答案圆的解题方法归纳

B

A

圆的解题方法归纳

1．?遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理；

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

1、AB 是的直径，CD 是的一条弦，且CE ⊥AB 于E ，连结AC ，BC 。若BE=2，CD=8，

求AB 和AC 的长。

解：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ∴CE=ED=4?

设⊙O 的半径为r ，OE=OB-BE=r-2? 在Rt △OEC 中，

r=5? ∴AB=10 又CD=8， ∴CE=DE=4， ∴AE=8 ∴AC=?

2、圆O 的直径AB 和弦CD 交于E ，已知AE=6cm ，EB=2cm ，∠CEA=30求CD 。

答案

2．? 遇到有直径时

常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 1、如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2,

∠B=

2、如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，∠BAC=50°，则∠ADC= ?3．? 遇到90°的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

1、如图，AB 、AC 是⊙O 的的两条弦，∠BAC=90°，

AB=6，AC=8，⊙O 的半径是

2、如图，已知在等腰△ABC 中，∠A=∠B=30°，过点C 作CD ⊥AC 交AB 于点D ；求证：BC 是过A ，D ，C 三点的圆的切线

解：（1）作出圆心O ，? 以点O 为圆心，OA 长为半径作圆 （2）证明：∵CD ⊥AC ，∴∠ACD=90° ∴AD 是⊙O 的直径

连结OC ，∵∠A=∠B=30°， ∴∠ACB=120°， 又∵OA=OC ， ∴∠ACO=∠A =30°

B

∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°

∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线.?

4．? 遇到弦时

常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：①可得等腰三角形；

②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

1、如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________.

2、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O 的直径，若∠ABC=50°，求

∠CAD的度数。

解：连接CD，∠ADC=∠ABC=50°

∵AD是⊙O 的直径，

∴∠ACD=90°?

∴∠CAD+∠ADC=90°?

∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°= 40°

5．? 遇到有切线时

（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）

作用：利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形。

1、如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CP

与⊙O切于C，

交AB•的延长线于D，（1）求证：AC=CP．

（2）若CP=6，求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1）。（参考数据：，π=3.14）

解：（

1

）连结

OC

∵AO=OC?

∴∠ACO=∠A=30°?

∴∠COP=2∠ACO=60°? ∵PC切⊙O于点C?

∴OC⊥PC

∴∠P=30°?

∴∠A=∠P

∴AC=PC 。

（2）在Rt △OCP 中，tan ∠P=

∴OC=2

∵S △OCP =CP ·OC=

×6×2=6

且S 扇形COB =

∴S 阴影= S △OCP -S 扇形COB =

。

? （2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

2、(1)如图OA 、OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 是OB 延长线上任意一点：

过点C 作CD 切⊙O 于点D ，连结AD 交DC 于点E ．求证：CD=CE

(2)若将图中的半径OB 所在直线向上平行移动交OA 于F ，交⊙O 于B’，其他条件不变，

那么上述结论CD=CE 还成立吗?为什么?

(3)若将图中的半径OB 所在直线向上平行移动到⊙O 外的CF ，点E 是DA 的延长线与CF 的交点，

其他条件不变，那么上述结论CD=CE 还成立吗?为什么

解题思路：本题主要考查圆的有关知识，考查图形运动变化中的探究能力及推理能力． 解答：(1)证明：连结OD 则OD ⊥CD ，∴∠CDE+∠ODA=90° 在Rt △AOE 中，∠AEO+∠A=90°

在⊙O 中，OA=OD ∴∠A=∠ODA ， ∴∠CDE=∠AEO 又∵∠AEO=∠CED ，∠CDE=∠CED ∴CD=CE (2)CE=CD 仍然成立．

∵原来的半径OB 所在直线向上平行移动∴CF ⊥AO 于F ， 在Rt △AFE 中，∠A+∠AEF=90°．

连结OD ，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD ．∠A=∠ODA ∴∠AEF=∠CDE 又∠AEF=∠CED ∴∠CED=∠CDE ∴CD=CE (3)CE=CD 仍然成立．

∵原来的半径OB 所在直线向上平行移动．AO ⊥CF 延长OA 交CF 于G ，在Rt △AEG 中，∠AEG+∠GAE=90°

连结OD ，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD ∴∠ADO=∠OAD=∠GAE ∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE