11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 练习(2)(解析版) (2)
【新教材】11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 课件(2)-人教B版高中数学必修第四册
问题与探究
在小学时我们就已经学过，一个几何体所占空间的大小称为这 个几何体的体积，长方体的体积，圆柱的体积都等于底面积乘以高。 下面我们探讨其他几何体体积的求法。
尝试与发现
1：祖暅原理
A．π
B．2π
C．4π
D．8π
B [设轴截面正方形的边长为 a， 由题意知 S 侧＝πa·a＝πa2. 又∵S 侧＝4π，∴a＝2. ∴V 圆柱＝π×2＝2π.]
4．已知圆锥 SO 的高为 4，体积为 4π，则底面半径 r＝________. 3 [由已知得 4π＝13πr2×4，解得 r＝ 3.]
问题思考
1．夹在两个平行平面间的三棱锥和三棱柱，如果它们的底面积相等，那么这两个几何体 的体积是否相等？
解答：被平行于这两个平面的任意平面所截时，三棱锥和三棱柱不满足两个截面的面积总相等，故这两个 几何体的体积不相等．
2．若三棱柱 ABC－A1B1C1 与圆柱 O′O 的高相等，且△ ABC 的面积与底面圆 O 的面积相等， 那么它们的体积是否相等？
C [圆锥的高 h＝ 52－32＝4，故 V＝13π×32×4＝12π.]
3．正方体的表面积为 96，则正方体的体积为( )
A．48 6
B．64
C．16
D．96
B [设正方体的棱长为 a，则 6a2＝96，解得 a＝4，所以正方体 的体积为 a3＝64.]
4．若一个球的直径是 12 cm，则它的体积为________cm3.
（球和棱柱接口处面积不计，结果精确到 1 cm2 ）？
（2）每个零件的表面积为：
11 2 1 2 4 4 (1)2 10+ (cm2 )
原创1：11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
1
＝
tan60°
∴AD＝
3，
∴R－r＝ 3 ，BD＝A1D·tan 60°＝3 3 ，
∴R＋r＝3 3 ，∴R＝2 3 ，r＝ 3 ，h＝3.
1
∴V圆台＝ π(R2＋Rr＋r2)h
3
1
＝ π×[(2
3
3)2＋2 3 × 3 ＋( 3)2]×3＝21π.
典例精析
新知探索
锥体的体积
直三棱柱可以分成三个三棱锥，如果锥体的底面积为S,高为h，
1
3
则锥体的体积计算公式为V锥体= Sh.
C1
B1
A1
A
B1
C1
B
C
A1
B
C
C1
C
A
B
A
新知探索
台体的体积
棱台与圆台统称为台体.
V台体=V大锥体- V小锥体
新知探索
台体的体积
已知四棱台上、下底面面积分别为S1,S2，而且高为h，求这个棱台的体积.
典例精析
题型六：补体法求几何体的体积
例6 一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线
长分别为2和3，则该几何体的体积为（
A.5π
B.6π
C.20π
D.10π
）
【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，
如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
3
2πr=2π
h2+r2=4
1
3，所以它的体积为 ×π×12×
3
3=
3
π.
3
课堂小结
底面积
公式
新高考 高中数学 必修四 课件+类型题11.1.6祖暅原理与几何体的体积
3．半径为 R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是
()
A．2 2R3
B．4πR3 3
C． 3R3 9
[答案] D
D．8 3R3 9
[解析] 设正方体的棱长为 a，则 3a2＝4R2，∴a＝233R，
∴该正方体的体积 V＝a3＝(233R)3＝893R3.
4．将一铜球放入底面半径为16 cm的圆柱玻璃容器中，水 面升高9 cm，则这个铜球的半径为________ cm.
两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个 几何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定， 若视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一 个点，可以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在 被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两 几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无 数个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同， 则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说， 它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。
所以 OA＝OB＝OC．
于是 O 为 AC 的中点，在 Rt△ABC 中， AC＝ AB2＋BC2＝ 62＋82＝10，AO＝5， 则 SO＝ SA2－AO2＝ 132－52＝12， 根据棱锥的体积公式： V 三棱锥＝13Sh＝13S△ABC·SO ＝13×12×6×8×12＝96.
典型例题
类型一、柱体的体积
欧啦 ·数学
临渊羡鱼，不如退而结网！
新高考·人教B版 ·必修4
第十一章
立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
一、祖暅（gèng）原理
公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到 祖暅的开立圆术。祖暅在求球体积时，使用一个原理： “幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势” 是立体的高。
人教B版高中同步学案数学必修第四册精品课件 第十一章 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)等底等高的两个柱体的体积相同.( √ )
(2)等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的9倍.( × )
(3)在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,有VA-A 1 BC = VB 1 -A 1 C 1 B = VC 1 -A 1 BC .( × )
2.运用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等,需要几个条件?分别是什么?
1
所以台体= ×(4+16+√4 ×
3
16)×3=28.
知识点3 球的体积
一般地,如果球的半径为R,那么球的体积计算公式为V球=
4 3
πR
3
.
名师点睛
求解与球有关切接问题时要认真分析题中已知条件,明确切点与接点位置,
正确作出截面图,再分析相关量间的数量关系.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1) 答案 A
解析 作圆锥的轴截面(如图所示).
由题设,在△POB中,∠APB=90°,PA=PB .
设圆锥的高为 h,底面半径为 r,则 h=r,PB=√2r.
由 S 侧=π·r·PB=16√2π,得√2πr2=16√2π.
所以 r=4,h=4.
故圆锥的体积 V
(2)解三棱锥
1 2
64
π.
48
2.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积
是
.
答案
√3
3
π
解析 易知圆锥的母线长为 l=2,设圆锥的底面半径为 r,则
则高 h= 2 - 2 = √3.
∴V
1 2
1
2
h=
π×
1
课时作业1：11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
11．1.6 祖原理与几何体的体积1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12答案 A解析 设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3.2.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.64π3 B.128π3C ．64πD ．1282π答案 A解析 设圆锥的母线长为l ，底面半径为r . 由题意知，l ＝2r ，① S 侧＝πrl ＝162π，② 由①②可得r ＝4，l ＝42， V 圆锥＝13πr 2h ＝π3r 2l 2－r 2＝643π.4．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6 答案 A解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.5.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.23πB.43πC.53π D ．2π 答案 C解析 由题意，旋转而成的几何体是圆柱挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.6.如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是________．答案 23解析 ∵V C －A ′B ′C ′ ＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13， ∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.7．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3， V 圆锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.8．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，则h ＝________.答案32a 解析 设圆锥形容器的液面的半径为R ， 则液体的体积为13πR 2h ，圆柱形容器内的液体体积为π⎝⎛⎭⎫a 22h . 根据题意，有13πR 2h ＝π⎝⎛⎭⎫a 22h ， 解得R ＝32a . 再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得32a a ＝h a ，所以h ＝32a .9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l＝43π×13＋π×12×3＝13π3. 10．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图所示，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中点，连接OO ′，A ′D ′，AD ，DD ′，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，记为h 0，所以S 侧＝3×12×(20＋30)h 0＝75h 0.上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)． 由S 侧＝S 上＋S 下， 得75h 0＝3253， 所以h 0＝1333(cm)．又O ′D ′＝13×32×20＝1033(cm)，OD ＝13×32×30＝53(cm)，记棱台的高为h ， 则h ＝O ′O＝h 20－(OD －O ′D ′)2＝⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×⎝⎛⎭⎫3253＋34×20×30 ＝1 900(cm 3)．所以棱台的高为43cm ，体积为1 900 cm 3.11.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A ．5πB ．6πC ．20πD ．10π解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.12．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( ) A.26 B.23 C.33 D.23答案 B解析 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个完全相同的正四棱锥的组合体，每个棱锥的高是正方体高的一半，底面面积是正方体一个面的面积的一半， 所以所求体积为V ＝2×13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×22＝23.故选B. 13．在如图所示的圆锥中，O 为底面圆心，半径OA ⊥OB ，且OA ＝VO ＝1，则点O 到平面VAB 的距离为( )A.33 B.32 C.23 D.22答案 A解析 由题意可得三棱锥V －AOB 的体积为V V －AOB ＝13S △AOB ·VO ＝13×12×1×1×1＝16.△VAB是边长为2的等边三角形，其面积为34×(2)2＝32，设点O 到平面VAB 的距离为h ，则 V O －VAB ＝13S △VAB ·h ＝13×32h ＝V V －AOB ＝16，解得h ＝33，即点O 到平面VAB 的距离是33.14．如图1所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图2所示水平放置时，液面高度为20 cm ；当这个几何体如图3所示水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为( )A ．29 cmB ．30 cmC ．32 cmD ．48 cm解析 设上、下圆柱的半径分别是r cm ，R cm(r <R )，高分别是h cm ，H cm.由水的体积不变得πR 2H ＋πr 2(20－H )＝πr 2h ＋πR 2(28－h )，整理得(R 2－r 2)(H ＋h )＝28R 2－20r 2，又r ＝1 cm ，R ＝3 cm ，故解得H ＋h ＝29，即这个简单几何体的总高度为29 cm.15．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥S －EFGH (如图2)，则正四棱锥S －EFGH 的体积为________．答案 43解析 如图，连接EG ，HF 交于点O ，连接SO .由题意知正方形EFGH 的对角线EG ＝2，EO ＝1，则点E 到线段AB 的距离为1，且EB ＝12＋22＝5，SO ＝SE 2－OE 2＝5－1＝2，故正四棱锥S －EFGH 的体积为13×(2)2×2＝43.16．已知四面体的各面都是棱长为a 的正三角形，求它外接球的体积． 解 如图，设SO 1是四面体S －ABC 的高，则外接球的球心O 在SO 1上．设外接球半径为R .∵四面体的棱长为a ，O 1为正三角形ABC 的中心， ∴AO 1＝23×32a ＝33a ，SO 1＝SA 2－AO 21＝a 2－13a 2＝63a ，在Rt △OO 1A 中，R 2＝AO 21＋OO 21＝AO 21＋(SO 1－R )2，即R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫63a －R 2， 解得R ＝64a ， ∴所求外接球的体积V 球＝43πR 3＝68πa 3.。
