高三数学一轮复习 8.3圆的方程课件
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人教版高中总复习一轮数学精品课件 第8章 解析几何 8.3 圆的方程
命题角度2 截距型最值问题
例4 在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.
解 y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距.
如图,当直线y=x+b与圆相切时,
纵截距b取得最大值或最小值,
|2-0+|
此时
√2
= √3,解得 b=-2±√6.
故 y-x 的最大值为-2+√6,最小值为-2-√6.
命题角度3 距离型最值问题
2
2
x+y-2=0.
解题心得求解与圆有关的最值问题的两种思路
(1)借助几何性质求最值
-
①形如 k= 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的
-
最值问题;
②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
③形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的
代入 x2+y2=1,整理得
又 y0≠0,所以 y≠0.故所求轨迹方程为
1 2
2 4
+ 3 +y =9(y≠0).
解题心得求与圆有关的轨迹方程问题时,根据题设条件的不同,常采用以下
方法:
(1)直接法:直接根据题目提供的条件求出轨迹方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义求出轨迹方程.
(3)几何法:利用圆的几何性质求出轨迹方程.
则点P的坐标为(2x-2,2y),其中x≠2.
因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).
(2)设PQ的中点为N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
2025年高考数学一轮复习-8.3-圆的方程【课件】
（2） 在圆上，即 在圆上；
（3） 在圆内，即 在圆内.
【用一用】
1.若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析：选C.由题意得 解得 ,故选C.
√
2.圆过点 ， ，则周长最小的圆的方程为____________________.
√
√
解析：选BC.由圆的标准方程可知，该圆的圆心坐标为 ，半径为 ,故选项A，D不正确；因为 ，所以该圆过原点，故选项B正确；在圆的方程 中，令 ，有 或 ，因为 ,所以该圆与 轴相交于两个不同点，故选项C正确，故选BC.
3.(2023·广东广州模拟)过 ， 两点，且半径为4的圆的标准方程为_____________________________________.
或
解析：由题意 ,所以 中垂线的斜率为 ， 中点坐标为 ，所以线段 的垂直平分线的方程为 ,整理 ，故所求圆的标准方程为 或 .
4.(2022·高考全国卷甲)设点 在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为______________________.
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
圆的定义和圆的方程
定义
平面上到______的距离等于______的点的集合叫做圆
标准方程
圆心
半径为
一般方程
充要条件：
圆心 __________
半径
定点
定长
[提醒] 当 时，此方程表示的图形是圆；当 时，此方程表示一个点 ；当 时，它不表示任何图形.
解析：显然当 为直径时，圆周长最小，此时圆的方程为 ,即 .
核心考点 师生共研
02
考点一 圆的方程（自主练透）
（3） 在圆内，即 在圆内.
【用一用】
1.若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析：选C.由题意得 解得 ,故选C.
√
2.圆过点 ， ，则周长最小的圆的方程为____________________.
√
√
解析：选BC.由圆的标准方程可知，该圆的圆心坐标为 ，半径为 ,故选项A，D不正确；因为 ，所以该圆过原点，故选项B正确；在圆的方程 中，令 ，有 或 ，因为 ,所以该圆与 轴相交于两个不同点，故选项C正确，故选BC.
3.(2023·广东广州模拟)过 ， 两点，且半径为4的圆的标准方程为_____________________________________.
或
解析：由题意 ,所以 中垂线的斜率为 ， 中点坐标为 ，所以线段 的垂直平分线的方程为 ,整理 ，故所求圆的标准方程为 或 .
4.(2022·高考全国卷甲)设点 在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为______________________.
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
圆的定义和圆的方程
定义
平面上到______的距离等于______的点的集合叫做圆
标准方程
圆心
半径为
一般方程
充要条件：
圆心 __________
半径
定点
定长
[提醒] 当 时，此方程表示的图形是圆；当 时，此方程表示一个点 ；当 时，它不表示任何图形.
解析：显然当 为直径时，圆周长最小，此时圆的方程为 ,即 .
核心考点 师生共研
02
考点一 圆的方程（自主练透）
2015高考数学一轮复习课件：8.3 圆的方程
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
解析：线段 AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)的两端点分别为(2,0)、 (0,2)，所以圆心为(1,1)，
又因为圆半径为12 22＋22＝ 2， 所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 答案：B
第二十页，编辑于星期五：十二点 二十二分。
解析： (1)设圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆的方程为(x－a)2＋y2＝52. ∵点 A 在圆上，∴(2－a)2＋(－3)2＝25， 解得 a＝－2 或 a＝6. 故所求圆的方程为 (x＋2)2＋y2＝25 或(x－6)2＋y2＝25.
