科学和工程计算复习题2014
科学和工程计算复习题与答案
科学和工程计算基础复习题一、 填空题:1. :2. 计算机计费的主要依据有两项:一是使用要由算数运算的次数决定;二是占据存储器的空间,3. 用计算机进行数值计算时,4. ,则称该算法是5. 函数求值问题()x f y =的条件数定义为:)()())(()(x f x f x x f cond x C '==6. 单调减且有 下界 的数列一定存在极限; 单调增且有 上界 的数列一定存在极限. 7. 方程实根的存在唯一性定理:设],[)(b a C x f ∈且0)()(<b f a f ,则至少存在一点()b a ,∈ξ使()0=ξf .当()x f '在()b a ,,方程在[]b a ,内有唯一的实根.8. 函数()y x f ,在有界闭区域D 上对y 满足Lipschitz 条件,是指对于D 上的任意一对点()1,y x 和()2,y x 成立不等式:2121),(),(y y L y x f y x f -≤-.其中常数L 只依赖于区域D .9. 设n i R A i n n ,,2,1,, =∈⨯λ为其特征值,则称i ni A λρ≤≤=1max )(为矩阵A 的谱半径.10. 设1-A 存在,则称数A AA cond 1)(-=为矩阵A 的条件数,其中⋅是矩阵的算子范数. 11. 方程组f xB x +=,对于任意的初始向量()0x 和右端项f ,迭代法()()f x B x k k+=+1收敛的充分必要条件是选代矩阵B 的 谱半径1)(<B ρ. 12. 设被插函数()x f 在闭区间[]b a ,上n 阶导数连续,()()x fn 1+在开区间()b a ,上存在.若{}ni i x 0=为[]b a ,上的1+n 个互异插值节点,并记()()∏=+-=ni in x x x 01ω,则插值多项式()()()()()∑=++'-=nk k n k n k n x x x x x f x L 011ωω的余项为)()!1()()()()(1)1(x n f x L x f x R n x n n n +++=-=ωξ,其中),()(b a x x ∈=ξξ.13. 若函数组(){}[]b a C x n k k ,0⊂=ϕ满足⎩⎨⎧=≠≠=l k lk l k ,0,0),(ϕϕ k,l =0,1,2,…,n ,则称(){}nk k x 0=ϕ为正交函数序列. 14. 复化梯形求积公式⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=≈-=ban k n b f kh a f a f h f T dx x f 11)()(2)(2)()(,其余项为),(),(12)(2b a f h a b R nT∈''--=ηη15. 复化Simpson 求积公式⎰∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=≈-=-=ban k n k n b f kh a f h k a f a f h f S dx x f 1011)()2(2))12((4)(3)()(,其余项为),(),(180)()4(4b a f h a b R nS∈--=ηη16. 选互异节点n x x x ,,,10 为Gauss 点,则Gauss 型求积公式的代数精度为2n+1 .17. 如果给定方法的局部截断误差是()11++=p n h O T ,其中1≥p 为整数,则称该方法是 P 阶的或具有P 阶精度 .18. 微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响 数值解的稳定性和精度 ,给数值计算造成很大的实质性困难的现象. 19. 迭代序列{}[]b a x k k ,0⊂∞=终止准则通常采用11k k kx x x ε--<+，其中的0>ε为 相对误差20.二、 选择题1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ⨯==的充分条件? ( D )A. 矩阵A 的各阶顺序主子式均不为零;B. A 对称正定;C. A 严格对角占优;D. A 的行列式不为零.2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( B ) A.313n ; B. 323n ; C. 314n ; D. 334n .3. 对于任意的初始向是()0x和右端项f ,求解线性代数方程组的迭代法()()1k kx Bx f +=+收敛的充分必要条件是( A ). A.()1B ρ<; B. 1B <; C. ()det 0B ≠; D. B 严格对角占优.4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ⨯==的Gauss-Seidel 迭代法收敛的充分条件? ( C )A. A 为严格对角占优阵;B. A 为不可约弱对角占优阵;C. A 的行列式不为零;D. A 为对称正定阵.5. 设()[]2,f x C a b =，并记()2m a x a xbM f x ≤≤''=，则函数()f x 的过点()()()(),,,a f a b f b 的线性插值余项()1R x ,[],x a b ∀∈满足( A ). A. ()()2218M R x b a ≤-; B. ()()2218M R x b a <-; C. ()()2216M R x b a ≤-; D. ()()2216M R x b a <-.6. 设()n x ϕ是在区间[],a b 上带权()x ρ的首项系数非零的n 次正交多项式()1n ≥,则()n x ϕ的n 个根( A ).A. 都是单实根;B. 都是正根;C. 有非负的根;D. 存在重根7. Legendre 多项式是( )的正交多项式.( B )A. 区间[]1,1-上带权()x ρ=B. 区间[]1,1-上带权()1x ρ=;C. 区间[],-∞∞上带权()2x x e ρ-=; D. 区间[]0,1上带权()1x ρ=8. 离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的Gram 矩阵与( D )无关?A. 基函数(){}n k k x ϕ=; B. 自变量序列{}0mi i x =;C. 权数{}0mi i w =; D. 离散点的函数值{}0mi i y =. 9. Simpson 求积公式的余项是( B ).A. ()()()3,,12h R f f a b ηη''=-∈;B. ()()()()54,,90h R f f a b ηη=-∈; C. ()()()()2,,12h b a R f f a b ηη-''=-∈; D. ()()()()()44,,90h b a R f f a b ηη-=-∈ 10. n 个互异节点的Gauss 型求积公式具有( D )次代数精确度.A. n ;B. 1n +;C. 21n +;D. 21n -.11. 一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为( B ).A. ()O h ;B. ()2O h ;C. ()2o h ; D. ()32O h .12. 对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的精度( B ).A. 高; B, 低; C. 相同; D. 不可比.13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式是显式Euler 公式和隐式Euler 公式的( A ).A. 算术平均;B. 几何平均;C. 非等权平均;D. 和. 14. 当( B )时,求解(),0y y λλ'=<的显式Euler 方法是绝对稳定的. A. 11h λ-≤≤; B. 20h λ-≤≤; C. 01h λ≤≤; D. 22h λ-≤≤ 15. 求解(),0y y λλ'=<的经典R-K 公式的绝对稳定条件是( C ): A ．20h λ-≤≤; B.()2112h h λλ++≤;C.()()()2341123!4!h h h h λλλλ++++≤; D.()()22121211212h h h h λλλλ++≤-+.16. 在非线性方程的数值解法中,只要()()***1,()x x x ϕϕ'≠=,那么不管原迭代法()()1,0,1,2,k k x x k ϕ+==是否收敛,由它构成的Steffensen 迭代法的局部收敛的阶是( D )阶的.A. 1;B. 0;C. 2<;D. 2≥.17. 在非线性方程的数值解法中,Newton 迭代法的局部收敛的阶是( D )阶的. A. 1; B. 0; C. 2<; D. 2≥.18. 在非线性方程的数值解法中,离散Newton 迭代法的局部收敛的阶是( C )阶的.A. 1;B.C.; D. 2. 19. 在求解非线性方程时,迭代终止准则通常采用( A ),其中的0ε>为给定的相对误差容限. A.11k k kx x x ε--<+; B.1k k kx x x ε--<; C. 1k k x x ε--<; D.111k k k x x x ε---<+.20. 在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,是使线性方程组的( C ).A. 系数矩阵非奇异;B. 系数矩阵的行列式不等于零;C. 系数矩阵非奇异并良态;D. 系数矩阵可逆.三、 判断题1. 在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.( × )2. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接近的两个数相减;在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高.( √ ) 3. 用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.( × ) 4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。
