第三章曲线曲面和立体的投影
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第3章曲面立体的投影
•视图特征： 1）与轴线垂直的 投影面上的投影 为两个同心圆； 2）另两视图均为 等腰梯形。
四、 圆球体的投影
圆球可看成是由一个
圆面绕其任一直径回转 而成。 圆球是由球面围成的。 球面可看作圆绕其直径 为轴线旋转而成。
•视图特征： 三个视图均为圆 （不完整球体的 三视图，其外形 轮廓都有半径相 等的圆弧）。
二、 圆锥体的投影
圆锥可看作是由一 个直角三角形绕其直 角边回转而成。
圆锥由圆锥面、底 面所围成。圆锥面可 看作由直线绕与它相 交的轴线旋转而成。
•视图特征： 1）反映底面实形 的视图为圆； 2）另两视图均垂直于轴线的平面截去锥顶部分，剩余部分 称为圆台，其上下底面为半径不同的圆面，
第3章 曲面立体的投影
3.1 回旋体（圆柱、圆锥、圆球） 的投影
3.1 回旋体（圆柱、圆锥、圆球）的投影
常见的曲面体多是回转体，如圆柱、圆锥、圆球、圆环等。
回转面 ——有一条母线（直线或曲线）绕固定轴线 回转而成的曲面。
素 线 ——在回转面上每一个位置的母线。 回转体 ——由回转面或回转面与平面所围成的体。
一、 圆柱体的投影
圆柱由圆柱面和两个底面所 围成。 圆柱可看作是由一个矩形平 面绕着它的一条边回转而成。 圆柱面可看作由直线绕与它相 平行的轴线旋转而成。
视图特征： 1）反映底面实 形的视图为圆； 2）另两视图均为 矩形。
分析圆柱轮廓素线的投影
•轮廓素线 ——构成圆柱面 投影的轮廓线 （对某投影面的 可见与不可见部 分的分界线） （回转面上外形 轮廓线）。
第三章立体的投影
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
12
截交线的性质：
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。 •平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平 面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每 条边是截平面与棱面的交线。
• 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 求截交线的实质是求两平面的交线
s
1 素线法
m 2 纬圆法
31
例 BAC位于圆锥体表面，已知V投影，求H、W投影
s'
a' d' (e')
b'(c')
c
e
sa
bd
s"
(a")
e"
d"
c"
b"
分析
BAC不通过锥顶， 故为曲线
作图
①找特殊点 ②求H、W面投影 ③光滑连接曲线
32
圆球
O
球面
形成
圆绕其直径旋转 而成
O 轴线 圆球表面无直线！
作业
3-2（1）（2）
36
3.2.2 平面与曲面立体相交
一、曲面立体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
37
截交线的性质：
• 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。 • 截交线都是封闭的平面图形。
38
二、求平面与曲面立体的截交线的一般步骤
线后再取局部。
19
20
例:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
12
截交线的性质：
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。 •平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平 面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每 条边是截平面与棱面的交线。
• 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 求截交线的实质是求两平面的交线
s
1 素线法
m 2 纬圆法
31
例 BAC位于圆锥体表面，已知V投影，求H、W投影
s'
a' d' (e')
b'(c')
c
e
sa
bd
s"
(a")
e"
d"
c"
b"
分析
BAC不通过锥顶， 故为曲线
作图
①找特殊点 ②求H、W面投影 ③光滑连接曲线
32
圆球
O
球面
形成
圆绕其直径旋转 而成
O 轴线 圆球表面无直线！
作业
3-2（1）（2）
36
3.2.2 平面与曲面立体相交
一、曲面立体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
37
截交线的性质：
• 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。 • 截交线都是封闭的平面图形。
38
二、求平面与曲面立体的截交线的一般步骤
线后再取局部。
19
20
例:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
第3章曲面立体
截交线上有一些能够确定截交线的大致形状和范围的特
殊点，如回转面转向轮廓线上的点，截交线在对称线上的顶 点，以及最左、最右、最前、最后、最高和最低点等。其他 点是一般点。求作曲面体截交线的投影时，通常应先求出截
