数学人教版初中二年级下册 正比例函数教案
《正比例函数》教案(优秀6篇)
《正比例函数》教案（优秀6篇）在教学工作者开展教学活动前，就不得不需要编写教案，借助教案可以让教学工作更科学化。
那么应当如何写教案呢？以下内容是为您带来的6篇《《正比例函数》教案》，如果对您有一些参考与帮助，请分享给最好的朋友。
《正比例》优秀教学反思篇一刚刚上完正比例的教学内容，有以下几点心得：1、比例是建立在比的关系的基础上的，所以必须让学生回顾明确什么是是比。
两个数相除叫做这两个数的比。
比有两种写法，一种是比号写法，另一种是用分数写法。
2、单刀直入（其实学生已经预习知道）主题，告诉学生什么叫做正比例：两个量发生变化后（可以变大爷可以变小），他们的比值不变我们就说这两个量成正比例。
老师例子说明，并且请学生互动找例子。
3、现在这个环节是比较重要的，我不认同书本上就靠表格天数据来认知正比例。
首先强调这两个量都可以作为比的前项后后项，但是最好是写出有意义的比；其次，要求学生针对每一对数据表格都要写出一个比，并且求出比值，从而加深对正比例的意义的理解，也强化了正比例的计算方法。
我觉得这个环节是非常非常重要的，比起空洞地填写表格要实在的多，学生通过这个活动基本上掌握了正比例的意义，能准确地判断正比例。
4、运用以上的知识和方法，请学生完成书上的作业。
检查结果基本上没有错误。
注意点：让学生自己找生活中的例子可能不是很准确；表达阐述正比例的关系中，有些例子需要加入前提，如直径和半径成正比例的前提是同圆或等圆。
《正比例》优秀教学反思篇二正比例这一内≮≮容是在学生学习了比和比例知识的基础上进行教学的，着重使学生理解正比例的意义。
从内容上看，正比例在整个小学阶段是一个较抽象的概念，学生不仅要理解其意义，还要学会判断两种量是否是成正比例的量，同时还要学会用含有字母的式子来表示正比例关系。
教师要渗透给学生一些函数的思想，为他们以后的初中学习打下基础。
在教学图象的同时，我密切联系学生已有的生活经验和学习经验，给学生提供了有利于探索和理解两个量之间变化规律的材料，使学生理解正比例关系图象的特征，并掌握其画法。
人教版正比例函数教案
学生回答，教师总结
y= 8.54x (0≤x ≤12.88)
[活动二]．导入新课 一、（1）下列问题中变量之间的对应规律可用怎样的函数来
表示？ １．圆的周长 L 与半径 r 的函数关系． ２．正方形的周长 C 与边长 x 的函数关系
３．每个练习本的厚度为 0．5cm．一些练习本摞在一起的总厚
度 h（cm）随这些练习本的本数 n 的变化而变化．
补 救 措 施 教 后 反 思
（二）能力目标 １．经历思考、探究过程、发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐
述自己的观点． ２．体验数形之间联系，逐步学会利用数形结合思想分析解决有关问题．
（三）情感态度 １．积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲． ２．形成合作交流、独立思考的学习习惯．
１．理解正比例函数意义及解析式特点． ２．掌握正比例函数图象的性质特点． ３．能根据要求完成转化，解决问题．
４．冷冻一个 0℃的物体，使它每分钟下降 2℃．物体的温度
Ｔ（℃）随冷冻时间 x（分）的变化而变化．
学生独立思考后回答。
(2)认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是常
数、自变量和函数.这些函数有什么共同点？
函数解析式
常数 自变量 函数
（1）l=2πr
（2）c=4x
（3）hn
（4）T= －2t
述．
学生活动：利用描点法正确地画出函数图象，在教师的引导下
完成函数变化规律的探究过程，并能准确地表达出，从而加深对规
律的理解与认识．
(2)尝试练习： 在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它
们进行比较．
１．y= 1 x ２．y= 1图像的形状
思考
教学难点 正比例函数图象性质特点的掌握．
初中数学《正比例函数的图象》教案
初中数学《正比例函数的图象》教案一、教学目标1. 知识目标：理解正比例函数的定义及其性质；掌握正比例函数的变化规律及其应用；能够绘制正比例函数的图象。
2. 能力目标：通过对正比例函数的学习，提高学生的抽象思维能力和图像思维能力；培养学生探索问题、解决问题的能力，在实际问题中运用正比例函数。
3. 情感目标：从正比例函数的实际应用中感受数学的实用性和重要性；培养学生对数学的兴趣和热爱，激发学生学习数学的积极性。
二、教学内容正比例函数的图象。
三、教学重难点1. 教学重点：掌握正比例函数的定义及其性质；掌握正比例函数的变化规律及其应用；能够绘制正比例函数的图象。
2. 教学难点：理解正比例函数的定义及其性质；掌握绘制正比例函数的图象的方法。
四、教学方法讲授法、示范法、探究法、实践法。
五、教学过程1. 前置知识导入（5分钟）通过积累生活中与正比例函数有关的问题，引发学生对正比例函数的兴趣。
例如：一个人跑完1000米要用10分钟，那么这个人每分跑多少米？2. 新课教学（35分钟）(1) 正比例函数的定义及其性质。
1. 如果y与x成正比例关系，且比例系数为k，则y=kx 。
2. 通常称这种函数为正比例函数，其中k称为比例系数。
(2) 正比例函数的图象。
1. 当x>0时，y=kx表示的是以原点为起点、斜率为k的直线。
2. 当k>0时，y=kx表示的是一条从左下到右上的直线。
3. 当k<0时，y=kx表示的是一条从左上到右下的直线。
(3) 正比例函数的变化规律及其应用。
1. 如果两个量x和y成正比例关系，那么当x增加一定比例时，y也按照同样的比例增加。
2. 在实际生活中，有很多问题涉及到正比例函数，例如：工人能够完成一定的工作量需要一定的时间，那么能够完成的工作量与时间成正比例关系。
3. 在实际生活中，我们可以通过正比例函数的性质，解决很多实际问题。
(4) 绘制正比例函数的图象。
1. 绘制正比例函数的图象，可以通过确定两个点来确定这条函数的图象。
【初中数学精品资料】正比例函数