第二十一页，编辑于星期五：十二点 二十二分。
第二十九页，编辑于星期五：十二点 二十二分。
因为平行四边形的对角线互相平分， 故2x＝x0－2 3，2y＝y0＋2 4，从而xy00＝＝xy＋－34，. N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 因此所求 P 点的轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4， 但应除去两点：－95，152和－251，258(点 P 在 OM 所在的 直线上时的情况)．
第四页，编辑于星期五：十二点 二十二分。
二、点与圆的位置关系 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心 A(a，b)，半径 r， 若点 M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝__r_2___； 若点 M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2__＞__r_2_； 若点 M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2__＜__r_2_.
第三十页，编辑于星期五：十二点 二十二分。
点评：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采 用以下方法：直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；定义 法，根据圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆与圆的几何性 质列方程；代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满 足的关系式等．
解析：线段 AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)的两端点分别为(2,0)、 (0,2)，所以圆心为(1,1)，
又因为圆半径为12 22＋22＝ 2， 所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 答案：B
第二十页，编辑于星期五：十二点 二十二分。
解析： (1)设圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆的方程为(x－a)2＋y2＝52. ∵点 A 在圆上，∴(2－a)2＋(－3)2＝25， 解得 a＝－2 或 a＝6. 故所求圆的方程为 (x＋2)2＋y2＝25 或(x－6)2＋y2＝25.
第二十一页，编辑于星期五：十二点 二十二分。
第二十九页，编辑于星期五：十二点 二十二分。
因为平行四边形的对角线互相平分， 故2x＝x0－2 3，2y＝y0＋2 4，从而xy00＝＝xy＋－34，. N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 因此所求 P 点的轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4， 但应除去两点：－95，152和－251，258(点 P 在 OM 所在的 直线上时的情况)．
第四页，编辑于星期五：十二点 二十二分。
二、点与圆的位置关系 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心 A(a，b)，半径 r， 若点 M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝__r_2___； 若点 M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2__＞__r_2_； 若点 M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2__＜__r_2_.
第三十页，编辑于星期五：十二点 二十二分。
点评：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采 用以下方法：直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；定义 法，根据圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆与圆的几何性 质列方程；代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满 足的关系式等．
高三数学一轮复习第八章解析几何第3课时圆的方程课件
√ √
跟进训练3 (2024·山东潍坊高三模拟)已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2， －2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上． (1)求圆C的方程； (2)线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的 轨迹方程．
【教师备用】 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边 形MONP，求点P的轨迹．
位置关系
几何法
判断方法 代数法
点M(x0，y0)在圆A内 |MA|<r
<
<
点M(x0，y0)在圆A上 |MA|＝r
＝
＝
点M(x0，y0)在圆A外 |MA|>r
>
>
点拨 求圆的方程的两种方法
跟进训练1 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝3，且AB∥CD，AD＝BC， AB与CD间的距离为3.求等腰梯形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐 标和半径．
提示：对于求点的轨迹或轨迹方程的问题，在求出轨迹方程后，应判断一下 题目中的条件有没有特殊的限制或要求，是否需要排除掉某些特殊点．本题 中容易忽略掉O，M，P三点共线时的情况，因此得到轨迹为整个圆的错误结 论．
【教师备用】 拓展视野1 阿波罗尼斯圆
如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|. 则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称 之为阿波罗尼斯圆．
第八章 解析几何 第3课时 圆的方程
考点一 圆的方程 1．圆的定义及方程
定义 标准方程
平面定上点到____的距离等于_定___长的点的集合(轨迹)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《圆的方程》课件ppt
设动点P的坐标为(x，y)， 因为 M(1,0)，N(2,0)，且|PN|＝ 2|PM|， 所以 x－22＋y2＝ 2· x－12＋y2，
整理得x2＋y2＝2， 所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q 的轨迹方程.
