二元一次方程专题复习讲义
七年级下册 数学讲义《第7讲 二元一次方程》人教版 初一数学
数学七年级下册讲义第7讲二元一次方程模块一基础多元一次方程组知识导航1、二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫二元一次方程。
例如，25x y+=，20u v-=，132m n=等，都是二元一次方程。
2、二元一次方程组的定义含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。
例如，2323521x y x yx y x⎧+=+=⎧⎪⎨⎨-==⎪⎩⎩，等都是二元一次方程组。
3、二元一次方程组的基本解法方法方法1：代入消元法：方法2：加减消元法。
题型一解二元一次方程组例题1解下列方程组：（1）430210x yx y-=⎧⎨-=-⎩.（2）134342 x yx y⎧-=⎪⎨⎪-=⎩.题型二解三元一次方程组例题2解方程组：34145217 223 x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩练习2解方程组：（1）751 x yx y zx y z+=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩.（2）5 428 9313 a b ca b ca b c++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩.总结归纳注意事项：①当解方程组需要进行通分时，需要注意每一项都要乘以分母的最小公倍数，切勿漏乘；②区分清楚通分和分子分母整数化（分子分母同时扩大或缩小相同倍数，分数的大小不变）的区别；模块二含参方程组题型一整体思想与含参方程例题3已知二元一次方程组()()()()235231x y x yx y x y++-=⎧⎪⎨+--=-⎪⎩，则1x=，y=________．练习3解方程组：()() 2152110 1217102x yx y⎧--++=⎪⎨-+-=⎪⎩.例题4若关于x y 、的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a b 、的二元一次方程组()()()()3526a b m a b a b n a b +--=⎧⎪⎨++-=⎪⎩的解是________． 练习4已知关于,x y 的二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为34x y =⎧⎨=⎩，则关于,x y 的方程组1112223434a x b y c a x b y c -=⎧⎨-=⎩的解为________． 题型二 含参方程组解的关系例题5关于x y 、方程组2564x y ax by +=-⎧⎨-=⎩与关于x y 、的方程组35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩的解相同，试求出2017(2)a b +的值.练习51.已知方程组42x y x y m-=⎧⎨+=⎩中,x y 的互为相反数，则m 的值为（ ）. A.2 B.-2 C.0 D.42.已知方程组352,23x y k x x y k +=+⎧⎨+=⎩与y 的值之和等于2，则k 的值为（ ）. A.4 B.-4 C.3 D.-3 题型三 含参方程组的整数解问题例题61.方程27x y +=的解有________个，其中正整数解它们是________.2.已知m 为整数，方程组436626x y x my -=⎧⎨+=⎩有正整数解，则m =________ 练习6若a 为自然数，m n 、是方程组3210033220n m a n m a +=-⎧⎨-=-⎩的解，且m n 、均为正整数，则该方程组的所有解的组数是________.题型四 含参方程组解的存在性 例题7已知方程组531x y ax y b -=⎧⎨+=-⎩①无数多个解；②唯一解；③无解.分别求三种情况下a b 、的值.练习7已知关于x y 、的方程组()312y kx b y k x =+⎧⎨=-+⎩，当k b 、为何值时，方程组： ①有唯一一组解；②无解；③有无穷多组解.巩固加油站巩固1解下列方程组.（1）661x y x y -=⎧⎨=+⎩.（2）3425212x y x y -=⎧⎨+=⎩.巩固2解方程组：（1）32123253x y y z x z -=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③.（2）3213272312x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩①②③.巩固3关于x y 、的方程组31428mx ny x y +=⎧⎨+=⎩与5236x ny n x y -=-⎧⎨-=⎩有相同的解，则m n -=________. 巩固4若关于x y 、的方程组3522718x y a x y a -=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数，则此方程组的解为x =________；y =________.巩固5对于二元一次方程210x y +=. （1）求其正整数解. （2）若7x y +=，求,x y 的值.巩固6当m n 、为何值时，关于x y 、的方程组()214mx y n m x y -=-⎧⎨--=-⎩. （1）无解.（2）唯一解. （3）有无数多解.。
二元一次方程组复习讲义
第七章 二元一次方程组一、基本概念（一）二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程的定义：都含有 个未知数，并且 的次数都是1，像这样的整式方程，叫做二元一次方程。
一般形式为：ax+by=c （a 、b 、c 为常数，且a 、b 均不为0）结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。
例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b 、2m+3n=0、1-s+t=2s 等都是二元一次方程。
而6x 2=-2y-6、4x+8y=-6z 、m2=n 等都不是二元一次方程。
2．二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
例如：⎩⎨⎧-=+=-8532y x y x 、⎩⎨⎧=--=+12337b a b a 、⎩⎨⎧=-=+12n m n m 、⎩⎨⎧-=+=-1132t s t s 等都是二元一次方程组。
而⎩⎨⎧-=+=-8532z x y x 、⎩⎨⎧=--=+12337a a a a 、⎪⎩⎪⎨⎧=-=+121n m n m 等都不是二元一次方程组。
注意：（1）只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一次方程组。
如：⎩⎨⎧-==852y x 、⎩⎨⎧-==112t s 也是二元一次方程组。
3．二元一次方程和二元一次方程组的解（1）二元一次方程的解：能够使二元一次方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
（2）二元一次方程组的解：使二元一次方程组的 两个方程 左右两边的值都相等的 两个 未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
（即是两个方程的公共解）注意：写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“⎩⎨⎧”把方程中两个未知数的值连接起来写。
二元方程解的写法的标准形式是：⎩⎨⎧==by a x ，（其中a 、b 为常数） （二）二元一次方程组的解法 1．解二元一次方程组的基本思想：“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程来解。
二元一次方程全章知识讲义加练习
二元一次方程（组）的相关概念（提高）知识讲解【学习目标】1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.【要点梳理】要点一、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程． 要点诠释：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.要点二、二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 要点诠释：(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如：2,5.x y =⎧⎨=⎩(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．要点三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如⎩⎨⎧=-=+52013y x x 也是二元一次方程组.要点四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式． (2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2526x y x y +=⎧⎨+=⎩无解，而方程组1222x y x y +=-⎧⎨+=-⎩的解有无数个．【典型例题】类型一、二元一次方程1．已知方程（m ﹣2）x n ﹣1+2y |m﹣1|=m 是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值．【总结升华】二元一次方程和二元一次方程组中系数的求解，要同时考虑两个未知数的系数与次数，不管方程的形式如何变化，必须满足含有两个未知数，含未知数的项的次数是一次且方程左右两边都是整式这三个条件．举一反三：【变式1】已知方程3241252m n x y +--=是二元一次方程，则m= ，n= .【变式2】方程(1)(1)0a x a y ++-=，当______a a ≠=时，它是二元一次方程，当时，它是一元一次方程．类型二、二元一次方程的解2.若方程11123ax y -=-中，当x ＝1时，y ＝-1，求a 的值．举一反三：【变式】已知方程2x-y+m-3=0的一个解是11x m y m =-⎧⎨=+⎩，求m 的值.3.写出二元一次方程204=+y x 的所有正整数解.【思路点拨】可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数，先解关于另一个未知数的一元一次方程，当两个未知数的取值均为正整数才是方程的解，写时注意按一定规律写，做到不重、不漏.【总结升华】对题意理解，要注意两点：①要正确；②不重、不漏. 两个未知数的取值均为正整数才是符合题意的解. 举一反三： 【变式1】已知是关于x 、y 的二元一次方程ax ﹣（2a ﹣3）y=7的解，求a 的值．【变式2】在方程0243=-+y x 中，若y 分别取2、41、0、－1、－4，求相应的x 的值.类型三、二元一次方程组及解4. (淮阳)甲、乙两人共同解方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①②由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩．乙看错了方程②中的b ．得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩．试计算：20112010110a b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值．【总结升华】一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程解的定义可以求出方程中其他字母的值，所以在今后的学习中要会灵活运用它．举一反三：【变式】已知关于,x y 的二元一次方程组41323x ay x by x y +==⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩的解是 ，求的值a b +．【巩固练习】一、选择题1．一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（ ） A ．5 个 B. 6 个 C.7 个 D.8 个2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）3. （20春•滑县期末）已知x=2，y=﹣3是二元一次方程5x+my+2=0的解，则m 的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．D ．﹣4.若5x -6y =0，且xy ≠0，则的值等于（ ）A ．23 B. 32C.1D. -1 5.若x 、y 均为非负数，则方程6x =-7y 的解的情况是（ ）A ．无解 B.有唯一一个解 C.有无数多个解 D.不能确定6.在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每颗x 元，包子每颗y 元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系? ( )A ．53502115900.9x y x y +=+⎧⎨+=⨯⎩ B ．53502115900.9x y x y +=+⎧⎨+=÷⎩C ．53502115900.9x y x y +=-⎧⎨+=⨯⎩D ．53502115900.9x y x y +=-⎧⎨+=÷⎩二、填空题 7．已知方程3241252m nxy +--=是二元一次方程，则m ＝________，n ＝_________． 8．（20•丹东模拟）若方程组的解为，则点P （a ，b）在第 象限．9．在13,72x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 04x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，33x y =⎧⎨=⎩这四对数值中，是二元一次方程组32823x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的是________ ．10. 方程2x+3y=10 中，当3x-6=0 时，y=_________； 11. 方程|a |+|b |=2 的自然数解是_____________； 12.若二元一次方程组的解中，则等于____________.三、解答题13．（20秋•鞍山期末）已知121xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩是方程组3151112ax yax by-=⎧⎪⎨+=⎪⎩的解，求24(4)3a b b--的值．14．甲、乙二人共同解方程组2623mx yx ny+=-⎧⎨-=-⎩①②由于看错了方程①中的m值，得到方程组的解为32xy=-⎧⎨=-⎩；乙看错了方程②中的n的值，得到方程组的解为52xy=-⎧⎨=⎩，试求代数式22m n m n++的值．