liu刚体的定轴转动习题课
高二物理竞赛课件：刚体定轴转动习题(13张PPT)
•改变配重 G，对旋进有什么影响？
•用外力矩加速（或阻碍）旋进，会发生什么现象？
2、炮弹的旋进（录像）
v
f
rc
mg
返回 退出
3. 回转效应产生附加力矩：
轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。
左转弯的力矩
左转
附加力可能
造成轴承的损
L
轴承
M
附加力
M dt = dL 坏，附加力矩
也可能造成翻
附加力
dL M 船事故。
C2
•
23o27
地球 黄道平面
地轴
返回 退出
地轴
分点每年在黄
旋进
旋进周期25800年
道上西移50.2
春分点
•
赤道面
北半球
南半球
黄道面
西
•
秋分点
•东
太阳
太阳年（回归年）：太阳由春分秋分春分
岁差
恒星年（时间长）： 地球绕太阳一周的时间 （precession）
岁差 = 恒星年 太阳年 = 20分23秒
Ek E p const.
Ek E p const.
几 种 常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
质点的运动
运动定律
F ma
动量定理
t
0 Fdt p p0
刚体的定轴转动
转动定律 M J
角动量定理
Mdt J22 J11
动量守恒 mivi const. 角动量守恒 J const. i
动能定理
W
1 2
mv
2 2
1 2
mv12
动能定理
W
1 机械能守恒
机械能守恒
2. 进动轴通过定点且与外力平行。
大学物理第四章 刚体的转动部分的习题及答案
第四章 刚体的转动一、简答题：1、简述刚体定轴转动的角动量守恒定律并给出其数学表达式?答案：刚体定轴转动时，若所受合外力矩为零或不受外力矩，则刚体的角动量保持不变。
2、写出刚体绕定轴转动的转动定律文字表达与数学表达式?答案：刚体绕定轴转动的转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
表达式为：αJ M =。
3、写出刚体转动惯量的公式，并说明它由哪些因素确定?答案：dm r J V⎰=2①刚体的质量及其分布；②转轴的位置；③刚体的形状。
二、选择题1、在定轴转动中，如果合外力矩的方向与角速度的方向一致，则以下说法正确的是 ( A )A.合力矩增大时，物体角速度一定增大；B.合力矩减小时，物体角速度一定减小；C.合力矩减小时，物体角加速度不一定变小；D.合力矩增大时，物体角加速度不一定增大2、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 ( C ) A.只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关； B.取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关； C.取决于刚体的质量，质量的空间分布和轴的位置；D.只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关；3、有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动， 转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度0ω转动，此时有一质量为m 的人站住转台中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为 ( A ) A.()2mR J J +ω B.()2Rm J J +ω C.20mR J ω D.0ω4、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。
今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的? ( A )A.角速度从小到大，角加速度从大到小．B.角速度从小到大，角加速度从小到大．C.角速度从大到小，角加速度从大到小．D.角速度从大到小，角加速度从小到大．5、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度( C )A.增大B.不变C.减小 (D) 、不能确定6、在地球绕太阳中心作椭圆运动时，则地球对太阳中心的 ( B ) A.角动量守恒，动能守恒 B.角动量守恒，机械能守恒 C.角动量不守恒，机械能守恒 D.角动量守恒，动量守恒7、有两个半径相同,质量相等的细圆环A 和B ，A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀，它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为A J 和B J ，则 ( C )A.B A J J >；B.B A J J <；C.B A J J =；D.不能确定A J 、B J 哪个大。
刚体的定轴转动习题课共23页
2 0 .4 0 0 .5 0 0 .7 1 5 0 4 r 0 0 a s 2 6 0 0 .2 0 5 .50 3
由此可算出自施加制动力开始到飞轮停止转动的时
间为
t 0 t 96 0 0 0 24037.0s6
这段时间内飞轮的角位移为
t2 1t29
02 0 914 0 9 2
v R
设碎片上升高度h时的速度为v，则有 v2 v2 2gh
令v 0，可求出上升最大高度为 h v2 1 R2ω2
2g 2g
（2）圆盘的转动惯量 J 1 MR2 , 角动量为 J，
2
碎片抛出后圆盘的转动惯量
J 1MR2 mR2 。
2
碎片刚脱离盘时，碎片与破盘之间的内力变为零，
但内力的变化不影响系统的总角动量，碎片与破盘
F d m tv m v m v v
木板所受的反作用冲量为
F d tF d m tv v
其量值为
(b)
F d 1 t1 2 0 5 0 2 0 3 N 0 .s
方向与 v相同。
（2）对木板应用角动量定理
MdJtJ
得
lFdtJ
所以 ωlF JdtmvlJvmvlv1M2L
滑轮间无相对滑动, 滑轮轴受的摩擦力忽略不计。
z
o
x
y
1
解： 对m1，由牛顿第二定律
m 1gT1m 1a
对m2，由牛顿第二定律
T 2km 2gm 2a
对滑轮，用转动定律
T1T2rJ1 2m2r
设绳在滑轮上不打滑，则有线量与角量的关系
a r
联立解以上诸方程，可得
a m1 km2 g
m1 m2 m2
3
0.363 9rads1 110.62 3
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体-习题课(共12张PPT)
解:
设碰后棒开始转动的角速度为 , 滑块m2可视为质点, 碰撞瞬时忽略摩擦阻 力矩, 则m1、m2系统对o轴的角动量守恒, 取逆时针转动的方向为正方向, 由角动量 守恒定律, 有 碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为
o
m1
m v1 2 v2
l
1 2 m2 v1l m2 v 2 l m1l 3
使 L 方向改变,而大小不变.