年级初二学科数学内容标题正比例函数编稿老师陈孟伟一、学习目标：1.理解正比例函数的概念和性质，知道图象形状、位置与解析式系数的关系，会用待定系数法确定函数解析式，能运用函数知识解决一些实际问题；2.通过学习，进一步体会数形结合的思想和分类讨论、化归、待定系数等数学思想.二、重点、难点：重点：正比例函数的性质和解析式的确定.难点：运用正比例函数解决实际问题.三、考点分析：正比例函数是中考重点考查的内容之一，从近几年各地的中考试卷来看，试题类型比较全面，有填空题、选择题及解答题.考查内容以图象为主，主要体现在以生活实际为背景，与生活实际相联系，具有浓厚的生活气息.知识点一 正比例函数的定义例1：下列函数中，正比例函数有（ ） ①3xy =-； ②18y x-=； ③28(18)y x x x =+-； ④18y x =+A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个思路分析：首先看每个函数解析式能否通过恒等变形，转化为y kx =的形式，若x 的次数是1，且0k ≠解答过程：C 解题后的思考：判断一个函数是否为正比例函数，就是判断所给函数能否化成(0)y kx k =≠的形式.例2：若函数2(1)1y k x k =++-是正比例函数，求k 的值. 思路分析：要使函数2(1)1y k x k =++-是正比例函数，k 需要满足条件21010k k +≠⎧⎨-=⎩.解答过程：解：由于2(1)1y k x k =++-是正比例函数∴21010k k +≠⎧⎨-=⎩，解得1k =. 解题后的思考：在求k 的值时，易出现只考虑210k -=，求得1k =±，而忽略了正比例函数y kx =中的隐含条件0k ≠，即本题中的10k +≠. 小结：若一个函数为正比例函数，则必有比例系数0k ≠，且x 的次数为1，因此解析式形如m y kx n =+的函数是正比例函数的条件是010k m n ≠⎧⎪=⎨⎪=⎩.知识点二 正比例函数的图象及画法例3：画正比例函数13y x =与13y x =-的图象.思路分析：画正比例函数13y x =的图象取(0,0)、1(1,)3两点；画正比例函数13y x =-的图象取(0,0)、1(1,)3-两点.解答过程： 解：列表：x0 1 13y x= 013 13y x=-13- 描点，连线，即得y x =与y x =-的图象，如图所示.解题后的思考：此题为了方便，还可以取点(0,0)、(3,1)和(0,0)、(3,1)-.例4：作函数34y x =-的图象，根据图象回答：（1）当8x =时，y 的值是多少； （2）当2y =-时，x 的值是多少； （3）当x 取什么值时，0y >； （4）当x 取什么值时，0y <. 思路分析：本题考查正比例函数图象的画法，以及如何利用函数图象解题. 解答过程： 解：列表x0 434y x=-0 3-描点连线（1）由图观察，当8x =时，y 约等于6-；（2）由图观察，当2y =-时，x 约等于83；（3）由图观察，当0x <时，0y >； （4）由图观察，当0x >时，0y <. 解题后的思考：此题培养大家的识图、用图的能力.在用图时，常用“x 的值或范围⇔函数图象的一部分⇔y 的值或范围”的思维过程. 小结：一般地，正比例函数(0)y kx k k =≠为常数，的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.（1）正比例函数的图象是经过原点(0,0)和(1,)k 的一条直线.在坐标平面内过原点的直线（与x 轴、y 轴不重合）是正比例函数的图象.（2）作正比例函数的图象时，只要确定一个点（除原点外）即可，通常确定(1,)k 点. （3）正比例函数y kx =中，||k 越大，直线y kx =越靠近y 轴，即直线与x 轴的夹角越大；||k 越小，直线y kx =越靠近x 轴，即直线与x 轴的夹角越小.知识点三 正比例函数的性质例5：点(2,)A a -，(0.5,)B b 在正比例函数2y x =-的图象上，试比较,a b 的大小. 思路分析：本题可以利用函数图象的概念分别求出,a b ，再比较大小；也可以利用正比例函数的性质，比较自变量分别等于2-和0.5时函数值的大小，这样可以避免计算,a b . 解答过程： 解：方法一点(2,)A a -，(0.5,)B b 在正比例函数2y x =-的图象上 ∴2(2)4a =-⨯-=，20.51b =-⨯=-故a b > 方法二20-<∴正比例函数2y x =-中，y 随着x 的增大而减小又 20.5-<∴a b >解题后的思考：显然，利用正比例函数的性质可以简化计算.将来对于更复杂的函数，运用正比例函数的性质更简便. 小结：要研究和记忆函数的性质，最好的办法是结合其图象来进行. 对于正比例函数(0)y kx k =≠，有如下性质：（1）当0k >时，直线y kx =经过第一、三象限，从左到右逐渐上升，即随着x 的增大，y 也增大；（2）当0k <时，直线y kx =经过第二、四象限，从左到右逐渐下降，即随着x 的增大，y 反而减小.根据正比例函数的性质，只要知道比例系数k 的符号是正号（或负号），不用画出函数图象就能判定其图象的大体位置，以及y 随x 的增大而增大（或减小）等情况；反之，如果已知正比例函数y 随x 的增大而增大（或减小）的情况，就能推出比例系数k 的符号的正负.知识点四 待定系数法求正比例函数的解析式例6：已知正比例函数的图象过第四象限，且过点(2,3)A a -和(,6)B a -两点，求当3y =-时，x 的值. 思路分析：要求“当3y =-时，x 的值”，只要求出正比例函数的解析式即可，也即求出y kx =中的参数k 即可.此题共有2个参数,k a 未知，要求之需要两个方程，而题目已知条件正好可以得到两个方程. 解答过程：解：设正比例函数的解析式为y kx =图象经过第四象限 ∴0k <函数图象过(2,3)A a -和(,6)B a -两点∴32(1)6(2)a k ak-=⎧⎨-=⎩由（1）式，得23a k =-代入（2）式，得2263k -=-，故29k =∴3k =±又 0k <∴3k =-，正比例函数为3y x =-当3y =-时，33x -=-，1x =. 解题后的思考：待定系数法的本质是方程（组）的思想.例7：汽车由A 地驶往相距120千米的B 地，s （千米）表示汽车离开A 地的距离，t （小时）表示汽车行驶的时间，如图所示.（1）汽车用几小时，可以从A 地到B 地？汽车的速度是多少？（2）当汽车行驶1小时时，离开A 地的距离是多少？ （3）当汽车距离B 地20千米时，汽车已出发了多长时间？ 思路分析：此题可以通过观察图象得出结论，但是不够精确.我们还可以利用待定系数法求出函数的解析式，一旦求出解析式，此题的3个小题就都迎刃而解了. 解答过程：解： 图象是直线的一部分∴函数是正比例函数，只是自变量的取值范围不是任意实数设s kt =图象过(3,90) ∴903k =，30k = ∴30(04)s t t =≤≤（1）令120s =，得12030t =，4t =（小时）∴汽车用4小时可以从A 地到B 地.汽车的速度为120304=（千米/时） （2）令1t =时，得30130s =⨯=（千米）∴当汽车行驶1小时时，离开A 地的距离是30千米.（3）令12020100s =-=（千米），得10030t =，103t =≈3.3（小时） ∴当汽车距离B 地20千米时，汽车已出发了约3.3小时.解题后的思考：此题要求我们学会观察图形，并从中挖掘出有用的信息，再用待定系数法解题. 小结：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式(0)y kx k =≠中的常数k .使用待定系数法的基本步骤是：（1）设出含有待定系数的函数解析式；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的方程（组）； （3）解方程（组），求出待定系数k ； （4）将求得的待定系数的值代回解析式.正比例函数y kx =中只有一个待定系数k ，一般只需要一个条件即可.1. 弄清解析式中字母的意义；2. 学习正比例函数图象的画法和性质，用待定系数法求函数解析式时，不要死记硬背其结论，而是运用数形结合的思想，学会观察图象，通过观察、比较、总结和概括得到关于正比例函数的一些重要结论.