15．某球迷协会组织36名球迷租乘汽车赴比赛场地，为中国国家男子足球队呐喊助威，可租用的汽车有两种：一种是每辆车可乘8人，另一种是每辆车可乘4人．要求租用的车子不留空座，也不超载．（1）请你给出三种不同的租车方案；（2）若8个座位的车子租金是300元/天，4个座位的车子租金是200元/天，请你设计费用最少的租车方案，并简述你的理由．二元一次方程组解法—代入法（提高）知识讲解【学习目标】1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组1．用代入法解方程组：237 338x yx y+=⎧⎨-=⎩①②【思路点拨】比较两个方程未知数的系数，发现①中x的系数较小，所以先把方程①中x 用y表示出来，代入②，这样会使计算比较简便．【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．举一反三：【变式】m取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.2.“整体代入”解方程组：10 4()5x yx y y--=⎧⎨--=⎩【总结】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算．举一反三：【变式1】解方程组2320,2352y9.7x yx y--=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩（2）45:4:3x yx y-=⎧⎨=⎩①②类型二、方程组解的应用3.（临清市期末）如果方程组的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（）A．1B．2C．3D．4【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．4.已知2564x yax by+=-⎧⎨-=-⎩①②和方程组35168x ybx ay-=⎧⎨+=-⎩③④的解相同，求2011(2)a b+的值．【总结升华】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键.举一反三：【变式】（江都市模拟）小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c，解得已知小文除抄错了c外没有发生其他错误，求a+b+c的值．【巩固练习】 一、选择题 1．解方程组347910250m n m n -=⎧⎨-+=⎩①②的最好方法是（ ）.A ．由①得743n m +=再代入② B ．由②得25109nm +=再代入① C ．由①得347m n =+再代入② D ．由②得91025m n =-再代入①2. （20张店区一模）若二元一次方程式组的解为x=a ，y=b ，则a+b 等于（ ） A ．B ．C ．D ．3．关于x ，y 的方程y kx b =+，k 比b 大1，且当12x =时，12y =-，则k ，b 的值分别是（ ）. A ．13，23- B ．2，1 C ．-2，1D ．-1，04．已知24x y =-⎧⎨=⎩和41x y =⎧⎨=⎩都是方程y ＝ax+b 的解，则（ ）.A ．125a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．123a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩C ．121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩D ．121a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩5．如果二元一次方程组4x y ax y a +=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程3x -5y -30＝0的一个解，那么a的值是（ ）.A ．3B ．2C ．7D ．6 6．一艘缉毒艇去距90海里的地方执行任务，去时顺水用了3小时，任务完成后按原路返回，逆水用了3.6小时，求缉毒艇在静水中的速度及水流速度．设在静水中的速度为x 海里/时，水流速度为y 海里/时，则下列方程组中正确的是（ ）.A ．33903.6 3.690x y x y +=⎧⎨+=⎩ B ．3 3.6903.6390x y y x +=⎧⎨+=⎩C ．3()903()90x y x y +=⎧⎨-=⎩ D ．33903.6 3.690x y x y +=⎧⎨-=⎩二、填空题7．已知51,62x t y t =+=-，用含y 的式子表示x ，其结果是_______．8．（20丹东模拟）若方程组的解为，则点P （a ，b ）在第 象限．9．x ，y 满足方程组3496527ax y ax y +=⎧⎨+=⎩，那么3ax+y 的值是________. 10．若532y x a b +与2244x y a b --是同类项，则x ＝ ________，y ＝ ________．11．已知方程组3524x y ax y -=⎧⎨-=⎩的解也是方程47135x y x by -=⎧⎨-=⎩的解，则a ＝ _____，b ＝ ____ ． 12.（淄博）关于,x y 的二元一次方程组1353x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩中，m 与方程组的解中的x y 或相等，则m 的值为 .三、解答题13．用代入法解方程组：（1）0.50.2 1.2,0.30.60.2;y x y x -=⎧⎨-=-⎩ （2）3252,2(32)117.x y x x y x +=+⎧⎨+=+⎩14．研究下列方程组的解的个数：（1）21243x y x y -=⎧⎨-=⎩； （2）2123x y x y -=⎧⎨-=⎩； （3）21242x y x y -=⎧⎨-=⎩. 你发现了什么规律？15．（20•沧州一模）若方程组的解是，求（a+b）2﹣（a﹣b）（a+b）．16.已知关于x，y的二元一次方程组236x ayx y-=⎧⎨-=⎩①②当a为何整数值时，方程组的解均为整数？二元一次方程组解法（提高）知识讲解【学习目标】1. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；2. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；3．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．【要点梳理】要点一、加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．要点二、选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．【典型例题】类型一、加减法解二元一次方程组1.（20春•澧县期末）用加减消元法解方程组3465923x y x y ++==【总结升华】先将每个式子化至最简，即形如ax+by=c 的形式再消元.举一反三：【变式】方程组201020092008200820072006x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为： .2.已知关于x 、y 的方程组ax by c ex dy f+=⎧⎨+=⎩的解为31x y =⎧⎨=⎩，求关于x 、y 的方程组()()()()a x y b x y c e x y d x y f-++=⎧⎨-++=⎩的解．【总结升华】本例采用了类比的方法，若把其中的x+y 和x -y 分别看作整体，则第二个方程组与第一个方程组相同，即x+y ＝1，x -y ＝3．举一反三：【变式】三个同学对问题“若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩， 求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是： ．类型二、用适当方法解二元一次方程组3. 解方程组36101610x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩【总结升华】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根据方程组的特点选择最简便的求解方法.【变式】4. 试求方程组27526x yx y⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩的解．【总结升华】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分类讨论求出解.举一反三：【变式】（杭锦）若二元一次方程组和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值．一、选择题1．如果x:y ＝3:2，并且x+3y ＝27，则x 与y 中较小的值是（ ）.A ．3B ．6C ．9D ．122．（20•玉田县期末）下列各组数是二元一次方程组的解的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知方程组54358x y m x y -=⎧⎨+=⎩中，x 、y 的值相等，则m 等于（ ）. A ．1或-1 B ．1 C ．5 D ．-54.如果324x y a x y -=⎧⎨+=⎩的解都是正数，那么a 的取值范围是（ ）. A ．a<2； B.43a >-； C. 423a -<< ； D. 43a <- 5．小明在解关于x 、y 的二元一次方程组331x y x y +⊗=⎧⎨-⊗=⎩时得到了正确结果1x y =⊕⎧⎨=⎩．后来发现⊗、⊕处被墨水污损了，请你帮他计算出⊗、⊕处的值分别是（ ）.A ．1、1B ．2、1C ．1、2D ．2、26. 已知方程组有无数多个解，则a 、b 的值等于（ ）.A ．a=-3,b=-14 B. a=3,b=-7 C. a=-1,b=9 D.a=-3,b=14二、填空题7．若32225a b a b x y --+-=是二元一次方程，则a ＝________，b ＝________．8．已知等腰三角形的周长是18，腰长比底边大3，则这个三角形的腰长_____，底边长___．9．已知3222341m n m n x y -++-+=是关于x 、y 的二元一次方程，则m ＝_______，n ＝_______；在自然数范围内，该方程的解是________．10．若|x-y-5|与|2x+3y-15|互为相反数，则x+y ＝________．11．对于实数x 和y ，定义一种新的运算“△”：x △y ＝ax+by ，其中a 、b 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算，已知3△5＝25，4△7＝38，那么1△5＝_________．12. （20沛县期末）已知方程组的解满足x+y=3，则k 的值为 ．三、解答题13．解下列方程组：（1）2()1346()4(2)16x y x yx y x y-+⎧=-⎪⎨⎪+=-+⎩（2）133623218y xy yx x+⎧-=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩14.（建昌县期末）解关于x、y的二元一次方程组时，小虎同学把c看错而得到，而正确的解是，试求a+b+c的值．实际问题与二元一次方程组（一）（提高）知识讲解【学习目标】1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题．【要点梳理】要点一、常见的一些等量关系（一）1.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.2.产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，=100%⨯利润利润率进价. 要点二、实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【典型例题】类型一、和差倍分问题1.在一次数学测验中，甲、乙两校各有100名同学参加测试．测试结果显示，甲校男生的优分率为60％，女生的优分率为40％，全校的优分率为49.6％；乙校男生的优分率为57％，女生的优分率为37％．(男(女)生优分率＝()100%()⨯男女生优分人数男女生测试人数，全校优分率＝100%⨯全校优分人数全校测试人数) (1)求甲校参加测试的男、女生人数各是多少?(2)从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率，但最终的统计结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低，请举例说明原因．【思路点拨】 (1)求甲校参加测试的男、女生人数需设两个未知数，故可建立二元一次方程组求解．(2)由于甲校男、女生的优分率相应高于乙校的男、女生的优分率，要使乙校的全校优分率比甲校的全校优分率高，此时，只有乙校的男生较多时，才能提高全校的优分率．【答案与解析】解：(1)设甲校参加测试的男生人数是x 人，女生人数是y 人．由题意可列方程组：10060%40%49.6%100x y x y +=⎧⎨+=⨯⎩ 解之得：4852x y =⎧⎨=⎩． 答：甲校参加测试的男生有48人，女生有52人．(2)如：乙校男生有70人，女生有30人，则乙校的全校优分率为7057%3037%100%51%100⨯+⨯⨯=．51％＞49.6％ (说明：只要所举例子中男生人数多于63人，且女生优分率合适，即可得全分．)【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题的第（2）问也可以用不等式求出甲乙两校男生人数满足什么关系时，才满足甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低．举一反三：【变式】为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30％和25%．(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台?(2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？【答案】解：(1)设政策出台前一个月销售的手动型汽车为x 辆，自动型汽车为y 辆，由题意可得：960(130%)(125%)1228x y x y +=⎧⎨+++=⎩解之得：560400x y =⎧⎨=⎩． 答：政策出台前一个月销售的手动型汽车为560辆，自动型汽车为400辆．(2)[560×(1+30％)×8+400×(1+25％)×9]×5％＝516.2(万元)答：政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了516.2万元．类型二、配套问题2. 某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？