第三章曲线曲面和立体的投影

其它曲面（自由曲面） 以下仅介绍回转面和非回转面的直纹曲面中的柱面、锥面 和具有导平面的扭面。
（二）回转面
素线与轮廓线
形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线。
我们把确定曲面范围的外形线称为轮廓线（或转向轮廓线），轮廓 线也是可见与不可见的分界线。 当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重 合，这种素线称为轮廓素线。 在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、 最后边素线、最左边素线和最右边素线。
环面投影可见性的判别
由上向下看，此部分可见
由前向后看，此部分可见
（三）非回转直线面 1、柱面
（1）柱面的形成 由直母线AA1沿着一曲导线A1B1C1A1，且平行于另一直导 线MN运动而形成的曲面。 （2）柱面的投影 画出直母线、曲导线以及外形 轮廓素线和其它必要的素线 （3）柱面的种类
柱面投影种类
曲面的形成 曲面按形成是否有规律而分成有规则的曲面和不规则的曲面 （如地面）两大类。 有规则的曲面是一条线运动的轨迹 产生曲面的动线称为母线； 曲面上任意位置的母线称为素线； 控制母线运动的线、面分别称为导线、导面。
素线：母线在某
一时刻的位置。
导线
N
A B
母线
C
A1 M
素线
B1
C1
a
纬圆、赤道圆与径圆
回转面按旋转运动的 特性，母线上任意一点 的旋转轨迹都是一个垂 直于轴线的圆，称为纬 圆，纬圆的半径等于该 点到轴线的距离。其中 比相邻两侧的纬圆都大 的，称为赤道圆；比相 邻两侧的纬圆都小的， 称为径圆或喉圆。
回转轴
O 纬圆
母线
O1 轮廓素线
1、直纹回转面
直纹回转面有三种：（正）圆柱面、（正）圆锥面和单叶回转双曲面
（1）圆柱面
圆柱面是一条直线围绕一条轴线始终保持平行和等距旋转而成。
母线
圆柱面的画法
圆柱面的投影特点
[例题] 分析圆柱面轮廓素线的投影
圆柱面投影可见性的判别
（2）圆锥面
圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的。
母线
圆锥的画法
圆锥的投影特点
圆锥可见性的判别
（3）单叶回转双曲面
在投影上表示曲线回转面通常要画出轴线，顶圆、底圆、最大 圆和最小圆等的投影及外形轮廓线。
（1）球面
球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成。
球面的画法
球面的投影特点
球面可见性的判别
（1）环面 环面可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平面内， 但不通过圆心的轴线旋转而成。
环面的画法
环面的投影特点
1、圆平面在所平行投影面上的投影反映真形。 2、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆 的直径。
3、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆 的平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径 相垂直的直径的投影。 V A O D
P
B
X
C a
O
d
b
c
二、曲面
（一）曲面的形成与分类
第三章 曲线、曲面和立体的投影
§3.1 曲线与曲面 §3.2 立体的投影 §3.3 平面与立体相交 §3.4 两立体相贯
§3.1
一、曲线
曲线与曲面
（一）曲线的形成、分类与投影
曲线的形成 曲线可以是一个动点连续运动的轨迹，也可以是平面与曲
面或曲面与曲面的交线。
曲线的分类 平面曲线：曲线上各点都是在同一个平面内（如圆、 椭圆、双曲线、抛物线等）。 曲线 空间曲线：曲线上任意连续四个点不在同一平面 内的曲线。 （如圆柱螺旋线等）。
曲线的投影
曲线是动点运动的轨迹，也可以说是一系列连续点的集合。 因此，绘制曲线的投影时，只要能作出曲线上一系列点的投 影，并把它们的同面投影依次光滑地连接起来，即得曲线的 投影。这是绘制曲线投影的一般方法。 但是，如能根据曲线的投影特性，预先对曲线投影的形状或 特点作出判断，则可以使图形准确作图简化。现将曲线的主 要投影特性分述如下：
n b
c
m
a1
b1
c1
曲面的分类 可展---如圆柱、圆锥。
回转面
直线面
（直纹曲面）
不可展---如单叶双曲回转面。
不可展--如双抛物面、正螺旋面、 柱状面、锥状面。
非回转面
可展---如椭圆锥、椭圆柱、盘旋面。
曲面
曲线面
（非直纹曲面）
回转面---如圆球面、圆环面、抛物回转面等。 定母线 非回转面 变母线---三轴椭球面。
翘平面的投影 应画出导平面、两交叉导直线及一些素线的投影。
翘平面在工程中的应用
（2）锥状面
锥状面的形成 由直母线始终平行于一导平面，并沿着一条导曲线和一 条导直线移动而形成的曲面。
锥状面的投影
应画出导平面、导曲线、导直线及一些素线的投影。
（3）柱状面
柱状面的形成 由直母线始终平行于一导平面， 并沿着任意两条导曲线移动而 形成的曲面。 柱状面的投影 应画出导平面、两条导曲线及一些素线的投影。
单叶回转双曲面的形成及投影
来自百度文库
单叶回转双曲面的投影
单叶回转曲 线应用举例
2、非直纹回转面
任意一曲线绕一轴线回转而形成的曲面称为曲线面。
平面曲线ABCD为母线，OO为轴线，回转时曲线两端点A、D形成的 圆为曲面的顶圆和底圆，曲线上距轴线最近的点B和最远的点C形成 的圆分别为最小圆（喉圆）和最大圆（赤道圆）。
2、锥面
（1）锥面的形成 由直母线通过一固定点，且连续经过某一曲导线运动而 形成的曲面。 （2）锥面的投影 应画出锥顶S和曲导线的投影，以及各投影的外形轮廓 线。 （3）锥面的种类
有轴锥面投影举例
3、具有平行的导平面的扭面 （1）翘平面（双曲抛物面）
翘平面的形成
由直母线AC始终平行于一导平面P，并沿着AB、CD两条交叉导直线移动而 形成的曲面。
曲线的投影
平面曲线所在的平面为一般位置时,其投影必为 原曲线的类似形。如抛物线的投影是抛物线，双 曲线的投影是双曲线等。 在任何情况下，空间曲线的投影都不可能积聚 为直线段或反映实形，也不可能是原曲线的类似 形。在表示空间曲线时，至少需要两面投影才能 确定它的形状。
（二）圆周的投影
圆的投影特性：
1、在一般情况下，曲线的投 影仍然是曲线。因为，通过曲 线上各点的投影线，将形成一 个垂直于投影面的曲面，该曲 面与投影面的交线仍为曲线。
2、在特殊情况下，平面曲线的投影可能是直线段，或反映实 形。当曲线所在的平面垂直于投影面时，它在该投影面上的投 影为直线段；当曲线所在的平面平行于投影面时，它在该投影 面上的投影反映实形 。