， λ=1625，所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1625CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +925CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：C ．由平面向量基本定理、向量共线及垂直的运算得：BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，解得：CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−4λ,3λ)，又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−3)所以4×(4−4λ)+(−3)×3λ=0，λ=1625，所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1625CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +925CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得解 本题考查了平面向量基本定理及向量共线、垂直的运算，属中档题．7. a 1、a 2、a 3、a 4、a 5成等差数列，公差是5，这组数据的标准差为( )A. 50B. 5√2C. 100D. 10【答案】B【解析】解：a 1、a 2、a 3、a 4、a 5成等差数列，公差是5， ∴这组数据的标准差为：√15[(−10)2+(−5)2+52+102]=5√2．故选：B ．利用等差数列的性质、标准差公式直接求解．本题考查标准差的求法，考查等差数列的性质、标准差公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8. 正方体的平面展开图如图，AB 、CD 、EF 、GH 四条对角线两两一对得到6对对角线，在正方体中，这6对对角线所在直线成60∘角的有( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对【答案】D【解析】解：根据题意，如图为平面展开图对应的正方体，其中AB 与GH 、AB 与EF 、GH 与CD 、EF 与CD 所成的角为60∘， 共有4组； 故选：D ．根据题意，作出平面展开图对应的正方体，分析其中6条对角线所在直线成60∘角的情况，综合即可得答案．本题考查正方体的几何性质，涉及异面直线所成的角，属于基础题．9. 函数f(x)=2x −sinx 在区间[−10π,10π]上的零点的个数是( )A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】A【解析】解：画出图象函数y =2x 和y =sinx 的图象，根据图象可得函数f(x)=2x −sinx 在区间[−10π,10π]上的零点的个数是10，故选：A ．画出函数y =2x 和y =sinx 的图象，通过图象读出即可．题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题．10. 能把圆x 2+y 2=9的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为周易函数.已知函数：①y =1x ；②y =14x +1−12；③y =tanx(−π2<x <π2)；④y =sinx +cosx ，在这些函数中，周易函数是( )A. ①②B. ①③C. ③④D. ②③【答案】D【解析】解：由题意可得，“周易函数”能把圆x 2+y 2=9的周长和面积同时分为相等的两部分，则其图象经过圆心(0,0)，且是奇函数； 据此依次分析选项：对于①，y =1x 为奇函数，但不过原点，不符合题意； 对于②，y =14x +1−12，有f(0)=0，过原点，且f(−x)=14−x +1−12=−(14x +1−12)=−f(x)，为奇函数，符合题意；对于③，y=tanx(−π2<x<π2)，为正切函数，过原点且是奇函数，符合题意；对于④，y=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，不经过原点，不符合题意；则②③是周易函数；故选：D．根据题意，分析可得周易函数的图象经过圆心(0,0)，且是奇函数；据此依次分析选项，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断以及应用，关键是分析周易函数的性质，属于基础题．11.实数x、y满足|x+y|+|x−y|=2，若z=4ax+by(a>0,b>0)的最大值为1，则1a +1b有()A. 最大值9B. 最大值18C. 最小值9D. 最小值18【答案】C【解析】根据|x+y|+|x−y|=2，可得点(x,y)满足的图形为A(1,1)、B(−1,1)、C(−1,−1)、D(1,−1)为顶点的正方形，可知x=1，y=1时z=4ax+by取得最大值，故4a+b=1，所以1a +1b=(1a+1b)(4a+b)=5+4ab+ba≥9，当a=16,b=13取得．故选：C．根据|x+y|+|x−y|=2，求出点(x,y)满足的图形，根据z=4ax+by的最值，求出a，b的关系，再根据基本不等式求解．本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）12.f(x)是定义在R上的奇函数，若x≥0时，f(x)=log2(1+x)，则f(−3)=______．【答案】−2【解析】解：根据题意，x≥0时，f(x)=log2(1+x)，则f(3)=log24=2，又由f(x)是定义在R上的奇函数，则f(−3)=−f(3)=2；故答案为：2．