球面感应电荷分布
电像法
/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。
例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。
一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。
然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。
在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。
(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。
4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。
如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。
待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。
在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。
点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。
根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦ (4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x q x x E x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦ (4.31a) 3/23/22222220{}4()()y q yy E x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦ (4.31b) 3/23/22222220{}4()()z q z d z dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦ (4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。
电像法
/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。
例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。
一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。
然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。
在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。
(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。
4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。
如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。
待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。
在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。
点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。
根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。
静电场的边值问题
1静电场的边值问题1．镜象法的理论依据是（）。
基本方法是在所求场域的外部放置镜像电荷以等效的取代边界表面的（）。
2．根据边界面的形状，选择适当的坐标系，如平面边界，则选直角坐标；圆柱面选圆柱坐标系；球面选球坐标。
以便以简单的形式表达边界条件。
将电位函数表示成三个一维函数的乘积，将拉普拉斯方程变为三个常微分方程，得到电位函数的通解，然后寻求满足条件的特解，称为（）3．将平面、圆柱面或球面上的感应电荷分布（或束缚电荷分布）用等效的点电荷或线电荷（在场区域外的某一位置处）替代并保证边界条件不变。
原电荷与等效点电荷（即通称为像电荷）的场即所求解，称为（），其主要步骤是确定镜像电荷的位置和大小。
4．（）是一种数值计算方法，把求解区域用网格划分，同时把拉普拉斯方程变为网格点的电位有限差分方程（代数方程）组。
在已知边界点的电位值下，用迭代法求得网格点电位的近似数值。
5．用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（）。
A．镜像电荷是否对称 B．电位所满足的方程是否未改变C．边界条件是否保持不变 D．同时选择B和C∇⨯=，其中的J（）。
6.微分形式的安培环路定律表达式为H JA．是自由电流密度B．是束缚电流密度C ．是自由电流和束缚电流密度D ．若在真空中则是自由电流密度；在介质中则为束缚电流密度7.在边界形状完全相同的两个区域内的静电场，满足相同的边界条件，则两个区域中的场分布（ ）。
A ．一定相同B ．一定不相同C ．不能断定相同或不相同8.两相交并接地导体平板夹角为α，则两板之间区域的静电场（ ）。
A ．总可用镜象法求出。
B ．不能用镜象法求出。
C ．当/n απ= 且n 为正整数时，可以用镜象法求出。
D ．当2/n απ= 且n 为正整数时，可以用镜象法求出。
9.将一无穷大导体平板折成如图的90°角，一点电荷Q 位于图中（1, π/6）点10. 两个平行于 XOY 面的极大的金属平板，两平板间的距离为 d ，电位差为。
电动力学--镜像法复习过程
0 (R R 0)
1
(Ra/R0)2R022Racos
12
Q [
1
R 0 /a
]
40 R 2 a 2 2 R a c o s R 2 R 0 4 /a 2 2 R R 0 2 c o s/a
（3）讨论：
P
① 球面感应电荷分布
Rr r
0
R
Q
a2R02
RR0 4R0(a2R022R0acos)3/2
15
（5）若导体球不接地，且带上自由电荷 Q 0
若导体球不接地，且带上自由电荷 ，Q 0导体上总电荷为 ，Q此0
时要保持导体为等势体， 也Q 应0 均匀分布在球面上。
2
Q Q0 40R 40R
（6）导体球不接地而带自由电荷Q 0时 Q所受到的作用力
可以看作 Q 与Q 及位于球心处的等效电荷Q0 Q 的作用力之和
设电量为 Q ，位置为（0，0，a ）
1[
Q
Q ]
40 x 2 y 2 (z a )2 x 2 y 2 (z a )2
3
1[
Q
Q ]
40 x 2 y 2 (z a )2 x 2 y 2 (z a )2
由边界条件确定 Q 、a 和
0 z0
Q Q ]
x2y2a2
x2y2a2
Q/
P
r
r
（4）若导体不接地
若导体不接地，可视为Q 分布在导体面上。不接地导体已为
等势体，加上Q 还要使导体为等势体，Q 必须均匀分布在球面上。
这时导体球上总电量 QQ0 （因为均匀分布球面上可使导体
产生的电势等效于在球心的点电荷产生的电势）
1
Q
40R
等效电荷一般是点电荷组或一个带电体系， 而不一定就是一个点电荷。
点电荷电场中导体球面上的感应电荷分布
点电荷电场中导体球面上的感应电荷分布
关于点电荷电场中导体球面上的感应电荷分布，通过观察我们可以发现，当放在一个场中时，导体球体上的感应电荷分布是经过一定的分布规律的，主要表现在其外部与它的位置有关，这是因为电场的数量与强度本身是一定的。
首先，点电荷电场中的感应电荷分布在外部的分布保持的对称性是最重要的，即对于导体球体来说，其外部的感应电荷以某种以中心为，可以分成几部分进行分析，相互之间有一定的规律。
根据电磁学定律，外部感应电荷强度和电荷集中于球体内部的强度成正比，这也就意味着在一个给定的电荷电场中，外部感应电荷强度是一定的，而且与位置有关，电荷的场强度也是一定的。
此外，点电荷电场中的感应电荷分布还有另一个重要的特性，即它的分布具有分步趨近性，这表明当电荷在空间中运动时，它的感应电荷将以分步趨近形式逐渐衰减，大小与距离有关，这也就有助于说明电荷在感应电荷分布过程中对空间附近电势场的影响。
而且，由于导体球体表面上的电荷数量是一定的（根据电磁学定律要求），所以在点电荷电场中，感应电荷的分布也是一定的。
所以，我们很容易得出这样的结论，即在点电荷电场中，导体球面上的感应电荷分布以外部与它的位置有关，但是强度是固定的，并且有一定的对称性，而且它的分布具有分步趨近性。
