李雅普诺夫稳定性理论

.
说明：x 0 V ( x, t ) 0 系统维持等 能量水平运动，使 x(t; x0 , t0 ) 维持在非零 状态而不运行至原点。 定理4：若(1) V . ( x, t ) 正定； (2) V ( x, t ) 正定 则原点是不稳定的。 . 说明：V ( x, t ) 正定 能量函数随时间增 大， x(t; x0 , t0 ) 在xe 处发散。
几点说明： 1) V ( x, t ) 选取不唯一，但没有通用办法， V ( x, t ) . 选取不当，会导致 V ( x, t ) 不定的结果。 2) 这仅仅是充分条件。 . V ( x, t )--单调衰减(实际上是衰减振荡)
李氏第二法的步骤： 1) 构造一个 V ( x, t ) 二次型； . 2) 求 V ( .x, t ) ，并代入状态方程； 3) 判断 V ( x, t ) 的定号性； . V [ x(t ; x0 , t ), t ] 是否为零。 4) 判断非零情况下， 渐进稳定 李氏稳定 不稳定
3.大范围内渐进稳定性
对 x0 s( )
t

都有 lim x(t; x0 , t0 ) xe 0
初始条件扩展到整个空间，且是渐进稳定性。
s( ) ,
x xe大范围稳定
线性系统(严格)：如果它是渐进稳定的，必
是有大范围渐进稳定性(线性系统稳定性与初
始条件的大小无关)。 非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。
f x f ( xe ) T x
其中：
( x xe ) g ( x)
x xe
g ( x) --级数展开式中二阶以上各项之和)
f1 x f 1 T x f n x1 f1 x2 f n x2 f1 xn f n xn
第三章
李雅普诺夫稳定性理论
3.1 稳定性基本概念
3.2 李雅普诺夫意义下的稳定性
3.3 李雅普诺夫第一法
3.4 李雅普诺夫第二法 3.5 线性定常系统渐进稳定性判别法
教学要求： 1.正确理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义稳定 性概念 2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法 3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳 定性分析方法 重点内容： •李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造 •线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 •李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别
例3：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 .
x . 1 kx2 ( k 0) x 2 x1 . . 解：由于 x1 x 2 0 x1 x2 0
则原点是平衡状态 2 2 V ( x) 正（负）半定 设 V ( x) x1 kx2 . 则 V ( x) 2kx1 x2 2kx1 x2 0 故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。
3.平衡状态：

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xe 系统的平衡状态 e f ( xe , t ) 0 x n Ax a.线性系统 xR x
A非奇异： A奇异：
Axe 0 xe 0 Axe 0 有无穷多个 xe
b.非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe x
eg. x 1 x1
2 x1 x2 x x
令
3 2
1 0 x
xe 1 0

2 0 x
0 xe3 1

0 xe2 1
0
4.
孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的领域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。

当 与 t 0 无关 大范围一致渐进稳定。 必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态xe
有多小，只要 s( ) 4. 不稳定性：不管 ， 内由 x0 出发的轨迹超出 s( )以外，则称此 平衡状态是不稳定的。
线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。 非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局 发散的轨迹。至于是否趋 于无穷远 s( ) 域外是否存在其它平衡状态。 若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下 的稳定性。
故V 正半定。 ( x ) . 令 V ( x) 0 . x2 0, x1 0 即非零状态时， V ( x )不恒为零，则原点不稳 定即系统不稳定。 推论1
.
3.5 线性定常系统渐进稳定性判别法
1. 设系统状态方程为： .
A --非奇异矩阵 x Ax xe 0为唯一平衡状态。
x1 0 x2 0
则：
x1 0 , x2 0 V. ( x) 0 . 负半定 V ( x ) V ( x) 0 其它 . x1 0 令 V ( x) 0 只有全零解 x2 0
x0
非零状态时 V ( x ) 0
.
.
原点 xe 0 是渐进稳定，且是大范围 一致渐进稳定。 定理2

上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1
令
f2 fn
T
x x1 x2 xn
T
x x f ( xe )
f A T x
x xe
x x xe
则线性化系统方程为：
x Ax
结论： 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ，则非线 性系统在 xe 处是渐进稳定的，与 g ( x) 无关。 2) 若 Re(i ) 0 Re( j ) 0 i j 1,, n 则不稳定。 3) 若 Re(i ) 0，稳定性与 g ( x)有关，


