三概率的加法公式

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第三节--全概率公式与逆概率公式

3）若n个事件 A1、A2、、An 是相互独立的，
则有 P（A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 ) P( An )
医药数理统计方法
例6 如果幼儿在学语前就失聪，则很难学会说话，故有 “十聋九哑”一说，表明失聪与失语的关系.那么，辨音能力是否也影响辨色能力呢？临床积累的资料见表：
解以A1、A2、A3分别表示取得这盒X光片是由甲厂、
乙厂、丙厂产生的，B 取得的X光片为次品
P

A1

5 10
，P

A2

3 10
,
P

A3

2 10
医药数理统计方法
例1 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X光的次品率依次为1/10、1/15、1/20，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，求取得的X光片是次品的概率。
P(B | A) P( AB) P( A)
P(AB) =P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
若A ,B 相互独立 P( AB) P( A) P(B)
*3、事件的独立性例如将一颗均匀骰子连掷两次，
医药数理统计方法
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然 P(A|B)=P(A)
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
即求 PB
医药数理统计方法
例1 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X光的次品率依次为1/10、1/15、1/20，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，求取得的X光片是次品的概率。

概率运算公式

概率运算公式
概率运算是描述事件发生可能性的一种方法，它是基于数学理论的。

在概率运算中，有许多基本的公式被广泛使用。

接下来，我们将介绍一些常用的概率运算公式。

1. 加法法则：对于两个不相交的事件A和B，它们的并集概率
等于它们各自的概率之和。

P(A∪B) = P(A) + P(B)
2. 乘法法则：对于两个独立事件A和B，它们的交集概率等于
它们各自的概率之积。

P(A∩B) = P(A) × P(B)
3. 全概率公式：对于一个事件A，如果它可以分解成一系列互
不相交的事件{B1, B2, ..., Bn}的并集，那么有：
P(A) = Σ P(Bi) × P(A|Bi)
其中，P(A|Bi)表示在Bi发生的条件下，事件A发生的概率。

4. 贝叶斯公式：对于一个事件A和一系列互不相交的事件{B1, B2, ..., Bn}，如果已知它们的先验概率P(Bi)和在各个条件下的条件概率P(A|Bi)，那么有：
P(Bi|A) = P(Bi) × P(A|Bi) / Σ P(Bj) × P(A|Bj) 其中，P(Bi|A)表示在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率。

以上是概率运算中常用的一些公式，它们在实际应用中非常重要，可以帮助我们更好地理解事件发生的可能性。

- 1 -。

§1.3 概率的公理化定义及概率的加法公式

11
三、概率的加法公式
定理1.1 (关于两个互斥事件的概率加法公式) 对任意两个事件A和B，有
P A B P( A) P( B) P( AB) .

A
证
AB
B
A B A B AB
而且 A B AB ,
所以
P A B P A P B AB P A P B P AB .
P A B C
B
C
A
P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC )
P ( ABC ) .

16
定理1.3 (概率的一般加法公式) 对任意
n n 2 个事件 A1 , A2 ,
, An , 有
P Ai P Ai P Ai A j
12
例1.5 由长期统计资料得知，某一地区在４月份每天下雨的概率为4/15，刮风的概率为 7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求４月份的任一天下雨或刮风至少有一种发生的概率．解在４月份中任取一天，令A={下雨}， B={刮风}，则
P A 4 15 , P B 7 15, P AB 1 10 . P A B P( A) P(B) P( AB)
概率的有限可加性

1 P P A A P ( A) P A .

☎当直接计算一个事件的概率难于实现时，
可以通过计算其对立事件的概率来完成.
8
性质1.4 (真差概率公式) 若 A B , 则
P B A P( B) P( A) .