M L
自转轴将在水平面内逆时针方向(俯视)回转
质点力学、刚体力学有关公式对照表
质点的运动 速度 加速度 质量 刚体的定轴转动 角速度
d r dt
2
dr v dt dv a dt
角加速度 转动惯量
ddt
d dt
d 2 dt 2
m 力 F 运动定律 F ma 动量 p mv 角动量 L r p
动量定理
力矩
转动定律 动量 角动量
M r F
J r 2 dm
M J p mi vi
L J
dmv F dt
2 mg R 2 2 M f dM f r dr mgR 2 0 R 3
(2)求圆盘停止转动的时间有两种解法
dr r
o
R
解1 用转动定律 2 1 2 d M f mgR J mR 3 2 dt
3R dt d 4g
t
0
3R 0 dt d 4g 0
l
A
m1 1 M f gxdx m1 gl 0 l 2
1 m2 v1l m2 v 2 l m1l 2 3
刚体的定轴转动习题
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刚体的定轴转动习
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目 录
• 刚体定轴转动的基本概念 • 刚体定轴转动的力学分析 • 刚体定轴转动的运动分析 • 刚体定轴转动的习题解析 • 刚体定轴转动的实际应用案例
PART 03
刚体定轴转动的运动分析
刚体的角速度与角加速度
角速度
描述刚体转动快慢的物理量，用ω表 示。单位是弧度/秒（rad/s）。
角加速度
描述刚体转动角速度变化快慢的物理 量，用α表示。单
转动轨迹
刚体转动的路径是一个圆或椭圆，其形 状取决于刚体的质量和转动轴的位置。
PART 04
刚体定轴转动的习题解析
简单习题解析
题目
一个质量为m，半径为R的 圆盘，以边缘某点为轴， 以角速度ω做定轴转动， 求圆盘的动量。
解析
根据动量的定义，圆盘的 动量P=mv=mrω，其中r 是质点到转动轴的距离， m是质量，v是线速度，ω 是角速度。
题目
一质量为m的杆，长度为l， 一端固定，绕另一端点做 定轴转动，求杆的转动惯 量。
航空航天器姿态调整中的应用
01
02
03
卫星轨道调整
卫星在轨道调整过程中， 通过刚体定轴转动实现姿 态的调整，从而改变推进 力的方向。
飞机飞行控制
飞机飞行过程中，通过刚 体定轴转动实现舵面的操 纵，从而调整飞行姿态和 方向。
火箭发射
火箭发射过程中，通过刚 体定轴转动实现发动机的 转向和稳定。
大学物理刚体的定轴转动习题及答案（）
⼤学物理刚体的定轴转动习题及答案（）第 4 章刚体的定轴转动习题及答案1．刚体绕⼀定轴作匀变速转动，刚体上任⼀点是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向和法向加速度的⼤⼩是否随时间变化？答：当刚体作匀变速转动时,⾓加速度不变。
刚体上任⼀点都作匀变速圆周运动，因此该点速率在均匀变化，v l ，所以⼀定有切向加速度a t l ，其⼤⼩不变。
⼜因该点速度的⽅向变化，所以⼀定有法向加速度2a n l 2，由于⾓速度变化，所以法向加速度的⼤⼩也在变化。
2. 刚体绕定轴转动的转动定律和质点系的动量矩定理是什么关系？答：刚体是⼀个特殊的质点系，它应遵守质点系的动量矩定理，当刚体绕定轴Z 转动时，动量矩定理的形dL 2式为M z z，M z表⽰刚体对Z 轴的合外⼒矩，L z表⽰刚体对Z轴的动量矩。
L z m i l i2I ,其中dtI m i l i2，代表刚体对定轴的转动惯量，所以M z dLz d I I d I 。
既M z I 。
z dt dt dt z 所以刚体定轴转动的转动定律是质点系的动量矩定理在刚体绕定轴转动时的具体表现形式，及质点系的动量矩定理⽤于刚体时在刚体转轴⽅向的分量表达式。
3．两个半径相同的轮⼦，质量相同，但⼀个轮⼦的质量聚集在边缘附近，另⼀个轮⼦的质量分布⽐较均匀，试问：（1）如果它们的⾓动量相同，哪个轮⼦转得快？（2）如果它们的⾓速度相同，哪个轮⼦的⾓动量⼤？答：（1）由于L I ，⽽转动惯量与质量分布有关，半径、质量均相同的轮⼦，质量聚集在边缘附近的轮⼦的转动惯量⼤，故⾓速度⼩，转得慢，质量分布⽐较均匀的轮⼦转得快；（2）如果它们的⾓速度相同，则质量聚集在边缘附近的轮⼦⾓动量⼤。
4．⼀圆形台⾯可绕中⼼轴⽆摩擦地转动，有⼀玩具车相对台⾯由静⽌启动，绕轴作圆周运动，问平台如何运动？如⼩汽车突然刹车，此过程⾓动量是否守恒？动量是否守恒？能量是否守恒？答：玩具车相对台⾯由静⽌启动，绕轴作圆周运动时，平台将沿相反⽅向转动；⼩汽车突然刹车过程满⾜⾓动量守恒，⽽能量和动量均不守恒。
大学物理 习题课(刚体)
J1r1r2 10 2 2 2 J1r2 J 2 r1
11、质量为m，长为 l的均匀棒，如图， 若用水平力打击在离轴下 y 处，作用时 Ry 间为t 求：轴反力
解：轴反力设为 Rx Ry d 由转动定律： yF J y dt yF t t 为作用时间 F 得到： J 由质心运动定理： l d l 2 切向： F Rx m 法向： R y mg m 2 dt 2 2 2 2 3y 9 F y (t ) R 于是得到： x (1 ) F R y m g 2l 2l 3 m
10
r1
r2
解： 受力分析： 无竖直方向上的运动
10
o1
N1
f
r1
N2
r2
N1 f m1 g N 2 f m2 g
以O1点为参考点， 计算系统的外力矩：