《科学技术领域》15个常考计算题及答案
《科学技术领域》科学综合常考15个计算题题集后附答案1. 力学中的能量守恒问题一个质量为2kg的物体从高度为10m的平台自由落下，落地时速度为多少？若落地后物体与地面碰撞，恢复系数为0.8，求物体反弹后的速度及能达到的最大高度。
2. 电磁场中的电荷运动在匀强电场中，一个带电量为+2e的粒子从静止开始加速，经过时间t后获得速度v。
若电场强度为E，求粒子的加速度a及在时间t内移动的距离s。
3. 热力学中的理想气体一定量的理想气体在恒温条件下从体积V1膨胀到体积V2，若已知初始压强P1，求膨胀后的压强P2。
假设过程中气体不对外做功，也不从外界吸收热量。
4. 光学中的干涉现象在双缝干涉实验中，已知双缝间距为d，光源到双缝的距离为L1，双缝到屏幕的距离为L2，光源波长为λ。
求屏幕上相邻两条亮条纹之间的距离Δx。
5. 化学中的摩尔计算在标准状况下，将30g的CO和CO2混合气体通入足量的石灰水中，得到25g白色沉淀。
求混合气体中CO和CO2的质量各是多少？6. 电路中的功率问题一个电阻为R的用电器接在电压为U的电源上，消耗的电功率为P。
若将该用电器与一个阻值为R/2的电阻串联后接入同一电源，求此时用电器消耗的电功率P'。
7. 声学中的多普勒效应一辆汽车以速度v向静止的观察者驶来，汽车喇叭发出频率为f的声波。
求观察者听到— 1 —的声波频率f'。
（假设声速为c）8. 量子力学中的波函数一个粒子在一维无限深势阱中运动，势阱宽度为a。
求粒子的波函数ψ(x)及对应的能量本征值En。
9. 相对论中的质能关系一个质量为m的物体以速度v运动，求其动能Ek及总能量E。
（光速为c）10. 流体力学中的伯努利方程水在水平管道中流动，管道直径为D，流速为v，压强为P。
若管道某处突然缩小至直径为d，求缩小处的流速v'和压强P'。
11. 信号处理中的采样定理一个模拟信号的频率范围为0到fm，若要用数字信号完整表示该模拟信号，求最低采样频率fs。
《科学与工程计算方法》期末复习提纲
用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主 元？
高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程 组Ax=b有何不同？A要满足什么条件？
乔列斯基分解与LU分解相比，有什么特点？ 何谓向量范数？给出三种常用的向量范数 何谓矩阵范数？给出三种常用的矩阵范数
第6章 线性方程组的迭代解法
科学与工程计算方法 复习提纲
第1章 科学计算与Matlab
1.1 科学计算的意义 1.2 误差基础知识（了解）
1.2.1 误差的来源 1.2.2 误差度量 1.2.3 有效数字
列出科学计算中的误差的三个来源，并说 出截断误差与舍入误差的区别。
什么是绝对误差与相对误差？什么是近似 数的有效数字？它与绝对误差和相对误差 有何关系？
7.1 非线性方程求根的基本问题 （了解） 7.2 二分法 (掌握） 7.3 不动点迭代方法 （应用） 7.5 牛顿法 （应用） 7.6 割线法 （应用）
什么是不动点迭代法？不动点迭代法的收 敛条件是什么？
什么是牛顿迭代法？什么是割线法？
第8章 矩阵特征值与特征向量的计算
8.1 前言 （了解） 8.2 幂方法 （掌握）
8.2.1 乘幂法 8.2.2 反幂法
什么是乘幂法？它收敛到矩阵A的哪个特征 向量？
什么是反幂法？它收敛到矩阵A的哪个特征 向量？
在乘幂法和反幂法中，为什么每一步要讲 迭代向量规范化？
6.1 范数和条件数 （掌握）
6.1.1 向量范数和矩阵范数 6.1.2 扰动分析和条件数
6.2 基本迭代法 （应用）
6.2.1 雅可比迭代法 2 高斯-赛德尔迭代法
写出求解线性方程组Ax=b的迭代法的一般 形式
写出雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代的迭代 矩阵，它们有什么本质的区别？
2014年造价工程师《工程计价》考试真题及答案(完整)
2014年造价工程师建设工程计价考试真题及答案一.单项选择题（共72 题，每题1 分，每题的备选项中，只有一个最符合题意）1.根据世界银行对工程项目总建设成本的规定，下列费用应计入项目间接建设成本的是（）。
A.临时公共设施及场地的维持费B.建设保险和债券费C.开工试车费D.土地征购费2.关于设备及工器具购置费用，下列说法中正确的是（）。
A.它是由设备购置费和工具.器具及生活家居购置费组成B.它是固定资产投资中的消极部分C.在工业建设中，它占工程造价比重的增大意味着生产技术的进步D.在民用建设中，它占工程造价比重的增大意味着资本有机构成的提高3.已知国内制造厂生产某非标准设备所用材料费.加工费.辅助材料费.专用工具费.废品损失费共20 万元，外购配套件费3 万元，非标准设备设计费1 万元，包装费率1%，利润率为8%，若其他费用不考虑，则该设备的原价为（）。
A.25.82 万元B.25.85 万元C.26.09 万元D.29.09 万元4.根据我国现行建设安装工程费用项目组成的规定。
下列有关费用表述中不正确的是（）。
A.人工费是指支付给直接从事建筑安装工程施工作业的生产工人和附属生产单位工人的各项费用B.材料费中的材料单价有材料原价.材料运杂费.材料损耗费.采购及保管费五项组成C.材料费包含构成或计划构成永久工程一部分的工程设备费D.施工机具使用费包含仪器仪表使用费5.关于建筑安装工程费用中的规费，下列说法中正确的是（）。
A.规费是指有县级及以上有关权力部门规定必须缴纳或计取的费用B.规费包括工程排污费和住房公积金C.投标人赞投标报价时填写的规费可高于规定的标准D.社会保险费中包括建筑安装工程费一切险的投保费用6.下列关于建筑安装工程税金的计算公式中，正确的是（）。
A.应纳营业税=税前造价*综合税率（%）B.城市维护建设税应纳税额=计税营业额*使用税率C.教育费附加应纳税额=应纳营业税税额*3%D.地方教育附加应纳税额=应纳教育费附加额*当地规定的税率7.关于建设用地的取用及使用年限，下列说法中正确的是（）。
材料科学与工程基础期末考试复习解答题汇总 (2)
Be、Mg、Zn、Cd、 α-Ti 、 α -Co．
6 归纳总结3种典型金属结构（bcc、fcc 和hcp）的晶体学特点 （配位数、每个晶胞中的原子数、点阵常数、致密度和最近的 原子间距）。
体心立方（bcc）：8；2；a；0.68；
面心立方（fcc）: 12；4；a； 0.74；
密排六方（hcp）: 12；6；a，c，c/a =1.633；0.74；a
4 氧化镁与氯化钠具有相同的结构。已知Mg离子半径r1为 0.066nm，氧离子半径r2为0.140 nm。 镁的相对原子质量为 24.31；氧的相对原子质量为16.00。(1)求氧化镁的晶格常数? (2)求氧化镁的密度? (3) 求氧化镁的致密度?
5.628Ǻ
2.8148Ǻ
a
b
c
NaCl晶体的微观结构（a、b）及等 同点分布（c）
高分子材料，大分子内的原子之间结合为共价键，而大分子 与大分子之间的结合为物理键。
复合材料是由二种或二种以上的材料组合而成的物质，因而 其结合键非常复杂，不能一概而论。
3 比较键能大小和各种结合键的主要特点。
化学键能 >物理键能， 共价键能 ≥离子键能 > 金属键能 > 氢键能> 范氏键能 共价键中：叁键键能 > 双键键能 > 单键键能 金属键，由金属正离子和自由电子，靠库仑引力结合，电 子的共有化，无饱和性，无方向性； 离子键以离子为结合单元，无饱和性，无方向性； 共价键共用电子对，有饱和性，有方向性； 范德华力，原子或分子间偶极作用，无方向性，无饱和性； 氢键，分子间作用力，氢桥，有方向性和饱和性。
(1-0.3)/ (1-0.18) =0.8537=erf(0.60*10-3/2 (1.28χ10-11 t)1/2 ( 3分 )
天津大学工程与科学计算课后习题
(3)设线性方程组为
2x1 2x1
+ 2x2 − 5x2
= =
1 3
则解此方程组的Jacobi格式的敛散性为( )。
2. 判断题:(请在你认为正确的叙述后面的括号内打”√”，否则打”×”) (1) 若A为严格行对角占优阵，则求解线性方程组Ax = b的Jacobi迭代格式收
敛。
(2) 若A ∈ Rn×n是正定矩阵,则求解线性方程组Ax = b的Jacobi迭代格式收敛。 (3) SOR 迭代格式收敛的充分必要条件是ω ∈ (0, 2)。 (4) M ∈ Mn×n(R)是求解线性方程组Ax = b的Jacobi 迭代矩阵,若A是严格对角 占优的,则||M||∞ < 1; (5) 设线性方程组为Ax = b,若A是正定矩阵,则SOR迭代格式收敛.
0.001x1 + 2.000x2 + 3.000x3 = 1.000 −1.000x1 + 3.712x2 + 4.623x3 = 2.000 −2.000x1 + 1.072x2 + 5.643x3 = 3.000
(计算过程及结果均保留至小数点后第3位)
38 第一章 代数方程组的解法
当condA
请在你认为正确的叙述后面的括号内打否则打cotes系数只与n有关与区间长度无关用newtoncotes公式计算xdx的近似值时节点取的越多则精度越高当n为偶数时newtoncotes公式的代数精度至少等于求积节点的个数确定下列求积公式中的参数使其代数精度不小于二次并求出所得求积公式的代数精度xdxa0110第三章数值积分xdxafx1中的待定参数第二节第十二讲复化求积公式与romberg算法119式3214两端同乘以i1qhi1qhp1i1均为与h无关的常数则有2h逼近i的误差降低为一般地选取q为满足的正数由此得到序列im1m1h逼近i的误差由下面的定理给出定理321的截断误差由式3214给出则由式3215表示的im1m1m2其中am1此定理可以对m采用数学归纳法证明此处从略1h逐步加速去逼近的方法称为richardson外推算法
科学和工程计算复习题2014.
