极限分析有限元法的下限解

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有限元求解方法

有限元求解方法有限元求解方法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程、科学和数学领域的求解问题。

本文将介绍有限元求解方法的基本原理、步骤和应用范围。

有限元求解方法是一种数值计算方法，通过将一个连续的问题离散化成有限个子问题，然后对这些子问题进行求解，最终得到整个问题的近似解。

在有限元求解方法中，将要求解的问题分割成许多小的单元，每个单元都有一个简单的数学模型。

通过对每个单元的求解，再通过组合这些单元的解，就可以得到整个问题的解。

有限元求解方法的步骤大致可以分为以下几个部分：建立数学模型、离散化、确定边界条件、求解、后处理。

首先，需要根据实际问题建立一个数学模型，这个模型可以是一个方程、一个微分方程或者一个变分问题。

然后，将问题离散化，将连续的问题分割成有限个单元，并在每个单元上建立一个简单的数学模型。

接下来，确定边界条件，即在模型的边界上给定一些已知条件。

然后，通过求解每个单元的数学模型，得到每个单元的解。

最后，将每个单元的解组合起来，得到整个问题的解。

在得到解之后，可以进行后处理，对解进行分析和验证。

有限元求解方法广泛应用于各个领域的问题求解中。

在工程领域，有限元方法可以用于结构力学、热传导、流体力学等问题的求解。

例如，在结构力学中，可以通过有限元求解方法来计算结构的应力和位移分布，进而评估结构的强度和稳定性。

在科学领域，有限元方法可以用于物理、化学、生物等问题的求解。

例如，在地震学中，可以通过有限元求解方法来模拟地震波的传播和地壳变形。

在数学领域，有限元方法可以用于偏微分方程的数值求解。

例如，在偏微分方程的数值解法中，有限元方法是一种常用的求解方法。

有限元求解方法的优点是可以处理复杂的几何形状和边界条件，并且可以灵活地调整离散化的精度。

同时，有限元求解方法还具有较高的计算效率和数值稳定性。

然而，有限元求解方法也存在一些限制和局限性。

首先，有限元方法的求解精度受到离散化的影响，离散化越精细，求解结果越接近真实解。

有限元极限分析法在边坡中的应用

x
非对称楔形体模型非对称楔形体计算等效塑性应变图
有限元强度折减法安全系数为1.60，用理正岩土系列软件计算安全系数为1.636。两者的计算误差为2.2%。
5、边坡分类举例可视、动态、定量
一级二级分分类类
土质
类边坡
均质边坡
碎裂散体岩石
边坡
变形破坏特征
旋转滑动Ｆ=1.016
一、有限元极限分析法
经典极限分析法适用工程设计但需要事先知道破坏面，适应性差
有限元法适应性广,但无法算安全系数有限元极限分析法,既适用于工程设计,且适应性广
特别适用于岩土工程设计（边(滑)坡、地基、隧道）
1、有限元极限分析法的原理安全系数定义强度储备安全系数
抗滑力 Fs 下滑力
9米 1.17
11米 1.19
桩长: 15米 17米安全系数:1.19 1.19
19米 1.23
桩长: 21米 23米安全系数:1.25 1.29
25米 1.34
合理桩长: 桩长安全系数大于设计安全系数
----------------------------------------------------------
1.55 1.41 1.30 1.20 1.12 0.01 0.01 0.01 0.01 0.00
二、有限元极限分析法在岩石边坡中的应用
1、具有两组平行节理面的岩质边坡
两组方向不同的节理，第一组软弱结构面倾角30度，第二组软弱结构面倾角75度.
计算结果
计算方法有限元法
安全系数 1.18
极限平衡方法 (Spencer ）
云阳分界梁隧道出口段滑坡
1、工程概况两条隧道通过滑坡地段

岩土工程极限分析有限元法及其运用

岩土工程极限分析有限元法及其运用张聪（甘肃煤田地质局一三三队，甘肃白银 730913）摘要：基于极限分析方法在岩土工程施工中的应用局限文章提出兼具数值分析方法和经典极限分析方法的有限元分析方法，在介绍有限元分析原理、基本理论、安全系数和发展历程的基础上，从边坡、地基、隧道等方面着重分析岩土工程极限分析有限元法的应用，验证有限元分析方法在岩土工程中应用范围的扩大，旨在能够为岩土工程施工建设发展提供更多有力的支持。

关键词：有限元极限分析方法；岩土工程；岩土滑坡中图分类号：TU195 文献标识码：A 文章编号：1002-5065（2020）14-0233-2Finite element method for limit analysis of geotechnical engineering and its applicationZHANG Cong（No.133 team of Gansu Coalfield Geological Bureau, Baiyin 730913,China）Abstract: Based on the limitation of the application of limit analysis method in geotechnical engineering construction, this paper proposes a finite element analysis method which combines numerical analysis method and classical limit analysis method. On the basis of introducing the principle of finite element analysis, basic theory, safety factor and development process, the application of limit analysis finite element method in geotechnical engineering is emphatically analyzed from the aspects of slope, foundation and tunnel, To verify the expansion of the application scope of finite element analysis method in geotechnical engineering, in order to provide more powerful support for the development of geotechnical engineering construction.Keywords: finite element limit analysis method; geotechnical engineering; geotechnical landslide极限分析法的力学基础是土体处于一种理想的弹性、属性状态，这种状态下，土体会出现一种平衡状态，即为土体滑动面上每个点的剪应力会和土地抗剪强度等同。

