1.7.2[定积分在物理中的应用]课件 新人教a版选修2-2
(人教)高中数学选修2-2课件1.7.2定积分的简单应用
1.7.2定积分在物理中的应用预习导引重点难点1・变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程S,等于其速度函数v=v(O(v(O三0)在时间区间00］上的定积分，即思考:利用定积分求变速直线运动物体的路程和位移时，如何区分位移和路程？一物体在恒力F(单位:N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s(单位:m),则力F所做的功为____ :.(2)变力F(Q的做功公式如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从兀="移动到x=b(“vb),那么变力F(x)所做的功为厂______ :课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE交流2 思考:求变力做功问题的关键是什么?课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测一、求变速直线运动的路程E2活动与探究求变速直线运动的物体在时间区间由，切上的路程S课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU 时尸广v(r)d?课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测正确吗?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU当堂检测______ I例1 一质点在直线上从时刻QO(s)开始以速度v=r-4r+3(m/s)运动,求点在匸4 s时的位置及经过的路程.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测又\v(r)=r2-4r+3=(M)(r-3),/在区间［0,1 ］及［3,4］上的v(t)三0, 在区间［1,3］上，叩）W0. ••在t=4 s时的路程为(几4丫+3)&+|『t2-4t+3)dt| +『(t2-4t+3)dt =f^ (?-4z+3)dr-J13 (r-4z+3)d?+J^ (r-4r+3)dr =4(m).课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIUS3迁移与应用若某一物体以速度v(0=4-r2做直线运动,求它在t=l到?=4这段时间内的路程.问题导学当堂检测------------- 名師修津----------------物体做变速直线运动的速度叫等于加速度函数a=a(t)在时间妝切上的定积分;物体做变速直线运动经过的位移s,等于其速度函数v= v(r) 在时间区间［"0］上的定积分.用定积分解决简单的物理问题时，关键是要结合物理学中的相关内容，将物理意义转化为用定积分解决.问题导学当堂检测二、求变力做功吧活动与探究当力F的方向与运动方向夹角为0时，怎样求力F所做的功?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUEKETANG HEZUO TANJIU----- 例2由胡克定律知，把弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长 量成正比，现知2 N 的力能使一个弹簧伸长3 eg 试求要把弹簧拉伸0.4 m 所做的功.当堂检测问题导学当堂检测唸迁移与应用1・已知弹簧拉长0.02 g需要98 N的力，则把弹簧拉长到0.1 m所做的功为（）A.24.5 JB.23.5 JC.22.5 JD.25.0 J问题导学当堂检测2•在原点O有一个带电量为+g的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力•现有一个单位正电荷从距离为0处沿着射线方向移至距O点为b@<b）的地方，求电场力做的功.（电场力F = /c・卷（k为常数））问题导学当堂检测------------- 名師❷障---------------- 由于力F的大小随物体的位置变化而变化,因此将其记为F(Q,F(Q 在［G0］上所做的功W=f^ F(x)(k・要解决好变力做功问题,必须熟悉相关问题导学当堂检测的物理知识，正确写出被积函数.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 当堂检测2问题导学1 •物体以速度v(?)=3?-2r+3做直线运动，它在t=0到匸3这段时间内的位移是()A.9B.18C.27D.362•物体以速度v(?)=2-f 做直线运动，则它在t=l 到t=3这段时间的路程为 ()问题导学3•做直线运动的质点在任意位置兀处，所受的力F(x)=l+e^则质点沿着 与F(x)相同的方向，从点x 1=0处运动到点x 2=l 处，力F(x)所做的功是 () 1A. 1+eB.eC -D.e-1问题导学4•如果1 N 力能拉长弹簧1 cm,为了将弹簧拉长6 eg 所耗费的功为问题导学5•质点做直线运动,其速度叩）=汽2丫+1（单位:凶3）・则它在第2秒内所走 的路程为 ・问题导学£_© _________。
高中数学(人教A版选修2-2)优质课件：1.7.2 定积分在物理中的应用(1)
② 动词-ed形式短语作定语时，通常要放在被修饰的 名词的后面，在意思上相当于一个定语从句。 Is there anything planned for tonight? 今晚有什么活动吗? (=that has been planned for tonight)
The meeting, attended by a lot of people, was a success ．这次会议有很多人出席, 开得很成功。
(1)前置定语 单个的动词-ed形式,一般放在被修饰的名词的前面, 作 前置定语。 The excited people rushed into the building. 激动的 人们冲进大楼。 (=The people who were excited) Lost time can never be found again．虚度的时光, 无 法挽回。 (=Time which is lost)
(2)后置定语 ①少数单个动词的-ed形式, 如left等, 只能 作后置定语。 Everything used should be marked． 所有用过的东西应该做好标记。 Among the invited were some ladies． 被邀请的人中, 有些是女士。 The books left are for my students． 剩下的书是给我的学生的。
4. Prices of daily foods______through a computer can
be lower than prices in stores.
