2016年全国高考文科数学试题及答案-四川卷

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2016年高考四川文科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷)数学（文科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1）【2016年四川，文1，5分】设i 为虚数单位,则复数()21i +=( )（A ）{}13x x -<< (B){}|11x x -<< （C ）{}|12x x << (D ）{}|23x x << 【答案】C【解析】试题分析：由题意，22(1i)12i i 2i +=++=,故选C ．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（2）【2016年四川,文2，5分】设集合{}15A x x =≤≤,Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是（）（A ）6 （B)5 (C ）4 （D)3 【答案】B【解析】由题意，{}1,2,3,4,5A Z =,故其中的元素个数为5，故选B ．【点评】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（3）【2016年四川，文3，5分】抛物线24y x =的焦点坐标是（） (A)()0,2（B ）()0,1 （C ）()2,0(D ）()1,0【答案】D 【解析】由题意，24y x =的焦点坐标为()1,0，故选D ．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质,难度不大，属于基础题．（4)【2016年四川，文4，5分】为了得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点( )(A ）向左平行移动3π个单位长度（B)向右平行移动3π个单位长度（C ）向上平行移动3π个单位长度（D)向下平行移动3π个单位长度【答案】A【解析】由题意，为得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,只需把函数sin y x =的图像上所有点向左移3π个单位,故选A ．【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移“左加右减“的原则，是解答的关键．（5)【2016年四川,文5，5分】设:p 实数x ，y 满足1x >且1y >，:q 实数x ，y 满足2x y +>,则p 是q 的( ）（A ）充分不必要条件 (B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，1x >且1y >，则2x y +>，而当2x y +>时不能得出，1x >且1y >．故p 是q 的充分不必要条件，故选A ．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（6）【2016年四川卷，文6,5分】已知a 函数()312f x x x =-的极小值点,则a =( )（A)4-（B)2- (C ）4 （D ）2【答案】D 【解析】()()()2312322f x x x x '=-=+-，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减,在()2,+∞上单调递增，故()f x 极小值为()2f ,由已知得2a =，故选D ．【点评】考查函数极小值点的定义,以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程,要熟悉二次函数的图象．（7)【2016年四川,文7，5分】某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入。

2016年四川省高考数学试卷(文科)

2016年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i2．（5分）设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．33．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0）4．（5分）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度5．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．27．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．35 B．20 C．18 D．99．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C． D．10．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）sin750°=．12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是．13．（5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log a b为整数的概率是．14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（2）=．15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：•①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．‚②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．ƒ③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．19．（12分）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q ＞0，n∈N+（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=2，求e12+e22+…+e n2．20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣ln x，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．2016年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】利用交集的运算性质即可得出．【解答】解：∵集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z={1，2，3，4，5}．∴集合A∩Z中元素的个数是5．故选：B．【点评】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0）【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是（1，0），故选：D．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案．【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sin（x+），可得平移量为向左平行移动个单位长度，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移“左加右减“的原则，是解答的关键．5．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立，例如取x=3，y=．【解答】解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x=3，y=．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a=2．故选：D．【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．7．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．【解答】解：设第n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2015＞200，化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，n﹣2015＞=3.8．取n=2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．35 B．20 C．18 D．9【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=3，故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，满足进行循环的条件，v=9，i=0，满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1不满足进行循环的条件，故输出的v值为：故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．9．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C． D．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．解法二：取AC中点N，MN=，从而M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，B，N，M 三点共线时，BM为最大值．所以BM最大值为3+=．故选：B．【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞）【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直线l1：，l2：．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴|AB|•|x P|==．∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴，则，∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）sin750°=．【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案．【解答】解：sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=，故答案为：．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题．12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是．【分析】几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，棱锥的高为1，代入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S==，棱锥的高为h=1，∴棱锥的体积V=Sh==．故答案为：．【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，是基础题．13．（5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log a b为整数的概率是．【分析】由已知条件先求出基本事件总数，再利用列举法求出log a b为整数满足的基本事件个数，由此能求出log a b为整数的概率．【解答】解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，基本事件总数n==12，log a b为整数满足的基本事件个数为（2，8），（3，9），共2个，∴log a b为整数的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（2）=﹣2．【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，∴f（2）=f（0）=0，f（﹣）=f（﹣+2）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=﹣=﹣2，则f（﹣）+f（2）=﹣2+0=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：•①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．‚②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．ƒ③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是②③．【分析】根据“伴随点”的定义，分别进行判断即可，对应不成立的命题，利用特殊值法进行排除即可．【解答】解：①设A（0，1），则A的“伴随点”为A′（1，0），而A′（1，0）的“伴随点”为（0，﹣1），不是A，故①错误，②若点在单位圆上，则x2+y2=1，即P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P（y，﹣x），满足y2+（﹣x）2=1，即P′也在单位圆上，故②正确，③若两点关于x轴对称，设P（x，y），对称点为Q（x，﹣y），则Q（x，﹣y）的“伴随点”为Q′（﹣，），则Q′（﹣，）与P′（，）关于y轴对称，故③正确，④∵（﹣1，1），（0，1），（1，1）三点在直线y=1上，∴（﹣1，1）的“伴随点”为（，），即（，），（0，1）的“伴随点”为（1，0），（1，1的“伴随点”为（，﹣），即（，﹣），则（，），（1，0），（，﹣）三点不在同一直线上，故④错误，故答案为：②③【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键．考查学生的推理能力．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；（II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．（Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2=1.4+2a，∴解得：a=0.3．（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5，0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5，解得x=0.04；∴中位数是2+0.04=2.04．【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．【分析】（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，证明平面CME∥平面PAB，即可证明直线CM∥平面PAB；（II）证明：BD⊥平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面PBD．【解答】证明：（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，∵ME⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴ME∥平面PAB．∵AD∥BC，BC=AE，∴ABCE是平行四边形，∴CE∥AB．∵CE⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CE∥平面PAB．∵ME∩CE=E，∴平面CME∥平面PAB，∵CM⊂平面CME，∴CM∥平面PAB若M为AD的中点，连接CM，由四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．可得四边形ABCM为平行四边形，即有CM∥AB，CM⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CM∥平面PAB；（II）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，由（I）及BC=CD=AD，可得∠BAD=∠BDA=45°，∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB，∵PA∩AB=A，∴BD⊥平面PAB，∵BD⊂平面PBD，∴平面PAB⊥平面PBD．【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q ＞0，n∈N+（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=2，求e12+e22+…+e n2．【分析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式可得a2与a3的值，又由a2，a3，a2+a3成等差数列，可得2a3=a2+（a2+a3），代入a2与a3的值可得q2=2q，解可得q的值，进而=2S n+1，进而可得S n=2S n﹣1+1，将两式相减可得a n=2a n﹣1，即可得数列{a n}是以可得S n+11为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；（Ⅱ）根据题意S n=qS n+1，同理有S n=qS n﹣1+1，将两式相减可得a n=qa n﹣1，分析可得+1a n=q n﹣1；又由双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=2，分析可得e2==2，解可得a2的值，由a n=q n﹣1可得q的值，进而可得数列{a n}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得e n2=1+a n2=1+3n﹣1，运用分组求和法计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}的首项为1，即a1=1，=qS n+1，则S2=qa1+1，则a2=q，又由S n+1又有S3=qS2+1，则有a3=q2，若a2，a3，a2+a3成等差数列，即2a3=a2+（a2+a3），则可得q2=2q，（q＞0），解可得q=2，则有S n=2S n+1，①+1进而有S n=2S n﹣1+1，②①﹣②可得a n=2a n﹣1，则数列{a n}是以1为首项，公比为2的等比数列，则a n=1×2n﹣1=2n﹣1；（Ⅱ）根据题意，有S n=qS n+1，③+1同理可得S n=qS n﹣1+1，④③﹣④可得：a n=qa n﹣1，又由q＞0，则数列{a n}是以1为首项，公比为q的等比数列，则a n=1×q n﹣1=q n﹣1；若e 2=2，则e2==2，解可得a2=，则a2=q=，即q=，a n=1×q n﹣1=q n﹣1=（）n﹣1，则e n2=1+a n2=1+3n﹣1，故e12+e22+…+e n2=n+（1+3+32+…+3n﹣1）=n+．【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件．20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案；（Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把︳MA︳•︳MB︳化为（|AB|）2，再由两点间的距离公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案．【解答】（Ⅰ）解：如图，由题意可得，解得a2=4，b2=1，∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）证明：设AB所在直线方程为y=，联立，得x2+2mx+2m2﹣2=0．∴△=4m2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，即．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则，|AB|==．∴x0=﹣m，，即M（），则OM所在直线方程为y=﹣，联立，得或．∴C（﹣，），D（，﹣）．则︳MC︳•︳MD︳===．而︳MA︳•︳MB︳=（10﹣5m2）=．∴︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题．21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣ln x，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，即可讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，即证，也就是证；（Ⅲ）由f（x）＞g（x），得，设t（x）=，由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，再构造函数，求导数，即可确定a的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=ax2﹣a﹣lnx，得f′（x）=2ax﹣=（x＞0），当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数；当a＞0时，由f′（x）=0，得x==，∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；综上，当a≤0时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，即证，也就是证，令h（x）=，则h′（x）=，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）min=h（1）=e，即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0；（Ⅲ）解：由f（x）＞g（x），得，设t（x）=，由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，∵t（1）=0，∴有t′（x）=2ax=≥0在（1，+∞）内恒成立，令φ（x）=，则φ′（x）=2a=，当x≥2时，φ′（x）＞0，令h（x）=，h′（x）=，函数在[1，2）上单调递增，∴h（x）min=h（1）=﹣1．e1﹣x＞0，∴1＜x＜2，φ′（x）＞0，综上所述，x＞1，φ′（x）＞0，φ（x）在区间（1，+∞）单调递增，∴t′（x）＞t′（1）≥0，即t（x）在区间（1，+∞）单调递增，由2a﹣1≥0，∴a≥．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，不等式的证明，考查恒成立成立问题，正确构造函数，求导数是关键．。

