因式分解-平方差公式法
平方差公式在因式分解中的五种表现(1)
平方差公式在因式分解中的五种表现应用平方差公式，把多项式进行分解因式的方法，就叫做平方差公式法。
公式表述为：a2- b2=（a+b）（a-b）。
应用平方差公式满足的条件：等式的左边是一个两项多项式，并且构成这个多项式的两个单项式之间是作减法运算；等式的右边一个因式是等式左边两个平方幂的底数的和，另一个因式是等式左边两个平方幂的底数的差。
1直接应用例1、分解因式：24x-=．（2008年贵阳市）分析：左边是两个单项式的差，关键是把数字4写成22，这样，左边就变形为x2- 22，这样，就和公式一致了。
解:：x2-4=x2- 22=（x+2）（x-2）。
2、提后用公式例2、分解因式：3x2-27= ．（08茂名）分析：在分解因式时，先考虑提公因式，后考虑用平方差公式法。
解：3x2-27=3（x2-9）=3（x2- 32）=3（x+3）（x-3）。
3、变化指数后用公式例3、248-1能被60和70之间的两个数整除。
这两个数各是多少？分析因为，48=2×24，所以，248=（22）24=（224）2，这样，就满足了平方差公式的要求了。
解：因为，48=2×24，所以，248=（22）24=（224）2，所以，248-1=（224）2-（1）2=（224+1）（224-1）=（224+1）（224-1）=（224+1）【（212）2-（1）2】=（224+1）【（212+1）（212-1）】=（224+1）（212+1）【（26）2-（1）2】=（224+1）（212+1）【（26+1）（26-1）】=（224+1）（212+1）（26+1）【（23）2-（1）2】=（224+1）（212+1）（26+1）【（23+1）（23-1）】=（224+1）（212+1）（26+1）×9×7=（224+1）（212+1）（26+1）×65×63因为，整除的两个数在60和70之间，且60＜63＜70，60＜65＜70，所以，这两个数分别是63、65。
因式分解之四大基本解法
因式分解之四大基本解法知识锦囊经典例题【必会考点1】提取公因式1．因式分解：2281012x y xy --【解答】解：原式222(456)x y xy =--2(43)(2)xy xy =+-．2．因式分解：324824m m m -+-．【解答】解：32248244(26)m m m m m m -+-=--+．3．因式分解：325()10()x y y x -+-．【解答】解：325()10()x y y x -+-325()10()x y x y =-+-25()[()2]x y x y =--+25()(2)x y x y =--+．4．因式分解：3()3()a x y b y x ---．【解答】解：3()3()a x y b y x ---3()3()a x y b x y =-+-3()()x y a b =-+．【必会考点2】公式法1．因式分解：（1）22169x y - （2）22222()4x y x y +-． 【解答】解：（1）原式22(4)(3)(43)(43)x y x y x y =-=+-；（2）原式222222(2)(2)()()x y xy x y xy x y x y =+++-=+-．2．分解因式：22(23)m m -+．【解答】解：原式(23)(23)m m m m =++--(33)(3)m m =+--3(1)(3)m m =-++．3．因式分解：2()6()9x y y x -+-+【解答】解：2()6()9x y y x -+-+2()6()9x y x y =---+2(3)x y =--．【必会考点3】提取公因式与公式法综合1．因式分解：（1）2x xy -； （2）329189x x x -+； 【解答】解：（1）22(1)(1)(1)x xy x y x y y -=-=+-；（2）322291899(21)9(1)x x x x x x x x -+=-+=-；2．因式分解：（1）244am am a -+； （2）22()()a x y b y x -+-． 【解答】解：（1）22242(44)(2)am am a a m m a m -+=-+=-；（2）2222()()()()()()()a x y b y x x y a b x y a b a b -+-=--=-+-．【必会考点3】分组分解法1．因式分解：2m my mx yx -+- 【解答】解：（3）2m my mx yx -+-2()()m my mx yx =-+-()()m m y x m y =-+-()()m y m x =-+.2．因式分解：2221b bc c -+-【解答】解：2221b bc c -+-2()1b c =--(1)(1)b c b c =-+--．【必会考点4】十字相乘法1．因式分解：（1）256x x +- （2）2234a ab b -- 【解答】解：（1）256(1)(6)x x x x +-=-+（2）2234a ab b --(4)()a b a b =-+．2．分解因式：2231x x -+【解答】解：2231(1)(21)x x x x -+=--.巩固练习1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．2．分解因式：（1）()()x x a y a x -+- （2）321025x y x y xy -+3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +-4．分解因式：222(4)16m m +-．5．分解因式（1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--．6．因式分解：22436x xy x y -+-7．因式分解：22144a ab b -+-8．分解因式（1）2249x y - （2）2221x y y -+-9．分解因式：22221x y x y -+-．10．分解因式①226x x -- ②332x x -+11．分解因式：2228x xy y --．12．十字相乘法因式分解：（1）256x x ++ （2）256x x --（3）2231x x -+ （4）2656x x +-．13．因式分解：（1）23a b b -； （2）1n m mn -+-；（3）2221x x y -+-； （4）2()()()x y x y x y -++-14．把下列各式分解因式：（1）225x -； （2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+； （4）3222a a b ab -+-．