科学和工程计算基础复习题一、 填空题:1. :2. 计算机计费的主要依据有两间,主要由决定;二是占据存储器的空间,3. 用计算机进行数值计算时,4. ,则称该算法5. 函数求值问题()x f y =的条件数定义为:6. 单调减且有 的数列一定存在极限; 单调增且有 的数列一定存在极限. 7. 方程实根的存在唯一性定理:设 且 ,则至少存在一点()b a ,∈ξ使()0=ξf .当()x f '在()b a ,,方程在[]b a ,内有唯一的实根. 8. 函数()y x f ,在有界闭区域D 上对y 满足Lipschitz 条件,是指对于D 上的任意一对点()1,y x 和()2,y x 成立不等式: .其中常数L .9. 设n i R A i n n ,,2,1,, =∈⨯λ为其特征值,则称 为矩阵A 的谱半径. 10. 设1-A 存在,则称数 为矩阵A 的条件数,其中⋅是矩阵的算子范数.11. 方程组f x B x +=,对于任意的初始向量()0x 和右端项f ,迭代法()()f x B x k k+=+1收敛的充分必要条件是选代矩阵B 的 . 12. 设被插函数()x f 在闭区间[]b a ,上n 阶导数连续,()()x fn 1+在开区间()b a ,上存在.若{}ni i x 0=为[]b a ,上的1+n 个互异插值节点,并记()()∏=+-=ni in x x x 01ω,则插值多项式()()()()()∑=++'-=nk k nk n k n x x x x x f x L 011ωω的余项为 ,其中 .13. 若函数组(){}[]b a C x nk k ,0⊂=ϕ满足 ,则称(){}nk k x 0=ϕ为正交函数序列.14. 复化梯形求积公式 ,其余项为15. 复化Simpson 求积公式 ,其余项为 16. 选互异节点n x x x ,,,10 为Gauss 点,则Gauss 型求积公式的代数精度为 .17. 如果给定方法的局部截断误差是()11++=p n h O T ,其中1≥p 为整数,则称该方法是 .18. 微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响 ,给数值计算造成很大的实质性困难的现象. 19. 迭代序列{}[]b a x k k ,0⊂∞=终止准则通常采用 ,其中的0>ε20.二、 选择题1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ⨯==的充分条件? ( )A. 矩阵A 的各阶顺序主子式均不为零;B. A 对称正定;C. A 严格对角占优;D. A 的行列式不为零.2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( ) A. 313n ; B. 323n ; C. 314n ; D. 334n .3. 对于任意的初始向是()0x和右端项f ,求解线性代数方程组的迭代法()()1k kxBx f +=+收敛的充分必要条件是( ). A.()1B ρ<; B. 1B <; C. ()det 0B ≠; D. B 严格对角占优.4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ⨯==的Gauss-Seidel 迭代法收敛的充分条件? ( )A. A 为严格对角占优阵;B. A 为不可约弱对角占优阵;C. A 的行列式不为零;D. A 为对称正定阵. 5. 设()[]2,f x Ca b =，并记()2m a x a xbM f x ≤≤''=，则函数()f x 的过点()()()(),,,a f a b f b 的线性插值余项()1R x ,[],x a b ∀∈满足( ). A. ()()2218M R x b a ≤-; B. ()()2218M R x b a <-;C. ()()2216M R x b a ≤-; D. ()()2216M R x b a <-. 6. 设()n x ϕ是在区间[],a b 上带权()x ρ的首项系数非零的n 次正交多项式()1n ≥,则()n x ϕ的n 个根( ).A. 都是单实根;B. 都是正根;C. 有非负的根;D. 存在重根7. Legendre 多项式是( )的正交多项式.( )A. 区间[]1,1-上带权()x ρ=B. 区间[]1,1-上带权()1x ρ=;C. 区间[],-∞∞上带权()2x x e ρ-=; D. 区间[]0,1上带权()1x ρ=8. 离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的Gram 矩阵与( )无关?A. 基函数(){}n k k x ϕ=; B. 自变量序列{}0mi i x =;C. 权数{}0mi i w =; D. 离散点的函数值{}0mi i y =. 9. Simpson 求积公式的余项是( ).A. ()()()3,,12h R f f a b ηη''=-∈;B. ()()()()54,,90h R f f a b ηη=-∈; C. ()()()()2,,12h b a R f f a b ηη-''=-∈; D. ()()()()()44,,90h b a R f f a b ηη-=-∈ 10. n 个互异节点的Gauss 型求积公式具有( )次代数精确度.A. n ;B. 1n +;C. 21n +;D. 21n -. 11. 一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为( ).A. ()O h ;B. ()2O h ;C. ()2o h ; D. ()32O h .12. 对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的精度( ).A. 高; B, 低; C. 相同; D. 不可比.13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式是显式Euler 公式和隐式Euler 公式的( ).A. 算术平均;B. 几何平均;C. 非等权平均;D. 和. 14. 当( )时,求解(),0y y λλ'=<的显式Euler 方法是绝对稳定的. A. 11h λ-≤≤; B. 20h λ-≤≤; C. 01h λ≤≤; D. 22h λ-≤≤ 15. 求解(),0y y λλ'=<的经典R-K 公式的绝对稳定条件是( ): A ．20h λ-≤≤; B.()2112h h λλ++≤;C.()()()2341123!4!h h h h λλλλ++++≤; D.()()22121211212h h h h λλλλ++≤-+.16. 在非线性方程的数值解法中,只要()()***1,()x x x ϕϕ'≠=,那么不管原迭代法()()1,0,1,2,k k x x k ϕ+== 是否收敛,由它构成的Steffensen 迭代法的局部收敛的阶是( )阶的.A. 1;B. 0;C. 2<;D. 2≥.17. 在非线性方程的数值解法中,Newton 迭代法的局部收敛的阶是( )阶的. A. 1; B. 0; C. 2<; D. 2≥.18. 在非线性方程的数值解法中,离散Newton 迭代法的局部收敛的阶是( )阶的.A. 1;B.C.; D. 2. 19. 在求解非线性方程时,迭代终止准则通常采用( ),其中的0ε>为给定的相对误差容限. A.11k k kx x x ε--<+; B.1k k kx x x ε--<; C. 1k k x x ε--<; D.111k k k x x x ε---<+.20. 在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,是使线性方程组的( ).A. 系数矩阵非奇异;B. 系数矩阵的行列式不等于零;C. 系数矩阵非奇异并良态;D. 系数矩阵可逆.三、 判断题1. 在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.( )2. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接近的两个数相减;在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高.( ) 3. 用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.( ) 4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。
科学和工程计算复习题及答案
科学与工程计算基础复习题一、 填空题:1. 评价一个数值计算方法的好坏主要有两条标准:2. 计算机计费的主要依据有两项:一就是使用中央处理器(CPU)的时间,主要由算数运算的次数决定;二就是占据存储器的空间, 3. 用计算机进行数值计算时,4. 对于某个算法,若输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制,则称该算法就是5. 函数求值问题()x f y =的条件数定义为:)()())(()(x f x f x x f cond x C '==6. 单调减且有 下界 的数列一定存在极限; 单调增且有 上界 的数列一定存在极限、 7. 方程实根的存在唯一性定理:设],[)(b a C x f ∈且0)()(<b f a f ,则至少存在一点()b a ,∈ξ使()0=ξf 、当()x f '在()b a ,,方程在[]b a ,内有唯一的实根、8. 函数()y x f ,在有界闭区域D 上对y 满足Lipschitz 条件,就是指对于D 上的任意一对点()1,y x 与()2,y x 成立不等式:2121),(),(y y L y x f y x f -≤-、其中常数L 只依赖于区域D 、 9. 设n i RA i nn ,,2,1,,Λ=∈⨯λ为其特征值,则称i ni A λρ≤≤=1max )(为矩阵A 的谱半径、10. 设1-A 存在,则称数A A A cond 1)(-=为矩阵A 的条件数,其中⋅就是矩阵的算子范数、11. 方程组f x B x ρρρ+=,对于任意的初始向量()0x ρ与右端项f ρ,迭代法()()f x B xk k ρρρ+=+1收敛的充分必要条件就是选代矩阵B 的 谱半径1)(<B ρ、 12. 设被插函数()x f 在闭区间[]b a ,上n 阶导数连续,()()x fn 1+在开区间()b a ,上存在、若{}ni i x 0=为[]b a ,上的1+n 个互异插值节点,并记()()∏=+-=ni in x x x 01ω,则插值多项式()()()()()∑=++'-=nk k nk n k n x x x x x f x L 011ωω的余项为)()!1()()()()(1)1(x n f x L x f x R n x n n n +++=-=ωξ,其中),()(b a x x ∈=ξξ、13. 若函数组(){}[]b a C x n k k ,0⊂=ϕ满足⎩⎨⎧=≠≠=lk lk l k ,0,0),(ϕϕ k,l =0,1,2,…,n ,则称(){}nk k x 0=ϕ为正交函数序列、 14. 复化梯形求积公式⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=≈-=ban k n b f kh a f a f h f T dx x f 11)()(2)(2)()(,其余项为),(),(12)(2b a f h a b R nT∈''--=ηη15. 复化Simpson 求积公式⎰∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=≈-=-=ban k n k n b f kh a f h k a f a f h f S dx x f 1011)()2(2))12((4)(3)()(,其余项为),(),(180)()4(4b a f h a b R nS∈--=ηη16. 选互异节点n x x x ,,,10Λ为Gauss 点,则Gauss 型求积公式的代数精度为2n+1 、17. 如果给定方法的局部截断误差就是()11++=p n h O T ,其中1≥p 为整数,则称该方法就是P 阶的或具有P 阶精度 、18. 微分方程的刚性现象就是指快瞬态解严重影响 数值解的稳定性与精度 ,给数值计算造成很大的实质性困难的现象、 19. 迭代序列{}[]b a x k k ,0⊂∞=终止准则通常采用11k k kx x x ε--<+,其中的0>ε为 相对误差20.