2016年四川省高考数学文科试题含答案(Word版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设i 为虚数单位，则复数(1+i)2= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i2.设集合A={x11≤x ≤5},Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)33.抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 4.为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度5.设p:实数x ，y 满足x>1且y>1，q: 实数x ，y 满足x+y>2，则p 是q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件6.已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)27.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。

若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。

如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为(A)35 (B) 20 (C)18 (D)99.已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BM uuu r 的最大值是 (A)443 (B) 449(C) 43637+ (D) 433237+10. 设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

(精校版)四川文数高考试题文档版(含答案).docx

若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) 学科&网 (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。

2016年四川省高考数学文科试题有答案(Word版)AKMwKl

1.设i 为虚数单位，则复数(1+i)2= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i2.设集合A={x11≤x ≤5},Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)33.抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 4.为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度 5.设p:实数x ，y 满足x>1且y>1，q: 实数x ，y 满足x+y>2，则p 是q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 6.已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)27.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。

2016高考文科数学(四川卷)

2016高考文科数学（四川卷）一、选择题1．设i 为虚数单位，则复数（1+i ）2=（A ）0 （B ）2 （C ）2i （D ）2+2i2．设集合A={x|1≤x≤5},Z 为整数集，则集合A∩Z 中元素的个数是（A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）33．抛物线y 2=4x 的焦点坐标是（A ）（0,2）（B ）（0,1）（C ）（2,0）（D ）（1,0）4．为了得到函数y=sin 3x π（+）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（A ）向左平行移动3π个单位长度（B ）向右平行移动3π个单位长度（C ）向上平行移动3π个单位长度（D ）向下平行移动3π个单位长度 5．设p:实数x ，y 满足x ＞1且y ＞1，q: 实数x ，y 满足x+y ＞2，则p 是q 的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a=（A ）–4 （B ）–2 （C ）4 （D ）27．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）（A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（A）35 （B）20 （C）18 （D）99．已知正三角形ABCABC内的动点P，M满足|1|AP=，PMMC=，则2||BM的最大值是（A（B（C（D10．设直线l1，l2分别是函数f（x）=ln01,ln,1x xx x-<<⎧⎨>⎩，图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（A）（0,1）（B）（0,2）（C）（0,+∞）（D）（1,+ ∞）二、填空题11．sin750︒= .12．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .13．从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log a b为整数的概率是 .14．若函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f（x）=4x，则f（52-）+f（2）= .15．在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P'（22yx y+，22xx y-+）；当P 是原点时，定义P的“伴随点”为它自身.现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A'，则点A'的“伴随点”是A.②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x轴对称，则它们的“伴随点”关于y轴对称；④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是（写出所有真命题的序号）.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）, [0.5,1）,…,[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.17．如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD. （Ⅰ）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由；（Ⅱ）证明：平面PAB ⊥平面PBD.18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC ；（ⅡtanB. 19．已知数列{a n }的首项为1， S n 为数列{a n }的前n 项和，S n+1=qS n +1，其中q ﹥0，n ∈N *.（Ⅰ）若a 2，a 3，a 2+ a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221n y x a -=的离心率为n e ，且22e =，求22212n e e e ++⋅⋅⋅+. 20．已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ﹥b ﹥0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1)2P 在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.21．设函数f （x ）=ax 2–a –lnx ，g （x ）=1e ex x -，其中a ∈R ，e=2.718…为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）证明：当x ＞1时，g （x ）＞0；（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f （x ）＞g （x ）在区间（1，+∞）内恒成立.2016高考文科数学（四川卷）参考答案1—5 CBDAA 6—10 DBCBA11．12 12．3 13．1614．2- 15．②③ 16．（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a ，解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000. （Ⅲ）设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×（x –2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.17．（Ⅰ）取棱AD 的中点M （M ∈平面PAD ），点M 即为所求的一个点.理由如下：因为AD ∥BC,BC=12AD ，所以BC ∥AM, 且BC=AM. 所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB.又AB ⊂平面PAB,CM ⊄平面PAB,所以CM ∥平面PAB.（说明：取棱PD 的中点N,则所找的点可以是直线MN 上任意一点）（Ⅱ）由已知，PA ⊥AB, PA ⊥CD,因为AD ∥BC,BC=12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD.从而PA ⊥BD.因为AD ∥BC,BC=12AD ，所以BC ∥MD,且BC=MD.所以四边形BCDM 是平行四边形.所以BM=CD=12AD ，所以BD ⊥AB. 又AB∩AP=A,所以BD ⊥平面PAB.又BD ⊂平面PBD,所以平面PAB ⊥平面PBD.18．（Ⅰ）根据正弦定理，可设(0)sin sin sin a b c k k A B C===>，则a=ksin A ，b=ksin B ，c=ksinC. 代入cos cos sin A B C a b c+=中，有 cos cos sin sin sin sin A B C k A k B k A+=，变形可得 sin A sin B=sin Acos B+cosAsinB=sin （A+B ）.在△ABC 中，由A+B+C=π，有sin （A+B ）=sin （π–C ）=sin C ，所以sin A sin B=sin C.（Ⅱ）由已知，b 2+c 2–a 2=65bc ，根据余弦定理，有 2223cos 25b c a A bc +-==.所以45=. 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B ，所以45sin B=45cos B+35sin B ，故tan B=sin cos B B=4. 19．（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ≥++=. 又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ≥都成立.所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列.从而1=n n a q -.由2323+a a a a ，，成等差数列，可得32232=a a a a ++，所以32=2,a a ，故=2q .所以1*2()n n a n -=?N .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=. 所以双曲线2221n y x a -=的离心率n e =由22e =解得q =.所以，22222(1)12222(1)2(11)(1+)[1]1[1]11(31).2n n n n n e e e q q q n q qn q n --++鬃?=+++鬃?+-=+++鬃?=+-=+-，20．（Ⅰ）由已知，a=2b. 又椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点1)2P ，故2213414b b +=，解得21b =. 所以椭圆E 的方程是2214x y +=. （Ⅱ）设直线l 的方程为1(0)2y x m m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，由方程组221,41,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 得222220x mx m ++-=，①方程①的判别式为24(2)Δm =-，由Δ>0，即220m ->，解得m <<由①得212122,22x x m x x m +=-=-. 所以M 点坐标为(,)2m m -，直线OM 方程为12y x =-，由方程组221,41,2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得(22C D -.所以25)(2)4MC MD m m m ⋅=-+=-. 又222212*********[()()][()4]4416MA MB AB x x y y x x x x ⋅==-+-=+- 22255[44(22)](2)164m m m =--=-. 所以=MA MB MC MD ⋅⋅.21．（Ⅰ）2121()20).ax f x ax x x x-'=-=>( 0a 当≤时， ()f x '<0，()f x 在0+∞（，）内单调递减. 0a >当时，由()f x '=0有x = 当x∈（时，()f x '<0，()f x 单调递减；当x∈+)∞时，()f x '＞0，()f x 单调递增. （Ⅱ）令()s x =1e x x --，则()s x '=1e 1x --.当1x >时，()s x '＞0，所以1e x x ->，从而()g x =111ex x --＞0. （Ⅲ）由（Ⅱ），当1x >时，()g x ＞0.当0a ≤，1x >时，()f x =2(1)ln 0a x x --<. 故当()f x ＞()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >. 当102a <<＞1. 由（Ⅰ）有(1)0f f <=,而0g >，所以此时()f x ＞()g x 在区间1+)∞（，内不恒成立. 当12a ≥时，令()h x =()f x -()g x （1x ≥）. 当1x >时，()h x '=122111112e x ax x x x x x x--+->-+-=322221210x x x x x x -+-+>>. 因此，()h x 在区间1+)∞（，单调递增.又因为(1)h =0，所以当1x >时，()h x =()f x -()g x ＞0，即()f x ＞()g x 恒成立. 综上，a ∈1+)2∞[，.。

2016年四川省高考数学试题及答案(文科)(精编版)