【答案与解析】解：设女生x 人，男生y 人，由题意得：3440232(4)682x y x y +⎧+-=⎪⎪⎨+⎪+-=⎪⎩ 解得：2132x y =⎧⎨=⎩答：这个班的男生有32人，女生有21人.【总结升华】两人抬土需要一根扁担，一只筐；一人挑土需要一根扁担，两只筐．题中的等量关系是：参加劳动的同学一共用去箩筐68个和40根扁担，从而列出方程组，解出即可．【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）409143 例2练习】举一反三：【变式】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？【答案】解：设分配x 人生产螺栓，y 人生产螺母，则根据题意可得：答：应分配25人生产螺栓，35人生产螺母.类型三、工程问题3. （2015春•定陶县期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？（2）已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？（3）若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论）【思路点拨】（1）本题的等量关系是：甲做8天需要的费用+乙作8天需要的费用=3520元．6020142x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩2535x y =⎧∴⎨=⎩甲组6天需付的费用+乙做12天需付的费用=3480元，由此可得出方程组求出解．（2）根据（1）得出的甲乙每工作一天，商店需付的费用，然后分别计算出甲单独做12天需要的费用，乙单独做24天需要的费用，让两者进行比较即可．（3）本题可将每种施工方法的施工费加上施工期间商店损失的费用，然后将不同方案计算出的结果进行比较，损失最少的方案就是最有利商店的方案．【答案与解析】解：（1）设：甲组工作一天商店应付x 元，乙组工作一天商店付y 元．由题意得解得 答：甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元．（2）单独请甲组需要的费用：300×12=3600元．单独请乙组需要的费用：24×140=3360元．答：单独请乙组需要的费用少．（3）请两组同时装修，理由：甲单独做，需费用3600元，少赢利200×12=2400元，相当于损失6000元；乙单独做，需费用3360元，少赢利200×24=4800元，相当于损失8160元；甲乙合作，需费用3520元，少赢利200×8=1600元，相当于损失5120元；因为5120＜6000＜8160，所以甲乙合作损失费用最少．答：甲乙合作施工更有利于商店．【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：甲做8天需要的费用+乙作8天需要的费用=3520元．列出方程组，再求解．类型四、利润问题4.甲乙两件服装的成本为500元，商店老板为获取利润，决定将甲种服装按50%的利润定价，乙种服装按40%的利润定价．实际出售时，两种服装均按九折出售，这样商店共获利157元．求甲乙两件服装的成本各是多少元？【答案与解析】解：设甲、乙两件服装的成本分别为x 元和y 元，由题意：解得：300200x y =⎧⎨=⎩答：甲、乙两件服装的成本分别为300元和200元【总结升华】本题也可以用一元一次方程的知识解答．举一反三：500[(150%)(140%)]90%500157x y x y +=⎧⎨+++⨯=+⎩【变式】（2015春•宁城县期末）为处理甲、乙两种积压服装，商场决定打折销售，已知甲、乙两种服装的原单价共位880元，现将甲服装打八折，乙服装打七五折，结果两种服装的单价共为684元，则甲、乙两种服装的原单价分别是多少？【答案】解：设甲、乙两种服装的原单价分别是x元、y元．根据题意，得：，解得：，即：甲、乙两种服装的原单价分别是480元、400元．【巩固练习】一、选择题1．某鞋店有甲、乙两款鞋各30双，甲鞋一双200元，乙鞋一双50元．该店促销的方式：买一双甲鞋，送一双乙鞋；只买乙鞋没有任何优惠．若打烊后得知，此两款鞋共卖得1800元，还剩甲鞋x双、乙鞋y双，则依题意可列出下列哪一个方程式? () .A．200(30-x)+50(30-y) ＝1800 B．200(30-x)十50(30-x-y)＝1800C．200(30-x)+50(60-x-y)＝1800 D．200(30-x)十50[30-(30-x)-y]＝18002.（2015春•承德校级月考）现有大、小两种船，1艘大船与4艘小船一次最多可以载客46名，2艘大船与3艘小船一次最多可以载客57名，某旅游点的船有3艘大船与6艘小船，一次最多可以载客的人数为（）A．129B．120C．108D．963．欣平超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元不享受优惠；(2)一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；(3)一次性购物超过300元一律八折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款( ).A．288元B．322 元C．288元或316元D．332元或363元4．某次知识竞赛共出了25道试题．评分标准如下：答对一道题加4分；答错1道题扣1分；不答记0分，已知李刚不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了().A．18道B．19道C．20道D．21道5．某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土，已知全班共用箩筐59个，扁担36根，若设抬土的学生x人，挑土的学生y人，则有().A．2592362yxxy⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩B．2592362xyxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．2592236xyx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩D．259236x yx y+=⎧⎨+=⎩6.在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每颗x元，包子每颗y元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系？（）A. B.C. D.二、填空题7.一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1 m3木料可制作方桌的桌面50个，或制作桌腿300条，现有5 m3木料，设用x cm3木料制作桌面，用y m3木料制作桌腿，恰好配成方桌，则可得方程组为________．8．如图所示，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15，两根铁棒长度之和为55cm，则木桶中水的深度是cm.9.（2015春•沂源县期末）一个水池有两个进水管，单独开甲管注满水池需2小时，单独开乙管注满水池需3小时，两个同时开注满水池的时间是小时．10．某商场出售茶壶和茶杯，茶壶每只15元，茶杯每只3元，商店规定买一只茶壶赠一只茶杯，某人共付款171元得茶壶、茶杯共36只(含赠品在内)，其中茶壶________只，茶杯________只．11．已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为促销而打折销售，若甲商品打8折，乙商品打6折，则可赚50元；若甲商品打6折，乙商品打8折，则可赚30元，则甲、乙两种商品的定价分别是________．12. 如图①，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图②，在第二个天平上，砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量．请你判断：1个砝码A 与________个砝码C的质量相等．三、解答题13.（2015春•自贡期末）某商场第1次用39万元购进A、B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：商品价格A B进价（元/件）12001000售价（元/件）13501200（总利润=单件利润×销售量）（1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？。
二元一次方程专题复习讲义
二元一次专题复习【知识网络】【要点梳理】要点一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（x 和y ），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 要点诠释：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点诠释：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为⎩⎨⎧b a＝＝y x 的形式. 3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩.要点诠释：（1）它的一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（其中1a ，2a ，1b ，2b 不同时为零）．（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．（3）符号“{”表示同时满足，相当于“且”的意思．4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组⎩⎨⎧=+=+6252y x y x 无解，而方程组⎩⎨⎧-=+-=+2221y x y x 的解有无数个.要点二、二元一次方程组的解法1.解二元一次方程组的思想转化消元一元一次方程二元一次方程组2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： 要点诠释：(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： 要点诠释：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.（3）图像法解二元一次方程组的一般过程： ①把二元一次方程化成一次函数的形式．②在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点． ③交点坐标就是方程组的解． 要点诠释：二元一次方程组无解<=>一次函数的图像平行（无交点）二元一次方程组有一解<=>一次函数的图像相交（有一个交点）二元一次方程组有无数个解<=>一次函数的图像重合（有无数个交点）利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解. 要点三、实际问题与二元一次方程组要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 要点四、二元一次方程（组）与一次函数 1.二元一次方程与一次函数的关系（1）任何一个二元一次方程(0,)ax by c a b c +=≠、为常数都可以变形为-(0,)a cy x a b c b b=+≠、为常数即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.（2）我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程5x y +=我们列举出它的几组整数解有0,5;x y =⎧⎨=⎩5,0;x y =⎧⎨=⎩2,3x y =⎧⎨=⎩，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y ＝5+-x 的图像上，反过来，在一次函数x y -=5的图像上任取一点，它的坐标也适合方程5x y +=.要点诠释：1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同. 2. 二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 3.用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法. 利用待定系数法解决问题的步骤： 1.确定所求问题含有待定系数解析式.2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.二元一次习题精讲注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明1．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A．B．C．D．2．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了•和*处的两个数，则点（•，*）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．04．下面能满足方程3x+2＝2y的一组解是（）A．B．C．D．5．为了美化校园，学校计划购买甲、乙两种花木共200棵进行绿化，其中甲种花木每棵80元，乙种花木每棵100元，若购买甲、乙两种花木共花费17600元，求学校购买甲、乙两种花木各多少棵？设购买甲种花木x棵、乙种花木y棵，根据题意列出的方程组正确的是（）A．B．C．D．6．修一条排水渠，甲队独做需10天，乙队独做需15天，现由两队合修，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做，又修了5天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合修了（）A．2天B．3天C．4天D．5天7．已知方程组的解满足x﹣y＝m﹣1，则m的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．28．小明在学习之余去买文具，打算购买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如图：1支笔和1本笔记本应付（）A．10元B．11元C．12元D．13元9．若是关于x、y的方程x+ay＝3的解，则a值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．下列方程组中不是二元一次方程组的是（）A．B．C．D．11．在下列方程中：（1）3x+＝8；（2）+2y＝4；（3）3x+＝1；（4）x2＝5y+1；（5）y＝x；（6）2（x﹣y）﹣3（x+）＝x+y是二元一次方程的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个12．