二、 选择题1、 下述哪个条件不就是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ⨯==的充分条件? ( D )A 、 矩阵A 的各阶顺序主子式均不为零;B 、 A 对称正定;C 、 A 严格对角占优;D 、 A 的行列式不为零、2、 高斯消去法的计算量就是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( B ) A 、313n ; B 、 323n ; C 、 314n ; D 、 334n 、 3、 对于任意的初始向就是()0x 与右端项f ,求解线性代数方程组的迭代法()()1k kxBx f+=+收敛的充分必要条件就是( A )、 A 、()1B ρ<; B 、 1B <; C 、 ()det 0B ≠; D 、 B 严格对角占优、4、 下述哪个条件不就是能使求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ⨯==的Gauss-Seidel 迭代法收敛的充分条件? ( C )A 、 A 为严格对角占优阵;B 、 A 为不可约弱对角占优阵;C 、 A 的行列式不为零;D 、 A 为对称正定阵、5、 设()[]2,f x C a b =,并记()2max a x bM f x ≤≤''=,则函数()f x 的过点()()()(),,,a f a b f b 的线性插值余项()1R x ,[],x a b ∀∈满足( A )、A 、 ()()2218M R x b a ≤-; B 、 ()()2218M R x b a <-; C 、 ()()2216M R x b a ≤-; D 、 ()()2216M R x b a <-、6、 设()n x ϕ就是在区间[],a b 上带权()x ρ的首项系数非零的n 次正交多项式()1n ≥,则()n x ϕ的n 个根( A )、A 、 都就是单实根;B 、 都就是正根;C 、 有非负的根;D 、 存在重根7、 Legendre 多项式就是( )的正交多项式、( B )A 、 区间[]1,1-上带权()x ρ=B 、 区间[]1,1-上带权()1x ρ=;C 、 区间[],-∞∞上带权()2x x e ρ-=; D 、 区间[]0,1上带权()1x ρ=8、 离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的Gram 矩阵与( D )无关?A 、 基函数(){}n k k x ϕ=; B 、 自变量序列{}0mi i x =;C 、 权数{}0mi i w =; D 、 离散点的函数值{}0mi i y =、 9、 Simpson 求积公式的余项就是( B )、A 、 ()()()3,,12h R f f a b ηη''=-∈;B 、 ()()()()54,,90h R f f a b ηη=-∈; C 、 ()()()()2,,12h b a R f f a b ηη-''=-∈; D 、 ()()()()()44,,90h b a R f f a b ηη-=-∈ 10、 n 个互异节点的Gauss 型求积公式具有( D )次代数精确度、A 、 n ;B 、 1n +;C 、 21n +;D 、 21n -、 11、 一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为( B )、 A 、 ()O h ; B 、 ()2O h; C 、 ()2o h ; D 、 ()32O h 、12、 对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的精度( B )、A 、 高; B, 低; C 、 相同; D 、 不可比、13、 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式就是显式Euler 公式与隐式Euler 公式的( A )、A 、 算术平均;B 、 几何平均;C 、 非等权平均;D 、 与、 14、 当( B )时,求解(),0y y λλ'=<的显式Euler 方法就是绝对稳定的、 A 、 11h λ-≤≤; B 、 20h λ-≤≤; C 、 01h λ≤≤; D 、 22h λ-≤≤ 15、 求解(),0y y λλ'=<的经典R-K 公式的绝对稳定条件就是( C ): A.20h λ-≤≤; B 、()2112h h λλ++≤;C 、()()()2341123!4!h h h h λλλλ++++≤; D 、()()22121211212h h h h λλλλ++≤-+、16、 在非线性方程的数值解法中,只要()()***1,()x x x ϕϕ'≠=,那么不管原迭代法()()1,0,1,2,k k x x k ϕ+==L 就是否收敛,由它构成的Steffensen 迭代法的局部收敛的阶就是( D )阶的、A 、 1;B 、 0;C 、 2<;D 、 2≥、17、 在非线性方程的数值解法中,Newton 迭代法的局部收敛的阶就是( D )阶的、 A 、 1; B 、 0; C 、 2<; D 、 2≥、18、 在非线性方程的数值解法中,离散Newton 迭代法的局部收敛的阶就是( C )阶的、A 、 1;B 、;C 、12; D 、 2、 19、 在求解非线性方程时,迭代终止准则通常采用( A ),其中的0ε>为给定的相对误差容限、A 、 11k k k x x x ε--<+;B 、 1k k k x x x ε--<;C 、 1k k x x ε--<;D 、 111k k k x x x ε---<+、20、 在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,就是使线性方程组的( C )、 A 、 系数矩阵非奇异; B 、 系数矩阵的行列式不等于零; C 、 系数矩阵非奇异并良态; D 、 系数矩阵可逆、三、 判断题1. 在用计算机求数学问题的数值解就就是构造算法的构造问题、( × )2. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接近的两个数相减;在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高、( √ ) 3. 用计算机作加减法时,交换律与结合律成立、( × ) 4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。
2014科学计数法专题练习Office Word 97 - 2003 文档
科学计数法1、（德阳市2013年）已知空气的单位体积质量为1.24×10－3克/厘米3，将1.24×10－3用小数表示为A: 0. 000124 B．0.0124 C.一0.00124 D、0.001242、（2013达州）某中学在芦山地震捐款活动中，共捐款二十一万三千元。
这一数据用科学记数法表示为（）A．元 B．元 C．元 D．元3、（2013年潍坊市）2012年，我国财政性教育经费支出实现了占国内生产总值比例达4%的目标.其中在促进义务教育均衡发展方面，安排义务教育教育经费保障教育机制改革资金达865.4亿元.数据“865.4亿元”用科学记数法可表示为（）元.A. B. C. D.4、（绵阳市2013年）2013年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为（）A．1.2×10-9米 B．1.2×10-8米 C．12×10-8米 D．1.2×10-7米5、（1-5近似数、有效数字和科学记数法·2013东营中考）国家卫生和计划生育委员会公布H7N9禽流感病毒直径约为0.0000001m，则病毒直径0.0000001m用科学记数法表示为（）（保留两位有效数字）．A. mB. mC. mD. m7、（2013•天津）中国园林网4月22日消息：为建设生态滨海，2013年天津滨海新区将完成城市绿化面积共8210 000m2，将8210 000用科学记数法表示应为（ ） A．821×102B．82.1×105C．8.21×106D．0.821×10729、（2013聊城）PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A．0.25×10﹣5 B．0.25×10﹣6 C．2.5×10﹣5 D．2.5×10﹣6 31、（2013• 德州）森林是地球之肺，每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物．28.3亿吨用科学记数法表示为（ ） A．28.3×107B．2.83×108C．0.283×1010D．2.83×10940、（2013•恩施州）今年参加恩施州初中毕业学业考试的考试约有39360人，请将数39360用科学记数法表示为（保留三位有效数字）（ ） A．3.93×104B．3.94×104C．0.39×105D．394×10256、（2013凉山州）截止5月初，受H7N9禽流感的影响，家禽养殖业遭受了巨大的冲击，最新数据显示，损失已超过400亿元，用科学记数法表示为元．57、（2013•遂宁）我国南海海域的面积约为3600000km2，该面积用科学记数法应表示为 km2．。
科学与工程计算平时作业题及答案
第1个作业：（牛顿迭代法和斯蒂芬森加速法求非线性方程的根）使用牛顿迭代法和斯蒂芬森（Steffensen ）加速法求解x^5+x=1在1附近的根，要求精确到10^(-6),输出每步的全部中间结果。
解：一、牛顿迭代法：（1）算法说明牛顿法本质上是一种切线法，它从一端向一个方向逼近方程的根，其递推公式为：1()'()n n n n f x x x f x +=- 初始值可以取'()f a 和'()f b 中较大者，这样可以加快收敛速度。
（2）m 文件程序function root=NewtonRoot(f,a,b,eps)if (nargin==3)eps=1.0e-6;endf1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);if (f1==0)root=a;endif (f2==0)root=b;endif (f1*f2>0)disp('两端点函数值乘积大于0！');return ;elsetol=1;fun=diff(sym(f));fa=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);fb=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);dfa=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),a);dfb=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),b);if (dfa>dfb)root=a-fa/dfa;elseroot=b-fb/dfb;endwhile (tol>eps)r1=root;fx=subs(sym(f),findsym(sym(f)),r1);dfx=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),r1);root=r1-fx/dfxtol=abs(root-r1)endend（3）输入程序r=NewtonRoot('x^5+x-1',0,1)（4）输出结果root =0.7644tol =0.0690root =0.7550tol =0.0094root =0.7549tol =1.4717e-004root =0.7549tol =3.5523e-008r =0.7549二、Steffensen 加速法（1）算法说明Steffensen 加速法是弦截法的一种变形，它的递推公式为：111111()()(())()k k k k k k k f x x x f x f x f x f x ------=-+-， 且有 1()()(())()f a x a f a f a f a f a =-+- Steffensen 法的收敛速度也很快。
现代科学工程计算基础复习题
-1 4/3
÷ ÷÷ø
(2)由于矩阵 A 满足不可约弱对角占优,所以对任意初始 x(0), 由 A 形成的 Jacobi 迭代式和 Gauss-seidel 迭代式都
> 9,
二分 9 次即可.