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B
＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ )
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋
F>0.( √ )
教材改编题
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，
F＝0，
则16＋4D＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0，
解得D＝－4， E＝－2，
满足 D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
F＝0，
则1＋1－D＋E＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
方法二 设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角 形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0) 为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴 的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径 r＝ a－02＋－2a＋3－02
高三数学一轮复习 第八章 第三节 圆的方程课件 理 新人教A版
第十七页，共36页。
若本例中的条件不变． (1)求xy＋＋21的最大值和最小值； (2)求 x－2y 的最大值和最小值． 【解】 (1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3， 表示以(2，0)为圆心， 3为半径的圆． xy＋＋21的几何意义是圆上一点与(－1，－2)连线的斜率， 设xy＋＋21＝k，即 y＋2＝k(x＋1)．
∴半径 r＝2 2， ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
第十一页，共36页。
用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆 心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方 程组求解．②若已知条件没有明确(míngquè)给出圆的圆心 或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组 求解．
第四页，共36页。
1．(人教 A 版教材习题改编)圆的方程为 x2＋y2＋2by－ 2b2＝0，则圆的圆心和半径分别为( )
A．(0，b)， 3b
B．(0，b)， 3|b|
C．(0，－b)， 3b
D．(0，－b)， 3|b|
【解析】 圆的标准方程为 x2＋(y＋b)2＝3b2， 从而圆的圆心坐标为(0，－b)，半径为 3|b|.
第二十七页，共36页。
从近两年高考看，圆的方程的求法每年均有涉及，是高 考的必考点，命题形式主要有两大类，一是以选择题、填空 题的形式考查(kǎochá)圆的定义及标准方程的求法，另一类 是与直线、向量、圆锥曲线综合命题，注重数形结合思想及 圆的几何性质的考查(kǎochá)，在求解与圆有关的解答题 时，应注意解题的规范化．
第二十二页，共36页。
1．本例中点P是平行四边形MONP的一个顶点，因此在 点M、O、N三点共线(ɡònɡ xiàn)时，点P是不存在的，故所 求的轨迹中应除去两点．
若本例中的条件不变． (1)求xy＋＋21的最大值和最小值； (2)求 x－2y 的最大值和最小值． 【解】 (1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3， 表示以(2，0)为圆心， 3为半径的圆． xy＋＋21的几何意义是圆上一点与(－1，－2)连线的斜率， 设xy＋＋21＝k，即 y＋2＝k(x＋1)．
∴半径 r＝2 2， ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
第十一页，共36页。
用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆 心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方 程组求解．②若已知条件没有明确(míngquè)给出圆的圆心 或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组 求解．
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1．(人教 A 版教材习题改编)圆的方程为 x2＋y2＋2by－ 2b2＝0，则圆的圆心和半径分别为( )
A．(0，b)， 3b
B．(0，b)， 3|b|
C．(0，－b)， 3b
D．(0，－b)， 3|b|
【解析】 圆的标准方程为 x2＋(y＋b)2＝3b2， 从而圆的圆心坐标为(0，－b)，半径为 3|b|.
第二十七页，共36页。
从近两年高考看，圆的方程的求法每年均有涉及，是高 考的必考点，命题形式主要有两大类，一是以选择题、填空 题的形式考查(kǎochá)圆的定义及标准方程的求法，另一类 是与直线、向量、圆锥曲线综合命题，注重数形结合思想及 圆的几何性质的考查(kǎochá)，在求解与圆有关的解答题 时，应注意解题的规范化．
第二十二页，共36页。
1．本例中点P是平行四边形MONP的一个顶点，因此在 点M、O、N三点共线(ɡònɡ xiàn)时，点P是不存在的，故所 求的轨迹中应除去两点．
高考数学文优化方案一轮复习第8第三圆的方程苏教江苏专用-.ppt
2．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系可以利用点与圆心间的 距离跟半径 r 的大小关系的比较来判断． (1)点 P(x0，y0)与⊙M：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的 位 置 关 系 有 ： (x0 － a)2 ＋ (y0 －
b)2 >＝r2r⇔2⇔___点__点__P__P在__在__⊙__⊙__M__M__外__上___；； <r2⇔__点__P_在___⊙__M_内___.