球体内外的电势分布
球体内外的电势分布
电势是描述电场中电荷状态的物理量，它在球体内外的分布对
于理解电场和电荷分布具有重要意义。
在球体内外的电势分布中，
我们可以观察到一些有趣的现象和规律。
首先，让我们来看球体外部的电势分布。
根据库仑定律，球体
外部的电势分布与距离球心的距离成反比，即电势随着距离的增加
而减小。
这符合我们对电场的直观认识，即离电荷越远，电势越小。
接着，我们来看球体内部的电势分布。
根据高斯定律，球体内
部的电势分布是均匀的，与距离球心的距离无关。
这意味着在球体
内部任意一点的电势是相同的，这是因为球体内部的电荷分布是均
匀的，所以在任何一点的电势都是相同的。
另外，我们还可以利用球体内外的电势分布来求解一些实际问题。
比如，如果我们知道了球体上的电荷分布，我们就可以利用球
体外部的电势分布来计算球体表面上的电势分布；如果我们知道了
球体内部的电势分布，我们就可以利用球体内部的电势分布来计算
球体内部的电场分布。
总之，球体内外的电势分布是电场和电荷分布的重要性质，它不仅能帮助我们理解电场和电荷的行为，还可以帮助我们解决一些实际问题。
通过深入研究和理解球体内外的电势分布，我们可以更好地掌握电场理论，并应用于实际工程和科学问题中。
大学物理(第四版)课后习题及答案_电介质
电解质题8.1：一真空二极管，其主要构件是一个半径R 1 = 5.0⨯10-4 m 的圆柱形阴极和一个套在阴极外，半径m 105.432-⨯=R 的同轴圆筒形阳极。
阳极电势比阴极电势高300 V ，阴极与阳极的长度均为L = 2.5⨯10-2 m 。
假设电子从阴极射出时的速度为零。
求：（1）该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（2）电子刚从阳极射出时所受的力。
题8.1分析：（1）由于半径L R <<1，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场具有轴对称性。
从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电于所获得的动能等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少。
由此，可求得电子到达阳极时的动能和速率。
（2）计算阳极表面附近的电场强度，由E F q =求出电子在阴极表面所受的电场力。
解：（1）电子到达阳极时，势能的减少量为J 108.417ep -⨯-=-=∆eV E由于电子的初始速度为零，故 J 108.417ep ek ek -⨯=∆-=∆-E E E因此电子到达阳极的速率为17eks m 1003.122-⋅⨯===meVmE v （2）两极间的电场强度为r 02e E r πελ-=两极间的电势差1200ln 2d 2d 2121R R r r V R R R R πελπελ-=-=⋅=⎰⎰r E 负号表示阳极电势高于阴极电势。
阴极表面电场强度r 121r 10ln 2e e E R R R V R =-=πελ电子在阴极表面受力N e E F r 141037.4-⨯=-=e这个力尽管很小，但作用在质量为9.11⨯10－31 kg 的电子上，电子获得的加速度可达重力加速度的5⨯1015倍。
题8.2：一导体球半径为R 1，外罩一半径为R 2的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q ，而内球的电势为V 0。
求此系统的电势和电场的分布。
题8.2分析：不失一般情况，假设内导体球带电q ，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示，依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布。
镜像法
/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。
例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。
一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。
然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。
在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。
(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。
4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。
如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。
待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。
在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。
点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。
根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。
电磁学例题
房改房大锅饭大公国静电场中的导体:例题1如图，半径为的接地导体球附近有一个静止点电荷，它与球心相距为，求导体球表面上感应电荷。
解：点电荷在球心处的电势为设为球面上感应面电荷密度，在球面上各点不尽相同(注意：对一个孤立的带电球形导体而言，其电荷是均匀分布在球面上的，即面电荷密度处处相同。
而今，导体球处于点电荷的电场中，对球面上各点的感应电荷分布是不均匀的。
)为此，可先在球面上任取一面积元，其上的感应电荷为，它在球心点的电势为整个球面上的感应电荷在球心点的电势为显然，，上式成为而球心点的电势为与之代数和，且其和应等于零，即由此可得，导体球表面上的感应电荷q′为按题意，导体球接地，以地的电势为零，考虑到位于点电荷q的静电场中的导体是一个等势体，这样，球心的电势亦应为零；而球心的电势则等于点电荷q和球面上的感应电荷q′所激发的电场在点O的电势之代数和。
据此即可求出解。
2.如图，三块平行的金属板A、B和C，面积均为。
板A、B相距，板A、C相距，B、C 两板都接地。
如果使A板带正电，并略去边缘效应，问B板和C板的内、外表面上感应电荷各是多少? 以地的电势为零，问A板的电势为多大解: 按题意，可判断感应电荷的分布如图所示。
因为B、C两板接地，所以两板都带负电，且即(a)考虑到 , , , , 则(b)由式(a)、(b),可得或这里，, , 代入上式，便可算出两板内表面感应电荷分别为，由于 B、C 板接地，外表面感应电荷为零。
又由 , 且，带入上述数值可算得 A 板的电势为。
有介質的靜電場:例题1.在无限长电缆内，导体圆柱A和同轴导体圆柱壳B的半径分别为和(<)，单位长度所带电荷分别为+λ和-λ，内、外导体之间充满电容率为的均匀电介质。
求电介质中任一点的场强及内、外导体间的电势差。
解：取高斯面，它是半径为(<<)、长度为的同轴圆柱形闭合面。
左、右两底面与电位移的方向平行，其外法线方向皆与成夹角θ=π/2，故电位移通量为0；柱侧面与的方向垂直，其外法线与同方向，θ=0°通过侧面的电位移通量为cos0°(2π)。
同心带电球面的电场强度分布
同心带电球面的电场强度分布
首先，我们可以从几何角度来理解同心带电球面的电场强度分布。
假设球心处有一个正电荷，那么根据库仑定律，球面上的每一点都会受到这个正电荷的电场影响。
由于球面是同心的，电场线会从球心向外辐射，呈放射状分布。
这意味着离球心越近的点，电场强度越大；离球心越远的点，电场强度越小。
因此，在同心带电球面上，电场强度是随着距离球心的远近而变化的。
其次，我们可以从数学角度来描述同心带电球面的电场强度分布。
根据库仑定律，同心带电球面上的电场强度可以用以下公式表示：
E = k Q / r^2。
其中，E表示电场强度，k是库仑常数，Q是球心处的电荷量，r是球面上某一点到球心的距离。
这个公式表明，电场强度与电荷量成正比，与距离的平方成反比。
因此，离球心越近的点，电场强度越大；离球心越远的点，电场强度越小。
此外，我们还可以从物理学角度解释同心带电球面的电场强度
分布。
根据电场的性质，电场线总是从正电荷指向负电荷，或者指向无穷远。
在同心带电球面的情况下，球心处的电荷是正电荷，因此电场线会从球心向外辐射。
这意味着球面上的每一点都会受到来自球心的电场力，而这个力的大小与电场强度成正比。
因此，离球心越近的点，电场强度越大；离球心越远的点，电场强度越小。