(3)
根据 Newton 迭代公式 xn+1
=
xn
-
f (xn ) f ¢(xn )
可得递推公式
xn+1
=
xn
-
xn3 - 3xn -1 3xn2 - 3
取 x0=1.4, x1=2.6,x2=2.15, 所以 x*»x2=2.15
或
xn+1
=
2 xn 3 3( xn 2
+1 -1)
0 0
2/3 1/ 3
1 0
1 0
÷ ÷÷ø
®
ç ççè
0 0
2/3 0
1 -1 / 2
1 -1 /
2
÷ ÷÷ø
®
ç ççè
0 0
1 0
0 1
0 1
÷ ÷÷ø
æ1 2 3ö æ 1
ö æ u11 u12 u13 ö
(2)矩阵
A
的
Doolittle
分解(LU
分解),设
ç ç
2
3
4
÷ ÷
=
ç ç
l21
1
xk +1
=
xk
-
xk3 - 3xk + 1 3( xk 2 - 1)
=
2 xk 3 3( xk 2
-1 - 1)
取 x0=1.5, x1=1.533, x2=1.532, 因为 |x2-x1|=0.001<e, 所以 x*»x2=1.53
(完整版)2014年高等工程数学真题完整版
华中科技大学研究生课程考试试卷课程名称： 课程类别考核形式学生类别______________考试日期______________学生所在院系_______________ 学号__________________姓名__________________任课教师___________________ 一、填空题（任选10小题，每小题2分，共计20分，多答不加分。
）1. 设33}{⨯=ij A A 的最小多项式为)3)(2)(1()(---=λλλλA m 则与A 相似的对角阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B . 2. 设矩阵n n C A ⨯∈满足等式：I A A 22=+，问A 是否可对角化_________. 3. 矩阵的谱半径是指________________________.4. 矩阵特征值的根空间维数等于_____________________________.5. 对任何非奇异矩阵A ，都有p A cond ）（ 1，当A 为正交矩阵时2）（A cond =___.6. 已知 9923606797742.=5，则其近似值2.23607有________位有效数字，通过四舍五入得到其有四位有效数字的近似值为___________.7. 已知14223+-=x x x f )(，则=],,,[3210f ___________，=],,,,[43210f __________. 8. 当n 为奇数时，等距节点的插值型)(C N -求积公式∑=-=ni i i n x f C a b I 1)()(至少有____次代数精度.9. )()(32-+=x x x λϕ，要使迭代法)(k k x x ϕ=+1局部收敛到3=*x ，则λ的取值范围是_____________.10. 试写出方程03=-=a x x f )(的牛顿迭代格式__________________.11. 设),,(n X X 1为),(~10N X 的样本，)()()(n X X X ≤≤≤ 21为次序统计量，则~)()()(22221n X X X +++ ____________.研究生 2014-12-16 应用高等工程数学12. 给出点估计评价的三个标准_________.13. 给出假设检验中显著性水平α与统计假设0H 的关系________.14. 设),,(n X X 1为),(~2σμN X 的样本，μ未知，2σ已知，μ的置信水平为α-1的双侧区间估计为___________.15. 使用方差分析时对数据的要求是_______.二、计算证明题（任选4题，每小题10分，满分40分，多答不加分。
科学工程计算_习题答案
1. 3 40.510-⨯（或0.00005） 2. 4 3. 22sin 1(或2sin 21cos 2+4. 55. 2537623x x +- 4x 6. 是 7. 1 1/2 8.13 59. ()1B ρ<(或答B 的谱半径小于1) 10. 发散 11.线性(或1阶)3312217217()33k k k k k kx x x x x x +-+=-或 12. 2 2()O h 1. × 2. × 3.√ 4. √ 5. ×34()122(1)(1)(2)3N x x x x x =++-+-----2分N(1.5)=5---2分2、建立法方程组42122 1.2 6.68a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭--------10分 解得a=1.3 b=3.4 ------4分 Y=1.3+3.4x---------1分3.11110.5(1)(40.25(11)4k k k k k k k k k k y y x y y y x y x y ++++=+⋅+---------⎧⎨=++-++----⎩分）（分）1 1.6250.6250.5(3)k k k y y x +=+-----分12(0.5)0.5(2);(1)1(2)y y y y ≈=-------≈=---------分分4. 12341242621123121363321119212312122332147(9,5,3,1)(0.5,2,3,1)TTA y y LY b y y Y UX Y X ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-==-求解即得求解得 5.022:101 --4 00---2220()01---2J J J Jacobi B I B B Jacobi λλρ-⎛⎫⎪=-=⇒= ⎪⎪⎝⎭∴=<∴分分迭代法收敛分1-112100022:()110 - =(D-L)02144210862202100286()21--G G G G S D L B U I B B G S λλλλλλρ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭--=-=⇒==-±-+∴=+∴-分分迭代法发散2分6.021233345514,33()1,,11()0,0332(),3A A a A af x x x f x x a a a a f x x a a=======⨯-⨯===时等式均成立时，左边右边2时左边=，右边5 7.47(4)24;2(2)24(2)617.3321 (1)15()(1)168150.0416718016n h hS f x x R -==--------=⋅+⋅--=--=-----≈⋅≈---分分分分(2)分 8. 令1y'= y a b x'=+--------------------（2分） 建立法方程组：27199274b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭------------------（3分）解得： 3.23496250.9379699a b ==--------（2分）9. 1011210101L ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭---（2分） 1020101212U ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭-----（2分） ,Ly b Ux y ==，(5,3,6,4)T y =---（2分）(1,1,2,2)T x =---（2分）10.Jacobi 方法：1002/3()001/211/20J B D L U -⎛⎫ ⎪=+=- ⎪ ⎪-⎝⎭-----(2分)120,,()1J B λλρ===<-------（2分） Gauss-Seidel 方法：1002/3()001/20011/12J B D L U --⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭-----(2分)120,11/12,()11/121J B λλρ===<------（2分）Gauss-Seidel 方法快-----------------------(1分)11.123423421()(()())(4()()3())2411()()()()()23!1111()[()()()()()]2223!1 [4(()()42n n n n n n n n n n n n n n n n n n hT y x h y x y x h y x h y x y x h y x hy x h y x h y x O h y x y x hy x h y x h y x O h h y x hy x h +'''=+-+--+-+-''''''=++++''''''---+-+''''''-++32334()())()13(()()()())]25()()8n n n n n n y x O h y x y x hy x h y x O h h y x O h '+-+''''''-++'''=-+------（6分）其中，写出Tn+12分；写出泰勒展开式2分；计算合并给出结果2分；故方法是二阶的，局部截断误差的主项为35()8n h y x '''-----(3分)12.、证：Jacobi 迭代矩阵为1211121220a a B a a ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，其谱半径为1()B ρ= 而G-S 迭代矩阵为121121221112200a a B a a a a ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其谱半径为122121122().a a B a a ρ=显然1()B ρ与2()B ρ同时小于1、等于或大于1，因而雅可比和高斯－赛德尔法具有相同的敛散性。
《科学与工程计算基础》总复习
总复习一、有效数字与误差界（1）两数和、差、积的绝对误差与相对误差公式如下：)(21a a ±δ≤1a δ+2a δ，)(21a a r ±δ≤2121a a a a ±+δδ+)(21a a δ≤12a a δ+21a a δ，)(21a a r δ≤1a r δ+2a r δ（2）函数值的相对误差公式对一元函数)(x f y =，若x 有绝对误差x δ，则)(x f 有绝对误差 )(x f δ=)(x f 'x δ， 从而相对误差为：)(x f r δ=)()(x f x f 'x δ例1 设1a =1.21，2a =3.65，3a =9.81均为有效数字，试求1a -2a ，1a +2a +3a ，1a 2a +3a 的相对误差.解：因1a ，2a ，3a 均为有效数字，故1a δ≤21021-⨯，1a r δ=11a a δ≤21021.15.0-⨯， 2a δ≤21021-⨯，2a r δ=22a a δ≤21065.35.0-⨯ 3a δ≤21021-⨯，3a r δ=23a a δ≤21065.35.0-⨯ 从而)(21a a r -δ≤2121a a a a ±+δδ=0.4098210-⨯)(321a a a r ++δ≤321321a a a a a ++++δδδ=0.1022210-⨯)(21a a δ≤12a a δ+21a a δ，)(21a a r δ≤1a r δ+2a r δ≤21021-⨯+21021-⨯)(321a a a r +δ≤321321)(a a a a a a ++δδ≤81.965.321.1105.032+⨯⨯⨯-=0.1054210-⨯例2 设计算球体积允许其相对误差限为1％，问测量球半径的相对误差限最大为多少？ 解：记球的半径为R ，体积为V ，则V r δ≤1％.由公式：V =334R π，得到V '=24R πV r δ=VV 'R δ=32344R R ππR δ=3R R δ≤1％⇒R R δ≤31％=0.33％. 二、线性方程组的追赶法及迭代的收敛性1. 追赶法对一个三对角矩阵（33⨯阶）A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3322211b a c b a c b 如果我们要将它分解成一个单位下三角阵与一个上三角矩阵的积，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3322211b ac b a c b =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11132l l ⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32211u d u d u =L ⨯U 则系数2132132,,,,,,d d u u u l l 满足如下关系：1d =1c ，2d =2c 1u =1b ；2l =12u a ；2u =2b -2l 1c ；3l =23u a ；3u =3b -3l 2c 例3 用追赶法求解线性方程组，并写出矩阵L 和U .