（答题时间：60分钟）一、选择题1. 下列关系中的两个量成正比例的是（ ） A . 从甲地到乙地，所用的时间和速度B . 正方形的面积与边长C . 买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量D . 人的体重与身高2. 下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A . 41y x =+B . 22y x =C . 5y x =-D . y x =3. 下列说法中不成立的是（ ） A . 在31y x =-中1y +与x 成正比例B . 在2xy =-中y 与x 成正比例 C . 在2(1)y x =+中y 与1x +成正比例D . 在3y x =+中y 与x 成正比例4. 在下列各图象中，表示函数(0)y kx k =-<图象的是（ ）5. 已知11(,)x y 和22(,)x y 是直线23y x =-上的两点，且12x x >，则1y 与2y 的大小关系是（ ）A . 12y y <B . 12y y =C . 12y y >D . 以上都有可能二、填空题6. 若,x y 是变量，且函数2(1)k y k x =+是正比例函数，则k =________； 7. 已知y 与x 成正比例，且2x =时6y =-，则9y =时x =__________； 8. 若函数2(26)(1)y m x m x =++-是正比例函数，则m 的值是_________；9. 结合正比例函数2y x =-的图象回答，当1x >时，y 的取值范围是_________________；10. 1y +与z 成正比例，比例系数为2；z 与1x -也成正比例.当1x =-时，7y =，那么y 与x 之间的函数关系式为_______________________；三、解答题11. 写出下列各题中x 和y 的关系式，并判断y 是否是x 的正比例函数？（1）电报收费标准是每个字0.1元，电报费y （元）与字数x （个）之间的关系；（2）地面气温是28℃，如果高度每升高1km ，气温下降5℃，则气温x （℃）与高度y （km ）的关系；（3）圆面积y （2cm ）与半径x （cm ）的关系.12. 在函数3y x =-的图象上取一点P ，过P 点作PA x ⊥轴，已知P 点的横坐标为2-，求POA ∆的面积（O 为坐标原点）.13. 已知函数2(||3)2(3)y a x a x =-+-是关于x 的正比例函数. （1）求此正比例函数的解析式； （2）画出它的图象；（3）若它的图象上有两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，当12x x <时，试比较12,y y 的大小.一、选择题1. C2. C3. D4. A（解析）0k ,0k >-∴<kx y -=∴的图象过第一、三象限∴选择A 5. A 二、填空题6. 17. 3-8. 3-9. 2y <-10. 43y x =-+（解析）由已知，得12y z += 设(1)z k x =-，则12(1)y k x +=- 因为，当1x =-时，7y = 所以，712(11)k +=--，2k =- 故，14(1)y x +=--，43y x =-+ 三、解答题11. 解：（1）0.1y x =，y 是x 的正比例函数； （2）285y x =-，y 不是x 的正比例函数； （3）2y x π=，y 不是x 的正比例函数.12. 解：将2x =-代入3y x =-，得6y =，故(2,6)P - 所以，6PA =，2OA =，12662POA S ∆=⨯⨯=13. 解：（1） 函数2(||3)2(3)y a x a x =-+-是关于x 的正比例函数∴||302(3)0a a -=⎧⎨-≠⎩，故3a =- ∴此正比例函数的解析式为12y x =-（2）取点(0,0)和(1,12)-，连线得函数的图象.（3） 120-<∴在函数12y x =-中，y 随着x 的增大而减小又 12x x <∴12y y >.。
19.2正比例函数(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正比例函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对正比例函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正比例函数的基本概念。正比例函数是形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数。它在生活中有着广泛的应用，如速度与时间、单价与总价等关系。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，那么行驶的距离与时间之间的关系就可以用正比例函数来描述。这个案例展示了正比例函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们学习了正比例函数的相关内容。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和改进。
首先，关于导入新课的部分，我通过提出与生活相关的问题，激发了学生的兴趣。但在实际操作中，我发现有些学生对这个问题还是有些迷茫，可能是我没有把问题讲得足够清楚。下次我可以尝试用更直观的方式，如图片或实物，来引导学生更好地理解问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正比例函数的定义：强调函数表达式y=kx中，k为常数且k≠0的特点，这是区分正比例函数与其他函数的核心。
-正比例函数图像的绘制：通过实例，引导学生学会如何绘制正比例函数的图像，理解图像是一条通过原点的直线。
-正比例函数的性质：包括单调性（k>0时递增，k<0时递减）和奇偶性（关于原点对称），这些性质是解决实际问题时的重要依据。
人教版初中数学《正比例函数》_课件
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总结
知1－讲
(1)根据题意可先得到数量间的关系式，然后写成 函
数解析式的形式． (2)判断一个函数是否为正比例函数的依据：看两 个 变量的比是不是常数，即是不是形如y＝kx(k是常 数，k≠0)的函数．
总结
知1－讲
一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫 做正比例函数，其中k叫做比例系数.
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知1－讲
例1 写出下列问题的函数关系式，并判断哪些是正比例函数
知1－讲
上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式分
别为：
(1) l＝2πr；
(2)m＝7. 8V；
(3)h＝0.5n；
(4)T＝－2t.
正如函数y＝300t一样，上面这些函数都是常
数与
自变量的积的形式.