有限元求极限载荷

有限元求极限载荷
有限元法是一种近似求解结构力学问题的方法，可以用来求解各种载荷情况下的应力和应变分布。

然而，要精确地求解极限载荷是非常困难的，因为极限载荷对应的结构形态通常是非常复杂的。

通常，求解极限载荷时可以采用以下两种方法之一：
1. 构造极限状态：在有限元模型中，通过设置适当的荷载形式和边界条件，来使结构达到极限载荷状态。

这种方法需要对结构的特性有较深入的了解，需要根据实际情况选择适当的荷载形式和边界条件，且结果仅适用于所构造的极限状态。

2. 非线性稳定分析：通过有限元分析软件进行非线性稳定分析，求解结构的临界载荷。

这种方法可以考虑各种复杂的几何和材料非线性，适用于包括杆件、板和壳结构等不同类型的结构。

非线性稳定分析需要对结构的几何和材料特性进行合理的建模和边界条件设定，同时需要进行迭代求解，计算量较大。

总的来说，求解极限载荷是一项相对复杂的工作，需要对结构特性有深入的了解，并采用适当的方法和技术进行分析。

有限元法或其他数值

有限元法或其他数值
有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值分析方法，用于求解边界值问题和偏微分方程。

它是一种将连续问题离散
化为有限个小单元的方法，每个小单元都可以用简单的数学方程描述。

通过将整个区域分解为这些小单元，然后利用数值计算方法对
每个小单元进行计算，最终得到整个区域的近似解。

有限元法在工程、物理学、地质学等领域都有广泛的应用。

有限元法的基本思想是将求解的区域划分为有限个小的单元，
然后在每个单元内建立适当的插值函数，通过这些插值函数将原始
偏微分方程转化为代数方程组，最终通过求解这些代数方程组得到
近似解。

有限元法的优点在于可以处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种不同类型的材料和载荷情况。

除了有限元法，还有其他一些常用的数值分析方法，例如有限
体积法、辛普森法则、龙格-库塔法等。

这些方法在不同的问题和领
域中有着各自的优势和局限性，工程师和科学家需要根据具体情况
选择合适的数值方法来求解问题。

总的来说，有限元法是一种强大的数值分析方法，在工程学和
科学研究中有着广泛的应用。

通过合理的离散化和数值计算，可以得到准确的近似解，帮助人们解决复杂的实际问题。

(塑性成形力学)5极限分析原理

虚位移原理：当一个质点（或刚体）在力系（或载荷系）的作用下处于静力平衡时，可以给该质点（或刚体）沿任何方向的一个虚位移，在产生此虚位移的过程中，外力所作的虚功必须等于零。
虚功原理：在载荷系作用下处于静力平衡的变形结构，若给一微小的虚变形（位移），那么由于外力（或载荷）所做的虚功必等于内力（或应力合力）所做的虚功。
几何方程
式(1.27)
物理方程
式(2.37)
屈服准则和边界条件、体积不变、假设（理想刚－塑性模型等）
5.3 虚功原理
参考书：徐秉业，陈森灿编著，“塑性理论简明教程”，清华大学出版社，1981
虚功(率)：在产生虚位移的过程中，真实力所做的功(率)。虚位移：不一定是实际的位移。
载荷系：力、力矩、分布载荷虚位移：平移、旋转、平移＋旋转
式(5.4)
应力场存在应力不连续线时对虚功原理式（5.4）无影响。
对一般三维变形问题，虚功原理也成立。表达式：
式(5.9)
5.4 最大塑性功原理
式(2.33)
弹性势：
塑性势：
Mises屈服准则：
式(5.10) 式(5.11)
dεx = 由式（5.10）、式（5.11）得：
列维-密赛斯流动法则：式(2.39)
5 极限分析原理
前言
极限分析法：
图1.28 理想刚-塑性材料
极限状态：即使载荷不再继续增加，塑性变形也可自由地发展的状态。
极限载荷：使材料或构件达到极限状态时的载荷。
极限状态的开始也就是塑性变形的开始。
求极限载荷的问题一般只限于理想刚塑性体。
上界法（上限法）：上限中求最小值。下界法（下限法）：下限中求最大值。
把屈服函数作为塑性塑性势时，

有限元基础知识归纳

有限元基础知识归纳有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。

在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。

2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处Ni=1,其它节点Ni=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。

