中南大学高等数学答案

中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案

高等数学(专科)

一、填空题: 1、函数1

1

42-+

-=

x x y 的定义域就是 。 解:),2[]2,(∞+--∞ 。

2、若函数52)1(2

-+=+x x x f ,则=)(x f 。 解:62

-x 3、sin lim

x x x

x

→∞-= 。

答案:1 正确解法:101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim

=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x

x

x x x x x x x x x

4、已知22

lim 2

22=--++→x x b

ax x x ,则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知,024=++b a ,得42--=a b ,

又由234

12lim 2lim 22

22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5、已知∞=---→)

1)((lim

0x a x b

e x x ,则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a

b

e x a x x x ,∴0,1a b =≠ 6、函数⎪⎩⎪⎨⎧

≥+<=0

1

01sin

)(x x x x

x x f 的间断点就是x = 。

解:由)(x f 就是分段函数,0=x 就是)(x f 的分段点,考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01

sin

lim 00

==+=+-→→f x x

x x x

所以函数)(x f 在0=x 处就是间断的,

又)(x f 在)0,(-∞与),0(+∞都就是连续的,故函数)(x f 的间断点就是0=x 。 7、设()()()n x x x x y -⋅⋅--= 21, 则()

=+1n y

(1)!n +

8、2

)(x x f =,则__________)1)((=+'x f f 。 答案:2)12(+x 或1442

++x x 9

、函数22ln(1)

x y z

--=

的定义域为 。

解:函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧<+<≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+<+≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-->--≥-1040141101042222222222222y x x y y x y x x y y x y x y x z ⇒ 的定义域为:{

10|),(22<+

10、已知2

2),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f 、

解:令x y u +=,x y v -=,则,22

u v u v

x y +-=

=,()()()f x y x y xy x y +-=+ )(4

222),(22v u u u v u v u v u f -=-+=

,22(,)()4x

f x y x y =-

11、设22),(y

x x

xy y x f ++

=,则=')1,0(x f 。=')1,0(y f ∵ (0,1)000f =+=

20

00(,1)(0,1)

1(0,1)lim

lim 2x x x x

x f x f x f x

x

∆→∆→∆∆+

-∆-∆+'===∆∆ 0

0(0,1)(0,1)00

(0,1)lim

lim 0y y y f y f f y

y ∆→∆→∆+--'===∆∆。 12、设,,cos ,sin 3

2

t y t x y x z ==+=则t

z

d d ＝ 。 解:22sin 3cos dz

x t t y dt

=-+ 13、

=⎰⎰

dx x f d d dx d

)( 。 解:由导数与积分互为逆运算得,)()(x f dx x f d d dx d

=⎰⎰

。 14、设)(x f 就是连续函数,且

x dt t f x =⎰

-1

3)(,则=)7(f 。

解:两边对x 求导得1)1(332=-x f x ,令713

=-x ,得2=x ,所以12

131)7(2

2

=

=

=x x f 、 15、若

2

1

d e 0

=

⎰

∞

+-x kx ,则_________=k 。 答案:∵)d(e 1lim d e 210

0kx k x b kx b kx

--==⎰⎰-+∞→∞+-

k

k k k kb b b kx b 1e 1lim 1e 1lim 0=-=-=-+∞→-+∞→

∴2=k

16、设函数f(x,y)连续,且满足⎰⎰

+=D

y d y x f x

y x f 2),(),(σ,其中,:222a y x D ≤+则f(x,y)=______、

解:.4

44

2

x a y π+ 记⎰⎰=

D

d y x f A σ),(,则2

),(y

Ax y x f +=,两端在D 上积分有:⎰⎰⎰⎰+=

D

D

d y

Axd A σσ2

,其中

⎰⎰=D

xd A 0σ(由对称性),⎰⎰⎰⎰=

=a

D

a d d d y 0

4

2

3

20

2

.4

sin πρϕρϕσπ

即 4

4

a A π=

,所以,.4

),(4

2

x a y y x f π+

=

17、求曲线2

,42

2ay

x ax y =

=所围成图形的面积为 ,(a>0) 解:223

a

18、

∑

∞

=--1

2

2212n n n

x n ; 解:令2

x y =,则原幂级数成为不缺项的幂级数

∑∞

=--1

1

212n n n

y n ,记其各项系数为n b ,因为21212lim 2122212lim lim 11

=+-=+⋅-==∞→+∞→+∞→n n n n b b R n n n n n n n ,则20222<≤⇒<<-x y , 故22<

<-x 、

当2±=x 时,幂级数成为数项级数∑∞

=-1)12(21n n ,此级数发散,故原幂级数的收敛区间为

)2,2(-、