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润，
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知1－讲
解：(1)C＝2πr，是正比例函数．
(2)Q＝30－
1 5
t，不是正比例函数．
(3)s＝4t，是正比例函数．
正比例函数教学设计(9篇)
正比例函数教学设计(9篇)正比例函数教学设计1【教学内容】正比例【教学目标】使学生理解正比例的意义，会正确判断成正比例的量。
【重点难点】重点：理解正比例的意义。
难点：正确判断两个量是否成正比例的关系。
【教学准备】投影仪。
【复习导入】1、复习引入。
用投影仪逐一出示下面的题目，让学生回答。
①已知路程和时间，怎样求速度？板书：=速度。
②已知总价和数量，怎样求单价？板书：=单价。
③已知工作总量和工作时间，怎样求工作效率？板书：=工作效率。
2、引入课题：这是我们过去学过的一些常见的数量关系。
这节课我们进一步来研究这些数量关系的一些特征，首先来研究这些数量之间的正比例关系。
板书课题：成正比例的量。
【新课讲授】1、教学例1.教师用投影仪出示例1的.图和表格。
学生观察上表并讨论问题。
（1）铅笔的总价和数量有关系吗？（2）铅笔的总价是怎样随着数量的变化而变化的？（3）铅笔的总价和数量的变化有什么规律？组织学生在小组中讨论，然后交流说一说。
根据观察，学生可能会说出：①铅笔的。
总价随着数量变化，它们是两种相关联的量。
②数量增加，总价也增加；数量降低，总价也减少。
③铅笔的总价和数量的比值总是一定的，即单价一定。
教师指出：总价和数量有这样的变化关系，我们就说总价和数量成正比例关系，总价和数量叫做成正比例的量。
2、教师出示：一列火车行驶的时间和路程如下表。
引导学生观察、思考：路程和时间有关系吗？路程怎样随着时间的变化而变化？路程和时间的变化有什么规律？组织学生分析、讨论、汇报：路程和时间是两种相关联的量，路程扩大，时间也跟着扩大；路程缩小，时间也跟着缩小；但是路程和时间的比值一定，写成关系式是=速度（一定）。
教师小结：所以说路程和时间成正比例关系，路程和时间叫做成正比例的量。
3、归纳概括正比例关系。
①组织学生分小组讨论，上面两个例子有什么共同规律？②教师引导学生归纳总结：都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化；如果这两种量中相对应的两个数的比值也就是商一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做成正比例关系。
人教初中数学《正比例函数》教案(高效课堂)2022年人教版数学精品
正比例函数年级八年级课题正比例函数课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.认识正比例函数的意义。
2.掌握正比例函数解析式特点。
3.理解正比例函数图像性质及特点。
4.能利用所学知识解决相关实际问题。
过程方法1.体验数形之间联系，逐步学会利用数形结合思想分析解决有关问题。
2.体会解决问题的多样性。
开展实践能力与创新意识。
情感态度1.结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯。
2.通过正比例函数的引入，使学生认识到数学与现实世界密切相关。
同时渗透热爱自然和生活的教育。
教学重点正比例函数的概念教学难点正比例函数的特征教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情境引入用函数关系式表示以下问题中变量之间的关系。
1、正方形的边长为x，周长为y，写出y关于x的函数关系式。
2、电报收费标准是每个字元，电报费y〔元〕与字数x〔个〕之间的函数关系。
二、探究新知〔一〕出示教材思考(1)圆的周长l随半径r的大小变化而变化；(2)铁的密度为/cm3，铁块的质量m(单位：g)随它的体积V(单位：cm3)的大小变化而变化；(3)每个练习本厚，一些练习本摞在一起的总厚度h(单位：cm)随这些本的本数n的变化而变化;(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体温度T(单位：℃)随冷冻时间t(单位：分)的变化而变化；〔二〕观察所列函数关系式，看看有何共同特点？y=4x y=0.1x l=2r m=7.8V h=0.5n T=－2t 〔三〕揭示正比例函数的概念一般地，形如y=kx〔k是常数，k≠0〕的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例函数。
〔四〕揭示正比例函数图象的特征教师给出问题学生观察思考列关系式教师在学生答复后板书学生认真读题思考写出答案，并对六个关系式加以比照。
观察所列关系式，找它们的共同特点，并阐述。
教师引导点拨，可从函数自变量，常量之间的关系考虑。
体会函数概念的实际背景，反映数学与实际的关系通过大量问题，让学生对正比例函数形式有初步的认识。
人教版初一数学下册正比例函数 教案
11．2．1 正比例函数教学目标（一）教学知识点１．认识正比例函数的意义．２．掌握正比例函数解析式特点．３．理解正比例函数图象性质及特点．４．能利用所学知识解决相关实际问题．教学重点１．理解正比例函数意义及解析式特点．２．掌握正比例函数图象的性质特点．３．能根据要求完成转化，解决问题．教学难点正比例函数图象性质特点的掌握．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥뼈မ鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？我们来共同分析：一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：25600÷（30×4+7）≈200（km）若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：y=200x（0≤x≤127）这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即y=200×45=9000（km）以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．Ⅱ．导入新课首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．解：１．根据圆的周长公式可得：L=2 r．２．依据密度公式p=mV可得：m=7．8V．３．据题意可知： h=0．5n．４．据题意可知：T=-2t．我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x 的形式一样．• • • •一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional func-tion），其中k叫做比例系数．我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？[活动一]活动内容设计：画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．１．y=2x ２．y=-2x活动设计意图：通过活动，了解正比例函数图象特点及函数变化规律，让学生自己动手、动口、动脑，经历规律发现的整个过程，从而提高各方面能力及学习兴趣．教师活动：引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述．学生活动：利用描点法正确地画出两个函数图象，在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程，并能准确地表达出，从而加深对规律的理解与认识．活动过程与结论：１．函数y=2x画出图象如图（1）．２．y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：画出图象如图（2）．３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线．不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；•经过第二、四象限．尝试练习：在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．１．y=12x ２．y=-12x比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=12x•的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=-12x•的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，•我们可以称它为直线y=kx．[活动二]活动内容设计：经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单？为什么？活动设计意图：通过这一活动，让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理．教师活动：引导学生从正比例函数图象特征及关系式的联系入手，寻求转化的方法．从几何意义上理解分析正比例函数图象的简单画法．学生活动：在教师引导启发下完成由图象特征到解析式的转化，进一步理解数形结合思想，找出正比例函数图象的简单画法，并知道原由．活动过程及结论：经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）．因为两点可以确定一条直线．Ⅲ．随堂练习用你认为最简单的方法画出下列函数图象：１．y=32x ２．y=-3x解：除原点外，分别找出适合两个函数关系式的一个点来：１．y= 32x （2，3）２．y=-3x （1，-3）小结：本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．课后作业习题11．2─1、2题．Ⅵ．活动与探究某函数具有下面的性质：１．它的图象是经过原点的一条直线．２．y随x增大反而减小．请你举出一个满足上述条件的函数，写出解析式，画出图象．解：函数解析式：y=-0．备选题：汽车由天津驶往相距120千米的北京，Ｓ（千米）表示汽车离开天津的距离，•t （小时）表示汽车行驶的时间．如图所示１．汽车用几小时可到达北京？速度是多少？ ２．汽车行驶１小时，离开天津有多远？３．当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？ 解法一：用图象解答：从图上可以看出4个小时可到达． 速度＝1204=30（千米／时）． 行驶１小时离开天津约为30千米．当汽车距北京20千米时汽车出发了约3．3个小时． 解法二：用解析式来解答：由图象可知：Ｓ与t 是正比例关系，设S=kt ，当t=4时S=120 即120=k ×4 k=30 ∴S=30t ．当t=1时 S=30×1=30（千米）． 当S=100时 100=30t t=103（小时）． 以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优特点．。
人教版初中数学《正比例函数》PPT全文课件
解：h = 0.5n .
