正态总体的均值检验
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故可以将霍特林分布的统计量换算成F统计量。
对给定的显著性水平α，检验的规则
nk k(n 1)
T
2
F
(k , n
k ), 拒绝原假设
nk k(n 1)
源自文库
T
2
F
(k , n
k ), 接受原假设。
某地区农村男婴的体格测量数据如下
编号 1
身高（cm） 78
胸围（cm） 60.6
上半臂长（cm） 16.5
2
76
58.1
12.5
3
92
63.2
14.5
4
81
59.0
14.0
5
81
60.8
15.5
6
84
59.5
14.0
检验三个指标的均值是否有关系
1 6
1
1 4
2
3
H0
:
1 6
1
1 4
2
3
H1
:
1 6
1,
1 4
2
,
3至少有两个不相等
T 2 n(Cx)CSC1 (Cx) ~ T (k,n 1)
F n k T 2 6 2 47.143=18.8572 k(n 1) 2(6 1)
nCx ~ Nk (C,CC)
(n 1)CSC ~ Wk (n 1,CΣC)
T 2 (n 1) n(Cx φ)(n 1)CSC1 n(Cx φ) n(Cx φ)CSC1 (Cx φ) ~ T (k,n 1)
当H0 : C 为真时，
F n k T 2 ~ F(k,n k) k(n 1)
学生序号
1 2 3 4 5
数学 89 98 75 76 90
教学方式
A 物理
数学
90
82
88
80
69
61
70
67
76
63
B 物理 85 83 70 66 65
分析不同的教学方式是否有差异。
分析
数据输入> score
§3 单个总体均值分量间结构关系的检验
一、问题引入 例 设 x ~ N p (,) (1,2,L , p )
x1, x2,L , xn
是取自该总体的样本。检验：
H0 : 1 L p H1 : 至少有一对i j
与上面的假设等价的是，寻找常数矩阵
1 1 0 L 0
C 1
0
1 L
0
M M M
思考:两独立样本和成对样本的观测值有何不同。
设(xi,yi),i=1,2,3,…,n，时成对的试验数 据，由于总体X和Y均服从p维正态分布，且协 方差相等。
令di xi yi ,则di ~ N p ( ,d ),δ μ1 μ2。
假设检验 H0 : 1 2, H1 : 1 2 H0 : 0, H1 : 0
M
1 0 0 L 1
H0 : C 0 H1 : C 0
注：矩阵C不是唯一的，
1 1 0 L 0
C 0
1
1 L
0
M M M
M
0 0 0 L 1
在例4.2.1中，假定人类的体形有这样一 个一般规律的身高、胸围和上臂围平均尺寸比 例为6:4:1。检验比例是否符合这一规律。检验：
H0
:
1 6
1
n2
p
1), 接受原假设；
n1 n2 p(n1
p 1T n2 2)
2
F
(
p, n1
n2
p
1), 拒绝原假设；
成对试验的T2统计量
前面我们讨论的是两个独立样本的检验问 题，但是不少的实际问题中，两个样本的数据 是成对出现的。例如当讨论男女职工的工资收 入是否存在差异；一种新药的疗效等。
与一元随机变量的情形相同，常常我们需要检验两个 总体的均值是否相等。
设从总体 N p (1,)和 Np (2,，) 中各自独立地抽取样 本 x (x1, x2,L , xn1 ) 和 y ( y1, y2,L , yn2 ) ， 0 。
考虑假设 H0 : 1 2 H1 : 1 2
根据两个样本可得μ1和μ2的无偏估计量为
n2
(n2 1)S2 (yi y)(yi y) i1
统计量T
2
n1n2 n1 n2
(x
y )Sp1 ( x
y)
当原假设为真的条件下，
F
n1 n2 p(n1
p 1T n2 2)
2
~
F(
p, n1
n2
p
1)
检验的规则为：
n1 n2 p(n1
p 1T n2 2)
2
F
(
p, n1
检验的统计量为 T 2 ndSd1d
其中 d x y
Sd
1 n 1
n i1
(di
d)(di
d)
当原假设为真时
F n p T 2 ~ F( p,n p) p(n 1)