15．因式分解：（1）236x xy x -+； （2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．巩固练习解析1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．【解答】解：（1）2()3()m a b n b a --- 2()3()m a b n a b =-+- ()(23)a b m n =-+；（2）2282()x x y --222[4()]x x y =-- 2(3)()x y x y =-+．2．（1）分解因式()()x x a y a x -+- （2）分解因式321025x y x y xy -+ 【解答】（1）解：()()x x a y a x -+- (x =x a -)(y -x a -) (=x a -)(x y -)；（2）解：321025x y x y xy -+ (xy =21025)x x -+ (xy =25)x -．3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +- 【解答】解：原式322(57)a bc a b c ab =+-； 4．分解因式：222(4)16m m +-． 【解答】解：222(4)16m m +-22(44)(44)m m m m =+++- 22(2)(2)m m =+-．5．分解因式 （1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--． 【解答】解：（1）222(1)4a a +-22(12)(12)a a a a =+++- 2(1)a =+2(1)a -； （2）229()25()a b a b +--[3()5()][3()5()]a b a b a b a b +=+--+- .4(4)(4)a b b a =--．6．因式分解：22436x xy x y -+- 【解答】解：原式2(2)3(2)x x y x y =-+- (2)(23)x y x =-+．7．22144a ab b -+-【解答】解：22144a ab b -+-221(44)a ab b =--+ 21(2)a b =--(12)(12)a b a b =+--+．8．分解因式 （1）2249x y - （2）2221x y y -+-【解答】解：（1）原式(23)(23)x y x y =-+； （2）原式22(21)x y y =--+22(1)x y =--(1)(1)x y x y =+--+．9．分解因式：22221x y x y -+-．【解答】解：原式222222(1)1(1)(1)(1)(1)(1)x y y y x y y x =-+-=-+=+-+． 10．分解因式 ①226x x -- ②332x x -+【解答】解：①226(23)(2)x x x x --=+-； ②332x x -+ 342x x x =-++ (2)(2)(2)x x x x =+-++2(2)(21)x x x =+-+ 2(2)(1)x x =+-．11．分解因式：2228x xy y --． 【解答】解：2228x xy y -- (4)(2)x y x y =-+．12．十字相乘法因式分解： （1）256x x ++ （2）256x x -- （3）2231x x -+ （4）2656x x +-．【解答】解：（1）原式(2)(3)x x =++； （2）原式(6)(1)x x =-+； （3）原式(21)(1)x x =--； （4）原式(23)(32)x x =+-． 13．因式分解： （1）23a b b -； （2）1n m mn -+-； （3）2221x x y -+-；（4）2()()()x y x y x y -++-【解答】解：（1）原式22()()()b a b b a b a b =-=-+；（2）原式(1)()(1)(1)(1)(1)n m mn n m n m n =-+-=-+-=+-；（3）原式2222(21)(1)(1)(1)x x y x y x y x y =-+-=--=---+；（4）原式()()2()x y x y x y x x y =--++=-．14．把下列各式分解因式：（1）225x -；（2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+；（4）3222a a b ab -+-．【解答】解：（1）原式(5)(5)x x =+-；（2）原式2(4)a =-；（3）原式2()(9)x y x =+-()(3)(3)x y x x =++-；（4）原式22(2)a a ab b =--+2()a a b =--．15．因式分解：（1）236x xy x -+；（2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．【解答】解：（1）236(361)x xy x x x y -+=-+；（2）322416284(47)m m m m m m -+-=--+；（3）23218()12()6()(322)a b b a a b a b ---=-+-．。
因式分解-平方差公式
如何使用公式进行因式分解
1
Step 1
确定二次方差式的形式，即是否是差的平方。
2
Step 2
分别用括号包裹两个平方式，并添加正负号。
3
Step 3
检查分解后的乘积是否与原来的二次方差式一致。
练习题
练习题 1
因式分解 $x^2 - 9$
练习题 2
因式分解 $4m^2 - 25n^2$
练习题 3
因式分解 $49a^2 - 16b^2$
公式的使用场景
解因式分解题
平方差公式可以用于解因式分解题，将一个二 次方差式分解成两个平方式的乘积。
简化运算
使用平方差公式可以简化运算过程，使复杂的 计算更加简单易懂。
例题演示
题目 因式分解 $x^2 - 4$ 因式分解 $9y^2 - 16$ 因式分解 $16a^2 - 25b^2$
解答 $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$ $9y^2 - 16 = (3y + 4)(3y - 4)$ $16a^2 - 25b^2 = (4a + 5b)(4a - 5b)$
总结和要点
1 总结
平方差公式是一种用于将二次方差式分解的 数学公式。
2 要点
使用平方差公式时，需要注意识别差的平方 形式，并正确进行因式分解。
因式分解-平方差公式
因式分解-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方差公式是数学中常用的一个公式，用于将一个二次方差式分解 成两个平方式的乘积。