综上所述，同心带电球面的电场强度分布是随着距离球心的远近而变化的，离球心越近的点，电场强度越大；离球心越远的点，电场强度越小。
这一分布可以通过几何、数学和物理学的角度来解释和描述。
大学大学物理习题解答参考答案-导体与电介质的静电场(一)
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：导体与电介质的静电场（一）20XXXX-1-1. 有一带正电荷的大导体，欲测其附近P 点处的场强，将一电荷量为q 0 (q 0 >0 )的点电荷放在P 点，如图所示，测得它所受的电场力为F ．若电荷量q 0不是足够小，则(A) F / q 0比P 点处场强的数值大． (B) F / q 0比P 点处场强的数值小．(C) F / q 0与P 点处场强的数值相等．(D) F / q 0与P 点处场强的数值哪个大无法确定． ［ ］ 20XXXX-1-2. 一带正电荷的物体M ，靠近一原不带电的金属导体N ，N 的左端感生出负电荷，右端感生出正电荷．若将N 的左端接地，如图所示，则(A)N 上有负电荷入地．(B) N 上有正电荷入地．(C ) N 上的电荷不动．(D) N 上所有电荷都入地． ［ ］20XXXX-1-3. 一“无限大”均匀带电平面A ，其附近放一与它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷面密度为+ ，则在导体板B 的两个表面1和2上的感生电荷面密度为：(A) 1 = -， 2 = +．(B) 1 =σ21-， 2 =σ21+． (C) 1 =σ21-， 1 =σ21-． (D) 1 = -， 2 = 0． ［ ］20XXXX-1-4. 选无穷远处为电势零点，半径为R 的导体球带电后，其电势为U 0，则球外离球心距离为r 处的电场强度的大小为(A) 302rU R ． (B) R U 0． (C) 20rRU ． (D) r U 0． ［ ］ 20XXXX-1-5. 一长直导线横截面半径为a ，导线外同轴地套一半径为b 的薄圆筒，两者互相绝缘，并且外筒接地，如图所示．设导线单位长度的电荷为+，并设地的电势为零，则两导体之间的P 点( OP = r )的场强大小和电势分别为：q 0PM N A B +σ12(A) 204r E ελπ=，a b U ln 20ελπ=． (B) 204r E ελπ=，r b U ln 20ελπ=． (C) r E 02ελπ=，ra U ln 20ελπ=． (D) r E 02ελπ=，rb U ln 20ελπ=． ［ ］ 20XXXX-1-6. 如图所示，一厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为，则板的两侧离板面距离均为h 的两点a 、b 之间的电势差为： (A) 0． (B) 02εσ． (C) 0εσh ． (D) 02εσh ． ［ ］ 20XXXX-1-7. 一带电大导体平板，平板二个表面的电荷面密度的代数和为 ，置于电场强度为0E 的均匀外电场中，且使板面垂直于0E 的方向．设外电场分布不因带电平板的引入而改变，则板的附近左、右两侧的合场强为：(A) 002εσ-E ，002εσ+E ． (B) 002εσ+E ，002εσ+E ． (C) 002εσ+E ，002εσ-E ． (D) 002εσ-E ，002εσ-E ． ［ ］ 20XXXX-1-8. A 、B 为两导体大平板，面积均为S ，平行放置，如图所示．A 板带电荷+Q 1，B 板带电荷+Q 2，如果使B板接地，则AB 间电场强度的大小E 为 (A) S Q 012ε ． (B) SQ Q 0212ε-． (C) S Q 01ε． (D) SQ Q 0212ε+． ［ ］ 20XXXX-1-9. 一空心导体球壳，其内、外半径分别为R 1和R 2，带电荷q ，如图所示．当球壳中心处再放一电荷为q 的点电荷时，则导体球壳的电势(设无穷远处为电势零点)为 (A) 104R q επ ． (B) 204R q επ ． O P r a b d b a hh σ 0E +Q 1 +Q 2 A B q q R 1 R 2(C) 102R q επ . (D) 20R qε2π ． ［ ］ 20XXXX-1-20XXXX. 两个同心薄金属球壳，半径分别为R 1和R 2 (R 2 > R 1 )，若分别带上电荷q 1和q 2，则两者的电势分别为U 1和U 2 (选无穷远处为电势零点)．现用导线将两球壳相连接，则它们的电势为(A) U 1． (B) U 2．(C) U 1 + U 2． (D) )(2121U U +． ［ ］20XXXX-1-20XXXX. 一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ．在腔内离球心的距离为d 处( d < R )，固定一点电荷+q ，如图所示. 用导线把球壳接地后，再把地线撤去．选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为(A) 0 ． (B) dq 04επ． (C)R q 04επ-． (D) )11(40R d q -πε． ［ ］20XXXX-1-20XXXX. 三块互相平行的导体板，相互之间的距离d 1和d 2比板面积线度小得多，外面二板用导线连接．中间板上带电，设左右两面上电荷面密度分别为1和2，如图所示．则比值1 / 2为(A) d 1 / d 2． (B) d 2 / d 1．(C) 1． (D) 2122/d d ． ［ ］20XXXX-1-20XXXX. 如图所示，一带负电荷的金属球，外面同心地罩一不带电的金属球壳，则在球壳中一点P 处的场强大小与电势(设无穷远处为电势零点)分别为：(A) E = 0，U > 0． (B) E = 0，U < 0． (C) E = 0，U = 0． (D) E > 0，U < 0．［ ］20XXXX-1-20XXXX. 一半径为R 的薄金属球壳，带电荷-Q ．设无穷远处电势为零，则球壳内各点的电势U 可表示为： (041επ=K ) (A) R Q K U -<． (B) RQ K U -=． R O d +q d 1 d 2 σ2 σ1P(C) R Q K U ->． (D) 0<<-U RQ K ． ［ ］ 20XXXX-1-20XXXX. 在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分布．如果将此点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现：(A) 球壳内、外场强分布均无变化．(B) 球壳内场强分布改变，球壳外不变． (C) 球壳外场强分布改变，球壳内不变．(D) 球壳内、外场强分布均改变． ［ ］ 20XXXX-1-20XXXX. 在带有电荷+Q 的金属球产生的电场中，为测量某点场强E ，在该点引入一电荷为+Q/3的点电荷，测得其受力为F ．则该点场强E 的大小(A) Q F E 3=． (B) QF E 3>． (C) QF E 3<． (D) 无法判断． ［ ］ 20XXXX-1-20XXXX. 在一个孤立的导体球壳内，若在偏离球中心处放一个点电荷，则在球壳内、外表面上将出现感应电荷，其分布将是：(A) 内表面均匀，外表面也均匀．(B) 内表面不均匀，外表面均匀．(C) 内表面均匀，外表面不均匀．(D) 内表面不均匀，外表面也不均匀． ［ ］20XXXX-1-20XXXX. 关于高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？(A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D 为零． (B) 高斯面上处处D 为零，则面内必不存在自由电荷．(C) 高斯面的D 通量仅与面内自由电荷有关．(D) 以上说法都不正确． ［ ］20XXXX-1-20XXXX. 关于静电场中的电位移线，下列说法中，哪一个是正确的？(A) 起自正电荷，止于负电荷，不形成闭合线，不中断．(B) 任何两条电位移线互相平行．(C) 起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两条电位移线在无自由电荷的空间不相交．(D) 电位移线只出现在有电介质的空间． ［ ］20XXXX-1-20XX. 一导体球外充满相对介电常量为r 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度为(A) 0 E ． (B) 0 r E ．(C) r E ． (D) (0 r -0)E ． ［ ］导体与电介质的静电场（二）20XXXX-2-1. 在空气平行板电容器中，平行地插上一块各向同性均匀电介质板，如图所示．