1.1矩阵概念及运算

求 AB， BA 及AC .
解：
0 0 2 2 0 0 AB , BA , AC 0 0 2 2 0 0
1.1 矩阵的概念及其运算
练习：已知
1,0,,0,1 , A I T , B I 2 T ,
Omn、O 元素都为零的矩阵称为零矩阵，记作：
1.1 矩阵的概念及其运算
几种特殊的矩阵
a11 , a12 , , a1n
a11 a21 am 1 a12 a1n a22 a2 n n m am 2 amn
a11 0 i j aij 0 0
1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵乘法的运算法则 (3)矩阵乘法满足结合律和分配律
①
AB C A BC ; AB kA B A kB , 其中 k 为数； B C AB AC;
②k
③A
④
B C A BA CA.
1.1 矩阵的概念及其运算
1.1 矩阵的概念及其运算
若 A 和 B 可交换，则 A和B 为同阶方阵.
判断下述矩阵A、B是否可以交换
2 A 1 1 1 1 3 1 , B 2 0 2 1 1
不可交换
1.1 矩阵的概念及其运算
对角矩阵可与任意矩阵交换？？ 对角矩阵可与任意同阶方阵交换？？
n 1
1.1 矩阵的概念及其运算
a11 0 0
0 a22 0
0 0 ann
对角矩阵
diag a11 , a22 , , ann 记作：
a 0 0 0 a 0 0 0 a 1 0 0 0 1 0 0 0 1
a12 a22 0
0 a22 an 2
0 a22 0
a1n a2 n ann
0 0 ann
0 0 ann
m 1
a11 a21 a n1
与任意矩阵均可交换的矩阵不存在. 与任意方阵均可交换的矩阵只能是同阶数量矩阵. 任意两同阶对角矩阵可交换. 单位矩阵与任意同阶方阵可交换.
1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵乘法的运算法则
(2)矩阵乘法不满足消去律
① A O时，AB AC
B C；
② AB O
A O 或 B O；
③ A O 且 B O ，但 AB 未必不为 O . 判断：设 A Rmn , 若对任意矩阵 B Rn1 , 均有 AB 0, 则A为零矩阵。
求 AB与 BA .
解：
5 4 5 3 5 AB , BA 4 2 2 5 5 3 2 1
1.1 矩阵的概念及其运算
例1-3 设矩阵
1 1 1 1 1 0 A , B ,C , 1 1 1 1 1 0
称为
型矩阵。记作：
或
1.1 矩阵的概念及其运算
若矩阵 A和 B 的行数相同且列数也相同，则 称矩阵 A和 B 是同型矩阵，简称 A 和 B 同型。
若矩阵 A 和 B同型，并且其对应的元素 aij 和bij 都相等，则称 A 和B 相等，记作 A B 。 分 实矩阵——元素都是实数的矩阵； 类 复矩阵——元素都是复数的矩阵； 所有m n 型实矩阵的集合记作 R mn 。
1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵乘法
1.1 矩阵的概念及其运算
定义1-4
设
，
，规定矩阵 与 的
，其中
乘积是一个为 m n 型矩阵
记作
.
C的第(i,j)个元素为A的第i行与B的第j列 对应元素乘积之和
1.1 矩阵的概念及其运算
判断下面两个矩阵能否相乘
1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵乘积
矩阵乘法的 前提条件
并且5 X A B 4 A, 求 X .
8 解： 4 5 1 2 1 2 1 1 11 13 X 9 A B 9 1 1 2 4 5 5 5 5 1 3 1 3 8 6 5
特殊矩阵
矩 只有一行的矩阵称为行矩阵，1 n 型 阵 只有一列的矩阵称为列矩阵，m 1 型 的 型 n n 型矩阵称为n阶方阵
n阶方阵A中自左上角到右下角的直线称为A的主对角线，位于 主对角线上的元素称为A的对角元；自左下角到右上角的直线称 为A的副对角线。 对角元满足i=j，副对角线上元素满足i+j=n+1
1.1 矩阵的概念及其运算
定义1-3
数 与矩阵 的乘积规定为
kA Ak kaij
即数
m n
,
与矩阵 的
与矩阵 相乘就是把数
每个元素相乘。 数乘运算对每个元素都要作用。
1.1 矩阵的概念及其运算
4 4 2 2 2 6 2 3 1
3 4 1 4 3 12 5 4 5
a11 a 21 a m1
a11 a12 a1n i j a a22 a2 n 21 aij 0 an 2 ann a n1
i j a 11 aij 0 0 0
数量矩阵
单位矩阵
En、E、I 记作：
1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵的线性运算：加、减、数乘
定义1-2 设 ， ，规定矩阵 与
a12 b12 a1n b1n a22 b22 a2 n b2 n , am 2 bm 2 amn bmn
i j i j
1.1 矩阵的概念及其运算
补充结论
(1)
(2)
两个同阶下三角阵的乘积仍为同阶下三角阵； 两个同阶对角阵的乘积仍为同阶对角阵，即将两 个对角阵的对角元对应相乘。
1.1 矩阵的概念及其运算
线性方程组的矩阵形式
含有m个方程n个未知数的线性方程组称为 m n 型线 性方程组。
一 般 形 式
1.1 矩阵的概念及其运算
例1-5 设矩阵 A aij nn 和 B bij nn 都是上三角阵，
C AB ，证明 C 也是上三角阵，并且 C 的对
角元 cii aiibii
i 1, 2,, n .