考点探究·挑战高考
考点突破
考点一 求圆的方程
无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，都 有三个待定系数，因此求圆的方程，应用三 个条件来求．一般地，已知圆心或半径的条 件，选用圆的标准式，否则选用一般式．另 外，还有几何法可以用来求圆的方程．要充 分利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的 任一条弦的垂直平分线上”“半径、弦心距、 弦长的一半构成直角三角形”等．
答案：(－a，－b) |m|
2．(2019年徐州质检)经过原点，圆心在x轴的 负半轴上，半径等于的圆的标准方程是 ________．
答案：(x＋ 3)2＋y2＝3
3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则 k的取值范围是________． 答案：(－∞，1) 4．圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当圆 面积最大时，圆心坐标为________． 答案：(0，－1)
D＝1，
E＝5，
解得
F＝－6， m＝－3.
所以圆 C 的方程为 x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
(2)圆心 C(－12，－52)，设圆心到 l1，l2 的距离分别 为 d1，d2，则 d21＋d22＝OC2＝123， 又(E2F)2＋d21＝R2，(G2H)2＋ d22＝R2， 两式相加，得：EF2＋GH2＝74≥2EF·GH，
高考数学(文)一轮复习 8-3圆的方程
5
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
2．三个结论 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0)，d 为 圆心到点 M 的距离． (1)__(x_0_－__a_)2_＋__(_y_0－__b_)_2_＝__r_2 __⇔点在圆上⇔d＝r； (2) _(x_0_－__a_)_2＋__(_y_0－ __b__)2_>_r_2____⇔点在圆外⇔d>r； (3) _(_x_0－__a_)_2_＋__(y_0_－__b_)_2<_r_2____⇔点在圆内⇔d<r.
4
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
(2)方程表示圆的充要条件为：__D_2_＋_E__2－__4_F__>_0_______； (3)圆心坐标__－__D_2_，__－__E2___，半径 r＝_12__D__2＋ __E__2－__4_F_.. 考点 2 点与圆的位置关系 1．理论依据 _点__与__圆__心____的距离与半径的大小关系．
21
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
【变式训练 1】 (1)[2015·全国卷Ⅱ] 过三点 A(1,3)， B(4,2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|＝( )
A．2 6 C．4 6
B．8 D．10
解析 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点 A， B，C 代入，
12
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
3．[课本改编]若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4 的内
高三一轮总复习高效讲义第8章第3节 圆的方程(一)课件
所以 x0＝2x－3，y0＝2y． 由(1)知，点 C 的轨迹方程为(x0－1)2＋y20 ＝4(y≠0)， 将 x0＝2x－3，y0＝2y 代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1． 因此动点 M 的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
[思维升华] 求与圆有关的轨迹问题的三种方法 (1)直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标 表示等式，直接求解轨迹方程． (2)定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写 出圆的方程． (3)代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时， 常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程．
解：(1)法一 设 C(x，y)．因为 A，B，C 三点不共线， 所以 y≠0． 因为 AC⊥BC，且 BC，AC 斜率均存在， 所以 kAC·kBC＝－1． 所以x＋y 1 ·x－y 3 ＝－1， 化简得 x2＋y2－2x－3＝0． 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
5．[易错题](2021·江西景德镇期末)过点 P－1，1 作圆 x2＋y2－ax－2y＋a2－2＝0 的切线有两条，则 a 的取值范围是________．
解析：∵x2＋y2－ax－2y＋a2－2＝0 表示一个圆， ∴(－a)2＋(－2)2－4(a2－2)>0，∴－2<a<2， 又由过点 P－1，1 作圆 x2＋y2－ax－2y＋a2－2＝0 的切线有两条，得 P 在圆外， 所以(－1)2＋12－a×(－1)－2×1＋a2－2>0，解得 a<－2 或 a>1． 综上所述，1<a<2．所以 a 的取值范围是1，2 ． 答案：(1，2)
2019版高三数学一轮复习 8.3圆的方程课件
B=0,D2+E2-4AF>0;
④若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x02+y02+Dx0+Ey0+F>0. 其中正确的是( )
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
精品
6
【解析】选D.①错误.当t≠0时,方程表示圆心为(-a,-b),半径为
|t|的圆.
②错误.当a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0即 2＜ a＜ 2时才表示圆.
2)2+y2=5.
答案:(x-2)2+y2=5
精品
11
6.若原点在圆(x-m)2+(y+m)2=8的内部,则实数m的取值范围是 .
