高等数学学期期末考试题(含答案全)
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05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷)
专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________
《中山大学授予学士学位工作细则》第六条:“考试作弊不授予学士学位”
一,填空题 (每题4分,共32分)
1. 213______4
x y kx y z k π
+-=-==若平面与平面成角,则 1/4
2. 曲线20
cos ,sin cos ,1t
u t
x e udu y t t z e =
=+=+⎰ 在t = 0处的切线方程为________________
3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x
∂∂为____________
4.
(
),dy f x y dx ⎰1
交换的积分次序为_________________________
5.()2221,L x y x y ds +=-=⎰L 已知是圆周则 _________π-
6. 收敛
7. 设幂级数0
n
n n a x
∞
=∑的收敛半径是2,则幂级数
21
n n n a x
∞
+=∑的收敛半径是
8. ()211x y ''+=微分方程的通解是()2121arctan ln 12
y x x c x c =-+++_______________________ 二.计算题 (每题7分,共63分)
1.讨论函数 f ( x, y ) = 221
,x y
+ 22
0x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0
在点( 0 , 0 )处的连续性,可导性及可微性。 P 。330
2.求函数222
2z y x
u ++=在点)1,1,1(0P 处沿O P 0方向的方向导数,其中O 为坐
标原点。
3.2
1
2.1n n n n n ∞
=⎛⎫
⎪+⎝⎭
∑判别级数的敛散性 P .544 4.设u=),(z y xy f +,),(t s f 可微,求du dz
f dy f x f dx y f '
+⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+⋅'2211.
012
112x y z ---==z
z yz x e xy ∂=∂-211sin ____________1
n n n ∞
=++∑级数的敛散性为
5.
,,3622欲造一无盖长方形容器,已知其底部造价为3元/m 側面造价为1元/m 现想用元造一容积最大的容器,求它的尺寸.
答:长宽为2M ,高为3M 。
6. (2
242ln I x y x dy ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰计算
()()22
22,010,x y c A a B b a b
+=曲线是从点沿椭圆的第一象限部分到点的弧段.
解:
5
220
,882ln ln 3Bo
oA D
b
b Bo oA I xdxdy b dy xdx y Rdy b R
a
=
--=-=+⎰⎰⎰⎰
⎰⎰将积分路径家直线段与构成正向的闭曲线,由格林公式得,
7.()222221
ln x y x y dxdy εε→≤+≤+⎰⎰
计算极限lim
()221
2
2
0ln ln d r rdr udu π
ε
ε
εεθ→→=⎰⎰⎰0
解:原式=lim lim ()21ln |u u u εεππ→=-=-0
lim
8.试求幂函数
∑∞-+--1
1
21
)12(2)
1(n nx n n 的收敛域及和函数。
9.求微分方程)1(822x
e y y y +=+'-''的通解。
特征方程0122
=+-r r 的根为:
121==r r 对应的齐次方程的通解为
x C e x C C y )(21+=
设特解为x x
e y B A Be A y 2*2*
888
,8+===+=代入方程确定
故所求通解为
x x e e x C C y 22188)(+++=
三.(本题5分)
已知曲线积分[]⎰+-L
y x x x
y
x x d )(d )(sin ϕϕ与路径无关,其中ϕ()x 可导,且
ϕπ()=1,求ϕ()x 。
解:由积分与路径无关,故
()c x x
c dx e x x e x
x
x x x x x y P x Q x dx
x dx +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=Φ=ΦΦ'Φ-=Φ'∂∂=∂∂⎰-
cos 1sin sin 1)(sin )(为:一阶线性微分方程通解-即
代初始条件:ϕπ()=1 得)1cos (1
)(1-+-=
Φ-=ππx x x c 特解为:
2. 设平面上有三个点)1,0(),0,1(),0,0(B A O ,在OAB ∆的闭区域D 上,求出点M ,使它到点O 、A 、B 的距离平方和为最大。
解:设所求点为M(x,y,) 距离的平方和:
)10,10()1()1(222222x y x y x y x y x d -≤≤≤≤-+++-++= 在区域内部求驻点: ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-=∂∂==-=∂∂31,313102631026驻点:解出解出y y y d x x x d 在该点的函数值d(1/3,1/3)=4/3,
在边界x=0, 0≤y ≤1上1)1(22
2+-+=y y d 驻点(0,1/3),与端点函数值比较,得该边界上最大值点(0,1)d(0,1)=3。
在边界y=0, 0≤x ≤1上1)1(22
2+-+=x x d 驻点(1/3,0),与端点函数值比较,得该边界上最大值点(1,0),最大值d(1,0)=3。
在边界y=1-x ,0≤x ≤1上2
22)1()1(23-+-+=x x x d 驻点(1/2,1/2) 与端点函数值比较,得该边界上最大值点是(1,0)、(0,1)。
比较区域内驻点及边界上最大值点的函数值知,该问题最大值点为:A(1,0)、B(0,1),最大值为3。
中山大学2005级东校区第二学期高等数学一 期末考试试题 (2006年6月)
姓名: 专业: 学号: 成绩:
《中山大学授予学士学位工作细则》第六条:“考试作弊不授予 学士学位。”
一.(每小题7分,共28分)
1. 设函数)(2),(2y x f x y y x z += ,其中 f 二阶可微,求 y x z
x z ∂∂∂∂∂2,
。 2. 设函数k z x y j y x i z y x F )(3222-++= ,求 )(,F v i d grad F v i d 。 3.
设函数)0(,)
(sin )(2>=⎰y dx x
y x y g y y ,求)(y g ' 。
4. 在直角坐标系下,用两种不同的次序将二重积分⎰⎰=D
dy dx y x f I ),( 化
为累次积分,其中D 是由直线x y x y x x 2,,2,1==== 所围成区域。