2016年四川省高考数学试卷（文科）D .既不充分也不必要条件已知a 为函数f （x ） =x 3 - 12x 的极小值点，贝V a=（C . 4绝密★启圭寸前A . 0B . 2C . 2iD . 2+2i 设集合A={x|1 $韦} , Z 为整数集，则集合 A QZ 中兀素的个数是（)A . 6B . 5C .4 D . 3抛物线y 2=4x 的焦点坐标是（ )A .(0,2) B . (0, 1) C . (2, 0) D . (1, 0)为了得到函数 y=sin （x+^— •J ）的图象, 只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（A .向左平行移动 r 个单位长度B .向右平行移动7V 3个单位长度 )2. 3. 4. 、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分. 设i 为虚数单位，则复数（1+i ） 2=（1. 5. C .向上平行7TT 个单位长度D .向下平行移动个单位长度设p :实数x ,q :实数x , y 满足x+y > 2,则p 是q 的（A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件6.130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长A . 2018 年B . 2019 年C . 2020 年D . 2021 年&秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法. 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n,x 的值分别为3,2，则输出v 的值为（）（参考数据：Ig1.12=0.05, Ig1.3=0.11 , Ig2=0.30)资金开始超过200万元的年份是（ )7. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金 12%，则该公司全年投入的研发■' - lux, 0＜址＜ 1(X )= _.图象上点P 1, P 2处的切线，11与12垂直相交于点P,且11,12分别与y 轴相交于点A ,B ，则△ PAB 的面积的取值范围是()A . (0, 1)B . ( 0, 2)C . ( 0, + s)D . (1 , + s)二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分.11. sin750 = ___________ .9.已知正三角形「|2的最大值是ABC 的边长为 2「；，平面P , M 满足 | J |=1 , 1'='-'，则49C .10•设直线11, 12分别是函数13.从2, 3, 8, 9中任取两个不同的数子，分别记为 a , b ,则log a b 为整数的概率是.x14. 若函数f (x )是定义R 上的周期为2的奇函数，当O v x V 1时，f ( x ) =4 , 15. 在平面直角坐标系中，当(x ,y )不是原点时，定义P 的伴随点” 当P 是原点时，定义伴随点”为它自身，现有下列命题：① 若点A 的伴随点”是点A',则点A'的伴随点”是点A . ② 单元圆上的伴随点”还在单位圆上.③ 若两点关于x 轴对称，则他们的伴随点”关于y 轴对称 ④ 若三点在同一条直线上，则他们的伴随点”一定共线.其中的真命题是 ______________ . 三、解答题(共6小题，满分75 分)16. (12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照［0 , 0.5), ［0.5 , 1),…［4 , 4.5］分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(I )求直方图中的a 值；则f (- +f (2) = _____________),^*284 u_oo o.o.d o .月均屈水重［吨)0.52 3.(II )设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数•说明理由;(川)估计居民月均用水量的中位数.17. (12 分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA 丄CD , AD // BC,/ ADC= / PAB=90° BC=CD= —AD .2(I)在平面PAD内找一点M，使得直线CM //平面PAB，并说明理由；(II )证明：平面PAB丄平面PBD .18. (12分)在厶ABC中，角A , B, C所对的边分别是a, b, c,且亠一+_:—亠匚a b c (I)证明：sinAsinB=sinC ;(n)若b2+c2- a2=—be,求tanB.519. (12分)已知数列｛a n｝的首项为1, S n为数列｛a n｝的前n项和，S n+仁qS n+1，其中q> 0, n€ N +(I)若a2, a3, a2+a3成等差数列，求数列｛a n｝的通项公式；(n)设双曲线x2- * =1的离心率为e n,且e2=2，求e12+e22+…+e n2.20. (13分)已知椭圆E：」_ +「=1 (a> b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点(I)求椭圆E的方程；(n)设不过原点0且斜率为丄的直线I与椭圆E交于不同的两点A , B,线段AB的中点2为M，直线0M与椭圆E交于C, D，证明：丨MA| ? MB| =| MC| ? MD |21. (14 分)设函数f (x) =ax2- a- Inx, g (x)丄-旦，其中a€ R, e=2.718…为自然对数的底数.(I)讨论f (x)的单调性；(n)证明：当x> 1 时，g (x) > 0；(川)确定a的所有可能取值，使得 f (x) > g (x)在区间(1, +〜内恒成立.2016年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 1.【解答】解：（1+i ）故选：C . 2.［解答】解：•••集合A={x|1 0韦}, Z 为整数集，则集合 A A Z={1 , 2, 3, 4, 5}. •••集合A AZ 中元素的个数是5. 故选：B .23. 【解答】解：抛物线y 2=4x 的焦点坐标是（1, 0）, 故选：D4. 【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx ，平移后函数解析式为：y=sin （ x+ ------- ）,可得平移量为向左平行移动一个单位长度，3故选：A5.【解答】解：由x > 1且y > 1，可得：x+y > 2,反之不成立：例如取 x=3 , y=-；• p 是q 的充分不必要条件. 故选：A . 6.［解答】解：f'(x ) =3x 2- 12;• x v — 2 时，f ' (x )> 0, - 2v x v 2 时，f'( x )v 0, x > 2 时，f'( x )> 0; • x=2是f (x )的极小值点；又 a 为f (x )的极小值点；• a=2. 故选D .— I c7.【解答】解：设第n 年开始超过200万元，则130 X （ 1 + 12%）> 200,化为：（n -2015） Ig1.12 > Ig2 — Ig1.3, n -2015 >" 丫 ” f =3.8. 取n=2019 .因此开始超过 200万元的年份是2019年. 故选：B .&【解答】解：•••输入的x=2 , n=3 ,故v=1 , i=2，满足进行循环的条件， v=4 , i=1 , 满足进行循环的条件，v=9 , i=0 , 满足进行循环的条件，v=18 , i= - 1 不满足进行循环的条件，10小题，每小题5分，共50分.2 2=1+i +2i=1 - 1+2i=2i ,故输出的v值为：故选：C9.【解答】解：如图所示，建立直角坐标系.B ( 0, 0) ,並,o), A (逅 d 3).T M 满足| | ：|=1 ,二点P 的轨迹方程为：〕工--■ t: ' =1 ,令 x=^^|+cos Q y=3+ sin 0 0€ [0 , 2 n).又「=忙，则M 丄.二::•••1呵=丄—「一厂sin & 】，-：-+3sini n .—的最大值是 -.410. 【解答】解：设 P 1 ( x i , y i ), P 2 (x 2, y 2) ( O v xK 1 v x 2), 当 O v x v 1 时，f'(x )=一丄，当 x > 1 时,•11的斜率二—丄，12的斜率k^=-^,1 K 12 x2y=— (x _ x J fin x—1+I nx 2),|AB|=|1 — Inx 1 —(— 1+Inx 2) |=|2—( InX 1+Inx 2) |=|2 — InX 1X 2|=2. lhcs1 肌宀2 2滋肝 J AB|?X P |E^r 严 J S j 4 zf ( x )T l 1 与 12 垂直，且 x 2> x 1> 0 ,即 X 1X 2=1.直线l 1：12：取 x=0 分别得到 A (0, 1 - Inx 1) , B (0,联立两直线方程可得交点 P 的横坐标为x=•••函数y=x+—在(0, 1) 上为减函数，且 O v X 1 v 1,•••△ PAB 的面积的取值范围是(0, 1). 故选：A .、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分. 11. 【解答】解故答案为：JL.212. 【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积 S 丄天2妬崔1=(E ，棱锥的高为h=1，•棱锥的体积V=gsh 丄. 故答案为：丄_.13.【解答】解：从2, 3, 8, 9中任取两个不同的数字，分别记为 a , b ,基本事件总数n=包;=12 ,log a b 为整数满足的基本事件个数为(2, 8), (3, 9),共2个， •log 却为整数的概率卩=亠二丄.12 6故答案为：丄.614. 【解答】解：T 函数f ( x )是定义R 上的周期为2的奇函数，当0 V X V 1时，f (x ) =4x ,• f (2) =f ( 0) =0, 故答案为：-2.15. 【解答】解：①设A (0, 1)，则A 的伴随点”为A ' (1 , 0), 而A (1 , 0)的伴随点"为(0,- 1),不是A ，故①错误， ② 若点在单位圆上，则 X 2+y 2=1 ,即P ( x , y )不是原点时，定义 P 的伴随点"为P (y , - x ), 满足y 2+ (- x ) 2=1，即P 也在单位圆上，故②正确，③ 若两点关于x 轴对称，设P (x , y ),对称点为Q (x , - y ), 则Q (x ,- y )的伴随点”为Q ( ----------- 匚一 ,\ ),sin750 =sin ( 2 >360 °30 ° =sin30 f (-〒)=f (- T -+2) =f (-=-2+0= - 2,则则f (- +f (2)）三点不在同一直线上，故④错误,故答案为：②③ 三、解答题（共6小题，满分75分）16. 【解答】解：（I ）v 1= （ 0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04 ） >0.5, 整理可得：2=1.4+2a ,•解得：a=0.3.（II ）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于 3吨的频率为（0.12+0.08+0.04 ） >0.5=0.12 ,又样本容量=30万，则样本中月均用水量不低于 3吨的户数为30X0.12=3.6 万.（川）根据频率分布直方图，得；0.08 X .5+0.16 0.5+0.30 0.5+0.42 05=0.48 V 0.5 , 0.48+0.5 0.52=0.74 > 0.5, •中位数应在（2, 2.5］组内，设出未知数 x ,令 0.08 X .5+0.16 X .5+0.30 X .5+0.42 X .5+0.52 0=0.5, 解得 x=0.038 ;•••中位数是 2+0.06=2.038 .17. 【解答】证明：（I ） M 为PD 的中点，直线 CM //平面PAB . 取AD 的中点E ,连接 CM , ME , CE ,贝U ME // PA , •/ ME?平面 PAB , PA?平面 PAB , • ME //平面 PAB .•/ AD // BC , BC=AE , • ABCE 是平行四边形，• CE // AB . •/ CE?平面 PAB , AB?平面 PAB , • CE //平面 PAB . •/ ME^ CE=E ，•平面 CME //平面 PAB , •/ CM?平面 CME , • CM //平面 PAB ;（II ）T PA 丄 CD ，/ PAB=90 , AB 与 CD 相交， • PA 丄平面ABCD ,•/ BD?平面 ABCD , • PA 丄 BD , 由(I )及 BC=CD^-AD ，可得/ BAD= / BDA=45 , •••/ ABD=90 , • BD 丄 AB , v PAH AB=A , • BD 丄平面 PAB , •/ BD?平面PBD ，•平面 PAB 丄平面PBD .则 Q'(- y22)与 P'( ）关于y 轴对称，故③正确,④•••(- 1, 1), (0, 1), (1, 1)三点在直线 y=1 上， 1•••（- 1,1）的伴随点”为（1+1 ）,即寺丄）,的伴随点"为（1，0），（ 1，1的伴随点"为（1+1 1+1），,（1,0），寺18.【解答】(I)证明：在△ ABC 中,cos A +cos BsinCa bccosA cosB sinC sinA sinB sinC ■/ sin (A+B ) =sinC . •整理可得：sinAsinB=sinC , •••由正弦定理得: • cosAsinB+casBsinAsin(A+B)sinAsinBsinAsinB=1 ,sinA=tanB=4. cos A ,cosB sinA sinB =—be ，由余弦定理可得 5 3 cosA=—. 5 I sinC =1,亠 sinB 19•【解答】解：(I)根据题意，数列｛a n ｝的首项为1,即a 1=1, 又由 S n+1=qS n +1，贝U S 2=qa 1+1，贝U a 2=q , 又有 S 3=qS 2+1，则有若 a 2, a 3, a 2+a 3成等差数列，即 2a 3=a 2+ (a 2+a 3),则可得 q =2q 解可得q=2，则有S n+1=2S n +1，① 进而有S n =2S n - 1 + 1，② ①-②可得 a n =2a n -1, 则数列｛a n ｝是以1为首项，公比为 2的等比数列，则 a n =1 X2 =2 ； (n)根据题意，有 S n+1=qS n +1，③ ③—④可得：a n =qa n —1, 又由q >0, 则数列｛a n ｝是以1为首项，公比为若e 2=2，则 a 3=q 2,(q > 0), 同理可得 S n =qS n - 1 + 1 , q 的等比数列，贝U a n =1 X q n e 2= i • ... 一=2 , 解可得 a 2=；；, 则 a 2=q=二即卩 q= , a n =1 xq n 1=q n 则 e n 2=1+a n 2=1+3n 1, 1= (「；)n -1, 故 e i 2+e 22+ …+e n 2=n+ (1+3+3 2+…+3n 1) =n+20.【解答】(I)解：如图，由题意可得 •椭圆E 的方程为 £+异二1； (n)证明：设 AB 所在直线方程为联立，得 x 2+2mx+2m 21 n =q 1；a=2b召丄2 2'a 4by=* x+IT ,2=0.2 2，解得 a =4, b =1,=4m 2— 4 (2m 2-2) =8 - 4m 2>0,即11' :.•••I MA | ? MB | =| MC | ? MD | .21.【解答】(I)解：由 f (x ) =ax - a - Inx ,得 f'( x ) =2ax 当 aO 时，f'( x )v 0 在(0, +8)成立，贝 y f (x )%( 0,•••当 x €（ 0, I# ）时，f '（x ）v 0，当 x €2a则f （x ）在（0，二li ）上为减函数，在（2a设 A (x i , y l ), B (x 2, y 2), M (x O , y 0), • wc1 . rr”•• x o = - m,-- ，即 M （ — g 弓）,当 a > 0 时，由 f ' (x ) =0 ,得 x= +V2a1 2ax 2- 1XX,+8）上为增函数;~2a" (x > 0),+ 8）上的减函数;g)时，f'(x )> 0,综上，当aO 时，f (x )为(0, +x>)上的减函数，当 a > 0时,h (x )在(1, + 〜上单调递增，则 h (x ) min =h (1) =e , 即当 x > 1 时，h (x )> e ,.当 x > 1 时，g (x ) > 0;(川)解：由 f (x ) > g ( x ),得 - a.- Inis —丄十 J 養〉0, x设t (x )=且*2_包_［口虫_丄十㊁i K,x由题意知，t ( x )> 0在(1, + x)内恒成立， ••• t (1) =0,•••有 t ' (x )=2ax -丄- J *=2dK -------------------- 洛——J * 初在(1,内恒成立,令 $ ( x )= J-,…，19| —x - 2 1 - J则 $ (x ) =2a _-—十上 =2邑 -------- "已 ,x z x °x当 x 丝时，$ '(X ) > 0,x - 2 - 2汎+6令h (x ) =——, h ' (x )=——-—，函数在［1 , 2)上单调递增，HX• h (x ) min =h ( 1) = - 1 .又 2a 》,e 1 x > 0, • 1v x v 2, $'(x ) > 0,综上所述，x > 1, $'(x )> 0, $ (x )在区间(1, +旳单调递增, • t'( x )> t'( 1)为，即t (x )在区间(1, +x)单调递增，•- a N —.减函数，在(2a ， +旳上为增函(n)证明：要证g (x )> 0 (x > 1)，即 > 0,也就是证—-?,令 h (x ) —，则 h' (x )(x )在(0,)上为2。