某年级学生共有300人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面方程组中符合题意的是（）A．B．C．D．13．根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量比为2：5．已知每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大小两种产品多少瓶？设应该分装大小瓶两种产品x瓶、y瓶，则可列方程组为（）A．B．C．D．14．已知关于x，y的方程组，甲看错a得到的解为，乙看错了b得到的解为，他们分别把a、b错看成的值为（）A．a＝5，b＝﹣1 B．a＝5，b＝C．a＝﹣l，b＝D．a＝﹣1，b＝﹣115．若x|k|+ky＝2+y是关于x、y的二元一次方程，则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．016．一次函数y＝2x+4的图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．x＝﹣2，y＝0是方程y＝2x+4的解B．直线y＝2x+4经过点（﹣1，2）C．当x＜﹣2时，y＞0 D．当x＞0时，y＞417．已知是二元一次方程组的解，则b﹣a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．418．若关于x，y的二元一次方程组的解中x，y的值相等，则k的值是（）A．2 B．l C．0 D．﹣219．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形（即空白的长方形），若AB＝16cm，EF＝4cm，则一个小长方形的面积为（）A．16cm2B．21cm2C．24cm2D．32 cm2 20．如果（x+y﹣5）2与|3x﹣2y+10|互为相反数，则x，y的值为（）A．x＝3，y＝2 B．x＝2，y＝3 C．x＝0，y＝5 D．x＝5，y＝021．用代入法解方程组有以下过程，其中错误的一步是（）（1）由①得x＝③；（2）把③代入②得3×﹣5y＝5；（3）去分母得24﹣9y﹣10y＝5；（4）解之得y＝1，再由③得x＝2.5．A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）22．如图，点C在直线AB上，∠ACD的度数比∠BCD的度数的3倍少20°，设∠ACD和∠BCD的度数分别为x、y，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（）A．B．C．D．23．小刚去距县城28千米的旅游点游玩，先乘车，后步行．全程共用了1小时，已知汽车速度为每小时36千米，步行的速度每小时4千米，则小刚乘车路程和步行路程分别是（）A．26千米，2千米B．27千米，1千米C．25千米，3千米D．24千米，4千米第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明24．如图所示，两条直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组的解．25．已知关于x，y的二元一次方程的解互为相反数，则8k的立方根是．26．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝6，则m的值为．27．如图，三个一样大小的小长方形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，则图中一个小长方形的面积等于．28．某停车场的收费标准如下：小型汽车10元/辆，中型汽车15元/辆，现停车场共有50辆中、小型汽车，共缴纳停车费560元，中、小型汽车各有多少辆？29．解下列方程组：（1）（2）30．七年级某班为准备科技节表彰的奖品，计划从友谊超市购买笔记本和水笔共40件，在获知某网店有“五一”促销活动后，决定从该网店购买这些奖品．已知笔记本和水笔在这两家商店的零售价分别如下表，且在友谊超市购买这些奖品需花费90元．（2）求从网店购买这些奖品可节省多少元．31．计算（1）化简：（2）化简：（3）解方程2x2﹣1＝7；（4）解方程组：32．为了鼓励居民节约用水，市政府决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超14吨（含14吨）时，则采用基本价收费；当每月用水量超过14吨时，超过部分每吨采用市场价收费．小惠家3、4月份的用水量及收费情况如下表：（2）小惠家5月份用水26吨，则她家应交水费多少元？33．某公司以每吨600元的价格收购了100吨某种药材，若直接在市场上销售，每吨的售价是1000元，该公司决定加工后再出售，相关信息如下表所示：生效益）受市场影响，该公司必须在10天内将这批药材加工完毕．（1）若全部粗加工，可获利元；（2）若尽可能多的精加工，剩余的直接在市场上销售，可获利元；（3）若部分粗加工，部分精加工，恰好10天完成，求可获利多少元？34．如图，这是一个矩形养鸡场的平面图，一边靠墙（有阴影的直线），其余边用60米的篱笆围成．养鸡场被分割成三个面积相等的矩形区域①、②、③．且AD＞AB．若养鸡场的总面积为162平方米，求AD的长．35．A、B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇.6小时后甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求甲乙二人的速度．36．穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．（1）求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？37．某校开展贫困生帮扶募捐工作，该校七（1）班40名学生共捐款500元，捐款情况如下表：他求出10元和15元的人数各是多少？38．河大附中初一年级有350名同学去春游，已知2辆A型车和1辆B型车可以载学生100人；1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人．（1）A、B型车每辆可分别载学生多少人？（2）若租一辆A需要100元，一辆B需120元，请你设计租车方案，使得恰好运送完学生并且租车费用最少．试卷第11页，总12页39．某工程队承包了全长3150米的公路施工任务，甲、乙两个组分别从东、西两端同时施工，已知甲组比乙组平均每天多施工6米，经过5天施工，两组共完成了450米．（1）求甲、乙两个组平均每天各施工多少米？（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多施工4米，乙组平均每天比原来多施工6米，按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？试卷第12页，总12页参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A ．B ．C ．D ．【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据大马与小马的总匹数是100，1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦共拉100匹瓦，列出方程组，此题得解．【解答】解：设大马有x匹，小马有y匹，根据题意得：．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了•和*处的两个数，则点（•，*）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把x＝1代入方程组中第二个方程求出y的值，进而求出x﹣y的值，确定出点所在象限即可．【解答】解：把x＝1代入6x+5y＝﹣1中得：6+5y＝﹣1，解得：y ＝﹣，x﹣y＝1﹣（﹣）＝，则（，﹣）所在的象限是第四象限，故选：D．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．3．如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．0【分析】把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两1个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b的值．【解答】解：把代入方程组，得：，①+②，得：7（a+b）＝7，则a+b＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．理解定义是关键．4．下面能满足方程3x+2＝2y的一组解是（）A ．B ．C ．D ．【分析】把各选择支代入二元一次方程，验证即可．【解答】解：当x＝4，y＝2时，方程的左边＝14，方程的右边＝4，因为方程的左边≠方程的右边，所以A不满足方程；当x＝3，y＝5时，方程的左边＝11，方程的右边＝10，因为方程的左边≠方程的右边，所以B不满足方程；当x＝2，y＝4时，方程的左边＝8，方程的右边＝8，因为方程的左边＝方程的右边，所以C满足方程；当x＝1，y＝3时，方程的左边＝5，方程的右边＝6，因为方程的左边≠方程的右边，所以D不满足方程；故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解，它的解满足方程左右两边相等．5．为了美化校园，学校计划购买甲、乙两种花木共200棵进行绿化，其中甲种花木每棵80元，乙种花木每棵100元，若购买甲、乙两种花木共花费17600元，求学校购买甲、乙两种花木各多少棵？设购买甲种花木x棵、乙种花木y棵，根据题意列出的方程组正确的是（）A ．B ．C ．D ．2【分析】设购买甲种花木x棵、乙种花木y棵，根据总价＝单价×数量结合购买两种树苗共200棵，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设购买甲种花木x棵、乙种花木y棵，根据题意得：．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．6．修一条排水渠，甲队独做需10天，乙队独做需15天，现由两队合修，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做，又修了5天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合修了（）A．2天B．3天C．4天D．5天【分析】甲、乙两队合修了x天，根据整个工程分两部分列出方程求解即可．【解答】解：设甲、乙两队合修了x天，根据题意得：（+）x +×5＝1，解得：x＝3，故选：B．【点评】本题考查了方程的应用，解题的关键是能够根据题意找到等量关系并列出方程，难度不大．7．已知方程组的解满足x﹣y＝m﹣1，则m的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【分析】，②﹣①得：x﹣y＝1，根据“方程组的解满足x﹣y ＝m﹣1”，得到关于m的一元一次方程，解之即可．【解答】解：，②﹣①得：x﹣y＝1，∵方程组的解满足x﹣y＝m﹣1，∴m﹣1＝1，解得：m＝2，故选：D．【点评】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．8．小明在学习之余去买文具，打算购买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记3本，期间他与售货员对话如图：1支笔和1本笔记本应付（）A．10元B．11元C．12元D．13元【分析】设1支签字笔的价格为x元，1本笔记本的价格为y元，根据小明与售货员的对话，列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可．【解答】解：设1支签字笔的价格为x元，1本笔记本的价格为y元，根据题意得：，解得：，8+4＝12（元），即1支笔和1本笔记本应付12元，故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．9．若是关于x、y的方程x+ay＝3的解，则a值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】把x、y的值代入方程，得出一个关于a的意义一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵是关于x、y的方程x+ay＝3的解，∴代入得：2+a＝3，解得：a＝1，故选：A．【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出一个关于a的一元一次方程是解此题的关键．10．下列方程组中不是二元一次方程组的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是1的方程叫二元一次方程；二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．4【解答】解：因为A，B，D都符合二元一次方程组的定义；C中xy是二次．故选：C．【点评】此题考查了二元一次方程组的定义，正确把握二元一次方程组的定义是解题关键．11．在下列方程中：（1）3x +＝8；（2）+2y＝4；（3）3x +＝1；（4）x2＝5y+1；（5）y＝x；（6）2（x﹣y）﹣3（x +）＝x+y是二元一次方程的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案．【解答】解：（2）+2y＝4；（5）y＝x；（6）2（x﹣y）﹣3（x +）＝x+y是二元一次方程，故选：B．【点评】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型．12．某年级学生共有300人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面方程组中符合题意的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】此题中的等量关系有：①某年级学生共有300人，则x+y＝300；②男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则2x＝y+2．【解答】解：根据某年级学生共有300人，则x+y＝300；②男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则y＝2x﹣2．可列方程组．故选：C．【点评】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．找准等量关系是解决应用题的关键，注意代数式的正确书写，字母要写在数字的前面．13．根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量比为2：5．已知每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大小两种产品多少瓶？设应该分装大小瓶两种产品x瓶、y瓶，则可列方程组为（）A ．B ．5C ．