人教B版高中数学必修第四册课后习题 第十一章 立体几何初步 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积课后训练巩固提升1.已知直角三角形的两直角边边长分别为a,b,分别以这两个直角边所在直线为轴,旋转一周所形成的几何体的体积比为( ) A.a ∶b B.b ∶a C .1a ∶bD.b ∶1aa 的直角边所在直线为旋转轴时,所形成的圆锥体积V 1=13×π×b 2×a=ab 2π3;以边长为b 的直角边所在直线为旋转轴时,所形成的圆锥体积V 2=13×π×a 2×b=a 2bπ3,所以V 1V 2=ba.2.侧棱长为2的正三棱锥,若底面周长为9,则该正三棱锥的体积是( ) A .9√32B .9√34C .3√22D .3√34,底面正三角形的边长为3,侧棱在底面上的射影长为√3,正三棱锥的高为h=√22-(√3)2=1,因此V 正三棱锥=13S 底·h=13×12×32×sin60°×1=3√34.3.若将球O 的半径扩大到原来的2倍,得到球O 1,将球O 的半径缩小到原来的12得到球O 2,则V O 1∶V O 2=( )A.64B.32C.16D.8解析:设球O 的半径为1,则球O 1的半径为2,球O 2的半径为12,可得V O 1=43π×23,V O 2=43π×123,因此V O 1V O 2=23(12) 3=64.4.已知高为3的直棱柱ABC-A'B'C'的底面是边长为1的正三角形,如图所示,则三棱锥B'-ABC 的体积为( )A .14B .12C .√36D .√34V 三棱锥B'-ABC =13·BB'·S △ABC =13×3×12×√32×12=√34.5.已知圆柱的侧面展开图是长12 cm,宽8 cm 的矩形,则这个圆柱的体积为( ) A .288πcm 3 B .192πcm 3C .288πcm 3或192πcm 3 D.192π cm 3解析:当圆柱的高为8cm 时,V=π×122π2×8=288πcm 3;当圆柱的高为12cm时,V=π×82π2×12=192πcm 3.6.已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为 .√3S 上=6√3,S 下=24√3,高h=2,所以V 台体=13h(S 上+S 下+√S 上·S 下)=13×2×(6√3+24√3+12√3)=28√3.7.用半径为20 cm 的半圆形铁片卷成一个无底的倒圆锥形容器(接缝处忽略不计),则该容器的容积为 .3r, 则2πr=12×2π×20,解得r=10. ∵母线长l=20, ∴圆锥的高h=10√3. ∴V=13π×102×10√3=1000√3π3.8.如图,棱锥的底面ABCD 是一个矩形,AC 与BD 交于点M,VM 是棱锥的高,若VM=4 cm,AB=4 cm,VC=5 cm,求棱锥的体积.VM 是棱锥的高, ∴VM ⊥MC.在Rt △VMC 中,MC=√VC 2-VM 2=√52-42=3(cm),∴AC=2MC=6cm. 在Rt △ABC 中,BC=√AC 2-AB 2=√62-42=2√5(cm). ∵S 底=AB·BC=4×2√5=8√5(cm 2),h=VM=4cm, ∴V 锥=13S 底·h=13×8√5×4=32√53(cm 3),即该棱锥的体积为32√53cm 3. 9.一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6 cm,高为20 cm 的圆锥形铅锤,如图所示.当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降多少?解:由已知得圆锥形铅锤的体积为13×π×622×20=60π(cm 3).设水面下降的高度为xcm,则π(202)2x=60π,解得.1.如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( ) A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍解析:半径大的球,体积也大.设三个球的半径分别为1,2,3,则最大球的半径为3,其体积为43π×33,其余两个球的体积之和为43π×13+43π×23,故43π×27÷43π+43π×8=3.2.体积为52的圆台,其中一个底面积是另一个底面积的9倍,那么截得这个圆台的圆锥的体积是( ) A.54 B.54π C.58 D.58πr,则由题意得下底面半径为3r.设圆台的高为h 1,则13πh 1(r 2+9r 2+3r·r)=52,即πr 2h 1=12.设原圆锥的高为h,由相似知识得r 3r =h -h 1h,从而h=32h 1,因此V 原圆锥=13π(3r)2×h=3πr 2×32h 1=92×12=54.3.已知正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此正三棱锥的体积为( )A .2√23B .√2C .√23D .4√232,侧面均为直角三角形, ∴侧棱长为√2,三条侧棱两两垂直. 故正三棱锥的体积V=13×12×(√2)2×√2=√23. 4.如图所示,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面一边A 1B 1作一个平行于棱CC 1的平面A 1B 1EF,这个平面分三棱台成两部分(其中一部分为三棱柱A 1B 1C 1-FEC)的体积之比为( )A.1∶2B.2∶3C.3∶4D.4∶5S,由上、下底面对应边的比为1∶2,可知下底面面积为4S.设棱台的高为h,则棱台的体积V 台=13h(S+√S ·4S +4S)=73Sh.∵棱柱A 1B 1C 1-FEC 的体积为V 柱=S·h,∴V 柱V 台-V 柱=Sh73Sh -Sh =34.5.如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,则圆柱、圆锥、球的体积之比为 .∶1∶2R,则V 柱=πR 2·2R=2πR 3,V 锥=13πR 2·2R=2πR 33,V 球=43πR 3,所以V 柱∶V 锥∶V 球=2πR 3∶2πR 33∶4πR 33=3∶1∶2.6.已知一个长方体的某三个面的面积分别是√2,√3,√6,则这个长方体的体积为 . √6a,b,c, 则{ab =√2,ac =√3,bc =√6,三式相乘可知(abc)2=6,所以长方体的体积V=abc=√6.7.如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由..理由:由题图可知,半球形冰激凌的半径为4cm,圆锥形空杯子的高为10cm,底面半径为4cm,所以V半球=12×43π×43=128π3(cm3),V圆锥=1 3π×42×10=160π3(cm3).因为V半球<V圆锥,所以,冰激凌融化了,不会溢出杯子.8.正方形ABCD的边长为1,如图①所示,分别取边BC,CD的中点E,F,连接AE,EF,AF,以AE,EF,AF为折痕,折叠这个正方形,使点B,C,D重合于一点P,得到一个三棱锥如图②所示,求此三棱锥的体积.图①图②B=∠C=∠D=90°,∴翻折后∠APE=∠EPF=∠APF=90°.∴Rt △PEF 可以看作是三棱锥的底面,而AP 可以看作是三棱锥的高. 比较发现,AP=1,PE ⊥PF,PE=PF=12,∴V A-PEF =13S △PEF ·AP=13×12×12×12×1=124.。
高中数学第十一章立体几何初步11.1.6祖暅原理与几何体的体积精英同步练含解析新人教B版必修第四册
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积1、如图，已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，111112AA A B A D ===，且111111160AA D AA B D A B ∠=∠=∠=︒，则该平行六面体的体积为( )A.42B.43C.6D.82、小明有一个圆柱形水杯，水杯内壁的直径是8cm ，高是83cm.小明用这个水杯接了一些水，随后缓慢倾斜水杯喝水，小明刚好喝到水时，圆柱形水杯的母线与地面的夹角是60°小明恰好停止喝水时，水杯的母线与地面的夹角是30°小明喝掉的水的体积是() A.3643πcm B.3208πcm 3C.3523πcm D.31283πcm 3、已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( ) A.πB.34πC.2π D.4π 4、如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AC AB ==，22BC AP ==，D E ,分别是PC PB ,上的点，且14PD PC =，14PE PB =，则几何体ABCDE 的体积为( )2222525、设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC △为等边三角形且其面积为,则三棱锥D ABC -体积的最大值为( )A.B.C.D.6、已知AB CD ,是圆锥SO 底面圆的两条相互垂直的直径，SA AC =，四棱锥S ADBC -侧面积为( )C.4π37、我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l 尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸）（） A ．3寸B ．4寸C ．5寸D ．6寸8、已知正六棱台的上下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（）A.B.C.D.9、已知三棱锥P ABC -中，ABC △是以A 为直角顶点的直角三角形，2AB AC ==，PB PC =，且PA 1O 为ABC △的外接圆的圆心，1cos PAO ∠，则三棱锥P ABC -外接球的体积为( ) A.7π3D.7π10、已知三棱锥A BCD -中，2,AB CD AC BD AD BC ======个顶点在同一个球面上，则此球的体积为( ) A ．3π2B ．24π CD ．6π11、如图,在圆柱12O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱12O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是__________.12、如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________.13、如图，边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=沿对角线BD 将其折起，使点A 与点A '重C 合，则当三棱锥A BCD '-的体积最大时，三棱锥A BCD '-外接球的体积为.14、如图,在棱长均为3的正四棱锥P ABCD -中,,,,E F G H 分别是,,,PA PB PC PD 上的点,平面EFGH 与平面ABCD 平行,S 为AC 和BD 的交点,当四棱锥S EFGH -的体积最大时,PEPA=____________,四棱锥S EFGH -外接球的表面积为______.15、一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥,且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上,如图,已知圆锥底面面积是这个球面面积的316,设球的半径为R,圆锥底面半径为r.1.试确定R 与r 的关系,并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比;2.