交线上特殊点的投影，然后在特殊点较稀疏处按需要求出一 些一般点，最后将特殊点和一般点依次连接并判别可见性，
利用积聚投影求两圆柱的相贯线
三通管（两空心圆柱）的相贯线
3.6.2 用辅助平面法作相贯线
假想用一辅助平面截断相贯的两曲面体，则可同时 得到两曲面体的截交线，这两曲面体的截交线的交点，就 是辅助平面和两曲面体表面三个面的共有点，即相贯线上 的点。若用若干辅助平面截断两曲面体，就可得到相贯线 上的若干点，把这些点连接起来，就能求得相贯线。
第3章 曲线、曲面及曲面立体
3.1 曲线 3.2 曲面的形成和分类 3.3 回转体及其表面上的点 3.4 曲面立体的截交线 3.5 平面立体与曲面立体相交 3.6 曲面立体与曲面立体相交
由各种曲线、曲面和曲面体组成的建筑物
3.1 曲线
3.1.1 曲线的形成与分类
1. 曲线的形成 曲线可以看成是点的运动轨迹（图3.1a）， 也可以是两曲面或平面与曲面相交而形成（图3.1b）。
4 光滑且顺次地连接各点， 作出截交线，并且判别可见 性；
5 整理加深轮廓线。
39
3.4.3 球的截交线
平面切割球时，不论截平面的位置如何，截交线总是圆。 当截平面平行投影面时，截交线圆在该投影面上的投影 反映实形； 当截平面垂直于投影面时，截交线圆在该投影面上的投 影积聚成为一条长度等于截交线圆直径的直线； 当截平面倾斜于投影面时，截交线圆在该投影面上的投 影为椭圆。
螺距P
返回
殊点，如回转面转向轮廓线上的点，截交线在对称线上的顶 点，以及最左、最右、最前、最后、最高和最低点等。其他 点是一般点。求作曲面体截交线的投影时，通常应先求出截
交线上特殊点的投影，然后在特殊点较稀疏处按需要求出一 些一般点，最后将特殊点和一般点依次连接并判别可见性，
利用积聚投影求两圆柱的相贯线
三通管（两空心圆柱）的相贯线
3.6.2 用辅助平面法作相贯线
假想用一辅助平面截断相贯的两曲面体，则可同时 得到两曲面体的截交线，这两曲面体的截交线的交点，就 是辅助平面和两曲面体表面三个面的共有点，即相贯线上 的点。若用若干辅助平面截断两曲面体，就可得到相贯线 上的若干点，把这些点连接起来，就能求得相贯线。
第3章 曲线、曲面及曲面立体
3.1 曲线 3.2 曲面的形成和分类 3.3 回转体及其表面上的点 3.4 曲面立体的截交线 3.5 平面立体与曲面立体相交 3.6 曲面立体与曲面立体相交
由各种曲线、曲面和曲面体组成的建筑物
3.1 曲线
3.1.1 曲线的形成与分类
1. 曲线的形成 曲线可以看成是点的运动轨迹（图3.1a）， 也可以是两曲面或平面与曲面相交而形成（图3.1b）。
4 光滑且顺次地连接各点， 作出截交线，并且判别可见 性；
5 整理加深轮廓线。
39
3.4.3 球的截交线
平面切割球时，不论截平面的位置如何，截交线总是圆。 当截平面平行投影面时，截交线圆在该投影面上的投影 反映实形； 当截平面垂直于投影面时，截交线圆在该投影面上的投 影积聚成为一条长度等于截交线圆直径的直线； 当截平面倾斜于投影面时，截交线圆在该投影面上的投 影为椭圆。
螺距P
返回
机械制图教案——第3章 立体的投影
第3章立体的投影一、本章重点：1.平面立体和曲面立体投影的画法，及立体表面点的投影。
2.立体与平面相交其交线的画法，既求截交线。
3.两回转体轴线垂直相交其交线的画法。
4.立体的尺寸标注。
二、本章难点：1.圆球和圆环的投影及表面上点的投影。
2.圆锥、圆球被平面截切后，截交线的画法。
3.求作相贯线。
三、本章要求：通过本章的学习，要掌握基本体的三面投影画法，基本体表面点的投影，能够分析和绘制常见的截交线和两回转体轴线相交时的相贯线，掌握立体的尺寸标注的方法。
四、本章内容：§3-1 平面立体的投影一、棱柱棱柱体由若干个棱面及顶面和底面组成，它的棱线相互平行。
顶面和底面为正多边形的直棱柱，称为正棱柱。
常见的棱柱有三棱柱、四棱柱、六棱柱等。
1．棱柱的三视图2．棱柱表面上的点二、棱锥棱锥的底面为多边形,各侧面为若干具有公共顶点的三角形。
从棱锥顶点到底面的距离叫做锥高。
当棱锥底面为正多边形，各侧面是全等的等腰三角形时，称为正棱锥。
常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、六棱锥。
1. 棱锥的三视图2．棱锥表面上的点§3-2曲面立体的投影曲面立体的表面是由一母线绕定轴旋转而成的，故称曲面立体，也称为回转体。
常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。
一、圆柱1．圆柱面的形成圆柱面可看作一条直线AB围绕与它平行的轴线OO回转而成。
OO称为回转轴，直线AB称为母线，母线转至任一位置时称为素线。
这种由一条母线绕轴回转而形成的表面称为回转面，由回转面构成的立体称为回转体。
2．圆柱的三视图3．圆柱表面上的点二、圆锥1．圆锥面的形成圆锥面可看作由一条直母线围绕和它相交的轴线回转而成。
2．圆锥的三视图3．圆锥表面上的点三、圆球1．圆球面的形成圆球面可看作一圆（母线），围绕它的直径回转而成。
2．圆球的三视图3．圆球表面上的点四、圆环1．圆环的形成圆环面可看作由一圆母线，绕一与圆平面共面但不通过圆心的轴线回转而成。
图中的回转轴是铅垂线。
建筑制图与识图3立体的投影
3