【解析】因为原点在圆(x-m)2+(y+m)2=8的内部,所以(0-m)2 +(0+m)2<8,即m2+m2<8,所以-2<m<2. 答案:-2<m<2
精品
12
考点1 确定圆的方程
【典例1】(1)若圆心在x轴上、半径为 5 的圆O′位于y轴左侧, 且与直线x+2y=0相切,则圆O′的方程是( )
A.(x-5)2+y2=5或(x+5)2+y2=5
B.(x+ 5 )2+y2=5 C.(x-5)2+y2=5
D.(x+5)2+y2=5
精品
13
(2)如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为x+2y-5=0,y-
3
③正确.因为A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0得方程
高考数学一轮总复习 第8章 解析几何 第3节 圆的方程课件 理 新人教版
[小题体验]
1．(教材习题改编)圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是( )
A．(2,3)
B．(－2,3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解析：由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)． 答案：D
2．圆心在 y 轴上且通过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方
程是 A．x2＋y2＋10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0
解析
2．(2016·石家庄一检)若圆 C 的半径为 1，点 C 与点(2,0)关于
点(1,0)对称，则圆 C 的标准方程为
()
A．x2＋y2＝1
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋y2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
解析：因为点 C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标 公式可得 C(0,0)，所以所求圆的标准方程为 x2＋y2＝1. 答案：A
＝0，求xy的最大值和最小值．
解析
角度二：截距型最值问题
2．在[角度一]条件下求y－x的最大值和最小值．
解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴
上的截距，如图所示，当直线y＝x
＋b与圆相切时，纵截距b取得最大
值或最小值，此时 |2－0＋b| ＝ 2
3，
解得b＝－2± 6 .所以y－x的最大值
为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
3．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点 A(1,0)，B(0， 3)，C(2， 3)，
则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为来自()A．.53B．
21 3
C．2 3 5
D．43
解析
[谨记通法] 1．求圆的方程的 2 种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半 径，进而写出方程． (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准 方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a， b，r 的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一 般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求 出 D，E，F 的值．
高考数学一轮复习规划8.3圆的方程课件
＝x 上，则圆 C 的方程为
()
A. (x－1)2＋(y－1)2＝2
B. (x－1)2＋(y＋1)2＝2
C. (x＋1)2＋(y－1)2＝4
D. (x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解：圆心在 y＝x 上，设圆心为(a，a)，因为圆 C 与直线 y＝－x 及 x＋y－4＝0 都相
切，所以圆心到两直线 y＝－x 及 x＋y－4＝0 的距离相等，
核心考点
第八章 平面解析几何
若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2 关于直线 y＝kx＋3 对称，则 k 的值是
A. 2
B. －2
C. 1
() D. －1
解：由题意知直线 y＝kx＋3 过圆心(1，1)，即 1＝k＋3，解得 k＝－2. 故选 B.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第八章 平面解析几何
()
(4)若点 M(x0，y0)不在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 内，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F≥0.
()
(5)已知圆的方程为 x2＋y2－2y＝0，过点 A(1，2)作该圆的切线，只有一条. ( )
解：(1)√； (2)×； (3)×； (4)√； (5)×.
考试要求
必备知识
自主评价
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 因为点 A(4，1)，B(2，1)在圆上，故（ （42－ －aa） ）22＋ ＋（ （11－ －bb） ）22＝ ＝rr22， ， 又因为ba－ －12＝－1，解得 a＝3，b＝0，r＝ 2， 故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2. 故填(x－3)2＋y2＝2.
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4
【考点自测】
1.(思考)给出下列命题:
①方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的
一个圆; ②方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为 ( a , a )，半径为
2
1 3a2 4a4 的圆;
2
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5
③方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,
12
考点1 确定圆的方程
【典例1】(1)若圆心在x轴上、半径为 5 的圆O′位于y轴左侧, 且与直线x+2y=0相切,则圆O′的方程是( )
A.(x-5)2+y2=5或(x+5)2+y2=5
B.(x+ 5 )2+y2=5 C.(x-5)2+y2=5
D.(x+5)2+y2=5
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13
(2)如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为x+2y-5=0,y-
()
A.D+E=2
B.D+E=1
C.D+E=-1
D.D+E=-2
【解析】选D.圆心坐标为 ( D ， E )，
22
所以 －D－E即＝D1，+E=-2.
22
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9
4.已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆,则实数k的取值范
围是( )
A.-1<k<4
B.-4<k<1
C.k<-4或k>1
圆心坐标:__( __D2_，__E2__)
完整版ppt 半径r=__12__D__2__E_2___4F__
3
2.点与圆的位置关系 (1)确定方法:比较_点__与_圆__心__的距离与半径的大小关系.