o2
f
m1 g
m2 g
M ( N2 m2 g )(r1 r2 )
f (r1 r2 ) 0
作用在系统上的外力矩不为0，故系统的角动量不守恒。 只能用转动定律做此题。
r
at r
在R处：
R
at R
（2）用一根绳连接两个或多个刚体
B
C
M 2 o2 R 2
o1R1 M1
D
A
m2
m1
• 同一根绳上各点的切向加速度相同；线速度也相同；
a t A a t B a t C a t D
A B C D
• 跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张力不相等；
TA TB TD
但 TB TC
B
C
M 2 o2 R 2
o1R1 M1
(10)刚体习题课分解
Ek
1 J 2
2
E p mghc
当只有保守力矩作功 Ek Ep 恒量
2
说明： （1）粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）形状的刚体，要把它们看 成一个刚体，不要分开考虑。
它们的和均相同，但不同半径处的和a不同。
如 图 ， 在r处 ：
or
r at r an 2 / r
R
在R处 :
o
为零，称该点为打击中心。试求：
（1）打击中心A与支撑轴o之间的距离RA。 RA
（2）如果用质量为m=M，速度为v的弹
Rc
性球沿水平方向击中A点，碰撞后轴o对
细杆的作用力将如何？
F
解(1)由转动定律 FRA J
质心运动定理 F Mac
1 ML2
3
ac rc
L 2
联立可得：
RA
2 3
L
Fy
Fx c A
得到： 0
由质心运动定理：
dt
yF J
t
F
y
切向：F Rx
法向：
m
Ry
l 2
d
dt
mg
于是得到：Rx
(1
3y)F 2l
m
l 2
2 Ry
mg
9F
2 y2 (t)2 2l 3m
12
例7、如图所示，以水平力F打击悬
挂着的质量为M、长度为L的均匀细杆。
如果打击点A选择得合适，在打击的过
程中，支撑轴o对细杆的水平切向力Fx
dM 2rf (2rdr) 4kvr2dr
o
4kr3dr
r
M R 4kr3dr kR4 0
dr
由转动定理：J
大学物理-刚体的定轴转动-习题和答案
第4章 刚体的定轴转动 习题及答案1．刚体绕一定轴作匀变速转动，刚体上任一点是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向和法向加速度的大小是否随时间变化？答：当刚体作匀变速转动时,角加速度β不变。
刚体上任一点都作匀变速圆周运动，因此该点速率在均匀变化，v l ω=，所以一定有切向加速度t a l β=，其大小不变。
又因该点速度的方向变化，所以一定有法向加速度2n a l ω=，由于角速度变化，所以法向加速度的大小也在变化。
2. 刚体绕定轴转动的转动定律和质点系的动量矩定理是什么关系？答：刚体是一个特殊的质点系，它应遵守质点系的动量矩定理，当刚体绕定轴Z 转动时，动量矩定理的形式为zz dL M dt=，z M 表示刚体对Z 轴的合外力矩，z L 表示刚体对Z 轴的动量矩。
()2z i i L m l I ωω==∑,其中()2i i I m l =∑，代表刚体对定轴的转动惯量，所以()z z dL d d M I I I dt dt dtωωβ====。
既 z M I β=。
所以刚体定轴转动的转动定律是质点系的动量矩定理在刚体绕定轴转动时的具体表现形式，及质点系的动量矩定理用于刚体时在刚体转轴方向的分量表达式。
3．两个半径相同的轮子，质量相同，但一个轮子的质量聚集在边缘附近，另一个轮子的质量分布比较均匀，试问：（1）如果它们的角动量相同，哪个轮子转得快？（2）如果它们的角速度相同，哪个轮子的角动量大？答：(1)由于L I ω=，而转动惯量与质量分布有关，半径、质量均相同的轮子，质量聚集在边缘附近的轮子的转动惯量大，故角速度小，转得慢，质量分布比较均匀的轮子转得快；（2）如果它们的角速度相同，则质量聚集在边缘附近的轮子角动量大。
4．一圆形台面可绕中心轴无摩擦地转动，有一玩具车相对台面由静止启动，绕轴作圆周运动，问平台如何运动？如小汽车突然刹车，此过程角动量是否守恒？动量是否守恒？能量是否守恒？答：玩具车相对台面由静止启动，绕轴作圆周运动时，平台将沿相反方向转动；小汽车突然刹车过程满足角动量守恒，而能量和动量均不守恒。
09刚体力学基础习题课
转动惯量为 J 。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然
以相对于地面为V 的速率在台边沿逆时针转向走动时，
则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为
（A） ω
mR 2 J
(V ) R
，顺时针；
（B） ω
mR 2 J
(V ) R
，逆时针；
分析：
（C）
J
mR 2 mR 2
(V ) R
J RmV 0 ，顺时针； J mR2(V ) 0
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定
律仍2019成/9/23立。
5
三、习题基本类型
1.定轴转动的运动学问题
解法：利用定轴转动的运动学描述关系
d
dt
d
dt
d2
dt 2
0 t
v r
at r
an r 2
0
0t
1 2
与弹簧垂直。在某一时刻，弹簧位于与初始位置
垂直的位置，长度l=0.5m。求该时刻滑块速度的