公式介绍
平方差公式表示为：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
公式的定义和含义
1 定义
平方差公式是一种用于分解二次方差式的数 学公式。
利用平方差公式进行因式分解
利用平方差公式进行因式分解平方差公式是代数学中的一个重要公式，用于将一个数或表达式的平方差拆分成两个平方的和或差。
利用平方差公式进行因式分解，我们可以简化复杂的表达式，使其更易于计算和理解。
平方差公式的一般形式为：a^2-b^2=(a+b)(a-b)其中，a和b可以是任意实数或变量。
根据这个公式，我们可以将一个平方差的表达式(a^2-b^2)因式分解成两个因子的乘积(a+b)和(a-b)。
下面我们通过一些例子来具体说明如何利用平方差公式进行因式分解。
例子1：将表达式x^2-4因式分解。
根据平方差公式，我们可以将x^2-4写成两个因子的乘积形式：x^2-4=(x+2)(x-2)这样，我们就成功地将x^2-4因式分解成了(x+2)和(x-2)两个因子的乘积。
例子2：将表达式9a^2-16因式分解。
同样地，我们可以利用平方差公式将表达式9a^2-16因式分解：9a^2-16=(3a+4)(3a-4)这里，我们得到了(3a+4)和(3a-4)两个因子的乘积形式。
例子3：将表达式4x^2y^2-25因式分解。
对于这个表达式，我们需要注意到其中的变量有两个，即x和y。
根据平方差公式，我们可以看到4x^2y^2可以看作(2xy)^2，而25可以看作5^2所以，我们可以将表达式4x^2y^2-25因式分解为：4x^2y^2 - 25 = (2xy + 5)(2xy - 5)这样，我们将表达式成功地因式分解成了(2xy + 5)和(2xy - 5)两个因子的乘积。
以上是针对一些简单的表达式的因式分解示例。
实际上，平方差公式可适用于更加复杂的表达式。
通过应用平方差公式，我们可以将多项式、多变量的表达式或更多项的表达式因式分解成更简单的形式，从而更好地理解和计算。
在实际应用中，利用平方差公式进行因式分解也十分常见，特别是在解决方程、化简代数表达式或进行变量替换时。
总结起来，通过利用平方差公式进行因式分解，我们可以将一个数或表达式的平方差拆分成两个平方的和或差，从而简化复杂的代数表达式，使其更易于计算和理解。
2020年八年级数学下册因式分解专题02 平方差公式(提升教师版)
专题02 平方差公式（提升版）【典型例题】类型一、公式法——平方差公式 例1、分解因式：（1）； （2）； （3）．【思路点拨】（1）把看做整体，变形为后分解．（2）可写成，可写成，和分别相当于公式里的和．（3）把、看作一个整体进行分解． 【答案与解析】解：（1）． （2）．（3）．【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式. 举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）； （2）（3）； （4）；【答案】解：（1）原式（2）原式＝2()4x y +-2216()25()a b a b --+22(2)(21)x x +--x y +22()2x y +-216()a b -2[4()]a b -225()a b +2[5()]a b +4()a b -5()a b +a b (2)x +(21)x -222()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+(9)(9)a b a b =+--(9)(9)a b a b =-++22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--(31)(3)x x =+-()()22259a b a b +--()22234x y x --33x y xy -+32436x xy -()()()()5353a b a b a b a b =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()8228444a b a b a b a b =++=++()()232232x y x x y x -+--＝ （3）原式 （4）原式例2、分解因式： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案与解析】 解：（1）． （2）．（3）． （4）．【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式分解．（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止． 举一反三：【变式】先化简，再求值：（2a +3b ）2﹣（2a ﹣3b ）2，其中a =．【答案】解：原式=（2a +3b +2a ﹣3b ）（2a +3b ﹣2a +3b ） =4a ×6b =24ab ，当a =，即ab =时，原式=24ab =4． 类型二、平方差公式的应用例3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x 4﹣y 4=（x ﹣y ）（x +y ）（x 2+y 2），当x =9，y =9时，x ﹣y =0，x +y =18，x 2+y 2=162，则密码018162．对于多项式4x 3﹣xy 2，取x =10，y =10，用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式4x 3﹣xy 2进行因式分解，得到4x 3﹣xy 2=x （2x +y ）（2x ﹣y ），然后把x =10，y =10代入，分别计算出2x +y =及2x ﹣y 的值，从而得出密码． 【答案与解析】解：原式=x （4x 2﹣y 2）=x （2x +y ）（2x ﹣y ）， 当x =10，y =10时，x =10，2x +y =30，2x ﹣y =10，故密码为103010或101030或301010．【总结升华】本题是中考中的新题型，考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．()343y x y --()()()22xy x y xy x y x y =--=-+-()()()2249433x x y x x y x y =-=+-2128x -+33a b ab -516x x -2(1)(1)a b a -+-221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-例4、阅读下面的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=（28﹣1）．