非正弦周期电流电路的有效值、平均值和平均功率的计算

则有效值:
I
1 T
T
0
i2
t
dt
1 T
T
0
I
0
k 1
I km
coskt
k
2
dt
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I
1 T
T
0
I
0
k 1
I km
coskt
k
2
dt
1
T
T 0
I02dt
I
2 0
1
T
T 0
I2 km
cos2 (k1t
k
)dt
I
2 k
1 T
T
0
2I0
cos(kt
k
)dt
0
1 T
T
0
2 I km
cos(kt
iL2=IL20 +iL21 +iL22 =[1+3cos(2000t 45)] A
uad= Uad0 + uad1 + uad2 =[30+120cos(1000t)] V ucb= Ucb0 + ucb1 + ucb2 =[30+60cos(2000t+45) ]V
表A1的读数： I 1A 表A2的读数：3/ 2 2.12A
13-3 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
①正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。
2π
2π
0sin( kt)d(t) 0 0cos(kt)d(t) 0
② sin2、cos2 在一个周期内的积分为。 k整数
2π
2π
sin 2 (kt)d(t) π cos2 (kt)d(t) π
0
U1
j40 _ b
Uad1 U1 120 0 V
IC11
jC1U1
120 0 j40
A
3
90
A
并联谐振
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(3) u2=60cos(2 000t+ /4)V作用
2L1 2000 40 103Ω 80Ω, 2L2 2000 10 103Ω 20Ω
11
1
Ω 20Ω
2C1
2C2
F
直流作用： i1 iS 5A
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iS
i1
100 L
i2 i3
C1
C2
C3 200
iiSS ii12 i3
C3
100 200
一次谐波作用： i2 (t) iS 20cos(1000t ) A
三次谐波作用：I3(3)
100 10 100 200 j103
A 2.23 3
48 A
51C 5 106 1000 1012
iS
+ R
Cu
51L 5 106 103Ω 5kΩ
L
-
Z (51)
(R jXL5)( jXC5) R j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
Ω
U5 Is5 Z (51) 20 106
4.166 89.53mV 2
208.3 89.53 V 2
XLXC R
L RC
50kΩ
U1
Is1
Z
(1
)
100
106 2
50 103
0 V 5000 2
0
mV
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(c)三次谐波作用
iS3
100 3
sin(3 106 t )
μA
1
1
Ω 0.33kΩ
31C 3106 1000 1012
iS
31L 3106 103Ω 3kΩ
+ R
Cu
L
1. 计算步骤
①利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若 干种频率的谐波信号。
②对各次谐波分别应用相量法计算。（注意:交流各 谐波的 XL、XC不同，对直流 C 相当于开路、L 相 于短路。）
③将以上计算结果转换为瞬时值叠加。
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2. 计算举例
例4-1 方波信号激励的电路，求u, 已知：
k 1
P
1 T
T
0
u
idt
利用三角函数的正交性，得
P U0I0 Uk Ik cosk k 1 P0 P1 P2
(k uk ik )
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P U0I0 U1I1 cos1 U2I2 cos2
结论
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
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13-4 非正弦周期电流电路的计算
0
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③三角函数的正交性。
2π
cos(kt) sin( 0
pt)d(t)
0
2π
0cos(kt) cos( pt)d(t) 0
2π
sin( 0
kt)
sin(
pt)d(t)
0
k p
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2. 非正弦周期函数的有效值
若 i(t) I0 Ikm cos(kt k ) k 1
U0 RIS0 20 78.5106 V 1.57mV
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（b)基波作用 iS1 100sin(106t) μA
1
1
Ω 1kΩ
1C 106 1000 1012
iS
1L 106 103Ω 1kΩ
XL>>R
+ R
Cu
L
-
Z (1)
(R R
jX L ) ( jX C ) j( X L X C )
R 20、 L 1mH、C 1000pF Im 157μA、 T 6.28μs
iS
+ R
Cu
L
解 (1) 方波信号的展开式为
-
iS
Im 2
2Im π
[sin(t)
1 sin(3t)
3
Im
iS
1 sin(5t) ]
5
t O T/2 T
代入已知数据： Im 157μA, T 6.28μs
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直流分量：
I0
Im 2
157 μA 78.5μA 2
基波最大值：
I1m
2Im
2 1.57 μA 3.14
100 μA
三次谐波最大值：
1 I3m 3 I1m 33.3μA
五次谐波最大值：
I5m
1 5
I1m
20μA
角频率：
2π T
2 3.14 rad/s 6.28 106
10
(2) u1=120cos(1 000t )V作用 L1 103 40 103Ω 40Ω L2 103 10 103Ω 10Ω
11
1
Ω 40Ω
C1
C2
103 25 106 j40
IL21 j10
U1 120 0 V
IC11
30 cd
I1 IL21 0 Ucb1 0
I1 j40
a+
2000 25 106 j80
U2 60 45 V
I2 IC12 0 Uad2 0
IC12 I2 j20 a+
Ucb2 U2 60 45 V
IL22 j20
30 cd
j20
U 2
_
IL 22
U1
j2L2
60 45 j20
A
3
45
A
并联谐振
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所求电压、电流的瞬时值为
i=I0+ i1 + i2 =1A iC1= IC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90) A
I
1 T
T
0
i(t
)dt
I0
其平均值为
I av
1 T
T i(t) dt
0
正弦量的平均值为
I av
1 T
T
0
Im
cos(t) dt
0.898I
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4.非正弦周期交流电路的平均功率