大小和方向。
2019/9/23
18
解： 以θ表末速度与弹簧长 度方向的夹角。
对（滑 块+弹簧）系统， M外 0
∴角动量守恒: mv0l0 mvl sin θ (选⊙为正)
对（滑块+弹簧+地球）系统，
12
E 2 m v 2019/9/23 ki
ii
Ek
1 J2
2
1
4.力矩及其功和功率
（1）对转轴的力矩
M r F M z ri Fi i
刚体的定轴转动(带答案).
刚体的定轴转动一、选择题1、（本题3分）0289关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是[ C ] （A）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。
（B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。
（C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。
（D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关。
2、（本题3分）0165均匀细棒OA可绕通过某一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下降，在棒摆到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？（A）角速度从小到大，角加速度从大到小。
（B）角速度从小到大，角加速度从小到大。
（C）角速度从大到小，角加速度从大到小。
（D）角速度从大到小，角加速度从小到大。
3.（本题3分）5640一个物体正在绕固定的光滑轴自由转动，则[ D ]（A）它受热或遇冷伸缩时，角速度不变.（B）它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小.（C）它受热或遇冷伸缩时，角速度均变大.（D）它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大.4、（本题3分）0292一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮质量为m ，绳下端挂一物体，物体所受重力为P ，滑轮的角加速度为β，若将物体去掉而以与P 相等的力直接向下拉绳子，滑轮的角加速度β将 [ C ] （A ）不变 （B ）变小 （C ）变大 （D ）无法判断 5、（本题3分）5028如图所示，A 、B 为两个相同的绕着 轻绳的定滑轮，A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且F=Mg ，设A 、B 两滑轮的角加速度分别为βA 和βB ，不计滑轮轴的摩擦， 则有 [ C ] （A ）βA =βB （B ）βA ＞βB（C ）βA ＜βB （D ）开始时βA =βB ，以后βA ＜βB 6、（本题3分）0294刚体角动量守恒的充分而必要的条件是[ B ] （A ）刚体不受外力矩的作用。
（B ）刚体所受合外力矩为零。
chapter 5 刚体的定轴转动 习题课 2011formathnew
2m o θ
O
2 L 3
r v0
A m
11/11
12/11
2/11
4.1 一质量为m的质点沿着一条曲线运动，其位置矢量在空 的质点沿着一条曲线运动， v v v 间直角坐标系中的表达式为 r = a cos(ω t )i + b sin(ω t ) j ，其中a、 b、ω皆为常量，则此质点对原点的角动量L= ______；此质点 皆为常量， 所受对原点的力矩M= ______ 。 利用角动量定义计算角动量
v v v v dr v v L = r × mv = mr × = m a cos(ωt ) bsin(ωt ) 0 = mabωk dt −aω sin(ωt ) bω cos(ωt ) 0
利用角动量定理计算力矩 v v dL M= =0 dt
v i
v j
v k
3/11
4.5 一长为l、重W的均匀梯子，靠墙放置，如图。梯子下 的均匀梯子，靠墙放置，如图。 的弹簧。当梯子靠墙竖直放置时， 端连一劲度系数为k的弹簧。当梯子靠墙竖直放置时，弹簧处 于自然长度。墙和地面都是光滑的。 于自然长度。墙和地面都是光滑的。当梯子依墙而与地面成θ 角且处于平衡状态时， 角且处于平衡状态时， (1)地面对梯子作用力的大小为 W (1)地面对梯子作用力的大小为______ (2)墙对梯子的作用力的大小为 kl cos (2)墙对梯子的作用力的大小为______ θ N2 (3)W、k、l 、θ 应满足的关系式为 ______。 分析梯子受力 f = kx = kl cosθ N1 梯子静平衡， 梯子静平衡，有 θ f N1 = W N2 = f = kl cosθ W 相对于地面支持点， 相对于地面支持点，合力矩为零 l l N2l sinθ = W 2 cosθ ⇒ kl cosθ ⋅ l sinθ = W 2 cosθ
3-角动量和刚体定轴转动习题课
由转动定律： 解：由转动定律：
θ
2
ω0 = 0
mgl cos θ = ml β
得
l m
g β = cos θ l