根据上式的计算方法，请计算：（1）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．【思路点拨】（1）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．【答案与解析】解：（1）原式=2（1﹣）（1+）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）…（1+）=2（1﹣）=；（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（364﹣1）﹣=﹣．【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．同步练习一.选择题1．分解因式：16﹣x 2=（ ）A ．（4﹣x ）（4+x ）B ．（x ﹣4）（x +4）C ．（8+x ）（8﹣x ）D ．（4﹣x ）22.下列多项式相乘，不能用平方差公式的是（ ） A.（﹣2y ﹣x ）（x +2y ） B.（x ﹣2y ）（﹣x ﹣2y ）C.（x ﹣2y ）（2y +x ）D.（2y ﹣x ）（﹣x ﹣2y ）3. 下列因式分解正确的是( ).A. B.C.D. 4. 下列各式，其中因式分解正确的是（ ） ①；② ③ ④ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5. 若能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ） A ．61，63 B ．61，65 C ．63，65 D ．63，676. 乘积应等于（ ） A ．B ．C ．D ．二.填空题 7. ； .8. 若，将分解因式为__________.9. 分解因式：_________.10. 若，则是_________.11.若A =（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则A 的末位数字是 ． 12.已知|x ﹣y +2|+=0，则x 2﹣y 2的值为 ．三.解答题13. 用简便方法计算下列各式：（1） －1998×2000 （2） （3）()()2292323a b a b a b -+=+-()()5422228199a ab a a bab -=+-()()2112121222a a a -=+-()()22436223x y x y x y x y ---=-+-22933422x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2933x x x -=-+()()()()2212121m n m n m n +--+=+-()()()()2294252a b a c a b c a b c +-+=+-++4821-22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5121211202311_________m m aa +--=()2211x x x --+=)2|4|50m -+=22mx ny -2121()()=m m p q q p +--+-()()()216422nx xx x -=++-n 219992253566465⨯-⨯222222221009998979695......21-+-+-++-14.已知（2a +2b +3）（2a +2b ﹣3）=72，求a +b 的值．15.设，，……，（为大于0的自然数）.（1）探究是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出，，……，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数.【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】A ；【解析】16﹣x 2=（4﹣x ）（4+x ）．2. 【答案】A ；【解析】解：A 、两项都是互为相反数，不符合平方差公式．B 、C 、D 中的两项都是一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式．故选：A ．3. 【答案】C ；【解析】；；. 4. 【答案】C ；【解析】①②③正确. . 5. 【答案】C ；【解析】6. 【答案】C ； 【解析】 22131a =-22253a =-()()222121n a n n =+--n n a 1a 2a n a n n a ()()22933a b b a b a -+=+-()()()()()542222228199933a ab a a bab a a b a b a b -=+-=++-()()()()()224362232223x y x y x y x y x y x y x y ---=+--+=+--()()()()229433223322a b a c a b a c a b a c +-+=++++--()()53232a b c a b c =+++-()()()()()482424241212212121212121-=+-=++-()()()()()()24126624122121212121216563=+++-=++⨯⨯22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭二.填空题 7. 【答案】；【解析】.8. 【答案】；【解析】.9. 【答案】；【解析】原式＝. 10.【答案】4； 【解析】.11.【答案】6；【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1， =（24﹣1）（24+1）（28+1）+1， =（28﹣1）（28+1）+1， =216﹣1+1，=216因为216的末位数字是6， 所以原式末位数字是6．12. 【答案】-4；【解析】∵|x ﹣y +2|+=0，∴x ﹣y +2=0，x +y ﹣2=0，∴x ﹣y =﹣2，x +y =2，∴x 2﹣y 2=（x ﹣y ）（x +y ）=﹣4． 三.解答题 13.