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
（2）棱面法——面面交线法
将平面立体上参与相交的各棱面， 与截平面求交线，这些交线即围成所 求的平面立体截交线。
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
作图步骤：
1）空间分析及投影分析 a、截平面与立体的相对位置——确定截交线的形状 b、截平面，立体表面与投影面的相对位置——确定截交线的投影特性
PV2
6′ (7′) 7 ′′
例3-8：求作被截五棱柱的三面投影图
4′ (5′) 2′ ( 3′)
PV1
1′
5′′ 3 ′′
6′′
4′′ 2′′ 1′′
3 7(5)
1
2
6(4)
3.3 切割体的投影
3.3.2 曲面切割体的投影
截交线：一般为封闭的平面曲线，特殊情况为直线。 其形状取决于曲面立体的几何特征，以及截平面与曲面立体的相对位置。
c’ （2）绘出圆柱的顶面和底面。
（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。
Z
a1’ c1’(d1’) d(d1)
a(a1) c(c1)
d1’
b1’
a1”(b1”) c1’’
c’d’ b’
V a’
D
A
d” B
a”b”
c”W
C
b(b1)
圆柱的投影
正面转向轮廓线 a1’
X
c1’d1’ A1 d(d1)
da11””(b1)”c1” C1b(b1)
曲面上可见与不可见的分界线称为回转面对该投影面的转向轮 廓线，在其他投影面不应画出。
圆柱体的投影
圆柱表面由圆柱面和上下两底面所组成。圆柱面是由一直母线绕与之 平行的轴线回转而成。圆柱上任意一条平行于轴线的直母线称之为素线。
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
（2）棱面法——面面交线法
将平面立体上参与相交的各棱面， 与截平面求交线，这些交线即围成所 求的平面立体截交线。
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
作图步骤：
1）空间分析及投影分析 a、截平面与立体的相对位置——确定截交线的形状 b、截平面，立体表面与投影面的相对位置——确定截交线的投影特性
PV2
6′ (7′) 7 ′′
例3-8：求作被截五棱柱的三面投影图
4′ (5′) 2′ ( 3′)
PV1
1′
5′′ 3 ′′
6′′
4′′ 2′′ 1′′
3 7(5)
1
2
6(4)
3.3 切割体的投影
3.3.2 曲面切割体的投影
截交线：一般为封闭的平面曲线，特殊情况为直线。 其形状取决于曲面立体的几何特征，以及截平面与曲面立体的相对位置。
c’ （2）绘出圆柱的顶面和底面。
（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。
Z
a1’ c1’(d1’) d(d1)
a(a1) c(c1)
d1’
b1’
a1”(b1”) c1’’
c’d’ b’
V a’
D
A
d” B
a”b”
c”W
C
b(b1)
圆柱的投影
正面转向轮廓线 a1’
X
c1’d1’ A1 d(d1)
da11””(b1)”c1” C1b(b1)
曲面上可见与不可见的分界线称为回转面对该投影面的转向轮 廓线，在其他投影面不应画出。
圆柱体的投影
圆柱表面由圆柱面和上下两底面所组成。圆柱面是由一直母线绕与之 平行的轴线回转而成。圆柱上任意一条平行于轴线的直母线称之为素线。
立体的投影曲面立体课件
法
将物体放置在投影面前方，光线垂直于投影面进行投影，得到物体的正投影图。正投影图 具有真实反映物体形状和大小的特点，常用于工程图样绘制。
斜投影法
将物体放置在投影面一侧，光线倾斜于投影面进行投影，得到物体的斜投影图。斜投影图 具有将物体侧面形状充分表现出来的特点，常用于表现物体的外观形态。
用于博物馆、科技馆等场所的展 示，向公众普及科学知识。
01
投影曲面的立体课 件的优缺点
投影曲面的立体课件的优点
直观性
投影曲面立体课件能够以三维 立体的形式展示物体，使学习 者能够更直观地理解物体的结
构和形态。
动态性
投影曲面立体课件可以模拟物 体的运动和变化，使学习者能 够更好地理解物体的动态特征 和运动规律。
未来发展方向
1 2 3
跨界融合 立体投影曲面课件将与虚拟现实、增强现实等技 术进行跨界融合，拓展应用场景和表现形式。
个性化定制 随着技术的发展和用户需求的多样化，立体投影 曲面课件将更加注重个性化定制，满足不同用户 的需求。
智能化发展 未来立体投影曲面课件将更加智能化，能够实现 自动识别、智能交互等功能，提升用户体验和价 值。
交互性
投影曲面立体课件通常具有交 互功能，学习者可以通过与课 件的互动来加深对知识的理解。
趣味性
投影曲面立体课件通常采用生 动有趣的表现形式，能够激发
学习者的学习兴趣和积极性。
投影曲面的立体课件的缺点
技术要求高
视觉疲劳
制作投影曲面立体课件需要较高的技术水 平和经验，因此制作成本较高。
由于投影曲面立体课件采用三维立体显示 方式，长时间观看可能会引起视觉疲劳。
透视投影法
将物体放置在投影面的一侧，光线从物体前方穿过投影面进行投影，得到物体的透视投影 图。透视投影图具有近大远小的特点，能够表现物体的空间感和立体感，常用于建筑设计、 景观设计等领域。