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（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降 2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻 时间t（单位：分）的变化而变化．
（2）铁的密度为7.8g/ cm3 ，铁块的质量 m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的 大小变化而变化.
解：m =7.8 V .
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（3）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练
解：T = －2t ．
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找出它们的共同点
（1）（ l＝2πr ） （3）（h＝ 0.5n ）
（2）（ m＝7.8 V ） （4）（T＝－2 t ）
共同点：正如y＝200x一样，上述函数都是 常量与自变量的乘积的形式。
解：y=300t(0 t 4.6)
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是 否已经过了距始发站1100km的南京南站？
解：300×2.5=750 (km) 因为750<1100，所以京沪高铁列车从 北京南站出发2.5h后，还没经过了距始 发站1100km的南京南站。
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5. 已知y-3与x成正比例，当x=2时，y=7 ，求y与x之间的函数解析式. 解：设y-3=kx，
人教版初二数学下册：正比例函数(提高)知识讲解
正比例函数（提高）【学习目标】1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y kx =的图象；2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题． 【要点梳理】【高清课堂：389342 正比例函数，知识要点】 要点一、正比例函数的定义 1、正比例函数的定义一般的，形如y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.2、正比例函数的等价形式 （1）、y 是x 的正比例函数； （2）、y kx =（k 为常数且k ≠0）； （3）、若y 与x 成正比例； （4）、k xy=（k 为常数且k ≠0）. 要点二、正比例函数的图象与性质正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小.要点三、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0 ）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ，y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值.【典型例题】类型一、正比例函数的定义【高清课堂：389342 正比例函数，例1】1、若函数22432m ny xm n -+=-+-是y 关于x 的正比例函数，求m 、n 的值.【思路点拨】正比例函数的一般式为(0)y kx k =≠，要特别注意定义满足0k ≠，x 的指数为1．【答案与解析】 解：由题意，得221320m n m n -+=⎧⎨-=⎩ 解得 11.5m n =⎧⎨=⎩∴当1, 1.5m n ==时，y 是x 的正比例函数.【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k 不等于零；（2）x 的指数是1. 举一反三： 【变式】（2014春•凉州区校级月考）x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x |k|是正比例函数，求K 的值．【答案】解：根据正比例函数的定义可得：k+1≠0，|k|=1，解得；k=1．【高清课堂：389342 正比例函数，例2】2、设有三个变量x 、y 、z ，其中y 是x 的正比例函数，z 是y 的正比例函数 （1）求证：z 是x 的正比例函数；（2）如果z ＝1，x ＝4时，求出z 关于x 的函数关系式. 【答案与解析】解：（1）由题意，设11(0)y k x k =≠，22(0)z k y k =≠，12,k k 为常数12z k k x =∴ 120,0k k ≠≠∴120k k ≠且为常数∴z 是x 的正比例函数；12z k k x =∴12(0)k k ≠（2）当z ＝1，x ＝4时，代入12z k k x = ∴1214k k =∴z 关于x 的函数关系式是14z x =. 【总结升华】在本题中，按照题意，比例系数要设为不同的12,k k ，不要都设为k ，产生混淆.举一反三：【变式】已知z m y =+，m 是常数，y 是x 的正比例函数，当x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1，求z 与x 的函数关系．【答案】解：由题意，y kx =，z m kx =+ ,∵x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1， ∴1＝m ＋2k ，－1＝m ＋3k 解得k ＝－2，m ＝5 ∴z ＝－2x ＋5.类型二、正比函数的图象和性质3、（2016•眉山）若函数y=（m ﹣1）x |m|是正比例函数，则该函数的图象经过第 象限．【思路点拨】根据正比例函数定义可得：|m|=1，且m ﹣1≠0，计算出m 的值，然后可得解析式，再根据正比例函数的性质可得答案． 【答案与解析】解：由题意得：|m|=1，且m ﹣1≠0， 解得：m=﹣1， 函数解析式为y=﹣2x ， ∵k=﹣2＜0，∴该函数的图象经过第二、四象限．【总结升华】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握形如y=kx （k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数；正比例函数y=kx （k 是常数，k≠0），当k ＞0时，直线y=kx 依次经过第三、一象限，从左向右上升，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，直线y=kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y 随x 的增大而减小． 举一反三：【变式】已知正比例函数()21y t x =-的图象上一点（1x ，1y ），且1x 1y ＜0，那么t 的取值范围是（ ） A. t ＜12 B ．t ＞12 C ．t ＜12或t ＞12D ．不确定 【答案】A ；提示：因为1x 1y ＜0，所以该点的横、纵坐标异号，即图象经过二、四象限，则2t －1＜0，t ＜12． 类型三、正比例函数的应用4、已知正比例函数4y x =的图像上有一点P(x ,y )和一点A(6，0)，O 为坐标原点，且△PAO 的面积等于12，你能求出P 点坐标吗？【思路点拨】画出草图，可知三角形的底边长为|OA|＝6，高为P 点纵坐标的绝对值，利用面积等于12求解. 