根据题意，由函数的解析式求出f(3)的值，结合函数的奇偶性分析求出f(−3)的值，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意利用函数奇偶性的定义进行分析，属于基础题．13.在直角坐标系Oxy中，直线x2−y4=1与坐标轴相交于A、B两点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程是______．【答案】(x−1)2+(y+2)2=5【解析】解：在直角坐标系Oxy中，直线x2−y4=1与坐标轴相交于A、B两点，∴A(2,0)、B(0,−4)，则经过O 、A 、B 三点的圆的圆心为直角三角形AOB 的斜边AB 的中点C(1,−2)， 半径为AB 的一半，即r =|AB|2=√5，则经过O 、A 、B 三点的圆的标准方程是(x −1)2+(y +2)2=5， 故答案为：(x −1)2+(y +2)2=5．先求出A 、B 的坐标，根据圆心为直角三角形AOB 的斜边AB 的中点C ，半径为AB 的一半，写出圆的标准方程．本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．14. 数列{a n }、{b n }中，∀n ∈N ∗，a n =2n ，且a n 、b n 、a n+1成等差数列，则数列{b n }的前n 项和S n =______． 【答案】3×2n −3【解析】解：数列{a n }、{b n }中，∀n ∈N ∗，a n =2n ，且a n 、b n 、a n+1成等差数列， 则：2b n =2n +2n+1， 所以：b n =32⋅2n ，所以：S n =32(21+22+23+⋯+2n )=32(2n+1−2)=3⋅2n −3， 故答案为：3⋅2n −3．首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用等比数列的前n 项和公式求出结果． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n 项和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15. 在直角坐标系Oxy 中，记{x ≥0x −2y ≥0x −y ≤1表示的平面区域为Ω，在Ω中任取一点M(x 0,y 0)，3x 0−y 0≥1的概率P =______． 【答案】45【解析】解：由约束条件{x ≥0x −2y ≥0x −y ≤1作出可行域如图，作出直线3x −y =1，区域Ω表示三角形OAB ，满足3x 0−y 0≥1的点M(x 0,y 0)在三角形ABC 内，联立{x −y =1x−2y=0，解得B(2,1)，联立{3x −y =1x−2y=0，解得C(25,15)，∵|OB|=√5，|OC|=√55，∴S △ABC S △OAB=45．∴3x 0−y 0≥1的概率P =45． 故答案为：45．由约束条件作出可行域，求出满足3x 0−y 0≥1的点M 所在区域，再由测度比是面积比得答案．本题考查简单的线性规划，考查几何概型概率的求法，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）16. 平面四边形ABCD 中，边AB =BC =5，CD =8，对角线BD =7．(Ⅰ)求内角C 的大小；(Ⅱ)若A 、B 、C 、D 四点共圆，求边AD 的长． 【答案】解：(Ⅰ)在△BCD 中，cosC =BC 2+CD 2−BD 22×BC×CD=12……(3分)(列式(2分)，计算1分)C =π3……(5分)(Ⅱ)因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以A =π−C =2π3……(6分)在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2−2×AB ×AD ×cosA ……(8分) 49=25+AD 2+5AD ，解得AD =3或AD =−8……(11分) AD >0，所以，AD =3……(12分)【解析】(Ⅰ)利用余弦定理，真假求内角C 的大小；(Ⅱ)A 、B 、C 、D 四点共圆，求出A ，然后利用余弦定理，转化求解即可． 本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．17. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面ABC 是等边三角形，侧面ABB 1A 1⊥BCC 1B 1，∠B 1BA =45∘． (Ⅰ)求证：AC ⊥BB 1；(Ⅱ)M 、N 分别是棱AA 1、CC 1上一点，若BB 1=√2BC =2，AM =C 1N =12，求四棱锥B −AMNC 的体积．【答案】(Ⅰ)证明：作AD⊥BB1，垂足为D，连接CD因为面ABB1A1⊥BCC1B1，ABB1A1∩BCC1B1=BB1，所以AD⊥BCC1B1……(1分)CD⊂BCC1B1，所以AD⊥CD……(2分)不妨设△ABC的边长为a，因为∠B1BA=45∘，所以AD=BD=√22a，由AD⊥CD得，CD=√22a……(3分)因为BD2+CD2=a2=BC2，所以BD⊥CD……(4分)因为AD∩CD=D，所以BB1⊥平面ACD……(5分)AC⊂平面ACD，所以AC⊥BB1……(6分)(Ⅱ)解：(方法一)由(Ⅰ)知AC⊥AA1，S AMNC=12×(AM+CN)×AC=√2……(8分)由(Ⅰ)知BB1⊥平面ACD，AA1⊥平面ACD，所以侧面ACC1A1⊥平面ACD……(9分)在△ACD中，作DE⊥AC，垂足为E，则DE⊥面ACC1A1……(10分)DE是等腰直角△ACD斜边上的高，DE=12AC=√22……(11分)四棱锥B−AMNC的体积V=13Sh=13×S AMNC×DE=13……(12分)(方法二)连接AN，三棱锥B−ANC的体积V1=V A−BCN=13×S△BCN×AD (7))S△BCN=12×CN×CD=34……(8分)V1=13×34×1=14……(9分)同理可得，三棱锥B−AMN的体积V2=V N−ABM=13×S△ABM×CD=112……(11分)四棱锥B−AMNC的体积V=V1+V2=13……(12分)【解析】(Ⅰ)作AD⊥BB1，垂足为D，连接CD证明AD⊥BCC1B1，AD⊥CD，证明BD⊥CD，即可证明BB1⊥平面ACD，推出AC⊥BB1．