将物体放置在投影面前方，光线垂直于投影面进行投影，得到物体的正投影图。正投影图 具有真实反映物体形状和大小的特点，常用于工程图样绘制。
斜投影法
将物体放置在投影面一侧，光线倾斜于投影面进行投影，得到物体的斜投影图。斜投影图 具有将物体侧面形状充分表现出来的特点，常用于表现物体的外观形态。
用于博物馆、科技馆等场所的展 示，向公众普及科学知识。
01
投影曲面的立体课 件的优缺点
投影曲面的立体课件的优点
直观性
投影曲面立体课件能够以三维 立体的形式展示物体，使学习 者能够更直观地理解物体的结
构和形态。
动态性
投影曲面立体课件可以模拟物 体的运动和变化，使学习者能 够更好地理解物体的动态特征 和运动规律。
未来发展方向
1 2 3
跨界融合 立体投影曲面课件将与虚拟现实、增强现实等技 术进行跨界融合，拓展应用场景和表现形式。
个性化定制 随着技术的发展和用户需求的多样化，立体投影 曲面课件将更加注重个性化定制，满足不同用户 的需求。
智能化发展 未来立体投影曲面课件将更加智能化，能够实现 自动识别、智能交互等功能，提升用户体验和价 值。
交互性
投影曲面立体课件通常具有交 互功能，学习者可以通过与课 件的互动来加深对知识的理解。
趣味性
投影曲面立体课件通常采用生 动有趣的表现形式，能够激发
学习者的学习兴趣和积极性。
投影曲面的立体课件的缺点
技术要求高
视觉疲劳
制作投影曲面立体课件需要较高的技术水 平和经验，因此制作成本较高。
由于投影曲面立体课件采用三维立体显示 方式，长时间观看可能会引起视觉疲劳。
透视投影法
将物体放置在投影面的一侧，光线从物体前方穿过投影面进行投影，得到物体的透视投影 图。透视投影图具有近大远小的特点，能够表现物体的空间感和立体感，常用于建筑设计、 景观设计等领域。
第三章-立体的投影PPT课件
1″ 7″
9″
4(2)
6(8)
3(1) 5(7)
10(9)
可编辑课件PPT
35
可编辑课件PPT
36
可编辑课件PPT
37
可编辑课件PPT
38
3.3 曲面立体
曲面立体：所有表面都是由曲面或曲面和平面 所围成的立体称为曲面立体。它们通常被称为 回转体。
一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为回 转面。不动线称为回转轴，动线称为母线，母 线在回转面上的任意位置称为素线。
4(8) 3(7) 2(6)
1(5)
可编辑课件PPT
68
二、 平面与圆锥相交
1. 平面与圆锥相交所得截交线形状 2. 例题
可编辑课件PPT
69
1. 平面与圆锥相交所得截交线形状
圆
过锥顶的两直线
小小规定
可编辑课件PPT
5
一、 棱柱
1. 棱柱的组成
正面投影
由两个底面和几个侧 面组成。侧面与侧面 的交线叫侧棱，侧棱 相互平行。
2. 棱柱的投影
侧面投影
水平投影
可编辑课件PPT
在图示位置时，六棱 柱的两底面为水平面， 在水平投影中反映实 形。前后两侧面是正 平面，其余四个侧面 是铅垂面，它们的水 平投影都积聚成直线， 与六边形的边重合。
s
1
4 2 ●
●
●
解题步骤
1.空间分析：截平面与 四条侧棱均相交，因此 截交线是一个四边形。
3
● 3
2.投影分析：截平面为
正垂面，截交线的正面
投影已知，水平投影和
侧面投影未知；
4 ●
3
1
●
s●
2●
第三章 工程制图A 立体的投影
二、棱锥
1.棱锥的组成
由一个底面和几个侧 棱面组成。侧棱线交于有 限远的一点——锥顶。
棱锥---底面是多边形，各侧面为 若干具有公共顶点的三角形。 正棱锥----底面为正多边形,各侧面 是全等的等腰三角形的棱锥。
S
棱锥的顶点
棱锥的侧棱
D
棱锥的侧面
E A
C
棱锥的底面
B
• 一个特殊的棱锥：正棱锥 把底面为正多边形，侧面是全等的三角形的棱 锥叫作正棱锥
第二节 曲面立体的投影
回转体——由回转面或回转面和平面围成的立体 母线
轴线
(a)形成
(b)回转体
•一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为回转面。
•形成回转面的动线称为母线，定线称为轴线, 母线在 回转面上的任意位置都称为素线。
O
轴线
母线
顶圆 素线 轴线
赤道圆
O
喉圆
纬圆 底圆
回转面的术语
在投影图上表示回转 体，就是把组成立体的 回转面或平面表示出来， 然后判断可见性。如图 所示。
棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥… 截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五 棱台…
棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各顶
点的字母来表示，如图棱台ABCD-A1B1C1D1 。
A1 D1
C B1 1
正棱锥台----由正棱锥截得的棱台。 四棱锥台的投影图
(a) 直观图
(b) 投影图
平面立体投影可见性的判别规律
小结
1.平面立体投影的作图可归结为绘制平面 （立体表面）和（棱）线投影的作图。
2.在立体表面上取点、取线的方法与在 平面上取点、取线的方法相同。
——如果点或直线在特殊位置平面内，则 作图时，可充分利用平面投影有积聚性的 特点，由一个投影求出其另外两个投影；
曲面立体的投影.