【解析】解：（1）－1998×2000 ＝（2）111111111111 (11112233991010314253108119) (2233449910101111121020)⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=()()111m aa a -+-()()211x x -+()()()()()()()22222211111111x x x x x x x x x x --+=---=--=-+()()2525x y x y +-4,25,m n ==()()222525mx ny x y x y -=+-21()(1)(1)m p q p q p q ---+--()22121()1()(1)(1)m m p q p q p q p q p q --⎡⎤---=--+--⎣⎦()()()()()22244224416x x x x x x++-=+-=-21999()()222199919991199911999199911--+=-+=()2222535664656535465⨯-⨯=-（3）14.【解析】解：已知等式变形得：[2（a +b ）+3][2（a +b ）﹣3]=72，即4（a +b ）2﹣9=72， 整理得：（a +b ）2=，开方得：a +b =±． 15.【解析】解：（1） 又为非零的自然数， ∴是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数. （2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．为一个完全平方数的2倍时，为完全平方数.()()65354655354656100070420000=+-=⨯⨯=222222221009998979695......21-+-+-++-()()()()()()100991009998979897......2121100999897 (21)5050=+-++-+++-=++++++=()()222121(2121)(2121)8n a n n n n n n n =+--=++-+-+=n n a n n a学法指导: 怎样学好数学☆人生是一种体验，一种经历，一种探索，一种生活，而人生目标，则是一种自我的设定。
人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
运用平方差公式因式分解
运用平方差公式因式分解因式分解是数学中的一个重要工具，而平方差公式在因式分解中更是有着广泛的应用。
今天咱们就来好好聊聊运用平方差公式因式分解这个有趣的话题。
先让咱们复习一下啥是平方差公式。
平方差公式就是：a² - b² = (a + b)(a - b) 。
这看起来挺简单，对吧？但要用好它来进行因式分解，可得下点功夫。
比如说，给你一个式子 x² - 9 ，你能马上想到用平方差公式吗？答案是肯定的！因为 9 可以写成 3²，所以 x² - 9 就可以写成 x² - 3²，然后根据平方差公式，就能分解为 (x + 3)(x - 3) 。
我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个学生特别有意思。
当时我在黑板上出了一道题：4x² - 25 。
大部分同学都很快反应过来，这就是 (2x)² - 5²，然后分解为 (2x + 5)(2x - 5) 。
但有个小迷糊，一直皱着眉头苦思冥想。
我走过去问他咋啦，他一脸困惑地说：“老师，我总觉得这式子看着别扭，不知道从哪儿下手。
”我笑着给他指了指，“你看，4x²不就是 (2x)²，25 不就是 5²嘛，这不就符合平方差公式啦。
”听我这么一说，他恍然大悟，一拍脑门，“哎呀，我咋这么笨呢！”后来啊，他做这类题可积极了，每次都抢着回答。
咱们再来看一些复杂点的例子。
像 9(m + n)² - (m - n)²，这可不能直接用平方差公式，得先变形。
9(m + n)²可以写成 [3(m + n)]²，然后这式子就变成了 [3(m + n)]² - (m - n)²，这下就能用平方差公式啦，分解为 [3(m + n) + (m - n)][3(m + n) - (m - n)] ，经过去括号、合并同类项，最终得到 (4m + 2n)(2m + 4n) ，还可以继续化简为 4(2m + n)(m + 2n) 。
因式分解法的公式法
因式分解法的公式法因式分解法中的公式法，那可是数学世界里的一把神奇钥匙！咱先来说说啥是公式法。
简单来讲，就是利用一些固定的公式来把一个多项式分解成几个整式乘积的形式。
这就好像我们有一把专门的钥匙，能打开特定类型的锁一样。
常见的公式有平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²；还有完全平方公式：(a ± b)² = a² ± 2ab + b²。
就拿平方差公式来说吧，我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学瞪着大眼睛一脸迷茫地问我：“老师，这到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想看，假如我们要计算一个很大很大的数，比如 9999² - 1²，如果直接算是不是很麻烦？但用平方差公式，就可以写成(9999 + 1)×(9999 - 1)，一下子就简单多啦！”这小同学听完，眼睛一下子亮了起来，好像发现了新大陆。
完全平方公式也很有意思。
比如说 x² + 6x + 9 ，我们一看，这就是一个完全平方的形式，可以直接写成 (x + 3)²。
在实际解题中，公式法可帮了大忙。
比如说遇到这样一个式子：4x²- 25 ，那我们马上就能想到这是平方差的形式，4x²可以写成 (2x)²，25 就是 5²，所以就能分解为 (2x + 5)(2x - 5) 。
再比如说 9y² - 12y + 4 ，这不就是 (3y - 2)²嘛。
不过，同学们在运用公式法的时候，可一定要小心仔细，要看清楚式子的结构，别张冠李戴啦。
我还发现，有些同学一开始总是容易混淆这两个公式，不是记错了符号，就是搞混了形式。
这时候可别着急，多做几道练习题，慢慢就能找到感觉了。
就像有一次考试，有一道题是分解 x² - 4xy + 4y²，不少同学写成了(x - 2y)(x + 2y) ，这可就错啦，应该是 (x - 2y)²。
因式分解平方差公式法课件PPT
课程 在这里,我想讲几点最关键的策略,以帮助教师在课堂上合理安排学 生活动。今天,我们的主题简短、明确并易于实践。 目标如下: (1)帮助教师了解当学生没有事情可做时,会出现什么状况; (2)给教师提供几个规划课堂的好方法首先,以这几个问题开始
●你是否曾经在给学生布置任务时,要求所有人在同样的时间里 完成? 你是否曾注意到,布置任务时要求的时间越长,有些学生磨蹭的时间 就越长?