概率计算公式

概率计算公式概率计算是数理统计学中的重要内容，通过运用概率计算公式，我们可以对事件发生的可能性进行精确的预测和分析。

本文将介绍几种常用的概率计算公式，帮助读者更好地理解和应用概率计算。

一、频率法频率法是概率计算中最直观和常用的方法之一，它是通过实验数据的频率来估计事件发生的概率。

频率法概率计算公式如下：```P(A) = n(A) / n```其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n表示实验总次数。

通过观察事件发生的实际频率，可以得出事件发生的概率近似值。

二、古典概型古典概型指的是指定试验中所有可能结果等可能的情况。

在古典概型中，可以使用以下概率计算公式：```P(A) = n(A) / n(S)```其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的有利次数，n(S)表示样本空间的大小。

三、总概率定理总概率定理用于计算在多个条件下的概率。

当有多个互斥事件B1、B2、…、Bn，且它们的并集等于样本空间S时，可以使用总概率定理进行计算。

总概率定理公式如下：```P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + ... + P(A|Bn) * P(Bn)```其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。

总概率定理在实际问题中具有广泛的应用，通过将复杂问题分解为简单事件的条件下的概率计算，可以更好地解决实际问题。

四、条件条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

条件概率计算公式如下：```P(A|B) = P(A∩B) / P(B)```其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

条件概率的计算可以帮助我们更好地理解事件之间的相关性，当我们已经了解到某个条件下的概率时，可以通过条件概率公式计算其他事件的概率。

概率加法公式的简单推导

（二）三个事件的概率加法公式设Ａ、Ｂ、Ｃ为任意三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ的事件概率
可作如下推导：
Ｐ（ＡＵＢＵＣ）＝Ｐ［（ＡＵ（Ｂ）ＵＣ】（２）
（ＡＢＣ）＋Ｐ（ＡＢＤ）＋Ｐ（ＡＣＤ）＋Ｐ（ＢｃＤ）一Ｐ（ＡＢＣＤ），（９）（四）五个事件的概率加法计算公式设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ为任意三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ的事件概率可作如下推导：
Ｐ（ＡｕＢｕＣ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）＋Ｐ（Ｃ）一Ｐ（ＡＢ）一Ｐ（ＡＣ）
Ｐ（ＢＣ）＋Ｐ（ＡＢＣ）通过对具体例题的讲解，对加法公式在使用过程中的一些技巧给出了详细的说
Ｐ（ＡＵＢＵＣＵＤＵＥ）＝ｅｌ（ＡＵＢＵＣＵＤ）ＵＥ１＝Ｐ（ＡｕＢｕＣｕＤ）＋Ｐ（Ｅ）一Ｐ［（ＡＵＢＵＣＵＤ）Ｅ】（１０）又因为Ｐ『（ＡＵＢＵＣＵＤ）Ｅ］＝Ｐ（ＡＥＵＢＥＵＣＥＵＤＥ），利用公式（９）得：
芜湖
２４１０００）
摘要：基于两个事件的概率加法公式，推导出了３￣５个事件的概率加法计算公式。通过总结多个事件概率加法公式的一般规律，得到ｎ个事件的概率加法公式。
关键词：概率；加法公式；归纳法
中图分类号：Ｇ６４２．４１
明。本文将利用简单的两个事件概率加法公式，推导出３～５个事件的概率加法计算公式，通过总结归纳多个事件概率加法公式的一般规律，给出ｎ个事件的

