球面感应电荷分布

Q dS R0Q
RR0
a
导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷
移到地中去了。
（4）若导体不接地，可视为 分布在导体面上。不接地导体已为等势体， 加上 还要使导体为等势体， 必须均匀分布在球面上。这时导体球上总 电量 （因为均匀分布球面上可使导体产生的电势等效于在球心的点电荷产生的 电势）。
3．有一点电荷 位于两个互相垂直的半无限大接 地导体板所围成的直角空间内，它到两个平面的 距离为 a 和 b，求空间的电势。
解：（1）分析：
假想电荷应在第 I 象限之外。
要保证互相垂直 的两个接地导体板 的电势同时为零， 应当放几个电荷？
y
-Q（-a, b, 0）
O
Q（-a, -b, 0）
Q（a, b, 0）
y
0
S2
的作用力之和。
F QQ Q(Q0 Q) 1 [QQ0 Q2 R03 (2a2 R02 )]
4 0 (a b)2 4 0a2
4 0 a2
a3 (a2 R02 )2
设
，
，第一项为排斥力，第二项为
吸引力（与 无关，与 正负无关）。当
时，F < 0 ，即正电荷与带正电导体球在靠的很近时
会出现相互吸引。
解：根据唯一性定理左半空间
右半空间，Q在（0，0，a）点，
Q/
电势满足泊松方程。
边界上
P
Q
z
从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。
设电量为
1 [ 4 0
，位置为（0，0，
Q
x2 y2 (z a)2
）
Q ]
x2 y2 (z a)2
由边界条件确定 、 和
0 z0
4. 电象法概念、适用情况
电象法：
用假想点电荷来等效地代替导 体边界面上的面电荷分布，然 后用空间点电荷和等效点电荷 迭加给出空间电势分布。
适用情况：
a) 所求区域有少许几个点电荷，它产生的 感应电荷一般可以用假想点电荷代替。
b)导体边界面形状比较规则，具有一定对 称性。
c) 给定边界条件
注意几点：
a) 象电荷必须放在研究的场域外。
b) 不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假想
电荷的大小和位置）。 c) 放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存
在，把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数 应是所研究场域的介电常数。 d) 象电荷是虚构的，它只有等效作用。而其电量并不一定与 真实的感应电荷或极化电荷相等。 e) 镜象法所适应的范围是： ①场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线； ②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。
x
-Q （a, -b, 0）
（2）电势分布
Q [
1
1
40 (x a)2 ( y b)2 z2 (x a)2 ( y b)2 z2
1
(x a)2 ( y b)2 z2
（3）若两平面夹角
Q 放在 0 ( ) 处2
用镜象法求解的条
件是什么？
1
x 0
] (x a)2 ( y b)2 z2
一、电象法的概念和适用条件
1. 求解泊松方程的难度
Q
Q
一般静电问题可以通过求解泊松方 程或拉普拉斯方程得到电场。但是， 在许多情况下非常困难。例如，对于 介质中、导体外存在点电荷的情况虽 然可以采用叠加法求解，但是求解比 较困难。求解的困难主要是介质分界 面或导体表面上的电荷一般非均匀分 布的，造成电场缺乏对称性。
2. 以唯一性定理为依据
在唯一性定理保证下，采用试探解， 只要保证解满足泊松方程及边界条件即 是正确解。
特别是对于只有几个自由点电荷时， 可以将导体面上感应电荷分布等效地看
作一个或几个点电ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ来给出尝试解。
3. 镜象法的基本问题
在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电 荷或介质的束缚电荷共同产生的。那么，导体的感应电荷或介质的极化电荷对 场点而言能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的电荷 来代替呢？
1
Q
4 0R
等效电荷一般是一个点电荷组或一个带电体 系，而不一定就是一个点电荷。
（5）若导体球不接地，且带上自由电荷 ，导体上总电荷为 ，此时要 保持导体为等势体， 也应均匀分布在球面上。
2
Q
4 0R
Q0
4 0R
（6）导体球不接地而带自由电荷 时 所受到的 作用力可以看作 与 及位于球心处的等效电荷
Q
x2 y2 a2
Q x2 y2 a2
唯一解是
因为象电荷在左半空间，所 以舍去正号 解
Q [
1
1
]
4 0 x2 y2 (z a)2 x2 y2 (z a)2
讨论：（a）导体面上感应电荷分布
0
z
z0
2 (x 2
Qa y2 a2 )3/2
Q
dS Qa 2
2rdr
0 (r 2 a 2 )3/ 2
二、镜象法的具体应用
用镜象法解题大致可按以下步骤进行 ：
a) 正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件； b) 根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置； c) 由已知电荷及象电荷写出势的解析形式； d) 根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。
三、应用举例
1. 接地无限大平面导体板附近有一点电荷， 求空间电势。
球坐标系
（2）由边界条件确定 和
设
因 任意的 解得 ①
②
1
（3）讨论：
(Ra / R0 )2 R02 2Ra cos
① | Q'|| Q | ，因此Q发出的电力线一部分会聚到导
体球面上，剩余传到无穷远。
② 球面感应电荷分布
0
R
RR0
Q
4
R0 (a2
a2 R02
R02 2R0a cos )3/ 2
Q Q
（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。
（c） 与 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称 为镜象法（又称电象法）
（d）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力
F
Q2
4 0r 2
ez
Q
4 0
1 (2a) 2
ez
Q
16 0a2
ez
2. 真空中有一半径R0的接地导体球，距球心 a > R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。
解：（1）分析：
因导体球接地故球的电
P
势为零。根据镜象法原
则假想电荷应在球内。
R
因空间只有两个点电荷，
场应具有轴对称，故假
O
想电荷应在线上，即极
Z
轴上。
1 [Q Q] 4 0 r r