当电容器充电后，若忽略边缘效应，则电介质中的场强E 与空气中的场强0E 相比较，应有(A) E > E 0，两者方向相同． (B) E = E 0，两者方向相同．(C) E < E 0，两者方向相同． (D) E < E 0，两者方向相反． ［ ］20XXXX-2-2. 设有一个带正电的导体球壳．当球壳内充满电介质、球壳外是真空时，球壳外一点的场强大小和电势用E 1，U 1表示；而球壳内、外均为真空时，壳外一点的场强大小和电势用E 2，U 2表示，则两种情况下壳外同一点处的场强大小和电势大小的关系为(A) E 1 = E 2，U 1 = U 2． (B) E 1 = E 2，U 1 > U 2．(C) E 1 > E 2，U 1 > U 2． (D) E 1 < E 2，U 1 < U 2． ［ ］20XXXX-2-3. 两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，把两者各自孤立时的电容值加以比较，则(A) 空心球电容值大． (B) 实心球电容值大．(C) 两球电容值相等． (D) 大小关系无法确定． ［ ］20XXXX-2-4. 一个大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图．当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为m 、带电荷为+q 的质点，在极板间的空气区域中处于平衡．此后，若把电介质抽去 ，则该质点(A) 保持不动． (B) 向上运动．(C) 向下运动． (D) 是否运动不能确定． ［ ］20XXXX-2-5. 两只电容器，C 1 = 8 F ，C 2 = 2 F ，分别把它们充电到 20XXXX00 V ，然后将它们反接(如图所示)，此时两极板间的电势差为：(A) 0 V ． (B) 20XX0 V ．(C) 600 V ． (D) 20XXXX00V ． ［ ］20XXXX-2-6. 一个平行板电容器，充电后与电源断开，当用绝缘手柄将电容器两极板间距离拉大，则两极板间的电势差U 20XXXX 、电场强度的大小E 、电场能量W 将发生如下变化：(A)U 20XXXX 减小，E 减小，W 减小．(B) U 20XXXX 增大，E 增大，W 增大．(C) U 20XXXX 增大，E 不变，W 增大．(D) U 20XXXX 减小，E 不变，W 不变． ［ ］ E E 0+q mC 1 C 220XXXX-2-7. C 1和C 2两空气电容器串联以后接电源充电．在电源保持联接的情况下，在C 2中插入一电介质板，则 (A) C 1极板上电荷增加，C 2极板上电荷增加．(B) C 1极板上电荷减少，C 2极板上电荷增加．(C) C 1极板上电荷增加，C 2极板上电荷减少．(D) C 1极板上电荷减少，C 2极板上电荷减少． ［ ］20XXXX-2-8. C 1和C 2两空气电容器串联起来接上电源充电．然后将电源断开，再把一电介质板插入C 1中，如图所示. 则 (A) C 1上电势差减小，C 2上电势差增大．(B) C 1上电势差减小，C 2上电势差不变．(C) C 1上电势差增大，C 2上电势差减小．(D) C 1上电势差增大，C 2上电势差不变． ［ ］20XXXX-2-9. C 1和C 2两空气电容器并联以后接电源充电．在电源保持联接的情况下，在C 1中插入一电介质板，如图所示, 则(A) C 1极板上电荷增加，C 2极板上电荷减少． (B) C 1极板上电荷减少，C 2极板上电荷增加．(C) C 1极板上电荷增加，C 2极板上电荷不变．(D) C 1极板上电荷减少，C 2极板上电荷不变． ［ ］20XXXX-2-10. C 1和C 2两空气电容器，把它们串联成一电容器组．若在C 1中插入一电介质板，则(A) C 1的电容增大，电容器组总电容减小．(B) C 1的电容增大，电容器组总电容增大． (C) C 1的电容减小，电容器组总电容减小． (D) C 1的电容减小，电容器组总电容增大． ［ ］20XXXX-2-11. C 1和C 2两空气电容器并联起来接上电源充电．然后将电源断开，再把一电介质板插入C 1中，如图所示, 则 (A) C 1和C 2极板上电荷都不变．(B) C 1极板上电荷增大，C 2极板上电荷不变．(C) C 1极板上电荷增大，C 2极板上电荷减少．(D) C 1极板上电荷减少，C 2极板上电荷增大． ［ ］20XXXX-2-12. 如果在空气平行板电容器的两极板间平行地插入一块与极板面积相同的各向同性均匀电介质板，由于该电介质板的插入和它在两极板间的位置不同，对电容器电容的影响为：(A) 使电容减小，但与介质板相对极板的位置无关．(B) 使电容减小，且与介质板相对极板的位置有关．(C) 使电容增大，但与介质板相对极板的位置无关．(D) 使电容增大，且与介质板相对极板的位置有关． ［ ］C 1 C 2C 1 C 2C 1 C 212C 1 C 220XXXX-2-13. 如果在空气平行板电容器的两极板间平行地插入一块与极板面积相同的金属板，则由于金属板的插入及其相对极板所放位置的不同，对电容器电容的影响为：(A) 使电容减小，但与金属板相对极板的位置无关．(B) 使电容减小，且与金属板相对极板的位置有关．(C) 使电容增大，但与金属板相对极板的位置无关．(D) 使电容增大，且与金属板相对极板的位置有关． ［ ］20XXXX-2-14. 如果某带电体其电荷分布的体密度增大为原来的2倍，则其电场的能量变为原来的(A) 2倍． (B) 1/2倍．(C) 4倍． (D) 1/4倍． ［ ］20XXXX-2-15. 如图所示, 一球形导体，带有电荷q ，置于一任意形状的空腔导体中．当用导线将两者连接后，则与未连接前相比系统静电场能量将(A) 增大． (B) 减小．(C) 不变． (D) 如何变化无法确定．［ ］20XXXX-2-16. 用力F 把电容器中的电介质板拉出，在图(a)和图(b)的两种情况下，电容器中储存的静电能量将(A) 都增加．(B) 都减少．(C) (a)增加，(b)减少．(D) (a)减少，(b)增加． ［ ］20XXXX-2-17. 一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后在两极板间充满某种各向同性、均匀电介质，则电场强度的大小E 、电容C 、电压U 、电场能量W 四个量各自与充入介质前相比较，增大(↑)或减小(↓)的情形为(A) E ↑，C ↑，U ↑，W ↑．(B) E ↓，C ↑，U ↓，W ↓．(C) E ↓，C ↑，U ↑，W ↓．(D) E ↑，C ↓，U ↓，W ↑． ［ ］20XXXX-2-18. 两个完全相同的电容器C 1和C 2，串联后与电源连接．现将一各向同性均匀电介质板插入C 1中，如图所示，则(A) 电容器组总电容减小．(B) C 1上的电荷大于C 2上的电荷．(C) C 1上的电压高于C 2上的电压 ．(D) 电容器组贮存的总能量增大． ［ ］20XXXX-2-19. 一平行板电容器充电后仍与电源连接，若用绝缘手柄将电容器两qF F 充电后仍与电源连接 充电后与电源断开C 1C 2极板间距离拉大，则极板上的电荷Q、电场强度的大小E和电场能量W将发生如下变化(A) Q增大，E增大，W增大．(B) Q减小，E减小，W减小．(C) Q增大，E减小，W增大．(D) Q增大，E增大，W减小．［］20XXXX-2-20. 真空中有“孤立的”均匀带电球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和所带的电荷都相等．则它们的静电能之间的关系是(A) 球体的静电能等于球面的静电能．(B) 球体的静电能大于球面的静电能．(C) 球体的静电能小于球面的静电能．(D) 球体内的静电能大于球面内的静电能，球体外的静电能小于球面外的静电能．［］。
电动力学习题解答2
第二章 静电场1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2/r K r P =，电容率为ε。
（1）计算束缚电荷的体密度和面密度： （2）计算自由电荷体密度； （3）计算球外和球内的电势；（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。