高中数学新人教B版必修3 概率的加法公式

记作 _A___
图形表示
2.互斥事件的概率加法公式 (1)若 A，B 是互斥事件，则 P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ． (2)若－A 是 A 的对立事件，则 P(－A )＝ 1－P(A) ． (3)若 A1，A2，…，An 两两互斥，则 P(A1∪A2∪…∪An) ＝ P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) ．
[层级一学业水平达标] 1．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设 A＝{三
件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产
品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是 ( )
A．A 与 C 互斥
B．B 与 C 互斥
C．任何两个都互斥
D．任何两个都不互斥
解析：选 D 由题意知事件 A，B，C 两两不可能同时发生，
(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3. 所以射中 10 环或 9 环的概率为 0.3. (2)因为射中 7 环以下的概率为 0.1，所以由对立事件的概率公式，得至少射中 7 环的概率为 1－0.1＝0.9.
求复杂事件概率的注意事项 (1)正难则反是良策． (2)用互斥事件的概率和进行求解时一定要将事件分拆为若干互斥的事件，不能重复和遗漏． (3)采用对立事件求概率时，一定要找准对立事件，否则容易出现错误．
红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的
对立面是没有一个，所以选 B.
4．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率
为 0.1，响第二声时被接的概率为 0.3，响第三声时被接的概率
为 0.4，响第四声时被接的概率为 0.1，那么电话在响前四声内
被接的概率是多少？解：记“响第一声时被接”为事件 A，“响第二声时被接” 为事件 B，“响第三声时被接”为事件 C，“响第四声时被接”为事件 D.“响前四声内被接”为事件 E，则易知 A，B， C，D 互斥，且 E＝A∪B∪C∪D，所以由互斥事件的概率的加法公式得， P(E)＝P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋ 0.3＋0.4＋0.1＝0.9. 即电话在响前四声内被接的概率是 0.9.

三个事件的概率计算公式

三个事件的概率计算公式1. 三个互斥事件的概率加法公式。

- 如果事件A、B、C两两互斥（即A∩ B=varnothing，A∩ C=varnothing，B∩ C=varnothing），那么P(A∪ B∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)。

- 例如：掷骰子，事件A为掷出1点，事件B为掷出2点，事件C为掷出3点。

这三个事件两两互斥，P(A)=(1)/(6)，P(B)=(1)/(6)，P(C)=(1)/(6)，P(A∪ B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=(1)/(6)+(1)/(6)+(1)/(6)=(1)/(2)。

2. 三个相互独立事件的概率乘法公式。

- 如果事件A、B、C相互独立（即P(A∩ B)=P(A)P(B)，P(A∩ C)=P(A)P(C)，P(B∩ C)=P(B)P(C)，P(A∩ B∩ C)=P(A)P(B)P(C)）。

- 例如：有三个口袋，第一个口袋中有2个红球3个白球，从第一个口袋中取到红球的概率P(A)=(2)/(5)；第二个口袋中有3个红球2个白球，从第二个口袋中取到红球的概率P(B)=(3)/(5)；第三个口袋中有4个红球1个白球，从第三个口袋中取到红球的概率P(C)=(4)/(5)。

因为从每个口袋取球的事件相互独立，所以从三个口袋中都取到红球的概率P(A∩ B∩ C)=P(A)P(B)P(C)=(2)/(5)×(3)/(5)×(4)/(5)=(24)/(125)。

3. 一般情况下（非互斥、非独立）三个事件的概率公式。

- P(A∪ B∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩ B)-P(A∩ C)-P(B∩ C)+P(A∩ B∩ C)。

- 例如：在一个班级中，事件A表示学生喜欢数学，P(A) = 0.6；事件B表示学生喜欢语文，P(B)=0.5；事件C表示学生喜欢英语，P(C)=0.4。

同时喜欢数学和语文的概率P(A∩ B)=0.3，同时喜欢数学和英语的概率P(A∩ C)=0.2，同时喜欢语文和英语的概率P(B∩ C)=0.15，同时喜欢三门课的概率P(A∩ B∩ C)=0.1。

人教B版必修3高中数学3.1.4《概率的加减公式》ppt同步课件

第三章概率
§3.1 事件与概率
§3.1.4 概率的加法公式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识夯实基础
学习目标 1.了解事件的并(或和)的含义及记法． 2．理解互斥事件和对立事件的定义． 3．掌握判断两个事件互斥或对立的方法以及两者的区别与联系． 4．会应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P( A )＝1－P(A)解决实际问题.
规律技巧利用概率加法公式求概率时，一定先判断所涉及事件是否互斥.
变式训练2 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率为0.16，在80～89分的概率为0.52，在70～79分的概率 0.12，在60～69分的概率为0.1，分别计算小明在数学考试中取得80分以上的概率和小明及格的概率．
解根据题意，小明的数学成绩在给出的四个范围内的事件是互斥的，记B＝“考试成绩在90分以上”，C＝“考试成绩在80～89分”，D＝“考试成绩在70～79分”，E＝“考试成绩在60～69分”，根据互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率便可获解．
2．互斥事件、对立事件的判定方法 (1)利用基本概念 ①互斥事件不可能同时发生； ②对立事件首先是互斥事件，且必有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B. ①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅； ②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅，且A∪B＝U(U为全集)，即A＝∁UB或B＝∁UA； ③对互斥事件A与B的和A∪B，可理解为集合A∪B.
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．