求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：依题意可得平行六面体1111ABCD A B C D -的底面积11111111sin 60A B C D S A B A D =⋅︒四边形32223=⨯=连接11A C 由11111160AA D AA B DA B ∠=∠=∠=︒，可知点A 在底面1111A B C D 上的射影在11A C 上， 设H 为点A 在底面1111A B C D 上的射影，如图，设1AA H θ∠=，则11111cos cos cos AA B C A B θ∠=∠，则3cos θ，故236sin 133θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此6262sin 233AH θ==⨯=. 可得该平行六面体的体积2623423V =⨯=，故选A.2答案及解析： 答案：D解析：根据题意可知，8cm AC =，60ABC ∠=︒，30ADC ∠=︒， 如图，则83cm tan60AC AB ==︒，83cm tan30AC AD ==︒，故初始时水的体积为()23143π483cm V ⎛⎫=⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭， 结时水的体积为圆柱的一半，即()232π443cm V =⋅⋅故小明喝掉的水的体积为()2312431283ππ483cm V V V ⎛⎫∆=-=⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选D3答案及解析： 答案：B解析：由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径221312r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.4答案及解析： 答案：D解析：在ABC △中，2AC AB ==，22BC =，由222AC AB BC +=，可得90BAC ∠=︒. 因为PA ⊥平面ABC ，所以11422222323P ABC V -=⨯⨯⨯⨯=，因为14PD PC =，14PE PB =，所以PDE PCB △△.易知三棱锥A PDE -与三棱锥A PBC -的高相等，则它们的体积比等于其底面积的比， 即PDE A PDE A PBC PBC S V V S --=△△2211416PD PC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以111616A PDE A PBC P ABC V V V ---=⨯=⨯142216312=⨯= 所以几何体ABCDE 的体积为42252-=，故选D.5答案及解析： 答案：B 解析：如图所示,点M 为ABC △的重心,E 为AC 中心,当DM ⊥平面ABC 时,三棱锥D ABC -体积最大(O 是球心)此时,4OD OB R ===2393,6ABC S AB AB ∆===∴∴22332333BM BE ==⨯= ∴Rt ABC △中,有222OM OB BM =-= ∴426DM OD OM =+=+= ∴max 1()9361833D ABC V -=⨯⨯= 故选B6答案及解析： 答案：A解析：设圆锥的底面半径为r ，则2SA AC r ==，所以()234243r⨯⨯=，解得2r =，所以圆锥的母线2SA =，高2SO =，则圆锥体积()2122π22π3V =⨯⨯=.7答案及解析： 答案：A解析：作为圆台的轴截面如图所示，由题意知，14BF =（单位：寸，下同）6189OC OF OG ===，，，即G 是OF 的中点，所以GE 为梯形OCBF 的中位线，所以146102GE +==，即积水上底面半径为10，所以盆中积水的体积为()1π100361069588π3⨯++⨯⨯=（立方寸），又盆口的面积为214π196π=（平方寸），所以平均降雨量是588π3196π=（寸），即平均降雨量是3寸8答案及解析： 答案：B解析：由题意可知，下底面面积2364243=，上底面面积63，正六棱台的体积(1224363243632833V =⨯⨯⨯=9答案及解析：答案：B解析：设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，半径为R ，连接11PO OO AO PO ,,,，如图. 由已知，得BC 为圆1O 的直径，则12AO =. 因为127cos PAO ∠=，14PA =，12AO =，所以在1PAO △中， 由余弦定理，得22211112cos 8PO PA AO PA AO PAO =+-⋅⋅∠=，所以122PO =. 又222111014AO PO PA +=<=，所以1PO A ∠为钝角.由正弦定理，得111sin sin PA PO PO A PAO =∠∠，即11422sin 21PO A =∠， 得13sin PO A ∠=，所以1120PO A ∠=︒， 又1OO ⊥平面ABC ，190OO A ∠=︒，所以130PO O ∠=︒， 在1Rt AOO △中，2212OO R =-，在1POO △中，222111112cos PO OO PO OO PO PO O =+-⋅∠， 即222282222cos30R R R =-+--⨯︒，得72R =， 所以球O 的体积33447714πππ332V R ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选B10答案及解析： 答案：C 解析：11答案及解析：答案：32解析：设球半径为,则213223423v r r v r ππ⨯==.故答案为32.12答案及解析： 答案：43解析：平面ABCD 将多面体分成了两个以2为底面边长,高为1的正四棱锥, 所以其体积为14221233⨯⨯⨯⨯=.13答案及解析： 2015π解析：过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，则133A BCD BCD V S A H H '-''=⨯⨯△，显然当平面A BD '⊥平面BCD 时，A H '取得最大值.设三棱锥A BCD '-的外接球球心为,O A BD '△和BCD △的外接圆圆心分别为12O O ，， 连接1A O '并延长，交BD 于点M ，连接12,OO OO ，2O M A O '，， 易得四边形21OO MO 为正方形，则11133OO O M A M '==在1Rt OO A '△中，12233O A A M ''=2211OA OO O A ''+141533=+所以外接球的半径15R ，所以3344π152015ππ33O V R ==⨯⎝⎭球.14答案及解析： 答案：23;25π2解析：因为平面EFGH 与平面ABCD 平行,所以四边形EFGH 与四边形ABCD 相似,所以四边形EFGH 是正方形,设(01)PEx x PA=<<,所以2S x S =正方形EFGH 正方形ABCD ,易知四棱锥S EFGH -与四棱锥P ABCD -的高的比值为(1)x -,设0P ABCD V V -=,则20(1)S EFGH V x x V -=-,设2()(1)(01)f x x x x =-<<,则2'()23f x x x =-,则当203x <<时,'()0f x >,当213x <<时,'()0f x <,所以当23x =,即23PE PA =时,()f x 取得最大值,此时S EFGH V -取得最大值连接,,PS FH EG ,设FH 与EG 交于点M,易知点M 在PS 上,2,2EF SM HM === 设四棱锥S EFGH -的外接球球心为O,半径为R,易知O 在直线PS 上,连接OH ,易知点O 在四棱锥S EFGH -的外部,则22(2R R +=,解得R =,所以四棱锥S EFGH -的外接球的表面积为225π4π2R =.15答案及解析：答案：1.不妨设球的半径为4;则球的表面积为64π,圆锥的底面积为12π,∴圆锥的底面半径为由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离,球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形2=, 所以圆锥体积较小者的高为422-=, 同理可得圆锥体积较大者的高为426+=; 又由这两个圆锥的底面相同,∴较大圆锥与较小圆锥的体积之比等于它们高之比,即3:12832π⋅=, 256π:π3:83= 解析：。
高中数学第十一章立体几何初步11.1.6祖暅原理与几何体的体积优质作业含解析B版第四册
第十一章立体几何初步11.1空间几何体11.1。
6祖暅原理与几何体的体积课后篇巩固提升基础达标练1.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为()A。
3 B.4 C。
5 D.6V=13（π+2π+4π）h=7π，∴h=3。
2。
若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为()A.1 B。
12C。
√32D.34R,圆锥底面半径r，高都为h，由已知得2Rh=rh，∴r=2R.故V柱∶V锥=πR2h∶13πr2h=34.故选D。
3。
(2020全国高一课时练习)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.3π4C.π2D 。
π4由题意可得AC=1,AB=12，所以圆柱的底面半径r=√12-(12)2=√32,所以圆柱的体积是V=πr 2h=π×(√32)2×1=34π。
4.(2020全国高一课时练习）如图，一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出溶液的体积为( ) A.827√3π B.427√3π C 。
1627√3πD.3227√3π,设球的半径为r ,作出球的组合体的轴截面(图略）,可得一个半径为r 的圆内切于一个边长为4的正三角形，此时正三角形的高为h=2√3，根据三角形重心的性质可得,球的半径为r=13h=2√33，所以球的体积为V=43πr 3=43π×(2√33)3=32√327π，即溢出溶液的体积为32√327π.5.(2020全国高一课时练习）《算数书》中记载有求“盖”的体积的方法：置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一.这相当于给出了圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227B.258C.15750D 。
11.1.6祖暅原理与几何体的体积2024-2025学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第四册
式进行运算、解答.
【变式训练2】 已知圆台的上底面面积为16π cm2,下底面半径为6 cm,母线
长为10 cm,求圆台的侧面积和体积.
解:由题意知,圆台的上底面半径r'=4 cm,下底面半径r=6 cm,母线长l=10
cm,于是S圆台侧=π(r+r')l=100π(cm2).
中底面半径R=2,高H=1,
则圆柱体积V=πR2H=4π.
Rt△BOC绕直线l旋转一周形成圆锥,其中底面半径r=1,高h=1,
1 2 π
则圆锥体积 V'= πr h= ,
3
3
π 11π
因此所得几何体的体积为 V-V'=4π- =
.
3
3
延伸探究
将本例中的直角梯形绕CD所在直线旋转一周,求形成的曲面所围成的几
③台体的体积
如果台体的上、下底面面积分别为 S1,S2,高为 h,那么台体的体积计算公式
1
为 V 台体=3 (2 +
2 1 + 1)ℎ.
4
④如果球的半径为 R,那么球的体积计算公式为 V 球=3 π3.
3.(1)圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其体积为(
)
A.15π B.30π C.12π D.36π
面,所以降水量应是桶中雨水的体积除以圆台上底面的面积.
2 345
正解:同上可求得桶中雨水的体积 V=
π(cm3),因此,这次的降水量为
3
2 345π
3
2 ≈2.17 cm≈22(mm).
π×19
防范措施
1.准确理解相关概念.
2.将题中图形合理拆补为常见几何体.
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
3
S3
第1讲 描述运第动十的基一本章概念 立体几何初步
1|如何用“等积变换法”求三棱锥的体积
在平面几何中可利用“等积变换”求三角形的面积,通常有两种方案:一是同一三 角形选不同的边作为底边所得面积相等;二是不同的三角形利用“等底同高”或 “等高同底”得到三角形面积相等.在空间图形中能否借鉴平面几何的“等积变 换”求三棱锥的体积?如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为面对角线B1 C上的一点,在求三棱锥A-DED1的体积时,随着E点的变化,底面△DED1的面积在变 化,点A到底面的距离也在变化,导致体积难求.
3.如何求出三棱锥A-DED1的体积?
提示:由问题1、2得,VA-DED1
=VE
-ADD1
=VC
-ADD1
=
1 3
×
1 2
×1×1×1=
1 6
.
第1讲 描述运第动十的基一本章概念 立体几何初步
“等积变换”是当所给几何体的体积不能直接套用公式求出或涉及的某一量(底 面积或高)不易求解时,可以转换一下几何体中有关元素的相对位置再进行计算.具 体做法是选择合适的底面,使得底面面积和高易于计算.该方法适用于求三棱锥的 体积,由于三棱锥是由四个三角形围成的四面体,其中任何一个三角形所在面都可 以看成三棱锥的底面,所得三棱锥的体积保持不变.其他棱锥求体积不能随意换底, 用等体积转换法求体积需谨慎.
16 3
,所以
1 3
×2R2×R=
16 3
,
解得R=2,则球O的体积是 4 π×23= 32 π.
3
3
第1讲 描述运第动十的基一本章概念 立体几何初步
2.(★★☆)在半径为15的球O内有一个底面边长为12 3 的内接正三棱锥A-BCD,求此 正三棱锥的体积.