解：（1）P ⋅-∇=p ρ2222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=∇⋅+⋅∇-=⋅∇-=r r r)(12P P n -⋅-=p σR K R r r /=⋅==P e （2）)/(00εεεε-=+=P P E D 内200)/()/(r K f εεεεεερ-=-⋅∇=⋅∇=P D 内（3）)/(/0εεε-==P D E 内内rr frKRr Ve e D E 200200)(4d εεεεπερε-===⎰外外 rKRr)(d 00εεεεϕ-=⋅=⎰∞r E 外外)(ln d d 00εεεεϕ+-=⋅+⋅=⎰⎰∞r R K RR rr E r E 外内内（4）⎰⎰⎰∞-+-=⋅=R R rrr R K r r r K V W 42200222022202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D 20))(1(2εεεεπε-+=K R2. 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0Φ； （2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。
当0R R >时，电势ϕ满足拉普拉斯方程，通解为∑++=nn n nn n P R b R a )(cos )(1θϕ 因为无穷远处 0E E →，)(cos cos 10000θϕθϕϕRP E R E -=-→ 所以 00ϕ=a ，01E a -=，)2(,0≥=n a n当 0R R →时，0Φ→ϕ所以 0101000)(cos )(cos Φ=+-∑+n nn nP R b P R E θθϕ 即： 002010000/,/R E R b R b =Φ=+ϕ所以 )2(,0,),(3010000≥==-Φ=n b R E b R b n ϕ⎩⎨⎧≤Φ>+-Φ+-=)()(/cos /)(cos 000230000000R R R R R R E R R R E θϕθϕϕ（2）设球体待定电势为0Φ，同理可得⎩⎨⎧≤Φ>+-Φ+-=)()(/cos /)(cos 000230000000R R R R R R E R R R E θϕθϕϕ当 0R R →时，由题意，金属球带电量Qφθθθϕθεϕεd d sin )cos 2cos (d 200000000R E R E S nQ R R ⎰⎰+-Φ+=∂∂-== )(40000ϕπε-Φ=R所以 00004/)(R Q πεϕ=-Φ⎩⎨⎧≤+>++-=)(4/)(cos )/(4/cos 00002300000R R RQ R R R R E R Q R E πεϕθπεθϕϕ3. 均匀介质球的中心置一点电荷f Q ，球的电容率为ε，球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。
电磁学答案第2章
第二章 导体周围的静电场2.1.1 证明：对于两个无限大带电平板导体来说: （1） 反； （2）同； 相向的两面（附图中2和3）上，电荷的面密度总是大小相等而符号相 相背的两面（附图中1和4）上，电荷的面密度总是大小相等而符号相 证: 斯 （1）选一个侧面垂直于带电板，端面分别在 A,B 板内的封闭圆柱形 面 E?dS E 侧？dS E A 内S E B 内 E 侧 dS 侧 E A 内 E R 内 .=E?dS 0 即：3 2 （2）在导体内任取一点 P ， E p E p E 1 E 2 E 3 E 4 其中n?是垂直导体板向右的单位矢。
2.1.2两平行金属板分别带有等量的正负电荷 特,两板的面积都是平方厘米，两板相距毫米，略去边缘效应，求两板间的电场强 度和各板上所带的电量（设其中一板接地）.解：设A 板带负电，其电量是-q ，B 板带正电，其电量是+q ，且A 板接地。
两板间的电场强度：E V d 160 1.6 105（伏/米） 3 0E 8.85 10 12 105 8.85 10 7（库 /米2） 根据上题结论: ,若两板的电位差为160伏 4； 2 3又由于A 板接地， 1 4 0 A 板所带电量: q 2S 8.85 10 7 3.6 10 4 3.2 10 10（库）2 3 8.85-(d x)(由A 板的电位得) 0 丄X 0 解以上方程组得出: Q(d x) 2 Sd B 板上感应电荷： Q B 2S 冬 d C 板上的感应电荷： Qx d Q c 5S x) Q(d x) Sd Qx Qx 4 Sd 5 Sd i 0 E nQ(d Sd 0 x)r AB Qx ?A C Sd 0 U i 0； U IVQ(dSd 0r)B 板所带电量： q 3S 8.85 10 7 .3.6 10 4 3.2 10 10(库)2.1.3三块平行放置的金属板 A,B,C 其面积均为S,AB 间距离为x,BC 间距离为 d,设d 极小，金属板可视为无限大平面,忽略边缘效应与A 板的厚度,当B,C 接地 (如图),且A 导体所带电荷为Q 时,试求： ⑴B,C 板上的感应电荷； (2)空间的场强及电位分布. 解：(1)根据静电平衡时，导体中的场强为零，又由 B,C 接地： 5 6 0 4)S Q(由A 板的总电量得) (2)场强分布: 电位分布:Q XU 皿 ST (d x r)其中r 是场点到板A 的距离。
静电场中的导体球壳类问题例析
阜阳市红旗中学 吴长海当静电场中有导体存在时，导体内的自由电子在电场力的作用下将重新进行分布；反过来，电荷分布的改变又会影响到电场分布。
因此，静电场中有导体存在时，电荷的分布和电场的分布相互影响、相互制约，最后达到的平衡分布是不能预先判知的。
因此，我们处理这类问题的基本方法是：假定这种平衡分布已经达到，然后以静电平衡条件为出发点，结合静电场的普遍规律去进行分析。
而不是去分析电场、电荷在相互作用下怎样达到平衡分布这一复杂过程。
限于中学生的知识水平，物理竞赛中只限于对一些简单问题（主要是导体球壳类问题）进行定性和半定量的分析。
由于中学阶段对这类问题涉及较少，所以，许多参加竞赛的同学对这类问题的理解并不深入，本文试就这类问题的求解思路进行例析。
一、巧用对称性求解均匀带电半球壳问题一个完整的均匀带电球壳可以看作是由两个对称的均匀带电半球壳组成，其内部某点的电势应等于两个均匀带电半球壳单独存在时在该处所产生的电势的叠加。
因此，我们可以巧妙地利用对称性和电势叠加原理来求解。
[例1] （第八届预赛题）电荷q 均匀地分布在半球面ACB上，球面半径为R ，CD 为通过半球面顶点C 与球心O 的轴线，如图1所示，P 、Q 为CD 轴线上在O 点两侧、离O 点距离相等的两点。
已知P 点的电势为U P ，试求Q 点的电势U Q 。
解析：设想一个均匀带电、带电量也是q 的右半球，与题中所给的左半球组成一个完整的均匀带电球壳，由对称性可知，右半球在P 点的电势P U '等于左半球在Q 点的电势，即PU '=Q U （1） 所以 PP Q P U U U U '+=+ （2） 而PP U U '+正是两个半球同时存在时P 点的电势。
因为均匀带电球壳内部各处电势都相等，其值等于Rqk2，k 为静电力常量，所以得 Rq k U U P P 2='+ （3）由（2）、（3）两式得 P Q U RqkU -=2 二、导体球壳的电势常选球心处来计算 这是因为：（1）处于静电平衡状态的导体球壳是一个等势体，其内部各点的电势都与球壳处的电势相等。
(金属球外点电荷感应问题)的解答
金属球外单一点电荷感应问题的解答如图所示，在一带电量为Q 的金属球旁，有一点电荷q +，金属球半径为R ，点电荷q +与金属球球心的距离为r ，试求：（1）金属球上的电荷和感应电荷在球心处产生的电场强度； （2）若取无穷远处为电势零点，金属球的电势为多少？ （3）若将金属球接地，则接地后金属球上的净电荷是多少？解：（1）金属球静电平衡时，金属球之内点in r处的总电场强度为零，即有0)(=in r E 。
特别地，金属球静电平衡时金属球之球心点o r处的总电场强度为零，即有0)( =o r E 。
假设金属球上的电荷和感应电荷在球心处产生的电场强度为E，由于点电荷q +在球心处产生的电场强度为)(4201i r qE -⋅⋅⋅⋅=επ，利用电场强度“叠加原理”有0)(1 =+=E E r E in ；从而得到金属球上的电荷和感应电荷在球心处产生的电场强度为i rqE E⋅⋅⋅⋅=-=2014επ。
——解答与Q 无关。
必须指出，金属球上的电荷和感应电荷在球面上的分布不均匀！（2）首先，金属球静电平衡时，金属球之内点in r 处的总电势)(in r V 及金属球之表面点S r处的总电势)(S r V 和金属球之球心点o r 处的总电势)(o r V皆为等电势，即有)()()(o S in r V r V r V=≡。
其次，金属球静电平衡时，金属球上的电荷和感应电荷“位于金属球表面上”。
由于金属球表面上的电荷q~d 在球心处产生的电势为Rq⋅⋅⋅04~d επ，利用 “电势叠加原理”有金属球表面上的所有电荷在球心处产生的电势为R q S R q S ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⎰⎰004~d 4~d επεπ。
再次，利用 “电荷守恒定律”有Q q S =⎰~d ；于是金属球表面上的所有电荷在球心处产生的电势为RQ⋅⋅⋅04επ。