D ．【分析】设应该分装大小瓶两种产品x瓶、y瓶，根据大瓶和小瓶的销售数量比为2：5及每天生产这种消毒液22.5吨，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设应该分装大小瓶两种产品x瓶、y瓶，根据题意得：．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14．已知关于x，y 的方程组，甲看错a 得到的解为，乙看错了b得到的解为，他们分别把a、b错看成的值为（）A．a＝5，b＝﹣1 B．a＝5，b ＝C．a＝﹣l，b ＝D．a＝﹣1，b＝﹣1【分析】把甲的结果代入第二个方程，乙的结果代入第一个方程，分别求出a与b即可．【解答】解：把代入ax+2y＝1得：a﹣4＝1，解得：a＝5，把代入x﹣by＝2得：1﹣b＝2，解得：b＝﹣1，则把a、b错看成的值为a＝5，b＝﹣1．故选：A．【点评】此题考查了二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．15．若x|k|+ky＝2+y是关于x、y的二元一次方程，则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0【分析】直接利用二元一次方程的定义进而分析得出答案．【解答】解：∵x|k|+ky＝2+y是关于x、y的二元一次方程，∴|k|＝1，k﹣1≠0，解得：k＝﹣1，故选：B．【点评】此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．616．一次函数y＝2x+4的图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．x＝﹣2，y＝0是方程y＝2x+4的解B．直线y＝2x+4经过点（﹣1，2）C．当x＜﹣2时，y＞0D．当x＞0时，y＞4【分析】根据一次函数的性质即可解决问题；【解答】解：观察图象可知直线y＝2x+4经过（﹣2，0）和（0，4），∴x＝﹣2，y＝0是方程y＝2x+4的解，故A正确，∵x＝﹣1时，y＝2，∴直线y＝2x+4经过点（﹣1，2），故B正确，当x＞0时，y＞4，故D正确，当x＜﹣2时，y＜0，故C错误，故选：C．【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征，函数与二元一次方程的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．已知是二元一次方程组的解，则b﹣a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】把x与y的值代入方程组求出a与b的值，即可求出所求．【解答】解：把代入方程组得：，解得：，则b﹣a＝3+1＝4，故选：D．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．18．若关于x，y 的二元一次方程组的解中x，y的值相等，则k的值是（）A．2 B．l C．0 D．﹣2【分析】由x与y的值相等得到y＝x，代入方程组中计算即可求出k的值．【解答】解：由题意得：y＝x，7代入方程组得：，解得：x ＝，k＝0，则k＝0．故选：C．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．19．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形（即空白的长方形），若AB＝16cm，EF＝4cm，则一个小长方形的面积为（）A．16cm2B．21cm2C．24cm2D．32 cm2【分析】设长方形的长和宽为未数，根据图示可得两个量关系：①小长方形的1个长+3个宽＝16cm，②小长方形的1个长﹣1个宽＝4cm，进而可得到关于x、y的两个方程，可求得解，从而可得到小长方形的面积．【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，如图可知，，解得：．所以小长方形的面积＝3×7＝21（cm2）．故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，以及学生对图表的阅读理解能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．20．如果（x+y﹣5）2与|3x﹣2y+10|互为相反数，则x，y的值为（）A．x＝3，y＝2 B．x＝2，y＝3 C．x＝0，y＝5 D．x＝5，y＝0 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，可得二元一次方程组，根据解二元一次方程组，可得答案．【解答】解：（x+y﹣5）2与|3x﹣2y+10|互为相反数，（x+y﹣5）2+|3x﹣2y+10|＝0，8解得．故选：C．【点评】本题考查了解二元一次方程组，先得出一个二元一次方程组，再解二元一次方程组．21．用代入法解方程组有以下过程，其中错误的一步是（）（1）由①得x＝③；（2）把③代入②得3×﹣5y＝5；（3）去分母得24﹣9y﹣10y＝5；（4）解之得y＝1，再由③得x＝2.5．A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）【分析】出错一步为（3），理由去分母时两边都乘以2，写出正确的解法即可．【解答】解：其中错误的一步为（3），正确解法为：去分母得：24﹣9y﹣10y＝10，移项合并得：﹣19y＝﹣14，解得：y＝．故选：C．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．22．如图，点C在直线AB上，∠ACD的度数比∠BCD的度数的3倍少20°，设∠ACD和∠BCD的度数分别为x、y，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（）A．B．C．D．【分析】此题中的等量关系有：①由图可得，∠ACD和∠BCD组成了平角，则和是180；②∠ACD的度数比∠BCD的度数的3倍少20°【解答】解：由题意得，．故选：B．【点评】此题关键是能够结合图形进一步发现两个角之间的一种等量关系，即两个角组成了一个平角，和是180度．。
第8讲 《二元一次方程组》复习讲义
《二元一次方程组》复习讲义知识导航知识点1 二元一次方程组的概念概念：含有个未知数，且且含有的次数都是1方程叫做二元一次方程.把具有相同未知数的两个二元一次方程组合在一起叫做二元一次方程组.知识点2 解二元一次方程组（1）二元一次方程的解：一般的，使二元一次方程两边的两个未知数的值，就是二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解.（2）二元一次方程组的解：一般的，二元一次方程组的两个方程，叫做二元一次方程组的解.（3）解二元一次方程组的思想是.知识点3 解二元一次方程组的基本方法是：（1）消元法：把二元一次方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.（2）消元法：当二元一次方组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程..知识点4 三元一次方程组及解法（1）三元一次方程组的概念：一个方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是，并且一共有，像这样的方程组叫做三元一次方程组.（2）三元一次方程组的解法：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.方法总结①方程思想:方程思想在中学数学中是一种非常重要的数学思想方法,是指在求指数学问题时,从已知和未知量之间的数学量关系入手,得出相等关系.把方字语言转化为符号语言即转化为方程(组),再通过解方程(组)使数学问题获得解决.②消元的数学思想消元是解方程的基本思想,消元的目的是将多元方程逐步转化为一元方程,本章中消元的两个基本策略是代入消元和加减消元.第三部分：考点突破考点1 二元一次方程组的概念 1.下列是二元一次方程的是.（1）2x-3y=5 (2) xy=3 (3) x+y=0 (4) x 2+x=1 (5) 3x-y=2z (6)(1/3)x+(1/2)y=1 2.如果8243352=----+b a b a y x 是二元一次方程，那么=-b a .考点2 方程组的解法及解的应用 3.解二元一次方程组 （1）⎩⎨⎧-=-=+13y x y x （2）⎩⎨⎧=+-=22332y x yx （3）（5）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+=-+725222z y x z y x z y x （4）4.已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝7，2mx －3ny ＝4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.求m ，n 的值．考点3 方程组的应用5..小明带7元钱去买中性笔和橡皮(两种文具都买)，中性笔每支2元，橡皮每块1元，那么中性笔能买__支．6.小明在某商店购买商品A 、B 共两次，这两次购买商品A 、B 的数量和费用如表：若小丽要购买3个商品A 和2个商品B ，则她要花费多少元钱？4 393 6 6 1627.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，甲矿泉水的成本是24元/箱，销售价是36元/箱；乙矿泉水的成本价是33元/箱，销售价是48元/箱. （1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？8.某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．（1）求该校的大小寝室每间各住多少人？（2）预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？9.由于电力紧张，某地决定对工厂实行鼓励错峰用电，规定：在每天7：00至24：00为用电高峰期，电价为a 元/度，每天0：00至7：00为用电平稳期，电价为b 元/度，若4月份在平稳期的用电量占当月用电量的31，5月份在平稳期的用电量占当月用电量的41，已知4月份用电12万度，交电费6.4万元，5月份用电16万度，交电费8.8万元.（1）求a 、b 的值；（2）若平稳期用电为x 万度，电费为y 元，已知6月份用电20万度． ①求出y 与x 之间的函数关系式；②为将电费控制在10万元至10.6万元之间，那么该厂6月份在平稳期用电量占当月总用电量比例应在什么范围？《二元一次方程组》过关测试卷（总分：100分 时间：60分钟 命题人：任艳霞）一、选择题（共6小题，每题4分，共24分） 1.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．228423119 (237)54624x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩2.方程组⎩⎨⎧=-=-82352y x y x ，消去y 后得到的方程是（ ）A 、01043=--x xB 、8543=+-x xC 、8)25(23=--x xD 、81043=+-x x3.已知b a 、满足方程组⎩⎨⎧=-=+43125b a b a ，则b a +的值为（ ）A.－4B.4C.－2D.24.一等腰三角形的两边长为x ，y ，满足方程组⎩⎨⎧=+=-82332y x y x ，则此等腰三角形的周长为（ ）A.4B.5C.3 D5或45.若二元一次方程，，有公共解，则的取值（ ） A 、3 B 、－3 C 、－4 D 、46.若0125=+-+++b a b a ，则=-2015）（a b （ ）A.－1B.1C.20155D.－20155二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 7.方程52=+y x 的正整数解是_.8.已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝k ，x ＋2y ＝－1的解互为相反数，则k 的值是____．9.若⎩⎨⎧==12y x 是方程⎩⎨⎧=+=-+12)1(2y nx m x 的解，则()=+2012n m 的值是__________.10.若，则＝ ，＝ .三、解答题（共56分） 11.（10分）解方程组 （1）⎩⎨⎧=+=-24352y x y x （2）⎩⎨⎧=+-=-632223y x y x12.（12分）已知方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩，由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为131x y =-⎧⎨=-⎩，乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩，若按正确的a 、b 计算，则原方程组的解是多少？13.（12分）运往灾区的两批货物，第一批共480吨，用8节火车车厢和20辆汽车正好装完；第二批共运524吨，用10节火车车厢和6辆汽车正好装完，求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？14.（14）某服装店用6 000元购进A ，B 两种新式服装，按标价售出后可获毛利润3 800元(毛利润＝售价－进价)，这两种服装的进价、标价如下表所示：(1)求这两种服装各购进的件数；(2)如果A 种服装按标价的8折出售，B 种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价售出少收入多少元？15.某蛋糕产销公司A 品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5 000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2014年底就投入资金10.89万元，新增了一条B 品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求．B 品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年每年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A ，B 两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B 品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数． (1)求A 品牌产销线2018年的销售量；(2)求B 品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．。
(初中)九年级数学《二元一次方程》中考专题阶段复习讲解教学课件
【解析】设入住A类旅游饭店的会议x次，入住B类旅游饭店的
会议y次.