2016年高考文科数学四川卷

数学试卷第1页（共6页）数学试卷第2页（共6页）数学试卷第3页（共6页）绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学(文史类)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共50分)注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设i 为虚数单位，则复数21i =+（） ( )A ．0B ．2C ．2iD ．2+2i2. 设集合{|15}A x x =≤≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是( )A ．6B ．5C ．4D ．3 3. 抛物线24y x =的焦点坐标是( )A ．0,2（）B ．0,1（）C ．2,0（）D ．1,0（）4. 为了得到函数3y sinx π=+（）的图像，只需把函数y sinx =的图象上所有的点( )A ．向左平行移动个单位长度B ．向右平行移动个单位长度C ．向上平行移动个单位长度D ．向下平行移动个单位长度5. 设p ：实数x y ，满足1x ＞且1y ＞，q ：实数x y ，满足2x y +＞，则p 是q 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知a 为函数312f x x x =-（）的极小值点，则a =( )A ．4-B ．2-C ．4D ．27. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据： 1.120.05lg ≈， 1.30.11lg ≈，20.30lg ≈）( )A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提到的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为 ( )A ．35B ．20C ．18D ．99. 已知正三角形ABC的边长为，平面ABC 内的动点P ,M 满足||1AP =，PM =MC ,则2||BM 的最大值是( )A ．434 B ．494CD10.设直线1l ，2l 分别是函数l n 01l n 1x x f x x x -⎧=⎨⎩，＜＜，（），＞，图像上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于A ，B ，则PAB △的面积的取值范围是( )A ．0,1（）B ．0,2（）C ．0+∞（，）D ．1+∞（，）姓名________________ 准考证号_____________----------在-------------------此-------------------卷-------------------上-------------------答-------------------题--------------------无--------------------效-----------数学试卷第4页（共6页）数学试卷第5页（共6页）数学试卷第6页（共6页）第Ⅱ卷(非选择题共100分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 750sin ︒= .12. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .13. 从2389,,,中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是 .14. 若函数f x （）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜ 1x ＜时，4xf x =（），则522f f -+（）（）= . 15. 在平面直角坐标系中，当P x y （，）不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222'(,)y x P x y x y-++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是A '，则点A '的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线. 其中真命题是（写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0，0.5）， [0.5,1)，…[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.17. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA CD ⊥，ADBC ，90ADC PAB ∠=∠=︒，BC =12CD AD =.（Ⅰ）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM 平面PAB ，并说明理由；（Ⅱ）证明：平面PAB ⊥平面PBD .18. （本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos cos sin +=A B Ca b c. （Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =；（Ⅱ）若22265b c a bc +-=，求tan B .19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中0q ＞,*n ∈N .（Ⅰ）若2a ，3a ，23a a +成等差数列，且数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221ny x a -=的离心率为n e ，且22e =，求22212n e e e ++⋯+.20. （本小题满分13）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=＞＞的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ，)在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|| |||| ||MA MB MC MD =.21. （本小题满分14分）设函数2ln f x ax a x =--（），1=x egx x e-（），其中a ∈R ，e =2.718…为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论f x （）的单调性；（Ⅱ）证明：当1x ＞时，0g x （）＞；（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f x g x （）＞（）在区间1+∞（，）内恒成立.。