另外，金属球外的电荷q +在球心处产生的电势为rq⋅⋅⋅+04επ。
最后，利用 “电势叠加原理”有，金属球之球心点o r 处的总电势)(o r V——解答与Q 有关。
在点电荷电场中球形导体表面感应电荷的分布
点电荷电场中球形导体表面感应电荷的分布姜树青（浙江省平湖中学，浙江 平湖 314200）摘要：在点电荷形成的电场中，导体处于静电平衡时，由于静电感应，其表面有感应电荷分布．本文拟对球形导体表面感应电荷的分布及相关问题作出定量探讨． 关键词：感应电荷面密度 最近点 最远点 界心角 切心角 角差 1 问题的提出如右图1所示，导体球半径为R ，点电荷与球心相距为r （r ＞R ），整个装置置于真空中．试讨论在电键k 接通和断开两种情况下，导体球表面感应电荷的分布规律． 2 求解和讨论 2.1电键k 接通情形2.1.1导体球表面感应电荷分布的定量表达式我们知道，导体球外部空间的电场是由点电荷Q 和球面感应电荷共同叠加形成的．依据电像理论，球面感应电荷对外部空间的电场贡献，可由点电荷Q 的像点电荷q ′等效替代． q ′位于Q 与导体球心O 连线上，距球心为r ′．这里 q ′和r ′之值为：画出点电荷r 为正、负电性两种情形球面某点P 的合电场E P 如图2甲、乙所示．图中E P 方向总与球面垂直，当Q 为正电性时，E P 方向沿径向指向球心；当Q 为负电性时，E P 方向沿径向指向球外．只要R 和r 相同，点电荷Q 正、负两种情形对应的E P 大小相等．设θ为OQ 和OP 所夹的角， 仅用初等数学知识就能求出Q 和．Q2rR－q r R r ='='，q ′在P 点产生的合场强E P 的大小（推导过程从略）：于是P 点感应电荷面密度σP 为表达式中前面的“－”号表示感应电荷的电性与Q 相反．由上式可知，在Q 、R 及r 都确定下，球面上感应电荷的面密度σ只与θ有关．在θ于范围0～2π以内，σ总与Q 符号相反，即整个导体球面上都分布着与Q 电性相反的感应电荷，且感应电荷的分布关于Q 与球心O 的连线对称．|σ|—θ关系如图3所示． 我们知道，导体球接地时，整个球体电势视为0，设整个球面感应电荷的总量为q 总感，由电磁学知识易得q 总感之值：kQ/r + k q 总感 /R = 0，即q 总感=－R Q / r ． （2）一个自然要提出的疑问是：按上述（1）式分布的球面感应电荷，整个球面感应电荷的总量是否也收敛到（2）式的结果呢？对（1）式作球面积分：，）（）（32222P cos 2Q θR r －R r k R －R r －E +⋅=）（）（）（1cos 2Q4432222P P ．R r －R r R－R r －kE θππσ+⋅==．Q 224Q ]cos 21[24Q cos 2sin 4Q sin 222202122220232220220220R R r r R r R rR R r rRR r R d rR R r d R r R d d R s d q -=-⋅⋅--=-+⋅-⋅⋅--=-+--===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰）（）（）（）（）（）（总感ππθππθθθϕπθϕθσσπππππ可见，两种方法所得结果一致．2.1.2球面最近点感应电荷的面密度σ近如图2中，球面上距Q 最近点M ，以下简称最近点．令（1）式中θ= 0，得到球面最近点感应电荷的面密度设想Q 距球心的距离发生变化：r →R 时，|σ近|→∞，即当点电荷Q 由远及近以至充分接近球面时，理论上球面最近点感应电荷面密度的绝对值逐渐增大并趋于无穷大；r →∞时，|σ近|→0．画出|σ近|— r 关系如图4所示． 2.1.3球面最远点感应电荷的面密度σ远如图2中，球面上距Q 最远点N ，以下简称最远点．令（1）式中θ=π，得到球面最远点感应电荷的面密度画出|σ远|— r 关系如图5所示．在r →R 和r →∞两种极端情况下，均有 |σ远|→0，故适当取r 值，|σ远|可取极大值．极值点的位置在何处？把（4）式变形为可知：当（r －R ）= 4R 2 /（r －R ），即r = 3R 时， |σ远|取极大值（另一根r =－ R 舍弃），此时σ远为如果设想把－Q 的电量全部导入一半径为R 的中性绝缘导体球，则当－Q 在导体球面上均匀分布后，电荷的面密度为σ′= －Q /4πR 2．显）（）（）（近34Q 2．R r R R r -+-=πσ）（）（）（远44Q2．R r R R r +--=πσ．RπR r R R r R r 232max 32Q ]4Q [-=+--==）（）（远πσ，）（）（）（）（远]44[14422R R r RR r R Q R r R Q R r +-+-⋅-=+--=ππσ然，上述最远点处的感应电荷面密度σ远max 也才是σ′的1/8．可见最远点处感应电荷分布得较“稀疏”．2.1.4感应电荷面密度之比σ近/σ远及其随r 的变化球面最近点和最远点感应电荷面密度的比值为由（5）式可以看出，当点电荷Q 与球心距离r 在区间（R ，∞）内逐渐增大时，σ近/σ远从无穷大逐渐衰减并趋于1．这表明当点电荷Q 与导体球逐渐远离时，σ近和σ远一方面均渐减小且趋于0，另一方面球面感应电荷的分布也渐趋均匀．画出σ近/σ远 —— r 关系如图6所示．表1列出由（5）式求出的几个r 值所对应的σ近/σ远之值，以便比较．r 100 R 10.0 R 3.00 R 2.00 R 1.50 R 1.10 R 1.01 R σ近/σ远 1.062 1.826 8.000 27.00 125.0 9261 8.121×106 2.1.5右半球面感应电量q 远半占整个球面感应总电量q 总感的百分比 在图1中，我们把导体球面分成靠近Q 一侧的左半球面和远离Q 一侧的右半球面，感应电量分别记为q 近半和q 远半．右半球面的电量 q 远半为）（）（）（）（）（）（远近521]Q 4[4Q 322．Rr R R r R r R R r πR R r -+=-+-⋅-+-=πσσ．Rr R r rR r r R r R R r R R r d r R R r R R r d r d s d q ）（）（）（）（）（）（（右半球面）远半+-+⋅--=-+-⋅--=-+⋅--=⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰112Q ]cos 2[2Q ]cos 2sin 4Q [2sin 2222221222222322222022πππππππθθθθππθθσϕσ可以证明，在r →R 下，上述q 远半→0．前已讨论，当r →R 时，最远点|σ远|→0，最近点|σ近|→∞；而由球面感应总电量 q 总感=－R Q / r 知，当r →R 时，q 总感→－Q ．如果我们把上述变化综合起来考查，展现在眼前的是这样一幅物理图景：随着点电荷Q 逐渐向导体表面移近，整个球面感应电荷的总量逐渐增大并趋于－Q ，感应电荷的分布也逐渐向左半球面聚拢，最终感应电荷几乎全部地聚集于最近点处．这是不难理解的，因为当r →R 时，点电荷Q 非常接近导体球面，对点电荷Q 而言，球面则相当于“无穷大的平面”了，它发出的电场线将几乎全部地终止于球面上最近点附近很小的面积区域内．右半球面感应电量q 远半与整个球面感应总电量q 总感之比为表2列出由（6）求得的几个r 值下的q 远半/q 总感 百分比之值，供读者比较．由上表可直观地看到，随着点电荷Q 逐渐向导体球靠近，导体球远离点电荷Q 一侧的半球面所带电量q 远半占整个导体球面感应总电量q 总感的百分比越来越小，或者说导体球面感应电荷的分布重心逐渐向靠近点电荷Q 一侧移动，而当点电荷Q 逐渐远离导体球时，远离点电荷Q 一侧的半球面所带电量q 远半占整个导体球面感应总电量 q 总感的百分比越来越趋近于50％． 2.2电键k 断开情形当k 断开时，根据电像理论，导体球表面电荷在球外空间的电场贡献可由两个像电荷q ′、q ″共同等效替代：q ′和“2.1电键k 接）（）（）（）（总感远半6112Q 112Q 22222222．R r Rr R R r r R R r R r r R r q q +-+⋅-=-+-+⋅--=通情形”完全相同，而q ″置于球心，电量为导体球带电量与q ′之差．以下本文只对整个导体为电中性情形作出讨论．2.2.1整个导体球为电中性情形下，表面感应电荷分布的定量表达式此时球外空间的电场由点电荷Q 及两个像电荷q ′、q ″共同产生，q ′=－q ″=－R Q / r ．三者在球面外侧附近的合场强E 方向沿法线，大小为于是球面某点P 感应电荷面密度表达为2.2.2中性导体球面上感应电荷的界心角右图7为中性导体球在点电荷电场中的剖面图，A 1 、A 2为圆周上正、负感应电荷的分界点（图中以正点电荷Q 为例画出）．我们定义，分界点A 1 、A 2和圆心O 的连线所夹靠近点电荷Q 一侧的角∠A 1O A 2叫界心角，用α表示．