【答案与解析】解：依题意：1122PS OA y =⋅⋅=∵O （0，0），A （6，0）∴OA ＝6 ∴4,44p P P y y y ===-∴或41,(1,4)P y x P ==当时，此时；41,(1,4)P y x P =-=---当时，此时P 1414-综上：点的坐标为（，）或（-，）【总结升华】求点的坐标需要求点到坐标轴的垂线段的长，利用面积即可求出垂线段的长.附录资料：菱形（基础）=【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 【要点梳理】【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 知识要点】 要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF ⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．【答案】50；解：在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠CDO=∠AED=50°， CD=CB ，∠BCO=∠DCO ， ∴在△BCO 和△DCO 中，，∴△BCO ≌△DCO （SAS ）， ∴∠CBO=∠CDO=50°．【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 例1】【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )． A.21 B.4 C.1 D.2【答案】C ；提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1. 类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE ∥AC ，DF ∥BC 知四边形DECF 是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可． 【答案与解析】解：四边形DECF 是菱形，理由如下： ∵ DE ∥AC ，DF ∥BC∴ 四边形DECF 是平行四边形． ∵ CD 平分∠ACB ，∴ ∠1＝∠2 ∵ DF ∥BC ， ∴ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3． ∴ CF ＝DF ，∴ 四边形DECF 是菱形． 【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形． 举一反三：【变式】如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵ EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵ E、F分别为AB、CD的中点∴ DF＝12DC，BE＝12AB∴ DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴ DE∥BF(2)证明：∵ AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵ F为边CD的中点．∴ BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．。
【初中数学精品资料】第十四章第2节一次函数——正比例函数
年级初二学科数学版本人教新课标版课程标题第十四章第2节一次函数——正比例函数编稿老师陈孟伟一校李秀卿二校黄楠审核王百玲一、学习目标：1. 理解正比例函数的概念和性质，知道图象形状、位置与解析式系数的关系，会用待定系数法确定函数解析式，能运用函数知识解决一些实际问题；2. 通过学习，进一步体会数形结合的思想和分类讨论、化归、待定系数等数学思想。
二、重点、难点：重点：正比例函数的性质和解析式的确定。
难点：运用正比例函数解决实际问题。
三、考点分析：正比例函数是中考重点考查的内容之一，从近几年各地的中考试卷来看，试题类型比较全面，有填空题、选择题及解答题。
考查内容以图象为主，主要体现在以生活实际为背景，与生活实际相联系，具有浓厚的生活气息。
知识点一 正比例函数的定义例1：下列函数中，正比例函数有（ ）①3x y =-； ②18y x -=； ③28(18)y x x x =+-； ④18y x =+A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 思路分析：首先看每个函数解析式能否通过恒等变形，转化为y kx =的形式，若x 的次数是1，且0k ≠，则它是正比例函数。
解答过程：C 解题后的思考：判断一个函数是否为正比例函数，就是判断所给函数能否化成(0)y kx k =≠的形式。
例2：若函数2(1)1y k x k =++-是正比例函数，求k 的值。
思路分析：要使函数2(1)1y k x k =++-是正比例函数，k 需要满足条件21010k k +≠⎧⎨-=⎩。
解答过程：由于2(1)1y k x k =++-是正比例函数 ∴21010k k +≠⎧⎨-=⎩，解得1k =。
解题后的思考：在求k 的值时，易出现只考虑210k -=，求得1k =±，而忽略了正比例函数y kx =中的隐含条件0k ≠，即本题中的10k +≠。
小结：若一个函数为正比例函数，则必有比例系数0k ≠，且x 的次数为1，因此解析式形如m y kx n =+的函数是正比例函数的条件是010k m n ≠⎧⎪=⎨⎪=⎩。
《正比例函数》教案
《正比例函数》教案《正比例函数》教案《正比例函数》教案1教学要求：1、使学生认识正比例关系的意义，理解、掌握成正比例量的变化规律及其特征，能依据判断两种相关联的量成不成正比例关系。
2、进一步培养学生观察、分析、综合和概括等能力，让学生掌握判断两种相关联量成不成正比例关系的方法，培养学生判断、推理的能力。
教学重点：认识正比例关系的意义。
教学难点：掌握成正比例量的变化规律及其特征。
教学过程：一、复习铺垫1、说出下列每组数量之间的关系。
（1）速度时间路程（2）单价数量总价（3）工作效率工作时间工作总量2、引入新课。
上面是已经学过的一些常见数量关系，每组数量中，数量之间是有联系的，存在着相依关系。
当其中有一个量变化时，另一个量也随着变化，而且这种变化是有规律的，这节课开始，我们就来研究和认识这种变化规律。
今天，先认识正比例关系的意义。
（板书课题）二、教学新课1、教学例1。
出示例l。
让学生计算，在课本上填表，并思考能发现什么。
指名口答，老师板书填表。
让学生观察表里两种量变化的数据，思考：（1）表里有哪两种数量，这两种数量是怎样变化？（2）路程和时间相对应数值的比的比值各是多少？这两种量变化有什么规律？引导学生进行讨论，得出：（1）表里的两种量是所行时间和所行路程。
路程和时间是两种相关联的量，（板书：两种相关联的量）路程随着时间的变化而变化。
（2）时间扩大，路程也扩大；时间缩小，路程也缩小。
（3）可以看出它们的变化规律是：路程和时间比的比值总是一定的。
（板书：路程和时间比的比值一定）因为路程和时间对应数值比的比值都是50。
提问：这里比值50是什么数量？（谁能说出它的数量关系式？想一想，这个式子表示的是什么意思？(把上面板书补充成：速度一定时，路程和时间比的比值一定）2、教学例2。
出示例2和思考题。
要求学生按刚才学习例1的方法学习例2，然后把你学习中的发现综合起来告诉大家。
学生观察思考后，指名回答。