A. are bought
B. bought
C. been bought
D. buying
5. Mr. Smith,____ of the speech, started to read a ____ novel. A. tired； boring B. tiring； bored C. tired；bored D. tiring； boring
高中数学 1.7.2 定积分在物理中的应用课件 新人教A版 选修22
解析： 设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在 弹簧上的力(单位：N)．
由题意，得F(x)＝kx， 且当x＝0.05 m时，F(0.05)＝100 N， 即0.05k＝100，∴k＝2 000，∴F(x)＝2 000x. ∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为 W＝∫00.152 000xdx＝1 000x2| 00.15＝22.5(J)．
＝
3 8 (1
250＋1
000)＋
2 8 (2
800＋800)＋20(120－90)
＝1
125 4
3＋450
2＋600(N·cm)．
第二十三页，共29页。
用定积分求变力做功：
(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F的
表达式，这是求功的关键．
(2)由功的物理意义知，物体在变力F(x)的作用下，沿力
F(x)的方向做直线运动，使物体从x＝a移到x＝b(a<b)．因此，
求功之前还应求出位移起始位置与终止位置．
b
(3)根据变力做功公式W＝
a
f(x)dx即可求出变力F(x)所做的
功．
第二十四页，共29页。
2．设有一长25 cm的弹簧(tánhuáng)，若加以100 N的力， 则弹簧(tánhuáng)伸长到30 cm，又已知弹簧(tánhuáng)伸长所需 要 的 拉 力 与 弹 簧 (tánhuáng) 的 伸 长 量 成 正 比 ， 求 使 弹 簧 (tánhuáng)由25 cm伸长到40 cm所做的功．
解析： 在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力 F(x)(单位：N)与弹簧拉伸(或压缩)的长度x(单位：m)成正比， 即F(x)＝kx(常数k是比例系数)．由题意知，当F(x)＝1时，x＝ 0.01，可得k＝100.由变力作功公式，得到将弹簧拉长6 cm耗费 的功W＝∫00.06100xdx＝50x2| 00.06＝0.18(J)．
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：1.7.2定积分在物理中的应用
0
4
＝ 4t2－23t340＋ 23t3－4t254＝26.
(4)依题意知t (8t－2t2)dt＝0， 0
即4t2－23t3＝0.解得t1＝0或t2＝6. t1＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况， t2＝6是所求的t.
物体做变速直线运动经过的路程s＝
4t2－23t330＝18.
(2)s2＝5(8t－2t2)dt＝ 0
4t2－32t350＝530.
(3)当v(t)＝8t－2t2≥0时，即运动，因此，
所求路程应为
s3＝4(8t－2t2)dt＋5[－(8t－2t2)]dt
2
2
而43t32 ＋12t2＋2t′＝2 t＋t＋2，
所以s＝ 34t32 ＋21t2＋2t82＝536 2＋42.
所以汽车在2～8 s这段时间内走过的路程为536 2＋42 m.
求变力所做的功
【例2】 设有一长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则 弹簧伸长到30 cm，求使弹簧伸长到40 cm所做的功．
C．e3＋2
D．e3＋1
【答案】B
4 ． (2017 年 湖 南 模 拟 ) 自 由 落 体 的 运 动 速 度 v ＝ gt(g 为 常 数)，则当t∈[1,2]时，物体下落的距离为________.