在分界点处，感应电荷面密度必为0，故令（7）式σ= 0，得到这里θ1、θ2分别对应图7中A 1 和A 2两分界点．于是界心角为可以证明，（8）式在r →R 和r →∞下，分别有α→0和α→π，表明随着点电荷Q 接近中性绝缘导体球，与Q 异性的感应电荷只分布在球面上很小比例的面积区域内；而当Q 远离中性绝缘导体球并趋向无穷远时，球面上正、负感应电荷的分布均渐趋占据半个球面． 2.2.3中性导体球面感应电荷的界心角和切心角的关系，）（）（）（）（R r k R r －R r k R －R r －r q k R r －R r k R －R r －E Qcos 2Q cos 2Q 32222232222++⋅="++⋅=θθ）（）（）（74πQcos 2Q 432222．rR R r －R r R －R r －++⋅=θπσ，）（r R R r r r R 2arccos θ32222221--+=．rR R r r r R 2arccos 2θ32222222）（--+-=π）（）（82arccos 22θα32222221．rR R r r r R --+==过点电荷Q 向导体球做切线，剖面如图8所示．其中B 1、B 2为两个切点．为叙述方便，把切点B 1、B 2和圆心O 的连线所夹靠近点电荷Q 一侧的角∠B 1O B 2叫切心角，用β表示，有有人从“想当然”出发，错误地认为导体球感应电荷的界心角α等于切心角β．以下我们用反证法证明，只有在r →R 和r →∞两种极端情况下二者相等外，其它情况下并不相等．令r /R =m ，α和β可简化为假设α≤ β． 有亦即两边同时立方并整理，得到因r ＞R ，必有r /R =m ＞1，故上面不等式不成立！结论：只要满足条件∞＞r ＞R ，必有α＞β，即导体球感应电荷的界心角α总大于切心角β． 2.2.4角差及其极值把界心角α与切心角β之差叫角差，用γ表示．有我们的问题是：那种错误地认为导体球感应电荷的界心角α等于切心．rRarccos 2β=．m1arccos 2β2m 1m 2m m 1m arccos 2α33=+--+=，m12m 1m 2m m 1m 33≥+--+1m m 1m 2m m 233-≤+-01m 22≤-）（）（），（9m1arccos 2m 1m 2m m 1m arccos 2β－αγ33－+--+==角β的观点，产生的偏差最大能达到多少？换言之，角差γ的最大值γmax是多少？（9）式是复杂函数，我们借助电子计算机，生成γ—m关系如图9所示，采用逼近法求近似值，得到如下结果：m0≈1.07048，γmax≈0.314131弧度≈18°．即：当点电荷Q离球心的距离约为球半径的1.07048倍（见图10）时，界心角α与切心角β相差最大约为18°（角差的一半即半角差γ/2，最大约为9°，见图10中阴影部分）．。
点电荷电场中导体球面上的感应电荷分布
点电荷电场中导体球面上的感应电荷分布本文将介绍一种在点电荷电场中导体球面上的感应电荷分布。
电荷分布是本文主要讨论的话题，因为它是由电荷的分布和排列组成的。
在这里，我们主要讨论点电荷电场中的感应电荷分布，我们将介绍这种电荷分布的各种特性，以及它在电学和物理学中的应用。
必须指出的是，这种电荷分布产生的电场可以表示为点电荷的向量场。
首先介绍的是点电荷的概念。
点电荷是一种球形的荷电粒子，它在电动势面上具有定向的电荷。
在点电荷电场中，可以考虑一个点电荷位于某一位置，而另一点电荷位于另一位置，这样我们就可以用点电荷模型来描述一个点电荷分布的电场。
接下来，我们将讨论导体球面上感应电荷分布的情况。
在这种情况下，这个感应电荷被认为是“感应电荷”，因为它们受到电场的影响，而不是因为它们自身的电场。
感应电荷的分布可以通过量化的方法得到，即将感应电荷的分布表示为一系列点电荷分布的结果。
对于导体球面上的感应电荷分布，一个点电荷分布数值求解器可以实现，它可以用于求解球面上的电荷分布，以及其他类型的电荷分布。
量化的方法是通过精确的数值求解获得的，并通过用于解决物理问题的数值模拟软件完成。
此外，由于点电荷电场中的感应电荷可以描述为一系列点电荷的结果，所以可以将这种电荷分布的结果用于电学中的分析问题。
例如，可以利用点电荷电场中的感应电荷分布来求解电场和电流的分布，从而求解电子学中的问题。
此外，由于在点电荷电场中点电荷本身可以产生电场，因此可以将这种电荷分布的结果用于物理学中的问题，例如力学和流体力学问题的求解。
最后，介绍一种点电荷电场中的感应电荷分布的计算方法，即采用多重采样技术。
这种技术使用多个点电荷模拟点电荷电场，从而使得采样计算更为精确。
在这种情况下，可以针对点电荷分布中不同点电荷的采样结果，采用多重采样技术来求解感应电荷分布的结果。
采用这种技术可以得到更准确的计算结果，比一般的数值求解更准确。
总之，本文讨论的是点电荷电场中的感应电荷分布，并简要介绍了该问题的背景知识、理论分析以及求解手段。
电动力学复习要点习题选解(2012级)
α M = −(
9.
证明均匀介质内部的体极化电荷密度 ρ p 总是等于体自由电荷密度 ρ f 的 − (1 − ε 0 / ε ) 倍。 证明：在均匀介质中
P = (ε / ε 0 − 1)ε 0 E = (ε − ε 0 ) E 所以 ρ p = −∇ ⋅ P = −(ε − ε 0 )∇ ⋅ E = −(ε − ε 0 )(1 / ε )∇ ⋅ D
当 r1 < r < r2 时， 向量式为
E3 =
(r2 − r1 ) r f
3 3
3ε 0 r 3
r
（2）当 r1 < r < r2 时，
ρ p = −∇ ⋅ P = −∇ ⋅ ( D2 − ε 0 E 2 ) = −∇ ⋅ ( D2 −
= −(1 −
当 r = r1 时，
ε0 ε )∇ ⋅ D2 = −(1 − 0 ) ρ f ε ε
介质 1 中电流密度 介质 2 中电流密度
由于电流恒定， J 1 = J 2 ，
∴
σ 1ω f 1 / ε 1 = σ 2 (ω f 1 + ω f 3 ) / ε 2
∴
再由 E =
ωf3 =
E =
ε 2 σ1 σ 2 ε σ ( − )ω f 1 = ( 2 1 − 1)ω f 1 σ 2 ε1 ε 2 σ 2ε 1
H2 =
J f (r 2 − r12 )
B2 =
µ (r 2 − r12 )
H3 =
J f (r22 − r12 )
µ 0 (r22 − r12 )
M =(
所以
JM
(r 2 − r12 ) µ µ − 1) H 2 = ( − 1) J f ×r µ0 µ0 2r 2 µ µ µ = ∇ × M = ∇ × [( − 1) H 2 ] = ( − 1)∇ × H 2 = ( − 1) J f µ0 µ0 µ0
电动力学复习总结电动力学复习总结答案
第二章 静 电 场一、 填空题1、若一半径为R 的导体球外电势为b a b ra,,+=φ为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 。
答案：02aRε 2、若一半径为R 的导体球外电势为3002cos cos =-+E R E r rφθθ,0E 为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 . 球外电场强度为 .答案：003cos E εθ ,303[cos (1)sin ]=-+-v v vr R E E e e rθθθ3、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是 ；介质分界面上电势的边值关系是 和 ；有导体时的边值关系是 和 。
答案： σφεφσφεφεφφερφ-=∂∂=-=∂∂-∂∂=-=∇nc n n ,,,,1122212 4、设某一静电场的电势可以表示为bz y ax -=2φ,该电场的电场强度是_______。
答案：z y x e b e ax e axy ϖϖϖ+--225、真空中静场中的导体表面电荷密度_______。
答案：0nϕσε∂=-∂ 6、均匀介质内部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度f ρ_____的倍。
答案： -（1-εε0） 7、电荷分布ρ激发的电场总能量1()()8x x W dv dv rρρπε''=⎰⎰v v的适用于 情形.答案：全空间充满均匀介质8、无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。
答案： 34qRR πεv9、接地导体球外距球心a 处有一点电荷q, 导体球上的感应电荷在球心处产生的电势为等于 . 答案：04q aπε10、无电荷分布的空间电势 极值.(填写“有”或“无”) 答案：无11、镜象法的理论依据是_______，象电荷只能放在_______区域。
答案：唯一性定理, 求解区以外空间12、当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于_______。