(2)三种关系:
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0). ①_(_x_0_-_a_)_2+_(_y_0_-_b_)_2_=_r_2 ⇔点在圆上; ②_(_x_0_-_a_)_2+_(_y_0_-_b_)_2_>_r_2 ⇔点在圆外; ③_(_x_0_-_a_)_2+_(_y_0_-_b_)_2_<_r_2 ⇔点在圆内.
2=0,x+y-4=0,则该三角形的外接圆方程为
.
【解题视点】(1)先设圆心的坐标,依据圆与直线相切,可得到圆
心到直线的距离等于半径,进而得到圆的方程.
(2)可依据条件求出三角形的三个顶点坐标,再求圆心坐标、半
径或利用待定系数法直接求解.
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14
【规范解答】(1)选D.设圆心坐标为(a,0)(a<0),因为圆与直线 x+2y=0相切,所以 5＝ a 2解0 得，a=-5,因此圆的方程为
2)2+y2=5.
答案:(x-2)2+y2=5
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11
6.若原点在圆(x-m)2+(y+m)2=8的内部,则实数m的取值范围是 .
【解析】因为原点在圆(x-m)2+(y+m)2=8的内部,所以(0-m)2 +(0+m)2<8,即m2+m2<8,所以-2<m<2. 答案:-2<m<2
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是( )
A.x2+y2=2 C.x2+y2=1
B.x2+y2= 2 D.x2+y2=4
【解析】选A.AB的中点坐标为:(0,0),
A B ＝ ［ 1 1 ］ 2 1 1 2 ＝ 22 ，
所以圆的方程为:x2+y2=2.
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8
3.已知圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=1上,则D与E的关系是
所以12+22+D+2E+F=0, ①
22+22+2D+2E+F=0,
②
32+12+3D+E+F=0,
③
联立①②③得:D=-3,E=-1,F=0,
因此所求圆的方程为:x2+y2-3x-y=0.
答案:x2+y2-3x-y=0
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17
【互动探究】若题(2)中的条件不变,求能覆盖此三角形且面积
最小的圆的方程.
B=0,D2+E2-4AF>0;
④若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x02+y02+Dx0+Ey0+F>0. 其中正确的是( )
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
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6
【解析】选D.①错误.当t≠0时,方程表示圆心为(-a,-b),半径为
|t|的圆.
②错误.当a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0即 2＜ a＜ 2时才表示圆.
第三节 圆的方程
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1
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2
【知识梳理】
1.圆的定义、方程
定义 平面内到_定__点__的距离等于_定__长__的点的轨迹叫做圆
标 (x-a)2+(y-b)2 准 =r2(r>0)
圆心C_(_a_,_b_)_ 半径为r
方 程一
般
x2+y2+Dx+ Ey+F=0
充要条件: _D_2_+_E_2-_4_F_>_0_
x
3 2
，得
x y 1 0，
x 3，
即圆2 心坐标为
y 1， 2
( 3 , 1 )， 22
半径 r＝(13)2(21)2＝10，
2
22
因此,所求圆的方程为 (x3)2＋ (y－1)2＝5.
2
22
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16
方法二:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为圆过点
A(1,2),B(2,2),C(3,1).
【解析】由原题可知,三角形的三个顶点的坐标分别为A(1,2),
D.k<-1或k>4
【解析】选D.由(2k)2+42-4(3k+8)=4(k2-3k-4)>0,解得k<-
1或k>4.
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10
5.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为
.
【解析】因为圆(x+2)2+y2=5的圆心坐标为(-2,0),它关于原点
的对称点为(2,0),所以该圆关于原点的对称圆的方程为:(x-
3
③正确.因为A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0得方程
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,反之也成立.
④正确.因为点M(x0,y0)在圆外,所以 (x0D 2)2(y0E 2)2 ＞D2 E42即4xF0， 2+y02+Dx0+Ey0+F>0.
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7
2.已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程
5
(x+5)2+y2=5.
(2)因为三角形的三边所在的直线方程分别为x+2y-5=0,y-2=
0,x+y-4=0,解方程组可得三个顶点的坐标,分别设为A(1,2),
B(2,2),C(3,1方法一:因为AB的垂直平分线方程为x ＝ 3B，C的垂直平分线方
2
程为:x-y-1=0,
解方程组