概率论的加法公式

概率论的加法公式摘要：1.引言2.加法公式的定义3.加法公式的性质4.加法公式的证明5.加法公式的应用6.结论正文：1.引言概率论是研究随机现象的理论，它为我们提供了一种量化和描述不确定性的方法。

在概率论中，加法公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算多个事件同时发生的概率。

本文将介绍概率论的加法公式，包括其定义、性质、证明以及应用。

2.加法公式的定义加法公式是指，对于任意两个事件A 和B，它们的联合概率可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

其中，P(A) 表示事件A 的概率，P(B) 表示事件B 的概率，P(A∩B) 表示事件A 和B 的交集概率。

3.加法公式的性质加法公式具有以下几个性质：(1) 完备性：对于任意事件A，有P(A)=P(A∪Φ)，其中Φ表示全集。

(2) 可数性：对于任意可数个事件A1，A2，…，An，有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。

(3) 分配律：对于任意事件A、B、C，有P(A∪B∪C)=P(A∪B)+P(A∪C)+P(B∪C)。

4.加法公式的证明为了证明加法公式，我们需要引入一个重要的概念——事件的和事件。

设A 和B 是两个事件，A∪B 表示事件A 和事件B 的和事件，即包含在事件A 中或者包含在事件B 中的所有可能结果的集合。

我们可以通过以下步骤证明加法公式：(1) 证明P(A∪B)A∪B(2) 证明P(A∪B)A∩B(3) 证明P(A∩B)A∪B(4) 得出P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)5.加法公式的应用加法公式在实际应用中有很多重要作用，例如在概率论的计算、风险管理、数据分析等领域都有广泛的应用。

通过加法公式，我们可以更方便地计算多个事件同时发生的概率，从而更好地描述和分析随机现象。

6.结论概率论的加法公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算多个事件同时发生的概率。

第三章学案3 概率的加法公式-28页PPT资料

【分析】考查互斥事件的概率.
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【解析】(1)因为“恰有1名男生”与“恰有两名男生” 不可能同时发生,所以它们是互斥事件;当恰有两名女生时它们都不发生,所以它们不是对立事件.
(2)因为恰有两名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥;由于它们必有一个发生,所以它们对立.
（2）求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求方法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算.二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P（A）=1-P
（ A ），即运用逆向思维（正难则反），特别是“至
多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便.
P1=P（A）+P（B） 5 4 3 .
12 12 4
（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率为 P2=P（A）+P（B）+P（C）1521421221121 .（或P2=1P(D)= 1 1 11 .）
12 12
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【评析】（1）解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算.
(3)如果A,B是互斥事件,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)
①.
(4)一般地，如果事件A1,A2,…,An两两互斥(彼此互
斥),
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那么事件“A1∪A2∪…∪An”发生(是指事件A1,A2,…,An中至少有一个发生)的概率，等这于n个事件分别发生的概率和 , 即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)②.公式① 或公式②叫做互斥事件的概率加法公式.

高中数学人教B版必修3 3.1 教学课件《概率的加法公式》(人教)