可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。

4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。

即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。

称前者为母单元，后者为子单元。

还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。

如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。

5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。

每个部分称为一个单元，连接点称为结点。

对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。

这种单元称为常应变三角形单元。

常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。

高等土力学教材第六章土工数值分析(一)土体稳定的极限平衡和极限分析

土工数值分析（一）土体稳定的极限平衡和极限分析目录1 前言 (2)2 理论基础－塑性力学的上、下限定理 (4)2.1 一般提法 (4)2.2 塑性力学的上、下限定理 (5)2.3 边坡稳定分析的条分法 (7)3 土体稳定问题的下限解－垂直条分法 (9)3.1 垂直条分法的静力平衡方程及其解 (9)3.2 数值分析方法 (11)3.3 垂直条分法的有关理论问题 (15)3.4 垂直条分法在主动土压力领域中的应用 (19)4 土体稳定分析的上限解－斜条分法 (23)4.1 求解上限解的基本方程式 (23)4.2 上限解和滑移线法的关系 (24)4.3 边坡稳定分析的上限解 (27)4.4 地基承载力的上限解 (27)5 确定临界滑动模式的最优化方法 (30)5.1 确定土体的临界失稳模式的数值分析方法 (30)5.2 确定最小安全系数的最优化方法 (31)6 程序设计和应用 (39)6.1 概述 (39)6.2 计算垂直条分法安全系数的程序S.FOR (39)6.3 计算斜条分法安全系数的程序E.FOR (53)1土工数值分析（一）：土体稳定的极限平衡和极限分析法1前言边坡稳定、土压力和地基承载力是土力学的三个经典问题。

很多学者认为这三个领域的分析方法属于同一理论体系，即极限平衡分析和极限分析方法，因此，应该建立一个统一的数值分析方法。

Janbu 曾在1957年提出过土坡通用分析方法。

Sokolovski(1954)应用偏微分方程的滑移线理论提出了地基承载力、土压力和边坡稳定的统一的求解方法。

W. F. Chen (1975) 在其专著中全面阐述了在塑性力学上限和下限定理基础上建立的土体稳定分析一般方法。

但是，上述这些方法只能对少数具有简单几何形状、介质均匀的问题提供解答，故没有在实践中获得广泛的应用。

下面分析这三个领域分析方法的现状以及建立一个统一的体系的可能性。

有关边坡稳定分析的理论的研究工作，从早期的瑞典法，到适用的园弧滑裂面的Bishop简化法，到适用于任意形状、全面满足静力平衡条件的Morgenstern - Price法(1965)，其理论体系逐渐趋于严格。

土力学经典问题的极限分析上、下限解

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有限元分析及其应用思考题

有限元分析及其应用(思考题)1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？3、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩阵）。

4、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？5、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自由度和节点解释）？6、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？7、描述弹性体的基本变量是什么？基本方程有哪些组成？8、何谓应力、应变、位移的概念？应力与强度是什么关系？9、问题的微分方程提法、等效积分提法和泛函变分提法之间有何关系？何谓“强形式”？何谓“弱形式”，两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？10、以平面微元体为例，考虑弹性力学基本假设，推导微分平衡方程。

11、常见的弹性力学问题解法有哪几类？各有何特点或局限？简述求解思路？12、什么叫外力势能？什么叫应变能？简述势能变分原理。

试问势能变分原理代表了弹性力学的那些方程？同时，附加了什么条件？13、在三维弹性体中，若系统势能对位移变分为零。

试证明一定满足应力平衡方程和应力边界条件。

14、为了保证有限元解的收敛性，位移函数必须满足那些条件？为什么？15、位移函数构造为何按Pascal三角形进行？为什么？16、如何理解有限元解的下限性？17、何谓刚性位移？何谓常量应变？18、在按位移法求解有限元法中，为什么说应力解的精度低于位移解的精度？19 何谓协调单元？何谓非协调单元？为什么有时非协调单元的计算精度还高于协调单元？20 何谓常应变单元？其位移、应变、应力在单元内、单元边界上有何特性？21平面矩形单元的位移、应力在单元内、单元边界上有何特性？试说明矩形单元刚度矩阵的计算与坐标原点位置无关。

22谓面积坐标？其特点是什么？23分析以下几种平面单元的位移在单元公共边界上的连续性：1）常应变三角形单元；2）四节点矩形单元；3）六节点三角形单元；4）四节点直线边界四边形等参单元；5）八节点曲线边界四边形等参单元。