1.1 矩阵的概念及其运算
证明：
a11 A aii
…….
H
实际例子：课程表
定义1-1 由
A的第 i 行 第 j 列元素
个数 aij i 1, 2,, m; j 1, 2,, n
a11 a21 am1 a12 a1n a22 a2 n am 2 amn
排成的 m 行 n 列的矩形数表
线性代数
董波
数学科学学院 dongbodlut@gmail.com 大黑楼B1113
考核方式
期末考试 期中考试 平时作业 上机实验
课程内容--矩阵
线性方程组（第3、5章） 向量组的线性相关性（4、6章） 正定性（第8章） 判断矩阵 行列式（第2章） 秩（第4章） 特征值（第7章） 概念（第1章） 运算 特殊矩阵 矩阵作用
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
a1n b11 b1 j ain B b jj ann
b1n b jn bnn
b1 j b jj 0 cij 0, , 0, aii , , ain 0 aii bii 0
的和为
a11 b11 a21 a21 A B am1 bm1
即两个矩阵的加法就是把他们对应的元素相加。 两同型矩阵才可进行加法运算。
1.1 矩阵的概念及其运算
负矩阵 令 矩阵的减法：
A B A B
即 与 对应的元素相减。
两同型矩阵才可进行减法运算。
T
求 AB， BA .
Байду номын сангаас 1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵乘法的运算法则 (1)矩阵乘法不满足交换律，即一般 AB BA. ① AB 可乘时， BA 不一定可乘； ②AB和BA都可乘时，其结果的类型不一定相同； ③即使 AB 和BA 的类型都相同，其中的元素不一 定相同； 若 AB BA ，则称矩阵 A 与 B 可交换.
例1-4 设矩阵
2 A 1,1, 1 , B 5 , 3
求 AB，BA 及 BA . 解： BA
20
20
BA BA B AB AB A AB BA
19
2 2 2 19 4 5 5 5 3 3 3
探索矩阵
了解矩阵
第一章 矩阵及其基本运算
1.1 矩阵的概念及其运算 1.2 向量与矩阵的分块 1.3 初等变换与初等阵
1.1 矩阵的概念及其运算
实际例子：工资单
基本工资 A B C D E 1000 1100 1200 1300 1400 2200 岗位补贴 1000 1500 2000 2500 3000 5000 房补 500 600 700 800 900 1300 车补 300 350 400 450 500 800 ………. 总和 2800 3550 4300 5050 6000 9300
元 素 的 值
上三角矩阵：对角线下方元素为0。
下三角矩阵：对角线上方元素为0。 对角矩阵：非对角元均为0。
a0 a11 12 11 a a22 21 0 a n1 n2 a0
a 0 1n a 2n 0 0 ann nn
矩阵 的列数 结果
矩阵 的行数
乘积矩阵 的行数 乘积矩阵 的列数 乘积矩阵 的 元素
矩阵 的行数 矩阵 的列数 矩阵 的第 行与
的第 列对应元素的乘积之和.
1.1 矩阵的概念及其运算
例1-2 已知
2 A 1 1 1 1 3 1 , B 2 0 , 2 1 1
矩阵乘法中的单位 矩阵 E 相当于数的 乘法中的1作用类似
Em Amn Amn En Amn
1.1 矩阵的概念及其运算
定义 设 是 阶方阵， 为正整数，把 个 叫做 的 次幂，记作 ，即 的连乘积
方阵的幂运算：
1.1 矩阵的概念及其运算
对于方阵A、B、E：
当AB=BA时成立。
1.1 矩阵的概念及其运算
1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵的加法和数与矩阵的乘法，统称为矩阵的 线性运算。 性质：交换律、结合律、分配律、消去律 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
1.1 矩阵的概念及其运算
例1-1
已知
1 2 A 1 1, 1 3 1 2 B 2 4, 1 3