对立事件
在例1中，事件C与事件D除了互斥以外，两者还有怎样的关系？
对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件。事件A的对立事件记作。从集合的角度看，若A∩B=∅，A∪B=R，则事件A与事件B互为对立事件。
人民教育出版社高中二年级 | 必修3
例2.判断下列给出的每对事件，（1）是否为互斥事件，（2）是否为对立事件，并说明理由。
从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从 1~10各4张）中，任取1张：（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”。
人民教育出版社高中二年级 | 必修3
解：（1）是互斥事件，不是对立事件；（2）既是互斥事件，又是对立事件；（3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件；
人民教育出版社高中二年级 | 必修3
设事件C为““出现奇数点”或2点”，它也是一事件的并个随机事件。
事件C与事件A、B的关系是：若事件A和事件B 中至少有一个发生，则C发生；若C发生，则A，B 中至少有一个发生，我们称事件C为A与B的并(或和) 如图中阴影部分所表示的就是A∪B.
AB
A
B
人民教育出版社高中二必修3
解：因为与A互为对立事件，（1）P( )=1－P(A)=0.05；（2）事件B与事件C也是互为对立事件，所以P(C)=1－P(B)=0.3；（3）事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即 P(D)=P(C)－P( )=0.3－0.05=0.25
人民教育出版社高中二年级 | 必修3
解：分别记小明的成绩在90分以上，在80~89分，在 70~79分，在60~69分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的。根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是 P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69 小明考试及格的概率为

概率计算公式解释

概率计算公式解释
概率计算公式是一种数学工具，用于计算事件发生的可能性。

在概率论中，常用的概率计算公式有三个：加法法则、乘法法则和条件概率。

1.加法法则：加法法则用于计算两个事件中至少发生一个的概率。

如果事件A和事件B是互斥的（即不能同时发生），那么加法法则可以表示为：
P(A或B)=P(A)+P(B)
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

2.乘法法则：乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。

如果事件A和事件B是独立事件（即一个事件的发生不受另一个事件的影响），那么乘法法则可以表示为：P(A且B)=P(A)*P(B)
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

3.条件概率：条件概率用于计算在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

条件概率可以表示为：
P(A|B)=P(A且B)/P(B)
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A且B)表示事件A 和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

以上是概率计算中常用的三个公式，它们可以帮助我们计算事件发生的可能性。

1。

概率统计的8种计算方法专题讲解

概率统计的8种计算方法专题讲解
一、概率的基本概念
- 定义：某一事件发生的可能性大小。

- 表述：一般用P(A)表示。

二、概率的计算方法
1. 数学概率法
- 公式：P(A) = n(A) / n(S)
- P(A)：事件A发生的概率
- n(A)：事件A发生的样本点数
- n(S)：样本空间中所有样本点的个数
2. 几何概率法
- 公式：P(A) = S(A) / S(S)
- P(A)：事件A发生的概率
- S(A)：与事件A有关的图形面积或长度等
- S(S)：样本空间内所对应的图形面积或长度等
3. 频率概率法
- 公式：P(A)=发生事件A的次数 / 总实验次数
三、条件概率
- 定义：在另一事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。

- 公式：P(A|B) = P(AB) / P(B)
四、乘法公式
- 定义：事件A和事件B同时发生的概率。

- 公式：P(AB) = P(A) * P(B|A)
五、加法公式
- 定义：事件A或B发生的概率。

- 公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB)
六、全概率公式
- 定义：在几个互不相容事件之中，任何一个都可能发生，求
事件A发生的概率。

- 公式：P(A) = ∑P(Bi)P(A|Bi)
七、贝叶斯公式
- 定义：在一事实的证据下，要求另一假设成立的概率。

- 公式：P(Bi|A) = P(Bi)P(A|Bi) / ∑P(Bi)P(A|Bi)
八、大数定律
- 定义：在独立重复的实验中，随着实验次数的增加，事件发生的频率趋近于概率。