分解因式
＝(2x+mn)(2x-mn)
把下列各式分解因式
变式：－25x2 ＋1
法一：
法二：
原式＝＋1 －25x2 原式＝－( 25x2 -1 )
（前后两项利用加法 (把各项先提出一个“负
交换律交换位置） 号＝”)－[(5x)2－12]
＝12－(5x)2
＝－(5x＋1)(5x－1)
＝(1+5x)(1-5x)
是的,教学是一件很费心思的事情,世界上不可能存在一 种万能的教学方法,至少我还没听说过那些低效的教师 在课堂上往往只是简单地给全体学生布置一项任务(而 且很可能没有仔细考虑自己布置的任务是不是学生感兴 趣的或是需要的),然后要求学生用二十分钟完成。同样, 不用亲历现场你也能猜到,有些学生五分钟就能完成任 务,而这段时间里还有些学生甚至都没有开始,总有些学 生无法在二十分钟内完成任务因此,这个二十分钟的规 定会带来课堂纪律的问题。教师需要不断提醒学生集中 注意力,但有的学生会抱怨自己还没听懂,而那些提前完 成的学生则会感到无聊,并且着急地等着新任务。
4.每次在课堂上给学生布置任务时,要事先想好如何应对 那些很快就完成任务的学生。同时,要注意提醒那些动作 缓慢,迟迟没有动手的学生。
5.做好准备。备课时就要准备妤课堂材料。这样,在讲 课的时候,才能顺利地从一个主题过渡到下一个主题,不会 因冷场而出现空闲时间。
因式分解——平方差公式法
(1) a 4b
(2) 4a b
(3) a ( b)
(3)看符号，两项的符号相反
探究点二
分解因式(直接用平方差公式)
(1) x 1;
2
(2) x 16;
4
1 2 (3) a b ; 4
2
(4) (a b) (b c) .
2 2
探究点三
分解因式（先提出公因式，再套公式）
因式分解
-----平方差公式法
预习回馈
1. 找公因式和提公因式法分解因式的步骤 2. 运用乘法公式填空：
(1)(2 x 3 y)(2 x 3 y) (2)(ab 5)(ab 5)
上述等式左右两边互换位置，又是什么形式呢？
探究点一
公式法：将乘法公式反过来，对多项式进 行因式分解的方法 称为公式法。 平方差公式: a 2 b2 (a b)(a b) 。
(1) x x ;
5 3
(2) 8 x 2 y ;
2 2
(3) x 9 x ;
4 2
(4) (a b) 4(a b) .
