第7章 超音速翼型和机翼的气动特性(2)

b C L q∞ b ⋅ (− ) 2 = − CL (m z ) α = q∞ ⋅ b ⋅ 1 ⋅ b 2
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型对前缘的俯仰力矩系数mz 薄翼型对前缘的俯仰力矩系数 （2）弯度部分 图中微元面积dS dS距前缘距 图中微元面积dS距前缘距 离为x, x,微元力对前缘力矩 离为x,微元力对前缘力矩 为： dy 4( ) f (dM z ) f = −dL f x = dx q ∞ xdx B 力矩系数为： 力矩系数为：
Mz mz = q∞ ⋅ b ⋅ 1 ⋅ b
Mz是对翼型前缘的俯仰力矩，规定抬头为正。 是对翼型前缘的俯仰力矩，规定抬头为正。
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型对前缘的俯仰力矩系数mz 薄翼型对前缘的俯仰力矩系数 （1）平板迎角部分 由于压强分布沿平板为常数，升力作用于平板中点， 由于压强分布沿平板为常数，升力作用于平板中点，故：
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型波阻系数C 薄翼型波阻系数 db （3）厚度部分 参见右图，上下表面对波阻力贡献相同， 参见右图，上下表面对波阻力贡献相同，因此上下翼面对 应点处微元面积产生的波阻等于上翼面微元波阻的两倍： 应点处微元面积产生的波阻等于上翼面微元波阻的两倍：
(dX b ) c = 2q∞ (C pu dSu sin θ u ) c = 2q∞ (C pu dSu tgθ u cos θ u ) c
4α Nα = ⋅ q∞ b B
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型升力系数C 薄翼型升力系数 L （1）平板迎角部分 垂直于来流的升力为： 垂直于来流的升力为：
4α Lα = N α cos α ≈ N α = q∞ b B
平板升力系数： 平板升力系数：
Lα 4α (C L ) α = = q∞ b B
薄翼型线化理论的超声速气动特性
4 (C d b ) 0 = bB ∫0
b
dy 2 dy u 2 dx + dx f dx c
综上所述，由于弯度对超声速翼型升力无贡献， 综上所述，由于弯度对超声速翼型升力无贡献，为了降低 零升波阻，超声速翼型一般应为无弯度的对称翼型， 零升波阻，超声速翼型一般应为无弯度的对称翼型，且厚 度也不大，为了降低飞行阻力一般飞行迎角也不是很大， 度也不大，为了降低飞行阻力一般飞行迎角也不是很大， 因为 CL~α，Cdb~α2 ，如果迎角较大时超声速翼型的升阻 如果迎角较大时超声速翼型的升阻 比下降较快。 比下降较快。
薄翼型线化理论的超声速气动特性
例：对称菱形翼型，厚度为c，弦长为 ，用线化理论求升力 对称菱形翼型，厚度为 ，弦长为b， 系数和波阻系数。 系数和波阻系数。 c 解： b 4α 4α = 升力系数： 升力系数： C L = 2 B M a∞ − 1
dC L CL = = dα
α
4
2 M a∞ − 1
上式表明，薄翼型的波阻系数由两部分组成， 上式表明，薄翼型的波阻系数由两部分组成，一部分与升力 有关，另一部分仅与弯度和厚度有关。 有关，另一部分仅与弯度和厚度有关。
薄翼型线化理论的超声速气动特性
从而总的波阻系数为： 从而总的波阻系数为：
C d b = (C d b ) α + (C d b ) f + (C d b ) c
薄翼型线化理论的超声速气动特性
代入上表面坐标导数（注意因弯度为零则第 个积分为零 个积分为零）： 代入上表面坐标导数（注意因弯度为零则第2个积分为零）：
C db
2 c 4 2 1 0 2 1 b2 = α + ∫ b b dx + ∫ − B b −2 2 b 0 2 c 2 4 = α + B b
4 b (mz ) f = − 2 ∫ y f dx b B 0
已知时， 当翼型弯度中弧线方程 y = y f (x) 已知时，从上式积分可得 弯度力矩系数。 弯度力矩系数。
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型对前缘的俯仰力矩系数mz 薄翼型对前缘的俯仰力矩系数 （2）弯度部分
4 b (mz ) f = − 2 ∫ y f dx b B 0
第7章 超音速翼型和机翼的气动 特性(2) 特性(2)
7.3 薄翼型线化理论的超声 速气动特性
薄翼型线化理论的超声速气动特性
线化理论薄翼型的升力系数、 线化理论薄翼型的升力系数、波阻系数和对前缘的俯 仰力矩系数，均与压强系数一样可表为迎角、厚度、 仰力矩系数，均与压强系数一样可表为迎角、厚度、 弯板三部分贡献的叠加。 弯板三部分贡献的叠加。
由于线化理论下弯度部分及厚度不产生升力，此外厚 由于线化理论下弯度部分及厚度不产生升力， 度部分显然也不会对前缘力矩有贡献（见下页PPT），因此 ），因此 度部分显然也不会对前缘力矩有贡献（见下页 ）， 弯度力矩系数也称为零升力矩系数： 弯度力矩系数也称为零升力矩系数：
(mz ) 0 = ( mz ) f
c 2 b 2
dx
2
零升波阻系数： 零升波阻系数：
4c 2 (C d b ) 0 = , B
c 式中 c = b
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型对前缘的俯仰力矩系数mz 薄翼型对前缘的俯仰力矩系数 对翼型前缘的俯仰力矩系数定义为： 对翼型前缘的俯仰力矩系数定义为：
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型波阻系数C 薄翼型波阻系数 db （3）厚度部分 由于
dyu tgθ u = ( )c , dx
dS u cos θ u = dx
再将厚度问题上表面压强系数代入波阻积分： 再将厚度问题上表面压强系数代入波阻积分：
4 b dy u (C d b ) c = ∫0 dx c dx bB
(dX b ) f = −q∞ (C pl − C pu ) f dS sin θ = −q∞ (C pl − C pu ) f tgθ cos θdS
其中
dy tgθ = ( ) f , dx
dS cos θ = dx