极限分析有限元法讲座--Ⅱ有限元强度折减法中边坡失稳的判据探讨2

2005年2月Rock and Soil Mechanics Feb. 2005收稿日期2004-08-02作者简介男博士E-mail:Zhaoshangyi@文章编号75980332有限元强度折减法中边坡失稳的判据探讨赵尚毅1张玉芳2重庆 400041广东深圳518034边坡失稳滑体由稳定静止状态变为运动状态这就是边坡破坏的特征滑动面上的位移和塑性应变将产生突变有限元程序无法从有限元方程组中找到一个既能满足静力平衡又能满足应力-应变关系和强度准则的解不管是从力的收敛标准塑性区从坡脚到坡顶贯通并不一定意味着边坡破坏但不是充分条件有限元计算中表现为塑性应变和位移产生突变突变之后计算不收敛因此可把有限元静力平衡方程组是否有解-关键词有限元强度折减法; 失稳判据中图分类号 AStudy on slope failure criterion in strength reduction finite element methodZHAO Shang-yi 1, ZHENG Ying-ren 1, ZHANG Yu-fang 2(1 Department of Civil Engineering, Logistical Engineering University , Chongqing 400041, China采用理论体系更为严密的有限元法分析边坡的稳定性已经成为可能使边坡达到极限破坏状态使有限元法进入实用阶段目前的失稳判据主要有两类14]28]数值计算不收敛作为边坡失稳破坏依据具有一定的人为任意性采用塑性应变作为失稳评判指标状态确定潜在滑动面及其相应的安全系数以有限元计算是否收敛作为边坡破坏的依据是合理的塑性区贯通是破坏的必要条件还要看是否产生很大的且无限发展的塑性变形和位移在突变前计算收敛计算不收敛2 边坡破坏的特征图1为岩质边坡失稳后形成的直线滑动破坏形式可见边坡失稳滑体由稳定静止状态变为运动状态且此位移和塑性应变不再是一个定值这就是边坡破坏的特征整个迭代过程直到一个合适的收敛标准得到满足才停止坡中UX2可见当达到极限破坏状态后而且该节点的水平位移和塑性应变还将继续无限发展下去此时还是从位移的收敛标准来判断有限元计算都不收敛可见位移的收敛曲线是逐渐向上发展的位移随着迭代次数的增加而越来越大图4 非稳定边坡迭代过程中力和位移的收敛曲线走势图Fig. 4 Graphical solution tracking of iterative process图5为稳定边坡有限元迭代计算过程中力和位移的收敛曲线走势图当边坡稳定时其量值随着迭代次数的增加而逐渐减小4 关于塑性与破坏对于一个理想弹塑性单元来说如果周围没有约束但是如果该单元体周围的物体还处于弹性阶段或者有其它边界约束条件使水平位移/m荷载增量迭代次数/次10610510410310210110010-1力和位移的收敛数值图5 稳定边坡迭代过程中力和位移的收敛曲线走势图Fig. 5 Graphical solution tracking of iterative process它不能任意增长单元进入塑性并不一定意味着就要产生无限的塑性流动图6中倾角为30粘聚力c为700 Pa采用ANSYS程序的外接圆DP 屈服准则按照平面应变计算系统处于稳定状态塑性区是贯通的泊松比ν对边坡的塑性区分布范围有影响边坡的塑性区范围越大9为泊松比ν分别取00.499时的塑性区分布范围(图中有色部分为塑性区)坡高20 m42=c kPa对应于外接圆DP 屈服准则有限元计算收敛有限元计算不收敛当=ω 1.34边坡的绝大部分单元都处于塑性极限平衡状态此时边坡的塑性区已经贯通有限元计算是收敛的ν的取值对安全系数计算结果的影响不明显这也说明了采用区塑性区分布从坡脚到坡顶是否贯通作为边坡破坏的依据是不妥的经常见到大片的塑性区而是处于塑性极限平衡状态塑性区贯通是破坏的必要条件还要看是否产生很大的且无限发展的塑性变形和位移在突变前计算收敛表征滑面上土体无限流动有限元计算是否收敛作为边坡破坏的依据有限元中引起计算不收敛的因素很多具有一定的人为任意性进行有限元计算首先要保证模型的建立要正确由此而引起有限元数值计算不收敛以此为基础的计算结果不管用什么方法来评价边坡的稳定性都是无效的计算迭代次数以及力和位移的收敛标准值的设定具有人为性笔者认为迭代次数只要设定一个合适的值是能够保证计算精度的对于一般的均质土坡平面应变问题将力和位移的收敛系数设定为0.000 01完全可以保证足够的计算精度也可以将迭代次数设定得更高但是故既没有必要当然比如只有10次或者将力和位移的收敛标准值设得很大综上所述程序可靠均质土坡理想弹塑性有限元静力计算是否收敛与边坡是否失稳存在着一一对应的关系坡高H = 20 m土的重度γ=20 kN/m3时边坡的稳定安全系数以及对应的滑动面按照平面应变建立模型下部固定采用非关联流动法则在ANSYS程序的DP准则中强度折减安全系数的计算统一采用ωc采用非关联流动法则进行计算最大迭代次数为1 000次即荷载增量步设置为1步Sparse Matrix Direct Solver Full Newton- Raphson膨胀角0=ψ传统极限平衡条分法安全系数计算采用的软件为加拿大的边坡稳定分析程序SLOPE/WDP1为外接圆DP准则DP3为平面应变条件下的摩尔-库仑匹配DP准则表１用不同方法求得的稳定安全系数　Table 1 Safety factors by different methods不同坡角()下稳定安全系数方法30 35 40 45 50 FEM(DP1) 1.91 1.74 1.62 1.50 1.41 FEM(DP2) 1.64 1.49 1.38 1.27 1.19 FEM(DP3) 1.56 1.42 1.31 1.21 1.12 Spencer法 1.55 1.41 1.30 1.20 1.12 (DP1-S)/S 0.23 0.23 0.25 0.25 0.26 (DP2-S)/S 0.05 0.06 0.06 0.06 0.06 (DP3-S)/S 0.01 0.01 0.01 0.01 0.00从表1可以看出DP3误差在1 %左右DP2外接圆DP准则条件下的安全系数比传统的极限平衡方法大约25 %1滑体滑出同时产生很大的位移和塑性应变而是处于无限塑性流动状态通过有限元强度折减滑动面上的位移将产生突变有限元程序无法从有限元方程组中找到一个既能满足静力平衡此时还是从位移的收敛标准来判断因此以有限元静力平衡方程组是否有解边坡塑性区从坡角到坡顶贯通并不一定意味着边坡整体破坏但不是充分条件就像水池中的水但由于池壁的约束而是处于极限平衡状态403. [2] Dawson E M. Roth W H, Drescher A. Slope stabilityanalysis by strength reduction[J]. Geotechnique, 1999, 49(6): 835346.ZHAO Shang-yi, ZHENG Ying-ren, SHI Wei-ming. Slope safety factor analysis by strength reduction FEM[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2002, 24(3): 343260.ZHAO Shang-yi, ZHENG Ying-ren, DENG Wei-dong.Jointed rock slope stability analysis by strength reduction FEM[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2003, 22(2): 254411. LIAN Zhen-ying, HAN Guo-cheng, KONG Xian-jing. Stability analysis of excavation by strength reduction FEM. Chinese Journal of Geotechnical Engineering. 2001, 23(4): 4068.LUAN Mao-tian, WU Yan-jun, NIAN Ting-kai. A criterion for evaluating slope stability based on development of plastic zone by shear strength reduction FEM[J]. Journal of Disaster Prevention and Mitigation Engineering, 2003, 23(3): 1328.ZHENG Hong, LI Chun-guang, LI Zuo-fen, et al. Finite element method for solving the factor of safety[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2002, 24(5): 323652. ZHOU Cui-ying, LIU Zuo-qiu, DONG Li-guo, et al. Large deformation FEM analysis of slopes failure[J]. Rock and Soil Mechanics, 2003, 24(4): 6446.[2] 张忠苗, 辛公锋. 软土地基超长桩受力性状分析[J]. 工程勘察, 2003, (3): 1018.[4] 池跃君, 顾晓鲁, 周四思, 等. 大直径超长灌注桩承载性状的试验研究[J]. 工业建筑, 2000, 30(8): 2629.[5] 朱向荣, 方鹏飞, 黄洪勉. 深厚软基超长桩工程性状试验研究[J]. 岩土工程学报, 2003, 25(1):7679. [6] 蒋建平, 高广运, 汪明武. 大直径超长桩有效桩长的数值模拟[J]. 建筑科学, 2003, 19(3): 2729.[7] 郑俊杰, 彭小荣. 桩土共同作用设计理论研究[J]. 岩土力学, 2003, 24(2): 242245.[8] 肖宏彬, 钟辉虹, 张亦静, 等. 单桩荷载-沉降关系的数值模拟方法[J]. 岩土力学, 2002, 23(5): 592596[9] 曾友金, 章为民. 用有限单元法分析超长单桩的荷载传递[J]. 岩土力学, 2002, 23(6): 803806.[10] 陈开旭, 安关峰, 鲁亮. 采用有厚度接触单元对桩基沉降的研究[J]. 岩土力学, 2000, 21(1): 9296.[11] Desai C S, Lightner J G, Siriwardane H J, et al. Thin-layerelement for interfaces and joints[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 1984, 8(1): 1922.YIN Zong-ze, ZHU Hong, XU Guo-hua. Numerical simulation of the deformation in the interface between soil and structural material[J]. Chinese Journal of Geotech nical Engineering, 1994, 16(3): 1494, 建筑桩基技术规范[S].。