说明：不存在 V ( x, t ) 0 ， x(t; x0 , t0 ) 0 经历能量等于恒定，但不维持在该状态。
.
定理3：若(1) V ( x, t ) 正定；
(2) V ( x, t ) 负半定； . (3) V [ x(t ; x0 , t ), t ] 在非零状态存 在恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳 定的。
研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统
正常工作的必要条件，是一个重要特征。 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡 状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢 复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡 状态继续工作。 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系 统状态方程解的收敛性，而与输入作用无 关。
2 1 2 2
.
试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。 解：
x1 0 令 . x2 0
x1 0 x2 0
原点是唯一平衡点
设 V ( x) x x . . . 则 V ( x) 2 x1 x1 2 x2 x 2
2 1 2 2
V ( x) 2( x x ) 定理1 . x 0 V ( x) 0 . . V ( x ) 负定 x 0 V ( x) 0 1)原点是渐进稳定的；
3.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
Ax x(0) x0 t 0 x
1）李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0
i 1,2, n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半 部。
2.
非线性系统的稳定性分析： 假定非线性系统在平衡状态附近可展 开成台劳级数，可用线性化系统的特征值 判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定 性。 设非线性系统状态方程： f ( x) f ( x) --非线性函数 x 在平衡状态 xe 0附近存在各阶偏导 数，于是：
.

线性系统不稳定 原点不稳定 非线性系统不一定 . V ( x, t ) 正定， V ( x, t ) 正半定， 推论 . 1：当 且V [ x(t ; x0 , t ), t ] 在非零状态不恒为零时,则 原点不稳定。 . 推论2：V ( x, t ) 正定， V ( x, t ) 正半定，若 . x 0 ，V ( x, t ) 0 ，则原点是李雅普诺夫 意义下稳定(同定理3)。
2 1 2 2 2
.
2)只有一个平衡状态，该系统是大范围渐 进稳定； 3)由于V(x)与t无关，又是大范围一致渐进稳 定。
例2：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
x x2 x 2 x1 x2
. 1
.
解：1)
x 1 0 . 令 x2 0
.
即原点是平衡状态。 . 2 2 2 设 V ( x) x1 x2 V ( x) 2 x2
则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
与 t 0 有关 时变：
定常系统： 与t 0无关，xe 是一致稳定的。 注意： －向量范数(表示空间距离) 欧几里得范数。
2.渐近稳定 1）是李氏意义下的稳定
x(t ; x0 , t0 ) xe 0 2）lim t
与t0无关 一致渐进稳定

令 V ( x, t ) . 0 若 x 0, V ( x, t ) 0 成立 若仅x 0, V ( x, t ) 0 成立
.
.
李氏意义 下稳定 渐进稳定
例1：已知非线性系统的状态方程为： .
x . 1 x2 x1 ( x x ) 2 2 x 2 x1 x2 ( x1 x2 )
经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，
奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非 线性系统)
1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定
性定理采用了状态向量来描述，适用于单 变量，线性，非线性，定常，时变，多变 量等系统。 应用：自适应，最优控制，非线性控制等。
定理1：若(1) V ( x, t ) 正定； . (2) V ( x, t ) 负定； 则原点是渐进稳定的。 . 说明： V ( x, t ) 负定 能量随时间连续单调 衰减。 定理2：若(1) V . ( x, t ) 正定； (2) V . ( x, t ) 负半定； (3) V [ x(t ; x0 , t ), t ] 在非零状态不 恒为零，则原点是渐进稳定的。
定理3
例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 . .
x1 x2 x 2 x1 x2 . . 解: x1 x 2 0 x1 x2 0 即 xe 0 . 2 2 2 设 V ( x) x1 x2 则 V ( x) 2 x2 . 可见V ( x) 与. x1 无关，故非零状态(如 x1 0 x2 . 0 )有 V ( x) 0 ，而对其余任意状态 有 V ( x) 0
主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程 的特征值 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧 来构造李氏函数
3.1 稳定性基本概念
1.自治系统：输入为0的系统 x =Ax+Bu(u=0)
=f(x,t)的解为 x(t; x0 , t0 ) 2.初态 x
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
V ( x) 设选取如下的正定二次型函数 为李氏函数 . T V ( x) x Px 将 x Ax 代入： 则：
g ( x) 0 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
3.4 李雅普诺夫第二法(直接法)
稳定性定理：
f ( x, t ) 设系统状态方程：x 其平衡状态满足 f (0, t ) 0 ，假定 状态空间原点作为平衡状态( xe 0)，并设 在原点领域存在 V ( x, t )对 x 的连续的一阶 偏导数。
3.2 李雅普诺夫意义下的稳定 1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另 一个实数 ( , t0 ) 0 满足
x0 xe ( , t0 )
的任意初始态 x0 出发的运动轨迹
x(t; x0 , t0 )，在t 都满足：
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0