3
探究点四 知识应用
计算： 999 1000
2 2
探究点五 能力提升
1 1 1 1 (1 计算： 2 )(1 2 )(1 2 ) L L (1 2 ) 2 3 4 10
(5)0.25 a 2 n ( ) 2
2 . 下列多项式可以用平方差公式Байду номын сангаас解 因式吗？ 判断的依据： 2 2 2 2 2 2
(1)看项数， 是一个二项式（或可看成 1 2 2 2 (4) 4 a (5) 4 a (6) x 一个二项式） 4
因式分解的五个公式
因式分解的五个公式导读a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a& ...因式分解有哪些公式?因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)推导过程：a²-b²=a²+ab-(b²+ab)=a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)说明：这里推导过程使用了后面的课程添项折项法（添项），这个因式分解添加了ab一项，构造了a+b的公因式，同学们也可以自己试试，添加-ab，也是一样的。
应该问哪些方法！常见的有：（1）提取公因式法（2）公式法（3）十字相乘法（4）分组分解法……因式分解的方法因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1.因式分解因子是多项式的常数变形，要求方程的左边必须是多项式。
15.4.2因式分解之平方差公式法
15.4.2因式分解之平方差公式法学习目标1. 使学生进一步理解因式分解的意义；2. 使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征；3. 会运用平方差公式分解因式.学习重点 用平方差公式法进行因式分解.一、自主学习1、分解因式2、试一试：你能将下列各式分解因式吗？你是怎样想到的？（1）x 2-4 (2)y 2-25二、创设情境★试一试1. 992－1是100的整数倍吗？2. 和老师比一比，看谁算的又快又准确： ①572－562 ②962－952 ③(1725)2－(825)2. ★做一做：整式乘法乘法公式：两数和乘以这两数差：即： (a +b )(a －b )=a 2－b 2从左到右是整式的乘法，把这个等式反过来就是_________________________将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解，这种因式分解方法称为_______.★议一议：下列多项式可以用平方差公式分解吗？（1）x 2－y 2 （2）x 2+y 2 （3）－x 2－y 2（4）－x 2+y 2 （5）64－a 2 （6）4x 2－9y 2总结平方差公式的特点：1.左边是 项式，每项都是 的形式，两项的符号 .2.右边是两个多项式的积，一个因式是两数的 ，另一个因式是这两数的 。
三、学以致用例1.依葫芦画瓢：（体验用平方差公式分解因式的过程）（1）x 2－4＝x 2－22＝(x ＋2)(x －2) （2）x 2－16 ＝( )2－( )2＝ ( )( ) （3）9－y 2＝( )2－( )2＝ ( )( )（4）1－a 2 ＝( )2－( )2＝ ( )( )例2.把下列多项式分解因式：（1） 36－25x 2 （2） 16a 2－9b 2 （3）49m 2－0.01n 2例3.观察公式a 2－b 2 =(a +b )(a －b )，你能抓住它的特征吗？公式中的字母a 、b不仅可以表示数，而且都可以表示代数式.尝试把下列各式分解因式（1）(x ＋p )2－(x ＋q )2 （2）16(m －n )2－9(m ＋n )2 （3）9x 2－(x －2y ) 2例4.把下列各式分解因式（1）4a 2－16 （2）a 5－a 3 （3）x 4－y 4 （4）32a 3－50ab 2一句话点评： .趁热打铁：1. 分解因式：2．下列分解因式是否正确：（1）－x 2－y 2=(x ＋y )(x －y ) （2）9－25a 2=(9+25a )(9－25a )（3）－4a 2+9b 2=(－2a ＋3b )(－2a －3b )3.把下列各式分解因式：（1）4a 2－(b ＋c )2 （2）(3m ＋2n )2－(m －n )2（3）(4x －3y )2－16y 2 （4）－4(x ＋2y )2＋9(2x －y )2课外延伸一.把下列各式分解因式二.运用简便方法计算（1）4920072- （2）433.1922.122⨯-⨯。
湘教版七年级下册数学《公式法—平方差公式因式分解》PPT课件
25x2 -4y2 =(5x)2 -(2y)2 =(5x+2y)(5x-2y)
a2-b2=(a+b)(a-b)
因为25x2 可以写成(5x)2 , 4y2 可以写成(2y)2,
所以能用平方差公式分解。
巩固练习
1.填空：
（1）9y2=(±3y )2（2）36 x2 =（ 6 x ）2
25
5
（3）9 t 2 （ 3 t ）2
4
2
例2 把(x+y)2-(x-z)2因式分解.
a=x+y，b=x-z
(x+y)2-(x-z)2 =[(x+y+x-z)][(x+y-x+z)]
a2-b2=(a+b)(a-b)
=(2x+y-z)(y+z)
例3 把x4-y4因式分解.
x4-y4
a=x2，b=y2
=(x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2) (x+y)(x-y)
3.3 公 式 法
第一课时 用平方差公式因式分解
复习导入
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将 它分解因式吗？
1.平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
从左边到右边的这个过程叫_整__式___乘__法___.
2、反过来，a2-b2=__(_a_+__b_)_(_a_-.b) 从右边到左边的这个过程叫_因__式___分__解___.
在因式分解 时，必须进行到 每一个因式都不 能分解为止.