2016年四川省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析

2016年四川省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)设i为虚数单位,则复数(1＋i)2＝( )A.0B.2C.2iD.2＋2i2.(5分)设集合A＝{x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )A.6B.5C.4D.33.(5分)抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)4.(5分)为了得到函数y＝sin(x＋)的图象,只需把函数y＝sinx的图象上所有的点( )A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向上平行移动个单位长度D.向下平行移动个单位长度5.(5分)设p：实数x,y满足x＞1且y＞1,q：实数x,y满足x＋y＞2,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(5分)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点,则a＝( )A.－4B.－2C.4D.27.(5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12＝0.05,lg1.3＝0.11,lg2＝0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年8.(5分)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为( )A.35B.20C.18D.99.(5分)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||＝1,＝,则||2的最大值是( )A. B. C. D.10.(5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)＝图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,2)C.(0,＋∞)D.(1,＋∞)二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)sin750°＝.12.(5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.13.(5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是.14.(5分)若函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0＜x＜1时,f(x)＝4x,则f(－)＋f(2)＝.15.(5分)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P′(,),当P是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A.②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.③若两点关于x轴对称,则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是.三、解答题(共6小题,满分75分)16.(12分)我国是世界上严重缺水的国家.某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨).将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)求直方图中a的值；(Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由；(Ⅲ)估计居民月均水量的中位数.17.(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC＝∠PAB＝90°,BC＝CD＝AD.(I)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由；(II)证明：平面PAB⊥平面PBD.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且＋＝.(Ⅰ)证明：sinAsinB＝sinC；(Ⅱ)若b2＋c2－a2＝bc,求tanB.19.(12分)已知数列{an }的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn＋1＝qSn＋1,其中q＞0,n∈N＋(Ⅰ)若a2,a3,a2＋a3成等差数列,求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设双曲线x2－＝1的离心率为en ,且e2＝2,求e12＋e22＋…＋en2.20.(13分)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P(,)在椭圆E上.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明：︳MA︳•︳MB︳＝︳MC︳•︳MD︳21.(14分)设函数f(x)＝ax2－a－ln x,g(x)＝－,其中a∈R,e＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x＞1时,g(x)＞0；(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)＞g(x)在区间(1,＋∞)内恒成立.2016年四川省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)设i为虚数单位,则复数(1＋i)2＝( )A.0B.2C.2iD.2＋2i【分析】利用复数的运算法则即可得出.【解答】解：(1＋i)2＝1＋i2＋2i＝1－1＋2i＝2i,故选：C.【点评】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.2.(5分)设集合A＝{x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )A.6B.5C.4D.3【分析】利用交集的运算性质即可得出.【解答】解：∵集合A＝{x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z＝{1,2,3,4,5}.∴集合A∩Z中元素的个数是5.故选：B.【点评】本题考查了集合的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.(5分)抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质,可得答案.【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0),故选：D.【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质,难度不大,属于基础题.4.(5分)为了得到函数y＝sin(x＋)的图象,只需把函数y＝sinx的图象上所有的点( )A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向上平行移动个单位长度D.向下平行移动个单位长度【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则,结合平移前后函数的解析式,可得答案. 【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y＝sinx,平移后函数解析式为：y＝sin(x＋),可得平移量为向左平行移动个单位长度,故选：A.【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则,熟练掌握图象平移“左加右减“的原则,是解答的关键.5.(5分)设p：实数x,y满足x＞1且y＞1,q：实数x,y满足x＋y＞2,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由x＞1且y＞1,可得：x＋y＞2,反之不成立,例如取x＝3,y＝.【解答】解：由x＞1且y＞1,可得：x＋y＞2,反之不成立：例如取x＝3,y＝.∴p是q的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.6.(5分)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点,则a＝( )A.－4B.－2C.4D.2【分析】可求导数得到f′(x)＝3x2－12,可通过判断导数符号从而得出f(x)的极小值点,从而得出a的值.【解答】解：f′(x)＝3x2－12；∴x＜－2时,f′(x)＞0,－2＜x＜2时,f′(x)＜0,x＞2时,f′(x)＞0；∴x＝2是f(x)的极小值点；又a为f(x)的极小值点；∴a＝2.故选：D.【点评】考查函数极小值点的定义,以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程,要熟悉二次函数的图象.7.(5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12＝0.05,lg1.3＝0.11,lg2＝0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年【分析】设第n年开始超过200万元,可得130×(1＋12%)n－2015＞200,两边取对数即可得出. 【解答】解：设第n年开始超过200万元,则130×(1＋12%)n－2015＞200,化为：(n－2015)lg1.12＞lg2－lg1.3,n－2015＞＝3.8.取n＝2019.因此开始超过200万元的年份是2019年.故选：B.【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.(5分)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为( )A.35B.20C.18D.9【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值,模拟程序的运行过程,可得答案.【解答】解：∵输入的x＝2,n＝3,故v＝1,i＝2,满足进行循环的条件,v＝4,i＝1,满足进行循环的条件,v＝9,i＝0,满足进行循环的条件,v＝18,i＝－1不满足进行循环的条件,故输出的v值为：故选：C.【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答.9.(5分)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||＝1,＝,则||2的最大值是( )A. B. C. D.【分析】如图所示,建立直角坐标系.B(0,0),C.A.点P的轨迹方程为：＝1,令x＝＋cosθ,y＝3＋sinθ,θ∈[0,2π).又＝,可得M,代入||2＝＋3sin,即可得出.【解答】解：如图所示,建立直角坐标系.B(0,0),C.A.∵M满足||＝1,∴点P的轨迹方程为：＝1,令x＝＋cosθ,y＝3＋sinθ,θ∈[0,2π).又＝,则M,∴||2＝＋＝＋3sin≤.∴||2的最大值是.也可以以点A为坐标原点建立坐标系.解法二：取AC中点N,MN＝,从而M轨迹为以N为圆心,为半径的圆,B,N,M三点共线时,BM为最大值.所以BM最大值为3＋＝.故选：B.【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.(5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)＝图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,2)C.(0,＋∞)D.(1,＋∞)【分析】设出点P1,P2的坐标,求出原分段函数的导函数,得到直线l1与l2的斜率,由两直线垂直求得P1,P2的横坐标的乘积为1,再分别写出两直线的点斜式方程,求得A,B两点的纵坐标,得到|AB|,联立两直线方程求得P的横坐标,然后代入三角形面积公式,利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围.【解答】解：设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(0＜x1＜1＜x2),当0＜x＜1时,f′(x)＝,当x＞1时,f′(x)＝,∴l1的斜率,l2的斜率,∵l1与l2垂直,且x2＞x1＞0,∴,即x1x2＝1.直线l1：,l2：.取x＝0分别得到A(0,1－lnx1),B(0,－1＋lnx2),|AB|＝|1－lnx1－(－1＋lnx2)|＝|2－(lnx1＋lnx2)|＝|2－lnx1x2|＝2.联立两直线方程可得交点P的横坐标为x＝,∴|AB|•|xP|＝＝.∵函数y＝x＋在(0,1)上为减函数,且0＜x1＜1,∴,则,∴.∴△PAB的面积的取值范围是(0,1).故选：A.【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,训练了利用基本不等式求函数的最值,考查了数学转化思想方法,属中档题.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)sin750°＝.【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案.【解答】解：sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝,故答案为：.【点评】本题考查运用诱导公式化简求值,着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值,属于基础题.12.(5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.【分析】几何体为三棱锥,底面为俯视图三角形,棱锥的高为1,代入体积公式计算即可.【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥,底面为俯视图三角形,底面积S＝＝,棱锥的高为h＝1,∴棱锥的体积V＝Sh＝＝.故答案为：.【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算,是基础题.b为整数的概率是.13.(5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数满足的基本事件个【分析】由已知条件先求出基本事件总数,再利用列举法求出logab为整数的概率.