岩土工程极限分析有限元法及其应用

· 279 ·区域治理综合信息岩土工程极限分析有限元法及其应用吕艳辉固勘探(深圳)有限公司，广东深圳 518000摘要：目前常用的极限分析方法有极限平衡法，滑动线场法，上下限分析法和变分法等。

他们各有利弊。

极限分析有限元分析方法有效地弥补了这四种分析方法的不足，因而被广泛应用于岩土工程分析。

关键词：岩土工程；极限分析；有限元法岩土工程设计中，土体的极限平衡状态可将经济性与安全性相结合，因此被视作最重要的设计因素。

目前常用的极限分析方法包括极限平衡法，滑动线场法，上下限分析法和变分法等，他们各有利弊，然而，极限分析有限元法不仅具有有限元方法的全部优点，而且能有效地弥补其他分析方法的不足。

它还在考虑变形的同时动态模拟施工过程。

在分析边坡稳定性时，不需要对滑动面的位置和形状进行预先假设，也不需要使用条分法。

安全系数和临界滑动面可以通过有限元计算直接获得，应用范围十分广阔。

一、极限分析有限元法的基本原理1 安全系数有两种方法可以使基础或突破进入极限状态：一种是增量加载，另一种是减弱强度。

在过去，当突破安全系数时，首先假定滑动面，然后基于力矩的平衡计算，安全系数定义为滑动面的抗滑力与滑动力之比滑动表面。

其中,W 是安全系数;通过上述式子的变形能够得到以下式子：可以看出，传统的极限平衡法实际上是通过降低剪切强度来实现边坡的极限状态，并且在不同条件的定义下，安全系数存在一定的差异。