【例4-6】 如下图所示，已知圆锥面上一点A的正面投影a′，求a、a″。
解：（1）分析
（2）作图
方法二：纬圆法。 【例4-7】 如下图所示，已知圆锥表面上一点A的投影a′，求a、a″。
解：（1）分析 （2）作图
2．圆锥表面上线的投影 作圆锥面上线段的投影的方法：是求出线段上的端点、轮廓线上的点、分界点 等特殊位置的点及适当数量的一般点，并依次连接各点的同面投影。 【例4-8】 如下图所示，已知圆锥表面上的线段AB的正面投影，求其另两面投影。
曲线 线、抛物线等）。 空间曲线：曲线上各点不在同一个平面内（如圆柱螺旋线等）。
（二）曲面
曲面可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成。
曲面
直线曲面：由直线运动而形成的曲面称为。 曲线曲面：由曲线运动而形成的曲面称为。
回转体是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成的，因 此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体。
圆柱曲面是一条直线 围绕一条轴线始终保 持平行和等距旋转而 成。
母线
圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的。
母线
球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成。
（三）素线与轮廓线
形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线。 我们把确定曲面范围的外形线称为轮廓线（或转向轮廓线），轮廓 线也是可见与不可见的分界线。 当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重 合，这种素线称为轮廓素线。 在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、 最后边素线、最左边素线和最右边素线。
第三章 曲面立体的投影
在建筑工程中，我们会接触到各种形状的建筑物（如：房屋、水塔） 及其构配件（如：基础、梁、柱等）的形状虽然复杂多样，但经过仔细 分析，不难看出它们一般都是由一些简单的几何体经过叠加、切割、或 相交等形式组合而成。
解：（1）分析
（2）作图
方法二：纬圆法。 【例4-7】 如下图所示，已知圆锥表面上一点A的投影a′，求a、a″。
解：（1）分析 （2）作图
2．圆锥表面上线的投影 作圆锥面上线段的投影的方法：是求出线段上的端点、轮廓线上的点、分界点 等特殊位置的点及适当数量的一般点，并依次连接各点的同面投影。 【例4-8】 如下图所示，已知圆锥表面上的线段AB的正面投影，求其另两面投影。
曲线 线、抛物线等）。 空间曲线：曲线上各点不在同一个平面内（如圆柱螺旋线等）。
（二）曲面
曲面可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成。
曲面
直线曲面：由直线运动而形成的曲面称为。 曲线曲面：由曲线运动而形成的曲面称为。
回转体是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成的，因 此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体。
圆柱曲面是一条直线 围绕一条轴线始终保 持平行和等距旋转而 成。
母线
圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的。
母线
球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成。
（三）素线与轮廓线
形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线。 我们把确定曲面范围的外形线称为轮廓线（或转向轮廓线），轮廓 线也是可见与不可见的分界线。 当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重 合，这种素线称为轮廓素线。 在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、 最后边素线、最左边素线和最右边素线。
第三章 曲面立体的投影
在建筑工程中，我们会接触到各种形状的建筑物（如：房屋、水塔） 及其构配件（如：基础、梁、柱等）的形状虽然复杂多样，但经过仔细 分析，不难看出它们一般都是由一些简单的几何体经过叠加、切割、或 相交等形式组合而成。
第三章立体的投影
第三章立体的投影基本要求：熟练掌握基本形体的三面投影的特性、平面和立体的截交线的性质和画法、立体相贯线的性质和画法；能判断出立体表面的点、线，会求线与立体的交点。
主要内容：1、立体的投影；2、平面和立体相交；3、两立体相贯。
3.1立体的投影一、内容：1、平面立体的投影特性、作图方法；2、曲面立体的投影特性、作图方法。
二、要求及重点：要求掌握平面立体、曲面立体的投影特性、作图方法，并能综合运用。
三、教学方式：通过模型、教具、例题及实际绘制，使学生掌握并能综合运用。
四、作业：布置相应的立体投影作业。
3.1立体的投影基本形体：平面体曲面体一、平面立体的投影1、平面立体：表面由平面所围成的几何体。
2、平面立体的投影：就是围成它的表面的所有平面图形的投影。
置下，五棱柱的投影特征是：顶面和底面的水平投影重合，并反映实形——正五边形。
五个棱面的水平投影分别积聚为五边形的五条边。
正面和侧面投影上大小不同的矩形分别是各棱面的投影，不可见的棱线画虚线。
2、作图步骤：如图3-1b、c。