根据题意，得
x y 18, 2x y 28,
解得
x y
10, 8.
答：此旅行社入住A类旅游饭店的会议10次，入住B类旅游饭店
的会议8次.
（初中）数学中考专题阶段复习讲解教学课件
谢谢
9 5
.
,
mx ny 7, nx my 1,
则 m 3n 13 3 9 8，所以3 m 3n 3 8 2.
55
答案：2
3.（中考）已知关于x,y的方程组
mx ny 7, 2mx 3ny
4的解为xy
1, 2,
求m，n的值.
【解析】把
x y
1, 2
代入
mx ny 7, 2mx 3ny
人数多22人”所得的方程是x-y=22；调查的吸烟的人数是
x 不，吸烟的人数是
2.5%
根y据共，调查了10 000人，列方
0.5%
程得 x y 10 000,
2.5% 0.5%
x y 22,
所以可列方程组
x 2.5%
y 0.5%
10
000.
2.（中考）学校举行“大家唱大家跳”文艺汇演，设置了歌唱
①-②，得2y=2,y=1,所以原方程组的解为xy
2, 1.
答案：xy
2, 1
2.(中考）解方程组：
2x y 3,① x y 0.②
【解析】①+②,得3x=3,x=1.
把x=1代入②，得y=1.原方程组的解为xy
1, 1.
3.(中考）解方程组
x 3y 12,① 2x 3y 6.②
与舞蹈两类节目，全校师生一共表演了30个节目，其中歌唱类
二元一次方程组专题讲义
二元一次方程组专题知识讲义一、二元一次方程的定义及通解1、二元一次方程的特解2、二元一次方程的通解（整数解）3、二元一次方程和一次函数的关系4、二元一次方程组5、二元一次方程组的解的情况判定6、二元一次方程组的解法示例二、例练及应用练习1、已知方程组ax+by=-16 x=8 x=8 Cx+20y=-224 的解为 y=-10,小明解题时，把c抄错了因此得到的解是 y=-13 则a2+b2+c2=__________2、关于x、y的方程组x+ay+1=0bx-2y+1=0有无数组解，则a、b的值为_________3、已知m是整数，方程组4x-3y=66x+ my=20有整数解，求m的值4、已知二元一次方程组2x+y=7X+2y=8,则x-y=________,x+y=_________5、若关于x,y的方程组ax+3y=92x-y=1无解，则a的范围为__________6、 m为正整数，已知二元一次方程组mx+2y=103x-2y=0,有正整数解，则m2=_______7、若对任意有理数a,b关于x,y的二元一次方程(a-b)x-(a+b)y=a+b有一组公共解，则公共解为__________8、若1/x +2/y +3/z=5, 3/x +2/y +1/z=7,则1/x +1/y +1/z=______9、方程︱x-2y-3︱+︱x+y+1︱=1的整数解得个数为________10.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品。
若铅笔3支，练习本7支，圆珠笔支共需6.3元；若购铅笔4支，练习本10支，圆珠笔1支，共需8.4元，现购买铅笔、圆珠笔、练习本各1本，共需多少元？11、某人准备装修一套新宅，若甲、乙两个装修公司合作需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的工程由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元；若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，选甲公司还是选已公司？请说明理由。
解二元一次方程组复习讲义
二元一次方程组一.知识点1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
5、代入消元法解二元一次方程组：（1）基本思路：未知数由多变少。
（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。
3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”5、把x、y的值用｛联立起来即“联”6、加减消元法解二元一次方程组（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
（2）用加减消元法解二元一次方程组的解1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数既不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。
二元一次方程讲义
二元一次方程组一、知识要点梳理知识点一：二元一次方程的概念含有两个未知数(一般设为x、y)，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程如x＋y＝24，都是二元一次方程.要点诠释：(1)在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.(2)“未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1. 如xy的次数是2，所以方程6xy＋9＝0不是二元一次方程.(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 如方程的左边不是整式，所以它就不是二元一次方程.(4)判断某个方程是不是二元一次方程，一般先把它化为ax＋by＋c＝0的形式，再根据定义判断，例如：2x＋4y＝3＋2x不是二元一次方程，因为通过移项，原方程变为4y＝3，不符合二元一次方程的形式。
知识点二：二元一次方程的解能使二元一次方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
由于使二元一次方程的左右两边相等的未知数的值不只一个，故每个二元一次方程都有无数组解。
如……，都是二元一次方程x＋y＝3的解，我们把有无数组解的这样的方程又称之为不定方程。
要点诠释：(1)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，即二元一次方程的解都要用“{”联立起来，如,是二元一次方程x＋y＝2的解(二元一次方程的解是一对数值，而不是一个数值)。
(2)在二元一次方程的无数个解中，每个解的一对数值是相互联系、一一对应的。
即其中一个确定后，另一个也随之确定并且唯一。
知识点三：二元一次方程组的概念把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.例如，都是二元一次方程组.要点诠释：如果两个一次方程合起来共有两个未知数，这样的方程组也是二元一次方程组。
例如，也是二元一次方程组.知识点四：二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：(1)方程组的解是一对数值，即，而不能表示成x＝9,y＝4.(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个.(3)检验一组数是否是二元一次方程组的解时，一定要将这一组数代入方程组中的每一个方程，看是否满足每一个方程，只有这组数是方程组中的所有方程的公共解时，该组数才是原方程组的解，否则不是。
第四章_二元一次方程_讲义1
慧学教育学科教师辅导讲义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：七年级 学科教师：谢老师 授课日期及时段课 题二 元 一 次 方 程重点、难点、考点1、二元一次方程的基本解法2、二元一次方程的应用学习目标1、了解二元一次方程的基本概念和解法2、知道如何运用二元一次方程解题教学内容第四章 二元一次方程组4.1二元一次方程含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
【练习题1】1、下列方程是二元一次方程的是（ ）A ．x 2+x=1 B ．2x+3y-1=0 C ．x+y-z=0 D ．x+1y+1=0 2、下列各组数值中是方程x-2y=4的解的是（ ） A ．2104 (1)121x x x x B C D y y y y ==-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=⎩⎩⎩⎩ 3、方程x+4y=1，x 2+y=1，y+z=0，x ·y=1，3x y+=2y 中，二元一次方程共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4、由32x y-=1可以得到用x 表示y 的式子的是（ ） A ．y=223x - B ．y=23x -13 C ．y=23x -2 D ．y=2-23x5、已知12x y =⎧⎨=-⎩是二元一次方程x+ky=9的一个解，求k 的值，并检验13x y =-⎧⎨=-⎩是不是这个方程的解．6、已知方程4a+3b=16．（1）用关于a 的代数式表示b ； （2）求当a=-2，0，1时，对应的b 值，并写出方程4a+3b=16的三个解．4.2二元一次方程组由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。
【练习题2】1、下列方程中，属于二元一次方程组的是 （ ）A ．22816581 (35927)23x y x y x y y B C D xxxy y x y x y -=⎧⎧-=+=⎧+=⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨=+=+=⎩⎩⎪⎪-=⎩⎩ 2、解为12x y =⎧⎨=⎩的方程组是 （ ）A ．11323 (35353135)x y x y x y x y B C D x y x y x y x y -=-=-=-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨+===--=+=⎩⎩⎩⎩ 3、方程3x+4y=16与下面哪个方程所组成的方程组的解是41x y =⎧⎨=⎩（ ）A ．12x+3y=7 B ．3x-5y=7 C ．14x-7y=8 D ．2（x-y ）=3y 4、方程组125x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是（ ）A ．1212...2121x x x x B C D y y y y =-===⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-==⎩⎩⎩⎩5、小珍用12.4元恰好买了单价为0.8元和1.20元两种贺卡共12张，•则其中单价为0.8元的贺卡有（ ） A ．5张 B ．7张 C ．6张 D ．4张6、已知下列五对数值：（ ）（1）80104121(2)(3)(4)(5)106131x x x x x y y y y y =-====-⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨=-=-=-=-=⎩⎩⎩⎩⎩① 哪几对数值是方程12x-y=6的解？ ② 哪几对数值是方程2x+31y=-11的解？③ 指出方程组16223111x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩的解．①②①②7、某班花了50元钱购买笔和讲义夹，每支笔6元，每个讲义夹4元，设买笔x 支，买讲义夹y 个，试用列表尝试法求出x 、y 的值．4.3解二元一次方程组① 消元就是把二元一次方程组化为一元一次方程。
《二元一次方程与一次函数》 讲义
《二元一次方程与一次函数》讲义一、二元一次方程的基本概念首先，咱们来聊聊二元一次方程。
二元一次方程呢，指的是含有两个未知数，并且未知数的最高次数都是 1 的整式方程。
一般形式可以写成 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 （其中 A、B 不同时为 0）。
比如说，2x ＋ 3y ＝ 7 就是一个二元一次方程。
这里的 x 和 y 就是我们所说的两个未知数。
那怎么求解二元一次方程呢？通常情况下，一个二元一次方程有无数个解。
因为给定一个 x 的值，就能通过方程算出对应的 y 值；反过来，给定一个 y 的值，也能算出对应的 x 值。
二、一次函数的基本概念接下来，咱们再看看一次函数。
一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b （其中 k、b 为常数，k ≠ 0）。
这里的 k 叫做斜率，表示函数图像的倾斜程度。
k 的绝对值越大，图像就越陡峭；k 的正负决定了函数图像是上升还是下降。
当 k ＞ 0 时，函数图像是上升的；当 k ＜ 0 时，函数图像是下降的。