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----113210*********x x x 解：设A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----210121012，L =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11132l l ，U =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32211u d u d u ，b =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-113 因1b =2b =3b =2，1a =2a =1c =2c =-1，由追赶法得 1d =2d =-1，1u =2，2l =12u a =21-，2u =2b -2l 1c =2-)1(21-⨯-=23，3l =23u a =231-=32- 3u =3b -3l 2c =2-)1(32-⨯-=34即L =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1321211，U=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3412312由L y =b ⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3211321211y y y =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-113⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321y y y =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡34213由U x =y ⇒⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3412312⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡34213⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1122. 关于迭代的收敛性问题对迭代格式f Bx x k k +=+)()1( 则（1）上述迭代格式产生的向量序列收敛于方程组f Bx x +=的精确解*x 的充要条件是迭代矩阵B 的谱半径1)(<B ρ利用性质B B ≤)(ρ，可以得到收敛的一个充分条件是：（2） 若有1<B ，则由上述迭代格式产生的向量序列收敛于方程组f Bx x +=的精确解*x且有误差估计式：)1()(*)(1---≤-k k k x x BB x x 及)0()(*)(1x x BBx x k kk --≤-记*)(x x e k k -=，)0()(0x x e k -=，上式可以写成01e BBe kk -≤或者BBe e kk -≤10从中可以求出满足一定精度所需的迭代次数.例 4 设*x 表示线性方程组b Ax =精确解，现用迭代格式f Bx x k k +=+)()1(进行求解，其中8.0)(=B ρ，记误差向量*)(x x e k k -=，如果要求计算精度达到6010-≤e e k，试估计大约需要进行多少次迭代. 解：要使6010-≤e e k，因BBe e kk -≤10及)(B ρB ≤将B 近似地用谱半径)(B ρ代替则如果)(1)(B B kρρ-610-≤，那么6010-≤e e k .由)(1)(B B kρρ-610-≤得到 k )8.0(610)8.01(-⨯-≤算得k ≥70.即至少需要70次迭代才能满足要求.例5 设有线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111211111112321x x x 试证明：在迭代求解时，用-J 迭代发散，而用-GS 迭代收敛。
计算机在材料科学与工程中的应用题集
计算机在材料科学与工程中的应用题集一、选择题1. 在材料科学中，正交实验设计主要用于：A. 预测材料性能B. 单一变量研究C. 复杂系统建模D. 多因素交互作用分析答案: D. 多因素交互作用分析2. 正交表在正交实验设计中的主要作用是：A. 确定实验次数B. 预测实验结果C. 安排实验因素水平D. 评估实验误差答案: C. 安排实验因素水平3. 下列哪项不是正交实验设计的优点？A. 减少实验次数B. 提高实验效率C. 精确控制单一变量D. 便于分析多因素交互效应答案: C. 精确控制单一变量（正交实验设计主要关注多因素交互，而非单一变量）4. 在使用正交实验设计软件时，首先需要：A. 设定实验结果预期B. 确定实验因素及水平C. 分析历史数据D. 选择合适的正交表答案: B. 确定实验因素及水平5. 正交实验设计中的“水平”指的是：A. 实验的重复次数B. 实验因素的不同取值C. 实验结果的精确度D. 实验设备的型号答案: B. 实验因素的不同取值6. 下列哪项是分析正交实验结果时常用的方法？A. 方差分析B. 回归分析C. 因子分析D. 以上都是答案: D. 以上都是7. 正交实验设计能够有效减少实验次数，主要是因为：A. 减少了实验误差B. 简化了实验流程C. 利用正交表合理安排实验D. 提高了实验结果的可靠性答案: C. 利用正交表合理安排实验8. 正交实验设计中，如果某个因素有3个水平，另一个因素有2个水平，那么至少需要进行的实验次数是：A. 2B. 3C. 5D. 6答案: D. 6（正交表的选择会基于各因素的最大水平数，通常需要选择能容纳所有因素及其水平的最小正交表）9. 在分析正交实验结果时，如果某个因素的极差（Range）最大，说明：A. 该因素对实验结果影响最小B. 该因素对实验结果影响最大C. 该因素与其他因素无交互作用D. 实验结果完全由该因素决定答案: B. 该因素对实验结果影响最大10. 正交实验设计的结果分析不包括以下哪项内容？A. 计算各因素的极差B. 绘制因素与指标的关系图C. 预测未来实验结果D. 分析多因素间的交互作用答案: C. 预测未来实验结果（正交实验设计主要用于分析现有实验数据，而非预测未来结果）11. 在选择正交表时，以下哪个因素不是主要考虑的？A. 实验因素的数量B. 各因素的水平数C. 实验结果的精确度要求D. 实验人员的个人喜好答案: D. 实验人员的个人喜好（正交表的选择应基于实验设计的科学性和统计要求）12. 正交实验设计在材料改性研究中，常用于：A. 确定最佳改性条件B. 评估改性材料的市场价值C. 预测改性材料的寿命D. 分析改性材料的微观结构答案: A. 确定最佳改性条件13. 当正交实验设计的结果显示两个因素之间存在显著的交互作用时，应进一步：A. 忽略该交互作用B. 仅分析其中一个因素C. 进行交互作用图的绘制与分析D. 增加实验次数以确认结果答案: C. 进行交互作用图的绘制与分析14. 在材料科学研究中，采用正交实验设计后，通常需要进一步进行：A. 重复实验验证B. 单一变量补充实验C. 数据拟合分析D. 以上都是答案: D. 以上都是15. 在材料力学分析中，用于模拟复杂应力状态下材料行为的常用数值方法是？A. 有限元法B. 有限差分法C. 蒙特卡洛模拟D. 分子动力学模拟答案: A. 有限元法16. 哪种软件常用于材料科学中的三维结构模拟与优化？A. MATLABB. SolidWorksC. COMSOL MultiphysicsD. Autodesk Inventor答案: C. COMSOL Multiphysics17. 在进行材料断裂力学分析时，主要关注的是哪个参数？A. 弹性模量B. 应力强度因子C. 泊松比D. 屈服强度答案: B. 应力强度因子18. 下列哪项技术可用于预测材料在极端条件下的性能变化？A. 密度泛函理论B. X射线衍射分析C. 分子动力学模拟D. 扫描电子显微镜答案: C. 分子动力学模拟19. 在材料结构分析中，哪种方法能够直接观察材料的内部微观结构？A. 有限元分析B. 透射电子显微镜C. 数值模拟D. 红外光谱分析答案: B. 透射电子显微镜20. 材料科学中，用于模拟材料在加载条件下应力分布的软件通常是？A. AutoCADB. ANSYSC. OriginD. SPSS答案: B. ANSYS21. 哪种分析技术可以评估复合材料中各组分间的界面结合强度？A. 纳米压痕测试B. 扫描隧道显微镜C. 微观力学模型D. 拉曼光谱分析答案: C. 微观力学模型22. 在材料疲劳分析中，为了评估材料的寿命，常用的方法是？A. 应力-应变曲线分析B. 疲劳裂纹扩展速率测试C. 硬度测试D. 热重分析答案: B. 疲劳裂纹扩展速率测试23. 下列哪个软件常用于材料的相图计算和热力学模拟？A. MATLABB. Thermo-CalcC. SolidWorksD. Gaussian答案: B. Thermo-Calc24. 在进行材料的热应力分析时，主要考虑的是材料的哪项性质？A. 导热系数B. 弹性模量C. 密度D. 熔点答案: A. 导热系数25. 材料科学中，模拟材料在腐蚀环境下的行为常用哪种方法？A. 蒙特卡洛模拟B. 有限元腐蚀模拟C. 电化学测试D. 密度泛函理论答案: B. 有限元腐蚀模拟（注意：虽然实际中“有限元腐蚀模拟”不是标准术语，但这里为了题目设计而使用，意在表达使用有限元方法进行腐蚀行为的模拟）26. 在材料科学研究中，为了分析材料的微观缺陷，常用的技术是？A. 超声波检测B. 透射电子显微镜C. 红外热成像D. 激光粒度分析答案: B. 透射电子显微镜27. 在进行材料的力学性能测试时，用于评估材料韧性的主要指标是？A. 硬度B. 弹性模量C. 冲击韧性D. 屈服强度答案: C. 冲击韧性28. 在模拟材料的高温蠕变行为时，关键考虑的是材料的哪个性质？A. 弹性模量B. 蠕变极限C. 断裂韧性D. 熔点答案: B. 蠕变极限29. 下列哪种技术用于分析材料在加载过程中的变形和应力分布？A. 扫描电子显微镜B. 数字图像相关法（DIC）C. 红外光谱D. 能量色散X射线光谱（EDS）答案: B. 数字图像相关法（DIC）30. 在材料科学中，为了模拟材料的热传导过程，常用的软件是？A. ANSYSB. GaussianC. MATLABD. AutoCAD答案: A. ANSYS31. 第一性原理计算中，用于描述材料电子结构的理论框架主要是？A. 密度泛函理论B. 经典力学C. 统计力学D. 量子力学答案: D32. 在第一性原理计算中，哪个参数对于描述固体的能带结构至关重要？A. 晶胞大小B. 原子间距C. 离子电荷D. 布里渊区答案: D33. 下列哪个软件常用于第一性原理计算的密度泛函理论模拟？A. MATLABB. AutoCADC. GaussianD. VASP答案: D34. 第一性原理计算中，用于近似处理多电子体系中电子间相互作用的常见方法是？A. 玻尔模型B. 哈特里-福克方法C. 密度矩阵方法D. 局域密度近似（LDA）或广义梯度近似（GGA）答案: D35. 哪种类型的计算在第一性原理模拟中通常用于研究材料的表面和界面性质？A. 分子动力学模拟B. 蒙特卡洛模拟C. 量子蒙特卡洛模拟D. 平板模型计算答案: D36. 在第一性原理计算中，为了获得更准确的电子结构信息，经常需要优化哪个参数？A. 原子质量B. 离子半径C. 晶格常数D. 截断能答案: D37. 下列哪个物理量在第一性原理计算中通常用于描述材料的磁性？A. 电导率B. 介电常数C. 热导率D. 磁矩答案: D38. 在进行第一性原理计算时，哪个步骤通常涉及求解Kohn-Sham方程？A. 初始化参数B. 能量最小化C. 自治场迭代D. 能带结构分析（尽管不直接求解K-S方程，但C项更接近实际求解过程）答案: C（注意：D项不直接相关，但C项是求解K-S方程的核心步骤）39. 第一性原理计算中，用于描述材料光学性质的物理量通常是什么？A. 折射率B. 电阻率C. 介电函数D. 复介电常数答案: D40. 下列哪个算法在第一性原理计算中常用于处理材料的声子谱？A. 密度泛函微扰理论（DFPT）B. 分子动力学C. 蒙特卡洛方法D. 超胞法结合有限位移法答案: A（但D项也是实际操作中可能用到的方法之一，但A项更直接相关）（注意：第40题的D选项虽然在实际中可能用于计算声子谱，但A 选项的DFPT是第一性原理计算中更直接用于声子谱计算的方法。
科学工程计算_习题
4.设432()542f x x x x x =+++和节点/2,0,1k x k k == 则014[,]f x x x = 。
5.当1,1,2x =-时，()0,3f x =-,则()f x 的二次插值多项式为 。
(0,1,2,3,4)ix i =为互异结点，则440()i ii x l x =≡∑ ()i l x 为拉格朗日插值基函数。
6.设3R x ∈，123()3f x x x x =++是否为向量范数?(填是或否) 。
7.1000()()f x dx A f x ≈⎰当0A = ,0x = 时该求积公式具有尽可能高的代数精度。
8.(3,0,4,12)Tx =-,则2x = ,1123A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则A ∞= ，()A ρ= 。