3、棱柱表面上点的投影：如图3-1d。
（二）棱锥棱锥的棱线交于一点。
常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
图3-2 四棱锥三面投影的作图步骤1、投影分析图示四棱锥的底面平行于水平面，水平投影反映实形。
左、右两棱面垂直于正面，它们的正面投影积聚成直线。
前、后两棱面垂直于侧面，它们的侧面投影积聚成直线。
与锥顶相交的四条棱线既不平行、也不垂直与任何一个投影面，所以它们在三个投影面上的投影都不反映实长。
2、作图步骤：如图3-2b。
3、棱锥表面上点的投影：如图3-2c。
二、曲面立体的投影1、曲面立体：由曲面或曲面与平面所围成的几何体。
2、常见的曲面立体是回转体。
回转体：由回转面或回转面与平面所围成的立体，常见的回转体有圆柱、圆锥、球、环等。
回转体的投影就是围成它的回转面或回转面和平面的投影。
1、投影分析如图3-3所示，当圆柱轴线垂直于水平面时，圆柱上、下端面的水平投影反映实形，正面和侧面投影积聚成直线。
第三章曲线曲面和立体的投影
曲线的投影
曲线是动点运动的轨迹，也可以说是一系列连续点的集合。 因此，绘制曲线的投影时，只要能作出曲线上一系列点的投 影，并把它们的同面投影依次光滑地连接起来，即得曲线的 投影。这是绘制曲线投影的一般方法。 但是，如能根据曲线的投影特性，预先对曲线投影的形状或 特点作出判断，则可以使图形准确作图简化。现将曲线的主 要投影特性分述如下：
在图示位置时，六棱柱的两 点的可见性规定： 底面为水平面，在俯视图中反映 由于棱柱的表面都是平 若点所在的平面的投影 实形。前后两侧棱面是正平面， 面，所以在棱柱的表面上取 可见，点的投影也可见；若 其余四个侧棱面是铅垂面，它们 点与在平面上取点的方法相 平面的投影积聚成直线，点 的水平投影都积聚成直线，与六 同。 的投影也可见。 边形的边重合。
截交线是一个由直线组成的封闭的平 面多边形。 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 ⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 ★ 空间及投影分析 线的形状 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 确定截交线 分别求出截平面与棱面的交 的投影特性 线，并连接成多边形。
环面投影可见性的判别
由上向下看，此部分可见
由前向后看，此部分可见
（三）非回转直线面 1、柱面
（1）柱面的形成 由直母线AA1沿着一曲导线A1B1C1A1，且平行于另一直导 线MN运动而形成的曲面。 （2）柱面的投影 画出直母线、曲导线以及外形 轮廓素线和其它必要的素线 （3）柱面的种类
柱面投影种类
纬圆、赤道圆与径圆
回转面按旋转运动的 特性，母线上任意一点 的旋转轨迹都是一个垂 直于轴线的圆，称为纬 圆，纬圆的半径等于该 点到轴线的距离。其中 比相邻两侧的纬圆都大 的，称为赤道圆；比相 邻两侧的纬圆都小的， 称为径圆或喉圆。
第三章 立体的投影
第三章立体的投影立体按照其表面的性质，可分为平面立体和曲面立体两大类。
表面全部由平面围成的立体称为平面立体，表面由平面和曲面围成,或全部由曲面围成的立体称为曲面立体。
§3.1 平面立体一、平面立体的投影及其表面上的点平面立体的各个表面均为平面多边形，多边形的边即为各表面的交线（棱线），因此，绘制平面立体的投影可归结为绘制它的所有棱线及各棱线交点（顶点）的投影，然后判断可见性，将可见的棱线投影画成粗实线；不可见的棱线投影则画成虚线；当粗实线与虚线重合时，应画粗实线。
常见的平面立体是棱柱和棱锥。
1．棱柱（1）棱柱的投影（a）（b）图3-1 正六棱柱的投影图3-1所示为一个正六棱柱的立体图和投影图。
从本章开始，在投影图中不再画投影轴，但各点的三面投影仍要遵守正投影规律：水平投影和正面投影位于铅垂的投影连线上；正面投影和侧面投影位于水平的投影连线上；水平投影和侧面投影应保持前后方向的宽度一致及前后对应。
图3-1a 所示的正六棱柱，它的上、下底面均为水平面，六个棱面中，前后两个为正平面，其余四个为铅垂面。
作投影图时，先画上、下底面的投影：水平投影反映实形且两面重影；正面、侧面投影都积聚成直线段。
再画六条棱线：水平投影积聚在六边形的六个顶点上；正面、侧面投影均反映实长。
最后由读者自己分析各棱线和棱面的可见性。
要特别注意水平投影与侧面投影之间必须符合宽度相等和前后对应的关系，作图时可直接用分规量取距离，如图3-1b所示；但也可用添加45°辅助线的方法作图，如图3-2b。
（2）棱柱表面上的点棱柱体表面上取点和平面上取点的方法相同，先要确定点所在的平面并分析平面的投影特性。
如图3-1b，已知棱柱表面上点M的正面投影m＇和N点的水平投影n，求作其它两个投影。
因为m＇可见，它必在侧棱面ABB1A1上，其水平投影m必在有积聚性的投影上，由m＇和m可求得m＂, 因点M所在的表面A B B1A1的侧面投影可见，故m＂可见；由于N点的水平投影可见，它必在顶面ABCDEF上，而顶面的正面投影和侧面投影都有积聚性，因此n＇、n＂必在顶面的同面投影上。
第三章 立体的投影(22)曲面立体圆锥和球最好用的工程制图PPT课件
27.11.2020
工业制图课件
例例33：：求求半半球球体体被被截截后后的的俯俯视视图图和和左左视视图图。。
27.11.2020
两水个平侧面平截面圆截球圆的球截的交截线 交的线投的影投，影在，俯在视侧图视上图为 上部为分部圆分弧圆，弧在，侧在视俯图视上 图积上聚积为聚直为线直。线。
工业制图课件
半球体被截后的视图和立体图。
• 求截平面与曲面上被截各素线的交点，然后依次
2光7.11滑.2020连接。
工业制图课件
★ 求截交线的步骤： ⒈ 空间及投影分析