学案1：11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
11.1.6祖暅原理与几何体的体积学习目标1.了解柱体、锥体、台体和球体的体积的计算公式；2.会利用柱体、锥体、台体和球体的体积公式解决一些简单的实际问题．知识梳理知识点一祖暅原理[填一填]1．内容：幂势既同，则积不容异．2．含义：夹在的两个几何体，如果被平行于这两个平面的所截，两个截面的面积，那么这两个几何体的体积一定相等．[答一答]1．如何理解祖暅原理？知识点二柱体、锥体的体积[填一填]1．如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝.等底面积、等高的两个柱体，体积相等．2．如果锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积计算公式为V锥体＝.等底面积、等高的两个锥体，体积相等．[答一答]2．求柱体的体积的关键是什么？3．求三棱锥的体积时有什么技巧？试总结一下．知识点三台体、球的体积[填一填]1．如果台体的上、下底面面积分别为S1，S2，高为h，则台体的体积计算公式为V台体＝.2．如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝.[答一答]4．根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式之间的关系吗？知识点四组合体[填一填]1．概念：由等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体．2．基本形式：有两种，一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体．[答一答]5．怎样分析与球有关的组合体问题？典例讲练破题型类型一柱体的体积命题视角1：棱柱的体积[例1]已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm，宽为6 cm的矩形，求该正三棱柱的体积．[分析]由正三棱柱的侧面展开图是一个矩形，知底面等边三角形的周长可能是9 cm或6 cm，应分情况讨论．通法提炼柱体的体积公式是V＝Sh，求柱体体积的关键是确定柱体的底面积和高.[变式训练1]已知一个直棱柱底面是菱形，面积为S，两对角面的面积分别为m，n，求直棱柱的体积．命题视角2：圆柱的体积[例2]已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为6π和4π的矩形，求圆柱的体积．通法提炼求柱体的体积关键是寻求底面积和高，对于圆柱而言，重要的是确定底面半径和高.[变式训练2] 已知一个圆柱去掉两个底面，沿任一条母线割开，然后放在平面上展开后得 到平面图形(我们叫圆柱的侧面展开图)是一个矩形，它的对角线长为m ，对角线与底边成α角⎝⎛⎭⎫0<α<π2，求圆柱的体积．类型二 锥体的体积[例3] 如图所示，三棱锥的顶点为P ，P A ，PB ，PC 为两两垂直的侧棱，这三条侧棱的长分别为3,3,4，求此三棱锥P ABC 的体积．[分析] 若将△ABC 作为底面，则该底面的面积不易求得，考虑到P A ，PB ，PC 两两垂直，不妨将三角形P AB 当作底面，则三棱锥P ABC 的高是PC ，于是易求得体积． 通法提炼求棱锥的体积时，要特别注意各棱间的垂直关系，应尽可能选择直角三角形面作为底面. [变式训练3] 已知正四棱锥P ABCD 的底面是边长为4 cm 的正方形，高与斜高的夹角为30°，如图所示，求正四棱锥的体积．类型三 台体的体积 命题视角1：棱台的体积[例4] 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面积是780 cm 2.求正四棱台的体积．[分析]可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积．通法提炼求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.[变式训练4]本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm”，求该棱台的体积．命题视角2：圆台的体积[例5]设圆台的高为3，如图，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．[分析]在求解公式中的未知量时，应注意运用平面几何的有关知识．通法提炼圆台的轴截面是等腰梯形，将题中的已知量转移到轴截面中，即可求出圆台的上、下底面半径，进一步求出圆台的体积.[变式训练5]已知圆台的上下底面半径分别是2,4，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长和体积．类型四 球的体积[例6] 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果P A 、PB 、PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝a ，求这个球的体积． 通法提炼1.与球有关的组合体问题一种是内切，一种是外接，明确切点和接点的位置，并作出合适的截面图，是确定有关元素间的数量关系的关键.2.球外接于正方体、长方体时，正方体、长方体的对角线长等于球的直径.3.球与旋转体的组合，通常作轴截面解题.[变式训练6] 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3 cm 3类型五 组合体的体积[例7] 如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．通法提炼割补法是求不规则几何体体积的常用方法，解此类题时，分割与补形的原则是分割或补形后的几何体是简单几何体，且体积易求.[变式训练7] 如图，一个底面半径为2的圆柱被一个平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A ．5πB ．6πC ．20πD ．10π 课堂达标1．正方体的表面积是96，则正方体的体积为( )A ．48 6B ．64C ．16D ．962．如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为( )A ．8：27B ．2：3C ．4：9D ．2：93．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．8π4．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A DED 1的体积为16.参考答案知识梳理知识点一 祖暅原理[填一填]2．两个平行平面间 任意平面 总相等 [答一答]1．提示：祖暅原理中的“幂”指“面积”，“势”指“高度”，“幂势既同”意思是两个几何体“在等高处的截面面积相等”，“积”则指“体积”或“容积”． 知识点二 柱体、锥体的体积 [填一填] 1．Sh 2．13Sh [答一答]2．提示：由柱体的体积公式知，柱体的体积仅与它的底面积和高有关．而与是几棱柱，是否为直棱柱无关，故求柱体体积的关键是求底面积和高．3．提示：因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面，寻求底面积与高易求的三棱锥． 知识点三 台体、球的体积 [填一填]1．13(S 2＋S 2S 1＋S 1)h 2．43πR 3 [答一答]4．提示：柱体和锥体可以看作“特殊”的台体，它们之间的关系如下： (1)柱体、锥体、台体之间的关系：(2)体积公式之间的关系：知识点四 组合体 [填一填]1．柱、锥、台、球 [答一答]5．提示：通过画过球心的截面来分析．例如，底面半径为r ，高为h 的圆锥内部有一球O ，且球与圆锥的底面和侧面均相切．过球心O 作球的截面，如图所示，则球心是等腰三角形ABC 的内切圆的圆心，AB 和AC 均是圆锥的母线，BC 是圆锥底面直径，D 是圆锥底面的圆心．用同样的方法可得以下结论：①长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径； 球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长； 球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．②球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．③球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． 典例讲练破题型 类型一 柱体的体积 命题视角1：棱柱的体积[例1]解：设正三棱柱的底面等边三角形的边长为a cm ，高为h cm. (1)当正三棱柱的底面周长为9 cm 时，则h ＝6，且3a ＝9，∴a ＝3，∴S 底面＝12×3×3×32＝934(cm 2)，∴V 正三棱柱＝S 底面·h ＝934×6＝2723(cm 3)．(2)当正三棱柱的底面周长为6 cm 时，则h ＝9，且3a ＝6，∴a ＝2， ∴S 底面＝12×2×2×32＝3(cm 2)，∴V 正三棱柱＝S 底面·h ＝3×9＝93(cm 3)． 故该正三棱柱的体积为2723 cm 3或9 3 cm 3.[变式训练1]解：设直棱柱的底面对角线长为x 和y ，高为h ，则有⎩⎪⎨⎪⎧12xy ＝S ，xh ＝m ，yh ＝n ，∴h ＝mn2S .∴V 直棱柱＝Sh ＝S ·mn 2S ＝122mnS . 命题视角2：圆柱的体积[例2]解：设圆柱的底面半径为R ，高为h .(1)当圆柱的底面周长为6π时，高为4π，即2πR ＝6π，h ＝4π，所以R ＝3，所以V ＝πR 2·h ＝π·32·4π＝36π2.(2)当圆柱的底面周长为4π时，高为6π，即2πR ＝4π，h ＝6π，所以R ＝2，所以V ＝πR 2·h ＝π·22·6π＝24π2.故圆柱的体积为36π2或24π2.[变式训练2]解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，如图．则由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧h ＝m sin α，2πr ＝m cos α，∴h ＝m sin α，r ＝m cos α2π，∴V 圆柱＝πr 2h ＝π⎝⎛⎭⎫m cos α2π2·m sin α＝m 3sin αcos 2α4π.类型二 锥体的体积[例3]解：将三角形P AB 当作底面，则三棱锥P ABC 的高是PC . 所以V 三棱锥P ABC ＝V 三棱锥C P AB ＝13×12·P A ·PB ·PC ＝13×12×3×3×4＝6.[变式训练3]解：正四棱锥的高PO 、斜高PE 和底面边心距OE 组成Rt △POE .因为OE ＝2 cm ，∠OPE ＝30°，所以高PO ＝OE tan30°＝233＝2 3 cm ， 因此V 正四棱锥＝13Sh ＝13×42×23＝3233(cm 3)．类型三 台体的体积 命题视角1：棱台的体积[例4]解：如图所示，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm.取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E 1E 是侧面ABB 1A 1的高．设O 1、O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1是直角梯形．由S 侧＝4×12(10＋20)·E 1E ＝780，得EE 1＝13，在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5 cm ，OE ＝12AB ＝10 cm ，∴O 1O ＝E 1E 2－(OE －O 1E 1)2＝12 cm ， V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm 3)．故正四棱台的体积为2 800 cm 3.[变式训练4]解：如图，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，上、下底面边长分别为2 cm 和4 cm ，则O 1B 1＝ 2 cm ，OB ＝2 2 cm ，过点B 1作B 1M ⊥OB 于点M ，那么B 1M 为正四棱台的高，在Rt △BMB 1中，BB 1＝2 cm ，MB ＝(22－2)＝2(cm)．根据勾股定理MB 1＝BB 21－MB 2＝22－(2)2＝2(cm)．S 上＝22＝4(cm 2)，S 下＝42＝16(cm 2)，∴V 正四棱台＝13×2×(4＋4×16＋16)＝13×2×28＝2823(cm 3)．命题视角2：圆台的体积[例5]解：设上、下底面半径分别为r ，R ，过点A 1作A 1D ⊥AB 于点D ，则A 1D ＝3，∠BA 1A ＝90°.∵∠A 1AB ＝60°，∴∠BA 1D ＝60°，∴AD ＝A 1Dtan60°＝3，即R －r ＝ 3.又∵BD ＝A 1D ·tan60°＝33， ∴R ＋r ＝33，∴R ＝23，r ＝ 3.又∵h ＝3，∴圆台的体积V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π.[变式训练5]解：设圆台的母线长为l ， 则圆台的上底面面积为S 上＝π·22＝4π，圆台的下底面面积为S 下＝π·42＝16π，所以圆台的底面面积为S ＝S 上＋S 下＝20π，又圆台的侧面积S 侧＝π(2＋4)l ＝6πl ，于是6πl ＝20π，解得l ＝103， ∴圆台高h ＝l 2－(R －r )2＝1009－4＝83， ∴圆台体积V ＝13π·h ·(R 2＋r 2＋Rr )＝13π×83×(16＋4＋8)＝224π9. 类型四 球的体积[例6]解：∵P A 、PB 、PC 两两垂直，P A ＝PB ＝PC ＝a ，∴以P A 、PB 、PC 为相邻三条棱可以构造正方体．又∵P 、A 、B 、C 四点是球面上四点，∴球是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径．∴2R ＝3a ，R ＝32a ，∴V ＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫32a 3＝32πa 3. [变式训练6]【解析】本题考查球的体积的计算．如图，正方体的上底面截球的小圆直径为8 cm ，∴r ＝4 cm ，设球的半径为R cm.∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝R －2，d 2＋r 2＝R 2，∴R ＝5， ∴V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)． 【答案】A类型五 组合体的体积[例7]解：如图，连接EB ，EC ，AC .V 四棱锥E ABCD ＝13×42×3＝16. ∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ，∴S △EAB ＝2S △BEF .∴V 三棱锥F EBC ＝V 三棱锥C EFB ＝12V 三棱锥C ABE ＝12V 三棱锥E ABC ＝12×12V 四棱锥E ABCD ＝4. ∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E ABCD ＋V 三棱锥F EBC ＝16＋4＝20.[变式训练7]【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱 的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.【答案】D课堂达标1．【解析】设正方体的棱长为a ，则6a 2＝96，∴a ＝4，故V ＝a 3＝43＝64.【答案】B2．【解析】设两个球半径分别为r ，R ，则由条件知：43πr 343πR 3＝(r R )3＝827，∴r R ＝23，于是两球对应的表面积之比为4πr 24πR 2＝(r R )2＝49.故选C. 【答案】C3．【解析】设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2. ∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.【答案】A4．解：V 三棱锥A DED 1＝V 三棱锥E DD 1A ＝13×12×1×1×1＝16.。