因此，利用强度储备确定安全系数不仅能满足岩土工程破坏的不稳定状态，而且要符合国际标准。

2 有限元中的边坡破坏准则目前，在有限元计算中确定土体破坏的标准有三种：① 滑移面塑性区贯通，即滑移面上每点都到达极限平衡状态；② 有限元计算不收敛，即土体以发生破坏；③ 滑动土体无限发生移动，即土体滑动面上的应变和位移发生突变且无限发展。

3 极限分析有限元方法应用条件一般情况下，当应用有限元分析有限元方法时，需要满足三个条件：① 可靠和成熟的有限元程序；② 适当的实际本构模型和强度屈服准则；③ 满足有限元计算模型建立所需的精度以及选择适宜的参数。

极限分析理论

≥0，
5,近似解法举例下限法和上限法下限法就是利用下限定理计算极限荷载的方法，也叫静力法。上限法就是利用上限定理计算极限荷载的方法，也叫机动法。例：土坡临界高度
上限解 AC为剪切面，宽度为D的刚性土 * v 与剪切面呈 t 角。块向下移动。由于拉裂缝处没有能量耗散，故总功率等于剪切面上的内功率，即 cv* cos t d cv* cos t
2,运动许可速度场
在物体V上，若设定一组位移速度场，满足以下条件，则称u i 为运动许可的速度场。 1 * * * ( u u j ,i ) ①在体积V内满足几何方程，即 ij 2 i , j ②在边界上满足位移边界条件，并使外力做正功，即 * * p u u i ui 在 u 上，且 i i 0 由上述定义可知，物体于极限状态时，其真实的位移速度场必定是运动容许的位移速度场；但运动容许的位移速度场不一定是极限状态时真实的位移速度场。
另设一运动容许的位移速度场 u ，对应的应变 * 率为 ij ，应变速度场可能有间断面，其上的切向速度为[ v * 。虚功率方程得 t]
* i

v
* * fiui*dv iui*ds ij ij dv ( ntg )[vt* ]dsL s v SL
v s
式中，S——速度间断面； vt ——速度间断面两侧切向速度的变化。
4,极限分析定理
上限定理：在所有的运动容许的塑性变形位移速度场相对应的荷载中，外功功率等于物体内能耗散率所对应的极限荷载为最小。下限定理：在所有与静力容许的应力场满足 F （ ij） 0相对应的荷载中，极限荷载最大。上限定理证明：证：设 ij 为物体达到极限状态的真实应力场，其对应的表面力为 i， u i为真实位移速率场，由几何 ij ，真实速度场中可能有方程求得的应变率为速度间断面SL，其上的速度切向跃值为[ v t]；体力为 f i 。

有限单元法简介

3．非线性边界(接触问题) 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦接触和摩擦的作用不可忽接触和摩擦视，接触边界属于高度非线性边界。平时遇到一些接触问题，如： • 齿轮传动； • 冲压成型； • 轧制成型； • 橡胶减振器； • 紧配合装配等当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。
(2)用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。 • 每个单元内的近似函数由未知场函数(或其导数)在单元各个节点上的数值和与其对应的插值函数来表达(此表达式通常表示为矩阵形式)。 • 由于在联结相邻单元的节点上，场函数应具有相同的数值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。
2．几何非线性问题当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系应变与位移的关系是非线性关系，这意味应变与位移的关系是非线性关系着结构本身会产生大位移或大转动，而单元中的应变却可大可小。研究这类问题时一般都假定材料的应力与应变呈线性关系假定材料的应力与应变呈线性关系。假定材料的应力与应变呈线性关系这类问题包括： • 大位移大应变问题如：橡胶部件成形过程 • 大位移小应变问题如：如结构的弹性屈曲问题
6 有限元法的发展、现状和未来有限元法的发展、
有限元法的早期工作
•从应用数学的角度考虑，有限元法的基本思想可以追溯到Courant在1943年的工作。他首先尝试应用在一系列三角形区域上定义的分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St.Venant扭转问题。 •此后，不少应用数学家、物理学家和工程师分别从不同角度对有限元法的离散理论、方法及应用进行了研究。 •有限元法的实际应用是随着电子计算机的出现而开始的。首先是Turner，Clough等人于1956年将刚架分析中的位移法推广到弹性力学平面问题，并用于飞机结构的分析。他们首次给出了用三角形单元求解平面应力问题的正确解答。三角形单元的特性矩阵和结构的求解方程是由弹性理论的方程通过直接刚度法确定的。他们的研究工作开始了利用电子计算机求解复杂弹性力学问题的新阶段。 •1960年Clough进一步求解了平面弹性问题，并第一次提出了“有限单元法”的名称，使人们更清楚地认识到有限单元法的特性和功效。