然后再提问：这两种相关联量的变化规律是什么？枝数比的比值一定)你是怎样发现的？比值1、6是什么数量，你能用数量关系式表示出来吗？谁来说说这个式子表示的意思？（把板书补充成c单价一定时，总价和枝数比的比值一定）3、概括。
第19章《 课时精讲1 正比例函数的概念》名师优秀教案
第19章第2单元正比例函数课时精讲一正比例函数的概念内容分析正比例函数是继“变量与函数〞单元之后学习的第一种函数，学生已经对变量、常量、函数等根本概念，函数的三种表示方法及函数图象的画法有了根本的认识正比例函数是初中数学中最根底、最简单的函数，这节课不仅要探究正比例函数的概念，还要向学生渗透研究函数的一般流程此外，正比例函数作为一次函数的特殊情况，是学习一次函数的根底，本课时教学过程的设置，符合学生的认知规律也充分表达了知识螺旋上升的特点，因此本节课起到承上启下的作用正比例函数是刻画现实世界变化规律的一个重要模型，表达了从常量数学向变量数学的转变；正比例函数也是代数中的“纽带〞，因为方程、不等式等都与函数知识有直接的联系；同时正比例函数在物理、化学等自然科学中也有着广泛的应用，因此本课时内容在初中数学中有着非常重要的地位学生分析学生在小学已经学习了比例的意义与性质，在这个根底上，学生很容易接受正比例的概念，接着从正比例关系过渡到正比例函数的学习然而，对于初次接触函数的学生而言，理解函数的意义是个难点，因此本节课在教学中力图向学生展示常见问题中的变量，及变量之间的对应关系，使学生对函数的定义有进一步的理解目标确定1理解正比例及正比例函数的意义2能根据正比例的意义判断两个变量之间是否成正比例关系3能识别正比例函数，根据条件求正比例函数解析式或比例系数重点难点重点：理解正比例和正比例函数的意义难点：判定两个变量之间是否存在正比例的关系评价设计“正比例函数的概念〞学习评价量表活动设计环节1 创设情境教师活动1 学生活动1引言：本节课开始，我们开始研究具体函数，初中阶段我们主要研究三类函数，分别是一次函数、二次函数、反比例函数在研究一个具体函数之前，我们先学习一下研究一般函数的流程研究一个函数，首先要研究它的定义，包括解析式中各字母的含义及自变量的取值范围、定义的结构特征、如何求一个函数的解析式；其次研究函数的图象及性质：函数的图象是什么？它分布在哪几个象限？函数图象特征由什么决定？再结合图象特征研究函数的性质，初中阶段主要研究函数的单调性、对称性〔关于轴对称、关于点对称〕及一些图象特学生思考，结合所学，先组内讨论交流，再由小组代表答复以下问题征〔如最值、渐近线、图象开口方向、大小、图象倾斜程度等〕本节课我们按照此流程研究正比例函数，首先请大家看下面这个实例结合生活实际，教师提出四个问题问题1：考虑以下问题：〔1〕乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时〔结果保存小数点后一位〕？〔2〕如果从小学学习过的比例观点看，列车在运行过程中，行程〔单位：m〕和运行时间t〔单位：h〕之间有什么关系？〔3〕如果从函数的观点看，京沪高铁列车的行程〔单位：m〕是运行时间t〔单位：h〕的函数吗？能写出这个函数的解析式，并写出自变量的取值范围吗？〔4〕乘京沪高铁列车从北京南站出发后，是否已经过了距始发站1100m的南京南站？活动意图说明从生活实际出发，以列车的行驶问题为背景，用4个小问题，逐步深入，不仅复习了小学时学过的比例关系，也复习了前一单元的函数关系，为进一步引出正比例函数做铺垫问题中的变量在数量关系上具有典型性，且是学生喜闻乐见的，比拟容易理解，通过从数学的角度研究这类问题让学生思考，可以激发学生的探究热情环节2 问题再现教师活动2 学生活动2问题2：以下问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式学生思考：学生根据题目中的数量关系列出表达式，结合之前学的函数的定义，即“对〔1〕圆的周长ι随半径r的变化而变化；〔2〕铁的密度为cm3，铁块的质量m〔单位：g〕随它的体积V〔单位：cm3〕的变化而变化；〔3〕每个练习本的厚度为，一些练习本摞在一起的总厚度h〔单位：cm〕随练习本的数量n〔单位：本〕的变化而变化；〔4〕冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体温度T〔单位：℃〕随冷冻时间t 〔单位：min〕的变化而变化问题探究：借助函数解析式：ι＝2πr，m＝，h＝，T＝－2t，探究以下问题〔1〕以上对应关系都是函数关系吗？其变量和常量分别是什么？进一步指出谁是自变量，谁是函数〔2〕认真观察自变量和常量是运用什么运算符号连接起来的这些常量可以取哪些值？〔3〕这4个函数表达式与问题1的函数表达式＝ 300t有何共同特征？请你用语言加以归纳〔4〕函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？学生讨论时，教师巡视并进行指导，学生答复完问题之后，教师要及时点评，多用一些鼓励性的语言任一自变量，有唯一确定函数值与之对应〞，判断是否满足函数关系（1）ι＝2πr；〔2〕m＝；〔3〕h＝；〔4〕T＝－2t学生探究：学生列出函数关系式之后，以小组为单位谈论，总结归纳，得出结论结论：〔1〕含有2个变量；〔2〕自变量的次数为1；〔3〕函数的次数为1；〔4〕等号的左边只有一个字母〔变量〕；〔5〕等号的右边是常数与自变量的乘积函数值与对应的自变量的值的比是一个常数活动意图说明环节3 形成概念教师活动3学生活动3教师设计问题串，引发学生思考 ，你能用数学式子表达吗？ 有何要求呢？为什么？3你能尝试给这类特殊函数下个定义吗？ 4这个函数表达式在形式上是一个单项式还是多项式？你能指出它的系数是什么？次数为多少？＝的自变量的取值范围是什么？这与问题1和问题2中的函数自变量的取值范围有何不同？与工成正比例函数？反之，＝〔为常数，≠0〕表示什么意义？＝中，关键是确定哪个量？比例系数一经确定，正比例函数确定了吗？怎样确定呢？待定系数法求比例系数：设、列、求、写1〔1〕ι＝r ；〔2〕m ＝V ； 〔3〕h ＝n ； 〔4〕T ＝t不能为0，如果为0，对于任意自变量，相应的函数值都是0，它代表的是轴，是常值函数，而不是正比例函数 3正比例函数的定义：一般地，形如＝〔 是常数，≠0〕的函数，叫做正比例函数，其中叫做比例系数 4结构特征：等式右边是一次单项式形式，系数是，次数为1的取值范围是全体实数不同之处在于前面问题中自变量的取值范围要符合实际情境6成正比例：正比例函数的函数值与对应的自变量的值的比值是一个非零常数＝中，关键是确定比例系数，通过给定一组满足条件的，的值，代人解析式＝〔为常数，≠0〕中，即可求出比例系数的值活动意图说明1思考栏目给出更多的实际问题，通过这些实际问题使学生逐步加深对函数概念的理解，也为导出正比例函数概念做好铺垫2有效的提问对于提高数学课堂教学效率非常重要，问题探究环节，通过4个问题的设置，引导学生通过观察、分析和归纳，发现正比例函数的特征，理解其解析式的特点从而为水到渠成地得到正比例函数的概念打根底，同时培养学生的观察、总结归纳能力3安排小组合作，一方面加强学生间的互动，活泼课堂气氛，另一方面突破教学重点教师通过设计一系列问题串，引导学生通过观察式子的结构特征，猜测出正比例函数的定义，并且通过追问，深入剖析正比例函数的意义，易于帮助学生突破难点环节4 辨析概念教师活动4 学生活动4的正比例函数吗？