学案2：11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积1．祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总 ，那么这两个几何体的体积 ”． (2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积 ． 2．柱体、锥体、台体和球的体积公式其中S ′、S 分别表示上、下底面的面积，h 表示高，r ′和r 分别表示上、下底面圆的半径，R 表示球的半径．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．( ) (2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关． ( ) (3)由V 锥体＝13S·h ，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面．( )2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为( )A ．15πB ．30C ．12πD ．36π3．若圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的12，则圆锥的体积( )A ．缩小为原来的34B ．缩小为原来的23C ．扩大为原来的2倍D ．不变4．若一个球的直径是12 cm ，则它的体积为________cm 3. 合作探究类型1求柱体的体积【例1】 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm ，高为3 cm ，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm ，高为2 cm ，现从中间挖去一个直径为2 cm 的圆柱，求此几何体的体积．规律方法柱体体积问题的处理方法求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等，都是高．圆柱的高是其母线长．具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关元素．跟踪训练1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．类型2求锥体的体积【例2】 如图，111111B A 1B 1C ，三棱锥C A 1B 1C 1的体积之比．[思路探究] AB ∶A 1B 1＝1∶2―→S △ABC ∶S △A 1B 1C 1―→ 计算VA 1－ABC ―→计算VC －A 1B 1C 1―→计算VB －A 1B 1C 规律方法割补法与等积法求锥体体积三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．另外等积法也是常用的求锥体体积的一种方法．跟踪训练2．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D ACD 1的体积是( )A ．16B ．13C ．12D ．1类型3求台体的体积【例3】 780 cm 2.求正四棱台的体积．[思路探究] 可以尝试借助四棱台内的直角梯形，求出棱台底面积和高，从而求出体积．跟踪训练3. 已知正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm 和4 cm ，侧棱长为2 cm ，求该棱台的体积．规律方法求台体体积的技巧求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．类型4求球的体积【例4】过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC ＝CA＝3 cm，求球的体积和表面积．[思路探究]解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径、截面圆半径和球心距构成的直角三角形．规律方法计算球的表面积或体积的关键是确定球的半径R，一般题目不直接给出球的半径，而是隐藏在某些条件中，解题过程中，一定要注意挖掘隐含条件.跟踪训练4．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm.课堂小结必备素养知识：1．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积． 2．球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2. 方法：不规则几何体的体积问题的求解策略：若几何体是组合体，可将其分解为若干个“柱、锥、台、球”的基本型，再根据相关公式求解．还有很多的题型主要应用化归与转化的思想化不规则为规则，以“分割”“补形”为工具将不规则图形转化为常见的几何体的形式． 学以致用1．已知球O 的表面积为16π，则球O 的体积为( )A ．43πB ．83πC ．163πD ．323π2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )A ．πB ．2πC ．4πD ．8π3．若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积之比为( )A ．1∶3∶4B ．1∶3∶2C ．1∶2∶4D ．1∶4∶24．如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，CE ＝2EP ，若三棱锥P EBD 的体积为V 1，三棱锥P ABD 的体积为V 2，则V 1V 2的值为________．5．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥体积．参考答案知识梳理1．祖暅原理(1)相等相等(2)相等2．柱体、锥体、台体和球的体积公式1．【答案】(1)× (2)√ (3)√ 2．【答案】C【解析】圆锥的高h ＝52－32＝4，故V ＝13π×32×4＝12π.3．【答案】A【解析】设圆锥的高为h ，底面半径为r ， 则圆锥的体积V ＝13πr 2×h ，当圆锥的高扩大为原来的3倍， 底面半径缩短为原来的12时，圆锥的体积V ′＝13π×⎝⎛⎭⎫12r 2×3h ＝34×⎝⎛⎭⎫13πr 2×h . 所以圆锥的体积缩小为原来的34.故选A ．4．【答案】288π【解析】由题意，知球的半径R ＝6 cm ，故其体积V ＝43πR 3＝43×π×63＝288π(cm 3)．合作探究【例1】[解] V V 挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm 3)，∴此几何体的体积： V ＝V 六棱柱＋V 圆柱－V 挖去圆柱＝(483＋22π)(cm 3)．跟踪训练1．[解] 设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝πr 2，2πrh ＝4a 2，①②由①得r ＝ππa ， 由②得πrh ＝2a 2，∴V 圆柱＝πr 2h ＝2ππa 3，∴V 正方体∶V 圆柱＝a 3∶⎝⎛⎭⎫2ππa 3＝π2∶1＝π∶2. 类型2求锥体的体积【例2】[解] 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，∵AB ∶A 1B 1＝1∶2，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB A 1B 1C ＝V 台VA 1ABC VC A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ，∴三棱锥A 1ABC ，B A 1B 1C ，C A 1B 1C 1的体积比为1∶2∶4. 跟踪训练2．【答案】A【解析】三棱锥D ACD 1的体积VD ACD 1＝VD 1ACD ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12＝16. 类型3求台体的体积【例3】[解] 如图所示，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm.取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E 1E 是侧面ABB 1A 1的高．设O 1，O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1是直角梯形．由S 侧＝4×12(10＋20)·E 1E ＝780，得EE 1＝13，在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5，OE ＝12AB ＝10，∴O 1O ＝E 1E 2－(OE －O 1E 1)2＝12，V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm 3)．故正四棱台的体积为2 800 cm 3.跟踪训练3. [解] 如图，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，上、下底面边长分别为2 cm 和4 cm ，则O 1B 1＝ 2 cm ，OB ＝2 2 cm ，过点B 1作B 1M ⊥OB 于点M ，那么B 1M 为正四棱台的高，在Rt △BMB 1中， BB 1＝2 cm ，MB ＝22－2＝ 2 (cm)． 根据勾股定理MB 1＝BB 21－MB 2＝22－(2)2＝2(cm)．S 上＝22＝4 (cm 2)， S 下＝42＝16(cm 2)，∴V 正四棱台＝13×2×(4＋4×16＋16)＝13×2×28＝2823(cm 3)． 类型4求球的体积【例4】[解] 如图，设过A ，B ，C 三点的截面为圆O ′，连接OO ′、AO 、AO ′.∵AB ＝BC ＝CA ＝3(cm)，∴O ′为正三角形ABC 的中心，∴AO ′＝33AB ＝ 3 (cm)． 设OA ＝R ，则OO ′＝12R ，∵OO ′⊥截面ABC ，∴OO ′⊥AO ′，∴AO ′＝32R ＝ 3 (cm)，∴R ＝2(cm)， ∴V 球＝43πR 3＝323π(cm 3)，S 球＝4πR 2＝16π(cm 2)．即球的体积为323π cm 3，表面积为16π cm 2.跟踪训练4．【答案】4【解析】设球的半径为r ，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r .则有πr 2·6r ＝8πr 2＋3·43πr 3，即2r ＝8，所以r ＝4 cm.学以致用 1．【答案】D【解析】因为球O 的表面积是16π，所以球O 的半径为2，所以球O 的体积为4π3×23＝323π，故选D ． 2．【答案】B【解析】设轴截面正方形的边长为a ，由题意知S 侧＝πa ·a ＝πa 2.∴4π＝πa 2，a ＝2. ∴V 圆柱＝π×⎝⎛⎭⎫a 22×a ＝2π. 3．【答案】B【解析】设球的半径为R ，则V 圆锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3.所以V 圆锥∶V 圆柱∶V 球＝23∶2∶43＝1∶3∶2.4．【答案】13【解析】设四棱锥P ABCD 的高为h ，底面ABCD 的面积为S ，则V 2＝V P ABD ＝13×12Sh ＝16Sh .因为CE ＝2EP ，所以EP ＝13PC ，所以V 1＝V P EBD ＝V E PBD ＝13V C PBD ＝13V P BCD ＝13×16Sh ＝118Sh ，所以V 1V 2＝118Sh16Sh ＝13.5．[解] 如图所示，正三棱锥S ABC ．设H 为正三角形ABC 的中心，连接SH ，则SH 的长即为该正三棱锥的高．连接AH 并延长交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AE ⊥BC ． ∵△ABC 是边长为6的正三角形，∴AE ＝32×6＝3 3.∴AH ＝23AE ＝2 3. 在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3.在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23，∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3. ∴V 正三棱锥＝13S △ABC ·SH ＝13×93×3＝9.。
课时作业4：11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积1．已知球O 的表面积为16π，则球O 的体积为( )A ．43πB ．83πC ．163πD ．323π2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )A ．πB ．2πC ．4πD ．8π3．若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积之比为( )A ．1∶3∶4B ．1∶3∶2C ．1∶2∶4D ．1∶4∶24．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A ．4π3B ．2π3C ．3π2D ．π65．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得的这个圆台的圆锥的体积是( )A ．54B ．54πC ．58D ．58π6．如图所示，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥ADED 1的体积为________．7．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，则h ＝________.8．如图，四棱锥PABCD 的底面ABCD 为平行四边形，CE ＝2EP ，若三棱锥PEBD 的体积为V 1，三棱锥PABD 的体积为V 2，则V 1V 2的值为________．9．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥体积．10．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少立方厘米(结果精确到0.1)?(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？参考答案1．【答案】D【解析】因为球O 的表面积是16π，所以球O 的半径为2，所以球O 的体积为4π3×23＝323π，故选D ． 2．【答案】B【解析】设轴截面正方形的边长为a ，由题意知S 侧＝πa ·a ＝πa 2.∴4π＝πa 2，a ＝2. ∴V 圆柱＝π×⎝⎛⎭⎫a 22×a ＝2π. 3．【答案】B【解析】设球的半径为R ，则V 圆锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3.所以V 圆锥∶V 圆柱∶V 球＝23∶2∶43＝1∶3∶2.4．【答案】A【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.5．【答案】A【解析】设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似知识得r 3r ＝h －h 1h ，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.6．【答案】16【解析】V 三棱锥ADED 1＝V 三棱锥EDD 1A ＝13×12×1×1×1＝16.7．【答案】32a 【解析】设圆锥形容器的液面的半径为R ，则液体的体积为13πR 2h ，圆柱形容器内的液体体积为π⎝⎛⎭⎫a 22h . 根据题意，有13πR 2h ＝π⎝⎛⎭⎫a 22h ，解得R ＝32a .再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得32a a ＝h a ，所以h ＝32a .8．【答案】13【解析】设四棱锥PABCD 的高为h ，底面ABCD 的面积为S ， 则V 2＝V PABD ＝13×12Sh ＝16Sh .因为CE ＝2EP ，所以EP ＝13PC ，所以V 1＝V PEBD ＝V EPBD ＝13V CPBD ＝13V PBCD ＝13×16Sh ＝118Sh ，所以V 1V 2＝118Sh16Sh ＝13.9．[解] 如图所示，正三棱锥SABC ．设H 为正三角形ABC 的中心，连接SH ，则SH 的长即为该正三棱锥的高．连接AH 并延长交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AE ⊥BC ． ∵△ABC 是边长为6的正三角形，∴AE ＝32×6＝3 3.∴AH ＝23AE ＝2 3. 在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3.在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， ∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3. ∴V 正三棱锥＝13S △ABC ·SH ＝13×93×3＝9.10．[解] (1)因为半球的直径是6 cm ，可得半径R ＝3 cm ， 所以两个半球的体积之和为V 球＝43πR 3＝43π·27＝36π(cm 3)．又圆柱筒的体积为V 圆柱＝πR 2·h ＝π×9×2＝18π(cm 3)．所以这种“浮球”的体积是：V ＝V 球＋V 圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm 3)． (2)根据题意，上下两个半球的表面积是S 球表＝4πR 2＝4×π×9＝36π(cm 2)． 又“浮球”的圆柱筒的侧面积为：S 圆柱侧＝2πRh ＝2×π×3×2＝12π(cm 2)， 所以1个“浮球”的表面积为S ＝36π＋12π104＝48104π(m 2)． 因此，2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S ＝2 500×48104π＝12π(m 2)．因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为：100×12π＝1 200π(克)．。