3.如图所示，一轻绳绕于半径为r的飞轮边缘，并以 如图所示，一轻绳绕于半径为 的飞轮边缘 的飞轮边缘， 如图所示 质量为m的物体挂在绳端，飞轮对过轮心且与轮面 质量为 的物体挂在绳端， 的物体挂在绳端 垂直的水平固定轴的转动惯量为J.若不计摩擦 若不计摩擦， 垂直的水平固定轴的转动惯量为 若不计摩擦，飞 轮的角加速度 β =
m,l
t2
2.一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端 一根放在水平光滑桌面上的匀质棒， 一根放在水平光滑桌面上的匀质棒 的竖直固定光滑轴O转动 棒的质量为m 长度为l 转动． 的竖直固定光滑轴 转动．棒的质量为 ，长度为 ，对 初始时棒静止． 轴的转动惯量为J 轴的转动惯量为 = 1/3ml2.初始时棒静止．今有一水平 初始时棒静止 运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中， 运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如图 所示．子弹的质量为m′ 速率为v 试问： 所示．子弹的质量为 ′，速率为 ．试问： (1) 棒开始和子弹一起转动时角速度ω 有多大？ 有多大？ (2) 若棒转动时受到大小为 r的恒定阻力矩作用，棒 若棒转动时受到大小为M 的恒定阻力矩作用， 能转过多大的角度θ ？
[ B ]
A
1 1 ( A)为 mg cosθ (B)为 mg tanθ θ 4 2 r (C)为mg sinθ (D)不能唯一确定 mg
r N
转轴
B
杆没有转动，和外力矩为零。 解：杆没有转动，和外力矩为零。所以
l 1 Nl cos θ − mg sin θ = 0, 得 N = mg tan θ 2 2
刚体的定轴转动习题课课件
2020/6/3
26
22（P5）一刚体以每分钟60转绕 z轴做匀速转动（沿
z 轴正方向）。设某时刻刚体上一点 P 的位置矢量为：
解：系统（人+ 转台）不受沿轴的 外力矩，其角动量守恒，即：
J1(JM 2) r2
由此可得转台后来的角速度
2 JJM2r1 12102 8 00 02 022 10
0.49(6rad)/s
2020/6/3
25
习题集（力学）
一、选择题
21 一力学系统由两个质点组成，它们之间只有引力作
用，若两.质点所受外力的矢量和为零，则此系统：[ C ]
35
35
对米尺，手刚释放时，由转动定律： m gOCJ
mgOC J
m 9.80.11.5 0(ra2 d ) / 0.09 m3
2020/6/3
19
在米尺转到竖直位置过程中，系统（尺+ 地球）机械能
守恒：
mg OC 1 2J2
O
●
C
2mgOC
J
l1C
l2
mg mg
2m g9.80.1 0.093m
200m/s 水平射入杆中而不复出，射入点在轴下 d = 3L/4 处。
3 4
L
L
（1）求子弹停在杆中时杆的角速度。
（2）求杆的最大偏转角。
解：（1）系统（杆+子弹），在碰撞过 υ
程中，合外力矩为0，因而系统的角动量 ω 守恒。（在俯视图中，选⊙为正方向）
刚体定轴转动习题PPT17页
0
J00J
m02r0m2 r
r0 o mF
r r0 /2
40
F
半径减小角速度增加。
（2）拉力作功。请考虑合外力矩为0， 为什么拉力还作功呢？
W0 Md
在定义力矩作功 时，我们认为只 有切向力作功， 而法向力与位移 垂直不作功。
但在例题中，小 球受的拉力与位 移并不垂直，小 球的运动轨迹为 螺旋线，法向力 要作功。
速度 v 及杆的转动角速度 。
解：在水平面上， 碰撞过程中系统角 动量守恒，
M,2l
L0 L
m0lv m lJv （1）
o v0 m
弹性碰撞机械能守恒，
1 2m02 v1 2m2v1 2J2 （2）
注意没有关系： vl
联立(1)、(2)式求解
v(3mM)v0 M3m
6mv0
(M3m)l
M,2l
以悬挂一端为轴，重力产生力矩。
mg l J （2）
2
J 1 ml 2
3
a r l （3） T
m,l
2
联立(1)、(2)、(3)式求解
mg
T 1 mg 4
例5：在光滑水平桌面上放置一个静止的 质量为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细 杆，有一质量为 m 的小球以速度 v0 与杆 的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹4l0时 3g
2l m,l
mg
例4：质量为 m 、长为 l 的细杆两端用细
线悬挂在天花板上，当其中一细线烧断的
瞬间另一根细线中的张力为多大？
解：在线烧断瞬间，
以杆为研究对象，
细杆受重力和线的 张力，
T m,l
m gTma（1）
注意：在细杆转动时，各 点的加速度不同，公式中a
刚体的定轴转动5章习题PPT课件
习题课
主讲：左武魁
2021/3/12
1
内容一
刚体力学内容小结 及其与质点力学的对比
内 容二
课堂练习
2021/3/12
2
内容一
刚体力学与质 点力学的对比
2021/3/12
3
第五章 转动与平动公式对照表(运动学)
质点的直线运动
刚体的定轴转动
质点 r＞＞ d
刚体
质量
m
转动惯量
J miri2
J miri2
J r2dm
J mr2
4. 绕定轴转动的质点系 J miri2
二、平行轴定理
如果J 是刚体对任一轴 oz的 转动惯量，
Jc 为刚体对通过其质心且与O´Z´ z 平行的另一轴 OZ 的转动惯量，
z m
m 为刚体质量，d 为两轴间距离， 则 J = Jc + m d 2