9.解线性方程组AX=b 的迭代公式f BX X k k +=+)()1(，对任意给定的初值)0(x 都收敛的充要条件是 _______ __ 10.当恒有()1g x '≥时，迭代法1()k k x g x +=的敛散性为11.牛顿法求重根是 阶收敛的,求解的牛顿法迭代公式是： 。
12.在常微分方程初值问题中，改进的欧拉方法具有 阶的精度。
其整体截断误差为 。
1. 给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的。
--------------------------------- 【 】2. 代数精确度是衡量算法稳定性的一个重要指标。
【 】3. 只要矩阵是对称的，则1A A ∞≡------ ----- 【 】4. 非线性方程求根的牛顿迭代法有可能发散。
-------------------- 【 】1. 有效数*0.0490y =的有效位数为 绝对误差限:2.的相对误差不超过0.1%应取 位有效数字。
3. 改变计算公式，使之用计算机实现时能给出更为精确的结果(1)1cos 2-(2)5. 显式方法的优点是计算简单且稳定性好。
-----------------------【 】作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算f (1.5)的近似值。
科学和工程计算复习题2014
科学和工程计算复习题2014科学和工程计算基础复习题一、填空题:1. :2. 计算机计费的主要依据有两间,主要由决定;二是占据存储器的空间,3. 用计算机进行数值计算时,4. ,则称该算法5. 函数求值问题()x f y =的条件数定义为:6. 单调减且有的数列一定存在极限; 单调增且有的数列一定存在极限. 7. 方程实根的存在唯一性定理:设且,则至少存在一点()b a ,∈ξ使()0=ξf .当()x f '在()b a ,,方程在[]b a ,内有唯一的实根. 8. 函数()y x f ,在有界闭区域D 上对y 满足Lipschitz 条件,是指对于D 上的任意一对点()1,y x 和()2,y x 成立不等式: .其中常数L .9. 设n i R A i n n ,,2,1,, =∈?λ为其特征值,则称为矩阵A 的谱半径. 10. 设1-A 存在,则称数为矩阵A 的条件数,其中?是矩阵的算子范数.11. 方程组f x B x +=,对于任意的初始向量()0x 和右端项f ,迭代法()()f x B x k k+=+1收敛的充分必要条件是选代矩阵B 的 . 12. 设被插函数()x f 在闭区间[]b a ,上n 阶导数连续,()()x fn 1+在开区间()b a ,上存在.若{}ni i x 0=为[]b a ,上的1+n 个互异插值节点,并记()()∏=+-=ni in x x x 01ω,则插值多项式()()()()()∑=++'-=nk k nk n k n x x x x x f x L 011ωω的余项为 ,其中 .13. 若函数组(){}[]b a C x nk k ,0?=?满足 ,则称(){}nk k x 0=?为正交函数序列.14. 复化梯形求积公式 ,其余项为15. 复化Simpson 求积公式 ,其余项为 16. 选互异节点n x x x ,,,10 为Gauss 点,则Gauss 型求积公式的代数精度为 .17. 如果给定方法的局部截断误差是()11++=p n h O T ,其中1≥p 为整数,则称该方法是 .18. 微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响,给数值计算造成很大的实质性困难的现象. 19. 迭代序列{}[]b a x k k ,0?∞=终止准则通常采用 ,其中的0>ε20.二、选择题1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ?==的充分条件? ( )A. 矩阵A 的各阶顺序主子式均不为零;B. A 对称正定;C. A 严格对角占优;D. A 的行列式不为零.2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( )A. 313n ;B. 323n ;C. 314n ;D. 334n .3. 对于任意的初始向是()0x和右端项f ,求解线性代数方程组的迭代法()()1k kxBx f +=+收敛的充分必要条件是( ). A.()1B ρ<; B. 1B <; C. ()det 0B ≠; D. B 严格对角占优.4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ?==的Gauss-Seidel 迭代法收敛的充分条件? ( )A. A 为严格对角占优阵;B. A 为不可约弱对角占优阵;C. A 的行列式不为零;D. A 为对称正定阵. 5. 设()[]2,f x Ca b =，并记()2m a x a xbM f x ≤≤''=，则函数()f x 的过点()()()(),,,a f a b f b 的线性插值余项()1R x ,[],x a b ?∈满足( ). A. ()()2218M R x b a ≤-; B. ()()2218M R x b a <-;C. ()()2216M R x b a ≤-; D. ()()2216M R x b a <-. 6. 设()n x ?是在区间[],a b 上带权()x ρ的首项系数非零的n 次正交多项式()1n ≥,则()n x ?的n 个根( ).A. 都是单实根;B. 都是正根;C. 有非负的根;D. 存在重根7. Legendre 多项式是( )的正交多项式.( )A. 区间[]1,1-上带权()x ρ=B. 区间[]1,1-上带权()1x ρ=;C. 区间[],-∞∞上带权()2x x e ρ-=; D. 区间[]0,1上带权()1x ρ=8. 离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的Gram 矩阵与( )无关?A. 基函数(){}n k k x ?=; B. 自变量序列{}0mi i x =;C. 权数{}0mi i w =; D. 离散点的函数值{}0mi i y =. 9. Simpson 求积公式的余项是( ).A. ()()()3,,12h R f f a b ηη''=-∈;B. ()()()()54,,90h R f f a b ηη=-∈; C. ()()()()2,,12h b a R f f a b ηη-''=-∈; D. ()()()()()44,,90h b a R f f a b ηη-=-∈ 10. n 个互异节点的Gauss 型求积公式具有( )次代数精确度.A. n ;B. 1n +;C. 21n +;D. 21n -. 11. 一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为( ).A. ()O h ;B. ()2O h ;C. ()2o h ; D. ()32O h .12. 对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的精度( ).A. 高; B, 低; C. 相同; D. 不可比.13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式是显式Euler 公式和隐式Euler 公式的( ).A. 算术平均;B. 几何平均;C. 非等权平均;D. 和. 14. 当( )时,求解(),0y y λλ'=<的显式Euler 方法是绝对稳定的. A. 11h λ-≤≤; B. 20h λ-≤≤; C. 01h λ≤≤; D. 22h λ-≤≤ 15. 求解(),0y y λλ'=<的经典R-K 公式的绝对稳定条件是( ): A ．20h λ-≤≤; B.()2112h h λλ++≤;C.()()()2341123!4!h h h h λλλλ++++≤; D.()()22121211212h h h h λλλλ++≤-+.16. 在非线性方程的数值解法中,只要()()***1,()x x x ??'≠=,那么不管原迭代法()()1,0,1,2,k k x x k ?+== 是否收敛,由它构成的Steffensen 迭代法的局部收敛的阶是( )阶的.A. 1;B. 0;C. 2<;D. 2≥.17. 在非线性方程的数值解法中,Newton 迭代法的局部收敛的阶是( )阶的. A. 1; B. 0; C. 2<; D. 2≥.18. 在非线性方程的数值解法中,离散Newton 迭代法的局部收敛的阶是( )阶的.A. 1;B.C.; D. 2. 19. 在求解非线性方程时,迭代终止准则通常采用( ),其中的0ε>为给定的相对误差容限. A.11k k kx x x ε--<+; B.1k k kx x x ε--<; C. 1k k x x ε--<; D.111k k k x x x ε---<+.20. 在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,是使线性方程组的( ).A. 系数矩阵非奇异;B. 系数矩阵的行列式不等于零;C. 系数矩阵非奇异并良态;D. 系数矩阵可逆.三、判断题1. 在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.( )2. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接近的两个数相减;在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高.( ) 3. 用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.( ) 4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。
《科学与工程计算》试题
《科学与工程计算》2009试题一、填空题（每小题3分，共12分）(1) 为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将11ln ln x x x x ⎛⎞⎛⎞+−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠改写为___ _(2)已知x 的相对误差为r ε，那么是ln(1)x +的相对误差限约为___ _(3).设321210012A ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦，则∞A =___ _.1A =___ _ (4) 设763()76543f x x x x x =++++，则差商[]0, 1, 2, 3,4,5,6,7f =___ _.二、（12分）设0a >，应用牛顿迭代法分别求0k x a −=与10k a x−=之根，从而03x =，精确到小数点后2位。
三.、（18分）求解方程123412413412342312552141635158x x x x x x x x x x x x x x ++−=⎧⎪+−=⎪⎨++=⎪⎪−−++=⎩ （1）使用高斯-赛德尔迭代法解线性方程组，给出迭代格式与迭代矩阵，并使用收敛迭代公式计算2步，每步结果保留4位小数，取()()00,0,0,0Tx =。
（2）使用Dolittle 三角分解法求解四（16分）给出函数sin y x =的数表，分别用线性内插值与二次插值求sin 0.56789的近似值，并估计截断误差。
0.4 0.5 0.6 0.38942 0.47943 0.56464五. (12分) 在某次实验中，需要观察水份的渗透速度，测得时间t 与水的重量W 的数据见下表。
设已知t 与W 之间的关系为S W at =，试用最小二乘法确定参数,a s 。
结果保留4位小数t(秒) 1 2 4 8 16 32 64 W(克) 4.22 4.02 3.85 4.59 3.44 3.02 2.592log W 2.0772 2.00721.94492.19851.78241.59451.3730六、(15分)使用romberg 求积公式计算积分22024x I dx x =+∫。
科学与工程计算平时作业题及答案
第1个作业：（牛顿迭代法和斯蒂芬森加速法求非线性方程的根）使用牛顿迭代法和斯蒂芬森（Steffensen ）加速法求解x^5+x=1在1附近的根，要求精确到10^(-6),输出每步的全部中间结果。
解：一、牛顿迭代法：（1）算法说明牛顿法本质上是一种切线法，它从一端向一个方向逼近方程的根，其递推公式为：1()'()n n n n f x x x f x +=- 初始值可以取'()f a 和'()f b 中较大者，这样可以加快收敛速度。