b 呢，叫做截距，就是函数图像与 y 轴的交点的纵坐标。
比如说，y ＝ 2x ＋ 1 就是一个一次函数。
其中 2 是斜率，1 是截距。
三、二元一次方程与一次函数的关系那二元一次方程和一次函数之间到底有啥关系呢？其实，把二元一次方程 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 （A、B 不同时为 0）变形，就可以得到 y ＝（A/B)x （C/B) 。
这个式子是不是和一次函数的形式很像？所以，二元一次方程的解就对应着一次函数图像上的点。
以方程 2x ＋ 3y ＝ 6 为例，我们把它变形为 y ＝（2/3)x ＋ 2 。
然后画出这个一次函数的图像，图像上的每个点的坐标（x，y）都是方程 2x ＋ 3y ＝ 6 的解。
反过来，一次函数图像上的每个点的坐标也都是对应的二元一次方程的解。
四、通过一次函数求解二元一次方程组既然二元一次方程和一次函数有这样紧密的联系，那咱们就可以利用一次函数来求解二元一次方程组啦。
二元一次方程组讲义
二元一次方程组讲义二元一次方程组讲义题型一：二元一次方程（组）的概念①二元一次方程是一个含有两个未知数的方程，且未知数项的次数都是1.需要满足四个条件：1、方程是整式方程；2、只含有两个未知数；3、未知数的项最高次数都是一次；4、含有未知数的项的系数不为0.②二元一次方程组是含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程。
需要满足三个条件：1、每个方程都是一次方程；2、方程组具有两个未知数；3、每个方程均为整式方程。
在方程组中，相同字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起，组成方程组。
①二元一次方程：例1、下列方程中，只有3x+6=2x，xy=3，y-xy=4，10x-2y=0，x+y/4=2，2x+3xy=5是二元一次方程。
例2、方程ax-4y=x-1是二元一次方程，则a的取值范围为实数。
例3、已知方程mx+(m+2)y=3m-1是关于x,y的二元一次方程，则m的取值范围是实数。
例4、若关于x，y的方程x+y/4-3y/2=1，其中a+b≤3，则a-b=7/4.②二元一次方程组：例1、下列方程组中，二元一次方程组的个数是3：{x+y=1.x^2+y^2=1.xy=1}。
例2、若方程组{x-(c+3)y=0.xy=3}是关于x,y的二元一次方程组，则代数式a+b+c 的值为2.题型二：二元一次方程（组）的解的概念二元一次方程的解是指使方程左右两边相等的一对数值。
需要注意的是：1）每一个解都是一对数值，而不是一个数值；2）一般情况下，一个二元一次方程有无数多组解，但并不是说任意一对数值都是它的解，当对解有限制条件时，二元一次方程的解的个数为有限个。
判断下列数值是否是二元一次方程3x+y=11的解：1) x=3.y=-12) x=3.y=2解答：将数值代入方程3x+y=11中，得：1) 3(3)+(-1)=8，不是方程的解。
2) 3(3)+(2)=11，是方程的解。
下列数值，是二元一次方程t-2s=-8的解的是：t=3.s=2t=2.s=4t=4.s=6t=2.s=1解答：将数值代入方程t-2s=-8中，得：1) 3-2(2)=-1，不是方程的解。
二元一次方程组重难点复习讲义
第 1 页 共 3 页二元一次方程组 类型总结（提高题）类型一：二元一次方程的概念及求解例（1）．已知（a －2）x －by |a |－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____．（2）．二元一次方程3x ＋2y ＝15的正整数解为_______________．类型二：二元一次方程组的求解例（3）．若|2a ＋3b －7|与（2a ＋5b －1）2互为相反数，则a ＝______，b ＝______．（4）．2x －3y ＝4x －y ＝5的解为_______________． 类型三：已知方程组的解，而求待定系数。
例（5）．已知⎩⎨⎧==12y x －是方程组⎩⎨⎧=++=-274123ny x y mx 的解，则m 2－n 2的值为_________．（6）．若满足方程组⎩⎨⎧=-+=-6)12(423y k kx y x 的x 、y 的值相等，则k ＝_______． 练习：若方程组⎩⎨⎧=++=-10)1(232y k kx y x 的解互为相反数，则k 的值为 。
若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+52243y b ax y x 与⎪⎩⎪⎨⎧=-=-5243y x by x a 有相同的解，则a = ，b= 。
类型四：涉及三个未知数的方程，求出相关量。
设“比例系数”是解有关数量比的问题的常用方法．例（7）．已知2a ＝3b ＝4c ，且a ＋b －c ＝121，则a ＝_______，b ＝_______，c ＝_______． （8）．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+634323x z z y y x ，得x ＝______，y ＝______，z ＝______．练习：若2a ＋5b ＋4c ＝0，3a ＋b －7c ＝0，则a ＋b －c = 。
由方程组⎩⎨⎧=+-=+-0432032z y x z y x 可得，x ∶y ∶z 是（ ）A 、1∶2∶1B 、1∶（－2）∶（－1）C 、1∶（－2）∶1D 、1∶2∶（－1）说明：解方程组时，可用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，再根据比例的性质求解．当方程组未知数的个数多于方程的个数时，把其中一个未知数看作已知常数来解方程组。
二元一次方程(组)专题讲义
二元一次方程（组）的解法专题讲义知识点 1 用代入消元法解二元一次方程组例1、解二元一次方程组{ 2x−3y=5, x−y =3.【变式1】用代入消元法解方程组{ 2x − y =5, 3x−2y =8.【变式2】.用代入消元法解方程组{ 7x − 2y =3,x−2y =−12.有以下步骤:(1)由①,得y=7x−3y2③;(2)将③代入①,得7x-2×7x−3y2=3;(3)整理,得3=3;(4)所以x可取一切实数,原方程组有无数组解. 以上解法,造成错误的一步是知识点 2 用加减消元法解二元一次方程组例2、用加减消元法解二元一次方程组{ 5x − 2y =4, 2x + 3y =9.【变式1】加减消元法解方程组{ 3x+2y=6, 2x+3y=1 .【变式2】已知x,y满足方程组{ x+6y=12,3x−2y=8 .则x+y知识点3 含参数二元一次方程组例3.已知关于x,y的方程组{ x+2y=3m,x−y=9m .的解满足方程3x+2y=17,求m的值.【变式1】已知关于x,y的方程组{ 2x+5y=−6,,ax−by=−4 .与{(3x−5y=16bx+ay=−8 .的解相同,求(2a+b)2 024的值.【变式2】小明说{ x=−1,y = 2 .为关于x,y的方程ax+by=10的解,小惠说{x=2,y =−1 .为关于x,y的方程ax+by=10的解.两人谁也不能说服对方,如果你想让他们的解都正确,那么需要添加的条件是a= ,b=知识点4 二元一次方程与一次函数的关系例4、如图,直线y=ax-b与直线y=mx+1交于点A(2,3),则方程组{ ax−y=b,mx−y=−1 .的解为【变式1】用图象法解某二元一次方程组时,在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示),则所解的二元一次方程组是【变式2】若以关于x,y的二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点都在直线y=−12x+b-1上,则b= 知识点5 二元一次方程（组）的简单应用例6.某商店在节日期间开展优惠促销活动:凡购买原价超过200元的商品,超过200元的部分可以享受打折优惠.若购买商品的实际付款金额y(单位:元)与商品原价x(单位:元)之间的函数关系如图所示,则图中a 的值是【变式1】.某洗衣机洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分)之间的关系如图所示,已知清洗时间为11分钟,则排水2分钟时洗衣机中剩下的水量为 升.【变式1】 【变式2】【变式1】如图,直线l1的表达式为y=2x-2,直线l1与x 轴交于点D.直线l2:y=kx+b 与x 轴交于点A,且经过点B(3,1),直线l1,l2交于点C(m,2).(1)求直线l2的表达式;(2)求△ADC 的面积;(3)写出关于x,y 的二元一次方程组{ y =2x −2,y =kx +b .的解. 课堂练习1.已知关于x,y 的方程(m-2)x |m|-1+(2n+1)y 2n-3=9是二元一次方程,求m,n 的值.2.用加减法解方程组{ 3x −4y =4,3x −2y =8,其解题过程如下: ①-②,得-4y-2y=4-8,解得y=23.把y=23代入①,得3x −83=4,解得x=209.所以这个方程组的解为{ x =209,y =23,上述解题过程是否正确?若不正确,请写出正确的解题过程.3.当m取何整数值时,方程组{ 2x+my=4,x+4y=1,的解x和y都是整数?4.如图,在长为10 m、宽为8 m的长方形空地上,沿平行于各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃,则其中一个小长方形花圃的周长是m.5.若二元一次方程组{ 3x−y=5,3x−y=−1,无解,则直线y=3x-5与y=3x+1的位置关系为6.一次函数y=x+1与y=ax+3的图象交于点P,且点P的横坐标为1,则关于x,y的方程组{ y=x+1,y=ax+3,的解是.7.若关于x,y的方程组{ 4x+3y=10,kx−(k−1)y=−8,的解中x的值比y的值的相反数大2,则k为8.甲、乙两人同求关于x,y的二元一次方程ax-by=7的整数解,甲正确地求得一组解为{ x=1,y=−1,乙把ax-by=7看成ax-by=1,求得另一组解为{ x=1,y=2,求a+2b的平方根 .9.如图,已知直线l1:y=3x+1与直线l2:y=mx+n交于点P(-2,a). (1)求a的值,判断直线l3:y=-1/2nx-2m是否也经过点P,并说明理由;(2)不解关于x,y的方程组{ y=3x+1,y=mx+n,请你直接写出它的解.10.某地植物园从正门到侧门有一条小路,甲徒步从正门出发匀速走向侧门,出发一段时间开始休息,休息了0.6 h后仍按原速继续行走.乙与甲同时出发,骑自行车从侧门匀速前往正门,到达正门后休息0.2 h,然后按原路原速匀速返回侧门.甲、乙到侧门的距离y(km)与出发时间x(h)之间的函数关系如图所示.根据图象信息解答下列问题:(1)求甲在休息前,y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)求甲、乙第一次相遇的时间;(3)直接写出乙回到侧门时,甲到侧门的距离.。
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7-8二元一次方程组专题复习讲义姓名：第一一部分：二元一次方程组知识点1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
5、代入消元法解二元一次方程组：（1）基本思路：未知数又多变少。
（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。
3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”5、把x、y的值用｛联立起来即“联”6、加减消元法解二元一次方程组（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
（2）用加减消元法解二元一次方程组的解1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。
3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。
4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。
5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