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型波阻系数C 薄翼型波阻系数 db (2)弯度部分 (2)弯度部分
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型对前缘的俯仰力矩系数mz 薄翼型对前缘的俯仰力矩系数
（3）厚度部分 参见右图， 参见右图，由于上下表面对 称，对应点处 dLu 与 dLl 相互抵消， 相互抵消，所以翼型厚度部 分对前缘力矩的贡献为零。 分对前缘力矩的贡献为零。
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型对前缘的俯仰力矩系数mz 薄翼型对前缘的俯仰力矩系数
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型升力系数C 薄翼型升力系数 L （1）平板迎角部分 由于压强沿弦向方向分布为常数， 由于压强沿弦向方向分布为常数，且因上下表面均垂直于 平板， 平板，故垂直于平板的法向力Nα为：
N α = (C pl − C pu ) α q ∞ b
将平板载荷系数代入得： 将平板载荷系数代入得：
(C L ) c = 0
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型升力系数C 薄翼型升力系数 L
由此可见，在超音速线化小扰动条件下，翼型厚度和弯度 由此可见，在超音速线化小扰动条件下， 一样都不会产生升力，升力仅由平板部分的迎角产生： 一样都不会产生升力，升力仅由平板部分的迎角产生：
4α C L = (C L ) α = B
因此超音速翼型的升力线斜率 随来流马赫数增大而减小。 随来流马赫数增大而减小。
波阻系数， 波阻系数，由：
C db
2 2 1 b dy 2 b dy 4 1 u = α + ∫ dx + ∫ dx B b 0 dx f b 0 dx c
xp = xp b
，则
m z = −C L x p
则压力中心相对距离为： 则压力中心相对距离为：
b mz 1 4 xp = − = + 2 ∫0 y f dx CL 2 b CL B
4 b dy (mz ) f = 2 ∫ ( ) f xdx b B 0 dx
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型对前缘的俯仰力矩系数mz 薄翼型对前缘的俯仰力矩系数 （2）弯度部分
4 b dy (mz ) f = 2 ∫ ( ) f xdx b B 0 dx
注意到 y f
b 0
= 0 ，对上式分步积分得： 对上式分步积分得：
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型升力系数C 薄翼型升力系数 L （2）弯度部分
dL f = (C pl − C pu ) f q ∞ dx
将弯度载荷代入后积分得： 将弯度载荷代入后积分得：
dy 4( ) f b dx q dx = − 4q ∞ L f = −∫ ∞ 0 B B
∫
0
0
dy f = 0
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型波阻系数C 薄翼型波阻系数 db (1)平板迎角部分 (1)平板迎角部分 参见右图， 参见右图，
( X b ) α ( N α )α 4α 2 (C d b ) α = ≈ = q∞ ⋅ b q∞ b B
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型波阻系数C 薄翼型波阻系数 db (2)弯度部分 (2)弯度部分 参见右图， 参见右图，作用于微元面积 dS上的力在来流方向的分量 dS上的力在来流方向的分量 即波阻： 即波阻：
2
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型波阻系数C 薄翼型波阻系数 db 从而总的来自百度文库阻系数为： 从而总的波阻系数为：
C d b = (C d b ) α + (C d b ) f + (C d b ) c
2 2 1 b dy 2 b dy 4 1 u = α + ∫ dx + ∫ dx B b 0 dx f b 0 dx c
dy (dX b ) f = −q∞ (C pl − C pu ) f ( ) f dx dx
沿弦向积分： 将弯度载荷系数代入上式并对 x 沿弦向积分：
4 q∞ (Xb) f = B
故波阻系数： 故波阻系数：
dy ∫0 dx f dx
b
b 2
2
4 dy (C d b ) f = ∫0 dx f dx bB
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型升力系数C 薄翼型升力系数 L （2）弯度部分 参见右图，作用于微 参见右图， 元面积dS上的升力为： dS上的升力为 元面积dS上的升力为：
dL f = (C pl − C pu ) f q ∞ dS cos θ
由于： 由于： dx = dS cos θ 所以： 所以： dL f = (C pl − C pu ) f q ∞ dx
综合上述结果，薄翼型的前缘力矩系数为： 综合上述结果，薄翼型的前缘力矩系数为：
CL 4 b mz = − − 2 ∫ y f dx 2 b B 0
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型对前缘的俯仰力矩系数mz 薄翼型对前缘的俯仰力矩系数 CL 4 b mz = − − 2 ∫ y f dx 2 b B 0 设翼型的压力中心距前缘的相对距离
2 2 1 b dy 2 b dy 4 1 u = α + ∫ dx + ∫ dx B b 0 dx f b 0 dx c
与升力无关而仅与弯度和厚度有关的波阻称为零升波阻 (Cdb)0：
dy 2 dy u 2 4 b (C d b ) 0 = ∫0 dx f + dx c dx bB
这个结果说明，在线化小扰动条件下， 这个结果说明，在线化小扰动条件下，翼型弯度在超音速 流动下不产生升力，这与低亚音速流动的性质是不同的。 流动下不产生升力，这与低亚音速流动的性质是不同的。
薄翼型线化理论的超声速气动特性
薄翼型升力系数C 薄翼型升力系数 L （3）厚度部分 参见右图，由于上下表面对称， 参见右图，由于上下表面对称，对 相互抵消，所以： 应点处 dLu 与 dLl 相互抵消，所以：