概率的基本公式

发生, 故P(A|B)= 2×4!/ 5!=2/5.
解二: 用条件概率公式. P(A|B)=P(AB)/P(B)=(1/15)/(1/6)=6/15=2/5. 类似, P(B |A)=2/15. 由条件概率定义的表达式，很容易推导出
P ( AB) P( A) P( B A) P ( B ) P ( A B )
医用高等数学
例6-15 一批小白鼠中, 有30%注射过药物A, 25%注
射过药物B, 两种药物都注射过的占20%. 若取到是1只已知
没有注射过药物B小白鼠的条件下，它也没有注射过药物
A的可能性有多大?
P( AB ) 0.65 P( A | B ) 0.867 P( B ) 1 0.25
可以验证，条件概率具有无条件概率的所有性质. 例如：
概率的乘法公式还可能推广到有限多个事件的情况，即
P( A1 A2 An )=P( A1 )P( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )… P ( An A A A )
1 2 n 1
医用高等数学
例6-17 产妇分娩胎儿的存活率为P(L)=0.98. 又知活
解根据医学常识，只有O型或B型的人方可给B型的
频率代替概率，有P( E1 )=0.46，P( E2 )=0.15，且 E1 与 E2 互
E1 不相容，而“可给B型病人输血”这一事件是与 E2 的事件
医用高等数学
病人输血，设 E1 =“被检者是O型”， E2 =“被检者是B型”，以
之和，由推论1，所求概率为：
P ( A2 | A1 ) 0.6 , P( A2 | A1 ) 1 P( A2 | A1 ) 0.4
两次患该病心肌未受损害的概率为

概率的计算公式

推论1 若A,B为两个事件,且A与B不相容,则
P(A∪B)=P(A)+P(B)
推论 2:对任意事件Ａ， P( A ) 1 P( A).
证明：由于 A A 且 AA
由推论 1 可知
P ( A) P ( A) 1
得
P ( A) 1 P ( A)
推论 3 若 A, B 满足 A B ，则有
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
证明：由可列可加性,并令
Ai (i n 1, n 2,)
P ( Ai ) P ( Ai ) P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1 i 1 i 1 n n
§1.3 概率的计算公式
由概率的定义可以证明概率的一些重要性质。
首先
P ( ) 0
由概率的可加性
证明：因为
P ( ) P ( ) P ( )
由 P ( ) 0 ，证得 P ( ) 0 。
一.加法公式有限可加性
若A1 , A2 , , An 两两互不相容，则
在 1,2,…,100 这一百个整数中能被 3 整除的有 33 个，
能被 4 整除的有 25 个，能被 12 整除的有 8 个。事件
BC 发生相当于能被 3× 整除，即能被 12 整除，因此 4
33 P(B) , 100
25 P(C) , 100
8 P(BC) , 100
P( A) P(B) P(C) P(BC) 33 25 8 1 . 2 100
注:推论 4 还可以推广到多个事件情形， A1 , A2 , A3 为任设意三个事件，则有ຫໍສະໝຸດ P(A1 A 2 A3 )

1-3概率的运算法则

221 . = 980
另解考虑到
A1 U A2 U A3 = A0
故 P ( A1 U A2 U A3 ) = P ( A0 ) = 1 − P ( A0 )
3 C 46 221 = 1− 3 = C 50 980
注该题的两种解法较为典型：该题的两种解法较为典型：前者是直接对待求事件进行互斥分解，前者是直接对待求事件进行互斥分解，但计算较繁琐；后者是从待求事件的对立事件出发，繁琐；后者是从待求事件的对立事件出发，利用了对立事件概率之和为1的性质简化了计算. 的性质，了对立事件概率之和为的性质，简化了计算.
推广设 A1 , A2 ,L, An 为 n 个事件 , n ≥ 2,
且 P ( A1 A2 L An−1 ) > 0, 则有
P( A A LA ) = P( A )P( A A )P( A A A )LP( A A A LA −1 ) 1 2 n 1 2 1 3 1 2 n 1 2 n
袋中有5个球其中3个红球个白球，个球，个红球2个白球例5 袋中有个球，其中个红球个白球，现从袋中不放回地连取两个，已知第一次取得红球，不放回地连取两个，已知第一次取得红球，求第二次取得白球的概率. 取得白球的概率. 表示第一取得红球，表示第二次取得白球表示第二次取得白球, 解设A表示第一取得红球，B表示第二次取得白球, 表示第一取得红球则求P(B | A) 则求方法一按定义因为第一次取走了一个红球,袋中只剩下个球,其中袋中只剩下4个球因为第一次取走了一个红球袋中只剩下个球其中有两个白球,再从中任取一个取得白球的概率为2/4, 有两个白球再从中任取一个,取得白球的概率为再从中任取一个取得白球的概率为