（2）m 文件程序function root=NewtonRoot(f,a,b,eps)if (nargin==3)eps=1.0e-6;endf1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);if (f1==0)root=a;endif (f2==0)root=b;endif (f1*f2>0)disp('两端点函数值乘积大于0！');return ;elsetol=1;fun=diff(sym(f));fa=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);fb=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);dfa=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),a);dfb=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),b);if (dfa>dfb)root=a-fa/dfa;elseroot=b-fb/dfb;endwhile (tol>eps)r1=root;fx=subs(sym(f),findsym(sym(f)),r1);dfx=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),r1);root=r1-fx/dfxtol=abs(root-r1)endend（3）输入程序r=NewtonRoot('x^5+x-1',0,1)（4）输出结果root =0.7644tol =0.0690root =0.7550tol =0.0094root =0.7549tol =1.4717e-004root =0.7549tol =3.5523e-008r =0.7549二、Steffensen 加速法（1）算法说明Steffensen 加速法是弦截法的一种变形，它的递推公式为：111111()()(())()k k k k k k k f x x x f x f x f x f x ------=-+-， 且有 1()()(())()f a x a f a f a f a f a =-+- Steffensen 法的收敛速度也很快。
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科学和工程计算基础复习题一、 填空题:1. :2. 计算机计费的主要依据有两间,主要由决定;二是占据存储器的空间,3. 用计算机进行数值计算时,4. ,则称该算法5. 函数求值问题()x f y =的条件数定义为:6. 单调减且有 的数列一定存在极限; 单调增且有 的数列一定存在极限. 7. 方程实根的存在唯一性定理:设 且 ,则至少存在一点()b a ,∈ξ使()0=ξf .当()x f '在()b a ,,方程在[]b a ,内有唯一的实根. 8. 函数()y x f ,在有界闭区域D 上对y 满足Lipschitz 条件,是指对于D 上的任意一对点()1,y x 和()2,y x 成立不等式: .其中常数L .9. 设n i R A i n n ,,2,1,, =∈⨯λ为其特征值,则称 为矩阵A 的谱半径. 10. 设1-A 存在,则称数 为矩阵A 的条件数,其中⋅是矩阵的算子范数.11. 方程组f x B x +=,对于任意的初始向量()0x 和右端项f ,迭代法()()f x B x k k+=+1收敛的充分必要条件是选代矩阵B 的 . 12. 设被插函数()x f 在闭区间[]b a ,上n 阶导数连续,()()x fn 1+在开区间()b a ,上存在.若{}ni i x 0=为[]b a ,上的1+n 个互异插值节点,并记()()∏=+-=ni in x x x 01ω,则插值多项式()()()()()∑=++'-=nk k nk n k n x x x x x f x L 011ωω的余项为 ,其中 .13. 若函数组(){}[]b a C x nk k ,0⊂=ϕ满足 ,则称(){}nk k x 0=ϕ为正交函数序列.14. 复化梯形求积公式 ,其余项为15. 复化Simpson 求积公式 ,其余项为 16. 选互异节点n x x x ,,,10 为Gauss 点,则Gauss 型求积公式的代数精度为 .17. 如果给定方法的局部截断误差是()11++=p n h O T ,其中1≥p 为整数,则称该方法是 .18. 微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响 ,给数值计算造成很大的实质性困难的现象. 19. 迭代序列{}[]b a x k k ,0⊂∞=终止准则通常采用 ,其中的0>ε20.二、 选择题1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ⨯==的充分条件? ( )A. 矩阵A 的各阶顺序主子式均不为零;B. A 对称正定;C. A 严格对角占优;D. A 的行列式不为零.2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( ) A. 313n ; B. 323n ; C. 314n ; D. 334n .3. 对于任意的初始向是()0x和右端项f ,求解线性代数方程组的迭代法()()1k kxBx f +=+收敛的充分必要条件是( ). A.()1B ρ<; B. 1B <; C. ()det 0B ≠; D. B 严格对角占优.4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ⨯==的Gauss-Seidel 迭代法收敛的充分条件? ( )A. A 为严格对角占优阵;B. A 为不可约弱对角占优阵;C. A 的行列式不为零;D. A 为对称正定阵. 5. 设()[]2,f x Ca b =，并记()2m a x a xbM f x ≤≤''=，则函数()f x 的过点()()()(),,,a f a b f b 的线性插值余项()1R x ,[],x a b ∀∈满足( ). A. ()()2218M R x b a ≤-; B. ()()2218M R x b a <-;C. ()()2216M R x b a ≤-; D. ()()2216M R x b a <-. 6. 设()n x ϕ是在区间[],a b 上带权()x ρ的首项系数非零的n 次正交多项式()1n ≥,则()n x ϕ的n 个根( ).A. 都是单实根;B. 都是正根;C. 有非负的根;D. 存在重根7. Legendre 多项式是( )的正交多项式.( )A. 区间[]1,1-上带权()x ρ=B. 区间[]1,1-上带权()1x ρ=;C. 区间[],-∞∞上带权()2x x e ρ-=; D. 区间[]0,1上带权()1x ρ=8. 离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的Gram 矩阵与( )无关?A. 基函数(){}n k k x ϕ=; B. 自变量序列{}0mi i x =;C. 权数{}0mi i w =; D. 离散点的函数值{}0mi i y =. 9. Simpson 求积公式的余项是( ).A. ()()()3,,12h R f f a b ηη''=-∈;B. ()()()()54,,90h R f f a b ηη=-∈; C. ()()()()2,,12h b a R f f a b ηη-''=-∈; D. ()()()()()44,,90h b a R f f a b ηη-=-∈ 10. n 个互异节点的Gauss 型求积公式具有( )次代数精确度.A. n ;B. 1n +;C. 21n +;D. 21n -. 11. 一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为( ).A. ()O h ;B. ()2O h ;C. ()2o h ; D. ()32O h .12. 对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的精度( ).A. 高; B, 低; C. 相同; D. 不可比.13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式是显式Euler 公式和隐式Euler 公式的( ).A. 算术平均;B. 几何平均;C. 非等权平均;D. 和. 14. 当( )时,求解(),0y y λλ'=<的显式Euler 方法是绝对稳定的. A. 11h λ-≤≤; B. 20h λ-≤≤; C. 01h λ≤≤; D. 22h λ-≤≤ 15. 求解(),0y y λλ'=<的经典R-K 公式的绝对稳定条件是( ): A ．20h λ-≤≤; B.()2112h h λλ++≤;C.()()()2341123!4!h h h h λλλλ++++≤; D.()()22121211212h h h h λλλλ++≤-+.16. 在非线性方程的数值解法中,只要()()***1,()x x x ϕϕ'≠=,那么不管原迭代法()()1,0,1,2,k k x x k ϕ+== 是否收敛,由它构成的Steffensen 迭代法的局部收敛的阶是( )阶的.A. 1;B. 0;C. 2<;D. 2≥.17. 在非线性方程的数值解法中,Newton 迭代法的局部收敛的阶是( )阶的. A. 1; B. 0; C. 2<; D. 2≥.18. 在非线性方程的数值解法中,离散Newton 迭代法的局部收敛的阶是( )阶的.A. 1;B.C.; D. 2. 19. 在求解非线性方程时,迭代终止准则通常采用( ),其中的0ε>为给定的相对误差容限. A.11k k kx x x ε--<+; B.1k k kx x x ε--<; C. 1k k x x ε--<; D.111k k k x x x ε---<+.20. 在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,是使线性方程组的( ).A. 系数矩阵非奇异;B. 系数矩阵的行列式不等于零;C. 系数矩阵非奇异并良态;D. 系数矩阵可逆.三、 判断题1. 在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.( )2. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接近的两个数相减;在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高.( ) 3. 用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.( ) 4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。
( ) 5. 设n nB R ⨯∈, 则lim 0kk B →∞=的充要条件是B 的谱半径()1B ρ<.( )6. 若n nA R⨯∈,则一定有()2AB ρ=.( )7. 求解线性代数方程组,当n 很大时,Cholesky 分解法的计算量比Gauss 消去法大约减少了一半. ( )8. 在用迭代法求解线性代数方程组时,若Jacobi 迭代矩阵为非负矩阵,则Jacobi 方法和Gauss-Seidel 方法同时收敛,或同时不收敛;若同时收敛,则Gauss-Seidel 方法比Jacobi 方法收敛快. ( ) 9. 均差(或差商)与点列(){},ni i i x f x =的次序有关. ( )10. 线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关. ( )11. 复化梯形求积公式是2阶收敛的, 复化Simpson 求积公式是4阶收敛的. ( )12. Gauss 求积系数都是正的. ( )13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 因为梯形公式是显式Euler 公式和隐式Euler 公式的算术平均,而Euler 公式和隐式Euler 公式是一阶方法,所以梯形公式也是一阶方法. ( )14. 在Runge-Kutta 法中, 通常同级的隐式公式能获得比显式公式更高的阶. ( ) 15. 求解(),0y y λλ'=<的梯形公式是无条件稳定的. ( )16. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 不论单步法还是多步法, 隐式公式比显式公式的稳定性好. ( )17. 迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率. ( )18. 在一元非线性方程的数值解法中,最有效的是Steffensen 迭代法和Newton 迭代法.前者不需要求导数,但不宜推广到多元的情形;后者需要求导数,但可直接推广到多元方程组. ( )19. 常微分方程边值问题的差分法,就是将解空间和微分算子离散化、组成满足边值条件的差分方程组,求解此方程组,得到边值问题在节点上函数的近似值. ( )20. 在求解非线性方程组时,在一定条件下映内性可保证不动点存在,因而也能保证唯一性.( )四、 线性代数方程组的数值解法1. 用高斯消去法求解方程组b Ax =，即123211413261225x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1） 列出用增广矩阵[]b A ,表示的计算过程及解向量x ；（2） 列出由此得到的Doolittle 三角分解LU A =中的三角阵L 和U ；（3） 由U 计算A det 。