答案：零13、一个内外半径分别为R 1、R 2的接地导体球壳,球壳内距球心a 处有一个点电荷，点电荷q 受到导体球壳的静电力的大小等于_______。
球面感应电荷分布
球坐标系
（2）由边界条件确定 和
设
因 任意的 解得 ①
②
1
（3）讨论：
(Ra / R0 )2 R02 2Ra cos
① | Q'|| Q | ，因此Q发出的电力线一部分会聚到导
体球面上，剩余传到无穷远。
② 球面感应电荷分布
0
R
RR0
Q
4
R0 (a2
a2 R02
R02 2R0a cos )3/ 2
a导体面上感应电荷分布23222002ayxqazz??????????????????????????0232222qqarrdrqadsq???b电荷q产生的电场的电力线全部终止在导体面上它与无导体时两个等量异号电荷产生的电场在右半空间完全相同
一、电象法的概念和适用条件
1. 求解泊松方程的难度
Q
的作用力之和。
F QQ Q(Q0 Q) 1 [QQ0 Q2 R03 (2a2 R02 )]
4 0 (a b)2 4 0a2
4 0 a2
a3 (a2 R02 )2
设
，
，第一项为排斥力，第二项为
吸引力（与 无关，与 正负无关）。当
时，F < 0 ，即正电荷与带正电导体球在靠的很近时
会出现相互吸引。
y
0
S2
Q
S1
象电荷数
4. 在接地的导体平面上有半经为a的半球凸部，半 球的球心在导体平面上，一点电荷q位于系统的对 称轴上，并于平面相距为b(b>a),求电势分布．
解：
q i
q
1
4 0
q x2 y2 (z b)2
2i 0
S [q i ] S 0
像电荷：
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球坐标系
（2）由边界条件确定 和
设
因 任意的 解得 ①
②
1
（3）讨论：
(Ra / R0 )2 R02 2Ra cos
① | Q'|| Q | ，因此Q发出的电力线一部分会聚到导
体球面上，剩余传到无穷远。
② 球面感应电荷分布
0
R
RR0
Q
4
R0 (a2
a2 R02
R02 2R0a cos )3/ 2
y
0
S2
二、镜象法的具体应用
用镜象法解题大致可按以下步骤进行 ：
a) 正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件； b) 根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置； c) 由已知电荷及象电荷写出势的解析形式； d) 根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。
三、应用举例
1. 接地无限大平面导体板附近有一点电荷， 求空间电势。
3．有一点电荷 位于两个互相垂直的半无限大接 地导体板所围成的直角空间内，它到两个平面的 距离为 a 和 b，求空间的电势。
解：（1）分析：
假想电荷应在第 I 象限之外。
要保证互相垂直 的两个接地导体板 的电势同时为零， 应当放几个电荷？
y
-Q（-a, b, 0）
O
Q（-a, -b, 0）
Q（a, b, 0）
4. 电象法概念、适用情况
电象法：
用假想点电荷来等效地代替导 体边界面上的面电荷分布，然 后用空间点电荷和等效点电荷 迭加给出空间电势分布。
适用情况：
a) 所求区域有少许几个点电荷，它产生的 感应电荷一般可以用假想点电荷代替。
b)导体边界面形状比较规则，具有一定对 称性。
c) 给定边界条件
注意几点：
Q dS R0Q
RR0
a
导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷
移到地中去了。
（4）若导体不接地，可视为 分布在导体面上。不接地导体已为等势体， 加上 还要使导体为等势体， 必须均匀分布在球面上。这时导体球上总 电量 （因为均匀分布球面上可使导体产生的电势等效于在球心的点电荷产生的 电势）。
x
-Q （a, -b, 0）
（2）电势分布
Q [
1
1
40 (x a)2 ( y b)2 z2 (x a)2 ( y b)2 z2
1
(x a)2 ( y b)2 z2
（3）若两平面夹角
Q 放在 0 ( ) 处2
用镜象法求解的条
件是什么？
1
x 0
] (x a)2 ( y b)2 z2
1
Q
4 0R
等效电荷一般是一个点电荷组或一个带电体 系，而不一定就是一个点电荷。
（5）若导体球不接地，且带上自由电荷 ，导体上总电荷为 ，此时要 保持导体为等势体， 也应均匀分布在球面上。
2
Q
4 0R
Q0
4 0R
（6）导体球不接地而带自由电荷 时 所受到的 作用力可以看作 与 及位于球心处的等效电荷
一、电象法的概念和适用条件
1. 求解泊松方程的难度
Q
Q
一般静电问题可以通过求解泊松方 程或拉普拉斯方程得到电场。但是， 在许多情况下非常困难。例如，对于 介质中、导体外存在点电荷的情况虽 然可以采用叠加法求解，但是求解比 较困难。求解的困难主要是介质分界 面或导体表面上的电荷一般非均匀分 布的，造成电场缺乏对称性。
Q
16 0a2
ez
2. 真空中有一半径R0的接地导体球，距球心 a > R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。
解：（1）分析：
因导体球接地故球的电
P
势为零。根据镜象法原
则假想电荷应在球内。
R
因空间只有两个点电荷，
场应具有轴对称，故假
O
想电荷应在线上，即极
Z
轴上。
1 [Q Q] 4 0 r r
2. 以唯一性定理为依据
在唯一性定理保证下，采用试探解， 只要保证解满足泊松方程及边界条件即 是正确解。
特别是对于只有几个自由点电荷时， 可以将导体面上感应电荷分布等效地看
作一个或几个点电荷来给出尝试解。
3. 镜象法的基本问题
在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电 荷或介质的束缚电荷共同产生的。那么，导体的感应电荷或介质的极化电荷对 场点而言能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的电荷 来代替呢？
Q
x2 y2 a2
Q x2 y2 a2
唯一解是
因为象电荷在左半空间，所 以舍去正号 解
Q [
1
1
]
4 0 x2 y2 (z a)2 x2 y2 (z a)2
讨论：（a）导体面上感应电荷分布
0
z
z0
2 (x 2
Qa y2 a2 )3/2
Q
dS Qa 2
2rdr
0 (r 2 a 2 )3/ 2
解：根据唯一性定理左半空间
右半空间，Q在（0，0，a）点，
Q/
电势满足泊松方程。
边界上
P
Q
z
从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。
设电量为
1 [ 4 0
，位置为（0，0，
Q
x2 y2 (z a)2
）
Q ]
x2 y2 (z a)2
由边界条件确定 、 和
0 z0
a) 象电荷必须放在研究的场域外。
b) 不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假想
电荷的大小和位置）。 c) 放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存
在，把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数 应是所研究场域的介电常数。 d) 象电荷是虚构的，它只有等效作用。而其电量并不一定与 真实的感应电荷或极化电荷相等。 e) 镜象法所适应的范围是： ①场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线； ②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。
Q Q
（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。
（c） 与 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称 为镜象法（又称电象法）
（d）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力
F
Q2
4 0r 2
ez
Q
4 0
1 (2a) 2
ez
的作用力之和。
F QQ Q(Q0 Q) 1 [QQ0 Q2 R03 (2a2 R02 )]
a3 (a2 R02 )2
设
，
，第一项为排斥力，第二项为
吸引力（与 无关，与 正负无关）。当
时，F < 0 ，即正电荷与带正电导体球在靠的很近时
会出现相互吸引。