d o C o
2021/3/12
(T1T2)r12mr2 (3)
联立以上4个方程解得
ar (4)
a m1μm2 g
T1 m1
m1g
m1m2 m/2
T2102 1/3/(12m 11m k)2m 2m m /2/m 21g T2(1 m 1 k)m m 21 m /km 2/21m 6 2g
习 5.16 (P287)
已知物体的质量m1 = 80g , 定滑轮（可视作圆盘）质量 m=100g ,半径 r =0.05m ,弹簧的劲度系数 k=2.0N/m 。开
通过筒中心 垂直于端面 （中心轴）
1 2
m(R12
R22)
10
一、几种刚体的转动惯量
几种刚体的转动惯量 （P261 表5—1）
05刚体的定轴转动习题解答解析
式解出
Jo^
VB 2gR +
o/(Jo+ mR 金
◎
2
2 计算题 6
J 0切0 R mR2 " J0
小球到 C 点时， 由角动量守恒定律，系统 的角速度又回复至- 0，而由机械能守恒，有:
2
mvc
mg(2R)
所以 vc
O
■ O <■J
mo
L
vm ►o
计算题 7 图
7. 质量为 mo 长为 L 的均匀直杆可绕过端点 O 的水平轴转动， 一质量为 m 的质点以水平速 度 v 与静止杆的下端发生碰撞，如 图所示，若 mo = 6 m，求质点与杆分别作完全非弹性碰撞和 完 全弹性碰撞后杆的角速度大小。
解：答案是 JO« 0, J^O/2 ；
>0；
3J^ 2/2
简要提示：角动量守恒
>0；
7. 一圆形转台可绕中心轴无摩擦的转动， 台上有
一辆玩具小汽车相对台面由静止启动， 当其绕轴作顺
时针圆周运动时，转台将作 转动；当汽车突然刹车停
止转动的过程中，系 统的 守恒；而 恒。
XJ、
解：答案是逆时针；角动量；动量；机械 不守
解：(1)完全非弹性碰撞时，质点射入杆内, 与杆一起转动。 在此过程中质点和杆系统的角 动量守恒，设系统绕端点 O 转动 的角速度为 3 因此
mvL 二
L + 二"o 2 mL2 尸-(2mL2 + mL2)
3
解出
3L
(2)完全弹性碰撞时，碰撞前后系统关于 端点 O 的 角动量守恒，设碰撞后质点的水平速
A. 必然增大 B. 必然减少
C. 不会改变
◎ Fi
大学物理课件-刚体定轴转动习题课
刚体的定轴转动学习要求：1.掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度、角加速度等物理量及角量和线量的关系.能借助于直角坐标系熟练应用匀变速转动的运动学公式。
2.理解力矩和转动惯量的物理意义。
掌握刚体定轴转动定律并能结合牛顿运动定律求解定轴转动刚体与质点组合系统的有关问题。
3.会计算力矩的功，刚体定轴转动动能和刚体的重力势能。
能在含有定轴转动及重力场的刚体问题中正确地应用机械能守恒定律。
4.熟练计算刚体对固定轴的角动量，掌握角动量定理，并能对含有定轴转动刚体在内的系统正确应用角动量守恒定律。
重点：1.理解和掌握有关刚体转动的基本概念——力矩、转动惯量、转动动能、角动量等。
2.理解和掌握有关刚体定轴转动的基本规律，特别是转动定律和角动量守恒定律及其应用。
难点：角动量定理，转动定律，角动量守恒定律在综合性力学问题中的应用。
1 . 描述刚体定轴转动的物理量及运动学公式角位置θt d d θω=角运动方程θ= θ(t )角位移∆θ角速度2t t d d d d 2θωα==角加速度θ∆=∆r s 角量与线量的关系ωr v =t a r α=ra n 2ω=基本概念和规律：2 .力矩和转动惯量(1)力矩2021tt αωθ+=∆F r M⨯=(2)转动惯量∑=2ii r m J 当刚体质量连续分布⎰=mr J d 2组合体的转动惯量∑=+++=iJ J J J J ...321ω2= ω02+2∆θα匀角加速转动公式ω= ω0+ tα3 .刚体的定轴转动定律==αJ M 4. 力矩的功⎰=21d θθθZ M A tJ d d ω转动动能∑==i i i K v m E )21(2221ωJ 刚体定轴转动动能定理KZ EJ J M A ∆=-==⎰21222121d 21ωωθθθ机械能守恒定律:只有重力做功时常量=+C mgh J 221ω5. 角动量和冲量矩ωJ L Z =刚体的角动量t M Z ∆⎰21t t d tM Z t L M Z Z d d =恒力矩的冲量变力矩的冲量6. 角动量定理和角动量守恒定律角动量定理角动量守恒定律:当合外力矩为零或远小于内力矩时112221d ωωJ J t M t t Z -=⎰常量=∑ωJ 12)()(ωωJ J -=7 .质点直线运动和刚体的定轴转动物理量对比⎰=21d θθθZ M A 质点直线运动刚体的定轴转动t d d θω=位移∆x 速度22d d d d t x t v a ==加速度⎰=x F A d 功角位移∆θ角速度t x v d d =2t t d d d d 2θωα==角加速度质量m ∑=2i i r m J 转动惯量功动能221mv E K =转动动能221ωJ E K =mv 动量ωJ 角动量一人造地球卫星到地球中心的最大距离和最小距离分别是B A R R 和设卫星对应的角动量分别是，动能分别是，则有B A L L 、KB KA E E 、B AB R A R （１）（２）（３）（４）（５）KAKB A B E E L L >>,KAKB A B E E L L =>,KA KB A B E E L L ==,KAKB A B E E L L =<,KA KB A B E E L L >=,答：（5）一长为、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m 和m 的小球，杆可绕通过其中心O 且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动，开始杆与水平方向成某一角度θ，处于静止状态，释放后，杆绕O 轴转动。
