九年级数学图形的相似(带答案)

第3章

图形的相似

【经典例题】

1.（2014湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则E 点的坐标为（ ）．

A ．(2，0)

B ．(23，2

3)

C ．(2，2)

D ．(2，2)

【解析】由已知得，E 点的坐标就是点A 坐标的2倍．

【答案】C

【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似．

2.(2014山东日照，8，3分)在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则

FD

BF

的值是（ ） A.21 B.31 C.4

1 D.51

解析：如图，由菱形ABCD 得AD ∥BE,，所以△BEF ∽△ADF, 又由EC =2BE ,得AD=BC=3BE ,故

FD BF =AD BE =3

1

. 解答：选B ．

点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键.

3.（2014·湖南省张家界市·10题·3分）已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为 ．

【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根.

【解答】ABC △与DEF △的相似比为

254=5

2. 【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方.

4.（2014山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高线CE 和BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）． 【解析】（１）由于∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE ∽△CDF 。由于∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF ∽△ACE 。 解：（1）在△BDE 和△CDF 中∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE ∽△CDF ． （2）在△ABF 和△ACE 中，∵∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF ∽△ACE ． 【答案】△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACE

【点评】本题考查相似三角形的判定方法．三角形相似的判定方法有，AA ，AAS 、ASA 、SAS 等．

5.(2014贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD=1，BC=3，△AOD 的面积为3，则△BOC 的面积为___________．

A B C

D

F E

（第6题）

y x

A

O

C

B

D E

F

【解析】由题意知AD ∥BC ，所以∠OAD=∠OCB ，∠ODA=∠OBC ，所以△OAD ∽△OCB ．又AD=1，BC=3，所以△OAD 与△OCB 的相似比为1:3，面积之比为1:9，而△AOD 的面积为3，所以△BOC 的面积为27． 【答案】27．

【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键． 6.（2014贵州遵义，7,3分）如图，在△ABC 中，EF∥BC，=，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（ ）

A ． 9

B ． 10

C ． 12

D ． 13

解析：

求出

的值，推出△AEF∽△ABC，得出

=，把S 四边形BCFE =8代入求出即可．

解：∵=， ∴

=

=，

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC， ∴

=

=，

∴9S △AEF =S △ABC ， ∵S 四边形BCFE =8，

∴9（S △ABC ﹣8）=S △ABC ， 解得：S △ABC =9． 故选A ．

答案： A

点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的

平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．

7.（2014南京市，15，2）如图，在平行四边形ABCD 中，AD=10厘米，CD=6厘米，E 为AD 上一点，且BE=BC,CE=CD ，则DE= 厘米.

解析：△BCE 与△CDE 均为等腰三角形，且两个底角

∠DEC=∠BCE ，∴△BCE ∽△CDE ，∴CD BC =DE

CE

, ∴

610=DE

6,∴DE=3.6厘米. 答案：3.6.

点评：在图形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长.

8.(2014山东日照，21，9分) 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点,连结AE ，作BF ⊥AE ，垂足为H ,交CD 于

F ,作C

G ∥AE ,交BF 于G .

(1)求证CG =BH ; (2)FC 2

=BF·GF ;

(3) 2

2AB FC =GB

GF .

解析：(1)可证△ABH ≌△BCG ；(2)证△CFG ∽△BFC 可得；(3)先证△B CG ∽△BFC 得BC 2

=BF·BG ,结合AB=BC 可得. 证明： （1）∵BF ⊥AE ，CG ∥AE , CG ⊥BF , ∴ CG ⊥BF .

∵在正方形ABCD 中，∠ABH+∠CBG =90o

, ∠CBG+∠BCG =90o

,

∠BAH+∠ABH =90o

,

∴∠BAH=∠CBG, ∠ABH=∠BCG,

AB=BC,

∴△ABH ≌△BCG , ∴CG=BH ;

(2) ∵∠BFC=∠CFG, ∠BCF=∠CGF=90 o

,

∴△CFG ∽△BFC , ∴

FC

GF

BF FC =, 即FC 2=BF ·GF ;

(3) 由（2）可知，BC 2

=BG ·BF , ∵AB=BC ,

∴AB 2

=BG ·BF ,

∴22BC FC =BF BG BF FG ••=BG FG 即2

2AB

FC =GB GF 点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等（或相似）三

角形，并找到三角形全等（或相似）的条件.

9.(2014海南省，12，3分）12、如图3，在△ABC 中，∠ACB=0

90，CD ⊥AB ，于点D ，则图中相似三角形共有（ ） A 、1对 B 、2对 C 、3对 D 、4对

【解题思路】由射影定理可知图中相似三角形共有三对：△BDC ～△BCA ～△CDA 【答案】C ．

【点评】本题主要考查相似三角形基本图形中的一种，也是很重要的一种：射影定理。难度中等。

10． （2014四川内江，11，3分）如图，在等边三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE =60°，

BD =4，CE =

34

，则△ABC 的面积是（ ） A ．83 B ．15

C ．93

D ．123

A

F