高中人教B版必修第四册逆袭之路第十一章11.1.6祖暅原理与几何体的体积(2)
人教B 版（2019）必修第四册逆袭之路第十一章11.1.6祖暅原理与几何体的体积（2）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积. 2．如图，过圆柱的两条母线1AA 和1BB 的截面11A ABB 的面积为S ，母线1AA 的长为l ，11190AO B ︒∠=，求此圆柱的体积.3．正四棱台两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面积为2780cm ，求其体积. 4．如图，直角ABC ∆满足90︒∠=C ，30B ，1AC =，将ABC ∆沿斜边AB 旋转一周得到一个旋转体，试判断该旋转体的形状，并求这个旋转体的表面积S 和体积V .5．一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？6．如图所示，正四棱锥P ABCD -中，1B 为PB 的中点，1D 为PD 的中点，求两个棱锥11A B CD -，P ABCD -的体积之比.二、单选题7．若三棱柱111ABC A B C -的体积为8，过AB ，AC ，11A B 中点截去一个小的三棱柱，则剩下的几何体的体积为（ ）A ．1B ．4C ．6D ．78．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将三角形ABC 折起，得到的四面体A ﹣BCD 的体积的最大值为（ ）A ．43B ．125C ．245D ．59．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这 个圆台的体积是（ ）A ．3πB ．C ．6πD ．3π 10．如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为（ ）A ．8:27B ．2:3C ．4:9D ．2:911．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．23πB ．43πC ．53πD ．2π12．若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )A ．12B ．14C ．1D ．3912913．若圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的12，则圆锥的体积（ ） A ．缩小为原来的34 B ．缩小为原来的23 C ．扩大为原来的2倍D ．不变 14．已知圆柱的轴截面为正方形，且该圆柱的侧面积为36π，则该圆柱的体积为 A ．27π B ．36π C ．54π D ．81π15．已知实心铁球的半径为R ，将铁球熔成一个底面半径为R 、高为h 的圆柱，则h R =( )A ．32B ．43C ．54D ．216．已知一长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的所有顶点都在同一球面上.若球的体积为323π，则该长方体的体积为（ ） ABC．3 D ．1417．在ABC ∆中，2, 1.5AB BC ==，0120ABC ∠=，若使该三角形绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）A ．32πB ．52πC ．72πD ．92π 18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2CE EP =，若三棱锥P EBD -的体积为1V ，三棱锥P ABD -的体积为2V ，则12V V 的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1619．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A ．5003πcm 3B ．8663πcm 3C ．13723πcm 3D ．10003πcm 320．正六棱锥P-ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D-GAC 与三棱锥P-GAC 体积之比为（ ）A ．1：1B ．1：2C ．2：1D ．3：221．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l 尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸）（ ）A ．3寸B ．4寸C ．5寸D ．6寸22．已知点,,,A B C D 均在球O 上，3AB BC AC ===，若三棱锥D ABC -体O 的体积为 A ．323π B ．16π C ．32π D ．163π 23．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为（ ）A :6B :2C ．:2πD ．5:12π三、填空题24．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，3cm AB =，11cm AA =，则三棱锥11D A BD -的体积为________3cm .25．一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120︒的扇形，则该圆锥的体积为________.26．已知一个铜质的实心圆锥的底面半径为6，高为3，现将它熔化后铸成一个铜球（不计损耗），则该铜球的半径是__________．27．如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 ．28．有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a，b，1，现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得长方体高的最大值为________；29．如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．参考答案1．27π或272π. 【解析】【分析】分为两种情况讨论：以6或者3为底边圆周长，进而求出底面圆半径，从而求得体积。
人教B版第四册过关斩将第十一章立体几何初步11.1.6祖暅原理与几何体的体积
人教B 版（2019）必修第四册过关斩将第十一章立体几何初步11.1.6祖暅原理与几何体的体积学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，棱柱ABC A B C '''-的体积为1，则四棱锥C AA B B ''-的体积是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．342．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为（ ）A ．B ．6 cmC ．cmD ．cm 3．若一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（ ）倍A ．2B ．4C ．6D ．84．一平面截球O 得到半径为的圆面，球心到这个平面的距离是2cm ，则球O 的体积是( )A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．cm 3D ．108πcm 3 5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的体积为（ ）A 3aB 3aC ．373a π D 3a 6．如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且2EF =，动点Q 在棱D C ''上，则三棱锥A EFQ '-的体积（ ） \A ．与点E ，F 的位置有关B ．与点Q 的位置有关C ．与点E ，F ，Q 的位置都有关D ．与点E ，F ，Q 的位置均无关，是定值 7．设矩形边长分别为()a b a b 、＞，将其按两种方式卷成高为a 和b 的圆柱（无底面），其体积分别为a V 和b V ,则a V 与b V 的大小关系是( )A ．a b V V ＞B ．a b V V =C ．a b V V ＜D ．不确定8．如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若内切球的体积为43π，则圆柱的侧面积为A ．πB ．2πC ．4πD ．8π二、填空题 9．已知正六棱柱的侧面积为272cm ，高为6cm ，那么它的体积为_________3cm . 10．如图所示，三棱锥的顶点为P ，PA ，PB ，PC 为三条侧棱，且PA ，PB ，PC 两两垂直，已知2PA =，3PB =，4PC =，则三棱锥P ABC -的体积是_______.11．圆台上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是________.12．若三个球的表面积之比为1：4：9，则这三个球的体积之比为______.13．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为______.14．在ABC ∆中，2AB =，32BC =，0120ABC ∠=，若将ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是__________．15．已知球面上有四个点A ，B ，C ，D ，球心为点O ，O 在CD 上，若三棱锥A BCD -的体积的最大值为83，则该球O 的表面积为____．16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，如果AB AC ==，16BB BC ==，E ，F 为侧棱1AA 上的两点，且3EF =，那么多面体11BB C CEF 的体积为________.17．边长为2的等边ABC ∆的三个顶点A ，B ，C 都在以O 为球心的球面上，若球O 的表面积为1483π，则三棱锥O ABC -的体积为__________．三、解答题18．已知四面体ABCD 中，AB CD ==BC AD ==5BD AC ==，求四面体ABCD 的体积.19．如图所示，四棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是四棱锥的高.若4VM cm =，4cm AB =，5VC cm =，求四棱锥的体积.20．在三棱台111ABC A B C -中，11:1:2AB A B =，那么三棱锥1A ABC -，11B A B C -，111C A B C -的体积之比为多少？四、多选题21．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（ ）A ．圆柱的侧面积为22R πB ．圆锥的侧面积为22R πC ．圆柱的侧面积与球面面积相等D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2 22．已知ABC 的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =．则下列说法正确的是（ ）A ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以AB 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为48π5C ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的全面积为25πD ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π参考答案1．C【分析】用总体积减去C A B C V '''-即可.【详解】1133C A B C ABC A B C V V ''''''--==， '12133C AA B B V '-∴=-=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了割补法求体积,属于基础题型.2．B【分析】先求出水的体积，设出圆锥中水的底面半径，利用体积相等，求出圆锥的高．【详解】解：由圆柱体体积公式知，水的体积为22624V ππ=⨯⨯⨯=（cm3）．当水倒入圆锥形器皿之后，体积不变．设倒圆锥形器皿的水面半径r ，则21243V r ππ=⨯⨯=，即3r =r =6=.故选：B.【点睛】本题考查圆锥、圆柱的体积，考查计算能力，是基础题．3．D【解析】由球体体积公式，若，则，可知体积扩大到原来的8倍.4．B【解析】试题分析：设球的半径为R ，则有3R cm ==，3334433633V R cm πππ∴==⨯=球. 故选B.考点：球心到截面的距离；球的半径之间的关系.5．B【分析】由题意知该三棱柱为正三棱柱，设点P 为棱柱上底面的中心，O 为球心，根据底面为正三角形可求得12AP a =，再根据勾股定理可求得球的半径R OA =6a =，从而可求得球的体积.【详解】由题意知该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图设点P 为棱柱上底面的中心，O 为球心，易知21,32AP OP a ===，所以球的半径R OA =满足222217212R a a ⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以6R a =，所以334354V R a π==球. 故选：B.【点睛】本题考查了正三棱柱的结构特征，考查了球与棱柱的组合体，考查了球的体积公式，属于基础题.6．D【分析】利用等底等高的两个椎体的体积相等，可求得三棱锥A EFQ '-的体积为定值163，可得答案.【详解】 1116323A EFQ A EF V V EF AA A D '''''--==⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥Q ， 所以其体积为定值，与点E ，F ，Q 的位置均无关.故选：D【点睛】本题考查了利用等底等高的两个椎体的体积相等求椎体的体积，考查了棱锥的体积公式，属于基础题.7．C【解析】【分析】根据题意，分别求得卷得圆柱的底面圆的半径，利用圆柱的体积公式，求解两圆柱的体积，比较即可得到答案.【详解】由题意，当卷成高为a 的圆柱时，此时设圆柱的底面半径为1r ，则12r b π=， 解得12b r π=，则圆柱的体积为2221()24a b ab V r a a ππππ==⨯=， 当卷成高为b 的圆柱时，此时设圆柱的底面半径为2r ，则22r a π=， 解得22a r π=，则圆柱的体积为2222()24b a a b V r b b ππππ==⨯=， 又由a b >，所以2244a b ab ππ>，即b a V V >，故选C. 【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，以及圆柱的体积的计算问题，其中解答解答中，根据题意求解两圆柱的底面圆的半径，利用圆柱的体积公式，准确求解圆柱的体积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8．