数,由此能求出loga【解答】解：从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,基本事件总数n＝＝12,logb为整数满足的基本事件个数为(2,8),(3,9),共2个,ab为整数的概率p＝.∴loga故答案为：.【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.14.(5分)若函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0＜x＜1时,f(x)＝4x,则f(－)＋f(2)＝－2 .【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可.【解答】解：∵函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0＜x＜1时,f(x)＝4x,∴f(2)＝f(0)＝0,f(－)＝f(－＋2)＝f(－)＝－f()＝－＝－＝－2,则f(－)＋f(2)＝－2＋0＝－2,故答案为：－2.【点评】本题主要考查函数值的计算,根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键.15.(5分)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P′(,),当P是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A.②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.③若两点关于x轴对称,则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是②③.【分析】根据“伴随点”的定义,分别进行判断即可,对应不成立的命题,利用特殊值法进行排除即可.【解答】解：①设A(0,1),则A的“伴随点”为A′(1,0),而A′(1,0)的“伴随点”为(0,－1),不是A,故①错误,②若点在单位圆上,则x2＋y2＝1,即P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P(y,－x),满足y2＋(－x)2＝1,即P′也在单位圆上,故②正确,③若两点关于x轴对称,设P(x,y),对称点为Q(x,－y),则Q(x,－y)的“伴随点”为Q′(－,),则Q′(－,)与P′(,)关于y轴对称,故③正确,④∵(－1,1),(0,1),(1,1)三点在直线y＝1上,∴(－1,1)的“伴随点”为(,),即(,),(0,1)的“伴随点”为(1,0),(1,1的“伴随点”为(,－),即(,－),则(,),(1,0),(,－)三点不在同一直线上,故④错误,故答案为：②③【点评】本题主要考查命题的真假判断,正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键.考查学生的推理能力.三、解答题(共6小题,满分75分)16.(12分)我国是世界上严重缺水的国家.某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨).将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)求直方图中a的值；(Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由；(Ⅲ)估计居民月均水量的中位数.【分析】(I)先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率,再根据直方图的总频率为1求出a的值；(II)根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率,结合样本容量为30万,进而得解.(Ⅲ)根据频率分布直方图,求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值.【解答】解：(I)∵1＝(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5,整理可得：2＝1.4＋2a,∴解得：a＝0.3.(II)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万,理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝0.12,又样本容量为30万,则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12＝3.6万.(Ⅲ)根据频率分布直方图,得；0.08×0.5＋0.16×0.5＋0.30×0.5＋0.42×0.5＝0.48＜0.5,0.48＋0.5×0.52＝0.74＞0.5,∴中位数应在(2,2.5]组内,设出未知数x,令0.08×0.5＋0.16×0.5＋0.30×0.5＋0.42×0.5＋0.52×x＝0.5,解得x＝0.04；∴中位数是2＋0.04＝2.04.【点评】本题用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法.频率分布直方图中小长方形的面积＝组距×,各个矩形面积之和等于1,能根据直方图求众数和中位数,属于常规题型.17.(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC＝∠PAB＝90°,BC＝CD＝AD.(I)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由；(II)证明：平面PAB⊥平面PBD.【分析】(I)M为PD的中点,直线CM∥平面PAB.取AD的中点E,连接CM,ME,CE,则ME∥PA,证明平面CME∥平面PAB,即可证明直线CM∥平面PAB；(II)证明：BD⊥平面PAB,即可证明平面PAB⊥平面PBD.【解答】证明：(I)M为PD的中点,直线CM∥平面PAB.取AD的中点E,连接CM,ME,CE,则ME∥PA,∵ME⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,∴ME∥平面PAB.∵AD∥BC,BC＝AE,∴ABCE是平行四边形,∴CE∥AB.∵CE⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CE∥平面PAB.∵ME∩CE＝E,∴平面CME∥平面PAB,∵CM⊂平面CME,∴CM∥平面PAB若M为AD的中点,连接CM,由四边形ABCD中,AD∥BC,∠ADC＝∠PAB＝90°,BC＝CD＝AD.可得四边形ABCM为平行四边形,即有CM∥AB,CM⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CM∥平面PAB；(II)∵PA⊥CD,∠PAB＝90°,AB与CD相交,∴PA⊥平面ABCD,∵BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD,由(I)及BC＝CD＝AD,可得∠BAD＝∠BDA＝45°,∴∠ABD＝90°,∴BD⊥AB,∵PA∩AB＝A,∴BD⊥平面PAB,∵BD⊂平面PBD,∴平面PAB⊥平面PBD.【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于中档题.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且＋＝.(Ⅰ)证明：sinAsinB＝sinC；(Ⅱ)若b2＋c2－a2＝bc,求tanB.【分析】(Ⅰ)将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理,利用正弦定理,即可证明. (Ⅱ)由余弦定理求出A的余弦函数值,利用(Ⅰ)的条件,求解B的正切函数值即可.【解答】(Ⅰ)证明：在△ABC中,∵＋＝,∴由正弦定理得：,∴＝,∵sin(A＋B)＝sinC.∴整理可得：sinAsinB＝sinC,(Ⅱ)解：b2＋c2－a2＝bc,由余弦定理可得cosA＝.sinA＝,＝＋＝＝1,＝,tanB＝4.【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理,三角形面积公式的应用,考查了转化思想,属于中档题.19.(12分)已知数列{an }的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn＋1＝qSn＋1,其中q＞0,n∈N＋(Ⅰ)若a2,a3,a2＋a3成等差数列,求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设双曲线x2－＝1的离心率为en ,且e2＝2,求e12＋e22＋…＋en2.【分析】(Ⅰ)根据题意,由数列的递推公式可得a2与a3的值,又由a2,a3,a2＋a3成等差数列,可得2a3＝a2＋(a2＋a3),代入a2与a3的值可得q2＝2q,解可得q的值,进而可得Sn＋1＝2Sn＋1,进而可得Sn ＝2Sn－1＋1,将两式相减可得an＝2an－1,即可得数列{an}是以1为首项,公比为2的等比数列,由等比数列的通项公式计算可得答案；(Ⅱ)根据题意Sn＋1＝qSn＋1,同理有Sn＝qSn－1＋1,将两式相减可得an＝qan－1,分析可得an＝q n－1；又由双曲线x2－＝1的离心率为en ,且e2＝2,分析可得e2＝＝2,解可得a2的值,由an＝q n－1可得q的值,进而可得数列{an}的通项公式,再次由双曲线的几何性质可得en 2＝1＋an2＝1＋3n－1,运用分组求和法计算可得答案.【解答】解：(Ⅰ)根据题意,数列{a n }的首项为1,即a 1＝1, 又由S n ＋1＝qS n ＋1,则S 2＝qa 1＋1,则a 2＝q, 又有S 3＝qS 2＋1,则有a 3＝q 2,若a 2,a 3,a 2＋a 3成等差数列,即2a 3＝a 2＋(a 2＋a 3), 则可得q 2＝2q,(q ＞0), 解可得q ＝2,则有S n ＋1＝2S n ＋1,① 进而有S n ＝2S n －1＋1,② ①－②可得a n ＝2a n －1,则数列{a n }是以1为首项,公比为2的等比数列, 则a n ＝1×2n －1＝2n －1；(Ⅱ)根据题意,有S n ＋1＝qS n ＋1,③ 同理可得S n ＝qS n －1＋1,④ ③－④可得：a n ＝qa n －1, 又由q ＞0,则数列{a n }是以1为首项,公比为q 的等比数列,则a n ＝1×q n －1＝q n －1；若e 2＝2,则e 2＝＝2,解可得a 2＝, 则a 2＝q ＝,即q ＝, a n ＝1×q n －1＝q n －1＝()n －1, 则e n 2＝1＋a n 2＝1＋3n －1,故e 12＋e 22＋…＋e n 2＝n ＋(1＋3＋32＋…＋3n －1)＝n ＋.【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和,涉及双曲线的简单几何性质,注意题目中q ＞0这一条件.20.(13分)已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P(,)在椭圆E 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A,B,线段AB 的中点为M,直线OM 与椭圆E 交于C,D,证明：︳MA ︳•︳MB ︳＝︳MC ︳•︳MD ︳【分析】(Ⅰ)由题意可得a ＝2b,再把已知点的坐标代入椭圆方程,结合隐含条件求得a,b 得答案；(Ⅱ)设出直线方程,与椭圆方程联立,求出弦长及AB 中点坐标,得到OM 所在直线方程,再与椭圆方程联立,求出C,D 的坐标,把︳MA ︳•︳MB ︳化为(|AB|)2,再由两点间的距离公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案.【解答】(Ⅰ)解：如图,由题意可得,解得a2＝4,b2＝1,∴椭圆E的方程为；(Ⅱ)证明：设AB所在直线方程为y＝,联立,得x2＋2mx＋2m2－2＝0.∴△＝4m2－4(2m2－2)＝8－4m2＞0,即.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则,|AB|＝＝.∴x＝－m,,即M(),则OM所在直线方程为y＝－,联立,得或.∴C(－,),D(,－).则︳MC︳•︳MD︳＝＝＝.而︳MA︳•︳MB︳＝(10－5m2)＝.∴︳MA︳•︳MB︳＝︳MC︳•︳MD︳.【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用,训练了弦长公式的应用,考查数学转化思想方法,训练了计算能力,是中档题.21.(14分)设函数f(x)＝ax2－a－ln x,g(x)＝－,其中a∈R,e＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x＞1时,g(x)＞0；(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)＞g(x)在区间(1,＋∞)内恒成立.【分析】(Ⅰ)求导数,分类讨论,即可讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)要证g(x)＞0(x＞1),即－＞0,即证,也就是证；(Ⅲ)由f(x)＞g(x),得,设t(x)＝,由题意知,t(x)＞0在(1,＋∞)内恒成立,再构造函数,求导数,即可确定a的取值范围.【解答】(Ⅰ)解：由f(x)＝ax2－a－lnx,得f′(x)＝2ax－＝(x＞0),当a≤0时,f′(x)＜0在(0,＋∞)成立,则f(x)为(0,＋∞)上的减函数；当a＞0时,由f′(x)＝0,得x＝＝,∴当x∈(0,)时,f′(x)＜0,当x∈(,＋∞)时,f′(x)＞0,则f(x)在(0,)上为减函数,在(,＋∞)上为增函数；综上,当a≤0时,f(x)为(0,＋∞)上的减函数,当a＞0时,f(x)在(0,)上为减函数,在(,＋∞)上为增函数；(Ⅱ)证明：要证g(x)＞0(x＞1),即－＞0,即证,也就是证,令h(x)＝,则h′(x)＝,＝h(1)＝e,∴h(x)在(1,＋∞)上单调递增,则h(x)min即当x＞1时,h(x)＞e,∴当x＞1时,g(x)＞0；(Ⅲ)解：由f(x)＞g(x),得,设t(x)＝,由题意知,t(x)＞0在(1,＋∞)内恒成立,∵t(1)＝0,∴有t′(x)＝2ax＝≥0在(1,＋∞)内恒成立,令φ(x)＝,则φ′(x)＝2a＝,当x≥2时,φ′(x)＞0,令h(x)＝,h′(x)＝,函数在[1,2)上单调递增,∴h(x)＝h(1)＝－1.mine1－x＞0,∴1＜x＜2,φ′(x)＞0,综上所述,x＞1,φ′(x)＞0,φ(x)在区间(1,＋∞)单调递增,∴t′(x)＞t′(1)≥0,即t(x)在区间(1,＋∞)单调递增,由2a－1≥0,∴a≥.【点评】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,不等式的证明,考查恒成立成立问题,正确构造函数,求导数是关键.。

