高等数学学期期末考试题(含答案全)

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05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷)

专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________

《中山大学授予学士学位工作细则》第六条:“考试作弊不授予学士学位”

一,填空题 (每题4分,共32分)

1. 213______4

x y kx y z k π

+-=-==若平面与平面成角,则 1/4

2. 曲线20

cos ,sin cos ,1t

u t

x e udu y t t z e =

=+=+⎰ 在t = 0处的切线方程为________________

3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x

∂∂为____________

4.

(

),dy f x y dx ⎰1

交换的积分次序为_________________________

5.()2221,L x y x y ds +=-=⎰L 已知是圆周则 _________π-

6. 收敛

7. 设幂级数0

n

n n a x

=∑的收敛半径是2,则幂级数

21

n n n a x

+=∑的收敛半径是

8. ()211x y ''+=微分方程的通解是()2121arctan ln 12

y x x c x c =-+++_______________________ 二.计算题 (每题7分,共63分)

1.讨论函数 f ( x, y ) = 221

,x y

+ 22

0x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0

在点( 0 , 0 )处的连续性,可导性及可微性。 P 。330

2.求函数222

2z y x

u ++=在点)1,1,1(0P 处沿O P 0方向的方向导数,其中O 为坐

标原点。

3.2

1

2.1n n n n n ∞

=⎛⎫

⎪+⎝⎭

∑判别级数的敛散性 P .544 4.设u=),(z y xy f +,),(t s f 可微,求du dz

f dy f x f dx y f '

+⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+⋅'2211.

012

112x y z ---==z

z yz x e xy ∂=∂-211sin ____________1

n n n ∞

=++∑级数的敛散性为

5.

,,3622欲造一无盖长方形容器,已知其底部造价为3元/m 側面造价为1元/m 现想用元造一容积最大的容器,求它的尺寸.

答:长宽为2M ,高为3M 。

6. (2

242ln I x y x dy ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰计算

()()22

22,010,x y c A a B b a b

+=曲线是从点沿椭圆的第一象限部分到点的弧段.

解:

5

220

,882ln ln 3Bo

oA D

b

b Bo oA I xdxdy b dy xdx y Rdy b R

a

=

--=-=+⎰⎰⎰⎰

⎰⎰将积分路径家直线段与构成正向的闭曲线,由格林公式得,

7.()222221

ln x y x y dxdy εε→≤+≤+⎰⎰

计算极限lim

()221

2

2

0ln ln d r rdr udu π

ε

ε

εεθ→→=⎰⎰⎰0

解:原式=lim lim ()21ln |u u u εεππ→=-=-0

lim

8.试求幂函数

∑∞-+--1

1

21

)12(2)

1(n nx n n 的收敛域及和函数。

9.求微分方程)1(822x

e y y y +=+'-''的通解。

特征方程0122

=+-r r 的根为:

121==r r 对应的齐次方程的通解为

x C e x C C y )(21+=

设特解为x x

e y B A Be A y 2*2*

888

,8+===+=代入方程确定

故所求通解为

x x e e x C C y 22188)(+++=

三.(本题5分)

已知曲线积分[]⎰+-L

y x x x

y

x x d )(d )(sin ϕϕ与路径无关,其中ϕ()x 可导,且

ϕπ()=1,求ϕ()x 。

解:由积分与路径无关,故

()c x x

c dx e x x e x

x

x x x x x y P x Q x dx

x dx +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=Φ=ΦΦ'Φ-=Φ'∂∂=∂∂⎰-

cos 1sin sin 1)(sin )(为:一阶线性微分方程通解-即

代初始条件:ϕπ()=1 得)1cos (1

)(1-+-=

Φ-=ππx x x c 特解为:

2. 设平面上有三个点)1,0(),0,1(),0,0(B A O ,在OAB ∆的闭区域D 上,求出点M ,使它到点O 、A 、B 的距离平方和为最大。

解:设所求点为M(x,y,) 距离的平方和:

)10,10()1()1(222222x y x y x y x y x d -≤≤≤≤-+++-++= 在区域内部求驻点: ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-=∂∂==-=∂∂31,313102631026驻点:解出解出y y y d x x x d 在该点的函数值d(1/3,1/3)=4/3,

在边界x=0, 0≤y ≤1上1)1(22

2+-+=y y d 驻点(0,1/3),与端点函数值比较,得该边界上最大值点(0,1)d(0,1)=3。

在边界y=0, 0≤x ≤1上1)1(22

2+-+=x x d 驻点(1/3,0),与端点函数值比较,得该边界上最大值点(1,0),最大值d(1,0)=3。

在边界y=1-x ,0≤x ≤1上2

22)1()1(23-+-+=x x x d 驻点(1/2,1/2) 与端点函数值比较,得该边界上最大值点是(1,0)、(0,1)。

比较区域内驻点及边界上最大值点的函数值知,该问题最大值点为:A(1,0)、B(0,1),最大值为3。

中山大学2005级东校区第二学期高等数学一 期末考试试题 (2006年6月)

姓名: 专业: 学号: 成绩:

《中山大学授予学士学位工作细则》第六条:“考试作弊不授予 学士学位。”

一.(每小题7分,共28分)

1. 设函数)(2),(2y x f x y y x z += ,其中 f 二阶可微,求 y x z

x z ∂∂∂∂∂2,

。 2. 设函数k z x y j y x i z y x F )(3222-++= ,求 )(,F v i d grad F v i d 。 3.

设函数)0(,)

(sin )(2>=⎰y dx x

y x y g y y ,求)(y g ' 。

4. 在直角坐标系下,用两种不同的次序将二重积分⎰⎰=D

dy dx y x f I ),( 化

为累次积分,其中D 是由直线x y x y x x 2,,2,1==== 所围成区域。

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