C【解析】设球的半径为r ，则34433r π=π，解得1r =， 所以圆柱的底面半径1r =，母线长为22l r ==，所以圆柱的侧面积为224S rl =π=π⨯1⨯2=π，故选C ．9．【分析】设正六棱柱的底面边长为x cm ，根据侧面积列等式可求得2x cm =，并求出底面积，再根据棱柱的体积公式可得答案.【详解】设正六棱柱的底面边长为cm x ，由题意得6672x ⨯=，所以2x =，所以该正六棱柱的体积23266)4V =⨯⨯⨯=.故答案为：【点睛】本题考查了棱柱的侧面积，考查了棱柱的体积公式，属于基础题.10．4.【分析】 三棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高， 而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B 看作顶点，面PAC 作为底面求解.【详解】因为BP PC ⊥，BP PA ⊥，且PC PA P ⋂=，所以BP ⊥平面PAC ， 所以111124343332PAC V Sh S PB ∆==⨯=⨯⨯⨯⨯=. 故答案为：4.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，属于基础题.11．π【解析】上底半径r=1,下底半径R=2.因为S 侧=6π,设母线长为l,则π(1+2)·l=6π.所以l=2,所以高h==.所以V=π·(1+1×2+2×2)=π.12．1：8：27【分析】计算得到三个球的半径之比为123::1:2:3R R R =，再计算体积比得到答案.【详解】设三个球的半径分别为123,,R R R ，∵三个球的表面积之比为1：4：9，2221234:4:41:4:9R R R πππ∴=，222123::1:4:9R R R ∴=，123::1:2:3R R R ∴=.333123::1:8:27R R R ∴=.333333123123123444::::::1:8:27333V V V R R R R R R πππ∴==⋅=. 故答案为：1:8:27【点睛】本题考查了球的表面积和体积公式，意在考查学生的计算能力.13．10π【分析】用两个完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱，再计算体积得到答案.【详解】如图所示：用两个完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱，则圆柱的体积为22(23)20ππ⨯⨯+=，故所求几何体的体积为10π.故答案为：10π【点睛】本题考查了几何体的体积，将两个完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱是解题的关键.14．32π 【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以OB=1所以旋转体的体积:()213··?.32OC OB ππ-= 故答案为：32π． 15．16π【解析】由题意知，CD 为该球的直径，由此易知，当顶点A 在底面的射影为球心O 时，且底面BCD 为等腰直角三角形时，三棱锥A BCD -体积最大，所以1182323R R R ⨯⋅⋅⨯=，解得2R =，故所求球O 的表面积为2416S R ππ==.点睛：此题主要考查了简单组合体的体积、表面积的计算，以及空间想象能力等有关方面的知识与能力，属于中高档题型，也是常考题型.此题中需要对三棱锥的体积在约定的条件下，什么情况出现最大值作出判断，那当然是底面积最大且高最长时出现最大值，而由条件已知底面三角形中一边为球的直径，因此当该三角形的高为半径时面积最大，又当三棱锥的高亦为半径时，所求三棱锥的体积最大，从而问题可得解.16．30.【分析】求出36V =三棱柱后，再求出1116E ABC F A B C V V --+=，再用棱柱体积减去两个三棱锥的体积可得答案.【详解】在ABC ∆中，BC 边上的高2,h == 所以11162636,22V BC h BB =⨯⨯=⨯⨯⨯=三棱柱113,6EF A A B B === 所以111111()(63)633E ABC F A B C ABC ABC V V AE A F S S --+=+⋅=⨯-⋅=，故1136630BB C CEF V =-=多圆体. 故答案为：30【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，考查了棱锥的体积公式，属于基础题.17 【解析】设球半径为R ，则214843R ππ=，解得2373R =．设ABC ∆所在平面截球所得的小圆的半径为r ，则22)3r =⨯=故球心到ABC ∆所在平面的距离为d ===即为三棱锥O ABC -的高，所以211(2)3343O ABC ABC V S d -∆==⨯⨯=．18．8 【分析】设长方体的长、宽、高分别为,,x y z ,再根据题中的对角线关系求出,,x y z 的值,再用总体积减去四个小三棱锥的体积求解即可.【详解】以四面体的各棱为长方体的面对角线作出该长方体，如图所示.设长方体的长、宽、高分别为,,x y z ，则222222222,,5,x y y z x z ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩3,2,4.x y y =⎧⎪∴=⎨⎪=⎩ 易知1136D ABE ABE V DE S V -∆=⋅=长方体. 同理，16C ABFD ACC D BCH V V V V ---===长方体. 11463ABCD V V V V ∴=-⨯=四面体长方体长方体长方体. 23424V =⨯⨯=长方体，ABCD 8V ∴=四面体.【点睛】本题主要考查了长方体中的列式计算,同时也考查了割补法求体积的方法,属于中等题型. 19．3)3. 【分析】在Rt VMC ∆中求出3(cm),MC =在Rt ABC ∆中求出BC =，再根据棱锥的体积公式可得结果.【详解】 VM 是棱锥的高，VM MC ∴⊥.在Rt VMC ∆中，3(cm),MC ===.26cm AC MC ∴==，在Rt ABC ∆中，BC =.24)S AB BC ∴=⨯=⨯=底，3 114)33V S VM ∴=⋅=⨯=四棱锥底. 【点睛】本题考查了求三棱锥的体积，属于基础题.20．1:2:4【分析】利用棱锥的体积公式,通过三角形的面积的比,求出结果即可.【详解】由题意可知,三棱锥1A ABC -,111C A B C -的体积中,高相等,底面积的比为1:4,所以二者体积比为1:4;而11B A B C -,111C A B C -分别以111,BB C C B C ∆∆为底面来计算体积时，高相等 且1111:2:BB C C B C S S ∆∆=,所以二者的体积比为1:2;所以三棱锥1A ABC -,11B A B C -,111C A B C -的体积之比为1:2:4;【点睛】本题是基础题,考查棱锥体积的比的计算,注意同底等高体积相同,考查计算能力,转化思想. 21．CD【分析】依次判断每个选项：圆柱的侧面积为24R π，A 2R ，B 错误；圆柱的侧面积为24R π，C 正确；计算体积之比为3：1：2，D 正确，得到答案.【详解】依题意得球的半径为R ，则圆柱的侧面积为2224R R R ππ⨯=，∴A 错误；圆锥的侧面积为2R R π=，∴B 错误；球面面积为24R π，∵圆柱的侧面积为24R π，∴C 正确；2322V R R R ππ=⋅=圆柱，2312233V R R R ππ⋅==圆锥，343V R =π球 33324:2::3:1:233:V V V R R R πππ∴==圆柱圆锥球，∴D 正确. 故选：CD .【点睛】本题考查了圆柱，圆锥，球的表面积，意在考查学生的计算能力.22．ABD【分析】以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是圆锥，求出其侧面积；以AB 所在直线为旋转轴，所得旋转体是具有同底的两个圆锥体的组合体，求出其体积；以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是圆锥，求出其侧面积和体积，从而可得答案.【详解】以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为3515ππ⨯⨯=，故A 正确；以AB 所在直线为旋转轴，所得旋转体是具有同底的两个圆锥体的组合体，其半径为345⨯，故所得旋转体的体积：2112485355V ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，故B 正确； 以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为4520ππ⨯⨯=，体积为2143163ππ⨯⨯⨯=，故C 错误，D 正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了旋转体的概念，考查了圆锥的侧面积和体积公式，属于基础题.。
高中数学人教B版必修第四册《11.1.6 祖暅定理与几何体的体积》练习题(3)
人教B版必修第四册《11.1.6 祖暅定理与几何体的体积》练习题(3)一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.正四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱的长度均为√6，则该四棱锥的外接球体积为()A. 3π2B. 43π C. 92π D. 9π2.在三棱锥A−BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，且△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥外接球的表面积为()A. 2πB. 6πC. 4πD. 24π3.下列判断正确的是()A. 棱柱中只能有两个面可以互相平行B. 底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱C. 底面是正六边形的棱台是正六棱台D. 底面是正方形的四棱锥是正四棱锥4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为A.B.C.D.二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）5.如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是()A. 异面直线AC与BC1所成的角为60°B. 直线AB1与平面ABC1D1所成角为45°C. 二面角A−B1C−B的正切值为√2D. 四面体D1−AB1C的外接球的体积为√3π26.长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，高为4，E是DD1的中点，则下列说法正确的是()A. 平面B1CE//平面A1BDB. 在棱DD1上存在点F，使得B1F⊥A1BC. 三棱锥C1−B1CE的体积是6D. 三棱锥C1−A1BD的外接球表面积为34π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）7.如图，将一块边长为10cm的正方形铁片裁下四个底边长为2cm的全等的等腰三角形(阴影部分)，把余下的部分沿虚线折叠后围成一个正四棱锥，则正四棱锥的体积V等于______cm3．8.已知正四面体的各棱长都为，四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．9.已知一个三棱锥的三视图如图，其中正视图是高为2的等腰三角形，俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为______．10.已知△SAB是边长为2的等边三角形，∠ACB=45°，当三棱锥S−ABC体积最大时，其外接球的表面积为______．四、解答题（本大题共2小题，共24.0分）11.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=AA1=2．(Ⅰ)求五面体A1B1C1BC的体积；(Ⅱ)若D为AB中点，E为AC1上一点，且DE//平面A1BC，求线段AE的长度．12.如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAB是等边三角形，BC⊥AB，BC=CD=2√3，AB=AD=2．(1)若PC=4，求三棱锥P−ABC的体积；(2)若PB=3BE，则在线段BC上是否存在一点F，使平面AEF//平面PCD.若存在，求线段BF的长；若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了棱锥与球的位置关系，几何体的体积计算，属于中档题．求出棱锥的高，设外接球半径为r，根据勾股定理列方程求出r，代入体积公式计算即可．解：设正四棱锥的底面中心为O，则OA=12AC=√2，∴正四棱锥的高PO=√PA2−OA2=2，设外接球的半径为r，则(2−r)2+2=r2，解得r=32，∴外接球的体积V=43π×(32)3=92π．故选C．2.答案：B解析：设侧棱AB，AC，AD的长度分别为a，b，c，则ab=，bc=，ac=，解得a=，b=1，c=.故2R=，所以球的表面积为S=4πR2=6π．3.答案：B解析：试题分析：在四棱柱中A不正确；正六棱台的底面是正六边形且上下底面中心的连线与两底面垂直C不正确；正四棱锥底面是正方形且顶点在底面的射影是底面的中心D不正确．考点：本题考查棱柱、棱锥的性质．4.答案：D解析：主要考查了几何体外接球的表面积．解：由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，，，因此，故答案为D．5.答案：ACD解析：解：对于A ，连接A 1C 1，A 1B ，由题意可得AC//A 1C 1，所以A 1C 1与BC 1所成的角，即是异面直线AC 与BC 1所成的角，因为△A 1C 1B 为等边三角形，所以∠A 1C 1B =60°，所以A 正确；对于B ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A(1,0，0)，B 1(1,1，1)，B(1,1，0)，D 1(0,0，1)， AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)， 设平面ABC 1D 1的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y =0n ⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +z =0，取x =1，得n⃗ =(1,0，1)，设直线AB 1与平面ABC 1D 1所成角为θ， 则sinθ=|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ ||AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2×√2=12，∴θ=30°，∴直线AB 1与平面ABC 1D 1所成角为30°，故B 错误； 对于C ，平面BB 1C 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,1，0)， C(0,1，0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，0)， 设平面AB 1C 的法向量p⃗ =(a,b ，c)， 则{p ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b +c =0p ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b =0，取a =1，得p⃗ =(1,1，−1)， 设二面角A −B 1C −B 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅p ⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|p ⃗ |=√3，sinθ=√1−(1√3)2=√23，∴二面角A −B 1C −B 的正切值为tanθ=√231√3=√2，故C 正确；对于D ，平面AB 1C 的法向量p ⃗ =(1,1，−1)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)， 点D 1到平面AB 1C 的距离d =|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅p ⃗ ||p ⃗ |=√3=2√33， ∵四面体D 1−AB 1C 是棱长为√2的正四面体，设四面体D1−AB1C的外接球的半径为R，则R2=[23√(√2)2−(√22)2]2+(2√32−R)2，解得R=√32，∴四面体D1−AB1C的外接球的体积V=43×π×(√32)3=√32π，故D正确．