【答案】32g
点击进入WORD链接
＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即_____a _____．
2．变力做功 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着
与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做 W＝bF(x)dx
的功为_______a _______．
高中数学 1.7.2定积分在物理中的应用课件 新人教A版选修2-2
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研题型 学方 法
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题型一 求变速直线运动的路程，位 移
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规律方法：1.路程是位移的绝对值之和，因此在求 路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符 号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后 分别计算，否则会出现计算失误． 2．务必把握位移和路程的区别，切勿因乱套公式， 导致错误．
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析疑难 提能 力
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忽视位移有正，负而致误
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【易错剖析】解答第(2)题时，若忽视了路程与位移的 区别，误以为路程就是位移，则会导致解答失误．
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题型二 (1)物体在变力F(x)的作用下做直线运动， 沿着与F(x)相同的方向由x＝a运动到x＝b时，变力 F(x)所做的功是W＝F(x)dx. (2)用定积分解决物理上的基本问题时，要：①准确 地写出积分式；②准确地进行计算．
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弹力做功问题
高二数学 1.7.2定积分在物理中的应用学案 新人教A版选修2-2
1．7.2 定积分在物理中的应用
基础梳理
1．物体以速度v＝v(t)(v(t)≥0)做变速直线运动，在时段t∈[a，b]上行驶的路程s ＝v(t)d t．
想一想：物体以速度v＝t2做变速直线运动，在时段t∈[0，2]上行驶的路程s＝8
3．
2．一物体在恒力F的作用下做直线运动，物体沿着与F相同的方向移动了s，恒力F 所做的功是W＝Fs．
想一想：一物体在恒力F＝30 N的作用下做直线运动，物体沿着与F(x)相同的方向移动了10 m，恒力F所做的功是300_J．
3．一物体在变力F(x)的作用下做直线运动，物体沿着与F(x)相同的方向由x＝a运动到x＝b时，变力F(x)所做的功是W＝F(x)d x．
想一想：用F(x)(单位：N)的力拉弹簧，将弹簧拉长l m，所耗费的功是W＝F(x)d x．自测自评
基础巩固
能力提升。
高中数学 1.7.2 定积分在物理中的应用课件 新人教A版选修22
(1)当t∈［a，b］，v(t)≥0时，路程s= v(abt)dt，此时路程与位
移相等.
(2)当t∈［a，b］，v(t)<0时，路程s=- vb(t)dt.
a
(3)当t∈［a，c］，v(t)≥0，t∈［c，b］，v(t)<0时，
路程s= cv(t)dt- v(bt)dt.
a
c
第十页，共40页。
【微思考】
1
)
t3 3
|13
4
.
答3案(dá àn)：
4
3
第八页，共40页。
【要点究】
知识点 定积分在物理中的应用
1.变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系
如果做变速直线运动物体的速度-时间函数为v=v (t)，则物体在区
间［a，b］上的位移为定积分 v(t)dtb；物体在区间［a，b］上的
路b 程为 |v(t)|a dt． 2.a 确立变力做功的策略
4
(3)一物体在力F(x)作用下沿F2 (x)相同的方向从x=0运动到x=10，则该力对
物体做的功为W= F(x)dx.( )
10
0
第五页，共40页。
【解析】(1)正确，路程关于(guānyú)时间的函数关系的导数就是运动
速度.
(2)错误，因为2≤t≤4时，v(t)=t2-4t≤0.
s=- (t2-4t)dt. 4
由变力做功公式得：
W= ( x+5)cos 30°dx+ ( x+5)cos 45°dx+600
= 50 1 04
90 1
50 4
3 8
(1 2
x2
20x)
|500
2 8
(1 2
高二理科数学《1.7.2定积分在物理中的应用》名师课件人教版选修2-2
练习
1．教材 P59 面练习 2
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练习
1．教材 P59 面练习 2
2．一物体在力 F (x) =
10(0 x 2) 3x 4( x 2)
（单位：N）的作用下沿与力 F(x)做功为
（）
A．44J B．46J
C．48J D．50J
25 3
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例题分析
例 1．一辆汽车的速度-时间图如下图所示. 求汽车在这 1min 行驶的路程.
v /(m / s)
40 30
A
B
20
10
C t/s
O 102030405060
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例题分析
例 1．一辆汽车的速度-时间图如下图所示. 求汽车在这 1min 行驶的路程.