解二元一次方程组应用题的步骤：1、一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：2、审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；3、找：找出能够表示题意两个相等关系；4、列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；5、解：解这个方程组，求出两个未知数的值；6、答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案【基础知识回顾】一、等式的概念及性质：1、等式：用“=”连接表示关系的式子叫做等式2、等式的性质：1、性质①等式两边都加（减）所得结果仍是等式即：若a=b,那么a±c=2、性质2：等式两边都乘以或除以（除数不为0）所得结果仍是等式若：a=b,那么a c= 若a=b（c≠o）那么a c=【名师提醒：①用等式性质进行等式变形，必须注意“都”不被漏项②等式两边都除以一个数式时必须保证它的值】二、方程的有关概念：1、含有未知数的叫做方程2、使方程左右两边相等的的值，叫做方程的组3、叫做组方程4、方程两边都是关于未知数的 这样的方程叫做整式方程 三、一元一次方程：1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 的 方程叫做一元一次方程，一元一次方程一般可以化成 的形式2、解一元一次方程的一般步骤：1。
2。
3。
4。
5。
【名师提醒：1、一元一次方程的解法的多步骤的一句分别是等式的性质和合并同类法则要注意灵活准确运用 2、去分母时应注意不要漏乘项，移项时要注意。
】 四、二元一次方程组及解法：二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a .b.c 是常数，a ≠o,b ≠o ) 1、 由几个含有相同未知数的 合在一起，叫做二元一次方程组 2、 二元一次方程组中两个方程的 叫做二元一次方程组的解 3、 解二元一次方程组的基本思路是： 4、 二元一次方程组的解法：① ②【名师提醒：1、一个二元一次方程的解有 组，我们通常在实际应用中要求其正整数解2、二元一次方程组的解应写 成 五、列方程（组）解应用题：一般步骤：1、审：弄清题意，分清题目中的已知点和未知点；2、设：直接或间接设未知数3、列：根据题意寻找等关系列方程（组）；4、解：解这个方程（组），求出未知数的值5、验：检验方程（组）的解是否符合题意6：答：写出（名称）【名师提醒：1、列方程（组）解应用题的关键是：2、几个常用的等量关系：①路程= X ②工作效率= 】 第二部分：【重点考点例析】考点一：等式性质及一元一次方程的解法例2 （2012•厦门）解方程组：3421x y x y +=⎧⎨-=⎩． 对应训练：2．（2012•南京）解方程组31328x y x y +=-⎧⎨-=⎩．考点三：一次方程（组）的应用例3 （2012•温州）楠溪江某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元．小明买20张门票共花了1225元，设其中有x 张成人票，y 张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是（ ）A ．2035701225x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．2070351225x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．1225703520x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．1225357020x y x y +=⎧⎨+=⎩x=a y=b 的形式例5 （2012•株洲）在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：如图掷到A 区和B 区的得分不同，A 区为小圆内部分，B 区为大圆内小圆外的部分（掷中一次记一个点）．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：（1）求掷中A 区、B 区一次各得多少分？（2）依此方法计算小明的得分为多少分？对应训练3．（2012•宁夏）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x 分钟，下坡用了y 分钟，根据题意可列方程组为（ ）A ．35120016x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．35 1.2606016x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩C ．35 1.216x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．351200606016x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩5．（2012•云南）某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2000件．已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件．求该企业分别捐给甲、乙两所学校的矿泉水个多少件？【聚焦山东中考】1．（2012•滨州）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为x ，y 分钟，列出的方程是（ ）A ．14250802900x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ B ．158********x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．14802502900x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ D ．152********x y x y +=⎧⎨+=⎩ 3．（2012•菏泽）已知是二元一次方程组的解，则2m ﹣n 的算术平方根为（）A ．±2B ．C ． 2 D． 44．（2012•临沂）关于x 、y 的方程组的解是，则|m ﹣n|的值是（ ）A ．5B ． 3C ． 2D ． 15．（2012•聊城）儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元．已知书包标价比文具盒标价3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？6．（2012•东营）如图，长青化工厂与A 、B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从A 地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B 地．已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．求：（1）该工厂从A 地购买了多少吨原料？制成运往B 地的产品多少吨？（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 2012 ◆例题解析例1（2011江苏扬州，24,10分）古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A 、B 两个工程队先后接力完成。
A 工程队每天整治12米，B 工程队每天整治8米，共用时20天。
（1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：甲：⎩⎨⎧=+=+y x y x 812乙：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+812y x y x 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x,y 表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x 表示 ，y 表示 ；乙：x 表示 ，y 表示 ； （2）求A 、B 两工程队分别整治河道多少米？（写出完整的解答过程）例2 “5．12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．•某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000•顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；•若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶． （1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？例3 某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，•求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？例4 为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲，乙，•丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m 3，•其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m 3． （1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t 土石，运输公司派出A 型，B•型两种载重汽车，A 型汽车6辆，B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A 型汽车3辆，B 型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A 型汽车，每辆B 型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）三、解答题18．（2012•湖州）解方程组281x y x y +=⎧⎨-=⎩．19．（2012•宿迁）学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以60km/h 的速度走平路，后又以30km/h 的速度爬坡，共用了6.5h ；汽车以40km/h 的速度下坡，又以50km/h 的速度走平路，共用了6h ，问平路和坡路各有多远？21．（2012•南昌）小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤． 妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”； 爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？” 请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）．23．（2012•广西）有甲、乙两种车辆参加来宾市“桂中水城”建设工程挖渠运土，已知5辆甲种车和4辆乙种车一次可运土共140立方米，3辆甲种车和2辆乙种车一次可运土共76立方米．求甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少立方米？23．（2012•吉林）如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为28cm，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224cm．设演员的身高为xcm，高跷的长度为ycm，求x，y的值．24．（2012•海南）为了进一步推进海南国际旅游岛建设，海口市自2012年4月1日起实施《海口市奖励旅行社开发客源市场暂行办法》，第八条规定：“旅行社引进会议规模达到200人以上，入住本市A类旅游饭店，每次会议奖励2万元；入住本市B类旅游饭店，每次会议奖励1万元．”某旅行社5月份引进符合奖励规定的会议共18次，得到28万元奖金，求此旅行社引进符合奖励规定的入住A类和B类旅游饭店的会议各多少次？25．（2012•江西）小华写信给老家的爷爷，问候“八一”建军节．折叠长方形信纸、装入标准信封时发现：若将信纸如图①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时，宽绰有3.8cm；若将信纸如图②三等分折叠后，同样方法装入时，宽绰1.4cm．试求信纸的纸长与信封的口宽．26．（2012•龙岩）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．。