2019-2020学年甘肃省金昌市永昌四中高一上学期期末考试数学试题(解析版)

甘肃省金昌市永昌四中2019-2020学年高一上学期期末考试试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1.过点A (－2，0)与B (－5，3)的直线的倾斜角为（ ）． A. 45°B. 75°C. 135°D. 150°【答案】C解析因为()30152k -==----，而tan k α=，090α≤<或90180α<<，所以135α=． 故选：C ．2.圆x 2+4x +y 2=0的圆心和半径分别为（ ） A. ()2,0-，4 B. ()2,0，4 C.()2,0-，2D.()2,0，2【答案】C解析圆的方程可化为()2224x y ++=，可知圆心为()2,0-，半径为2.故答案为C.3.设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A. 若l β⊥，则αβ⊥ B. 若αβ⊥，则l m ⊥ C. 若//l β，则//αβ D. 若//αβ，则//l m【答案】A解析由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得l β⊥，l α⊂，可得αβ⊥.4.平行直线51230x y ++=与102450x y ++=的距离是（ ）A. 213B. 113C. 126D. 526【答案】C解析因为两平行直线0ax by m ++=与0ax by n ++=，51230x y ++=即1024y 60x ++=，所以两平行直线512y 30x ++=与1024y 50x ++=126=．故选C ．5.两圆2210x y +-=和224240x y x y +-+-=的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外离 C. 外切 D. 相交【答案】D解析由题意可得两圆方程为：221x y +=和()()22219x y -++=则两圆圆心分别：()0,0和()2,1-；半径分别为：11r =和23r =则圆心距：d ==则1212r r r r -<<+ ∴两圆相交本题正确选项：D.6.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2=（ ） A. 1：3 B. 1：1C. 2：1D. 3：1【答案】D解析由圆柱与圆锥的体积公式得V 1：V 2= 3：1，则选D ． 7.过点（1，0）且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是（ ） A. x -2y -1=0 B. x -2y +1=0 C. 2x +y -2=0 D. x +2y -1=0 【答案】A 解析设与直线平行的直线方程为， 将点代入直线方程可得，解得．则所求直线方程为．故A 正确．8.若PQ 是圆229x y +=的弦,PQ 的中点是()1,2,则直线PQ 的方程是( )A. 230x y +-=B. 250x y +-=C. 240x y -+=D. 20x y -=【答案】B解析因为PQ 的中点与圆心连线垂直PQ ，所以101202PQ k -=-=--,所以直线PQ 的方程是12(1)2502y x x y -=--∴+-=,选B.9.圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=距离的最大值是（ ）A. 2B. 1C.22+D. 1+【答案】B解析圆222210x y x y +--+=的标准方程22(1)(1)1x y -+-=，圆心()1,1，半径为1，圆心到直线20x y --=的距离d ==，所以根据圆的几何特征，圆上的点到直线距离的最大值为1 故选：B10.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥②若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥ ③若//m α，//n α，则//m n ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是（ ） A. ①和② B. ②和③C. ③和④D. ①和④【答案】A解析对于①，因为//n α，所以经过n 作平面β，使l βα⋂=，可得//n l ，又因为m α⊥，l α⊂，所以m l ⊥，结合//n l 得m n ⊥．由此可得①是真命题； 对于②，因为//αβ且//βγ，所以//αγ，结合m α⊥，可得m γ⊥，故②是真命题； 对于③，设直线m 、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线， 而平面α是正方体下底面所在平面，则有//m α且//n α成立，但不能推出//m n ，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面， 则有αγ⊥且βγ⊥，但是αβ⊥，推不出//αβ，故④不正确． 综上所述，其中正确命题的序号是①和② 故选：A.11.正六棱锥底面边长为a ，体积为3，则侧棱与底面所成的角为（ ）．A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°【答案】B解析因为正六棱锥的底面边长为a ，所以22642S a a =⨯=底面积，又体积为32，所以棱锥的高h a =，所以侧棱与底面所成的角为45︒．故选B ．12.圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=的交点为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A. 10x y +-= B. 210x y -+= C. 210x y -+= D. 10x y -+=【答案】A解析圆22250x y x +--=的圆心为(1,0)M ，圆22240x y x y ++-=的圆心为(1,2)N -，两圆的相交弦AB 的垂直平分线即为直线MN ，其方程为020111y x --=---，即10x y +-=；故选A.的二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.直线2370x y +-=与直线590x y --=的交点坐标是_______． 【答案】()21，解析由2370590x y x y +-=⎧⎨--=⎩ 解得，21x y =⎧⎨=⎩．故答案为：()21，．14.直线3x -4y +5=0被圆x 2+y 2=7截得的弦长为______． 【答案】解析∵圆心（0，0）到直线3x -4y +5=0=1，∴所求距离为=故答案为.15.已知在四面体ABCD 中，E F 、分别是AC BD 、的中点，若24,CD AB EF AB ==⊥，则EF 与CD 所成的角为 【答案】30解析取AD 中点G ，连结EG ，FG ，则//,//90EG CD FG AB EFG ∴∠=，FEG ∠为EF与CD 所成的角．2,130EG FG FEG ==∴∠=．