主讲：陈震
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练习
1．曲线 y = x2 + 2x 直线 x = – 1，x = 1 及 x
轴所围成图形的面积为
（）
A. 8 B. 2 C. 4 D. 2
3
33
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练习
1．曲线 y = x2 + 2x 直线 x = – 1，x = 1 及 x
轴所围成图形的面积为
（ B）
A. 8 B. 2 C. 4 D. 2
3
33
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练习
1．曲线 y = x2 + 2x 直线 x = – 1，x = 1 及 x
轴所围成图形的面积为
（ B）
A. 8 B. 2 C. 4 D. 2
3
( 人教A版)高中数学选修22：1.7.2定积分在物理中的应用课件 (共24张PPT)
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探究一 求变速直线运动的路程、位移 [典例 1] 有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度的正方向 与 x 轴正方向一致)．求： (1)P 从原点出发，当 t＝6 时，求点 P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．
0
答案：45 J
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021
人教A版数学 ·选修2－2 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 6:43:55 PM
即在 t＝4 s 时运动的路程为 4 m.
探究二 求变力做的功 [典例 2] 如图所示，一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B， C 运动到 D，其中 AB＝50 cm，BC＝40 cm，CD＝30 cm，变力 F＝14x＋5，0≤x≤90， 在 AB 段运动时 F 与运动方向成 30°
20，90≤x≤120. 角，在 BC 段运动时 F 与运动方向成 45°，在 CD 段 F 与运动方向相同，求物体由 A 运动到 D 所做的功．
[解析] 设活塞活动的距离为 x m，则活塞受到的压强为： P＝8V0＝0.01π800.8－x…………………………………………………………………3 分 从而活塞受到的压力为： F＝PS＝0.01π800.8－x×0.01π＝0.88－0 x，……………………………………………6 分 ∵温度保持不变，气体的体积缩小一半． ∴活塞的位移为 0.4 m. 活塞克服气体压力所做的功为 W＝0.40.88－0 xdx＝[－80ln(0.8－x)]00.4 ＝80ln 2.
高中数学第一章导数及其应用1.7.2定积分在物理中的应用课件新人教A版选修22
即汽车从刹车到停止共用 4 s.
该汽车在此期间所行驶的距离
s=
4
0
7-3t +
25
1+t
dt
3t2
= 7t+ 25ln(t + 1)
2
=(4+25ln 5)(m).
答案:C
第十页，共17页。
4
|
0
)
题型一
题型二
题型三
求变力所做的功
【例2】 设有一长25 cm的弹簧,若加以100 N的力,则弹簧伸长到30
清运动过程中的变化情况是解题的关键,做变速直线运动的物体所
经过的路程是位移的绝对值之和,从时刻 t=a 到时刻 t=b 所经过的路
程 s 和位移 s1 分别为
(1)若 v(t)≥0(a≤t≤b),则 s=
a
v(t)dt.
a
v(t)dt, s1 = a v(t)dt.
v(t)dt, s1 =
= 80ln 2(J).
0
故活塞克服气体压力做 80ln 2 J 的功.
第十四页，共17页。
题型一
题型二
题型三
利用定积分求解其他物理问题
【例3】 A,B两站相距7.2 km,一辆电车从A站开往B站,电车开出t s后到达
途中的点C处,这一段速度为1.2t(m/s),到C处的速度达24 m/s.从C处到B
(2)若 v(t)≤0(a≤t≤b),则 s=− a
(3)若在区间[a,c]上 v(t)≥0,在区间[c,b]上 v(t)<0,则 s=
c
a
v(t)dt − c v(t)dt, s1 = a v(t)dt.