(Ⅱ)(方法一)推出侧面ACC1A1⊥平面ACD，作DE⊥AC，垂足为E，则DE⊥面ACC1A1，然后求解四棱锥B−AMNC的体积．(方法二)连接AN，三棱锥B−ANC的体积，同理可得，三棱锥B−AMN的体积，然后求解即可．本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查计算能力．18.随着生活质量不断提高，人们越来越重视身材保养.根据统计，我国大多数男性体重y(kg)与身高x(cm)之间近似满足关系式y=c⋅x b(b、c为大于0的常数).按照某项指标测定，当体重与身高的比值在区间(0.36,0.38)内时为优等身材.现随机抽取6位成年男性，测得数据如下：体重y(kg)576163656877身高x(cm)163167170177181185(Ⅰ)从抽取的6位男性中再随机选取2位，求恰有一位优等身材的概率； (Ⅱ)对测得数据作如下处理：u i =lny i ，v i =lnx i ，得相关统计量的值如表：(1)根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程；(2)已知某成年男性身高为180cm ，求其体重的预报值.(结果精确到0.1) 参考公式和数据：对于样本(v i ,u i )(i =1,2，…，n)，其回归直线u =b ⋅v +a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑(n i=1v i −v −)(u i −u −)∑(n i=1v i −v −)=∑v i n i=1u i −nv −u−∑v i 2n i=1−nv−，a ̂=u −−b ̂⋅v −；e −6.142≈0.00215．【答案】解：(Ⅰ)已知6位成年男性中，优等身材有4位，记为U 1、U 2、U 3、U 4，另外两位记为V 1、V 2，从中选取2位，不同的选取结果有： U 1U 2、U 1U 3、U 1U 4、U 3U 2、U 4U 2、U 3U 4、U 1V 1、U 1V 2、V 1U 2、V 2U 2、U 3V 1、U 3V 2、U 4V 1、U 4V 2、V 1V 2，共15种……(2分) 恰有一位优等身材的结果有：U 1V 1、U 1V 2、V 1U 2、V 2U 2、U 3V 1、U 3V 2、U 4V 1、U 4V 2，共8种……(4分) 因为随机选取，不同结果等可能，所以恰有一位优等身材的概率P =815.……(5分) (Ⅱ)(1)由y =c ⋅x b 得，lny =lnc +blnx ……(6分)由u i =lny i 、v i =lnx i 得，u =bv +a ，其中a =lnc ……(7分) 由已知公式和数据得，b ̂=0.0240.012=2……(8分)a ̂=u −−b ̂v −=25.035−2×30.9436≈−6.142，c =e −6.142≈0.00215……(9分) 所求y 关于x 的回归方程为y =0.00215x 2……(10分)(2)由(1)得，当x =180时，y =0.00215×1802=69.66≈69.7……(11分) 答：预测这个成年男性体重为69.7kg ……(12分)【解析】(Ⅰ)已知6位成年男性中，优等身材有4位，记为U 1、U 2、U 3、U 4，另外两位记为V 1、V 2，从中选取2位，利用列举法能求出恰有一位优等身材的概率．(Ⅱ)(1)由y =c ⋅x b 得，lny =lnc +blnx ，由u i =lny i 、v i =lnx i 得，u =bv +a ，其中a =lnc ，由此能求出y 关于x 的回归方程．(2)当x =180时，y =0.00215×1802=69.66，由此能预测这个成年男性体重． 本题考查概率的求法，考查回归直线方程的求法及应用，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. 在直角坐标系Oxy 中，椭圆的中心在原点，离心率为√22，一个焦点是F(−1,0)． (Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)B 是椭圆与y 轴负半轴的交点，经过F 的直线l 与椭圆交于点M 、N ，经过B 且与l 平行的直线与椭圆交于点A ，若|MN|=√2|AB|，求直线l 的方程． 【答案】解：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)……(1分) 依题意，c =1，e =ca=√22……(2分)所以a =√2，b 2=a 2−c 2=1，所求椭圆的标准方程为x 22+y 2=1……(3分)(Ⅱ)因为|MN|=√2|AB|>|AB|，所以MN 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为y =k(x +1)……(4分)由{x 22+y 2=1y =k(x +1)得，(k 2+12)x 2+2k 2x +k 2−1=0……(5分) 设M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1……(6分) |x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√8(k 2+1)2k 2+1……(7分)依题意，直线AB 的方程为y =kx −1……(8分) 设A(x 3,y 3)、B(x 4,y 4)，同理可得，|x 3−x 4|=|4k|2k 2+1……(10分)因为|MN|=√2|AB|，所以√k 2+1|x 1−x 2|=√2(k 2+1)|x 3−x 4|……(11分) 从而√8(k 2+1)=√2|4k|，k =±√33，直线l 的方程为y =±√33(x +1)……(12分)【解析】(Ⅰ)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，求出c ，利用e 求解a ，然后求解椭圆的标准方程．