16.当a 为任意实数时，直线(1)10a x y a --++=恒过定点C ，则以点C为圆心，半径为__________．【答案】22240x y x y ++-=解析() 110a x y a --++=整理关于a 的表达式110a x x y +-+-=（）（），关于a 的方程各项为0，1010x x y +=+-=，，解得12x y =-=，，恒过定点1,2C -（），以C 为圆心，半径为的圆为：()()22125x y ++-=三、解答题（本题共6小题，共70分）17.（1）设直线l 过点（2，3）且与直线2x +y +1=0垂直，l 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，求|AB |；（2）求过点A （4，-1）且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线l 的方程．【解】（1）设直线l 的斜率为k ，由题意知，()21k ⨯-=-，12k ∴=． 而直线l 经过点()2,3，所以直线l ：()1322y x -=- 即x -2y +4=0．令x =0，得y =2，令y =0，得x =-4，∴A （-4，0），B （0，2）， 则|AB（2）当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x +y =c ，代入（4，-1）可得，c =3， 此时直线l 方程为：x +y -3=0；当直线l 过原点时，设直线l 方程为：y kx =，因为直线l 过点()41-,，所以41k =-，解得14k =-，此时直线l 方程为：x +4y =0． 综上：直线l ：x +4y =0或x +y -3=0．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 的中点.求证：（1）PA ⊥底面ABCD ； （2）//BE 平面PAD ； （3）平面BEF ⊥平面PCD .【解】（1）∵P A ⊥AD ，平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ， 由平面和平面垂直的性质定理可得P A ⊥平面ABCD ．（2）∵AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD =2AB ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 故四边形ABE D 为平行四边形，故有BE ∥AD ．又AD ⊂平面P AD ，BE 不在平面P AD 内，故有BE ∥平面P AD ．（3）平行四边形ABE D 中，由AB ⊥AD 可得，ABE D 为矩形，故有BE ⊥CD ①． 由P A ⊥平面ABCD ，可得P A ⊥AB ，再由AB ⊥AD 可得AB ⊥平面P AD ， ∴CD ⊥平面P AD ，故有CD ⊥PD ．再由E 、F 分别为CD 和PC 的中点，可得EF ∥PD ，∴CD ⊥EF ②． 而EF 和BE 是平面BEF 内的两条相交直线，故有CD ⊥平面BEF ． 由于CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．19.已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； （2）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长.【解】（1）已知圆C ：()2219x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为20221k -==-，直线l 的方程为y=2(x -1)，即 2x -y -2=0．（2）当直线l 的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l 的方程为y -2=x -2 ,即 x -y =0.所以圆心C 到直线l的距离为d =．因为圆的半径为3，所以，弦AB的长AB ==．20.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S -ABCD 中，90,ABC SA ∠=⊥面ABCD ，11,2SA AB BC AD ====.(1)求四棱锥S -ABCD体积;(2)求证：面SAB SBC 面⊥(3)求SC 与底面ABCD 所成角的正切值．【解】证明：（1）S 梯形ABCD =12（AD +BC ）·AB =12（12+1）×1=34，V S -ABCD =13×34×1= 14.（2）∵SA ⊥面ABCD ∴SA ⊥BC ， 又AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面SAB ， ∴平面SAB ⊥平面SBC .（3）连接AC ，∵SA ⊥面ABCD ，∴∠SCA 为SC 与底面ABCD 所成的角，在Rt △ABC 中，AC ，在Rt △SAC 中，tan ∠SCA =SAAC=.21.已知一个圆与y 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且该圆经过点A （6，1），求该圆的方程．【解】因为圆心在x -3y =0上，所以设圆心坐标为（3m ，m ）且m ＞0， 根据圆与y 轴相切得到半径为3m ，所以圆的方程为（x -3m ）2+（y -m ）2=9m 2， 把A （6，1）代入圆的方程得：（6-3m ）2+（1-m ）2=9m 2， 化简得：m 2-38m +37=0，则m =1或37，所以，圆的方程为(x -3)2+(y -1)2=9或(x -111)2+(y -37)2=1112．22.如图，在三棱锥V -ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且的AC =BC，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．（1）求证：//VB 平面MOC ； （2）求证：平面MOC ⊥平面VAB ； （3）求三棱锥A -MOC 的体积．【解】（1）∵O ，M 分别为AB ，VA 的中点，∴//OM VB ， ∵VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ，∴//VB 平面MOC ； （2）∵AC =BC ，O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，又∵平面VAB ⊥平面ABC ，平面ABC ∩平面VAB =AB ，且OC ⊂平面ABC ， ∴OC ⊥平面VAB ，∵OC ⊂平面MOC ，∴平面MOC ⊥平面VAB ； （3）在等腰直角三角形ACB 中，AC =BC，∴AB =2，OC =1，∴等边三角形VAB 的边长为2，S △VABO ，M 分别为AB ，VA 的中点．∴1S S 44AMO VAB ∆∆==．又∵OC ⊥平面VAB ，∴三棱锥1V V 13412A MOC C MOA --==⨯=.。