2016年高考文科数学四川卷(含详细答案)

数学试卷第1页（共33页）数学试卷第2页（共33页）数学试卷第3页（共33页）绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学(文史类)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共50分)注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设i 为虚数单位，则复数21i =+（） ( )A ．0B ．2C ．2iD ．2+2i2. 设集合{|15}A x x =≤≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是( )A ．6B ．5C ．4D ．3 3. 抛物线24y x =的焦点坐标是( )A ．0,2（）B ．0,1（）C ．2,0（）D ．1,0（）4. 为了得到函数3y sin x π=+（）的图像，只需把函数y sinx =的图象上所有的点( )A ．向左平行移动个单位长度B ．向右平行移动个单位长度C ．向上平行移动个单位长度D ．向下平行移动个单位长度5. 设p ：实数x y ，满足1x ＞且1y ＞，q ：实数x y ，满足2x y +＞，则p 是q 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知a 为函数312f x x x =-（）的极小值点，则a =( )A ．4-B ．2-C ．4D ．27. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据： 1.120.05lg ≈， 1.30.11lg ≈，20.30lg ≈）( )A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提到的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为( )A ．35B ．20C ．18D ．99. 已知正三角形ABC的边长为平面ABC 内的动点P ,M 满足||1AP =，PM =MC ,则2||BM 的最大值是( )A ．434B ．49C D10.设直线1l ，2l 分别是函数l n 01l n 1x x f x x x -⎧=⎨⎩，＜＜，（），＞，图像上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于A ，B ，则PAB △的面积的取值范围是( )A ．0,1（）B ．0,2（）C ．0+∞（，）D ．1+∞（，）姓名________________ 准考证号_____________----------在-------------------此-------------------卷-------------------上-------------------答-------------------题--------------------无--------------------效-----------数学试卷第4页（共33页）数学试卷第5页（共33页）数学试卷第6页（共33页）第Ⅱ卷(非选择题共100分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 750sin ︒= .12. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .13. 从2389,,,中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则 log a b 为整数的概率是 .14. 若函数f x （）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜1x ＜时，4xf x =（），则522f f -+（）（）= . 15. 在平面直角坐标系中，当Px y （，）不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222'(,)y x P x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是A '，则点A '的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线. 其中真命题是（写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0，0.5）， [0.5,1)，…[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.17. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA CD ⊥，ADBC ，90ADC PAB ∠=∠=︒，BC =12CD AD =.（Ⅰ）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM 平面PAB ，并说明理由；（Ⅱ）证明：平面PAB ⊥平面PBD .18. （本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos cos sin +=A B Ca b c. （Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =；（Ⅱ）若22265b c a bc +-=，求tan B .19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中0q ＞,*n ∈N .（Ⅰ）若2a ，3a ，23a a +成等差数列，且数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221ny x a -=的离心率为n e ，且22e =，求22212n e e e ++⋯+.20. （本小题满分13）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=＞＞的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ，)在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|| |||| ||MA MB MC MD =.21. （本小题满分14分）设函数2ln f x ax a x =--（），1=x eg x x e-（），其中a ∈R ，e =2.718…为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论f x （）的单调性；（Ⅱ）证明：当1x ＞时，0gx （）＞；（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f x g x （）＞（）在区间1+∞（，）内恒成立.{1,2,3,4,5}Z A Z中元素的个数为A=A=的元素一一列举出来即可【提示】把集合{【考点】集合中交集的运算3 / 11数学试卷第10页（共33页）数学试卷第11页（共33页）数学试卷第12页（共33页）|||DB|||2DA DC ===，，以3).设(,)P x y ，由已知||1AP =，得131,x y x PM MC M BM ⎛⎫⎛-++== ⎪ ，∴，∴22(1)(||x y BM ++=∴()2max||44BM=2DA DB DC===，因此的轨迹是圆，则2(xBM=【考点】平面向量的计算121B Pxxx=+【提示】先设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点横坐标的关系，同时得出切线方程，从而得点5 / 11数学试卷第16页（共33页）数学试卷第17页（共33页）数学试卷第18页（共33页）7 / 11数学试卷第23页（共33页）数学试卷第24页（共33页）ABAP A =，PBD ⊂平面【提示】（Ⅰ）先证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；9 / 11222(1)(11)(1)[1]n n e q q -++=++++++222(1)1]n n q q--++数学试卷第28页（共33页）数学试卷第29页（共33页）数学试卷第30页（共33页）555(2)(2)(2224MC MD m m =-++=222121211[()()]44MA MB AB x x y y ==-+-=24(2m m -=MA MB MC MD .【提示】（Ⅰ）利用点在椭圆上，列出方程，解出(,),(,x y x y MA MB 用1x ，【考点】直线与圆锥曲线的交线11 / 11。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)答案

2 x1 1 x12 2 x1 1 x12 1 P , ln x . ∵ x 1 ，∴ S y y x 1，∴0 S△PAB 1 . 1 1 △PAB A B P 2 1 x12 2 1 x12 1 x12 1 x1
2
5 f 2
1 f 2 2
1 f f 2
1 2 4 2 ，所以 2
1
5 f f (2) 2 . 2
【提示】利用周期性 f ( x) f ( x T ) ，化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间，再利用奇偶性转化到已知区间上，由函数式求值即可. 【考点】函数的奇偶性，函数的周期性. 15.【答案】②③

2
49 4
2/9
【提示】首先对条件进行化简变形，得出 ADC ADB BDC 120 ，且 DA DB DC 2 ，因此
采用解析法，即建立直角坐标系，写出点 A，B，C，D 的坐标，同时动点 P 的轨迹是圆，则 2 ( x 1) 2 ( y 3 3) 2 ，因此可用圆的性质得出最值. BM 4 【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题. 10.【答案】A
【提示】先设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点横坐标的关系，同时得出切线方程，从而得点 A， B 的坐标，由两直线相交得出 P 点坐标，从而求得面积，把面积用 x1 表示后，可得面积的取值范围. 【考点】导数的几何意义，两直线的垂直关系，直线方程的应用，三角形面积的取值范围.
第 Ⅱ卷
二、填空题 11.【答案】
y ln x1
1 1 1 ( x x1 ) ，切线 l2 的方程为 y ln x2 ( x x2 ) ，即 y ln x1 x1 x . 分别令 x 0 得 x1 x2 x1

2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文(精校解析)

2016年高考四川文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设i 为虚数单位，则复数(1+i)2= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，22(1)122i i i i +=++=，故选C. 考点：复数的运算.2. 设集合A={x11≤x ≤5},Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)3 【答案】B考点：集合中交集的运算. 3. 抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，24y x =的焦点坐标为(1,0)，故选D. 考点：抛物线的定义. 4. 为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度【答案】A 【解析】试题分析：由题意，为得到函数sin()3y x π=+，只需把函数sin y x =的图像上所有点向左移3π个单位，故选A. 考点：三角函数图像的平移.5. 设p:实数x ，y 满足x>1且y>1，q: 实数x ，y 满足x+y>2，则p 是q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：由题意，1x >且1y >，则2x y +>，而当2x y +>时不能得出，1x >且1y >.故p 是q 的充分不必要条件，选A. 考点：充分必要条件.6. 已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D考点：函数导数与极值.7. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学试题 (文科)解析版