(Ⅱ)因为|MN|=√2|AB|>|AB|，所以MN 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为y =k(x +1)，联立直线与椭圆方程，设M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，利用韦达定理，直线AB 的方程为y =kx −1，设A(x 3,y 3)、B(x 4,y 4)，转化求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．20. 已知函数f(x)=lnx +12x 2−ax ，a ∈R 是常数．(Ⅰ)证明：曲线y =f(x)在x =1处的切线经过定点； (Ⅱ)证明：函数f(x)有且仅有一个零点． 【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=1x +x −a ……(1分)曲线y =f(x)在x =1处的切线为y −f(1)=f′(1)(x −1)……(2分) 即y −(12−a)=(2−a)(x −1)，y =(2−a)x −32当x =0时，y =−32，即切线过定点(0,−32)……(3分)(Ⅱ)(1)当a≤2时，f′(x)=1x+x−a≥2−a≥0……(4分)f(x)单调递增，根据对数函数与幂函数性质，当x是充分小的正数时，f(x)<0，当x是充分大的正数时，f(x)>0，所以，f(x)有且仅有一个零点……(6分)(2)当a>2时，解f′(x)=1x +x−a=0得，x1=a−√a2−42，x2=a+√a2−42……(8分)f(x1)=ln a−√a2−42+12(a−√a2−42)2−a2−a√a2−42=ln a−√a2−42−18(a−√a2−4)2−1，其中a−√a2−42=a+√a2−4<1，所以f(x1)<0……(9分)所以，任意∀x∈(0,x2]，f(x)<0，f(x)在区间(0,x2]无零点……(10分)取x0=2a+1，则x0>e，f(x0)=lnx0+12x0(x0−2a)>0，所以，f(x)在区间(x2,x0)有零点……(11分)由f(x)的单调性知，f(x)在区间(x2,+∞)有且仅有一个零点综上所述，函数f(x)有且仅有一个零点……(12分)【解析】(Ⅰ)求出函数的导函数，求出切线的斜率，推出切线方程，然后求解直线经过的定点．(Ⅱ)(1)当a≤2时，f′(x)=1x+x−a≥2−a≥0，判断函数的单调性，推出零点的个数．(2)当a>2时，解f′(x)=1x +x−a=0得，x1=a−√a2−42，x2=a+√a2−42，利用函数的单调性结合函数的极值，求解函数的零点．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力．21.在直角坐标系Oxy中，曲线C1：{y=4sinαx=4+4cosα(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ−4=0．(Ⅰ)分别求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(Ⅱ)P是曲线C1和C2的一个交点，过点P作曲线C1的切线交曲线C2于另一点Q，求|PQ|．【答案】解：(Ⅰ)由sin2α+cos2α=1得，曲线C1的普通方程为(x−4)2+y2=16．由ρ2=x2+y2、ρcosθ=x得，曲线C2的直角坐标方程为x2+y2−4x−4=0，(Ⅱ)解{x 2+y 2−4x −4=0(x−4)2+y 2=16得，x =1，y =±√7．根据圆的对称性，不妨设P(1,√7)，则k PC 1=−√73，k PQ =7． 直线PQ 的方程为y −√7=√7−1)，即3x −√7y +4=0．圆心C 2(2,0)到直线PQ 的距离d =9+7=52， 所以，|PQ|=2√8−254=√7．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离的公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．22. 已知函数f(x)=|x|，g(x)=−|x −4|+m ，x ∈R ，m ∈R 是常数．(Ⅰ)解关于x 的不等式g(|x|)+3−m >0；(Ⅱ)若曲线y =f(x)与y =g(12x)无公共点，求m 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)依题意，g(|x|)+3−m =−||x|−4|+3……(1分)由g(|x|)+3−m =−||x|−4|+3>0，得，||x|−4|<3−3<|x|−4<3 ……(2分)1<|x|<7，解|x|<7得，−7<x <7 ……(3分)解|x|>1得，x >1或x <−1 ……(4分)不等式的解集为(−7,−1)∪(1,7)……(5分)(Ⅱ)依题意，f(x)−g(12x)=|x|+|12x −4|−m 无零点，h(x)=|x|+|12x −4|={ 32x −4,x >8,12x +4,0≤x ≤8,−32x +4,x <0.……(8分) h(x)的最小值为4，所以m <4，即m 的取值范围是(−∞,4)……(10分)【解析】(Ⅰ)得到关于|x|的不等式，求出x 的范围即可；(Ⅱ)令h(x)=|x|+|12x −4|，求出h(x)的分段函数的形式，求出h(x)的最小值，从而求出m 的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．。

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