弹性力学有限元法基本原理(二)

x x0 a y y0 b
由于ξ,η在单元4个节点上的值分别为±1，因此称为自然坐标。
（2）单元位移模式
• 单元共有8个自由度，因此单元位移试探函数设为如下形式：
u 1 2 3 4 v 5 6 7 8
1 ~ 8为广义坐标。这是包含完全一次式的非完全二次多项式函数，由
于在各坐标轴方向呈线性变化，因此称为双线性位移模式。
• 根据里兹法的原理，如果单元的位移插值多项式能够精确拟合真正解，则很粗糙的单元划分就能得到精确的解答。比如，假设位移精确解是二次函数，而单元位移模式包含了完全二次多项式，则有限元解一定是精确的。
▪ 对于一般的实际位移场，一点附近的位移可以展开为Taylor级数。
根据前面结论，在一个单元范围内，有限元解可以拟合实际位移的
具有C0连续性（函数值连续）。
满足上述要求的单元称为协调元。
理论上可以证明，同时满足完备性和协调性的单元一定收敛。但协调性不是收敛的必要条件，某些具有非协调位移模式的单元只要满足一定条件也是收敛的。
2、对收敛性和收敛准则的理解
• 根据前面分析，对于有限元位移法，有两个途径得到不断逼近精确解的有限元解序列：第一，网格不变，不断增加位移模式多项式的阶数；第二，单元位移模式不变，不断增加单元数，即单元尺寸趋于零。通常所指有限元解的收敛性是第二种情况。
• 该单元要求两个边平行于坐标轴，因而不能模拟复杂几何边界，这是矩形单元的固有缺点。可以同3节点三角形单元结合使用。
• 如果突破这个几何上的限制，成为任意方位的任意四边形单元，便成为很实用的单元。增加三角形单元节点数也是提高精度的有效途径。
2、六节点三角形单元
（1）单元概述
• 三角形单元天然具有很好的几何适应性，如果增加三角形单元位移模式多项式的阶数，就能成为实用的单元。考虑图3-2所示6节点三角形单元，单元每个边上设一个节点，单元有12个自由度，因此位移模式恰好取完全二次多项式：

有限元极限分析法在地基基础工程中的应用（上海华东院

有限元极限分析法在地基基础工程中的应用（上海华东院有限元极限分析法在地基基础工程中的应用郑颖人董天文重庆市地质灾害防治工程技术研究中心中国人民解放军后勤工程学院教授岩土工程两种安全系数定义强度储备安全系数抗滑力 Fs = 下滑力超载安全系数极限荷载 Fs = 实际荷载传统极限平衡法有限元极限分析法的含义应用弹塑性有限元法进行岩土工程的极限分析，具有有限元法适应性广，又具极限分析算安全系数优点。

两种有限元极限分析法有限元强度折减法不断降低岩土C、? 值，直到破坏。

1 c′ = c Ftrial1 φ ′ = arctan( tan φ ) Ftrial有限元增量加载法（超载法）不断增加荷载，直到破坏。

一、在地基工程中的应用1 2 3 4 地基极限承载力（验证 Prandtl 解）有单个节理的岩石地基的承载力载荷板现场试验数值模拟碎石桩复合地基有限元分析二、桩基础有限元极限分析方法三、在基坑支护中的应用一、在地基工程中的应用1增量加载有限元法求地基极限承载力1.1无重土地基（验证 Prandtl 解）计算简图及有限元剖分动画采用莫尔-库伦准则和D-P准则不同D-P准则（DP1～DP5）对计算结果的影响很大，空间问题：DP4等面积圆准则平面应变： DP3—关联准则 DP5—非关联准则非关联流动法则下极限承载力Φ（° ） DP1 DP2 DP3 DP40 6.023 6.023 5.219 5.4815 8.228 7.629 6.580 7.05110 11.826 9.743 8.413 9.16515 18.216 12.540 10.800 12.29020 29.611 16.269 14.132 16.96725 49.720 20.619 18.778 23.888DP5 5.219 Prandtl 5.142(DP1－ P)/P (DP2－ P)/P (DP3－ P)/P (DP4－ P)/P6.589 6.4890.2680 0.1757 0.0140 0.08668.496 8.3450.4171 0.1675 0.0081 0.098311.004 15.021 20.169 10.977 14.835 20.7210.6595 0.1424 -0.0161 0.1196 0.9960 0.0967 -0.0474 0.14371.3995 -0.0049 -0.0918 0.15280.1713 0.1713 0.0150 0.0659DP5/P 0.0150 0.0154 0.0181 0.0025 0.0125 -0.0266地基滑动面验证（与Prandtl有限元计算滑面解比较）极限状态时地基附近的破坏滑动面及位移矢量图Prandtl 破坏机构图B0 EπO被动区过渡区π _φ4+ 2φd142D主动区Ad2C验算d1、d2、hPrandtl 破坏机构有关参数d1 d2 h0.50 0.71 1.000.55 0.79 1.250.60 0.89 1.570.65 1.01 1.990.71 1.16 2.530.79 1.35 3.270.87 1.59 4.29有限元计算的有关参数(DP3) Φ(°*************d1 d2 h0.49 0.70 0.980.53 0.80 1.250.60 0.90 1.500.65 1.05 1.920.70 0.75 0.89 1.19 2.51 1.35 1.62 3.15 4.201.2 考虑土重的地基极限承载力求解N γ 有限元计算结果及与经验公式的比较Φ (°)N γ (汉森、太沙基) N γ (魏锡克) N γ (梅耶霍夫) N（γ FEM）5 10 15 200.0894 0.4670 1.4185 3.53740.4493 1.2242 2.6479 5.38630.0697 0.3669 1.1290 2.87090.631 1.665 3.674 6.35太沙基公式偏保守2 求含单个节理的岩石地基的承载力2.1考虑节理倾角影响地基岩块参数为： c1 = 1.0MPa, ?1 = 40 oo c = 0 . 1 MPa, ? = 10 节理基本参数为： 2 。