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l/3 O 2l/3
V0 V0/2
3V0 ω= 2l
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刚体定轴转动习题课 基本概念与转动定律 牛顿运动定律
6. 长为 的匀质细棒，一端悬于 点，自 长为L的匀质细棒 一端悬于O点 的匀质细棒， 由下垂， 紧接O点悬一单摆 点悬一单摆， 由下垂 ， 紧接 点悬一单摆 ， 轻质摆绳的 长为L，摆球的质量为m， 长为 ，摆球的质量为 ，单摆从水平位置 由静止开始自由下摆， 由静止开始自由下摆 ， 与细杆作完全弹性 碰撞，碰后单摆停止。 细杆的质量； 碰撞，碰后单摆停止。求：(1) 细杆的质量； (2) 细杆摆动的最大 m 角度θ。 角度 。 O
l/3 O 2l/3
V0 V0/2
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刚体定轴转动习题课 基本概念与转动定律 牛顿运动定律
第2章 刚体定轴转动 章 1章 质点力学 第 章
解：整个系统角动量守恒
v 的正方向⊙ L 的正方向⊙
mV0 2l / 3 = Jω − mV0 / 2 ⋅ 2l / 3
2l 2 l 2 2 2 J = m( ) + 2m( ) = ml 3 3 3
v mg
a = rβ1 = Rβ 2
T1 = T1′
T = T′
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刚体定轴转动习题课 基本概念与转动定律 牛顿运动定律
第2章 刚体定轴转动 章 1章 质点力学 第 章
2 mg 解得： 解得： = a 2m + M 1 + M
2
mM 1 g T = 2m + M 1 + M 2 m (m + M 1 + M 2 ) g T1 = 2m + M 1 + M 2
dθ dtv
(5)线速度 v = ω × r 线速度: 线速度 v v v (6)加速度 a = a t e t + a n e n 加速度: 加速度
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刚体定轴转动习题课 基本概念与转动定律 牛顿运动定律
1.基本概念: (7)力 基本概念: 力 基本概念 (8)转动惯量 转动惯量: 转动惯量
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刚体定轴转动习题课 基本概念与转动定律 牛顿运动定律
第2章 刚体定轴转动 章 1章 质点力学 第 章
4. 如图所示，已知：r，J0，m，G。 如图所示，已知： ， ， 。 飞轮的角加速度。 如果飞轮转过θ 求 ： 飞轮的角加速度 。 如果飞轮转过 1 角 绳与杆轴脱离， 并再转过θ 角后， 后 ， 绳与杆轴脱离 ， 并再转过 2 角后 ， 飞 轮停止转动， 求 ： 飞轮受到的阻力矩G的 轮停止转动 ， 飞轮受到的阻力矩 的 大小。 设飞轮开始时静止） 大小。（设飞轮开始时静止）
2
解得: 解得 G =
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第2章 刚体定轴转动 章 1章 质点力学 第 章
5. 如图所示，长为 的轻杆，两端各固定质量分 如图所示，长为l的轻杆 的轻杆， 别为m和 2m的小球 ， 杆可绕水平光滑轴在竖直 别为 和 的小球， 的小球 平面内转动，转轴O距两端分别为 距两端分别为l/3、 平面内转动，转轴 距两端分别为 、2l/3。原 。 来静止在竖直位置。今有一质量为m的小球 的小球， 来静止在竖直位置。今有一质量为 的小球，以 水平速度V 与杆下端作对心碰撞，碰后以V 的 水平速度 0与杆下端作对心碰撞，碰后以 0/2的 速度返回，试求碰后轻杆所获得的角速度。 速度返回，试求碰后轻杆所获得的角速度。
L
第2章 刚体定轴转动 章 1章 质点力学 第 章
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第2章 刚体定轴转动 章 1章 质点力学 第 章
m L
C O
1 2 解: mv = mgL 2
hc
θ C
1 2 1 2 mv = Jω 2 2
v m v L = Jω 的正方向⊙ L 的正方向⊙ L 1 2 2 1 Jω = Mg (1 − cos θ ) J = ML 2 2 3
C
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解: J 0ω 0 = ( J 0 + mR )ω
2
第2章 刚体定轴转动 章 1章 质点力学 第 章
1 1 1 2 2 2 2 2 J0ω0 + mgR= J0ω + m(ω R + vB ) 2 2 2
其中 解得: 解得
ω R +v = v
2 2 2 B
2 球对地
2
ω
A