n p p(n 1)
T
2
F
(
p, n
p), 拒绝原假设
n p p(n 1)
T
2
F
(
p, n
p), 接受原假设
例1 一组学生共5人，采用两种不同的方式进行教学， 然后对5个学生进行测验，得如下得分数：
1 4
2
3
H1
:
1 6
1
,
1 4
2
,
3至少有两个不等
求C
2 1
3 0
0 6
则上面的假设可以表达为
H0 : C 0
H1 : C 0
二、统计量及方法
检验： H0 : C H1 : C 其 中 C 为 一 已 知 的 k×p 阶 矩 阵 ， k<p，
rank(C)=K，φ为已知的K维向量。根据多元正 态分布的性质可知,
1 n1
x n1 i1 xi
1 n2
y
n2
yi
i1
X
Y
~
Np
0,
(
1 n2
1 n2
)
n1n2
n1 n2
XY
~ N p 0,
又 n1 n2 2Sp (n1 1)S1 (n2 1)S2 ~ Wp (n1 n2 2,)
其中
n1
(n1 1)S1 (xi x)(xi x) i1
1 6
1
1 4
2
3
n<-nrow(tige)
p<-ncol(tige)
xbar<-apply(tige,2,mean)
S<-var(tige)
C<-matrix(c(2,-3,0,1,0,-6),2,3,byrow=T)
C
[,1] [,2] [,3]
[1,] 2 -3 0
[2,] 1 0 -6
读入数据 read.table("tige.txt")->tige > tige
V1 V2 V3 1 78 60.6 16.5 2 76 58.1 12.5 3 92 63.2 14.5 4 81 59.0 14.0 5 81 60.8 15.5 6 84 59.5 14.0
检验均值是否有关系
ht2<-n*t(C%*%xbar)%*%solve(C%*%S%*%t(C))%*%(C%*%xbar) ht2
47.1434 计算阈值，比较与ht2大小，小于ht2,则拒绝原假设。 critical<-((n-1)*p)*qf(0.95,p,n-p)/(n-p)
§4 两个总体均值的检验
一、两个独立样本的情形
对给定的显著性水平α，检验的规则
nk k(n 1)
T
2
F
(k , n
k ), 拒绝原假设
nk k(n 1)
源自文库
T
2
F
(k , n
k ), 接受原假设。
某地区农村男婴的体格测量数据如下
编号 1
身高（cm） 78
胸围（cm） 60.6
上半臂长（cm） 16.5
2
76
58.1
12.5
3
92
63.2
14.5
4
81
59.0
14.0
5
81
60.8
15.5
6
84
59.5
14.0
检验三个指标的均值是否有关系
1 6
1
1 4
2
3
H0
:
1 6
1
1 4
2
3
H1
:
1 6
1,
1 4
2
,
3至少有两个不相等
T 2 n(Cx)CSC1 (Cx) ~ T (k,n 1)
F n k T 2 6 2 47.143=18.8572 k(n 1) 2(6 1)
nCx ~ Nk (C,CC)
(n 1)CSC ~ Wk (n 1,CΣC)
T 2 (n 1) n(Cx φ)(n 1)CSC1 n(Cx φ) n(Cx φ)CSC1 (Cx φ) ~ T (k,n 1)
当H0 : C 为真时，
F n k T 2 ~ F(k,n k) k(n 1)
学生序号
1 2 3 4 5
数学 89 98 75 76 90
教学方式
A 物理
数学
90
82
88
80
69
61
70
67
76
63
B 物理 85 83 70 66 65
分析不同的教学方式是否有差异。
分析
数据输入> score
§3 单个总体均值分量间结构关系的检验
一、问题引入 例 设 x ~ N p (,) (1,2,L , p )
x1, x2,L , xn
是取自该总体的样本。检验：
H0 : 1 L p H1 : 至少有一对i j
与上面的假设等价的是，寻找常数矩阵
1 1 0 L 0
C 1
0
1 L
0
M M M
思考:两独立样本和成对样本的观测值有何不同。