3-3 概率的基本运算

P ( B ) = P ( A B ) + P ( AB )
= P ( A)P (B A) + P ( A)P (B A)
6 5 4 6 = × + × 10 9 10 9
全概率公式
＝ 0.6
AB AB
A
B
A
概率的乘法
全概率公式
定义设Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 构成一个完备事件组，，Ａ构成一个完备事件组，且Ｐ(Ａi )＞0，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ，有Ａ＞，＝，，，，则对任一随机事件Ｂ，有Ｂ，
P( A | B) = 45%
于是所以
P (B ) = 4%
P ( B ) = 1 − P ( B ) = 96 %
P ( A) = P ( AB ) = P ( B ) P ( A | B )
= 96% × 45% = 43.2%
概率的乘法
一个盒子中有６只白球、只黑球，【例5】一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地每次任取１连取２第一次取得白球的概率；每次任取１只，连取２次，求 (1) 第一次取得白球的概率；第一、第二次都取得白球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．而第二次取得白球的概率．表示第一次取得白球, 表示第二次取得白球, 解设Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球, 则
概率的乘法
2. 概率乘法公式设事件A,B为同一样本空间中的两个随机事件，设事件A,B为同一样本空间中的两个随机事件，有 A,B为同一样本空间中的两个随机事件
P( AB) = P( A) P( B A) = P( B) P( A B)

高等数学概率的基本公式

=0.3*0.9/0.97=0.278
返回
例题2
甲.乙.丙三人能破译某密码的概率分别为 1 , 1 , 1 .问密码能被破译出来的概率.
534
解: P(A B C) 1 P(A B C)
1 P(ABC)
1 P(A)P(B)P(C)
1 4 2 3 3 534 5
例题3 (见142页例6-18)
例题1
甲打中的概率为0.7,乙打中的概率为0.9。设A=｛甲打中｝；B=｛乙打中｝，则:
P(A)=0.7; P(B)=0.9 1.甲乙两人都打中的概率为:
P(AB)=P(A)P(B)=0.7*0.9=0.63 2.目标被打中的概率为:
P(A+B)=1-(1-0.7)(1-0.9)=0.97
3.P(甲脱靶/目标击中) P(A/( A B)) P(A)P(B) P(A B)
i 1
返回
证明:
B
A1 A2 … Ai … An
P(B) P(BU ) P(B( A1 A2 An )) P( A1B A2B AnB) P( A1B) P( A2B) P( AnB)
P(A1)P(B A1) P(An )P(B An )
n
P(Ai )P(B Ai )
i 1
解：P(恰好1只白球)=P(A)
C C C = 1 1 / 2 0.2032
4
32
36
P(恰好2只白球)=P(B)
C C = 2 2 0.0095
4
36
P(至少1只白球)=P(A+B) =P(A)+P(B)
解法2:
=0.2032+0.0095 =0.2127
C C P(D) 1 P(D) 1 2 32

概率三个并集的计算

概率三个并集的计算
概率三个并集的计算是指计算三个事件的并集发生的概率。

假设三个事件为A、B、C，它们的并集记为A∪B∪C。

首先，我们可以利用加法公式计算两个事件的并集。

例如，计算A∪B的概率，可以使用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中P(A)是事件A发生的概率，P(B)是事件B发生的概率，P(A∩B)是事件A和B同时发生的概率。

然后，我们可以利用类似的方法计算三个事件的并集。

例如，计算A∪B∪C的概率，可以使用公式P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) -P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)，其中P(A∩B)是事件A和B同时发生的概率，P(A∩C)是事件A和C同时发生的概率，
P(B∩C)是事件B和C同时发生的概率，P(A∩B∩C)是事件A、B和C 同时发生的概率。

当然，如果三个事件之间有某种特殊的关系，比如它们相互独立，那么计算它们的并集发生的概率也会更加简单。

但一般情况下，我们需要利用以上的公式来计算概率三个并集的概率。