故选：ACD．对于A，连接A1C1，A1B，由AC//A1C1，得A1C1与BC1所成的角即是异面直线AC与BC1所成的角，由△A1C1B为等边三角形，得到∠A1C1B=60°；对于B，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB1与平面ABC1D1所成角为30°；对于C，求出平面BB1C的法向量和平面AB1C的法向量，利用向量法求出二面角A−B1C−B的正切值为√2；对于D，由四面体D1−AB1C是棱长为√2的正四面体，能求出四面体D1−AB1C的外接球的体积．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力，是中档题．6.答案：BCD解析：解：如图，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，对于A，连接B1D1，D1C，由长方体的结构特征，可证A1D//B1C，BD//B1D1，得到平面B1CD1//A1DB，若平面B1CE//平面A1BD，则平面B1CD1//平面B1EC或平面B1CD1与平面B1EC重合，而两平面有公共点C，则两平面重合，可得B1E⊂平面B1CD1，与B1E∩平面B1CD1=B1矛盾，故平面B1CE与平面A1BD不平行，A错误；对于B ，A 1(3,0，4)，B(3,3，0)，B 1(3,3，4)，若在棱DD 1上存在点F ，使得B 1F ⊥A 1B ，设F(0,0，t)，0≤t ≤4， 则B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−3,t −4)，A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,−4)， 由B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−9−4(t −4)=0，得t =74，∴在棱DD 1上存在点F ，使得B 1F ⊥A 1B ，故B 正确； 三棱锥C 1−B 1CE 的体积V =V E−B 1C 1C =13×12×4×3×3=6，故C 正确；三棱锥C 1−A 1BD 的外接球即长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球，外接球的半径为r =12√32+32+42=√342， 表面积为4πr 2=4π×(√342)2=34π，故D 正确．故选：BCD ．利用反证法思想结合过平面外一点与已知平面平行的平面有且仅有一个判断A ；由数量积为0判断B ；利用等体积法求体积判断C ；由三棱锥C 1−A 1BD 的外接球即长方体的外接球判断D ．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与平面的位置关系，训练了多面体体积与外接球表面积的求法，考查运算求解能力，是中档题．7.答案：32√103解析：解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm ， 4×12×5×x =20，解得x =2，所得四棱锥的底面边长为4√2，即AD =AB =BC =CD =4√2四棱锥的斜高为：√25+1−(2√2)2=3√2，四棱锥的高为：OE =√18−(2√2)2=√10， 该容器的体积为：13×(4√2)2×√10=32√103cm 3． 故答案为：32√103． 设出所截等腰三角形的底边边长为xcm ，在直角三角形中根据两条边长利用勾股定理做出四棱锥的高，即可求解四棱锥的体积．本题考查正四棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及运算能力，属于中档题．8.答案：解析：试题分析：作，则是三角形ABC的中心，，则球心E在高DE上，设，在中，，解得，则外接球的面积．考点：正四面体与球的组合．9.答案：23解析：解：由三视图知几何体为三棱锥，且侧棱CO与底面OAB垂直，其直观图如图：∵其俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，∴OA=OB=√2，其外接球即为分别以OA，OB，OC为长宽高的长方体的外接球，设OC=x，∵三棱锥的外接球的半径为√2，∴2√2=√2+2+x2，解得：OC=2，∴棱锥的体积V=13×12××√2×√2×2=23．故答案为：23．根据三视图知几何体为三棱锥，侧面与底面垂直，其外接球即为分别以OA，OB，OC为长宽高的长方体的外接球，由此求出OC的值，代入棱锥的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，由三视图画出几何体的直观图，求相关几何量的数据是关键．10.答案：28π3解析：本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．作出图形，由平面CAB与平面SAB垂直且CA=CB时，三棱S−ABC的体积最大，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点O，利用几何关系计算出球O的半径，然后利用球体表面积公式可得出答案．解：由题可知，平面CAB⊥平面SAB，且C到AB的距离最大时，三棱锥S−ABC体积达到最大，如右图所示，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，此时三角形CAB面积最大，，即ab最大，在三角形ABC中，，a2+b2−4=√2ab≥2ab−4，ab≤4+2√2，当且仅当a=b，ab有最大值，此时设点D，点E分别为△ASB，△ACB的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点O．∴点O是此三棱锥外接球的球心，AO即为球的半径．在△ACB中，AB=2，∠ACB=45°⇒∠AEB=90°，由正弦定理可知，ABsin∠ACB =2AE，∴AE=EB= EC=√2，延长CE交AB于点F，延长SD交AB于点F，∴四边形EFDO是矩形，且OE⊥平面ACB，则有OE⊥AE，又∵OE=DF=13SF=13×√32AB=√33，∴OA=√OE2+AE2=√73．∴S球表=4πR2=4π×(√73)2=28π3．故答案为：28π3．11.答案：解：(Ⅰ)由题意，A1C1⊥B1C1，A1C1⊥CC1，B1C1∩CC1=C1，∴A1C1⊥平面BB1C1C，则五面体A1B1C1BC的体积V=V A1−BB1C1C =13S四边形BB1C1C⋅A1C=13×2×2×2=83；(Ⅱ)设AC与A1C相交于点O，连接OB，∵DE//平面A1BC，DE⊂平面ABO，平面ABO∩平面A1BC=BO，∴DE//BO，∵D为AB的中点，∴E为AO的中点，则AE=14AC1=2√24=√22．解析：(Ⅰ)直接将五面体A1B1C1BC看成四棱锥A1−BB1C1C，由棱锥体积公式求解即可；(Ⅱ)设AC与A1C相交于点O，连接OB，利用直线与平面平行的性质定理可得E为AO的中点，从而求得线段AE的长度．本题考查多面体体积的计算，直线与平面平行性质定理的应用，考查空间想象能力与思维能力考查化归与转化思想的应用，是中档题．12.答案：解：(1)因为△PAB是等边三角形，AB=2，所以PB=2.又因为PC=4，BC=2√3，所以PC2=PB2+BC2，所以BC⊥PB．又BC⊥AB，AB，PB⊂平面PAB，AB∩PB=B，所以BC⊥平面PAB．所以三棱锥P−ABC的体积V=13S△PAB⋅BC=13×√3⋅2√3=2．(2)在线段BC上存在一点F，使平面AEF//平面PCD.此时BF=2√33．理由如下：如图，作EF//PC，交BC于F，连接AF．因为PB=3BE，所以E是PB的三等分点，可得BF=2√33．因为AB=AD=2，BC=CD=2√3，AC=AC，所以△ABC≌△ADC，因为BC⊥AB，所以∠ABC=90°，因为tan∠ACB=ABBC =2√3=√33，所以∠ACB=∠ACD=30°，所以∠BCD=60°，因为tan∠AFB=ABBF=2√33=√3，所以∠AFB=60°，所以AF//CD，因为AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AF//平面PCD．又EF//PC，EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以EF//平面PCD．因为AF∩EF=F，AF、EF⊂平面AEF，所以平面AEF//平面PCD．．所以在线段BC上存在一点F，使平面AEF//平面PCD.此时BF=2√33解析：(1)推民出BC⊥PB，BC⊥AB，从而BC⊥平面PAB.由此能求出三棱锥P−ABC的体积．(2)作EF//PC，交BC于F，连接AF.则E是PB的三等分点，可得BF=2√3.推导出△ABC≌△ADC，3推导出AF//平面PCD.EF//平面PCD.从而平面AEF//平面PCD.由此得到在线段BC上存在一点F，使平面AEF//平面PCD.此时BF=2√3．3本题考查三棱锥的体积的求法，考查满足面面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 练习(2)(解析版) (1)
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积一、选择题1．如图，棱柱ABC A B C '''-的体积为1，则四棱锥C AA B B ''-的体积是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C 【解析】1133C A B C ABC A B C V V ''''''--==Q ，'12133C AA B B V '-∴=-=.故选：C. 2．如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若内切球的体积为43π，则圆柱的侧面积为( )A ．πB ．2πC ．4πD ．8π【答案】C 【解析】设球的半径为r ，则34433r π=π，解得1r =， 所以圆柱的底面半径1r =，母线长为22l r ==， 所以圆柱的侧面积为224S rl =π=π⨯1⨯2=π，故选C ．3．设矩形边长分别为()a b a b 、＞，将其按两种方式卷成高为a 和b 的圆柱（无底面），其体积分别为a V 和b V ,则a V 与b V 的大小关系是( )A ．a b V V ＞B ．a b V V =C ．a b V V ＜D ．不确定【答案】C【解析】由题意，当卷成高为a 的圆柱时，此时设圆柱的底面半径为1r ，则12r b π=，解得12b r π=，则圆柱的体积为2221()24a b ab V r a a ππππ==⨯=， 当卷成高为b 的圆柱时，此时设圆柱的底面半径为2r ，则22r a π=， 解得22a r π=，则圆柱的体积为2222()24b a a b V r b b ππππ==⨯=， 又由a b >，所以2244a b ab ππ>，即b a V V >，故选C. 4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 5．（多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（ ）A ．圆柱的侧面积为22R πB ．圆锥的侧面积为22R πC ．圆柱的侧面积与球面面积相等D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2【答案】CD 【解析】依题意得球的半径为R ，则圆柱的侧面积为2224R R R ππ⨯=，∴A 错误；圆锥的侧面积为2R R π=，∴B 错误；球面面积为24R π，∵圆柱的侧面积为24R π，∴C 正确；2322V R R R ππ=⋅=Q 圆柱，2312233V R R R ππ⋅==圆锥，343V R =π球 33324:2::3:1:233:V V V R R R πππ∴==圆柱圆锥球，∴D 正确.故选：CD . 6．（多选题）如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且2EF =，动点Q 在棱D C ''上，则三棱锥A EFQ '-的体积（ ） \A ．与点E ，F 的位置有关B ． 163A EFQ V 三棱锥'-=C ．A EFQ V 三棱锥'-不确定D ．与点E ，F ，Q 的位置均无关，是定值 【答案】BD 【解析】1116323A EFQ A EF V V EF AA A D '''''--==⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥Q ，所以其体积为定值，与点E ，F ，Q 的位置均无关.故选：B,D二、填空题 7．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这 个圆台的体积是 .【答案】3π 【解析】由于圆台上、下底面面积分别是π、4π，故上下底面半径为1,2r R ==,由侧面积公式可得：()216l ππ⨯+=，则圆台的母线2l =，圆台的高h ，这个圆台的体积：()()221141233V h R r Rr ππ=++=++=. 8．已知一个铜质的实心圆锥的底面半径为6，高为3，现将它熔化后铸成一个铜球（不计损耗），则该铜球的半径是__________．【答案】3【解析】设铜球的半径为R ，则13π×62×3=43πR 3，得R =3。
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11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
一、选择题
1．如图，棱柱ABC A B C '''-的体积为1，则四棱锥C AA B B ''-的体积是（ ）
A ．13
B ．12
C ．23
D ．34
2．如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若内切球的体积为
43π，则圆柱的侧面积为( )
A ．π
B ．2π
C ．4π
D ．8π
3．设矩形边长分别为()a b a b 、＞，将其按两种方式卷成高为a 和b 的圆柱（无底面），其体积分别为a V 和b V ,则a V 与b V 的大小关系是( )
A ．a b V V ＞
B ．a b V V =
C ．a b V V ＜
D ．不确定
4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛
5．（多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（ ）
A ．圆柱的侧面积为22R π
B ．圆锥的侧面积为22R π
C ．圆柱的侧面积与球面面积相等
D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2
6．（多选题）如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且2EF =，动点Q 在棱D C ''上，则三棱锥A EFQ '
-的体积（ ） \
A ．与点E ，F 的位置有关
B ． 163A EFQ V 三棱锥'-=
C ．A EFQ V 三棱锥'-不确定
D ．与点
E ，
F ，Q 的位置均无关，是定值
二、填空题 7．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这 个圆台的体积是 .
8．已知一个铜质的实心圆锥的底面半径为6，高为3，现将它熔化后铸成一个铜球（不计损耗），则该铜球的半径是__________．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________.
10．已知直三棱柱底面的一边长为2cm ，另两边长都为3cm ，侧棱长为4cm ，它的侧面积为 体积为
三、解答题
11．如图所示，多体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32
EF ，EF 到平面ABCD 的距离为2，求该多面体的体积V .
12．如图，有一个水平放置的无盖正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，若不计容器的厚度，如何求出球的体积？
(1)求出球的半径；
(2)求球的体积.。