设(xi,yi),i=1,2,3,…,n，时成对的试验数 据，由于总体X和Y均服从p维正态分布，且协 方差相等。
令di xi yi ,则di ~ N p ( ,d ),δ μ1 μ2。
假设检验 H0 : 1 2, H1 : 1 2 H0 : 0, H1 : 0
M
1 0 0 L 1
H0 : C 0 H1 : C 0
注：矩阵C不是唯一的，
1 1 0 L 0
C 0
1
1 L
0
M M M
M
0 0 0 L 1
在例4.2.1中，假定人类的体形有这样一 个一般规律的身高、胸围和上臂围平均尺寸比 例为6:4:1。检验比例是否符合这一规律。检验：
H0
:
1 6
1
n2
p
1), 接受原假设；
n1 n2 p(n1
p 1T n2 2)
2
F
(
p, n1
n2
p
1), 拒绝原假设；
成对试验的T2统计量
前面我们讨论的是两个独立样本的检验问 题，但是不少的实际问题中，两个样本的数据 是成对出现的。例如当讨论男女职工的工资收 入是否存在差异；一种新药的疗效等。
与一元随机变量的情形相同，常常我们需要检验两个 总体的均值是否相等。
设从总体 N p (1,)和 Np (2,，) 中各自独立地抽取样 本 x (x1, x2,L , xn1 ) 和 y ( y1, y2,L , yn2 ) ， 0 。
考虑假设 H0 : 1 2 H1 : 1 2
根据两个样本可得μ1和μ2的无偏估计量为
n2
(n2 1)S2 (yi y)(yi y) i1
统计量T
2
n1n2 n1 n2
(x
y )Sp1 ( x
y)
当原假设为真的条件下，
F
n1 n2 p(n1
p 1T n2 2)
2
~
F(
p, n1
n2
p
1)
检验的规则为：
n1 n2 p(n1
p 1T n2 2)
2
F
(
p, n1
检验的统计量为 T 2 ndSd1d
其中 d x y
Sd
1 n 1
n i1
(di
d)(di
d)
当原假设为真时
F n p T 2 ~ F( p,n p) p(n 1)
n p p(n 1)
T
2
F
(
p, n
p), 拒绝原假设
n p p(n 1)
T
2
F
(
p, n
p), 接受原假设
例1 一组学生共5人，采用两种不同的方式进行教学， 然后对5个学生进行测验，得如下得分数：
1 4
2
3
H1
:
1 6
1
,
1 4
2
,
3至少有两个不等
求C
2 1
3 0
0 6
则上面的假设可以表达为
H0 : C 0
H1 : C 0
二、统计量及方法
检验： H0 : C H1 : C 其 中 C 为 一 已 知 的 k×p 阶 矩 阵 ， k<p，
rank(C)=K，φ为已知的K维向量。根据多元正 态分布的性质可知,
1 n1
x n1 i1 xi
1 n2
y
n2
yi
i1
X
Y
~
Np
0,
(
1 n2
1 n2
)
n1n2
n1 n2
XY
~ N p 0,
又 n1 n2 2Sp (n1 1)S1 (n2 1)S2 ~ Wp (n1 n2 2,)
其中
n1
(n1 1)S1 (xi x)(xi x) i1
1 6
1
1 4
2
3
n<-nrow(tige)
p<-ncol(tige)
xbar<-apply(tige,2,mean)
S<-var(tige)
C<-matrix(c(2,-3,0,1,0,-6),2,3,byrow=T)
C
[,1] [,2] [,3]
[1,] 2 -3 0
[2,] 1 0 -6
读入数据 read.table("tige.txt")->tige > tige
V1 V2 V3 1 78 60.6 16.5 2 76 58.1 12.5 3 92 63.2 14.5 4 81 59.0 14.0 5 81 60.8 15.5 6 84 59.5 14.0
检验均值是否有关系
ht2<-n*t(C%*%xbar)%*%solve(C%*%S%*%t(C))%*%(C%*%xbar) ht2
47.1434 计算阈值，比较与ht2大小，小于ht2,则拒绝原假设。 critical<-((n-1)*p)*qf(0.95,p,n-p)/(n-p)
§4 两个总体均值的检验
一、两个独立样本的情形