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，则复数2(1)i +=（）(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，22(1)122i i i i +=++=，故选C. 考点：复数的运算.【名师点睛】本题考查复数的运算．数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．2. 设集合{|15}A x x =≤≤,Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是（）(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3 【答案】B考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.3. 抛物线24y x =的焦点坐标是（）(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，24y x =的焦点坐标为(1,0)，故选D. 考点：抛物线的定义.【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握．4. 为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（）(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度【答案】A考点：三角函数图像的平移.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，函数()y f x =的图象向右平移a 个单位得()y f x a =-的图象，而函数()y f x =的图象向上平移a 个单位得()y f x a =+的图象．左右平移涉及的是x 的变化，上下平移涉及的是函数值()f x 加减平移的单位．5. 设p:实数x ，y 满足1x >且1y >，q: 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的（） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：由题意，1x >且1y >，则2x y +>，而当2x y +>时不能得出，1x >且1y >.故p 是q 的充分不必要条件，选A. 考点：充分必要条件.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．6. 已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =（） (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D 【解析】试题分析：()()()2312322f x x x x '=-=+-，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 极小值为()2f ，由已知得2a =，故选D.考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点，7. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年【答案】B考点：1.增长率问题；2.常用对数的应用.【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论．8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（）(A)35 (B) 20 (C)18 (D)9 【答案】C考点：1.程序与框图；2.秦九韶算法；3.中国古代数学史.【名师点睛】程序框图是高考的热点之一，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次循环的结果一一列举出来，与判断条件比较即可．9. 已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BMuuu r的最大值是（） (A)443 (B) 449(C) 43637+ (D) 433237+【答案】B 【解析】考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DBDC ===，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出,,,A B C D 坐标，同时动点P 的轨迹是圆，()(22214x y BM +++=，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．10. 设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（） (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A 【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121121,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，故选A.考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．0750sin = .【答案】12考点：三角函数诱导公式【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解．12.已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积.侧视图俯视图【答案】3【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为112S =⨯=1，所以该几何体的体积为11133V Sh ===考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．13.从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a 、b ，则log a b 为整数的概率= . 【答案】16考点：古典概型.【名师点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的总数，本题中所给数都可以作为对数的底面，因此所有对数的个数就相当于4个数中任取两个的全排列，个数为44A ，而满足题意的只有2个，由概率公式可得概率．在求事件个数时，涉及到排列组合的应用，涉及到两个有理的应用，解题时要善于分析．14.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-2考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性．属于基础题，在涉及函数求值问题中，可利用周期性()()f x f x T =+，化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间再利用奇偶性转化到已知区间上，再由函数式求值即可．15．在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A. ②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 【答案】②③ 【解析】试题分析：对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=对曲线(,)0f x y =表示同一曲线，其伴随曲线考点：1.新定义问题；2.曲线与方程.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16、（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.0.500.42（I）求直方图中的a值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.a ；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.04．【答案】（Ⅰ）0.30试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.13=36000.（Ⅲ）设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.考点：频率分布直方图、频率、频数的计算公式【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力.在频率分布直方图中，第个小矩形面积就是相应的频率或概率，所有小矩形面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．17、（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，12BC CD AD==.D CBAP（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（II）证明：平面PAB⊥平面PBD.【答案】（Ⅰ）取棱AD的中点M，证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析. 试题解析：M D CBAP（I）取棱AD的中点M(M∈平面P AD)，点M即为所求的一个点.理由如下：因为AD‖BC,BC=12AD，所以BC‖AM, 且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB.又AB⊂平面P AB,CM ⊄平面P AB,所以CM∥平面P AB.(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点) （II）由已知，P A⊥AB, P A⊥CD,因为AD∥BC,BC=12AD，所以直线AB与CD相交，所以P A⊥平面ABCD. 从而P A⊥BD.因为AD∥BC,BC=12 AD，所以BC∥MD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=12AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP=A,所以BD⊥平面P AB.又BD⊂平面PBD,所以平面P AB⊥平面PBD.考点：线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直.【名师点睛】本题考查线面平行、面面垂直的判断，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），证明面面垂直时，要证线面垂直，要善于从图形中观察有哪些线线垂直，从而可能有哪个线面垂直，确定要证哪个线线垂直，切忌不加思考，随便写．18、（本题满分12分）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B C a b c +=. （I ）证明：sin sin sin A B C =；（II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设sin a A =sin b B =sin c C =k (k >0)．则a =k sin A ，b =k sin B ，c =k sin C ．代入cos A a +cos B b =sin C c中，有 cos sin A k A +cos sin B k B =sin sin C k C，变形可得 sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B =sin(A +B )．在△ABC 中，由A +B +C =π，有sin(A +B )=sin(π–C )=sin C ，所以sin A sin B =sin C ．（Ⅱ）由已知，b 2+c 2–a 2=65bc ，根据余弦定理，有 cos A =2222b c a bc +-=35．所以sin A =45．由（Ⅰ），sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B ，所以45sin B =45cos B +35sin B ，故sin tan 4cos B B B ==．考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为180︒这个结论，否则难以得出结论．19、（本小题满分12分）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q >0，*n N ∈ . （Ⅰ）若2323,,a a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221n y x a -= 的离心率为n e ，且22e = ，求22212n e e e ++⋅⋅⋅+. 【答案】（Ⅰ）1=n n a q -；（Ⅱ）1(31)2n n +-.（Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到n e 的表达式，再由22e =解出q 的值，最后利用等比数列的求和公式求解计算.试题解析：（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?.又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ³都成立.所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列.从而1=n n a q -.由2323+a a a a ，，成等差数列，可得32232=a a a a ++，所以32=2,a a ，故=2q .所以1*2()n n a n -=?N.考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式【名师点睛】本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第（Ⅰ）问中，已知的是n S 的递推式，在与n S 的关系式中，经常用1n -代换n （2n ≥），然后两式相减，可得n a 的递推式，利用这种方法解题时要注意1a ；在第（Ⅱ）问中，按题意步步为营，认真计算．不需要多少解题技巧，符合文科生的特点．20、（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1)2P 在椭圆E 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角形的三个顶点可得2a b =，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用1)2P 在椭圆上，可解出b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）首先设出直线l 方程为12y x m =+，同时设交点1122(,),(,)A x y B x y ，把l 方程与椭圆方程联立后消去y 得x 的二次方程，利用根与系数关系，得1212,x x x x +，由M A M B ⋅214AB =求得MA MB ⋅（用m 表示），由OM 方程12y x =-具体地得出,C D 坐标，也可计算出MC MD ⋅，从而证得相等．试题解析：（I ）由已知，a =2b . 又椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点1)2P ，故2213414b b +=，解得21b =. 所以椭圆E 的方程是2214x y +=.所以25)(2)4MC MD m m m ⋅=-=-. 又222212*********[()()][()4]4416MA MB AB x x y y x x x x ⋅==-+-=+- 22255[44(22)](2)164m m m =--=-. 所以=MA MB MC MD ⋅⋅.考点：椭圆的标准方程及其几何性质.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把MA MB ⋅用12,x x 表示出来，并代入刚才的1212,x x x x +，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程．21、（本小题满分14分）设函数2()ln f x ax a x =--，1()xe g x x e =-，其中q R ∈，e=2.718…为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：当x ＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间（1，+∞）内恒成立.【答案】（1）当x ∈（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)∞时，'()f x >0，()f x 单调递增；（2）证明详见解析；（3）a ∈1+)2∞[，.（Ⅰ）的结论，缩小a 的范围，设()g x =111ex x --11x x e x xe ---，并设()s x =1e x x --，通过研究()s x 的单调性得1x >时，()0g x >，从而()0f x >，这样得出0a ≤不合题意，又102a <<时，()f x 的极小值点1x =>，且(1)0f f <=，也不合题意，从而12a ≥，此时考虑1211()2e x h x ax x x -¢=-+-得'()h x 2111x x x x>-+-0>，得此时()h x 单调递增，从而有()(1)0h x h >=，得出结论．试题解析：（I ）2121'()20).ax f x ax x x x-=-=>( 0a ≤当时， '()f x <0，()f x 在0+∞（，）内单调递减. 0a >当时，由'()f x =0，有x =当x ∈（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)∞时，'()f x >0，()f x 单调递增.因此()h x 在区间1+)∞（，单调递增.又因为(1)h =0，所以当1x >时，()h x =()f x -()g x >0，即()f x >()g x 恒成立.综上，a ∈1+)2∞[，.考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题．【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求'()f x ，解方程'()0f x =，再通过'()f x 的正负确定()f x 的单调性；要证明函数不等式()()f x g x >，一般证明()()f x g x -的最小值大于0，为此要研究函数()()()h x f x g x =-的单调性．本题中注意由于函数()h x 有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．。