如果是，请你指出比例系数的值〔1〕＝－；〔2〕＝22；〔3〕2＝4；〔4〕＝－4＋3；〔5〕＝2〔－2〕＋22分析：判断是否是正比例函数，要根据函数的结构特征，－－次项系数不为0，次数为1注意要根据化简之后的结果判断之间的函数关系，并指出哪些是正比例函数〔1〕正方形的边长为 cm，周长为 cm；〔2〕某人一年内的月平均收入为工元，他这年〔12 个月〕的总收人为元；〔3〕－－个长方体的长为2 cm，宽为 cm，高为cm，体积为 cm33判断正误正确的打“√〞，错误的打“×〞〔1〕假设＝，那么是的正比例函数〔〕〔2〕假设＝22，那么是的正比例函数〔〕〔3〕假设＝2〔－1〕＋2，那么是的正比例函数〔〕〔4〕假设＝2〔－1〕，那么是－1的正比1根据正比例函数的概念，判断第1题，并写出比例系数〔1〕是，比例系数是－；〔5〕是，比例系数是22根据等量关系列式：〔1〕＝4，是正比例函数；〔2〕＝12，是正比例函数；〔3〕＝3，是正比例函数3〔1〕×〔2〕×〔3〕√〔4〕√例函数〔〕分析：第3题中，判断是不是正比例函数时，要强调在化简之后判断，比方〔3〕；而且要关注谁是自变量，即关于谁的函数，注意整体思想的应用，比方〔4〕活动意图说明及时的练习有利于学生稳固新知，反应学习效果，设计的题目由易到难，层层递进，易于学生接受，符合学生的认知水平，第1题，根据正比例函数的结构特征判断，排除不是正比例函数的选项，让学生正确认识怎样的函数是正比例函数，并会写出具体函数的比例系数第2题，通过建模列出式子，并判断是否是正比例函数，加深对正比例函数概念的认识第3题，定义变形，难度加大环节5 稳固练习活动意图说明通过练习，深化学生对正比例函数意义的理解，练习一方面考查学生根据定义求满足条件的参数的值；另一方面考查学生对待定系数法求解析式的应用，并标准解题过程环节6 课堂小结教师活动6 学生活动61教师和学生一起回忆本节课所学主要内容，并请学生答复以下问题你如何理解正比例函数的意义？能从哪几个方面去认识正比例函数？2思考：学习了正比例函数的定义后，接下来我们要研究什么？1在教师的引导下，回忆反思本节课所掌握的知识、技能、思想方法师生共同总结：〔1〕从语言描述看：函数关系式是常量与自变量的乘积〔2〕从结构特征看：①一般情况下＝〔常数≠0〕；②在特定条件下自变量可能不单独是了，要注意问题中自变量的变化〔3〕从结果形式看：函数表达式要化简后才能确认是否为正比例函数〔4〕从函数关系看：比例系数一确定，正比例函数就确定了；只需知道两个变量，的一对对应值即可确定（5）从方程角度看：如果三个量，，中其中两个量，那么一定可以求出第三个量2图象、性质、应用等活动意图说明引导学生把握研究问题的根本策略和方法，从不同角度理解同一问题，深入剖析正比例函数的概念，培养学生发散思维，加深学生理解通过思考题，引出研究函数的一般流程：实例一定义一图象一性质一应用，激发学生的学习兴趣和探究热情，为下一－课时研究正比例函数的图象和性质做铺垫板书设计正比例函数的概念1正比例函数定义：2结构特征：3典型例题：4归纳总结：5函数研究一般流程：练习诊断A级1以下函数中哪些是正比例函数？〔1〕；〔2〕〔3〕＝＋1；〔4〕＝2；〔5〕＝〔a2＋1〕〔a为常数〕；〔6〕＝2－〔－3〕2以下问题中，与成正比例函数关系的是〔〕，面积为B某地月租费为10元，通话收费标准为元/min，某月通话时间为min，该月通话费用为元C把10本书全部随意放入两个抽屉内，第一个抽屉放入本，第二个抽屉放入本D长方形的一边长为4，另一边长为，面积为3关于，以下说法正确的选项是〔〕是关于的正比例函数，比例系数为－2是关于的正比例函数，比例系数为－是关于＋3的正比例函数，比例系数为－2是关于＋3的正比例函数，比例系数为－B级1假设为正比例函数，那么m为＋2与－2成正比例，且当＝5时，＝之间的函数关系式＝〔m＋2〕＋|m|－2，当m为何值时，是的正比例函数？的正比例函数，当＝3时，＝－9，那么与之间的函数关系式为的正比例函数，试求的值，并指出正比例系数－2的正比例函数，当＝3时，＝－的函数关系式反思与改良本节课教学的主要任务是：理解正比例函数及正比例的意义；能根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系；会识别正比例函数，并能根据条件求正比例函数的解析式或比例系数由于本节课内容概念性强，所以教师借助学生熟悉的行程问题导入正比例函数的概念，学生易于接受教学环节设计，采取“创设情境一观察思考—形成概念一辨析概念一深化应用概念一归纳小结〞这样循序渐进的流程在教学设计时，注重了学生的模拟和尝试，同时重视教师的引导、指导和示范，如在概念形成时进行必要的板书，对关键之处的启发、点拨和讲解，有利于学生对概念的理解。
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19.2.1正比例函数（1）
学习目标：1、理解正比例函数的意义
2、掌握正比例函数的解析式的一般特点
3、根据已知条件写出正比例函数解析式
学习重点：正确理解正比例函数的概念
学习难点：函数关系式的确定
学习过程：
一、自主探究：
问题1：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km，设列车的平均速度为300km/h。
考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时？（结果保留小数点后一位）
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时后，是否已经超过了距始发站1100km的南京南站？
设计意图：从具体情境入手，使学生认识到数学与现实问题总是密不可分的，人们的需要产生了数学。
路程、速度与时间之间的关系学生较熟悉，当速度一定时，路程是时间的函数，用这些简单的实例不断从现实世界中抽象出数学模型，建立数学关系的方法。
问题2：完成书本86--87页思考：
设计意图：通过这些实际问题使学生进一步加深对函数概念的理解，也为导出函数概念做好铺垫。
二、合作探究：
活动1、探索新知
（1）认真观察上面的五个函数，你会发现这些函数都是_________和_________的
_______ 的形式。
（2）五个函数解析式用一个一般形式如何表达呢？
归纳：一般地，形如_________ （）函数，叫做正比例函数，其中k叫做________
活动2、自学检测
1）下列函数中哪些是正比例函数？在后面的括号里打“√”或“×”
(1) y=3x
( ) (2)y=x 3 ( ) (3)y=—x
21+1 ( ) (4)y=ax ( ) (5)y=x 2 ( ) (6)y=（a 2+1）x - 2 ( )
归纳总结正比例函数的三个特征：
① __________________
② __________________
③ __________________
设计意图：通过归纳、分析使学生明白正比例函数的特征、理解其解析式的特点
活动3、应用新知
1）若y=5x3m-2是正比例函数，m=__1____
2）若y=(m-2)xm2-3 是正比例函数，m= -2
已知y=（k+1）x+k2-1是正比例函数，求k 的值．
设计意图：使学生更深入的了解和应用正比例函数定义
活动4：例题解析
例：已知y 与x 成正比例，当x=4时，y=8，试求y 与x 的函数解析式
象这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做__________
练习：
若一个正比例函数的比例系数是4，则它的解析式是___________ 正比例函数y=kx 中，当x=2时，y=10，则它的解析式是___________ 已知y 与x －1成正比例，x=8时，y=6，写出y 与x 之间函数关系式，并分别求出x=4和x=-3时y 的值。
三：本课小结
问题:本节课学了哪些内容？你认为最重要的是什么？
设计意图：让学生参加小结并允许学生答案不同，可以增强学生学习的积极性和主动性，培养他们对所学知识的回顾思考习惯；通过小结也强调了本节课的重点，巩固了学习内容。