极限分析有限元法讲座—岩土工程极限分析有限元法

2 极限分析有限元法的提出
如上所述，经典极限分析法存在应用范围不宽，只是适用于均质材料等不足，而一般的有限元法又无法计算岩土工程的极限荷载和稳定安全系数，限制了它的工程应用价值。为了克服上述两者的缺点，极限分析有限元法应运而生，形成一门新的学问，它使极限分析可以采用有限元数值分析方法运算，并有现成程序可用（比如美国的ANSYS程序），从而扩大了极限分析法的应用范围。上世纪 70 年代，英国科学家 Zienkiewicz 就已经提出采用增加外荷载或降低岩土强度的方法来计算岩土工程的安全系数，实质上这就是极限分析有限元法，但可惜长期以来没有得到岩土工程界的广泛认可，其原因大致有如下三个方面： (1) 计算力学还在起步阶段，缺少严密可靠的大型商用程序，有限元前后处理技术水平较低，阻碍了极限分析有限元法的应用。当前，这一情况有了根本的改变。 (2) 计算机计算不收敛作为土体破坏的判据没有得到广泛认可，目前土体破坏的标准有如下几种： (a) 滑移面塑性区贯通，表明滑移面上每点都达到极限平衡状态[1]； (b) 有限元数值计算不收敛，认为除人为操作出错外，有限元静力平衡方程组无解，有限元计算不收敛表征土体已经破坏[2,3]； (c) 土体破坏标志应当是滑动土体无限移动，此时土体滑移面上应变和位移发生突变且无限发展。经笔者的研究（见后文），上述土体破坏三种标准有如下关系：土体滑动面塑性区贯通是土体破坏的必要条件，但不是充分条件。土体破坏的标志应是部分土体出现无限移动，此时滑移面上的应变或者位移出现突变，因此，这种突变可作为破坏的标志。此外有限元计算会同时出现计算不收敛。可见，上述(b)(c)两种判断依据是一致的。从计算结果来看判据（a ）与判据（b）、(c)的差异也不大，因而采用有限元数值计算是否收敛作为土体破坏的依据是

分析化学中检出限与测定下限分析

分析化学中检出限与测定下限分析发表时间：2020-12-31T15:09:01.823Z 来源：《科学与技术》2020年9月第26期作者：何善英[导读] 检出限和下限是化学分析中非常重要的性能指标。

它们具有很高的应用价值和控制要求。

何善英绍兴市中测检测技术股份有限公司浙江省绍兴市 312500摘要：检出限和下限是化学分析中非常重要的性能指标。

它们具有很高的应用价值和控制要求。

在不同的工艺条件、规格、设备和仪器条件下，检出限值与下限值不同。

因此，在实际工作中，必须坚持具体条件具体分析的工作原理，科学确定具体条件下检出限和测量下限的标准参数，并以此为依据确定，对测量结果的准确性和可靠性进行评价和优化，实现化学分析值的实际提高。

关键词：检出限；置信度；测定下限中图分类号: 文献标识码：A引言首先阐述了检出限和判定下限的概念，不同标准下的检出限和判定下限记录不同。

分析了分析化学中检出限与下限的关系。

最后，从空白实验分析、光谱仪、空白加入实验方法、滴定法和仪器噪声法等方面对分析化学中检出限的确定方法和下限的确定进行了研究。

1分析化学中检出限与测定下限的定义1.1“检出限”的定义“检测限”的概念最早是由德国学者凯撒在1947年提出的。

强调检出限应作为分析化学中的一个重要指标。

从目前的观点来看，对检出限的定义还没有统一。

(1)根据 iupac，“检测限”是在特定的分析过程中从分析物的最小分析信号中获得的最小质量或浓度。

(2)环保署认为，「检测限」是分析样本中分析物的浓度大于0时所能检测到的最低浓度，而且报告的可信度超过99% 。

(3)欧盟在执行欧盟委员会关于分析方法和结果解释的指示时，提出了“检测限”、“ cc”和“ cc”两个概念。

前者主要是在浓度不小于 cc 的情况下，根据误差率得出肯定的结论。

后者主要是指当样品的误差率为时所能确定的最低浓度或最低含量。

根据这些定义，可以得出”检测限”的结论性定义: 在高可信度的情况下，通过特定分析技术和程序获得的分析样品中分析物的最低值，特征是浓度或最低值数量。