确定截交 线的形状
分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相
对位置。
分析截平面与投影面的相对位置，如积聚性、类
似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
二、圆锥的截断
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。
PV
θ PV
PV
PV
θ
PV
垂直于轴线 θ= 90°
圆27.11.2020
倾斜于轴线 θ＞α
椭圆
平行于轴线 θ= 0°
工双业曲制图线课件
平行于一条素线
过锥顶
θ=α
直线（三角形）
抛物线
直线
二.平面与曲面立体表面相交
例:圆锥被正平面截切，补全正面投影图。
b
工业制图课件
四、圆锥可见性的判别
27.11.2020
工业制图课件
2.在圆锥表面取点
s
s
(1) 特殊位置点
已知棱锥表面上点 的投影1、2、3， 求其它两面投影。
SO
A O1
27.11.2020
(2)
曲线、曲面和立体的投影
F c
b a d e f
返回
f
三、曲面、曲面立体及其表面上的线和点
㈠ 曲面的形成和分类
规则曲面可看成是母线在一定约束条件下运动后的 轨迹。母线运动到任何一位置称为素线，母线可以是直 线段，也可以是曲线段；曲面的分类：
按母线是直线还是曲线，曲面可分为：直纹面和曲线面； 按母线的运动方式，曲面可分为：回转面和非回转面； 按曲面的可展性，曲面可分为：可展曲面和不可展曲面；
返回圆柱体表面上的线和点圆柱体表面上的线和点返回22圆锥体的投影圆锥体的投影返回用素线法在锥面上定点用素线法在锥面上定点返回用纬圆法在锥面上定点用纬圆法在锥面上定点返回圆锥体表面上的线和点圆锥体表面上的线和点返回3圆台的投影圆台的投影返回44圆球体的投影圆球体的投影返回圆球面上的线和点圆球面上的线和点nn返回55圆环体圆环体返回环面上的线和点环面上的线和点返回单单叶叶双双曲曲回回转转面面返回11柱面面22锥面面33双曲抛物面双曲抛物面44柱面面直母线沿着一条曲导线且平行于一直导线运动所形直母线沿着一条曲导线且平行于一直导线运动所形成的曲面称为柱面
直导线L2
母线 曲导线L1 椭圆柱 斜圆柱 返回
2、锥 面
直母线沿着一条曲导线且通过一个导点运动后所形 成的曲面称为锥面。
母线 导点
曲导线
椭圆锥
斜圆锥 返回
3、双曲抛物面
直母线沿着两条交叉的直导线且平行于某一导平面 运动后所形成的曲面称为双曲抛物面，也称为翘平面。
V A
D
B
C c
a
H
b
d 返回
双 曲 抛 物 面 的 画 法
Ⅳ′ d′ a′
Ⅰ′
o′
c′ Ⅲ′
Ⅱ′
b′
Ⅳ d
工程图学基础第3章 立体的投影
1.平面与棱锥相交
图3-14 平面与三棱锥相交
2.平面与棱柱相交
例3-10 画出截切五棱柱的三面投影(图3-15)。 解 五棱柱被正垂面P截切，所得截交线为五边形。正面投影积聚在PV上，截平面与 侧表面CC1B1B，BB1A1A，AA1E1E、EE1D1D的交线的水平投影积聚在各自侧表面的 水平投影上。截平面与顶面ABCDE均垂直于V面，则交线为一正垂线，正面投影积聚 为一点。水平投影反映实长。截交线的侧面投影可由正面投影和水平投影求出。作图 步骤如下(图31)画出五棱柱的投影。 2)根据题目给定条件画出截平面的正面迹线PV。 3)求出截交线的水平投影五边形gfjih和侧面投影五边形g″f″j″i″h″。 4)去掉截切部分多余的轮廓线AF、BG、EJ及顶面上五边形BAEIH的投影，并判别投 影图的可见性。
(1)圆柱
图3-4 圆柱的三面投影
(2)圆锥
3-5 圆锥的三面投影
(3)圆球
图3-6 圆球的三面投影
(4)圆环
图3-7 圆环的三面投影
2.曲面立体表面上的点、线
(1)圆柱表面上的点、线 当圆柱轴线垂直于某一投影面时，圆柱面对其投影有积聚 性，利用积聚性确定属于圆柱表面上的点。 (2)圆锥表面上的点、线 为了确定属于圆锥面上的点，根据圆锥面的性质可过圆锥 顶点作辅助直线，或者过给定点作辅助圆，如图3-10a所示。 (3)圆球表面上的点、线 由于圆球面上不存在直线。
(1)棱锥Байду номын сангаас投影
图3-1 三棱锥的投影
(2)棱柱的投影
图3-2 正五棱柱的投影
2.平面立体投影图的可见性判断
平面立体投影图的可见性判断实质上是判别立 体各棱线投影的可见性。通常采用分析立体表 面可见性的方法解决。判断立体表面可见性时， 应遵循的原则是：共一个棱线的两个表面对某 一投影面投影时，只要其中一个表面可见，则 该棱线的投影可见，如果两个投影均不可见， 则该棱线的投影不可见。
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其它曲面（自由曲面） 以下仅介绍回转面和非回转面的直纹曲面中的柱面、锥面 和具有导平面的扭面。
（二）回转面
素线与轮廓线
形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线。
我们把确定曲面范围的外形线称为轮廓线（或转向轮廓线），轮廓 线也是可见与不可见的分界线。 当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重 合，这种素线称为轮廓素线。 在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、 最后边素线、最左边素线和最右边素线。
在投影上表示曲线回转面通常要画出轴线，顶圆、底圆、最大 圆和最小圆等的投影及外形轮廓线。
（1）球面
球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成。