例4 把x3y2-x5因式分解.
x3y2-x5 =x3(y2-x2) ……提取公因式x3 =x3(y+x)(y-x) ……因式分解
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因式分解练习：
(1)x2-25; (2)9x2-y2
(3)25-16x2;
(5)a5-a (7) (a+b)2-1;
(4)9a2-
1 2 b 4
(6) 2x3-8x (8)(a-1)+b2(1-a)
(9) 9(m+n)2-(m-n)2
探 索 练 习 ：
1、下列多项式可以用平方差公式去 分解因式吗？ (1) 4x2+y2 (2) 4x2－y2 (3) －4x2－y2
不可以 可 以 不可以 可 以 可 以
(4) y2－4x2
(5) a2－4
因式分解的平方差公式：
a² - b²
= (a+b) (a-b)
具备什么特征的多项式是平方差式？ 。
你们能快速计算：
2;25)(75-25）
a2- b2=(a + b)( a - b) 数字变字母：
总结： 利用平方差公式的逆运算—→分解因式
用平方差公式 进行因式分解
1、探索能用平方差公式进行因 式分解的多项式特征。
2、正确熟练运用平方差公式进 行分解因式。
4x2-y2= ( 2x+y )( 2x-y ) a2- b2 =(a +b) (a - b)
因式分解的平方差公式：
两个因式的积 的形式
a² - b²
两个数(式)的平方差
= (a+b) (a-b)
与 这两数(式)的和 这两数(式)的差的积。
公式中的a，b可以是单独的数字 、 字母 ， 也可以是 单项式 、 多项式 。
复 1:什么叫多项式的因式分解? 习 把一个多项式化为几个整式乘积的形 式，叫做多项式的因式分解 回 顾2、判断下列变形过程，哪些是因式分解？ （× ） ： (1) (x+2)(x-2)=x - 4
2
(2) x2- 4+3x=(x+2)(x-2)+3x （ ×）
(3) 7m-7n-7=7(m-n-1) (4) 4x2- 9 =(2x+3)(2x- 3 ) （√ ） （ √ ）
把下列各式分解因式 变式：－25x2 ＋1
法一： 法二：
原式＝＋1 －25x2 （前后两项利用加法 交换律交换位置）
原式＝－( 25x2
-1 )
＝12－(5x)2 ＝(1+5x)(1-5x)
(把各项先提出一个“负 号”) ＝－[(5x)2－12]
＝－(5x＋1)(5x－1)
例3：分解因式: (1) x5－x3
1
：
1.能用平方差公式分解因式的多项式特点。 2.若多项式中有公因式，应先考虑提取公因式， 然后再进一步分解因式。 3.分解因式要彻底，直到不能再分解为止。
谢谢大家！
！
当堂训练:
把下列多项式因式分解： １、9m2 –n2
2、 – a4 + 16
3、 a4x2 - a4y2
4、 (a+b) 2 – (a-b) 2
答：1. 多项式只有两项，两项符号相反 2.两部分都可写某个式子(或数)的平方
运用a2-b2=(a+b)(a-b)公式时,如何区分a、b?
• 答: a平方前符号为正，b平方前符号为负。
练 习 ：
你会填下列各空吗？ （1）4x2=( 2x )2 25m2=( 5m )2 4 2 2 4=( （2） a 0.49b2=(0.7b )2 a) 9 3 (3) x4y2－4 =( x2y )2－( 2 )2 9 2 (4) x －0.01y2=( 3 x )2－(0.1y )2 49 7
1.把下列各式分解因式
（1）16a² 1 ( 2 ) 4x² m² - n²
牛刀小试
(4) a3x2 – -1=(4a)²- 1 a3y2 解：(1）16a²
=(4a+1)(4a-1)
( 3 ) –9x² 4 +
解：a3x2 – a3y2 =a3 (x2 –y2) 有公因式的要先提公因式 解：（3） –9x² 4 +
3 (x+y)(x-y) =4 － 解：(2） 4x² m² 9x² （加法交换律） n² =a = 22 – ( 3x =(2x)² (mn)² )2 =(2+3x)(2－3x)
=（2x+mn)(2x-mn)
任选两式作差，并进行因式分解 ：
x
2
36a
2
4
0.49n
2
0.25m
4 6 b 9
16 2 2 y z 25
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a² - b² 两个数的和与这两个数的差的 积，等于这两个数的平方差。
公式结构特点：
等式左边是：两个数的和与这两个 数的差的积
等式右边是：这两个数的平方差
（a+3)(a-3)= a2 -9 (2x)2-y2=4x2-y2 (2x+y)(2x-y)=
2 a
-9= （a+3 ）( a-3 )
公式：(ab)n=anbn
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2 解： 1－25x2 ＝12－(5x)2
（2）4x² m² - n²
1、把两项写成平方的 形式，找出a和b
＝(1+5x)(1-5x)
2、利用a2-b2=(a-b)(a+b) 分解因式 =（2x)2－(mn)2 ＝(2x+mn)(2x-mn)
例题讲解
解：(1) x5－x3 = x3 (x2 –1)= x3 (x+1)(x－1) 1、若有公因式，要先提公因式，再考虑 结论： 平方差公式. 2、分解因式分解到不能分解为止. (2)2x4-32y4 =2(x4-16y4) =2(x2+4y2)(x2-4y2) = 2(x2+4y2)(x+2y)(x-2y)