u(t) U0 Ukm cos(kt uk )
k 1
i(t) I0 Ikm cos(kt ik )
XC
1
C
π 2π 103 125 106
4Ω
X I1
L L
U j4
2π
12 j4
103 1 2π
j3A
103
+
U1 U 12 0 V 12 012
U 2
1 n
U1
6
0
V
–
1
8 + 0 -j4 –
振幅相量
8I1 2 I:11 I2
* -j4
j4*j+UU+12
––
U2
6 V 4.243V 2
Z (31)
(R R
jXL3)( jXC3) 374.5 j( XL3 XC3)
89.19 Ω
-
U3 Is3 Z (31)
33.3106 374.5 89.19 V 2
12.47 89.2 mV 2
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(d)五次谐波作用
iS5
100 5
sin(5 106t)
μA
1
1
Ω 0.2kΩ
6
rad/s
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电流源各频率的谐波分量为
IS0 78.5μA iS1 100sin106t μA
iS3
100 3
sin
3 106 t
μA
iS5
100 5
Baidu Nhomakorabeasin
5
106 t
μA
（2） 对各次谐波分量单独计算：
（a) 直流分量 IS0 作用
IS0
IS0 78.5μA
+
Ru
-
电容断路，电感短路
I(1)
440 A 60 j20
6.96
18.4 A
a
+
U1–
U
+ 2–
* W* 60
j20 I
三次谐波作用： Uab(3) 100 30 V
I(3)
100 30 A 60 j60
1.18
15
A
b 测的是u1 的功率
i [6.96 2 cos(t 18.4 ) 1.18 2 cos(3t 15 )]A
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例4-2 求电路中各表读数(有效值)，
已知 : u [30 120 cos(103t) 60cos(2 103t π) ]V。 4
A1 + a
L1 40mH
C1 A2
25F
c
30 d
L2 V2 10mH
A3
C2 25F
VV11
u
_
b
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解
L1 4L01 mH
L2 L120mH
k
) I qm
cos(qt
q
)dt
0
k q
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I
2
I 2
km
I 0 2 k 1
I
I2 0
I2 1
I2 2
结论 周期函数的有效值为直流分量及各次
谐波分量有效值平方和的方根。
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3. 非正弦周期函数的平均值
若 i(t) I0 Ikm cos(kt k ) k 1
其直流值为
解 2π /T 2π 103rad/s
u(t) 12 12cos( t)
8
+ u
–C
i1 2 : 1 i2
+
*
* L
u 2
–
当u=12V作用时，电容 24 u/V 开路、电感短路，有
i1 12 /8A 1.5A 12
u2 0
O
0.5
1
t/ms
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当 u 12cos( t)作用时
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(3)各谐波分量计算结果瞬时值叠加
U0
U1
1.57 mV
5000 0 mV 2
U 3
12.47 2
89.2 mV
U 5
4.166 2
89.53mV
u U0 u1 u3 u5
[1.57 5000 sin(t)
12.47 sin(3t 89.2 )
4.166 sin(5t 89.53 )] mV
iCI1C10
3300 iLI2L20 cc dd
i I0 C1 C251 F
C2 2C52F
aa ++
Uu0
__ bb
(1)U0=30V作用于电路，L1、L2短路，C1、C2开路。
I0= IL20 = U0/R =30/30A=1A,
IC10=0, Uad0= Ucb0 =U0 =30V
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表A3的读数： 12 (3/ 2)2 2.35A 表V1的读数： 302 (120 / 2)2 90V
表V2的读数： 302 (60 / 2)2 52.0V
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例4-3 已知u(t)是周期函数，波形如图，L=1/2 H，
C=125/ F，求理想变压器一次电流i1(t)及输
出电压u2的有效值。
uBu(t
u(tT),T 33
),
uC
uC
u(tu(t
2T2)T 33
)
展开成傅里叶级数(k 为奇数) ，则有
uA Um(k)cos(k1t k )
A相
uB
U m ( k )cos(k1t
k
2kπ ) 3
B相
uC
U m ( k )cos(k1t
k
2kπ ) 3
C相
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讨论 ①令 k =6n+1，(n =0,1,2,…)，即：k =1,7,13, …
C2 200
解 C1中只有基波电流，说明L和C2对三次谐波发
生并联谐振。即
C2
1
2L
1 9 105
F
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iS
i1
100 L
i2 i3
C1
C2
C3 200
C3中只有三次谐波电流，说明L、C1、C2对一 次谐波发生串联谐振。即
1 L C2 0
jC1 j(L 1 C2 )
C1
9
8 105
各相的初相分别为
A相
k
B相
k
4nπ
2 3
π
C相
k
4nπ
2 3
π
正序对称 三相电源
②令 k =6n+3，即：k =3,9,15, …
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各相的初相分别为
A相
k
B相 k (2n 1)2π
C相 k (2n 1)2π
③令 k =6n+5，即：k =5,11,17, …
i1 [1.5 3cos(t 90)]A
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例4-4 已知 : u1 220 2 cos(t)V
u2 [220 2 cost 100 2 cos(3t 30 )]V
求Uab、i、及功率表的读数。
解 Uab 4402 1002 V 451.22V 一次谐波作用：Uab(1) 440 0 V
P 220 6.96cos18.4W 1452.92W 返回 上页 下页
例4-5 已知 :iS [5 20cos(103t) 10cos(3103t) ]A
L=0.1H，C3＝1F，C1中只有基波电流，C3中 只有三次谐波电流，求C1、C2和各支路电流。
iS
i1
i2 i3
C1
C3
100 L
I1(3)
IS
I3(3)
(10
30 )A 9 j10
8.67
11 A
i1(t) [5 8.67cos(3 000t 11 )]A
i3(t) 2.23cos(3 000t 48 )A
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*13-5 对称三相电路中的高次谐波
1. 对称三相电路中的高次谐波
设
uA
u(tu)B