数学选修2-2人教新课标A版1-7-2定积分在物理中的应用课件(18张)
四、课堂小结
原理2（求变力所作的功）： 如果物体在变力F(x)的作用下做直线 运动，则物体沿着与F(x)相同的方向 从x＝a移动到x＝b(a＜b)所作的功 为:
W = ò b F(x)dx a
四、课堂小结
2.利用定积分求变速直线运动的位 移，其积分变量是时间，被积函数 是速度对时间的函数；利用定积分 求变力所作的功，其积分变量是位 移，被积函数是力对位移的函数.
ò40
2
探究2：根据定积分计算，汽车在这1min内行驶的路程是多 少m？
v(m/s)
ò 10
3tdt＝150
30 A
B
0
ò 40 30dt＝900
C
10
O 10
40 60 t(s)
ò 60 (- 3 t + 90)dt ＝300
40
2
思考4：根据定积分的几何意义，如何计算汽车在这 1min内行驶的路程？
做的功为W 2 Fvdt = 2 5.6t6dt =102.4J
0
0
答: 在时刻 t 0 (s)到 t 2 (s)这段时间内阻力
做的功为 102.4J
四、课堂小结
1. .在物理中，定积分主要应用于求 变速直线运动的位移和变力所作的 功，其基本原理如下： 原理1（求变速直线运动的位移）： 若物体运动的速度函数为v(t)，则物 体在a≤t≤b时段内的位移是:
4.一物体以速度 v(t) 2t 2 (m/s)做直线运动,媒质的
阻力 F(N)与速度 v(m/s)的关系为 F 0.7v2 ,试求在 时刻 t 0 (s)到 t 2 (s)这段时间内阻力做的功.
解:媒质的阻力为 F 0.7v2 = 2.8t4
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x
作业：Ｐ６８４，５，６
2）变力所做的功
物体在变力Ｆ（x）的作用下做直线 运动，并且物体沿着与Ｆ（x）相同的 方向从x=a移动到x=b（a<b），那么变 b 力Ｆ（x）所作的功 W F ( x)dx
a
Wi W ( xi ) x W ( xi ) x F
Wn Wi x F ( xi ) x
Sn Si t v(ti ) t
i 1 i 1 n n
v
v v(t )
S lim v(ti ) t v(t )dt
b x i 1 a
n
O
a
ba t n
ti
b
t
二、物体所做的功
1) 恒力
由物理学知道，如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上，且 这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在 物体移动了距离 s 时，力 F 对物体所作的功为 W F s.
W F ( x)dx
0
L
L
0
1 2 L 1 2 kxdx kx |0 kL 2 2
例 2 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐 标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电 荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷 放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场 对它的作用力的大小为 F r [a , b],
i 1 i 1 n n
y F ( x)
S lim F ( xi ) x F ( x)dxa x n
xi
b
x
例：如图：在弹性限度内，将一弹 簧从平衡位置拉到离水平位置L 米 处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸 （或压缩）弹簧所需的力Ｆ （x）与弹簧拉伸（或压缩） 的长度x成正比． 即：F(x)=kx 所以据变力作功公式有
解 取 r 为积分变量，
q
r2 b 处沿 r 轴移 这个单位正电荷在电场中从 r a b kq 1 1 1 所求功为 w 2 dr kq kq . a r r a对它所作的功． 动到 r b 处时，计算电场力 F a b
o
1.7.2定积分在物理中的应用
例 1 一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求 汽车在这 1 min 行驶的路程。
v/m/s A
30
B
C t/s
O 10 40 60
设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时 b 间区间[a, b]内运动的距离s为 s v(t )dt
一、变速直线运动的路程
a
Si v(ti ) t v(ti ) t
k
q b r a （ k 是常数） ，当
例 2 一圆柱形蓄水池高为 5 米， 底半径为 3 米，池内盛满了水.问 要把池内的水全部吸出，需作多少 o x 功？
解： 建立坐标系如图 x [0,5] 取 x 为积分变量，
5
x x
3
取任一小区间 [ x, x x] , 这一薄层水的重力为 9.8π 32 x w 88.2π x x, 2 5 5 x w 88.2 x dx 88.2 3462 (千焦)． 0 2 0