球面的画法
球面的投影特点
球面可见性的判别
（1）环面 环面可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平面内， 但不通过圆心的轴线旋转而成。
环面的画法
环面的投影特点
2、锥面
（1）锥面的形成 由直母线通过一固定点，且连续经过某一曲导线运动而 形成的曲面。 （2）锥面的投影 应画出锥顶S和曲导线的投影，以及各投影的外形轮廓 线。 （3）锥面的种类
有轴锥面投影举例
3、具有平行的导平面的扭面 （1）翘平面（双曲抛物面）
翘平面的形成
由直母线AC始终平行于一导平面P，并沿着AB、CD两条交叉导直线移动而 形成的曲面。
1、圆平面在所平行投影面上的投影反映真形。 2、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆 的直径。
3、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆 的平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径 相垂直的直径的投影。 V A O D
P
B
X
C a
O
d
b
c
二、曲面
（一）曲面的形成与分类
1、在一般情况下，曲线的投 影仍然是曲线。因为，通过曲 线上各点的投影线，将形成一 个垂直于投影面的曲面，该曲 面与投影面的交线仍为曲线。
2、在特殊情况下，平面曲线的投影可能是直线段，或反映实 形。当曲线所在的平面垂直于投影面时，它在该投影面上的投 影为直线段；当曲线所在的平面平行于投影面时，它在该投影 面上的投影反映实形 。
纬圆、赤道圆与径圆
回转面按旋转运动的 特性，母线上任意一点 的旋转轨迹都是一个垂 直于轴线的圆，称为纬 圆，纬圆的半径等于该 点到轴线的距离。其中 比相邻两侧的纬圆都大 的，称为赤道圆；比相 邻两侧的纬圆都小的， 称为径圆或喉圆。
回转轴
O 纬圆
母线
O1 轮廓素线
1、直纹回转面
直纹回转面有三种：（正）圆柱面、（正）圆锥面和单叶回转双曲面
曲线的投影
平面曲线所在的平面为一般位置时,其投影必为 原曲线的类似形。如抛物线的投影是抛物线，双 曲线的投影是双曲线等。 在任何情况下，空间曲线的投影都不可能积聚 为直线段或反映实形，也不可能是原曲线的类似 形。在表示空间曲线时，至少需要两面投影才能 确定它的形状。
（二）圆周的投影
圆的投影特性：
（1）圆柱面
圆柱面是一条直线围绕一条轴线始终保持平行和等距旋转而成。
母线
圆柱面的画法
圆柱面的投影特点
[例题] 分析圆柱面轮廓素线的投影
圆柱面投影可见性的判别
（2）圆锥面
圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的。
母线
圆锥的画法
圆锥的投影特点
圆锥可见性的判别
（3）单叶回转双曲面
翘平面的投影 应画出导平面、两交叉导直线及一些素线的投影。
翘平面在工程中的应用
（2）锥状面
锥状面的形成 由直母线始终平行于一导平面，并沿着一条导曲线和一 条导直线移动而形成的曲面。
锥状面的投影
应画出导平面、导曲线、导直线及一些素线的投影。
（3）柱状面
柱状面的形成 由直母线始终平行于一导平面， 并沿着任意两条导曲线移动而 形成的曲面。 柱状面的投影 应画出导平面、两条导曲线及一些素线的投影。
曲面的形成 曲面按形成是否有规律而分成有规则的曲面和不规则的曲面 （如地面）两大类。 有规则的曲面是一条线运动的轨迹 产生曲面的动线称为母线； 曲面上任意位置的母线称为素线； 控制母线运动的线、面分别称为导线、导面。
素线：母线在某
一时刻的位置。
导线
N
A B
母线
C
A1 M
素线
B1
C1
a
曲线的投影
曲线是动点运动的轨迹，也可以说是一系列连续点的集合。 因此，绘制曲线的投影时，只要能作出曲线上一系列点的投 影，并把它们的同面投影依次光滑地连接起来，即得曲线的 投影。这是绘制曲线投影的一般方法。 但是，如能根据曲线的投影特性，预先对曲线投影的形状或 特点作出判断，则可以使图形准确作图简化。现将曲线的主 要投影特性分述如下：
n b
c
m
a1
b1
c1
曲面的分类 可展---如圆柱、圆锥。
回转面
直线面
（直纹曲面）
不可展---如单叶双曲回转面。
不可展--如双抛物面、正螺旋面、 柱状面、锥状面。
非回转面
可展---如椭圆锥、椭圆柱、盘旋面。
曲面
曲线面
（非直纹曲面）
回转面---如圆球面、圆环面、抛物回转面等。 定母线 非回转面 变母线---三轴椭球面。
第三章 曲线、曲面和立体的投影
§3.1 曲线与曲面 §3.2 立体的投影 §3.3 平面与立体相交 §3.4 两立体相贯
§3.1
一、曲线
曲线与曲面
（一）曲线的形成、分类与投影
曲线的形成 曲线可以是一个动点连续运动的轨迹，也可以是平面与曲
面或曲面与曲面的交线。
曲线的分类 平面曲线：曲线上各点都是在同一个平面内（如圆、 椭圆、双曲线、抛物线等）。 曲线 空间曲线：曲线上任意连续四个点不在同一平面 内的曲线。 （如圆柱螺旋线等）。
环面投影可见性的判别
由上向下看，此部分可见
由前向后看，此部分可见
（三）非回转直线面 1、柱面
（1）柱面的形成 由直母线AA1沿着一曲导线A1B1C1A1，且平行于另一直导 线MN运动而形成的曲面。 （2）柱面的投影 画出直母线、曲导线以及外形 轮廓素线和其它必要的素线 （3）柱面的种类
柱面投影种类
单叶回转双曲面的形成及投影
单叶回转双曲面的投影
单叶回转曲 线应用举例
2、非直纹回转面
任意一曲线绕一轴线回转而形成的曲面称为曲线面。
平面曲线ABCD为母线，OO为轴线，回转时曲线两端点A、D形成的 圆为曲面的顶圆和底圆，曲线上距轴线最近的点B和最远的点C形成 的圆分别为最小圆（喉圆）和最大圆（赤道圆）。