ω = J 0ω0 /( J 0 + mR )
JωR vB = 2gR+ 2 J0 + mR
2 0 0 2
ω×R
O R B
C
vB
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3.力矩的时间累积： 力矩的时间累积： 力矩的时间累积 v v v 角动量: 角动量 L = r × mv 冲量矩: 冲量矩
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∫t1
t2
v M dt
= Jω
v
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v v v 角动量定理： 角动量定理： ∑ M d t = J ω 2 − J ω 1 ∫v v v 角动量守恒： 角动量守恒：M = 0 L = Jω = 常矢量
λ dl 2 2 J = ∆mi ri = r ⋅ dm dm = σdS ρdV 2.转动定律 2.转动定律: M = Jβ 转动定律:
v v v 矩: M = r × F
第2章 刚体定轴转动 章 1章 质点力学 第 章
∑
∫
v v 具有同轴性、同时性、同方向性。 M 与 β 具有同轴性、同时性、同方向性。
∫θ
θ2
1
M dθ
2
2
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第2章 刚体定轴转动 章 1章 质点力学 第 章
二、典型例题 1. 已知 ：M1 、 R的鼓形轮， M2、r的圆盘 已知： 的鼓形轮， 的鼓形轮 的圆盘 悬挂m， 两轮的顶点在同一水平面上， 悬挂 ， 两轮的顶点在同一水平面上 ， M1 可绕水平光滑固定轴转动， 可绕水平光滑固定轴转动 ， 设绳与定滑轮 间无相对滑动。 间无相对滑动 。 求 ： 当重物由静止开始下 降时， 降时，（1）物体的加 ） 速度； 速度；（2）绳中张力。 2,r ）绳中张力。 M
r
G
m
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解: (1) mg − T = ma = m β 1 r
r
G T´ T
第2章 刚体定轴转动 章 1章 质点力学 第 章
Tr − G = J0β1
m mg
(2)ω = ω + 2βθ
2 2 0
mgr − G β1 = 2 J 0 + mr
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第2章 刚体定轴转动 章 1章 质点力学 第 章
2. 一块宽 一块宽L=0.60m，质量为 =1kg的均匀薄木版， 的均匀薄木版， ，质量为M 的均匀薄木版 可绕水平固定轴OO 无摩擦地自由转动。 可绕水平固定轴 ´ 无摩擦地自由转动。当木版 静止到平衡位置时，子弹m=10×10-3kg重击木版 静止到平衡位置时，子弹 × 重击木版 A点， A离轴距离 l = 0.36m，子弹击重前速度为 点 离轴距离 ， v0 =500m/s，击重后速度为v =200m/s。求: （1） ，击重后速度为 。 ） 子弹给木板的冲量； 子弹给木板的冲量； 2）木板获得的角速度。 （2）木板获得的角速度。 已知：木板绕OO 轴的转动惯量为J=ML2/3） （已知：木板绕 ´轴的转动惯量为 ）
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第2章 刚体定轴转动 章 1章 质点力学 第 章
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一、内容小结
1.基本概念 (1)角位置 θ 基本概念: 基本概念 角位置: 角位置 (2)角位移 ∆θ 角位移: 角位移 (3)角速度 ω = 角速度: 角速度
dω (4)角加速度 β = 角加速度: 角加速度 v vdt v v
1 m 3L 3L 2 J1 = ⋅ ⋅ ⋅( ) 3 2L 2 2 1 m L L 2 J2 = ⋅ ⋅ ⋅( ) 3 2L 2 2
m 1 L1 = ∫ v 0 xd x = m v 0 L 2L 2 −L / 2 O
x
v0
1 6v0 mv0 L = ( J1 + J 2 )ω ∴ω = 解得 2 7L
解得: 解得
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M = 3m
1 θ = arccos( ) 3
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第2章 刚体定轴转动 章 1章 质点力学 第 章
7. 空心圆环可绕 竖直轴自由转动，如图 空心圆环可绕AC竖直轴自由转动 竖直轴自由转动， 所示。其转动惯量为J 环的半径为R， 所示。其转动惯量为 0，环的半径为 ，初 始角速度为ω 质量为m的小球 的小球， 始角速度为 0 。 质量为 的小球 ， 原来静 止放在A点 由于微小的干扰， 止放在 点，由于微小的干扰，小球向下滑 设圆环的内壁光滑。 动，设圆环的内壁光滑。 A 小球滑到B点时环的 求:小球滑到 点时环的 小球滑到 角速度及小球相对环 B 的速率。 的速率。 O
2
绳脱前 ω
− 0 = 2β1θ1
= 2β 2θ 2
绳脱后 0 − ω 2
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